Βασικές διακριτές κατανομές

Βασικές διακριτές καταομές 6 Καταομή Bernoull και Διωυμική καταομή 6 Πουωυμική καταομή 63 Καταομή και διαδικασία Posson 64 Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω 65 Προβήματα και ασκήσεις

Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 6

Στο προηγούμεο κεφάαιο Παραδείγματα 535&535 δείξαμε ότι α Χ μια ομοιόμορφη διακριτή τυχαία μεταβητή με σύοο τιμώ R {,, K, } και συάρτηση πιθαότητας f με,,, K, f P 6,,, K, τότε K μ 6 και K K σ Var 63 Μια τέτοια καταομή/μοτέο πιθαοτήτω που εκχωρεί στις τιμές,, K, της Χ ίσες πιθαότητες, οομάζεται όπως είδαμε ομοιόμορφη διακριτή καταομή Έχοτας στη διάθεσή μας γεικά αποτεέσματα όπως τα 6, 6 και 63, κάθε φορά που θα χρειασθεί α μεετήσουμε μια ομοιόμορφη διακριτή τυχαία μεταβητή, αεξάρτητα με το τι αυτή κατά περίπτωση εκφράζει, θα μπορούμε ασφαώς α τα αξιοποιούμε χωρίς α χρειάζεται α τα «ξαααακαύπτουμε» Έτσι, α για παράδειγμα χρειασθεί α υποογίσουμε τη διακύμαση της τυχαίας μεταβητής που εκφράζει τη έδειξη που εμφαίζεται κατά τη ρίψη εός αμερόηπτου ζαριού, έχουμε στη διάθεσή μας και μπορούμε α χρησιμοποιήσουμε το τύπο 63 Ατίστοιχα, α χρειασθεί α υποογίσουμε το μέσο αριθμό δοκιμώ που θα απαιτηθού μέχρι α βρεθεί το εαττωματικό προϊό που υπάρχει μεταξύ 5 προϊότω Παράδειγμα 533, μπορούμε α χρησιμοποιήσουμε το τύπο 6 Στο κεφάαιο αυτό θα γωρίσουμε τέσσερα ακόμη μοτέα πιθαοτήτω που έχου μεετηθεί συστηματικά και τα σχετικά με αυτά γεικά αποτεέσματα χρησιμοποιούται και καύπτου ευρύτατο φάσμα εφαρμογώ Πρόκειται για τη καταομή Bernoull, τη διωυμική καταομή, τη καταομή Posson και τη διαδικασία Posson Θα κάουμε επίσης μια σύτομη ααφορά στη πουωυμική καταομή Άα διακριτά μοτέα πιθαοτήτω που επίσης καύπτου ευρύ φάσμα εφαρμογώ, στα οποία όμως δε θα ααφερθούμε, είαι η γεωμετρική καταομή, η αρητική διωυμική καταομή και η υπεργεωμετρική καταομή 6 Καταομή Bernoull και Διωυμική καταομή Στα προηγούμεα, στο Παράδειγμα 3α&δ, γωρίσαμε έα πού από πείραμα τύχης, ίσως το απούστερο, τη δοκιμή Bernoull Bernoull tral Πρόκειται για έα πείραμα τύχης με μόο δύο, αμοιβαίως αποκειόμεα, δυατά αποτεέσματα Το έα αποτέεσμα έχει επικρατήσει α οομάζεται επιτυχία success και το άο αποτυχία falure Το πιο «δημοφιές» στη βιβιογραφία παράδειγμα δοκιμής Bernoull είαι η ρίψη εός ομίσματος μία φορά Τα δυατά αποτεέσματα είαι προφαώς μόο δύο, «κεφαή» και «γράμματα» Α μας εδιαφέρει η έδειξη «κεφαή» χαρακτηρίζουμε επιτυχία το αποτέεσμα «κεφαή» και αποτυχία το αποτέεσμα «γράμματα» εώ α μας εδιαφέρει η έδειξη «γράμματα» χαρακτηρίζουμε επιτυχία το αποτέεσμα «γράμματα» και αποτυχία το αποτέεσμα «κεφαή» Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα Φέρει το όομα του Εβετού μαθηματικού Jacob James/Jacques Bernoull 654-75, της οικογέειας διακεκριμέω μαθηματικώ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 7

α Η επιογή εός ζώου και η εξέτασή του για α διαπιστωθεί α έχει προσβηθεί από μια συγκεκριμέη ασθέεια είαι δοκιμή Bernoull γιατί τα δυατά αποτεέσματα είαι μόο δύο: το ζώο είτε έχει προσβηθεί επιτυχία είτε δε έχει προσβηθεί αποτυχία β Η ήψη δείγματος εαιοάδου και ο έεγχος για το α είαι οθευμέο είαι δοκιμή Bernoull γιατί το εαιόαδο είτε είαι οθευμέο επιτυχία είτε δε είαι οθευμέο αποτυχία γ Η επιογή και ο έεγχος εός φυτού για το α η ξηρή μάζα του ξεπεράει τα 5gr είαι δοκιμή Bernoull γιατί το φυτό έχει ξηρή μάζα είτε μεγαύτερη από 5gr επιτυχία είτε το πού 5gr αποτυχία δ Φυτεύουμε έα σπόρο πιπεριάς και εέγχουμε α βάστησε Πρόκειται για δοκιμή Bernoull γιατί ο σπόρος είτε θα βαστήσει επιτυχία είτε δε θα βαστήσει αποτυχία ε Η επιογή και ο έεγχος εός φυτού για το α έχει ιγότερα από 6 φύα είαι δοκιμή Bernoull γιατί το φυτό έχει είτε ιγότερα από 6 επιτυχία είτε τουάχιστο 6 φύα αποτυχία στ Η επιογή εός μαθητή Α Δημοτικού και ο έεγχος της συγκέτρωσης της προσοχής του κατά τα πρώτα επτά της πρώτης ώρας του προγράμματος μπορεί με συγκεκριμέα κριτήρια α χαρακτηρισθεί είτε ικαοποιητική είτε όχι ικαοποιητική Είαι επομέως μια δοκιμή Bernoull ζ Έα άτομο που επιέγεται για α συμμετάσχει σε μια έρευα γώμης είαι είτε άδρας είτε γυαίκα Η επιογή επομέως εός ατόμου και η καταγραφή του φύου του είαι μια δοκιμή Bernoull Δοκιμή Bernoull είαι επίσης, η επιογή εός ατόμου και η υποβοή του σε έα διαγωστικό τεστ που έχει δύο δυατά αποτεέσματα είτε θετικό είτε αρητικό ή η επιογή και ο έεγχος εός εξαρτήματος για α διαπιστωθεί α είαι ετός ή εκτός προδιαγραφώ Σημείωση 6: Παρατηρείστε ότι οι δυατές τιμές της ξηρής μάζας εός φυτού στο παράδειγμα γ προφαώς δε είαι μόο δύο Το ίδιο ισχύει και για το αριθμό τω φύω εός φυτού στο παράδειγμα ε Όμως, με βάση το τι εδιαφέρει στη ατίστοιχη έρευα, ταξιομήσαμε τις δυατές τιμές σε δύο κατηγορίες-αποτεέσματα και οδηγηθήκαμε έτσι σε δοκιμές Bernoull Δοκιμή Bernoull έχουμε επίσης σε περιπτώσεις όπου, εώ τα δυατά εξαγόμεα είαι περισσότερα από δύο, μας εδιαφέρει εά συμβαίει ή δε συμβαίει, μόο έα συγκεκριμέο Για παράδειγμα, έα παιδί που επιέγεται τυχαία από τα παιδιά μιας οικογέειας μπορεί α έχει το γοότυπο ΑΑ ή όχι Επίσης, από μία τράπουα επιέγουμε τυχαία έα παιγιόχαρτο το οποίο μπορεί α είαι ή α μη είαι «άσσος σπαθί» Σε μια δοκιμή Bernoull ο αριθμός τω επιτυχιώ προφαώς είαι ή μια ή καμία ή ή Α η πιθαότητα επιτυχίας είαι και η πιθαότητα αποτυχίας είαι q, προφαώς q ή q Έστω Χ η διακριτή τυχαία μεταβητή που εκφράζει το αριθμό τω επιτυχιώ σε μια δοκιμή Bernoull με πιθαότητα επιτυχίας Η καταομή της Χ οομάζεται καταομή Bernoull Bernoull dstrbuton με παράμετρο και συμβοίζεται με b Επίσης γράφουμε ~ b Προφαώς η ~ b έχει συάρτηση πιθαότητας, f P, ή Ο γοότυπος μπορεί α είαι ΑΑ, Αα ή αα Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 8

f P,, Η μέση τιμή μ της Χ είαι μ f f και η διακύμασή της σ f f [ ] q Παρότι η δοκιμή Bernoull είαι έα πού από πείραμα, ετούτοις ή μήπως γι αυτό; βρίσκεται στο πυρήα ποώ προβημάτω με ευρύτατο φάσμα εφαρμογώ που παρουσιάζου μάιστα ιδιαίτερο εδιαφέρο και σε αρκετές περιπτώσεις ιδιαίτερες δυσκοίες στη ατιμετώπισή τους Πιο συγκεκριμέα, ποά πραγματικά προβήματα ααύοται σε μια σειρά ακοουθία δοκιμώ Bernoull και τα τεικά ερωτήματα που απορρέου από αυτά σχετίζοται με το αριθμό τω επιτυχιώ που συμβαίου Για παράδειγμα, το τεικό ερώτημα μετά τη αάυση εός τέτοιου προβήματος μπορεί α αφορά το αριθμό τω επιτυχιώ που συμβαίου σε επααήψεις μιας δοκιμής Bernoull ή το απαιτούμεο αριθμό επααήψεω μιας δοκιμής Bernoull μέχρι α συμβεί η πρώτη επιτυχία ή το απαιτούμεο αριθμό επααήψεω μιας δοκιμής Bernoull μέχρι α συμβού r επιτυχίες ή το μεγαύτερο μήκος ροής συεχόμεω επιτυχιώ σε επααήψεις μιας δοκιμής Bernoull Στη συέχεια θα ασχοηθούμε με προβήματα που ααύοται σε μια ακοουθία αεξάρτητω επααήψεω μιας δοκιμής Bernoull και που τα πιθαοθεωρητικά συμπεράσματα που μας εδιαφέρου συδέοται με το αριθμό επιτυχιώ που συμβαίου σε επααήψεις μιας δοκιμής Bernoull Ας δούμε έα τέτοιο παράδειγμα Παράδειγμα 6: Ο γεωπόος εός φυτώριου ισχυρίζεται ότι οι βοβοί τουίπας που παράγοται στο φυτώριο βαστάου σε ποσοστό 9% Έας αγρότης που είχε προμηθευθεί από το συγκεκριμέο φυτώριο μεγάο αριθμό βοβώ τουίπας θέησε α εέγξει το ισχυρισμό του γεωπόου Συγκεκριμέα, επέεξε τυχαία 5 από τους βοβούς που φύτεψε και διαπίστωσε ότι βάστησα μόο οι 38, γεγοός που του δημιούργησε αμφιβοίες για το α πράγματι ευσταθεί ο ισχυρισμός του γεωπόου Είαι άραγε, δικαιοογημέες οι αμφιβοίες του αγρότη; Απάτηση: Είαι προφαές ότι η τυχαία επιογή και ο έεγχος εός βοβού για το α βάστησε ή όχι, είαι μια δοκιμή Bernoull Η επιογή επομέως και ο έεγχος 5 βοβώ είαι μια σειρά-ακοουθία 5 δοκιμώ Bernoull Επειδή ο αγρότης εδιαφέρεται για τους βοβούς που βάστησα, είαι ογικό α οομάσουμε επιτυχία το αποτέεσμα «ο βοβός βάστησε» και αποτυχία το αποτέεσμα «ο βοβός δε βάστησε» Το ερώτημα που ογικά προκύπτει είαι το εξής: α αποδεχθούμε το ισχυρισμό του γεωπόου, πόσο ογικό-πιθαό είαι το αποτέεσμα του εέγχου που έκαε ο αγρότης; Δηαδή, με δεδομέο ότι το ποσοστό τω βοβώ που βαστάου είαι 9%, πόσο πιθαό είαι από τους 5 τυχαία επιεγμέους βοβούς α βρεθού α έχου βαστήσει οι 38; Ή αιώς, ποια είαι η πιθαότητα, σε 5 επααήψεις μιας δοκιμής Bernoull α συμβού 38 επιτυχίες, με δεδομέο ότι σε κάθε επαάηψη η πιθαότητα επιτυχίας είαι ίση με 9 Πρέπει α σημειώσουμε ότι σωστά θεωρήσαμε ότι σε κάθε επαάηψη της δοκιμής Bernoull η πιθαότητα επιτυχίας παραμέει σταθερή και ίση με 9 γιατί ο αριθμός τω βοβώ που εξετάζοται είαι πού μικρός σε σχέση με το αριθμό τω βοβώ που φυτεύτηκα και επομέως, παρότι η δειγματοηψία γίεται χωρίς επαάθεση, η πιθαότητα αυτή πρακτικά δε αάζει Είαι επίσης ογικό α θεωρήσουμε ότι δε Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 9

επηρεάζεται/εξαρτάται καθοιοδήποτε τρόπο το αποτέεσμα οποιασδήποτε δοκιμής από το αποτέεσμα προηγούμεω δοκιμώ Το γεικότερο ερώτημα που τίθεται είαι το εξής: Α Χ ο αριθμός τω επιτυχιώ σε μια ακοουθία αεξάρτητω δοκιμώ Bernoull με σταθερή πιθαότητα επιτυχίας σε όες τις δοκιμές, πώς μπορούμε α υποογίσουμε τις πιθαότητες P,,,,, Στα προηγούμεα ξααδείτε τη Πρόταση 45δ, δείξαμε ότι οι πιθαότητες αυτές δίοται από το τύπο P,,,,, Έτσι, α συμβοίσουμε με Χ το αριθμό τω βοβώ που βαστάου από τους 5, τότε 5 38 4 P 38 9 9 3 38 Δηαδή, με τη υπόθεση ότι αηθεύει ο ισχυρισμός του γεωπόου, η πιθαότητα α βαστήσου μόο 38 από τους 5 βοβούς είαι πού μικρή περίπου μηδεική Oι αμφιβοίες επομέως του αγρότη φαίεται ότι έχου βάση 3 Ασφαώς ο αγρότης δε υποόγισε τη πιθαότητα P 38, απώς υποόγισε το 9% του 5 που είαι 468 και έτσι περίμεε από τους 5 βοβούς α έχου βαστήσει περίπου οι 47 Ας δώσουμε τώρα το ορισμό της διωυμικής καταομής 4 : Ορισμός 6 Διωυμική καταομή: Α Χ ο αριθμός τω επιτυχιώ σε μια ακοουθία αεξάρτητω δοκιμώ Bernoull με σταθερή πιθαότητα επιτυχίας σε όες τις δοκιμές, τότε η καταομή της τυχαίας μεταβητής Χ οομάζεται διωυμική καταομή bnomal dstrbuton με παραμέτρους και και συμβοίζεται με B, Επίσης, γράφουμε ~ B, Όπως ήδη ααφέραμε, η συάρτηση πιθαότητας της διωυμικής καταομής με παραμέτρους και δίεται από το τύπο f P,,,,, Παρατηρείστε, ότι η f έχει πράγματι τις ιδιότητες μιας συάρτησης πιθαότητας Προφαώς είαι μη αρητική συάρτηση και επίσης f [ ] αφού οι πιθαότητες τω τιμώ,,,,, της Χ είαι οι όροι του διωυμικού ααπτύγματος [ ] θυμηθείτε το τύπο του Νεύτωα 5 Έτσι εξηγείται και το όομα της διωυμικής καταομής 3 Περισσότερα επ αυτού στη στατιστική συμπερασματοογία 4 Τη διωυμική καταομή πρώτοι μεέτησα ο De Movre 667-754 και ο Jacob Bernoull 654-75 5 Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ότι α β α β,,, Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 3

Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 3 Πρόταση 6: H μέση τιμή και η διακύμαση της διωυμικής καταομής με παραμέτρους και, είαι ατίστοιχα μ και q σ Aπόδειξη: Η διωυμική καταομή ορίσθηκε ως άθροισμα αεξάρτητω τυχαίω μεταβητώ που η κάθε μια ακοουθεί μια καταομή Bernoull με τη ίδια παράμετρο Πράγματι, α,,,,, αεξάρτητες τυχαίες μεταβητές με,,,, ~ b τότε, ~ B K Επειδή όπως δείξαμε,,,,, από τη Πρόταση 535 έχουμε μ K K ό ροι 4 43 4 4 K Επίσης, όπως δείξαμε q Var,,, και επειδή οι τμ,,, K είαι αεξάρτητες, από τη Πρόταση 55 έχουμε σ Var Var Var Var Var K K q q q q ό ροι 44 4 3 4 4 K Ας δούμε και μια διαφορετική απόδειξη ως έα παράδειγμα για το πώς μπορούμε α χρησιμοποιήσουμε τη παραγοτική ροπή ης τάξης, ] [, για α υποογίσουμε τη Από το τύπο ορισμού της μέσης τιμής έχουμε f μ και επειδή!!!!!! παίρουμε μ y y y y ] [ Για α υποογίσουμε τη διακύμαση Var σ θα χρησιμοποιήσουμε το τύπο μ σ και τη ροπή ης τάξης θα τη υποογίσουμε μέσω της παραγοτικής ροπής ης τάξης από το τύπο ] [ Για τη παραγοτική ροπή ης τάξης ] [ έχουμε f ] [ και επειδή

!!!!!! παίρουμε [ ] y y y y άρα [ ] Η διακύμαση επομέως είαι σ μ Έτσι, στο Παράδειγμα 6 η μέση τιμή, η διακύμαση και η τυπική απόκιση της τυχαίας μεταβητής ~ B5, 9 είαι ατίστοιχα μ 5 9 468, σ 5 9 4 68 και σ 4 68 6 Σχόιο 6 για τη διακύμαση της διωυμικής καταομής: Α τη διακύμαση σ, της διωυμικής τυχαίας μεταβητής ~ B, τη δούμε ως συάρτηση, έστω h, του με h, παρατηρούμε ότι στο διάστημα [, ], είαι αύξουσα συάρτηση του εώ στο διάστημα [,] είαι φθίουσα συάρτηση του και παρουσιάζει μέγιστο για Σχήμα 6 Σχήμα 6 Η διακύμαση της διωυμικής καταομής ως συάρτηση της παραμέτρου Δηαδή, η διακύμαση εαττώεται όσο το πησιάζει το ή το και μεγιστοποιείται για Αυτό, είαι άραγε ογικό; Πρι απατήσετε δείτε τα Σχήματα 6 όπου φαίεται η συάρτηση πιθαότητας της διωυμικής καταομής για 8 και, 5, 75, 95 α β Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 3

γ δ Σχήμα 6 H συάρτηση πιθαότητας της διωυμικής καταομής για 8 και, 5, 75, 95 Aς δούμε έα ακόμη παράδειγμα υποογισμού πιθαοτήτω μιας διωυμικής τυχαίας μεταβητής Παράδειγμα 6: Μια βιομηχαία κατασκευάζει μεταικά εάσματα για α ατέχου σε συγκεκριμέη καταπόηση Σύμφωα με τις προδιαγραφές παραγωγής, κάθε τέτοιο έασμα ατέχει στη συγκεκριμέη καταπόηση με πιθαότητα 8 Επιέγουμε τυχαία 9 τέτοια εάσματα και τα υποβάουμε στη συγκεκριμέη καταπόηση Ποια είαι η πιθαότητα α ατέξου α το πού εάσματα β περισσότερα από 7 εάσματα γ τουάχιστο εάσματα και δ ιγότερα από 6 και τουάχιστο 4 εάσματα Απάτηση: Έστω Χ ο αριθμός τω εασμάτω που θα ατέξου τη καταπόηση από τα 9 που θα εεγχθού Προφαώς 6, ~ B9, 8 και επομέως για τις ζητούμεες πιθαότητες έχουμε α P P P P 9 9 9 8 9 7 8 8 8 3 9 8 9 9 β P > 7 P 8 P 9 8 8 4367 8 9 γ P P < P P 9 99998 9 4 5 9 5 4 δ P 4 < 6 P 4 P 5 8 8 85754 4 5 Σημείωση 6: Είαι προφαές, ότι ότα το είαι μεγάο και το όχι πού κοτά στο ή το, οι διωυμικοί συτεεστές που εμφαίζοται στο τύπο P,,,,, παίρου μεγάες τιμές με συέπεια α γίεται προβηματικός ο υποογισμός τω πιθαοτήτω Έας τρόπος ατιμετώπισης του προβήματος είαι ο υποογισμός τω πιθαοτήτω μέσω ααδρομικού τύπου Πράγματι, εύκοα αποδεικύεται 7 ο ακόουθος ααδρομικός τύπος 6 Τι υποθέσεις πρέπει α κάουμε; 7 Η απόδειξη του ααδρομικού τύπου είαι πού απή: Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 33

Για τις πιθαότητες, P,, K, της τυχαίας μεταβητής ~ B, ισχύει P P με αρχική συθήκη P Έτσι, α υποογίσουμε τη πιθαότητα P, μπορούμε μέσω αυτού του ααδρομικού τύπου α υποογίσουμε όες τις πιθαότητες P, P, K, P χωρίς α χρειασθεί α υποογίσουμε τους ατίστοιχους διωυμικούς συτεεστές Ας δούμε έα παράδειγμα Έστω ~ B5, 3 Η πιθαότητα P 3 υποογίζεται ως εξής: P 7 5 68 5 3 P 68 36 3 5 3 P 36 39 3 5 3 3 P 3 39 3 3 3 μέσω του ααδρομικού τύπου Είαι βέβαια φαερό ότι αυτή η μέθοδος υποογισμού τω πιθαοτήτω έχει το μειοέκτημα ότι για α υποογίσουμε μια συγκεκριμέη πιθαότητα P που μας εδιαφέρει, πρέπει α προηγηθεί ο υποογισμός τω πιθαοτήτω P, P, K, P Έτσι, όσο αυξάει το, αυξάει δυστυχώς και ο αριθμός τω πιθαοτήτω που πρέπει α υποογισθού Στη συέχεια, ότα θα μιήσουμε για τη καταομή Posson και τη καοική καταομή, θα δούμε και άο τρόπο ατιμετώπισης τω δυσκοιώ υποογισμού στις περιπτώσεις που υπάρχου τω πιθαοτήτω της διωυμικής τυχαίας μεταβητής 8 Σημείωση 63 η πιο πιθαή τιμή μιας διωυμικής τμ: Α ~ B,, άραγε από τις τιμές,,,, που μπορεί α πάρει η Χ, ποια είαι η πιο πιθαή Παρατηρείστε στα Σχήματα 6 ότι όσο οι τιμές της Χ αυξάου από το στο, οι ατίστοιχες πιθαότητες P,,, K,, μέχρι έα σημείο ας το συμβοίσουμε με αυξάου και στη συέχεια φθίου Πράγματι έτσι είαι Ας το αποδείξουμε και ας προσδιορίσουμε αυτή τη τιμή της Χ Από το ααδρομικό τύπο που αποδείξαμε προηγουμέως προκύπτει ότι P P Δηαδή P > P α και μόο α! P!! P!!! 8 Οι δυσκοίες υποογισμώ, δε ύθηκα με τη χρήση Η/Υ Και στους υποογιστές τίθεται σχετικά ζητήματα όπως, απαιτούμεου υποογιστικού χρόου, μήμης κτ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 34

> ή < Αυτό σημαίει ότι: α Ότα το γιόμεο δε είαι ακέραιος αριθμός, η πιο πιθαή τιμή της Χ είαι το ακέραιο μέρος του, δηαδή [ ] διότι οι πιθαότητες P αυξάου γησίως για [ ] και φθίου γησίως για [ ] β Ότα το γιόμεο είαι ακέραιος αριθμός, οι πιθαότητες P αυξάου γησίως για και φθίου γησίως για Και επειδή P[ ] P[ ], στη περίπτωση αυτή, οι τιμές της Χ με τη μεγαύτερη πιθαότητα είαι δύο και Συοψίζοτας, ότα το γιόμεο δε είαι ακέραιος αριθμός, η πιο πιθαή τιμή της ~ B, είαι το ακέραιο μέρος του, δηαδή, [ ] εώ ότα το γιόμεο είαι ακέραιος αριθμός, οι πιο πιθαές τιμές είαι δύο, η και η Έτσι, στο Παράδειγμα 6, επειδή το γιόμεο 53 9 47 7 δε είαι ακέραιος, η πιο πιθαή τιμή του αριθμού Χ τω βοβώ από τους 5 που βαστάου είαι η [477] 47 Δηαδή ο αγρότης σωστά αέμεε αυτή τη τιμή ως τη πιο πιθαή! Στο Παράδειγμα 6, επειδή το γιόμεο 8 8 είαι ακέραιος, οι τιμές με τη μεγαύτερη πιθαότητα είαι δύο: η 8 και η 7 Δείτε επίσης τη τιμή με τη μεγαύτερη πιθαότητα σε κάθε μια από τις τέσσερις διωυμικές καταομές που φαίοται στα Σχήματα 6 Επιβεβαιώστε/επαηθεύστε ότι πράγματι τα προηγούμεα συμπεράσματα ισχύου Δείτε τη Άσκηση 6 και θυμηθείτε τη σχέση Πιθαοτήτω και Στατιστικής που συζητήσαμε στο ο Κεφάαιο Ξαασκεφθείτε επίσης, το Παράδειγμα 6 Άσκηση 6: Ρίχουμε έα όμισμα φορές Α η έδειξη «γράμματα» έρθει από 3 έως το πού 7 φορές, δεχόμαστε ότι το όμισμα είαι αμερόηπτο, εώ σε κάθε άη περίπτωση θεωρούμε το όμισμα μεροηπτικό α Να υποογίσετε τη πιθαότητα α θεωρήσουμε ότι το όμισμα είαι μεροηπτικό, εώ στη πραγματικότητα είαι αμερόηπτο πιθαότητα σφάματος τύπου Ι β Να υποογισθεί η πιθαότητα α θεωρήσουμε ότι το όμισμα είαι αμερόηπτο ότα είαι μεροηπτικό με πιθαότητα εμφάισης της έδειξης «γράμματα» ίση με 7 πιθαότητα σφάματος τύπου ΙΙ 7 7 Απάτηση: α β 7 3 65 3 3 6 Πουωυμική καταομή Στη πουωυμική δοκιμή έχουμε ήδη ααφερθεί ότα μιήσαμε για τα αεξάρτητα πειράματα Αποτεεί μια ευθεία και εύογη γείκευση της δοκιμής Bernoull Είαι έα πείραμα με k αμοιβαίως αποκειόμεα δυατά αποτεέσματα και όχι κατ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 35

αάγκη μόο δύο όπως συμβαίει σε μια δοκιμή Bernoull Ατίστοιχα, η πουωυμική καταομή αποτεεί γείκευση της διωυμικής καταομής και ορίζεται ως εξής Έστω έα πείραμα τύχης που αποτεείται από αεξάρτητες πουωυμικές δοκιμές, όπου σε κάθε δοκιμή τα δυατά αποτεέσματα είαι k, έστω r, r, K, rk, και η πιθαότητα α εμφαισθεί το αποτέεσμα r,,, K, k σε μια οποιαδήποτε δοκιμή είαι Α,, K, k τυχαία μεταβητή που εκφράζει πόσες φορές εμφαίσθηκε το αποτέεσμα r στις αεξάρτητες επααήψεις της πουωυμικής δοκιμής, τότε η τυχαία μεταβητή,, K, έμε ότι ακοουθεί τη k πουωυμική καταομή olynomal dstrbuton με παραμέτρους,,, K, και συμβοίζεται με M,,, K, k Επίσης, γράφουμε,, K, ~ M,,, K, k k Αποδεικύεται δες Πρόταση 453 ότι! P,, K, k k!! K! με k και k k K Δηαδή, η πιθαότητα, στις αεξάρτητες πουωυμικές δοκιμές α εμφαισθού αποτεέσματα r, αποτεέσματα r, και k αποτεέσματα r k είαι ίση με! k K k!! K k! Επίσης, αποδεικύεται ότι για κάθε,, K, k είαι, δηαδή, για κάθε εδεχόμεο αποτέεσμα r, η ααμεόμεη συχότητα εμφάισής του στις δοκιμές είαι Επίσης, για κάθε,, K, k είαι V Α σκεφθούμε τις δοκιμές ως δοκιμές Bernoull με «επιτυχία» το εδεχόμεο αποτέεσμα r και «αποτυχία» όα τα υπόοιπα, τότε προφαώς ~ B, και επομέως και Var Ας δούμε δύο παραδείγματα Παράδειγμα 6: Σύμφωα με έα μοτέο κηροομικότητας, οι τρεις τύποι απογόω Α, Β και Γ που προκύπτου από μια ορισμέη διασταύρωση πειραματόζωω, βρίσκοται σε ααογία 9:3:4, ατίστοιχα Α στο παίσιο εός πειράματος προέκυψα από μια τέτοια διασταύρωση 64 απόγοοι, πόσοι ααμέεται α είαι τύπου Α, πόσοι τύπου Β και πόσοι τύπου Γ; Απάτηση: Η ταξιόμηση εός απογόου σε ακριβώς μια από τρεις κατηγορίες τύπος Α, τύπος Β, τύπος Γ είαι μια πουωυμική δοκιμή με k 3 δυατά αποτεέσματα Πρόκειται επομέως για έα πείραμα που αποτεείται από 64 πουωυμικές δοκιμές η κάθε μια από τις οποίες έχει k 3 δυατά αποτεέσματα: τύπος Α, τύπος Β, τύπος Γ Η πιθαότητα πραγματοποίησης καθεός από τα τρία δυατά αποτεέσματα είαι ατίστοιχα, 9 6, 3 6 και 3 4 6 Έστω,,, 3 τυχαίες μεταβητές που ατίστοιχα εκφράζου πόσες φορές στις 64 επααήψεις εμφαίσθηκε απόγοος τύπου Α, τύπου Β και τύπου Γ k k k Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 36

Οι ααμεόμεες τιμές τω,,, 3 στις 64 επααήψεις της πουωυμικής δοκιμής είαι ατίστοιχα 649 6 36, 643 6 και 3 644 6 6 Δηαδή, σύμφωα με το μοτέο κηροομικότητας, από τους 64 απογόους οι 36 ααμέεται α είαι τύπου Α, οι τύπου Β και οι 6 τύπου Γ Στο Β Μέρος θα δούμε πώς αξιοποιούμε τις ααμεόμεες τιμές,, K, k, για α κάουμε Χ στατιστικούς εέγχους Παράδειγμα 6: Από τους άδρες ηικίας 8-4 ετώ που κατοικού σε συγκεκριμέη περιοχή, ποσοστό 87% έχει συστοική πίεση μικρότερη από 4mmHg, ποσοστό % έχει συστοική πίεση μεγαύτερη ή ίση από 4 αά μικρότερη από 6mmHg και ποσοστό % έχει συστοική πίεση μεγαύτερη ή ίση από 6mmHg Επιέγουμε τυχαία άδρες ηικίας 8-4 ετώ από τη συγκεκριμέη περιοχή και μετράμε τη συστοική τους πίεση Ποια είαι η πιθαότητα έξι από αυτούς α έχου συστοική πίεση μικρότερη από 4mmHg, τρεις α έχου συστοική πίεση μεγαύτερη ή ίση από 4 αά μικρότερη από 6mmHg και έας μεγαύτερη ή ίση από 6mmHg; Απάτηση: Έστω Υ η τυχαία μεταβητή που εκφράζει τη συστοική πίεση τω αδρώ ηικίας 8-4 ετώ που κατοικού στη συγκεκριμέη περιοχή Οι τιμές της Υ ταξιομούται/κατατάσσοται σε τρεις κατηγορίες/κάσεις, [,4, [ 4,6 και [ 6, Επομέως, παρότι η Υ δε είαι μια ποιοτική μεταβητή, η ταξιόμηση μιας οποιασδήποτε τιμής της σε μία από τις τρεις αυτές κάσεις, αποτεεί μια πουωυμική δοκιμή με k 3 δυατά αποτεέσματα: μια οποιαδήποτε τιμή της Υ είτε θα αήκει στη κάση [,4, είτε στη [ 4,6, είτε στη [ 6, Έτσι, το πρόβημα που μεετάμε είαι έα πρόβημα πουωυμικώ δοκιμώ η κάθε μια από τις οποίες έχει k 3 δυατά αποτεέσματα: η συστοική πίεση εός τυχαία επιεγμέου άδρα είτε θα αήκει στη κάση [,4 είτε στη κάση [ 4,6 είτε στη κάση [ 6, Έστω,,, 3 τυχαία μεταβητή που εκφράζει πόσες φορές στις επααήψεις εμφαίσθηκε τιμή της Υ που αήκει, ατίστοιχα, στη κάση [,4, [ 4,6, [ 6, Προφαώς ζητάμε τη πιθαότητα P 6, 3, 3 Α,,, 3, η πιθαότητα μια τυχαία τιμή της Υ α αήκει, ατίστοιχα, στη κάση [,4, [ 4,6, [ 6,, α δηαδή, P Y < 4, P4 Y 6 και P Y 6 τότε < 3! 6 3 P 6, 3, 3 3 6!3!! και επειδή δίεται ότι P Y < 4 87, P4 Y < 6 και 3 P Y 6 έχουμε! 6 3 P 6, 3, 3 87 63 6!3!! Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 37

63 Καταομή και διαδικασία Posson Σε μια κτηοτροφική περιοχή υπάρχου 3 αιγοπρόβατα Κάθε χρόο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζοται για προστασία από μια συγκεκριμέη ασθέεια Σύμφωα 5 με τη άδεια χορήγησης του εμβοίου, υπάρχει πού μικρή πιθαότητα, ίση με, το εμβόιο α προκαέσει μια πού σοβαρή παρεέργεια που οδηγεί στο θάατο του ζώου που εμβοιάζεται Μας εδιαφέρει α βρούμε τη πιθαότητα, στη συγκεκριμέη περιοχή, α πεθάου σε έα έτος ζώα από τη παρεέργεια που προκαεί ο εμβοιασμός Είαι προφαές 9 ότι ο αριθμός Χ τω ζώω που πεθαίου από το εμβοιασμό στη συγκεκριμέη περιοχή σε έα έτος είαι διωυμική τυχαία μεταβητή με 5 ~ B3, Εδιαφερόμαστε για τις πιθαότητες P, όπου,,,3 Έτσι, για τη πιθαότητα σε έα έτος α μη υπάρξου θάατοι ζώω από το εμβοιασμό έχουμε 3 5 5 3 3 P 99998 4786 και για τη πιθαότητα σε έα έτος α υπάρξου ακριβώς θάατοι από το εμβοιασμό έχουμε P 3 5 3 99999 99998 3!! 99998! 99998 5 99998 99998 99998 44665 Ήδη από αυτά τα δύο αριθμητικά παραδείγματα φαίεται ότι για τιμές τω παραμέτρω της διωυμικής καταομής όπως αυτές του προβήματός μας ο τύπος της συάρτησης πιθαότητάς της δε είαι πού πρακτικός για το υποογισμό πιθαοτήτω ιδιαίτερα χωρίς υποογιστική μηχαή Μάιστα, για τιμές που δε είαι κοτά στο ή το το πρόβημα γίεται μεγάο Η πιθαότητα, για παράδειγμα, σε έα έτος α υπάρξου ακριβώς 5 θάατοι από το εμβοιασμό είαι 3 5 5 5 99985 P 5 5 3! 5 99985 99998 5! 99985! 99986 99987 3 5 99985 99998 89 3 5 Οι δυσκοίες αυτές ααγωρίσθηκα από πού ωρίς Ο Γάος μαθηματικός Smeon Dens Posson 78-84 ααζήτησε τρόπο ατιμετώπισης του προβήματος και το 837 δημοσίευσε το παρακάτω ετυπωσιακό για τη εποχή του οριακό θεώρημα Θεώρημα 63 οριακό θεώρημα Posson: Έστω ότι η τυχαία μεταβητή Χ ακοουθεί τη διωυμική καταομή B, με συάρτηση πιθαότητας P,,,,, Α για το έτσι ώστε η μέση τιμή της Χ α συγκίει προς μια θετική σταθερά, δηαδή, έτσι ώστε, τότε 9 Με τη υπόθεση ότι κάθε ζώο έχει τη ίδια πιθαότητα α πεθάει από το εμβοιασμό Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 38

lm e,,,,! Πού αργότερα παρατηρήθηκε ότι η συάρτηση με τύπο f e,,,,! που εισάγεται με το οριακό θεώρημα του Posson, έχει τις ιδιότητες μιας συάρτησης πιθαότητας Πράγματι, προφαώς είαι μη αρητική συάρτηση και επίσης f e! αφού είαι γωστό ότι e! και επομέως e e e e! Ορίσθηκε έτσι, η καταομή Posson! Ορισμός 63 Η καταομή Posson: Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβητή με συάρτηση πιθαότητας f P e,,,,! όπου > Η καταομή της τυχαίας μεταβητής Χ οομάζεται καταομή Posson με παράμετρο και συμβοίζεται με P Δηαδή, η καταομή Posson ορίσθηκε γεήθηκε ως οριακή καταομή της διωυμικής Έτσι, η διωυμική καταομή προσεγγίζεται από τη καταομή Posson a για μεγάο θεωρητικά, η πιθαότητα επιτυχίας συγκίει στο έτσι ώστε η μέση τιμή της α συγκίει σε μια θετική σταθερά Πρακτικά όμως, πόσο μεγάο πρέπει α είαι το και πόσο μικρό το για α είαι ικαοποιητική η προσέγγιση; Έχει παρατηρηθεί ότι α και ώστε η μέση τιμή α παίρει μέτριες τιμές στη πράξη, μικρότερες του, η ακρίβεια της προσέγγισης είαι ικαοποιητική Στα Σχήματα 63 φαίεται γραφικά η σύγκιση της διωυμικής καταομής B, στη καταομή Posson με ότα,,, και,,, ατίστοιχα Παρατηρείστε ότι για και η προσέγγιση είαι τέεια Το 889, από το Ρωσο-Γερμαό μαθηματικό LV Bortrewcz Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 39

α β γ δ Σχήμα 63 Σύγκιση της διωυμικής καταομής B, στη καταομή Posson P Ως παράδειγμα εφαρμογής τω παραπάω ας δούμε πάι το εισαγωγικό πρόβημα Επειδή 3 και 3 3 μπορούμε α υποογίσουμε πού πιο εύκοα τις ζητούμεες πιθαότητες α χρησιμοποιήσουμε τη προσέγγιση της διωυμικής καταομής B 3, από τη καταομή Posson με παράμετρο 3 6 Έτσι έχουμε P e 6 6,!,,, Άρα 6 6 P e 4788! 6 6 P e 44676! 5 6 6 P 5 e 893 5! Πρόταση 63: H μέση τιμή και η διακύμαση της καταομής Posson με παράμερο, ατίστοιχα είαι μ και σ Var Απόδειξη: Από το τύπο ορισμού της μέσης τιμής έχουμε μ f e e e e!!! Για α υποογίσουμε τη διακύμαση σ Var θα χρησιμοποιήσουμε το τύπο Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 4 e

σ μ όπου τη ροπή ης τάξης θα τη υποογίσουμε μέσω της παραγοτικής ροπής ης τάξης από το τύπο [ ] Για τη παραγοτική ροπή ης τάξης [ ] έχουμε [ ] f e e!! e e e! άρα [ ] Η διακύμαση επομέως της Χ είαι σ μ Ερώτηση: Είαι άραγε ααμεόμεο ογικό η μέση τιμή της καταομής Posson α είαι ίση με τη διακύμαση της ; Σημείωση 63: α Όπως και στη διωυμική καταομή, εύκοα αποδεικύεται ο παρακάτω ααδρομικός τύπος υποογισμού τω πιθαοτήτω P,,,, μιας Posson τυχαίας μεταβητής Χ Για τις πιθαότητες P,,,, της τυχαίας μεταβητής ~ P ισχύει P P με αρχική συθήκη P e β Εύκοα επίσης αποδεικύεται ότι η πιο πιθαή τιμή της ~ P είαι η [ ] ότα ο θετικός αριθμός δε είαι ακέραιος, εώ ότα είαι ακέραιος οι τιμές της Χ με τη μεγαύτερη πιθαότητα είαι δύο: η και η Η καταομή Posson ως οριακή καταομή της διωυμικής καταομής έχει, όπως και η διωυμική, μεγάο εύρος εφαρμογώ σε διάφορες επιστημοικές περιοχές Πιο συγκεκριμέα, χρησιμοποιείται για τη μοτεοποίηση «διωυμικώ καταστάσεω» όπου εδιαφέρει ο αριθμός εμφαίσεω σπάιω εδεχομέω σε μεγάους πηθυσμούς δη ότα σε κάθε επαάηψη, η πιθαότητα επιτυχίας είαι πού μικρή και ο αριθμός επααήψεω πού μεγάος Γι αυτό το όγο, στη βιβιογραφία συατάται και ως καταομή τω σπάιω εδεχομέω dstrbuton of rare events Ας δούμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα τυχαίω μεταβητώ που ακοουθού τη καταομή Posson Ο αριθμός Χ τω τροχαίω ατυχημάτω σε έα τμήμα με μεγάη κυκοφορία του οδικού δικτύου μιας χώρας στη διάρκεια εός Σαββατοκύριακου ή μιας ημέρας, ή μιας εβδομάδας, ή εός μήα κτ Με τη υπόθεση ότι κάθε αυτοκίητο που περάει από το συγκεκριμέο σημείο έχει τη ίδια πιθαότητα α εμπακεί σε τροχαίο ατύχημα, η Χ ακοουθεί μια B, Επειδή ο αριθμός Είαι Θυμηθείτε τη μέση τιμή και τη διακύμαση της διωυμικής και παρατηρείστε ότι ότα συγκίει στη Posson το - είαι περίπου Ααφέρεται επίσης ως όμος τω μικρώ αριθμώ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 4

τω αυτοκιήτω που διέρχοται από το συγκεκριμέο σημείο στη διάρκεια εός Σαββατοκύριακου είαι μεγάος και η πιθαότητα ατυχήματος επιτυχίας! είαι πού μικρή 3, η καταομή της Χ προσεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καταομή Posson με Η παράμετρος εκφράζει το μέσο αριθμό ατυχημάτω στο συγκεκριμέο σημείο στη διάρκεια εός Σαββατοκύριακου και στη πράξη συήθως εκτιμάται εμπειρικά από στατιστικά στοιχεία Ο αριθμός Χ τω τυπογραφικώ αθώ σε μια δακτυογραφημέη σείδα ή σε έα σύοο σείδω Όπως και στο προηγούμεο παράδειγμα πρόκειται για διωυμική καταομή B, Επειδή το είαι μεγάο ποά γράμματα στο κείμεο και η πιθαότητα τυπογραφικού άθους επιτυχίας! είαι μικρή 4 η καταομή του αριθμού τω τυπογραφικώ αθώ αά σείδα προσεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καταομή Posson με Η παράμετρος εκφράζει το μέσο αριθμό τυπογραφικώ αθώ αά σείδα και όπως ααφέραμε και στο προηγούμεο παράδειγμα, στη πράξη συήθως εκτιμάται εμπειρικά 3 Ο αριθμός Χ τω κήσεω στο hel desk εός μεγάου Internet rovder σε μια ημέρα ή σε μια ώρα, ή σε μια εβδομάδα κτ 4 Ο αριθμός Χ τω βαβώ μιας μηχαής σε μια ημέρα ή σε μια εβδομάδα κτ 5 Ο αριθμός Χ τω εργατικώ ατυχημάτω που συμβαίου σε μια ημέρα σε συγκεκριμέη βιομηχαική ζώη 6 Ο αριθμός Χ τω ατόμω εός πηθυσμού που ζου περισσότερα από χρόια 7 Ο αριθμός Χ τω παιδιώ εός πηθυσμού που θα γίου ψηότερα από 95μέτρα 8 Ο αριθμός Χ τω βακτηριδίω σε cm εός τρυβίου Petr 9 Ο αριθμός Χ τω πεατώ εός suer market σε μια ημέρα, που θα αγοράσου σοκοατάκια για σκύους Ο αριθμός Χ τω εαττωματικώ προϊότω που παράγοται από μια συγκεκριμέη γραμμή παραγωγής σε ορισμέο χροικό διάστημα Ο αριθμός Χ τω αθασμέω τηεφωικώ κήσεω άος αριθμός πηκτροογείται και άος καείται σε μια ημέρα Επίσης, ο αριθμός Χ τω τηεφωικώ κήσεω που φθάου σε έα τηεφωικό κέτρο σε μια συγκεκριμέη χροική περίοδο Ο αριθμός Χ τω φυσαίδω σε υαοπίακα συγκεκριμέης επιφάειας 3 Ο αριθμός Χ τω θαάτω σε μια πόη από μια σπάια ασθέεια σε έα μήα 4 Ο αριθμός Χ τω πεατώ που φθάου σε έα κέτρο εξυπηρέτησης τράπεζα, ταχυδρομικό γραφείο, κατάστημα κτ σε μια ημέρα ή σε μια ώρα, ή σε μια εβδομάδα, κτ 5 Ο αριθμός Χ τω επιβατώ μιας αεροπορικής πτήσης που εώ έχου κάει κράτηση θέσης δε εμφαίζοται τη ώρα ααχώρησης 6 Ο αριθμός Χ τω α-σωματίω που εκπέμποται από ραδιεεργό υικό σε συγκεκριμέο χροικό διάστημα 7 Ο αριθμός Χ τω σεισμώ μεγέθους μεγαύτερου τω 55 βαθμώ της κίμακας Rchter που συμβαίου σε μια σεισμογόο περιοχή σε έα έτος 8 Ο αριθμός Χ τω εαττωματικώ σημείω που υπάρχου σε συγκεκριμέο μήκος καωδίου 9 Ο αριθμός Χ τω βακτηριδίω σε διάυμα συγκεκριμέου όγκου Ο αριθμός Χ τω αστεριώ σε μια γααξιακή περιοχή συγκεκριμέου όγκου Ο αριθμός Χ τω προβημάτω ρωγμές και ακκούβες στο οδόστρωμα εός εθικού δρόμου αά Km Ως τεευταίο παράδειγμα ααφέρουμε εφαρμογές στη χωροδιάταξη satal attern φυτώ, ζώω κτ που είαι τυχαία διασκορπισμέα σε μια μεγάη έκταση 3 Φοβάμαι ότι θιβερή εξαίρεση αποτεεί η Εάδα με τους οδηγούς της και τους δρόμους της!! 4 Εκτός α η δακτυογράφος έχει πρόβημα Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 4

ώστε κάθε δειγματοηπτική μοάδα τετράγωο «μικρού» εμβαδού α έχει πού μικρή πιθαότητα α «φιοξεήσει» έα φυτό ή ζώο Όπως φαίεται από τα παραπάω παραδείγματα, η καταομή Posson βρίσκει εφαρμογή και σε περιπτώσεις όπου σε έα τυχαίο πείραμα μας εδιαφέρει πόσες φορές εμφαίζεται έα εδεχόμεο σε χροικό διάστημα t ή σε μήκος t ή σε επιφάεια t ή σε όγκο t Αυτό συμβαίει διότι και οι περιπτώσεις αυτές, ότα ικαοποιούται τρεις συγκεκριμέες συθήκες 5, είαι «διωυμικές καταστάσεις» με πού μεγάο και πού μικρό Οι συθήκες αυτές για τη περίπτωση χροικού διαστήματος είαι οι εξής 6 : Σ Η πιθαότητα α εμφαισθεί το εδεχόμεο σε έα μικρό χροικό διάστημα μια φορά είαι αάογη του μήκους του Σ Η πιθαότητα α εμφαισθεί το εδεχόμεο δύο ή περισσότερες φορές σε έα μικρό χροικό διάστημα είαι αμεητέα Σ3 Οι εμφαίσεις του εδεχομέου σε δύο ξέα χροικά διαστήματα είαι αεξάρτητα εδεχόμεα Υποθέτουμε επίσης ότι οι συθήκες του πειράματος παραμέου αμετάβητες στο χρόο, το χώρο, κτ Η εξήγηση, διαισθητικά, γιατί υπό τις συθήκες Σ, Σ και Σ3, οι περιπτώσεις αυτές είαι «διωυμικές καταστάσεις» με πού μεγάο και πού μικρό είαι σχετικά απή 7 Με βάση τα προηγούμεα, είαι φαερό ότι για κάθε t έχουμε μια τυχαία μεταβητή t που εκφράζει πόσες φορές εμφαίσθηκε το εδεχόμεο σε διάστημα t Πρόκειται δηαδή για μια οικογέεια τυχαίω μεταβητώ { t, t } η οποία οομάζεται στοχαστική διαδικασία αέιξη Posson Posson stochastc rocess Για τη συάρτηση πιθαότητας της t, όπως προηγουμέως ααφέραμε, αποδεικύεται ότι: Α έα εδεχόμεο εμφαίζεται σε χροικό διάστημα t ή σε μήκος t ή σε επιφάεια t ή σε όγκο t έτσι ώστε α ικαοποιούται οι συθήκες Σ, Σ και Σ3, τότε υπάρχει έας θετικός αριθμός τέτοιος ώστε η καταομή του αριθμού t τω εμφαίσεω του εδεχομέου σε χροικό διάστημα t ή σε μήκος t ή σε επιφάεια t ή σε όγκο t, α δίεται από το τύπο t t P t e,,,,! Δηαδή, η t ακοουθεί τη καταομή Poson με μέση τιμή t Το εκφράζει το μέσο αριθμό εμφαίσεω του εδεχομέου στη μοάδα του χρόου ή μήκους ή επιφάειας ή όγκου ή αιώς το ρυθμό εμφάισης του εδεχομέου Στη πράξη, το εκτιμάται εμπειρικά από στατιστικά στοιχεία Παράδειγμα 63: Στο hel desk εός μεγάου Internet rovder φθάου αιτήματα πεατώ με ρυθμό 3 αιτήματα αά επτό Ποια είαι η πιθαότητα α σε έα επτό α 5 που είαι αρκετά απές και φυσιοογικές-ογικές 6 Αάογα διατυπώοται για μήκος, επιφάεια ή όγκο 7 Α χωρίσουμε το διάστημα [, t σε υποδιαστήματα ίδιου πάτους t t όπου πού μεγάο ώστε, η συθήκη Σ εξασφαίζει ότι πρόκειται για δοκιμές Bernoull και οι Σ3, Σ ότι είαι αεξάρτητες με σταθερή πιθαότητα επιτυχίας t, όπου ο ααμεόμεος αριθμός εμφαίσεω στη μοάδα χρόου, χώρου, κτ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 43

φθάσου το πού αιτήματα β σε μισό επτό α φθάσου το πού αιτήματα γ σε επτά α φθάσου το πού 4 αιτήματα και δ σε 3 διαφορετικά χροικά διαστήματα του εός επτού α βρεθού τουάχιστο δύο τέτοια διαστήματα σε καθέα από τα οποία α έχου φθάσει το πού αιτήματα Απάτηση: Ο αριθμός t τω αιτημάτω που φθάου στο hel desk σε διάστημα t επτώ ακοουθεί καταομή Posson με 3t 3t P t e,,,,! Επομέως, έχουμε 3 3 α P P P P e 43! 5 5 β P / P / P / P / e 888! 4 6 6 γ P 4 e 85! δ Τα τρία χροικά διαστήματα του εός επτού μπορού α θεωρηθού ως τρεις αεξάρτητες δοκιμές Bernoull στις οποίες επιτυχία σημαίει: σε έα επτό φθάου το πού δύο αιτήματα Έτσι α συμβοίσουμε με Υ το αριθμό τω επιτυχιώ στις 3 δοκιμές είαι προφαές ότι Y ~ B3, 43 δηαδή 3 y 3 y P Y y 43 5768, y,,,3 y και επομέως η ζητούμεη πιθαότητα είαι 3 3 3 P Y 43 5768 43 5768 3857 3 Σχόιο 63: Όπως ήδη ααφέραμε, στη πράξη η παράμετρος συήθως δε υποογίζεται από τις παραμέτρους και αά εκτιμάται εμπειρικά από στατιστικά στοιχεία Για παράδειγμα, ας θυμηθούμε τη τυχαία μεταβητή Υ του Παραδείγματος 53 που εκφράζει το αριθμό τω ατυχημάτω που συμβαίου σε μια ημέρα σε μια συγκεκριμέη βιομηχαική ζώη Είαι ογικό α θεωρήσουμε ότι πρόκειται για τμ που εκφράζει το αριθμό εμφαίσεω εός σπάιου εδεχομέου συμβαίει ατύχημα στη βιομηχαική ζώη και επομέως περιμέουμε α περιγράφεται από μια καταομή Posson Πράγματι, όπως παρατηρήσαμε Σχόιο 53 αά και όπως θα διαπιστώσουμε στη συέχεια, κάοτας κατάηο στατιστικό έεγχο Παράδειγμα 43 δε μπορούμε α απορρίψουμε τη ιδέα ότι η Υ περιγράφεται από τη καταομή Posson με παράμετρο Αυτή η εκτίμηση της παραμέτρου προκύπτει από τα δεδομέα που φαίοται στο πίακα που ακοουθεί πρόκειται για στοιχεία που πήραμε από τη Επιθεώρηση Εργασίας και ααφέροται σε 5 εργάσιμες ημέρες Αριθμός ατυχημάτω σε μια ημέρα y Αριθμός ημερώ που συέβησα y ατυχήματα 3 4 5 549 555 73 93 4 6 5 Πράγματι, 549 555 73 3 93 4 4 5 6 5 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουος wwwauagr/gaadooulos 44