1 Ε.Μ.Π. - ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΝΣΟΧΗ ΤΛΙΚΩΝ 26/09/2011 ΘΕΜΑ 1 ο Η κιβωτοειδούσ διατομόσ δοκόσ BD ςυγκολλϊται ςτην ορθογωνικόσ διατομόσ αμφιϋρειςτη δοκό ΑΒC και φορτύζεται όπωσ ςτο ςχόμα. 1. Να γύνουν τα διαγρϊμματα αξονικών δυνϊμεων, τεμνουςών δυνϊμεων και καμπτικών ροπών. 2. Να προςδιοριςθεύ η ελϊχιςτη τιμό του ύψουσ τησ διατομόσ για κϊθε δοκό (h 1 και h 2) δεδομϋνου ότι ς επ=200mpa και για τισ δύο δοκούσ. Λύςη: 1. Βρύςκουμε τισ εξωτερικϋσ αντιδρϊςεισ του φορϋα F x=0 Α x-4= 0 Α x=4 F y=0 Α y = C y Μ (Α) =0 4*1-10+3C y = 0 C y =2kN 1 2 3 2+3 A y=2kn
2 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΩΝ ΚΑΜΨΗ Μ(x) [knm] ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΕΜΝΟΤΩΝ ΔΤΝΑΜΕΩΝ Q(x) [kn] ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΞΟΝΙΚΩΝ ΔΤΝΑΜΕΩΝ Ν(x) [kn] 2. ΠΡΟΔΙΟΡΙΜΟ ΤΨΟΤ ΔΟΚΟΤ h 1 Εύρεςη ροπόσ αδρϊνειασ : Ι 1=8,333* [ ] και εμβαδόν Α 1=0,01h 1 Πρϋπει ς max ςεπιτρ Η μϋγιςτη τϊςη αναπτύςςεται ςτη θϋςη Β αριςτ ςτην κϊτω ύνα τησ διατομόσ. Θα ϋχουμε:
3 ς =, +, 2 * h 1 2-0,002h 1-0,012=0 h 1= (, ), h 1=0,1105 ΔΕΚΣΗ h 2=-0,1085 ΑΠΟΡΡΙΠΣΕΣΑΙ Ϊρα εκλϋγω h 1=0,12m ΠΡΟΔΙΟΡΙΜΟ ΤΨΟΤ ΔΟΚΟΤ h 2 Εύρεςη: ροπόσ αδρϊνειασ Ι 2=7,8125h 2 3 * m 4 Πρϋπει ς ςεπιτρ. Η μϋγιςτη τϊςη αναπτύςςεται ςτην θϋςη D. ς =, 2 2 2 * 3 h 2, 2 h 2, 78m Ϊρα εκλϋγω h 2=0,18m
4 ΘΕΜΑ 2 ο τη διατομό τησ δοκού του ςχόματοσ με δεδομϋνη τη θϋςη του κϋντρου βϊρουσ ζητούνται: 1. Ο πυρόνασ τησ διατομόσ. 2. Η θϋςη τησ ουδϋτερησ γραμμόσ εϊν εφαρμοςθεύ ςτο ςημεύο Ο ορθό θλιπτικό δύναμη P. 3. H μϋγιςτη τιμό τησ δύναμησ P ςτο Ο, εϊν η επιτρεπόμενη εφελκυςτικό τϊςη εύναι ς επ=10mpa. Λύςη: ΕΤΡΕΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΩΝ ΣΟΙΧΕΙΩΝ ΔΙΑΣΟΜΗ Χωρύζω την διατομό ςε επύ μϋρουσ τμόματα : 1 ΛΜΑΒΓΔΛ 2 ΛΔΕΚΛ 3 ΘΗΖΕΚΙΘ Α 1=3*50=150cm 2 Α 2=30*20=600cm 2 Α 3=12*50=600cm 2 Α ΟΛ= Α 1+ Α 2+ Α 3= Α ΟΛ=1350cm 2 =, + 150*24 2 + + 600*7,5 2 + +600*13,5 2 =281.812,50 cm 4 = + + =176.250 cm 4 = 0
5 1)ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΤΑ ΠΤΡΗΝΑ ΕΤΘΕΙΑ ε1: ε 1 z=- 19,5 K 1(y 1,z 1) y 1=0 z 1=- 28.8 2, ( 9, ) =+10,705cm ϊρα Κ 1(0, +10,705) ΕΤΘΕΙΑ ε2: ε 2 y=- 25 K 2(y 2,z 2) y 2=- 7.2 ( 2 ) =+5,222cm z 2=0 ϊρα Κ 2(5,222, 0) ΕΤΘΕΙΑ ε3: ε 3 z=+25,5 K 3(y 3,z 3) y 3=0
6 z 3=- 28.8 2, =-8,186 cm (2, ) ϊρα Κ 3(0, -8,186) ΕΤΘΕΙΑ ε4: Κ 4(-5,222, 0) ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΠΤΡΗΝΑ ΔΙΑΣΟΜΗ 2)Επειδό η P εφαρμόζεται εκτόσ του πυρόνα ςημαύνει ότι η Ο.Γ. θα τϋμνει την διατομό. Μεταφϋρω την δύναμη P ςτο Κ.Β. τησ διατομόσ μου. Κατϊ την μεταφορϊ θα ϋχουμε: Ν ΟΛ=- P Kn M Z=- P 17,5 kncm M y=+ P 13,5 kncm Οι αναπτυςςόμενεσ ορθϋσ τϊςεισ θα δύνονται από την ςχϋςη: ς xx= - +,., z +,. y Η Ο.Γ. βρύςκεται για ς xx=. Ϋτςι θα ϋχουμε 0=- +,., z+,. y, 0 z= - 2,073y + 15,463
7 Δύο ςημεύα τησ Ο.Γ. εύναι τα Ι 1,Ι 2: Για y=0 z=+15,463 και ϊρα Ι 1( 0 + 15,463) Για z=0 y=+7,459 και ϊρα Ι 2( + 7,459, 0) 3)H μϋγιςτη εφελκυςτικό αναπτυςςόμενη τϊςη βρύςκεται ςτην θϋςη Α(2 2, ). Ϊρα θα πρϋπει ς ς - +,., 25,5+,. 25 * P 7,48 kn
8 ΘΕΜΑ 3 ο Η αμφιϋρειςτη δοκόσ ΑΒ ςτηρύζεται επιπλϋον με τη ρϊβδο CD, ορθογωνικόσ διατομόσ, όπωσ ςτο ςχόμα. 1. Να βρεθούν με ενεργειακό μϋθοδο οι αντιδρϊςεισ ςτηρύξεωσ. 2. Να γύνει ϋλεγχοσ λυγιςμού τησ ρϊβδου CD. Δύνονται το μϋτρο ελαςτικότητασ Ε=2 GPa, ο λόγοσ Ι/Α=. m 2. Λύςη: Εκλϋγω υπερϊριθμο μϋγεθοσ την τϊςη τησ ρϊβδου Χ 1. Ϋτςι θα ϋχω Αρκεύ να λυθεύ η εξύςωςη: δ X1=0 ( ) ( ) dx + l ΓΔ=0 1) ΕΤΡΕΗ EΞΩΣΕΡΙΚΩΝ ΑΝΣΙΔΡΑΕΩΝ: F x=0 A x=0 F y=0 A y + Β y + Χ 1 =16 1 2 Μ (Α) =0 12*1,0-2Χ 1-4Β y +4,0*3,0=0 Β y =6 -, Χ 1 3 2+3 Α y=16-χ 1- Β y Α y=16- Χ 1-6,0+0,5 Χ 1 Α y=10-0,5χ 1
9 ΚΛΑΔΟ ΑΓ Μ =0 Μ(x)- (10-0,5X 1 )x=0 M(x)=10x-0,5X 1x ( ) = - 0,5 x x, ΚΛΑΔΟ ΓΔ Μ =0 Μ(x)- (10-0,5X 1 )(x+1,0)+12x=0 M(x)=-2x+10-0,5X 1x-0,5X 1 x, ( ) = - 0,5 x - 0,5 ΚΛΑΔΟ ΔB Μ =0 Μ(x)- (6-0,5X 1 )x+2 2 2 =0 M(x)=6x-0,5X 1x - x 2,0 ( ) = - 0,5x Η γενικό εξύςωςη γύνεται με βϊςη τα παραπϊνω: δ X1=0 (, )(, ) + ( 2 +,, )(-0,5x-0,5)dx + (, )(, ) + 2 =0 [-14,334 + 1,333X 1]+ =0-143,34 + 13,33 X 1 + 2X 1 =0 Χ 1= + 9,35 kn Όμωσ Ι=, Α και ϊρα Σότε οι αντιδρϊςεισ ςτισ ςτηρύξεισ θα εύναι: Από 3 Β y= 6 0,5 * 9,35 Β y = 1,325 kn A y= 10 0,5 * 9,35 A y = 5,325 kn
10 2)ΕΛΕΓΧΟ Ε ΛΤΓΙΜΟ ΣΗ ΡΑΒΔΟΤ CD Σο κρύςιμο φορτύο τησ ρϊβδου εύναι: P CD = I=I min=,, = 2,667* Σελικϊ P CD =, = 13,161 kn>x 1 = 9,35 kn Ϊρα ϋχουμε επϊρκεια ςε λυγιςμό τησ ρϊβδου.