ANDREI PETRESCU ADRIANA GHIŢĂ ANDREEA RODICA STERIAN FIZICĂ F1+F Manual pentru lasa a 1-a F1: filiera teoretiă / profil real / speializările: matematiă-informatiă şi ştiinţe ale naturii; filiera voaţională / profil militar MApN / speializarea: matematiă-informatiă; F: filiera tehnologiă, pentru toate alifiările u 1- ore pe săptămână
Manualul a fost aprobat prin Ordinul ministrului Eduaþiei, Ceretãrii ºi Tineretului nr. 1561/59 din 3.7.7 în urma evaluãrii alitative ºi este realizat în onformitate u programa analitiã aprobatã prin Ordin al ministrului Eduaþiei ºi Ceretãrii nr. 5959 din.1.6 FIZICÃ Manual pentru lasa a 1-a: F1+F Andrei PETRESCU, Adriana GHIÞÃ, Andreea Rodia STERIAN Copyright 7 ALL EDUCATIONAL Toate drepturile asupra prezentei ediþii aparþin Editurii ALL EDUCATIONAL. Niio parte din aest volum nu poate fi opiatã fãrã permisiunea srisã a editurii. Drepturile de distribuþie în strãinãtate aparþin în exlusivitate editurii. Desrierea CIP a Biblioteii Naþionale a României PETRESCU, ANDREI Fiziã F1+F : manual pentru lasa a 1-a / Andrei Petresu, Adriana Ghiþã, Andreea Rodia Sterian. - Buureºti : ALL Eduational, 7 ISBN 978-973-684-661-8 I. Ghiþã, Adriana II. Sterian, Andreea Rodia 53(75.35) Referenþi: prof. univ. dr. Ion Iorga - Simãn onf. univ. dr. Sorin Anghel Redator: Coperta oleþiei: Tehnoredatare: Ioana Plãviþu Alexandru Nova Marela Radu Editura ALL EDUCATIONAL: B-dul Construtorilor nr. A, et. 3, setor 6, od 651 Buureºti Tel.: 4 6 Fax: 4 6 1 Departamentul distribuþie: Tel.: 4 6 3, 4 6 34 Comenzi la: omenzi@all.ro URL: www.all.ro
CUPRINS I. TEORIA RELATIVITÃÞII RESTRÂNSE... 5 1. Bazele teoriei relativitãþii restrânse... 5 1.1. Relativitatea lasiã (Galilei-Newton)... 5 1.. Experimentul Mihelson-Morley... 8. Postulatele teoriei relativitãþii restrânse. Transformãrile Lorentz. Conseinþe... 11.1. Postulatele teoriei relativitãþii restrânse... 11.. Transformãrile Lorentz... 1.3. Conseinþe ale transformãrilor Lorentz... 13 3. Elemente de inematiã relativistã ºi de dinamiã relativistã... 14 3.1. Compunerea vitezelor... 14 3.. Prinipiul fundamental al dinamiii... 15 3.3. Relaþia masã-energie... 16 II. ELEMENTE DE FIZICÃ CUANTICÃ... 8 1. Efetul fotoeletri extern... 8 1.1. Legile efetului fotoeletri extern... 9 1.. Ipoteza lui Plank. Ipoteza lui Einstein... 31 1.3. Interpretarea legilor efetului fotoeletri extern. Euaþia lui Einstein... 31. (*) Efetul Compton... 35 3. Ipoteza lui de Broglie. Difraþia eletronilor. Apliaþii... 38 4. Dualismul undã-orpusul... 41 III. FIZICÃ ATOMICÃ... 55 1. Spetre atomie... 55. Experimentul Rutherford. Modelul planetar al atomului... 58 3. Modelul Bohr... 66 4. Experimentul Frank-Hertz... 69 5. (*) Atomul u mai mulþi eletroni... 71 6. Radiaþiile X... 76 7. (*) Efetul LASER... 8 Teoria relativitãþii restrânse 3
IV. SEMICONDUCTOARE. APLICAÞII ÎN ELECTRONICÃ... 1 1. Conduþia eletriã în metale ºi semiondutoare. Semiondutoare intrinsei ºi extrinsei 1. Dioda semiondutoare. Redresarea urentului alternativ... 17 3. (*) Tranzistorul u efet de âmp. Apliaþii... 11 4. (*) Ciruite integrate...111 V. FIZICÃ NUCLEARÃ... 11 1. Proprietãþi generale ale nuleului atomi... 11 1.1. Strutura nuleului... 11 1.. Dimensiunile nuleelor... 13 1.3. Masa nulearã... 14 1.4. Sarina eletriã a nuleului... 14. Energia de legãturã a nuleului atomi. Stabilitatea nuleelor atomie... 15.1. Forþe nuleare... 15.. Modele nuleare... 16.3. Stabilitatea nuleelor atomie... 17 3. Radioativitatea. Legile dezintegrãrii radioative... 19 4. Interaþiunea radiaþiei nuleare u substanþa. Deteþia radiaþiilor nuleare. Dozimetrie... 138 5. Fisiunea nulearã. Reatorul nulear... 144 6. Fuziunea nulearã... 145 7. (*) Aeleratoare de partiule... 147 8. (*) Partiule elementare... 148 4 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a
Capitolul I Teoria relativitãþii restrânse 1. BAZELE TEORIEI RELATIVITÃÞII RESTRÂNSE 1.1. Relativitatea lasiã (GALILEI-NEWTON) Dupã um aþi observat, desrierea miºãrii unui mobil, realizatã de doi observatori aflaþi în miºare unul faþã de elãlalt, este diferitã: pilotul unui avion vede opilotul în repaus; viteza unui avion faþã de aer (mãsuratã, de exemplu, u un tub PRANDTL, pe baza legii lui BERNOULLI) nu este aeeaºi u viteza avionului faþã de sol (mãsuratã de radarul turnului de ontrol); daã douã avioane se îndreaptã unul spre altul u viteze egale (mãsurate faþã de aer), fieare pilot va înregistra o vitezã dublã a avionului din faþa sa. Eppur si muove! În seolul al XVI-lea era aeptatã teoria geoentriã a lui PTOLEMEU, dar observaþiile astronomie ale lui TYCHO BRAHE ºi ideile lui COPERNIC ºi KEPLER sugerau ã, de fapt, Pãmântul se miºã în jurul Soarelui. GALILEI a înerat sã impunã onepþia helioentriã, dar a întâmpinat douã difiultãþi. Prima: biseria susþinea neondiþionat onepþia geoentriã; a doua: ei dispuºi sã disute argumentau ã daã Pãmântul s-ar miºa, fenomenele meanie s-ar desfãºura altfel. Pentru a impune onepþia helioentriã, GALILEI a arãtat ã variate experimente de meaniã (arunãri ale unor orpuri pe diferite direþii, ionirea unor bile, osilaþiile unui pendul et.) se desfãºoarã identi pe o navã are fie se deplaseazã retiliniu uniform (faþã de o apã liniºtitã), fie se aflã în repaus (faþã de þãrm). Studiind miºarea unei bile pe o suprafaþã netedã, GALILEI a desoperit prinipiul inerþiei, enunþat mai târziu de NEWTON ºi unosut sub numele de Primul prinipiu al Meaniii newtoniene. Isaa NEWTON (164 177) fiziian, matematiian, astronom ºi himist englez. Reþineþi! Referenþialele în are se verifiã prinipiul inerþiei se numes referenþiale inerþiale (R.I.) Teoria relativitãþii restrânse Galileo GALILEI (1564 164) astronom, matematiian ºi fiziian italian. 5
Reþineþi! Referenþialele inerþiale se deplaseazã unul faþã de altul retiliniu uniform. De aeea, referenþialele are se miºã aelerat (de ex. se rotes) în raport u un R.I. sunt referenþiale neinerþiale (în aestea nu se verifiã prinipiul inerþiei!). Temã experimentalã Modifiaþi experimentul astfel: imediat dupã arunarea mingii în sus, opriþi-vã! Cum trebuie sã proedaþi aum pentru a prinde mingea? Ce s-ar întâmpla daã, imediat dupã arunarea mingii, aþi înepe sã vã deplasaþi mai repede sau v-aþi shimba direþia de miºare? Atenþie! NEWTON era adeptul ideii ã timpul este absolut (adiã nu depinde de referenþialul ales) astfel înât el nu a inlus timpul în euaþiile transformãrilor; noi vom fae aest luru, pentru a putea ompara aeste relaþii u ele srise de EINSTEIN, în adrul Teoriei relativitãþii restrânse. Fig. 1.1. Generalizând rezultatele experimentelor sale, GALILEI a enunþat prinipiul relativitãþii lasie (galileene): Legile meaniii au aeeaºi formã în orie referenþial inerþial. Experimentaþi! Pentru a verifia Prinipiul relativitãþii lasie, efetuaþi experimentul urmãtor. Luaþi o minge, arunaþi-o vertial în sus ºi prindeþi-o ând reade, fãrã a deplasa mâna u are aþi arunat-o. Înepeþi sã vã deplasaþi în linie dreaptã, u vitezã onstantã ºi, dupã primii âþiva paºi, arunaþi mingea u aeeaºi miºare a înainte. Observaþi ã, deºi aum vã deplasaþi faþã de sol, reuºiþi sã prindeþi mingea a ºi în azul anterior, ând eraþi în repaus. Transformãrile GALILEI-NEWTON Reluaþi experimentul ºi ereþi ajutorul olegilor. Rugaþi un oleg C sã urmãreasã miºarea mingii stând nemiºat la âþiva paºi de linia pe are vã deplasaþi ºi alt oleg C' sã urmãreasã miºarea mingii în timp e el se deplaseazã retiliniu uniform (pe o direþie paralelã u ea pe are vã deplasaþi dumneavoastrã). Cum vor desrie ei doi elevi miºarea mingii? Ambii vor observa o arunare sub un unghi, dar vitezele de lansare ºi unghiurile respetive vor fi diferite. Pentru a putea desrie oret miºarea unui orp, vãzutã din referenþiale inerþiale diferite, va trebui sã alegem (în fieare referenþial inerþial) âte un sistem de axe de oordonate; fieare observator va desrie miºarea în raport u propriul referenþial, folosind sistemul de axe ales. Evident, valorile oordonatelor ºi ale proieþiilor vitezei vor fi diferite, dar (dupã um ne-au sugerat experimentele realizate) legile miºãrii vor rãmâne neshimbate a formã. Folosind prinipiul relativitãþii galileene, NEWTON a sris relaþiile matematie dintre oordonatele unui mobil studiat de doi observatori inerþiali. Sã onsiderãm douã referenþiale inerþiale R ºi R' în are alegem, respetiv, âte un sistem retangular de axe de oordonate (Oxyz ºi O'x'y'z') ºi âte un sistem de mãsurat timpul (t ºi t') (fig. 1.1). Faem urmãtoarele ipoteze: R' are faþã de R viteza onstantã v, iar R faþã de R', viteza v v; duratele ºi distanþele se mãsoarã (în R ºi în R') u etaloane identie din punt de vedere fizi; Ox are orientarea lui v, iar Ox, Oy, Oz ºi O'x', O'y', O'z' sunt, respetiv, paralele ºi de aelaºi sens; la momentele t t', originile O ºi O' oinid. Un eveniment are se petree într-un punt anume, la un anumit moment de timp, este numit eveniment spaþio-temporal ºi va fi reperat faþã de R ºi R' prin uadrupletele (x, y, z, t), respetiv, (x', y', z', t'). 6 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a
Relaþiile dintre aeste uadruplete reprezintã transformãrile GALILEI-NEWTON (de la R la R' sau invers, de la R' la R) ºi pot fi deduse urmãrind figura 1.: x' x vt y' y ºi z' z t' t x x' + vt' y y' z z' t t' Conseinþe ale prinipiului relativitãþii lasie (1.1) Utilizând transformãrile GALILEI-NEWTON, se pot dedue, prin alul diret, unele onseinþe ale prinipiului relativitãþii lasie. Distanþa dintre douã punte este invariantã: d' r t r t r r d ' ' (') 1(') 1 Durata unui fenomen este invariantã: τ ' t ' ' t1 t t1 τ. Viteza unui mobil se shimbã, la treerea de la R la R' sau invers, onform relaþiilor: u' u v ºi, invers, u u' + v. du' du Aeleraþia unui mobil este invariantã: a' a dt' dt. Forþa are aþioneazã asupra unui orp este invariantã: F' ma' ma F.. Fig. 1.. Într-un az mai general (viteza v are orientare oareare a în fig. 1.3), relaþiile se pot srie sub forma: r' r v t r r' + vt' ºi t' t t t' Fig. 1.3. Reþineþi! Folosind relaþiile de transformare a oordonatelor stabilite pe baza prinipiului relativitãþii lasie (GALILEI-NEWTON), distanþa dintre douã punte ºi durata unui fenomen nu se shimbã prin treerea de la un referenþial inerþial la altul, adiã rãmân invariante), iar vitezele unui mobil faþã de fieare dintre ei doi observatori sunt legate prin relaþia u' u v (ºi invers, u u' + v ) (fig. 1.4). Fig. 1.4. Observaþie: GALILEI a studiat ãderea liberã lãsând sã adã din Turnul înlinat din Pisa orpuri u mase diferite ºi mãsurând durata ãderii. Deºi a observat, probabil, ã toate orpurile sunt deviate spre rãsãrit, nu a atras atenþia asupra aestei onstatãri, are india faptul ã Pãmântul nu este, de fapt, un referenþial riguros inerþial. Temã de refleþie Amintiþi-vã alte dovezi ale faptului ã Pãmântul nu reprezintã un referenþial inerþial, pe are le-aþi studiat, în lasele anterioare, la geografie sau la fiziã. Teoria relativitãþii restrânse Turnul înlinat din Pisa 7
1.. Experimentul MICHELSON-MORLEY Albert Abraham MICHELSON (185 1931), fiziian, himist ºi astronom amerian. Dispozitivul experimental utilizat de MICHELSON ºi MORLEY La sfârºitul seolului al XIX-lea a apãrut o problemã are a zdruninat temeliile fiziii lasie: prinipiul relativitãþii galileene se pãrea ã nu poate fi extins asupra tuturor fenomenelor fiziii (în partiular asupra fenomenelor eletromagnetie). Pentru expliarea faptului ã lumina, are s-a dovedit ã este o undã transversalã, se propagã prin spaþiul osmi, fiziienii au introdus un model: tot spaþiul este oupat de un mediu u proprietãþi ontraditorii (foarte rarefiat, pentru a nu influenþa vizibil miºarea orpurilor eleste, dar rigid, pentru a permite propagarea undelor luminoase, transversale) numit eter. Modelul introdus a reat o nouã problemã: în e mãsurã eterul este antrenat de orpurile în miºare? Au fost emise mai multe ipoteze: eterul este antrenat parþial (FRESNEL 1818); eterul este total antrenat (STOKES 1845, HERTZ 189); eterul este în repaus (LORENTZ 189). Presupunând ã eterul nu este antrenat de orpurile în miºare ºi ã putem aplia propagãrii luminii transformãrile GALILEI-NEWTON, ar trebui sã putem mãsura, prin experimente de optiã sau de eletromagnetism, viteza v a Pãmântului faþã de aest mediu ipoteti; fiziienii au numit aest fenomen vânt eteri. Intervalul de timp Δt neesar unui fasiul îngust de luminã pentru a parurge dus întors o distanþã l paralelã u viteza v a Pãmântului ar trebui sã difere de intervalul de timp orespunzãtor azului în are Pãmântul ar fi în repaus faþã de eter: l Δ t, (1.) l l l 1 Δt Δt + + v v 1 β 1 β, (1.3) Edward Williams MORLEY (1838 193) fiziian ºi himist amerian. unde am notat viteza luminii în vid u, raportul v/ u β, ºi am apliat regula lasiã de ompunere a vitezelor, dedusã anterior pe baza transformãrilor GALILEI-NEWTON (1.1). Pãmântul se miºã faþã de Soare u aproximativ 3 km/s, dei β 1 8 ; de aeea, diferenþa presupusã dintre ele douã intervale este foarte miã ºi nu poate fi mãsuratã diret. MICHELSON ºi MORLEY (1881 1891) au avut ideea sã foloseasã un al doilea fasiul, are sã se propage pe aeeaºi distanþã l, dar pe o direþie perpendiularã pe viteza Pãmântului. 8 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a
De asemenea, intervalul de timp Δt neesar fasiulului de luminã sã parurgã dus-întors drumul de la O la O ºi înapoi (adiã braþul interferometrului perpendiular pe v ) ar trebui sã difere (onform teoriei lasie) de intervalul de timp Δt l/ orespunzãtor azului în are Pãmântul ar fi în repaus faþã de eter: lumina trebuie Δt sã parurgã de fapt distanþa în timp e Pãmântul se deplaseazã Δt u v (fig. 1.5). Utilizând teorema lui PITAGORA, obþinem: l Δt Δ t (1.4) v 1 β Fig. 1.5. Diferenþa Δt dintre ele douã intervale de timp, Δt ºi Δt ar trebui sã fie, onform alulelor anterioare, Δt Δt Δt Δt Δt β β β Δ t, (1.5) unde, pentru x n 1 ºi r R, am aproximat (1 + x) r 1 + rx. Dispozitivul onstruit de ei doi este un interferometru: fasiulul oerent de luminã provenind de la sursa S (fig. 1.6) este împãrþit în douã fasiule perpendiulare de oglinda semitransparentã O (aºezatã la 45 faþã de direþia fasiulului). Aeste douã fasiule oerente sunt refletate de oglinzile O 1 ºi O (plasate perpendiular pe direþia fieãrui fasiul), ajung înapoi la O ºi apoi pãtrund împreunã în luneta de observaþie L. Rolul lamei transparente C este de a ompensa drumurile optie ale elor douã raze (raza 1 strãbate de trei ori oglinda semitransparentã O, pe ând raza strãbate aeastã oglindã o singurã datã). Observarea franjelor de interferenþã se datoreazã diferenþei de drum opti dintre ele douã raze dar, onform teoriei lasie, poziþia franjelor ar trebui sã difere în azul în are Pãmântul se deplaseazã prin eter, faþã de azul în are aeastã miºare nu ar exista. Diferenþa respetivã era prea miã pentru a fi pusã în evidenþã u aest interferometru, de aeea MICHELSON ºi MORLEY au proedat u ingeniozitate: un braþ al interferometrului a fost orientat pe direþia miºãrii Pãmântului ºi s-a observat poziþia franjelor de interferenþã formate, apoi s-a rotit u 9 dispozitivul (are era aºezat pe o baie de merur) ºi s-a observat noua poziþie a franjelor. Teoria relativitãþii restrânse Fig. 1.6. Shema interferometrului Mihelson (separarea razelor este exageratã) Temã 1) Pentru a înþelege ideea are a stat la baza experimentului MICHELSON-MORLEY, urmãriþi simularea virtualã de la adresa de internet: http://galileoandeinstein. physis. virginia.edu/more_stuff/ flashlets/mmexpt6.htm ) Construieºte-þi propriul interferometru MICHELSON-MORLEY: http://www.ligo-wa.alteh.edu/ teahers_orner/lessons/ifo_ 9t1.html 9
Indiferent are ar fi fost poziþia iniþialã a franjelor, la rotirea interferometrului u 9 diferenþa de drum îºi shimbã semnul, astfel înât franjele ar trebui sã se deplaseze orespunzãtor unei diferenþe de drum duble, Δt. Deplasarea relativã p a franjelor ar trebui sã fie, orespunzãtor: p Δt Δt β lβ. (1.6.) λ λ λ În azul experimentului din 1891, lungimea braþelor interferometrului era l 11 m (obþinutã prin reflexii suesive ale elor douã fasiule), lungimea de undã a radiaþiei folosite era λ 59 nm, iar β are valoarea 1 8 ; u aestea, rezultã: 8 p 11 1 1 37 9 59 1 % %, George Franis FITZGERALD (1851 191), fiziian irlandez. adiã o valoare observabilã u mare uºurinþã (în fapt, interferometrul permitea detetarea unei deplasãri de o sutã de ori mai miã). MICHELSON ºi MORLEY au repetat experimentul în deursul urmãtorilor 1 ani ºi, de fieare datã, rezultatul a fost negativ! Aeasta ne aratã ã el puþin una dintre ipotezele fãute nu a fost oretã. Pentru a explia aest rezultat negativ, au fost onsiderate mai multe ipoteze. MICHELSON însuºi a onsiderat ã absenþa vântului eteri aratã ã eterul este total antrenat, ipotezã în dezaord u mai multe fapte experimentale unosute la vremea respetivã. Cea mai interesantã a fost ipoteza avansatã de FITZGERALD ºi LORENTZ, are au arãtat ã rezultatul negativ ar putea fi expliat admiþând ã braþul interferometrului orientat pe direþia vitezei Pãmântului se surteazã u fatorul β : l' l β, (1.7) Hendrik Antoon LORENTZ (1853 198), fiziian olandez, laureat al premiului NOBEL (19). dar nimeni nu a putut india o auzã fiziã pentru a explia aeastã ontraþie a lungimii. Singurul are a reuºit sã explie oret fenomenul a fost Albert EINSTEIN. Pentru aeasta însã, el a fost nevoit sã iasã din adrul fiziii lasie ºi sã onstruiasã o nouã teorie, Teoria relativitãþii restrânse (TRR). Aeastã teorie este remarabilã pentru ã nu mai fae apel la modelul ontraditoriu al eterului ºi reuºeºte sã explie fenomenele evidenþiate pânã atuni bazându-se doar pe douã postulate, uºor de enunþat, dar mai greu de aeptat! 1 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a
. POSTULATELE TEORIEI RELATIVITÃÞII RESTRÂNSE. TRANSFORMÃRILE LORENTZ. CONSECINÞE.1. Postulatele teoriei relativitãþii restrânse La îneputul seolului al XX-lea, fizia era pusã în faþa unei ontradiþii: onform legii lasie de ompunere a vitezelor (dedusã pe baza transformãrilor GALILEI-NEWTON), lumina ar fi trebuit sã aibã viteze diferite în raport u douã referenþiale inerþiale diferite, dar aeastã presupunere duea la onluzii aflate în dezaord evident u rezultatele experimentale (în partiular, u experimentul MICHELSON). Analizând toate rezultatele unosute, Albert EINSTEIN (195) a ajuns la onluzia ã meania newtonianã, bazatã pe ideea timpului absolut, nu se poate aplia fenomenelor are omportã miºãri u viteze apropiate de viteza luminii (de exemplu, fenomenelor optie sau elor eletromagnetie). Analizând noþiunea de simultaneitate, el a arãtat ã sinronizarea easurilor a doi observatori inerþiali (A ºi B) aflaþi în miºare relativã trebuie fãutã u ajutorul unui semnal luminos, deoaree: niio interaþiune nu se poate transmite u vitezã infinitã; nu s-au observat viteze mai mari deât viteza luminii în vid. Aeastã metodã se bazeazã pe ipoteza (verifiatã în toate experimentele unosute) ã valoarea vitezei luminii în vid nu depinde de miºarea relativã a observatorului ºi a sursei. Generalizând observaþiile experimentale, EINSTEIN a enunþat, în 195, douã postulate; astfel el a elaborat o nouã teorie, diferitã de teoriile lasie, numitã Teoria relativitãþii restrânse. Prin aeasta, el a extins prinipiul relativitãþii lasie (galileene) de la fenomenele meanie la toate fenomenele fizie. Cele douã postulate pot fi enunþate astfel: Primul postulat Legile fiziii au aeeaºi formã în orie referenþial inerþial. Al doilea postulat Viteza luminii în vid are aeeaºi valoare în orie referenþial inerþial. Aeste postulate nu onþin ipoteza timpului absolut ºi pleaã de la premisa ã nu existã un observator privilegiat; altfel spus, timpul ºi spaþiul sunt relative, adiã depind de observator. O onseinþã evidentã, dar în totalã ontradiþie u fizia lasiã, este ã un observator faþã de are o sursã de luminã se deplaseazã, va înregistra aeeaºi valoare a vitezei luminii în vid a ºi în azul în are sursa ar fi fost în repaus. Teoria relativitãþii restrânse Albert EINSTEIN (1879 1955) fiziian ameriano-elveþian de origine germanã. Fig. 1.7. Sinronizarea easornielor La momentul t 1, observatorul A trimite (prin vid) un semnal luminos spre B; aesta reepþioneazã semnalul la momentul t' (mãsurat u easul aflat în repaus faþã de referenþialul sãu) ºi îl retrimite spre A fãrã întârziere; A reepþioneazã semnalul refletat de B la momentul t 3 (fig. 1.7). Ceasurile se onsiderã sinronizate daã t. t1 + t3 Observatorul B va proeda analog. 11
.. Transformãrile LORENTZ Fig. 1.8. Cum pot fi deduse transformãrile LORENTZ speiale (relaþiile 1.8)? Presupunem ã transformãrile de oordonate dintre ele douã sisteme inerþiale onsiderate sunt liniare, adiã sunt de forma: x' A x + B t + C, t' M x + N t + P ºi, x A' x' + B' t' + + C', t M' x' + N' t' + P' (unde A, B, C' sunt onstante ºi unde am þinut seama de postulatul onstanþei vitezei luminii: ' ) Urmãrim um se shimbã oordonatele unor evenimente uºor de desris în ambele referenþiale: onsiderând evenimentul origine, rezultã imediat C P C' P' ; onsiderând evenimente are se produ în originea fieãrui sistem de oordonate al un moment dat, deduem B Aβ, N Mβ, B' A'β, N' M'β. onsiderând un semnal luminos are pleaã din originea fieãrui referenþial, deduem N A ºi N' A'. apliând primul postulat al teoriei relativitãþiirestrânse, onform ãruia forma legilor fiziii este aeeaºi în orie referenþial inerþial, obþinem A A' γ. Înlouind aeste valori în relaþiile pe are le-am sris iniþial, obþinem formulele 1.8. Ca ºi în azul transformãrilor GALILEI-NEWTON, vom onsidera douã referenþiale inerþiale R ºi R' în are stabilim âte un sistem triortogonal de axe de oordonate (Oxyz, respetiv O'x'y'z') ºi âte un sistem de mãsurat timpul (t, respetiv t') (fig. 1.8): ele douã referenþiale se deplaseazã unul faþã de altul u vitezã onstantã: R' se deplaseazã faþã de R u viteza v, iar R' faþã de R' u viteza v v; în referenþialele R ºi R', duratele ºi distanþele se mãsoarã u etaloane (de timp, respetiv de lungime) identie din punt de vedere fizi; axa O'x' are orientarea lui v, iar Ox, Oy, Oz ºi O'x', O'y', O'z' sunt, respetiv, paralele ºi de aelaºi sens; la momentele t t', ele douã origini (O ºi O') oinid; un eveniment spaþio-temporal este reperat faþã de R ºi R' prin uadrupletele de numere (x, y, z, t) ºi, respetiv, (x', y', z', t'). Considerând ã relaþiile între (x, y, z, t) ºi (x', y', z', t') sunt liniare ºi apliând în mod onsevent postulatele teoriei relativitãþii, vom gãsi transformãrile LORENTZ speiale. Aeste relaþii au fost srise de LORENTZ (are s-a bazat pe ipoteza ontraþiei), dar deduerea lor riguroasã nu se poate fae deât în adrul teoriei einsteiniene. Notând: v 1 β, β < 1 ºi γ, γ 1 (fig. 1.9), obþinem: β x' γ( x βt) y' y z' z t' γ( t βx) ºi, invers, x γ ( x' +βt' ) y y', (1.8) z z' t γ ( t' + βx' ) Prinipiul de orespondenþã. La viteze v n ale sistemelor, grupul transformãrilor LORENTZ se redue la transformãrile GALILEI- NEWTON, astfel înât ele douã teorii, newtonianã ºi relativistã, ondu la aelaºi rezultat. Aºa se expliã validitatea rezultatelor obþinute în meania lasiã. Exeriþii Fig. 1.9. Matriele transformãrilor LORENTZ speiale sunt inverse una alteia (adiã produsul lor este egal u matriea unitate) ºi fieare dintre ele are determinantul egal u unitatea: dupã um se poate verifia uºor, γ (1 β ) 1 (vezi interpretarea grafiã din fig. 1.9) 1. Verifiaþi ã, pentru viteze mii, transformãrile LORENTZ speiale se redu la transformãrile GALILEI-NEWTON.. Verifiaþi ã transformãrile LORENTZ speiale pot fi srise matrieal sub forma: x' γ γβ x x γ γβ x' y' 1 y z' 1 z sau y 1 y' z 1 z'. t' γβ γ t t γβ γ t' 1 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a
.3. Conseinþe ale transformãrilor LORENTZ Transformãrile LORENTZ speiale sunt o onseinþã diretã a postulatelor Teoriei Relativitãþii Restrânse. Odatã stabilitã forma aestor transformãri, onseinþele aestora pot fi deduse prin alul diret, a ºi în azul transformãrilor GALILEI-NEWTON. Relativitatea simultaneitãþii a douã evenimente are nu se petre în aelaºi lo Daã evenimentele sunt simultane în R, adiã Δt, atuni obþinem Δ t' γβ Δr, adiã evenimentele nu vor mai fi simultane faþã de observatorul din R' (pentru ã evenimentele nu se petre în aelaºi lo, Δr ). Analog, pentru Δt', obþinem Δ t γβ Δr'. Teoria relativitãþii restrânse Dilatarea duratei unui fenomen are se produe într-un anumit lo Fie Δt τ durata unui fenomen are se desfãºoarã într-un punt fix faþã de R (adiã Δ r ); atuni, observatorul din R' va τ înregistra o duratã Δ t' τ >τ Δt. Analog, daã β Δt' τ ºi Δ r' τ, atuni Δ t τ > τ. În aord u primul postulat, β ambii observatori înregistreazã o dilatare a duratei fenomenului. Contraþia lungimii unui segment paralel u direþia vitezei relative v Fie l x' x' 1 lungimea unei rigle aºezate pe direþia axei O'x'; oordonatele x' 1 ºi x' pot fi mãsurate oriând, deoaree rigla este în repaus faþã de R'. Daã l este lungimea mãsuratã de observatorul solidar u R, faþã de are rigla se aflã în miºare, atuni l x() t x1() t, dar oordonatele x 1 ºi x trebuie sã fie mãsurate în aelaºi moment t, adiã trebuie sã avem Δt' + βδx'; u aeasta, gãsim uºor: 1 l x () t x () t γl ( β ) l 1 β < l. În aelaºi mod, pentru l x x1 obþinem relaþia l x' ( t' ) x' 1( t' ) l. β În aord u primul postulat, ambii observatori înregistreazã o ontraþie a riglei. Daã viteza v u are se deplaseazã R' faþã de R are o orientare oareare în raport u axele de oordonate, transformãrile LORENTZ se pot srie, mai general, sub forma: ( β r) r' ( r t) ( 1) γ β + γ β r β t' γ( t β r ) sau ( β r' ) r ( r' t' ) ( 1) γ +β + γ β r' β t γ ( t' +β r ' ) Conservarea lungimii segmentelor perpendiulare pe direþia vitezei relative v Folosind transformãrile LO- RENTZ, aest fapt se obþine imediat. Daã l y' y' 1, atuni l y() t y1() t l ºi daã l y y1, atuni l y' ( t' ) y' 1( t' ) l. Aeastã onluzie poate fi obþinutã ºi prin urmãtorul raþionament: daã observatorii din R ºi din R ar tree unul pe lângã altul (u viteza onstantã v ), ei ar putea sã ompare lungimile unor rigle perpendiulare pe direþia vitezei v (de exemplu, trasând un semn pe aestea în momentul întâlnirii); dar onform primului postulat, ambii ar trebui sã observe aelaºi luru (fie o alungire, fie o surtare a riglei eluilalt); daã semnele de pe riglã nu ar oinide, aest luru nu ar fi posibil (un observator ar observa o alungire, iar elãlalt, o surtare). 13
3. ELEMENTE DE CINEMATICÃ RELATIVISTÃ ªI DE DINAMICÃ RELATIVISTÃ 3.1. Compunerea vitezelor Fig. 1.1. Exemplu numeri Considerând valorile: u' x,8, u' y,5, u' z v, ºi folosind relaþiile stabilite, gãsim: u x,86, u y,4, u z. De asemenea, se shimbã ºi unghiul dintre direþia de miºare a mobilului ºi viteza relativã a referenþialelor: tg α,488 ºi α 6 (fig. 1.1). tg α',65 ºi α' 3 (fig. 1.11) ºi Compunerea vitezelor se fae dupã o regulã mai ompliatã: se shimbã atât valorile omponentei paralele u viteza relativã, ât ºi a elor perpendiulare pe aeasta. Fie u viteza unui mobil în raport u referenþialul R ºi u ' viteza aeluiaºi mobil faþã de referenþialul R'. Conform definiþiei vitezei ºi în aord u primul postulat al TRR, se poate srie: d x dy dz dx, uy, uz ºi u x dt dt dt, dy u y dt, dz u uz x dt dt. Folosind transformãrile LORENTZ, gãsim imediat: ux v u' x, uxv u' x + v u x, u' x v 1 + v uy u' y, u' uxv z v uz uxv v v u' y u' z u y, u' x v u z u' x v. (1.9) 1 + 1 + Considerând, de exemplu, ã u' x (adiã un semnal luminos emis în R'), gãsim (în aord u postulatul onstanþei vitezei luminii ºi în vid): u x + v + v. v + v 1 + Atenþie! Aeasta nu este o demonstraþie a onstanþei vitezei luminii, i doar un alul are aratã ã teoria este autoonsistentã (am regãsit eea e am postulat). Fig. 1.11. Exeriþiu Verifiaþi ã, în azul în are vitezele impliate sunt mult mai mii deât viteza luminii în vid, formulele relativiste devin relaþiile lasie (GALILEI-NEWTON) de ompunere a vitezelor. 14 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a
3.. Prinipiul fundamental al dinamiii În elebra sa lurare Prinipiile matematie ale filosofiei naturii, Newton a enunþat prinipiul fundamental al meaniii sub dp forma F, unde p m v este impulsul puntului material. dt În azul în are masa este onstantã (adiã nu depinde de vitezã), relaþia se poate srie sub forma unosutã F ma. Newton a preferat prima formã, deoaree existã posibilitatea a masa sã se modifie din onsiderente meanie în ursul miºãrii (de exemplu, masa unei rahete purtãtoare sade pe mãsurã e ombustibilul arde). Variaþia relativistã a masei u viteza Pleând de la postulatele TRR, EINSTEIN a arãtat însã ã proprietãþile inerþiale ale unui orp depind de referenþialul faþã de are se studiazã miºarea sa, altfel spus, în raport u un referenþial inerþial R, masa unui orp depinde de viteza lui. Dependenþa masei de vitezã este datã de relaþia: m m m γ m > m, (1.1) β v unde am notat u m masa partiulei aflate în repaus în raport u referenþialul R (numitã masã de repaus) ºi u m masa partiulei are are viteza v faþã de R (numitã masa de miºare a partiulei). Observãm ã masa orpurilor reºte u viteza, devenind extrem de mare ând viteza partiulei se apropie de viteza luminii în vid. Fiziianul amerian BERTOZZI a realizat în 196 un experiment prin are a pus în evidenþã dependenþa relativistã a masei eletronilor de viteza aestora. BERTOZZI a folosit un aelerator liniar, Linea (tensiunea maximã de aelerare fiind de 4,5 1 6 V) ºi a mãsurat dependenþa vitezei eletronilor de tensiunea de aelerare. Comparând rezultatele sale u previziunile teoriei lasie a onstatat ã, pentru valori mari ale tensiunii de aelerare, rezultatele m se abat de la formula lasiã v eu ; dar rezultatele sale sunt în deplin aord u teoria einsteinianã. Pentru valori mii ale vitezei, diferenþa dintre masa de miºare v ºi ea de repaus se poate srie m m m. Impulsul unei partiule relativiste Definiþia impulsului este asemãnãtoare elei lasie ( p m v ), dar aii m reprezintã masa de miºare a partiulei: p m γβ v m. (1.11) Teoria relativitãþii restrânse Pagina de titlu a lurãrii lui Isaa NEWTON. William BERTOZZI, fiziian amerian, profesor la Massahusets Institute of Tehnolgy. 15
Fig. 1.1. Relaþia dintre forþã ºi aeleraþie a fost srisã, la îneput, sub forma: ma n ma t F + 3 v v 1 unde a n ºi reprezintã aeleraþia normalã (perpendiularã pe vitezã) ºi, respetiv, aeleraþia tangenþialã (pe direþia vitezei) ºi pãrea sã arate ã proprietãþile inerþiale depind de direþie, eea e nu este oret! Atenþie! reprezintã viteza de variaþie a energiei inetie (amintiþi-vã ã energia inetiã este o mãrime de stare), pe ând d L reprezintã viteza u are se efetueazã lurul dt meani (lurul meani este o mãrime de proes). Fig. 1.13. Triunghiul dreptunghi desenat are ipotenuza proporþionalã u valoarea energiei totale relativiste a partiulei, ateta orizontalã proporþionalã u energia de repaus a aesteia ºi ateta vertialã proporþionalã u mãrimea impulsului multipliatã u valoarea onstantã a vitezei luminii în vid, (fig. 1.13). Apliând teorema lui PITAGORA, rezultã imediat relaþia energieimpuls. de NEWTON: Prinipiul fundamental al dinamiii se va srie sub forma datã dp F, (1.1) dt unde impulsul este dat de relaþia anterioarã ( p m γβ v m ). Relaþia dintre forþã ºi aeleraþie se obþine alulând derivata impulsului (îneraþi singuri!); obþinem relaþia: ma vv F ma +. v (1.13) Aeastã relaþie ne aratã ã forþa ºi aeleraþia nu mai sunt neapãrat oliniare, a în azul newtonian; existã ºi o omponentã paralelã u viteza partiulei (fig. 1.1). 3.3. Relaþia masã-energie Energia totalã relativistã a unei partiule libere este legatã de proprietãþile inerþiale ale partiulei (adiã de masa aesteia) prin elebra relaþie a lui EINSTEIN: E m (1.14) Sã înerãm sã stabilim aeastã relaþie pornind de la teorema variaþiei energiei inetie a unui punt material. Pornim de la relaþia d Ein d L ºi þinem seama ã d L P dt dt dt ; dl dp puterea meaniã P este datã de relaþia P F dt dt v v. dp dv dm Dar F m + v, de unde rezultã: dt dt dt dp P dv d d d d v mv + v m ( v ) m + v m m. dt dt dt dt dt dt Am obþinut, dei, relaþia dein dm, din are obþinem dt dt printr-o integrare simplã: E ( m m ) m m sau in in E + m m EINSTEIN a interpretat suma dintre energia inetiã a partiulei relativiste ºi antitatea m a fiind energia totalã relativistã a unei partiule libere: E m γ m. Cantitatea m trebuie sã fie interpretatã a energia unei partiule aflate în repaus faþã de un referenþial inerþial; de aeea a fost numitã energia de repaus a partiulei: E m. Rezultã ã energia inetiã se poate srie: in ( ) ( 1) E E E m m γ m. (1.15) 16 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a
Relaþia dintre energia totalã ºi impulsul partiulei libere Prin alul diret putem stabili o relaþie importantã între energia totalã relativistã a partiulei ºi impulsul aesteia: 4 E p + m. (1.16) Relaþiile srise admit o interpretare geometriã simplã (fig. 1.13), are permite efetuarea unor alule mai rapide. Fig. 1.14. Relaþia dintre energia inetiã ºi impuls Se poate dedue uºor ºi o relaþie între energia inetiã ºi impulsul unei partiule relativiste: in in p E ( E + m ). (1.17) Putem interpreta grafi aeastã relaþie, ompletând figura 1.13: onstruim un semier a ãrui razã este proporþionalã u energia totalã relativistã a partiulei, E (adiã egalã u ipotenuza triunghiului din figura 1.13) aºa um se vede în figura 1.14. În triunghiul dreptunghi însris în aest semier, proieþiile atetelor pe ipotenuzã sunt proporþionale u E + E Ein + E ºi E E E ; apliând teorema înãlþimii, obþinem relaþia datã. u in Formule de aproximare Pentru x << 1, ºi r un numãr real, se pot utiliza relaþiile aproximative: (1 + x) r 1 + rx sau (1 + x) r rr ( 1) 1 + rx + x De exemplu: 1 1 ± x 1 1 ± x 1 K x + x ; 4 x 3x 1 +. 8 Relativitatea forþei Spre deosebire de azul lasi (nerelativist), omponentele forþei are aþioneazã asupra unei partiule are se deplaseazã în referenþialul R u viteza u se modifiã pentru observatorul solidar u referenþialul R, onform relaþiilor (deduse u ajutorul transformãrilor LORENTZ speiale): F ' x v( F u) Fx, ' Fy uxv Teoria relativitãþii restrânse v Fy uxv, F Aproximaþia nerelativistã ' z v Fz uxv. (1.18) În anumite azuri, pentru unele dintre partiulele impliate, este sufiientã o tratare aproximativã. Deidem daã putem înloui tratarea exatã, relativistã, u aproximaþia nerelativistã, folosind unul dintre ele patru riterii (ehivalente) indiate în aseta alãturatã. Interpretarea grafiã se poate urmãri în fig. 1.15 (energia inetiã este mult mai miã deât energia totalã relativistã). Aproximaþia nerelativistã Criteriul energiei totale: valoarea energiei totale relativiste a partiulei ( E m Fig. 1.15. γ m ) nu depãºeºte valoarea energiei sale de repaus ( E m ) u mai mult de 1% din valoarea ei: E 11, E. 17
Criteriul energiei inetie: valoarea energiei inetie a partiulei E ( m m ) in ( γ 1)m nu depãºeºte 1% din valoarea energiei de repaus: E 1, E. in Criteriul impulsului: mãrimea impulsului partiulei p mvγm v nu depãºeºte valoarea alulatã onform meaniii newtoniene ( p mv ) u mai mult de un proent din valoarea ei: p 1, 1p. Criteriul vitezei: valoarea vitezei partiulei nu depãºeºte 14% din valoarea vitezei luminii în vid: v 14,,4 1 8 m s 1. Folosind formulele de aproximare indiate în asetã, în aproximaþia nerelativistã vom putea srie: 4 β 3β β γ 1+ + 1+, 8 m m 3 m + v + v v + v, E m m 4 E in v 3 + v v v, m m m 4 4 3 p mv + mv v + m v v m 4 v + mv v. 4 Partiule u masã de repaus nulã Pentru o partiulã u masã de repaus nulã (de exemplu fotonul), are se deplaseazã faþã de orie RI u viteza luminii în vid (), energia totalã E ºi energia inetiã E in sunt egale între ele ºi sunt legate de impuls prin relaþia: E E p. in Aproximaþia ultrarelativistã Fig. 1.16. Aproximaþia ultrarelativistã Criteriul energiei totale: valoarea energiei totale relativistã a partiulei ( E m γ m ) depãºeºte de mai mult de 1 ori valoarea energiei sale de repaus ( E m ): E 1 E. Criteriul energiei inetie: valoarea energiei inetie a partiulei E ( m m ) in ( γ 1)m depãºeºte de mai mult de 9 ori valoarea energiei sale de repaus: E 9 E. in Pentru partiulele are au, în raport u un R.I., o energie inetiã mult mai mare deât energia lor de repaus, energia totalã relativistã ºi energia inetiã sunt aproximativ egale între ele, astfel înât putem srie E in E p. Interpretarea grafiã a aestui az se poate urmãri în fig. 1.16, unde se observã ã ipotenuza (are este proporþionalã u energia totalã relativistã) ºi ateta vertialã (are este proporþionalã u mãrimea impulsului înmulþitã u valoarea vitezei luminii în vid) sunt aproximativ egale. În aproximaþia ultrarelativistã, þinând seama ã 1 β n 1, se poate srie: γ 1 (1 ) β 1 E in 1m ( β) p m, E, ( β) βm m ( β) ( β) m, ( β). 18 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a
Vom deide daã, pentru o partiulã u masa de repaus nenulã putem înloui tratarea relativistã u aproximaþia ultrarelativistã (arateristiã partiulelor u masa de repaus nulã), folosind unul dintre ele patru riterii ehivalente indiate în aseta alãturatã. Partiula relativistã în âmp de forþe onservative Energia partiulei este datã de suma dintre energia totalã relativistã m γm ºi energia potenþialã E pot : E m + E pot γ m + U E in + E pot + m. Relaþia dintre energie ºi impuls se srie: 4 pot E p + m + E. Criteriul impulsului: mãrimea impulsului partiulei p mv γm v depãºeºte de mai mult de 1 ori valoarea alulatã onform meaniii lasie ( p m v): p 1 p Criteriul vitezei: valoarea vitezei partiulei nu diferã de valoarea vitezei luminii în vid u mai mult de o jumãtate de proent: 8 1 v, 995, 985 1 m s -. Puterea meaniã are expresia: P F v. Folosind relaþia dintre forþã ºi aeleraþie, deduem: ma v m a v P F v ma v + v v v. astfel înât putem resrie relaþia dintre forþã ºi aeleraþie sub forma: P ma F v sau ma F F vv. Pentru forþa LORENTZ, F qv B, P F v ; de aeea, un âmp magneti uniform (onstant în timp) nu poate modifia mãrimea vitezei partiulei, i doar direþia ei de miºare. ma F qv B, Fig. 1.17. Fig. 1.18. F adiã, în aest az, aeleraþia are aeeaºi orientare u forþa (are rãmâne în permanenþã perpendiularã pe vitezã) (fig. 1.17); singura deosebire faþã de expresia lasiã fiind ã aii m semnifiã masa de miºare a partiulei: m m γ m v. Daã o partiulã înãratã u sarina q se gãseºte într-un âmp eletri E, se poate srie (fig. 1.18): vv ma qe qe. Teoria relativitãþii restrânse Temã Pentru a înþelege din punt de vedere prati teoria relativitãþii restrânse, realizaþi experimentele virtuale desrise la adresele de internet: http://aether.lbl.gov/www/ lasses/p139/exp/gedanken.html http://www.walter-fendt.de/ ph14e/timedilation.htm 19
TEORIA RELATIVITÃÞII RESTRÂNSE Shemã reapitulativã 1. Teoria relativitãþii restrânse, formulatã de EINSTEIN în 195, este fundamentatã pe ipoteza propagãrii u vitezã finitã a interaþiunilor, în ontradiþie u ipotezele spaþiului absolut ºi timpului absolut ale teoriei nerelativiste, newtoniene (are se bazeazã pe ipotezã propagãrii instantanee a interaþiunilor). Teoria relativitãþii restrânse se apliã tuturor sistemelor fizie, indiferent de viteza de miºare a aestora (în timp e teoria newtonianã se apliã numai la viteze mult mai mii în omparaþie u viteza luminii). Pag. 5. Un eveniment fizi este araterizat prin poziþia sa în spaþiu ºi prin momentul de timp la are se desfãºoarã ºi se exprimã printr-un ansamblu de patru numere (x, y, z, t) e onstituie oordonatele spaþio-temporale ale evenimentului. Coordonatele spaþio-temporale depind de referenþialul ales. Pag. 6 3. Unui sistem fizi de referinþã sau referenþial i se ataºeazã un sistem de trei axe de oordonate neoplanare ºi un sistem de mãsurã a timpului (easorni) solidar u axele de oordonate. Pag. 6 4. În referenþialele în are se verifiã prinipiul inerþiei, orie orp îºi pãstreazã starea de repaus sau de miºare retilinie ºi uniformã atâta timp ât asupra sa nu aþioneazã alte orpuri. Pag. 5 5. Meania newtonianã (nerelativistã) se bazeazã pe prinipiul lui GALILEI sau prinipiul relativitãþii galileene: legile meaniii au aeeaºi formã în orie sistem de referinþã inerþial. Pag. 6 6. Transformãrile GALILEI NEWTON stabiles relaþiile de legãturã între oordonatele spaþio-temporale (x, y, z, t) ºi ( x', y', z', t') ale unui eveniment în raport u douã referenþiale inerþiale diferite R ºi R' are se miºã u viteza onstantã v (respetiv ) unul în raport u altul (axele se aleg astfel înât viteza sã fie paralelã u axa Ox): x' x vt y' y z' z t' t ºi x' x' + vt' y y' z z' t t' Pag.7 7. Transformãrile GALILEI NEWTON ondu la urmãtoarele onseinþe ale prinipiului relativitãþii galileene: distanþa dintre douã punte ºi durata unui fenomen nu se shimbã la shimbarea referenþialului inerþial (sunt invariante), pe ând vitezele unui mobil în raport u ele douã referenþiale sunt legate prin legea galileeanã de ompunere a vitezelor: u ' u v ºi. Pag.7 8. Tentativa lui MICHELSON ºi MORLEY, prin are aeºtia urmãreau sã mãsoare viteza Pãmântului faþã de eter printr-un experiment de optiã, a ondus la un rezultat negativ, eea e înseamnã ã prinipiul galileean al relativitãþii nu se apliã tuturor fenomenelor din naturã. Pag. 8 FIZICÃ, Manual pentru lasa a XII-a