1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1."

Κρόνος Διδασκάλου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 . (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t.5t (m/s). Să se calculeze: a) dependența de timp a spațiului străbătut de corp pe traiectorie, () t s0 m. s t s, ştiind că la t 0, ds v, vdt ds, dt ds vdt, s s0 0.5t t, s + 0.5t t s0 o b) dependența de timp a accelerației tangențiale şi a accelerației normale, dacă se ştie că () t t a 5 (m/s ). dv a t, a t t dt a a n + a t, an a a t, a n 4t c) care este raza de curbură a traiectoriei la t 0? v v.5t a n, R R R a n 4t ( ) +., ( t ) R 0. (5p) entru sistemul de corpuri din figura din dreapta, să se calculeze accelerația corpurilor şi tensiunea din fir: a) în cazul în care masa se află în repaus. resupunem că m se deplasează spre dreapta iar m coboară. Reprezentăm forțele care acționează asupra corpurilor. Vom scrie legea a doua a lui Newton pentru fiecare corp: T µ N ma, m g T ma N, T şi a. N mg 0

2 b) În cazul în care masa se deplasează spre dreapta cu accelerația A. Varianta : rezolvăm în sistem de referință legat de ământ. Accelerația lui m Față de ământ (a, să presupunem că în dreapta) este accelerația lui față de masă (a, tot în dreapta) + accelerația mesei față de ământ, (A, tot în dreapta). a a + A. Accelerația corpului m față de ământ (a ) va fi accelerația corpului față de masă (a, vertical în jos) + accelerația mesei față de ământ, (A în dreapta). Desenul va arăta ca şi cel din dreapta. Deoarece şi m se deplasează orizontal cu accelerația A, asupra lui trebuie să acționeze o forță în această direcție, iar aceasta este tocmai reacțiunea normală din partea peretelui vertical. Dacă există reacțiune normală, va exista şi forță de frecare. Vom scrie legea a doua a lui Newton pentru fiecare corp: ( a + A) T µ N m mg T µ N ma, (p) N, N, T şi a. N mg 0 N ma Varianta : rezolvăm în sistem de referință legat de masă, problemă pe care am rezolvat o deja când masa era fixă. Dacă masa se mişcă accelerat spre dreapta, trebuie să luăm în considerare şi forțele de inerție (suntem în SRNI) şi punem forțe de inerție înspre stânga, vezi desenul din dreapta. Vom scrie legea a doua a lui Newton pentru fiecare corp: T µ N ma ma mg T µ N, N mg 0 N ma 0 ma (p) N, N, T şi a.. (6p)De un fir ideal de lungime l este legat un corp punctiform de masă m. Firul este deviat cu unghiul θ 0 şi apoi este lăsat liber. a) (6p) Să se calculeze dependența de unghiul θ a accelerației tangențiale, accelerației normale,a tensiunii din

3 fir, a momentului forței față de punctul de suspensie şi a momentului cinetic. Mişcarea corpului este o mişcare accelerată: viteza nu este constantă, deci are accelerație tangențială; traiectoria este curbilinie, deci are şi accelerație normală. Asupra corpului acționează tensiunea din fir şi forța de greutate. Descompunem forțele pe direcțiile tangențială şi normală şi vom avea: T mg cos θ ma n, mg sinθ ma t a t v a n, deci dacă ştim l viteza corpului la unghiul θ, putem calcula accelerația normală şi apoi tensiunea din fir. Viteza corpului o putem afla din conservarea energiei între punctele inițial şi cel de la mv unghiul θ. mgl ( cosθ0 ) + mgl( cosθ) v. Doar forța de greutate are moment (poate roti) față de punctul de sprijin (tensiunea din r r v fir nu produce moment pentru că trece prin punctul de sprijin). M rxmg, are mărimea lmg sinθ, este orientat perpendicular pe foaie, şi iese din foaie. r r r Momentul cinetic L rxmv are mărimea lmv, este orientat perpendicular pe foaie, şi iese din foaie. b) Care este unghiul θ pentru care tensiunea din fir este maximă? v T mg cos θ m, T mg cosθ mg( cosθ cosθ0 ), T mg( cosθ cosθ0 ). l Tensiunea este maximă când cos θ, deci când cos θ 0 (corpul trece prin poziție verticală) c) (5p) Firul este tăiat când unghiul este θ. Care este înălțimea maximă la care va urca corpul, care va fi viteza cu care va lovi ământul şi sub ce unghi?

4 După tăierea firului, corpul se va mişca cu viteza pe care o avea în acel moment (o obținem din conservarea energiei): ( cosθ ) mgl 0 mv v. + mgl( cosθ) Vom avea o aruncare sub unghi θ, în câmp gravitațional, de la înălțimea h l( cosθ). e direcția x vom aveaa o mişcare cu viteză constantă v x v cosθ, x v xt ; e direcția avem o mişcare accelerată (accelerația este g, îndreptată în jos), ce porneşte de la înălțimea h: gt h + v t ; v v sinθ gt. Găsirea înălțimii maxime din v 0 t u max ( t u ) sau din conservarea energiei. Timpul până la ciocnirea cu ământul îl obținem din ( t c ) 0 momentul ciocnirii o obținem din v v x + v ( tc ) v ( t ) iar unghiul făcut cu orizontala din tg β t c, iar viteza în (sau din conservare de energie) v x c, sau orice altă variantă. d) (4p)Să presupunem că un corp de masă m ciocneşte corpul m exact când acesta trece prin poziție verticală. Cu ce viteză şi sub ce unghi trebuie să îl ciocnească pentru ca după ciocnirea plastică cele două corpuri să se deplaseze vertical în sus cu viteza v? Desenul ciocnirii arată ca în figura din dreapta. Să presupunem că viteza v face unghiul α cu orizontala. Avem o ciocnire, vom scrie conservarea r r mv m + m iar pe axe: impulsului: ( ) v ox : mv m v cosα 0 (p) v o : m0 + m v sinα ( m + m ) şi α. v Viteza v a cormpului m o aflăm din nou din conservare de energie: mv mgl ( cosθ0 ).

5 4. (5p) Un corp de masă m cade printr un tunel imaginar prin centrul ământului. Să se determine: a) Dependența de timp a coordonatelor şi vitezei sale; b) Dacă mişcarea este oscilatorie armonică, să se calculeze perioada mişcării; c) viteza şi accelerația maximă ale corpului; d) Energia totală a corpului în orice moment al mişcării. Se neglijează frecarea cu aerul şi cu pereții tunelului. Se cunosc R, m, M, G. Într un punct aflat la distanța de centrul ământului (axa tunelului este axa, cu originea în centrul ământului), asupra corpului acționează doar păturile sferice de dedesubtul lui iar forța de interacțiune gravitațională se scrie ca: M m 4π F G, unde prin M este masa acestor pături sferice: M ρ, unde ρ este m 4π Gm4πρ densitatea ământului. Înlocuind în F, vom avea că: F G ρ, adică are forma F k. Însă F ma m&, deci m& k ; asta este ecuația oscilatorului, are soluții Acos ( ωt + ϕ), cu ω k / m iar A şi j se obțin din condițiile inițiale: ( 0) R şi & ( 0 ) 0 (este lăsat fără viteză inițială), rezultă R cos ( ωt ). Mişcarea este o mişcare oscilatorie armonică. erioada este T π. ω π v ωr sin ( ωt ), şi este maximă în centrul ământului ( ωt + nπ ; a ω R cos( ωt ) şi este maximă la suprafața ământului (unde forța este maximă), ωt 0 + nπ. Valoare energiei totale depinde de alegerea punctului de referință pentru energia potențială. Dacă alegem punctul de referință în centrul ământului, energia totală este energia mv k kr oscilatorului: E +. Se observă că la suprafața ământului energia este: E şi nu are energie cinetică, iar în centrul ământului energia potențială este zero iar energia cinetică e maximă. Dacă alegem punctul de referință la infinit, la suprafața ământului energia potențială este C U, iar energia potențială într un punct din interiorul ământului, aflat la distanța de R p centrul acestuia se calculează pornind de la definiție: este lucrul mecanic cu semn schimbat pentru a aduce punctul material din punctul de referință în punctul considerat.

6 U C C k ( ) W W W kd ( R ) R R R C k scrie E ( R ) mv +. R p R C k În centrul ământului 0 şi U ( R ). R R. Energia totală se va Energia mecanică se conservă (energia mecanică la suprafața ământului (doar potențială) este egală cu energia mecanică în centrul ământului (cinetică şi potențială): C C kr mv kr + 0 +, adică mv, rezultatul de mai înainte. Rp R TOTAL 0 puncte nota 9 + (din oficiu) 0. Vă rog să mi semnalați eventualele erori. entru nelămuriri vă rog să mă contactați prin e mail sau să veniți la birou.

Σχετικά έγγραφα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul