.. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector unitario coa mesma dirección e o mesmo sentido que. b) O ángulo ormado por e y. Dados os vectores a(, ) y b(, ) calcula un vector u perpendicular a b tal. que aiu 0.. Se a e b son dous vectores non nulos, indica o ángulo que orman nos a) ai b 0,5 a b b) ai b a b c) ai b a b d) ai b 0,86 a b 5. Considera os puntos A(, ), B(, 6) e C (, y). Calcula os valores de e y para que C sea: a) O punto medio do segmento de etremos A e B. b) O simétrico de A con respecto a B. 6. Calcula as coordenadas do baricentro do triángulo de vértices A(, ), B(, ) e C(, ). 7. Escribe as ecuacións paramétricas da recta que pasa por P(, ) e é perpendicular á recta de ecuación y + 0. 8. Dadas as rectas: t + t r : s: y 6 + t y 8t descubre a súa posición relativa (se se cortan, di en que punto). 9. Descubre o ángulo ormado polas rectas: + t r : y + t t s: y + t 0. Descubre a ecuación implícita da recta que pasa polo punto P(, ) e cua pendente é m.. Dadas as rectas: r : + y 0 s: k y + 0 calcula o valor de k para que r e s sean perpendiculares.. Calcula o valor de k para que a distancia do punto P(, k) á recta r : y + 0 sea.
. Calcula a área do paralelogramo de vértices A(, ), B(5, ), C(, ) e D(0, ).. A ecuación eplícita da recta r é y m + n e a implícita A + By + C 0 con B 0. Epresa m e n en unción de A, B e C. 5. A diagonal maior dun rombo mide o dobre que a diagonal menor e ten por etremos os puntos B(, ) e D( 5, ). Calcula os vértices A e C e a área do rombo. 6. Calcula a ecuación da circunerencia que pasa polos puntos A(, ) e B(, ) e ten o seu centro na recta y. 7. Estuda a posición relativa da recta r: + y e a circunerencia + y y 0. 8. Describe as seguintes cónicas, obtén os seus elementos e represéntaas: a) + 5 y 00 b) y 9. Escribe a ecuación da seguinte hipérbole e calcula os seus semieies, ocos, ecentricidade e asíntotas: 0. Identiica e calcula a ecuación do lugar eométrico dos puntos, P, do plano tales que a súa distancia á recta r : + y + 0 sea igual que a súa distancia á recta r : + y + 0.. Determina o lugar eométrico dos puntos, P, do plano cua distancia a A(, 0) sea o dobre da distancia a B(, 0). Identiica a igura resultante.. a) Deine como lugar eométrico unha circunerencia de centro C(a, b) e raio r. b) Cales das seguintes ecuacións corresponde a unha circunerencia? b.. + y + 6y 6 0 b.. + y y + 9 0. Calcula os vértices, os ocos e a ecentricidade da seguinte cónica: + 5y 6 + 00y + 6 0. Calcula o dominio de deinición das seguintes uncións: a) y ( ) b) y 5. A partir da gráica destas uncións, indica cal é o seu dominio de deinición e o seu percorrido: a) b)
6. As tarias dunha empresa de transportes son: Se a carga pesa menos de 0 toneladas, 0 euros por tonelada. Se a carga pesa entre 0 e 0 toneladas, 0 euros por tonelada (a carga máima que admiten é de 0 toneladas). Se consideramos a unción que nos dá o prezo segundo a carga, cal será o seu dominio de deinición? 7. Asocia unha destas ecuacións con cada unha das seguintes gráicas: ( + ) b) y ( + ) a) y c) y 0,5 d) y 0,5 I) II) III) IV) 8. Asocia cada gráica coa súa correspondente ecuación: a) y b) y c) y + d) y + I) II) III) IV) 9. Asocia a cada unha das seguintes gráicas á súa correspondente ecuación: a) y b) y c) y log ( ) + d) y + log I) II) III) IV) 0. Calcula o valor das seguintes epresións en graos: a) y arcsen b) y arccos. Escribe a ecuación da recta cua gráica é a seguinte:
. Representa graicamente a unción: y +. Representa a seguinte unción: y. Representa graicamente a seguinte unción: y si si > 5. No contrato de traballo dun empregado igura unha subida salarial dun % anual. a) Se empeza ganando 5 000 anuais, Canto gañará dentro de 0 anos? b) Calcula canto tempo tardará en duplicarse o seu soldo. c) Obtén a unción que da o soldo anual en unción do número de anos. 6. A seguinte gráica é a de y (): Representa, a partir dela, as uncións: y ( ) b) y ( + ) a) + 7. y ( ). y ( ) Esta é a gráica da unción Representa, a partir dela, a unción : 8. Deine como unción "por anacos": y
9. ( ) ( ) Dadas as uncions e g, calcula : a) ( g)( ) b) ( g )( ) e g. 0. As uncións e g están deinidas por: ( ) ( ) Eplica como, a partir delas, por composición, podemos obter: ( ) e q( ) p. A partir da gráica de y (): ( ) ( ) a) Calcula e 5. b) Representa, nos mesmos eies,. ( ). Calcula a unción inversa de: ( ) 5. Calcula en cada un dos seguintes casos: 5π 5π a) arctg rad b) arcsen 0 c) arccos 0 d) arcsen rad 6. Representa a unción y + e eprésaa en intervalos. 5. A seguinte gráica corresponde á unción (). Sobre ela, calcula os límites: a) lim ( ) b) lim ( ) + c) lim ( ) d) lim ( ) + e) lim ( ) 0 8 6 Y 8 6 6 8 X 6 6. Representa en cada caso os seguintes resultados: ( ) a) lim + b) lim g ( ) + 7. Calcula: a) lim + b) lim + c) lim tg π 8. Calcula o seguinte límite e estuda o comportamento da unción á esquerda e á dereita de : lim 9 9. Calcula o seguinte límite e interprétao graicamente: lim +
50. Calcula o límite cando + e cando da seguinte unción e representa a inormación que obteñas: + ( ) 5. Calcula o límite cando + e cuando da seguinte unción, e representa a os resultados que obteñas: + ( ) ( ) 5. A partir da gráica de ( ) sinala se é continua ou non en 0 e en. No caso de non ser continua, indica a causa da descontinuidade. 5. Estuda a continuidade de: ( ) 5. Calcula as asíntotas verticais de: e sitúa a curva respecto a elas. si si > ( ) 8 6 Y 8 6 6 6 8 X 55. Calcula as ramas ininitas, cando + e cando, da unción : ( ) + Representa graicamente os resultados obtidos. 56. Calcula as ramas ininitas, cando + e cando, da unción : ( ) + Representa a inormación obtida. 57. Estuda o comportamento da seguinte unción, cando + e cando, e e representa as ramas que obteñas: ( ) + + 58. Estuda e representa o comportamento da seguinte unción cando + e cando. Se ten algunha asíntota, representa a posición da curva respecto a ela: 59. ( ) + 7 Indica que valor debe tomar a unción ( ) en para que a unción sea continua nese punto.
60. Calcula a asíntota horizontal de dada unha das uncións seguintes: a) y + b) y + c) y 0,7 d) y 0,5 6. Calcula a taa de variación media da seguinte unción no intervalo [, ] e indica se () crece ou decrece nese intervalo: ( ) 6. ( ) ( ) Calcula a derivada da unción en, aplicando a deinición de derivada. 6. Calcula, utilizando a deinición, a derivada da unción: 6. Calcula a derivada de: ( ) a) 5 65. Calcula () en cada caso: ( ) + ( ) b) cos ln a) ( ) + b) ( ) sen 66. Calcula a derivada da unción: ( ) + 67. Calcula a ecuación da recta tanente á curva ( ) y +. que sea paralela á recta 68. Descubre os puntos de tanente horizontal da unción: ( ) + 69. Estuda o crecemento e o decrecemento da unción: ( ) + 70. Debua a gráica da unción ( ), A súa derivada anúlase en ( 0, 0 ). Só corta os eies en ( 0, 0 ). sabendo que: Sus asíntotas son:, e y 0. Sus asíntotas son:, e y 0 A posición da curva respecto das asíntotas é: Se, y < Se +, y >
7. A partir da gráica de (): a) Cales son os puntos de corte cos eies? b) Di cales son as súas asíntotas. c) Indica a posición da curva respecto ás asíntotas verticais. 7. Estuda e representa a seguinte unción: ( ) + 7. Estuda e representa a unción: ( ) + 7. Estuda e representa a seguinte unción: ( ) 75. Dada a unción ( ) + estuda os seus aspectos máis relevantes e represéntaa graicamente. 76. Estuda e representa a seguinte unción: ( ) + 77. Estuda e representa a unción: ( ) + 9 Razoa se eiste algún punto da unción + 6 + no que a tanente sea paralela ao eie OX. En caso airmativo, áchao. 78. ( ) 79. Mediuse o número medio de horas de adestramento á semana dun grupo de 0 atletas e o tempo, en minutos, que ieron nunha carreira, obtendo os seguintes resultados: HORAS DE ADESTRAMENTO 5 6 6 5 8 6 8 0 7 TEMPO CARREIRA 0 0 8 Representa os datos mediante unha nube de puntos e di cal destes valores che parece máis apropiado para o coeiciente de correlación: 0,7; 0,7; 0,5; 0,.
80. En seis modelos de zapatillas deportivas estudouse o peso, en gramos, que ten (para o número ) e o seu prezo, en euros. A inormación obtida recóllese en esta táboa: PESO 60 65 655 60 60 60 PREZO 60 5 95 75 0 75 Calcula a covarianza e o coeiciente de correlación. Como é a relación entre as dúas variables? 8. Analizouse en distintos modelos de impresoras cal é o custo por páina (en céntimos de euro) en branco e negro e cal é o custo por páina se esta é en cor. A seguinte táboa dános os seis primeiros pares de datos obtidos: X: B Y N 8 7 0 Y: COR 9 95 06 58 5 a) Determina a recta de regresión de Y sobre X. b) Canto nos custaría imprimir unha páina en cor nunha impresora na que o custo por páina en branco e negro ose de céntimos de euro? É iable a estimación? (Sabemos que r 0,97). 8. Considera a seguinte distribución: a) Determina as dúas rectas de regresión e represéntaas. b) Observando o grao de proimidade entre as dúas rectas, como cres que será a correlación entre as dúas variables? 8. Indica razoadamente se as seguintes airmacións reeridas a unha distribución bidimensional son certas ou non: a) Se r, os puntos da nube están aliñados. b) Se a covarianza é positiva, o coeiciente de correlación é negativo. c) Se r é próimo a 0, a correlación é débil. d) Unha estimación só é iable se r. 8. Nunha distribución bidimensional obtivéronse 5 medidas das variables X e Y. Cos ditos datos coñecemos: Σ i 05, Σy i 75, r 0,98 I. Indica razoadamente cal das seguintes rectas é a recta de regresión de X sobre Y: a) b) c) d) y y + y y II. Calcula a recta de regresión de Y sobre X. 85. Etraemos dúas cartas dunha baralla española e vemos de que pau son. a) Cal é o espazo da mostra? Cantos elementos ten?
b) Describe os sucesos: A "As cartas son de distinto pau" B "Polo menos unha carta é de ouros" C "Ningunha das cartas é de espadas" escribindo todos os seus elementos. c) Calcula os sucesos B C e B' C. 86. Tendo en conta que: P[A B] 0,9 P[B'] 0, P[A B] 0, Calcula P[A] e P[A' B]. 87. Se A e B son dous sucesos tales que: P[A] 0, P[B / A] 0,5 P[B'] 0,75 a) Son A e B independentes? b) Calcula P[A B] e P[A B]. 88. Temos para enviar tres cartas cos seus tres sobres correspondentes. Se metemos ao azar cada carta nun dos sobres, cal é a probabilidade de que polo menos unha das cartas vaia no sobre que lle corresponde? 89. Nunha viae organizado por Europa para 0 persoas, 8 dos que van saben alar inglés, 6 saben alar rancés, e deles alan os dous idiomas. Escollemos un dos viaeiros ao chou. a) Cal é a probabilidade de que ale algún dos dous idiomas? b) Cal é a probabilidade de que ale rancés, sabendo que ala inglés? c) Cal é a probabilidade de que solo ale rancés? 90. Temos dúas bolsas, A e B. Na bolsa A hai bólas brancas e 7 vermellas. Na bolsa B hai 6 bólas brancas e vermellas. Sacamos unha bóla de A e pasámola a B. Despois etraemos unha bóla de B. a) Cal é a probabilidade de que a bóla etraída de B sea branca? b) Cal é a probabilidade de que as dúas bólas sean brancas? 9. Consideramos A e B dous sucesos dun eperimenteo aleatorio tales que P[ A ], 5 P[ A' B' ]. Razoa se é posible que P sea unha probabilidade.