3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο ΗΘΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο i Θ = 90 ο και Θ Ζ = 90 ο ii ΕΖ + Η = Η ΕΖ είναι διάµεσος του τραπεζίου άρα ΕΖ // και επειδή ΖΘ // Ε το ΕΖΘ είναι παραλληλόγραµµο συνεπώς το ΕΖΘΗ τραπέζιο Ε 45 ο 45 ο πό το παραλληλόγραµµο ΕΖΘ έχουµε ότι ΖΘ = Ε και από το ορθογώνιο τρίγωνο Η επειδή η ΗΕ είναι διάµεσος στην υποτείνουσα ΕΗ = = Ε δηλαδή ΖΘ = ΕΗ συνεπώς το τραπέζιο ΕΖΘΗ είναι ισοσκελές i Στο τρίγωνο Θ η ΘΖ είναι διάµεσος και ΘΖ = Ε = Θ = 90 ο Επειδή ΘΖ = Ζ και ɵ = 45 ο θα είναι και Ζ Θ = ɵ = 45 ο συνεπώς η τρίτη γωνία Θ Ζ του τριγώνου ΘΖ θα είναι 90 ο ii Η = εποµένως Τα ορθογώνια τρίγωνα Η και Θ αφού = και ɵ = = 45 ο είναι ίσα ισοσκελή άρα Η = Η = Θ = Θ και φανερά από το ορθογώνιο ΘΗ έχουµε ότι = ΗΘ οπότε + ΗΘ++ Η ΕΖ + Η = + Η = = ΗΘ++Η+ Θ = = = Θ Ζ

. ίνεται το ορθογώνιο µε κέντρο το Ο και >, =. ν η κάθετος στην στο Ο τέµνει την στο Ε και την στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Το τρίγωνο Ε είναι ισόπλευρο i Το τετράπλευρο Ε είναι παραλληλόγραµµο ii Το τετράπλευρο ΕΟ είναι ισοσκελές τραπέζιο Ζ Ε Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε ότι = άρα =30 ο και επειδή Ο = Ο θα είναι και =30 ο άρα = 60 ο Στο τρίγωνο Ε το ΕΟ είναι ύψος και διάµεσος οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και επειδή η γωνία του είναι = 60 ο το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. i Στο ισόπλευρο τρίγωνο Ε αφού το είναι ορθογώνιο το είναι ύψος άρα θα είναι και διάµεσος εποµένως Ε =, επειδή όµως = // θα είναι και Ε = // δηλαδή το Ε είναι παραλληλόγραµµο ii φού το Ε είναι παραλληλόγραµµο δηλαδή Ε // Ο το ΕΟ είναι τραπέζιο Ε Ζ Ο και δεδοµένου ότι Ο = = = Ε το τραπέζιο είναι ισοσκελές Στο ισόπλευρο τρίγωνο Ε τα ΕΟ και είναι δύο ύψη του, συνεπώς, το Ζ είναι το ορθόκεντρο αυτού άρα, η ευθεία Ζ είναι ο φορέας του τρίτου ύψους και εποµένως Ζ Ε

3. Σε τραπέζιο είναι // και =. Η διχοτόµος της γωνίας τέµνει τη στο σηµείο Μ και τη στο σηµείο Ε. Να δείξετε ότι: H είναι κάθετη στην Ε. i Η είναι διχοτόµος της γωνίας. ii Το τετράπλευρο Ε είναι ρόµβος. πό το σηµείο Μ φέρνουµε παράλληλη προς την που τέµνει την στο σηµείο Ν, αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι = 3 να δείξετε ότι το ΜΝ είναι παραλληλόγραµµο. φού = το τρίγωνο είναι ισοσκελές και επειδή Μ διχοτόµος θα είναι και ύψος και διάµεσος οπότε Μ δηλαδή Ε και Μ = Μ i πό το ισοσκελές τρίγωνο έχουµε = και = ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων // µε τέµνουσα την Ε άρα = εποµένως η διχοτόµος της γωνίας ii Στο τρίγωνο Ε το Μ είναι ύψος και διχοτόµος άρα θα είναι και διάµεσος οπότε Μ = ΜΕ Επειδή Μ = Μ, Μ = ΜΕ και Ε το τετράπλευρο Ε είναι ρόµβος Στο τραπέζιο το Μ είναι µέσο της διαγωνίου και ΜΝ // άρα το Ν θα είναι µέσο και της διαγωνίου οπότε ΜΝ = 3 = = επειδή ακόµα είναι και ΜΝ // το ΜΝ είναι παραλληλόγραµµο ω ω Μ Ε Ν

4. ίνεται τρίγωνο (όπου < ) και, Ε, Ζ είναι τα µέσα των πλευρών,, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο. i Εάν Η είναι ύψος του τριγώνου να δείξετε ότι το ΗΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ii Εάν ΗΕ =κ. και = 4κ, να υπολογίσετε το µήκος της διαµέσου του τραπεζίου ΗΕΖ. συναρτήσει του κ Επειδή και Ζ µέσα των και θα είναι Ζ Ζ = // = // Ε οπότε το ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο Η Ε i φού το ΖΕ είναι παραλληλόγραµµο το ΗΖΕ είναι τραπέζιο ( Ζ // ΗΕ και Ζ ΗΕ) Όµως Ζ, Ε µέσα των και άρα ΖΕ = () στο δε ορθογώνιο τρίγωνο Η η Η είναι διάµεσος στην υποτείνουσα άρα Η = () πό τις () και () έχουµε ότι ΖΕ = Η συνεπώς το τραπέζιο είναι ισοσκελές ii φού Ζ = θα είναι Ζ = κ εποµένως το µήκος της διαµέσου δ του τραπεζίου ΗΖΕ είναι ίσο µε Ζ+ΗΕ 3κ δ = =

5. Έστω το ισοσκελές τρίγωνο µε = και οι διάµεσοι και Ε αυτού οι οποίες τέµνονται στο Κ. Να αποδείξετε ότι = Ε i Το τρίγωνο ΚΕ είναι ισοσκελές ii Η ευθεία Κ είναι µεσοκάθετος της βάσης ν Η και Θ είναι τα µέσα των Κ και Κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΗΘ είναι ορθογώνιο Τα τρίγωνα και Ε είναι ίσα διότι έχουν =, = Ε σαν µισά των ίσων τµηµάτων και και την γωνία κοινή άρα = Ε i Το Κ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου οπότε Κ = 3 και ΚΕ = Ε και λόγω του ( θα είναι Κ = ΚΕ συνεπώς το τρίγωνο 3 ΚΕ είναι ισοσκελές ii Τα τρίγωνα ΕΚ και Κ έχουν Ε =, ΚΕ = Κ και την Κ κοινή άρα είναι ίσα οπότε = δηλαδή η ευθεία Κ είναι ο φορέας της διχοτόµου της γωνίας και επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές η ευθεία Κ είναι µεσοκάθετος στην φού Η και Θ µέσα των Κ και Κ θα είναι ΗΚ = Κ = ΕΚ = ΚΘ εποµένως στο τετράπλευρο ΕΗΘ οι διαγώνιες διχοτοµούνται άρα αυτό είναι παραλληλόγραµµο και επειδή είναι και ίσες το παραλληλόγραµµο ΕΗΘ είναι ορθογώνιο. Ε Η Κ Θ

6. Έστω παραλληλόγραµµο µε =. Η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο Ε. ν Κ, Λ, Μ, Ρ είναι τα µέσα των Ε,,, και Ε αντίστοιχα Να υπολογίσετε το µέτρο των γωνιών και του παραλληλογράµµου i Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ε είναι ισοσκελές τραπέζιο ii Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΡ είναι ρόµβος νωρίζουµε ότι + = 80 ο άρα Λ + = 80 ο = 60 ο οπότε = 0 ο i Κ Ε Ρ φού το είναι παραλληλόγραµµο το Ε είναι τραπέζιο ( // Ε και Ε //) Μ Επίσης έχουµε ότι η Ε είναι διχοτόµος της γωνίας άρα Ε = = Συνεπώς το τραπέζιο είναι ισοσκελές ii Τα Κ, Λ, Μ, Ρ είναι µέσα των Ε,, και Ε άρα το Κ Λ Μ Ρ είναι παραλληλόγραµµο Ε όµως ΚΛ = και ΛΜ = επειδή δε το τραπέζιο Ε είναι ισοσκελές έχουµε Ε = άρα ΚΛ = ΛΜ. φού το παραλληλόγραµµο ΚΛΜΡ έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες αυτό είναι ρόµβος

7. ίνεται παραλληλόγραµµο µε > 90 ο και =. πό το φέρνουµε το τµήµα Ε κάθετο στην ευθεία. Έστω ακόµα ότι Μ και Ν είναι τα µέσα των και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Η Ν είναι µεσοκάθετος του Μ i Το τετράπλευρο ΜΝΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο ii Η ΕΝ είναι διχοτόµος της γωνίας ΕΜ ɵ Ε Ν = 3Μ ɵ ΕΝ Ε Στο τετράπλευρο ΜΝ έχουµε Μ = // Ν οπότε αυτό είναι παραλληλόγραµµο επειδή όµως Ν = = = το παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος εποµένως η διαγώνιος Ν είναι µεσοκάθετος της Μ Ν Μ i Είναι ΜΝ // Ε και ΜΕ //Ν άρα το ΕΝΜ είναι τραπέζιο Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ε η ΕΜ είναι διάµεσος στην υποτείνουσα άρα ΕΜ = ii = Μ = Ν οπότε το τραπέζιο είναι ισοσκελές πό τον ρόµβο ΝΜ έχουµε ΝΜ= Μ και επειδή Μ= ΕΜ θα είναι ΝΜ = ΕΜ άρα Ε ɵ = Ν όµως Ν = Ε ɵ σαν εντός εναλλάξ των παραλλήλων Ε και ΜΝ µε τέµνουσα την ΕΝ άρα Ε ɵ = Ε ɵ δηλαδή η ΕΝ είναι διχοτόµος της γωνίας ɵ ΕΜ Eίναι Ν = ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων και ΝΜ µε τέµνουσα την Ν και λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου ΝΕΜ είναι = ɵ ΕΜ άρα Ν = ΕΜ ɵ = Ε ɵ οπότε ΕΝ = Ν + Ν = Ε ɵ + Ε ɵ =3Ε ɵ = 3 ΜΕΝ ɵ

8. ίνεται ορθογώνιο µε κέντρο Ο, = 30 ο και Π, Κ, Μ τα µέσα των Ο, Ο και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο i Το τρίγωνο Π είναι ορθογώνιο ii Το τρίγωνο ΠΜΚ είναι ισόπλευρο Το τετράπλευρο ΠΚ είναι εγγράψιµο σε κύκλο του οποίου κύκλου να βρείτε το κέντρο. Οι διαγώνιες του ορθογωνίου είναι ίσες οπότε και τα µισά τους θα είναι ίσα άρα Ο = Ο εποµένως το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές επειδή δε = 30 ο θα είναι 60 ο = 60 ο οπότε το ισοσκελές τρίγωνο είναι ισόπλευρο. i Στο ισόπλευρο τρίγωνο Ο η Π είναι διάµεσος άρα θα είναι και ύψος συνεπώς Π= 90 ο δηλαδή το τρίγωνο Π είναι ορθογώνιο ii Στο ορθογώνιο τρίγωνο Π η ΠΜ είναι διάµεσος στην υποτείνουσα άρα ΠΜ = οµοίως στο ορθογώνιο τρίγωνο Κ είναι ΚΜ = και επειδή Π, Κ µέσα των Ο και Ο θα είναι και ΠΚ = ηλαδή το τρίγωνο ΠΜΚ είναι ισόπλευρο Π Μ Ο Κ 30 ο = εποµένως ΠΜ = ΚΜ = ΠΚ Επειδή Π = 90 ο = Κ η στο τετράπλευρο ΠΚ φαίνεται από τα Π και Κ υπό ίσες γωνίες άρα το ΠΚ είναι εγγράψιµο σε κύκλο. Το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου είναι το Μ δεδοµένου ότι Μ = Μ = ΜΠ = ΜΚ =.

9. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και > 90 ο. Στο φέρνουµε τις ηµιευθείες x και y κάθετες στις και αντίστοιχα οι οποίες τέµνουν την στα και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Το τρίγωνο Ε είναι ισοσκελές i Τα τρίγωνα και Ε είναι ίσα ii B = Τα σηµεία Ε και ισαπέχουν από τις και αντίστοιχα Τα ορθογώνια τρίγωνα Ε και είναι ίσα διότι έχουν = και = ɵ άρα = Ε δηλαδή το τρίγωνο Ε είναι ισοσκελές i ω Λ Κ φ Ε y x Είναι =, = Ε και = 90 ο ω= άρα τα τρίγωνα και Ε είναι ίσα ii Στο τρίγωνο η γωνία ɵ φείναι εξωτερική συνεπώς ɵφ = + = φ ɵ από το ορθογώνιο τρίγωνο είναι ɵφ = 90 ο ɵ = 90 ο ( = ɵ ) οπότε = 90 ο = ɵ + + = = = ν Λ και ΕΚ είναι οι αποστάσεις των και Ε από τις και αντίστοιχα τότε τα τρίγωνα Λ και ΚΕ είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια και επιπλέον έχουν = Ε, = άρα Λ = ΕΚ

30. Σε ευθεία (ε) παίρνουµε τα σηµεία,, και έτσι ώστε = = = α πό τα και προς το ίδιο µέρος τις (ε) φέρνουµε ηµιευθείες x και y παράλληλες µεταξύ τους στις οποίες παίρνουµε σηµεία Ε και Ζ έτσι ώστε Ε = Ζ = α. Να δείξετε ότι Η Ζ διέρχεται από το µέσο Κ του Ε και η Ε από το µέσο Λ του Ζ i Ζ Ε ii Τα τµήµατα Ε, Ζ, και ΚΛ συντρέχουν Επειδή Ε = // Ζ το ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο άρα ΕΖ = // εποµένως ΕΖ = // αρά το ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο και επειδή οι διαγώνιες του διχοτοµούνται η Ζ διέρχεται από το µέσο Κ της Ε Οµοίως και στο παραλληλόγραµµο ΕΖ η Ε διέρχεται από το µέσο Λ της Ζ i Ε Ζ Κ Λ Στο τετράπλευρο ΕΚΛΖ έχουµε ΕΚ= // ΖΛ άρα αυτό είναι παραλληλόγραµµο και επειδή ΕΖ = α = ΕΚ το παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος συνεπώς ΕΛ ΚΖ δηλαδή Ζ Ε ii Φέρω την Κ τότε επειδή ΕΚ = // Λ το ΕΚΛ είναι παραλληλόγραµµο στα παραλληλόγραµµα ΕΚΛ και ΕΖ η Ε είναι κοινή διαγώνιος και οι άλλες διαγώνιες αυτών είναι οι ΚΛ και Ζ οπότε τα ΚΛ και Ζ διέρχονται από το µέσο του Ε δηλαδή τα τµήµατα Ε, Ζ, και ΚΛ συντρέχουν