Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α + β + γ με α 0 είναι παραβολή με : β Δ Κορυφή το σημείο Κ,, όπου Δ = β αγ και α α Άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από την κορυφή της Κ και έχει εξίσωση =. β α Αν α > 0, η συνάρτηση = α + β + γ παίρνει ελάχιστη τιμή Δ β =, όταν = α α Αν α < 0, η συνάρτηση = α + β + γ παίρνει μέγιστη τιμή Δ β =, όταν = α α Στο διπλανό σχήμα υπάρχουν 8 οι γραφικές παραστάσεις δύο f ( ) = + +1 6 τετραγωνικών συναρτήσεων η μια με α = >0 και η δεύτερη με α = -1<0. Η πρώτη παίρνει ελάχιστη τιμή το -1 για = -1 και η δεύτερη παίρνει -5 5 10 Κ(-1,-1) μέγιστη τιμή το -3 για = 1. Η πρώτη έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1 και η δεύτερη την ευθεία = 1. Οι κορυφές τους είναι αντίστοιχα Κ(-1,-1) και Λ(1,-3). - - -6-8 Λ(1,-3) g ( ) = (- + )-

338 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = 3. Να συμπληρώσετε τα κενά σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η γραφική παράσταση είναι με κορυφή το σημείο και άξονα συμμετρίας την ευθεία β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει.. τιμή =, όταν = γ) Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στα σημεία, και τον άξονα στο σημείο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γραφική παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο (1, ) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1. β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει ελάχιστη τιμή = όταν = 1. γ) Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στα σημεία ( 1,0), (3,0) και τον άξονα στο σημείο (0, 3).. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Η παραβολή = + έχει : i) Κορυφή το σημείο α. (, ) β. (0, ) γ. ( 0, ) δ. (, 0 ) ii ) Άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση α. = β. = 0 γ. = 0 δ. = ΑΠΑΝΤΗΣΗ i ) Η κορυφή της καμπύλης είναι το σημείο (0,), δηλαδή το γ. ii ) Άξονα συμμετρίας έχει την ευθεία με εξίσωση = 0,δηλαδή το γ. 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Η συνάρτηση = 5 + παίρνει ελάχιστη τιμή. β) Η παραβολή = + τέμνει τον άξονα στο σημείο A(0, ). γ) Ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής = 3 7. δ) Η παραβολή = ( +1) έχει κορυφή πάνω στον άξονα. ε) Η συνάρτηση = + έχει κορυφή πάνω στον άξονα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 339 α) Είναι λάθος (Λ),γιατί η συνάρτηση = 5 + έχει α=-<0. β) Είναι σωστό (Σ), γιατί για =0 έχουμε =0-0+=. β 0 γ) Είναι σωστό (Σ), γιατί έχει άξονα συμμετρίας = = = 0 α 6 (α=3,β=0) β Δ 0 δ) Είναι σωστό (Σ), γιατί Κ(, ) =, = ( 1,0)το οποίο είναι α α πάνω στον άξονα. Είναι ( + 1) = + + 1 (α=1,β=,γ=1 και Δ=0) β Δ 0 8 ε) Είναι σωστό (Σ), γιατί Κ(, ) =, = ( 0, )το οποίο είναι πάνω στον άξονα. Είναι = + (α=1,β=0,γ= και α α Δ=-8).. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή της πρώτης γραμμής την εξίσωσή της από τη δεύτερη γραμμή. α. β. γ. δ. 1. = ( + 1). = 1 3. = +1 = ( 1) ΑΠΑΝΤΗΣΗ α β γ δ 1 3

30 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 5. Ορισμένες τιμές της συνάρτησης = α + β + γ με α < 0 φαίνονται στον πίνακα. 1 0 1 3 5 0 3 3 0 5 Να συμπληρώσετε τα κενά σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία και κορυφή το σημείο β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη τιμή =.., όταν =.. γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στα σημεία,. και τον άξονα στο σημείο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1 και κορυφή το σημείο (1,) β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη τιμή =, όταν = 1 γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στα σημεία ( 1,0), (3,0) και τον άξονα στο σημείο (0,3). Όλα τα παραπάνω προκύπτουν από τον πίνακα τιμών της συνάρτησης.

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 31 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να σχεδιάσετε τις παραβολές α) = + 3 β) = + + 6 α) Η συνάρτηση = +-3 είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = και γ = -3, οπότε έχουμε β = = 1 α 1 και Δ 1 ( 3) 16 = = =. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα. 1 0 1 3 - -3 0 5 1 1 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + 3 που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία =-1. 8 6 = +-3-5 5 10 - Κ(-1,-) - -6-8 β) Η συνάρτηση = - ++6 είναι της μορφής = α + β + γ με α = -, β = και γ = 6, οπότε έχουμε β = = 1 α ( ) και Δ ( ) 6 16 + 8 = = = 8. α ( ) 8 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 8) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1.

3 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα. 1 0 1 3 0 6 8 6 0-10 8 6 Κ(1,8) =- ++6 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = - + +6 που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 8) και άξονα συμμετρίας την ευθεία =1. Ο(0,0) -5 5 - - -6 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτησης... α) = 3 1 +11 β) = 8 +1 γ) = ( 6) + 7. α) Επειδή στην παραβολή = 3 1 + 11 ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = 3>0 αυτή έχει ελάχιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ( min = = = 1 ) 3 11 1 13 1 = = = 1 α α 3 1 1 β) Επειδή στην παραβολή = 8 +1 ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = <0 αυτή έχει μέγιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ( ma = = = 8 ) ( ) 1 6 + 16 80 = = 5 α α ( ) 16 16 = γ) Κάνουμε τις σχετικές πράξεις και η παραβολή γίνεται : = ( 6) + 7 ή = ( 1+3 6) + 7 ή = + 7 + 7 ή = + 65 Επειδή στην παραβολή = + 65 ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = <0 αυτή έχει μέγιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ma = = = ( ) ( 65) 576 50 56 = = 7 α α 8 8 = ( ) -8

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 33 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης = + για και με τη βοήθεια αυτής να βρεθούν οι τιμές του για τις ο- ποίες + = 3. Η συνάρτηση = + είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = και γ = 0, οπότε έχουμε β = = 1 α 1 και Δ 1 0 = = = 1. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα. - -3-1 0 1 8 3 0-1 0 3 8 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία =-1. 8 6 - = + O(0,0) -5 5 K(-1,-1) Για να είναι + = 3 πρέπει να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων = + και =3. Από το διπλανό σχήμα φαίνεται ότι αν φέρουμε την ευθεία =3 αυτή τέμνει την παραβολή σε σημεία με τετμημένες -3,1 δηλαδή στα σημεία (-3,3) και (1,3), δηλαδή τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη 3 έχουν τετμημένες -3,1-3 K(-1,-1) 8 6 = + =3 1-5 5 O(0,0) -

3 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΑΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης = + και με τη βοήθεια αυτής να αποδείξετε ότι + > για κάθε πραγματικό αριθμό. Η συνάρτηση = -+ είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = - και γ =, οπότε έχουμε β = α 1 = 1 και Δ ( ) 1 = = = 1. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα. -3-1 0 1 3 17 10 5 1 5 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = - + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία =1. Επίσης παρατηρούμε ότι όλες οι τιμές του είναι θετικές (πάνω από τον άξονα ), δηλαδή >0 ή - + >0 ή +> 8 6 - Κ(1,1) Ο(0,0) = -+ 5 10 ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση = + 3 + λ. α) Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού λ το σημείο Α ( 1, 6 ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; β) Αν λ =, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 1 και να βρείτε τα κοινά της σημεία με τους άξονες. α) Για να ανήκει το σημείο Α στην γραφική παράσταση της συνάρτησης

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 35 = +3 + λ πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου Α να την επαληθεύουν. Επομένως έχουμε : 6 = 1 +3 1+λ ή 6 = 1+3+λ ή 6 = +λ ή λ = 6 = β) Η συνάρτηση για λ= γίνεται = + 3 + οπότε είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = 3 και γ =, επομένως έχουμε β 3 3 Δ 3 1 1 = = και = =. α 1 α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο 3 1 3 Κ, και άξονα συμμετρίας την ευθεία =. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα. - -3-1 0 1 6 0 0 6 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = +3 + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο 3 1 Κ, και άξονα συμμετρίας 3 την ευθεία =. Επίσης παρατηρούμε ότι τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(-,0) και Β(-1,0) και τον άξονα στο σημείο Γ(0,). ΑΣΚΗΣΗ 6 8 6-5 5 Κ(- 3,-1 ) - - Γ(0,) Ο(0,0) Α(-,0) Β(-1,0) = +3+ Να σχεδιάσετε την παραβολή = 6 + 5. Αν Α, Β, Γ είναι τα κοινά της σημεία με τους άξονες, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Η συνάρτηση = -6+5 είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = -6 και γ = 5, οπότε έχουμε β 6 = = 3 α 1 και Δ ( 6) 1 5 16 = = =. α 1

36 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (3, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 3. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα. -3-1 0 1 3 3 1 1 5 0-3 - Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης = 6 + 5 τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(1,0) και Β(5,0) τον άξονα και το σημείο Γ(0,5) τον άξονα. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι : 8 6 Γ(0,5) = -6+5 Ο(0,0) A(1,0) Β(5,0) -5 5 10 - - Κ(3,-) -6 1 1 0 E ΑΒΓ = β.υ =.5 = = 10 τ.μ ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε τους αριθμούς β και γ, ώστε η συνάρτηση = + β + γ για = να παίρνει ελάχιστη τιμή την = 7. β Επειδή η τιμή της μεταβλητής = για την οποία η συνάρτηση παίρνει α Η συ- β την ελάχιστη πρέπει να είναι, προκύπτει ότι = ή β = 8 1 νάρτηση τότε γράφεται : = 8 + γ. Αφού η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι 7 έχουμε : 8 +γ = 7 ή 16 3 +γ = 7 ή 16+γ = 7 ή γ = 9.

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 37 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένας ποδοσφαιριστής έδιωξε την μπάλα από το σημείο Ο, η οποία αφού διέγραψε μια παραβολική τροχιά με μέγιστο ύψος 10 m έφτασε σε απόσταση 0 m. α) Να αποδείξετε ότι η παραβολή έχει εξίσωση 1 = + με 0 0. 0 β) Ποια ήταν η απόσταση της μπάλας από το έδαφος, όταν αυτή βρισκόταν στο σημείο Μ και σε ποιο άλλο σημείο της τροχιάς η μπάλα απείχε από το έδαφος την ίδια απόσταση; α) Εφόσον η τροχιά της μπάλας είναι παραβολική θα έχει εξίσωση της μορφής = α + β + γ. Το γεγονός ότι περνά από τα σημεία (0,0), (0,10) και (0,0) σημαίνει ότι: 0=α.0 +β.0+γ οπότε γ=0 (1) 10=α.0 +β.0+γ ή 10=00α+0β ή 0α +β=1 () 0=α.0 +β.0+γ ή 1600α +0β=0 ή 0α +β=0 (3) Από τις () και (3) έχουμε ότι: 0α + β = 0 β = -0α β = -0α ή ή ή 0α + β = 1 0α + ( - 0α) = 1 0α - 80α = 1 1 β = -0α β = -0. - 1 β = -0α 0 α = - ή 1 ή ή 0-0α = 1 α = - 1 0 α = β = 1 0 Άρα η εξίσωση της παραβολικής τροχιάς θα είναι: 1 = α + β + γ = + με 0 0. 0 β) Η απόσταση της μπάλας από το έδαφος, όταν αυτή βρισκόταν στο σημείο Μ ήταν = 1.30 + 30 = + 30 =,5 + 30 = 7,5 m 900 0 0 Από το σχήμα φαίνεται ότι το συμμετρικό του σημείου (30,7,5) ως προς την ευθεία =0 είναι αυτό με τετμημένη 10 άρα είναι το σημείο (10,7,5)

38 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 1 100 γιατί =.10 + 10 = + 10 = 7, 5. 0 0 Γενικές ασκήσεις του ου Κεφαλαίου 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9 = παριστάνει δύο παραβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα, τις οποίες και να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων. 9 = ή 9 =0 ή (3) ( ) = 0 ή (3 + )( 3 ) = 0 (1) ή 3 + 3 = 0 = 0 ή = 3 ή = + 3 () (3) Από την δοσμένη εξίσωση μεταφέροντας όλους τους όρους στο 1 ο μέλος προκύπτει η εξίσωση (1) Από αυτήν συμπεραίνουμε ότι πρέπει τουλάχιστον ένας από τους όρους του γινομένου να ισούται με μηδέν, οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις () και (3). Κάθε μία όμως από αυτές έχει ως γραφική παράσταση μία παραβολή. Οι δύο δε αυτές παραβολές είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα αφού έχουν αντίθετους συντελεστές.. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε οι εξισώσεις = (α 1) και = (1 α ) να παριστάνουν παραβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα. Για να είναι οι παραβολές, που αποτελούν τις γραφικές παραστάσεις των δύο παραπάνω εξισώσεων, συμμετρικές ως προς τον άξονα, πρέπει οι συντελεστές του δευτεροβάθμιου όρου να είναι αντίθετοι. Επομένως : (1 α ) = α 1 ή α 1 α + 1 = 0 ή α α = 0 ή α(α 1) = 0. Για να αληθεύει η εξίσωση αυτή πρέπει ένας τουλάχιστον από τους όρους του γινομένου α(α 1) να ισούται με μηδέν οπότε έχουμε : α = 0 ή α = 0 1 α 1 = 0 ή α = απορρίπτεται 3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων =, = 3 και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κοινών τους σημείων. -5 =- Ο(0,0) - - Α(1,-1) =-3 5-6 Β(-3,-9) -8 10

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 39 Οι συντεταγμένες των κοινών τους σημείων,δηλαδή των σημείων τομής, αφού θα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις θα είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων αυτών. Θεωρούμε το σύστημα : = = ή = 3 3 = θα επιλύσουμε την εξίσωση Δ = 1 έχουμε : Για ( 3) + 16 + = = = = 1 1 16 6 = = = = 3 1 Αντικαθιστώντας τις τιμές του στην1η εξίσωση σημείο Α(1, 1) Για = 3 τότε = ( 3) σημείο Β( 3, 9) ή = + 1 = 16. = + 3 = + 3 = 0 ή 0 = 1 τότε = 1οπότε προκύπτει το = 9 οπότε προκύπτει το Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της α- ντικατάστασης. Επιλύοντας την δευτεροβάθμια εξίσωση βρίσκουμε τις τιμές του αγνώστου και στην συνέχεια του και τέλος τα ζητούμενα σημεία.. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή το σημείο Κ (, 3) και τέμνει τον άξονα στο σημείο Α (0, 5). Αρχικά θα θεωρήσουμε ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + β + γ. Επειδή η παραβολή τέμνει τον άξονα των στο σημείο Α(0,5) πρέπει για = 0 η τιμή της συνάρτησης να είναι = 5. Επομένως 5 = α 0 + β 0 + γ ή γ = 5 οπότε η εξίσωση της παραβολής γίνεται : = α + β +5. Επειδή η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Κ προκύπτει ότι : 3 = α + β +5 ή α +β = 8 (1) Επειδή η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραβολή παίρνει την μέγιστη τιμή είναι η προκύπτει ότι = ή β = α () β β α α Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και ()

350 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ( α) α + β = 8 α + = 8 ή ή β = α β = α α 8α = 8 α = 8 ή ή β = α β = α 8 α = = α = ή β α β = = 8 = 5. Το άθροισμα των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 10 cm. α ) Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ως Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την τιμή του αγνώστου β στην 1 η εξίσωση μετά από τις σχετικές πράξεις έχουμε α = και β = 8. Η εξίσωση της ζητούμενης παραβολής είναι = - 8 +5 1 συνάρτηση της πλευράς του ΑΒ = είναι = + 5 με 0 < < 10. β ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. γ) Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, όταν το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισοσκελές. α) Αφού η κάθετη πλευρά ΑΒ έχει μήκος και το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών είναι 10 cm η κάθετη πλευρά ΑΓ έχει μήκος 10. Θεωρώντας την μία κάθετη πλευρά ως βάση και την άλλη κάθετη ως ύψος το εμβαδόν δίνεται από την σχέση. 1 1 = +. = ( 10 ) ή 5 β) 1 10 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της 1 συνάρτησης = + 5 Με 0 < < 10. 8 6 K(5, 1,5) =- 1 +5 O(0,0) A(10,0) 5 10 15

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 351 γ) Η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραπάνω παραβολή έχει την β 5 5 μέγιστη τιμή είναι = = = = 5 α 1 1 ( ) Όταν όμως ΑΒ = = 5 τότε και ΑΓ = 10 5 = 5 οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ισοσκελές. 6. Ένα κατάστημα σχήματος ορθογωνίου σχεδιάστηκε, ώστε να κατασκευαστεί με διαστάσεις 6 m και 3 m. Ο ιδιοκτήτης όμως σκέφτηκε να μειώσει το μήκος του και ταυτόχρονα να αυξήσει το πλάτος του κατά τα ίδια μέτρα. Ποια πρέπει να είναι η μεταβολή κάθε διάστασης, ώστε το εμβαδόν του να γίνει μέγιστο; Εάν συμβολίσουμε με μεταβολή κάθε μίας των διαστάσεων του ορθογωνίου τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από την σχέση: = (6-)(3+) ή = 18+ 6-3 ή = +3 +18. Η μεταβολή κάθε διάστασης που πρέπει να συμβεί ώστε το εμβαδόν να γίνει μέγιστο είναι = = = = 1,5 m β 3 3 α ( 1) 7. Σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 10 cm παίρνουμε σημείο Μ και κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΜΓΔ και ΒΜΕΖ. Πού πρέπει να βρίσκεται το σημείο Μ, ώστε το ά- θροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων να γίνεται ελάχιστο; Εάν υποθέσουμε ότι το μήκος του ΑΜ είναι τότε το μήκος του ΜΒ θα είναι 10cm.

35 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων είναι = + (10 ) ή = + 100 0 + ή = 0 +100. Η ζητούμενη τιμή της μεταβλητής για την οποία το άθροισμα των εμβαδών γίνεται ελάχιστο είναι = = = 5. α β 0 Επομένως το Μ πρέπει να βρεθεί στο μέσο του ΑΒ. 8. Από το μπαλκόνι ενός σπιτιού και από ύψος 6 m από το έδαφος πετάμε μία μπάλα η οποία διαγράφει παραβολική τροχιά με μέγιστο ύψος από το έδαφος 8 m. Αν η μπάλα προσκρούσει στο έδαφος σ ένα σημείο που απέχει 6 m από το σπίτι, τότε : α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση της τροχιάς της μπάλας στο σύστημα αξόνων που φαίνεται στο σχήμα είναι 1 = + + 6, με 0 6. β) Να βρείτε την απόσταση της μπάλας από το σπίτι, όταν βρεθεί και πάλι σε ύψος 6 m από το έδαφος. α) Αρχικά θα θεωρήσουμε ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + β + γ. Επειδή η παραβολή τέμνει τον άξονα των στο σημείο (0,6) πρέπει για = 0 η τιμή της συνάρτησης να είναι = 6. Επομένως 6 = α 0 + β 0 + γ ή γ = 6 οπότε η εξίσωση της παραβολής γίνεται : = α + β +6. Επειδή η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Κ προκύπτει ότι : 8 = α + β +6 ή α +β = (1) Επειδή η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραβολή παίρνει την μέγιστη τιμή είναι η προκύπτει ότι = ή β = α () β β α α Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και ()

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 353 α β = ή β = α α 8α = ή β = α 1 α = = β = α ( α) α + = ή β = α α = ή β = α 1 α = ή 1 β = = + Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την τιμή του αγνώστου β στην 1 η εξίσωση μετά από τις σχετικές 1 πράξεις έχουμε α = και β =. Η εξίσωση της ζητούμενης παραβολής 1 είναι = + +6 β) Όταν το ύψος είναι πάλι 6m η απόσταση είναι: 6 = 1 + = 0 ή ( οποία έχουμε ή = 0 ή = 0 από την οποία προκύπτει =. Επομένως η απόσταση από το σπίτι είναι m 1 1 + +6 ή + ) = 0 ή = 0 ή ( ) = 0 από την 9. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάθετη τομή μιας σήραγγας που κατασκευάστηκε σε σχήμα παραβολής με μέγιστο πλάτος ΑΒ = 16 m και μέγιστο ύψος 0Γ = 6 m. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής στο σύστημα αξόνων του 3 σχήματος, είναι = + 6, με 8 8. 3 β) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος ενός φορτηγού που μπορεί να διασχίσει τη σήραγγα, όταν το πλάτος του φορτηγού είναι 3, m και ο δρόμος είναι μιας κατεύθυνσης. α) Αρχικά από την μορφή της καμπύλης η οποία έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα προκύπτει ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + γ. Επειδή για = 0 η τιμή του = 6 έχουμε 6 = α 0 + γ ή γ = 6, οπότε η εξίσωση γίνεται = α + 6.

35 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Ακόμα παρατηρούμε ότι όταν = 8 (απόσταση ΟΒ) τότε το ύψος είναι μηδέν, οπότε έχουμε :0 = α 8 6 3 +6 ή 6 = 6α ή α = =. 6 3 3 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι = + 6. Ακόμα από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι η μεταβλητή μεταβάλλεται έτσι ώστε 8 8 3 β) Το μέγιστο ύψος του φορτηγού όταν το πλάτος του είναι 3, m θα προκύψει όταν το = = 1,6 m,δηλαδή όταν 3, 3 =.1,6 3 + 6 = 0, + 6 = 5,76 m ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Β ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. Τι είναι συνάρτηση και τι γραφική παράσταση συνάρτησης; Β. Θεωρούμε τη ευθεία ε με εξίσωση +3=1 i) Nα κατασκευάσετε την ευθεία ε. ii) Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της ε με τους άξονες και. iii) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΟΑΒ. iv) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. ΘΕΜΑ Ο : Α. Ποια συνάρτηση λέγεται τετραγωνική; Β. i) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης = 1 0 για 5 5.

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 355 ii) Κατόπιν, να σχεδιάσετε τη συμμετρική της προς τον άξονα και να βρείτε την εξίσωση της συνάρτησης αυτής. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Β ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. i) Τι ονομάζουμε παραβολή; ii) Πότε η συνάρτηση =α έχει ελάχιστο και πότε μέγιστο; Β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: i) ii) =- 1 iii) = = 3 1 iv) = 5 + 6. ΘΕΜΑ Ο : Α. i) Τι ονομάζουμε υπερβολή; ii) Τι ονομάζονται ασύμπτωτοι της υπερβολής; Β. Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ έχουν μήκος 10 cm.να βρείτε ποια τιμή πρέπει να πάρει το έτσι ώστε το ορθογώνιο ΑΔΕΖ να έχει μέγιστο εμβαδόν. Β Ζ Α Ε Δ Γ

356 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο ΤΑΞΗ-ΤΜΗΜΑ:... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Ονομάζουμε συνάρτηση την... με την οποία σε... τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε...... τιμή της μεταβλητής.. Ονομάζουμε γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f........... (, f()) του επιπέδου. 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο =α είναι μια ευθεία που περνά από την........... Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο =α+β είναι μια ευθεία, η οποία είναι... προς την ευθεία =α. 5. Η εξίσωση =κ παριστάνει μια...,η οποία είναι... προς τον άξονα και περνά από το σημείο (...,...). 6. Η εξίσωση =λ παριστάνει μια...,η οποία είναι... προς τον άξονα και περνά από το σημείο (...,...). 7. H γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια... γραμμή,η οποία λέγεται....

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 357 8. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α είναι μία... γραμμή η οποία αποτελείται από δύο κλάδους... ως προς την αρχή των αξόνων. Η καμπύλη αυτή λέγεται.... ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ 1. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν είναι τύπος συνάρτησης; =5 = = 3 + 1 =5. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι το f() της συνάρτησης; 5 + + 1 f ( ) =. 1 5 1 0 3. Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις δεν περνά από το ίδιο σημείο που περνούν οι άλλες; = = 3 = = + 1. Ποιο από τα παρακάτω σημεία δεν ανήκει στην ευθεία =+3. ( 03), ( 15, ) ( 38, ) ( 11, ) 5. Ποια από τις παρακάτω ευθείες δεν είναι παράλληλη προς τις άλλες. =05, = 1 = = 1 + 6. Να βρείτε ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει ελάχιστο. = = 3 = = ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΣ Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες. 1. Η συνάρτηση = έχει ελάχιστο = 0 για = 0 Σ Λ. Η συνάρτηση = - έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα Σ Λ 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = 3+5 είναι Σ Λ παράλληλη προς την ευθεία = 3.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = είναι υπερβολή με τους δύο κλάδους της στο 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο αντίστοιχα. Σ Λ 5. Η συνάρτηση = 3 ++1 έχει ελάχιστο, που είναι ίσο τετμημένη της κορυφής της παραβολής. Σ Λ ΤΕΣΤ ΣΥΖΕΥΞΗΣ Να ενώσετε κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις που βρίσκονται αριστερά με τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις που βρίσκονται δεξιά.

358 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 1. = α,α>0 Ο. = α,α<0 Ο 3. = α+β,α>0, β>0 β Ο. = β,β>0 -β/α β O