Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου β Παραηία διανυσµάτων Από µία σχέση α β µε R συµπεραίνουµε ότι α // β ηαδή, αν για τα διανύσµατα ΑΒ, Γ αποδείξουµε ότι το ένα εξ αυτών γράφεται ως γινόµενο ενός αριθµού επί το άο διάνυσµα, τότε αυτά θα είναι παράηα. ηαδή, αν φτάσουµε σε µία σχέση της µορφής ΑΒ Γ, R, τότε ΑΒ // Γ Παράδειγµα Αν είναι τότε είναι ΑΜ + Μ ΓΜ+ ΒΜ ΑΜ + ΜΒ ΓΜ+ Μ ή Οπότε, τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΒ Γ Γ είναι παράηα. Αν α // β, θα υπάρχει R, ώστε α β, µε την προϋπόθεση ότι β 0 Ας εξηγήσουµε γιατί στο θεώρηµα είναι αναγκαίο να είναι β 0 Κάθε διάνυσµα α 0 θεωρείται παράηο στο µηδενικό διάνυσµα β 0 Όµως δε γίνεται να γράψουµε το α 0 ως α β 0 0 Άτοπο Ας προσέξουµε πρώτα την πιο κάτω βοηθητική πρόταση. Έστω τα µη παράηα διανύσµατα α, β Αν κ α β, όπου κ, πραγµατικοί, τότε υποχρεωτικά θα είναι κ 0 Πραγµατικά Αν ήταν κ 0, από κ α β, θα ήταν και α β, δηαδή κ Αν ήταν 0, από κ α β, θα ήταν και κ β α, δηαδή Οπότε κ 0 α // β Άτοπο α // β Άτοπο
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 3 Παράδειγµα Έστω τα µη παράηα διανύσµατα α, β Θα δείξουµε ότι τα διανύσµατα Πραγµατικά Αν τα διανύσµατα επειδή το θα υπήρχε v α+ β και v α+ β, u α β είναι µη µηδενικό, αφού αν R u α β δεν είναι παράηα. u α β ήταν παράηα u 0 β α, άρα α // β Άτοπο ώστε v u α + β (α β) α + β α β ( + ) β ( ) α Σύµφωνα µε το κριτήριο που είδαµε, πρέπει 0 ή Οπότε, τα διανύσµατα v α+ β και και + 0 0 Άτοπο u α β δεν είναι παράηα. Να παρατηρήσουµε ότι ένα διάνυσµα κινούµενο οµόρροπα προς τον εαυτό του δηµιουργεί ίσα διανύσµατα και συνεπώς δεν υφίσταται η έννοια του σταθερού διανύσµατος. Να παρατηρήσουµε ότι υπάρχουν µόνο διανύσµατα µε σταθερό µέτρο. Παράδειγµα 3 Αν τα διανύσµατα ο φορέας του της γωνίας των, β α είναι µοναδιαία v α+ β είναι παράηος στη διχοτόµο α, β, αφού το ΟΑΣΒ είναι ρόµβος. Ας προσέξουµε τα πιο κάτω θέµατα: Θέµα Ο φ φ α Α β Β Σ u Αν 3 ΟΑ 8 ΟΒ+ 5 ΟΓ 0, θα αποδείξουµε ότι ΑΒ // ΒΓ Απάντηση ΟΑ 8 ΟΒ+ 5 ΟΓ 0 3 Οπότε, τα διανύσµατα ΑΒ, 3 ΟΑ 3 ΟΒ 5 ΟΒ+ 5 ΟΓ 0 3 ΒΟ+ ΟΑ 5 ΓΟ+ ΟΒ 0 3 ΒΑ 5ΓΒ 0 ΑΒ ΒΓ είναι συγγραµµικά. 5 ΒΓ 3 Α Β Γ
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 4 Θέµα 6 Έστω τα µη µηδενικά και µη συγγραµµικά διανύσµατα α και β Θα αποδείξουµε ότι ο φορέας του διανύσµατος u β α + α β είναι παράηος στη διχοτόµο της γωνίας των διανυσµάτων α και β Ο β α β α θ φ φ Β α β Α Γ u Απάντηση Έστω ω η γωνία των α και β, φ η γωνία των u, α, φ η γωνία των u, β Από u β α + α β ποαπασιάζοντας µε α είναι α u β α + α (α β) ή α u συνφ β α + α ή u συνφ α β ( + συνω) β συνω α β ή συνφ ( + συνω) u α β Όµοια, καταήγουµε ότι συνφ ( + συνω) u Οπότε συν φ συνφ και άρα φ φ Οπότε, ο φορέας του u είναι παράηος στη διχοτόµο της γωνίας των α και β Προσοχή, είναι άθος να πούµε ότι ο φορέας του u είναι διχοτόµος της γωνίας των α και β, αφού ένα διάνυσµα «κινείται στο επίπεδο». Θα µπορούσαµε να ύσουµε το θέµα και ως εξής: Επειδή β α β α και α β α β το παραηόγραµµο είναι και ρόµβος, οπότε είναι προφανές ότι φ φ
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 5 Θέµα 7 Τα διανύσµατα α (κ, ) και β (µ, ν) β ν είναι κάθετα και έχουν µέτρα ίσα µε τη µονάδα. α Θα αποδείξουµε ότι (κν µ) µ Ο κ Απάντηση Μπορούµε να ύσουµε το θέµα ως εξής: Επειδή α β, έχουµε α β 0 ( κ,)(µ,ν) 0 κµ + ν 0 Επειδή τα µέτρα των α και β είναι ίσα µε τη µονάδα είναι α κ + ή κ + και β µ + ν ή µ + ν Από την ταυτότητα Lagrange είναι ( κ + )(µ + ν ) (κµ + ν) (κν µ) θα έχουµε 0 (κν µ) (κν µ) Θα µπορούσαµε να ύσουµε το θέµα και ως εξής: ( κν µ) κ + ν + µ συνω ((κ, ) (ν, µ) ) συν ω όπου ω είναι η γωνία των διανυσµάτων ( κ, ) και ( ν, µ ) Όµως τα διανύσµατα ( κ, ) και ( ν, µ ) είναι παράηα κ αφού κµ ν ( κµ + ν) 0 ν µ Εποµένως συν ω και έτσι θα έχουµε (κν µ) Θα µπορούσαµε να ύσουµε το θέµα και ως εξής: και άρα συν ω ±, αφού ω 0 ή ω π Αφού τα διανύσµατα α (κ, ) και β (µ, ν) είναι κάθετα και µοναδιαία αν τα τοποθετήσουµε σε σύστηµα αξόνων, πρέπει κ ν και µ Οπότε 4 ( κν µ) ( κ + ) κ +
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 6. Ευθεία. Κύκος 33. Παραβοή 44. Έειψη 55. Υπερβοή 66. Κωνικές τοµές
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 7 Θέµα 7 Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας ( ε) που διέρχεται από το σηµείο Μ (,) και τέµνει τις ευθείες ( ε ) : y x + και ( ε ) : y x + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ Απάντηση ( ε ) y (ε) ( ε ) Α (x,y ) Μ Ο x B(x,y) Ας δούµε πρώτα τον πιο κάτω τρόπο. Έστω ότι η ευθεία ( ε) που διέρχεται από το Μ τέµνει την ( ε ) στο Α(x, y) και την ( ε ) στο (x, y ) B x + x y + y Επειδή το M (,) είναι το µέσο του ΑΒ, είναι και Επίσης, επειδή το Α(x, y) είναι και σηµείο της ( ε ), είναι ( ε ) : y x + επειδή το Β(x, y ) είναι και σηµείο της ( ε ), είναι ( ε ) : y x + x + x Θα ύσουµε τώρα το σύστηµα y + y x + x + y x + y x + x + x Οπότε, η σχέση δίνει x και έτσι είναι και x Οπότε y 3 και Οπότε, πρόκειται για τα σηµεία Α (,3) και B(, ) Συνεπώς, η ευθεία του προβήµατος είναι προφανώς η ευθεία ( ε) : x y x x Όµως µπορούµε να αντιµετωπίσουµε το θέµα και κασικά όπως παρακάτω.
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 8 Να τονίσουµε πρώτα κάτι σηµαντικό! Όταν ψάχνουµε ευθεία και δεν ξέρουµε την κίση της, πρέπει να διακρίνουµε περιπτώσεις, αν είναι κατακόρυφη ή αν δεν είναι κατακόρυφη και έχει κίση Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ (,) είναι η κατακόρυφη x και οι µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις ( ε ) : y (x ), R Η ευθεία x τέµνει την ( ε ) : y x + στο σηµείο Κ (,3) και την ( ε ) : y x + στο σηµείο Λ(, ) ( ε ) y ( ε ) Α Κ + 3 + ( ) Το ΚΛ έχει µέσο το σηµείο Μ, Μ (,) Άρα, η κατακόρυφη x είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες. Ο Μ Λ Β (ε) x Η ευθεία ( ε ) : y (x ), R, τέµνει τις ( ε ) : y x +, ( ε ) : y x + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, που οι συντεταγµένες τους y x + είναι οι ύσεις των συστηµάτων: ( Σ ) : και Σ y (x ) ( y x + ) : y (x ) Από το πρώτο σύστηµα έχουµε x + x ( )x x 3 3 οπότε y x + + και τεικά συµπεραίνουµε ότι Α, Προφανώς είναι αφού, για, πρόκειται για την ευθεία y x, η οποία ταυτίζεται µε την ε ) Οµοίως, ύνοντας το δεύτερο σύστηµα, καταήγουµε ότι Β Επειδή το Μ (,) είναι µέσο του ΑΒ, είναι 4 + 4 + 3 3 + + + το οποίο προφανώς είναι αδύνατο., + + και + + 4 Η µόνη ύση του προβήµατός µας είναι η κατακόρυφη ευθεία x (
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 9 β Εξίσωση ευθείας Για να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση της µορφής ( ε) : Ax + By + Γ 0 είναι εξίσωση ευθείας, αρκεί να αποδείξουµε ότι οι µηδέν. ηαδή αρκεί να αποδείξουµε ότι Α + Β 0 Α, Β δεν είναι ταυτόχρονα Παράδειγµα Έστω η εξίσωση (ε) : (µ )x + µy + µ 0 Θα αποδείξουµε ότι παριστάνει ευθεία, για κάθε πραγµατική τιµή του µ Πραγµατικά Η εξίσωση είναι της µορφής Α x + By + Γ 0 µε Α µ και Β µ Επειδή οι συντεεστές µ και µ, των x και y αντίστοιχα δε µηδενίζονται συγχρόνως για καµία τιµή του µ, η δοθείσα εξίσωση παριστάνει για κάθε µ R µία ευθεία γραµµή. Παράδειγµα Έστω η εξίσωση ( ε) : ( x y + 5) + ( 3x + y + 7) 0, όπου R Θα αποδείξουµε ότι, για κάθε τιµή του, αυτή παριστάνει ευθεία. Πραγµατικά Η εξίσωση ( ε) : ( x y + 5) + ( 3x + y + 7) 0 γράφεται ισοδύναµα x y + 5 + 3x + y + 7 0 ( ε) : ( + 3)x + ( + )y + (5 + 7) 0 Η εξίσωση είναι της µορφής Α x + By + Γ 0, µε Α + 3 και Β + Αν ήταν Α 0 + 3 0 και Β 0 + 0 Οπότε, δεν υπάρχει τιµή του 3 Άτοπο που να µηδενίζεται συγχρόνως και ο συντεεστής του x και ο συντεεστής του y Οπότε, η εξίσωση παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιµή του R
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 0 Ένα κασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να αποδείξουµε ότι οι ευθείας µιας οικογένειας ευθειών διέρχονται από σταθερό σηµείο δηαδή αποτεούν όπως έµε µία δέσµη ευθειών. y Ο x Παράδειγµα 3 Έστω η εξίσωση ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 Θα αποδείξουµε ότι αυτή αποτεεί εξίσωση ευθείας και ότι όες οι ευθείες που παράγονται διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Πραγµατικά Έστω ότι + 0 και 0 0 Άτοπο Οπότε, η πιο πάνω εξίσωση είναι µία οικογένεια ευθειών, για κάθε R Ας δούµε πώς θα αποδείξουµε ότι αυτές διέρχονται από σταθερό σηµείο. Μπορούσαµε όµως να κινηθούµε ως εξής: Για να δείξουµε ότι όες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το ίδιο σηµείο, αρκεί να βρούµε ένα σηµείο Σ(x ο, yο ) του οποίου οι συντεταγµένες να επαηθεύουν την αρχική εξίσωση για όες τις τιµές του Ας θεωρήσουµε δύο συγκεκριµένες απ αυτές. Για 0 προκύπτει η ευθεία ( ε ) : x y + 0 Για προκύπτει η ευθεία ( ε ) : x y 0 Λύνοντας το σύστηµα αυτών, βρίσκουµε απά ότι x και y ηαδή οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) Οπότε, αν όες διέρχονται από σταθερό σηµείο, αυτό θα είναι το σηµείο Σ Ας το αποδείξουµε. Η εξίσωση ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 για x και y γίνεται ( + ) + ( ) + ( ) 0 0 0 ηαδή οι συντεταγµένες του Σ ικανοποιούν την ( ε ) Οπότε, όες οι ευθείες ( ε ) διέρχονται από το σταθερό σηµείο Σ
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και ως εξής: Η εξίσωση ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 γίνεται ( ε ) : x + x + y y + 0 ή ( x + y ) + (x y + ) 0, για κάθε R Οπότε, πρέπει x + y 0 και x y 0 Λύνοντας το πιο πάνω σύστηµα, βρίσκουµε απά ότι x και y ηαδή οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) Οπότε, όες διέρχονται από σταθερό σηµείο, το σηµείο Σ Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και όπως πιο κάτω: Έστω η εξίσωση ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 Θεωρούµε δύο τυχούσες απ αυτές, τις ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 ( ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) και 0 που υποθέτουµε ότι είναι διαφορετικές, δηαδή ότι Θα ύσουµε το σύστηµά τους. ( + )x + ( )y Είναι (Σ) : ( + )x + ( )y + Είναι D ( + )( ) ( + )( ) + ( + ) ( + ) ( ) 0 3 Επίσης, πού απά, διαπιστώνουµε ότι D x 3( ) και D + y 3( ) + D D x y Συνεπώς, το σύστηµα δέχεται µοναδική ύση τη (x, y), (, ) Επειδή οι τυχούσες ευθείες ( ε ), ε ) συµπεραίνουµε ότι και όες οι ευθείες ε ) ( τέµνονται στο Σ (, ) ( διέρχονται από το σηµείο Σ (, ) D D
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου Επίσης ένα κασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να εξετάσουµε αν κάποια ευθεία, είναι τεικά ευθεία µιας δέσµης ευθειών. Όπως είδαµε πριν, η εξίσωση ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 αποτεεί µία δέσµη ευθειών, δηαδή ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σηµείο και µάιστα το σηµείο Σ (, ) Παράδειγµα 4 Θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : 4x + y 3 0 είναι ευθεία της οικογένειας ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 Πραγµατικά Επειδή για x και y, αυτή δίνει 4 + 3 0 αυτή δε διέρχεται από το Σ και άρα δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Να τονίσουµε τώρα κάτι σηµαντικό! Αν τώρα κάποια ευθεία διέρχεται από το σταθερό σηµείο Σ (, ) δεν είναι κατά ανάγκη και ευθεία της οικογένειας. Για παράδειγµα, θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : x + y 0 είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 Για x και y, αυτή δίνει + 0, δηαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Όµως, µε βάση αυτό το δεδοµένο δε διαπιστώνεται ότι αυτή είναι ευθεία της οικογένειας. Ας δούµε πρώτα το πιο κάτω παράδειγµα: Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε ) : y x +, R Οι ευθείες διέρχονται προφανώς από το σηµείο Σ (, ) (ε) y Σ (ε ) (ε ) (ε 3 ) Επειδή όµως αυτές έχουν κίση µη αρνητική και ίση µε σηµαίνει ότι οι εφαπτοµένες των γωνιών που σχηµατίζουν αυτές µε τον x x είναι θετικές, δηαδή αυτές σχηµατίζουν µε τον x x γωνίες οξείες. Οπότε, ναι µεν η ευθεία ( ε) : y x + διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) αά, επειδή έχει αρνητική κίση, προφανώς δεν είναι ευθεία της οικογένειας ( ε ) Ο x
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 3 Ας δούµε τώρα περίπτωση κατά την οποία µία ευθεία που διέρχεται από ένα σηµείο από το οποίο διέρχονται οι ευθείες µιας οικογένειας ευθειών αν είναι µια ευθεία αυτής της οικογένειας. Γνωρίζουµε ότι οι ευθείες ε ) : A x + B y + Γ 0 ( ( ε ) : A x + B y + Γ 0 ταυτίζονται µόνο αν οι συντεεστές A,B, Γ είναι αντίστοιχα ανάογοι των A,B, Γ Ας δούµε ξανά το προηγούµενο παράδειγµα. Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 και έστω και η ευθεία ( ε) : y x + η οποία διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) Για να είναι η ευθεία (ε) : y x + ( ε) : x + y 0 µια ευθεία της, αρκεί να υπάρχει R ώστε + Από + είναι + Αδύνατο Οπότε, αυτή δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Ας εξετάσουµε αν η ευθεία ( ζ) : 3x + y 4 0 είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 Για x και y, αυτή δίνει + 0, δηαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Για να είναι η ευθεία ( ζ) : 3x + y 4 0 µια ευθεία της αρκεί να υπάρχει R, ώστε + 3 4 Λύνοντας το σύστηµα αυτό, προκύπτει 7 Οπότε, αυτή είναι µια ευθεία της οικογένειας αυτής.
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 4 Ασκήσεις β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (ε ) : ( )x + y + 0 παράγει ευθείες. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (α + α + 3)x + (α α + )y + (3α + ) 0, α R παριστάνει ευθείες που διέρχονται από το σταθερό σηµείο Α(, ) 3 3 3 β.3 Έστω η εξίσωση (ε ) : ( + )x + ( )y + + 3 3 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ε ) είναι εξίσωση ευθείας, για κάθε R β) Όταν ο µεταβάεται στο R να αποδείξετε ότι όες οι ευθείες ( ε ) διέρχονται από ένα συγκεκριµένο σηµείο. β.4 Έστω η εξίσωση (ε ) : x y + 0, R α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει ευθείες που διέρχονται από σταθερό σηµείο Σ β) Εξετάστε αν οι ευθείες ( δ) : y x, ( δ ) : y x και ( δ 3 ) : y x + είναι ευθείες της πιο πάνω δέσµης ευθειών. +,,µ R β.5 Έστω η εξίσωση ( ε) : ( µ ) x + ( µ ) y + 3 3 0 α) Να βρείτε τους,µ R, ώστε αυτή να αντιπροσωπεύει ευθείες. β) Να αποδείξετε ότι αυτές διέρχονται από σταθερό σηµείο Σ β.6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ε) : (κ + )x + (3κ )y + (κ 3 + ) 0 µε κ αντιπροσωπεύει ευθείες οι οποίες διέρχονται από σταθερό σηµείο Σ β.7 Έστω οι εξισώσεις ( ε ) : x + ( + 3)y + ( 6) 0 και ( δ ) : ( + )x + ( )y + ( ) 0 α) Να αποδείξετε ότι αυτές είναι ευθείες. β) Να βρείτε την τιµή του, ώστε αυτές να τέµνονται πάνω στον άξονα y y +, R Να αποδείξετε ότι παράγει ευθείες, οι οποίες όµως δεν αποτεούν δέσµη. β.8 Έστω η εξίσωση (ε) : x ( ) y 0 β.9 Έστω η εξίσωση ( ε φ ) : συνφx + 3ηµφy 6 0, όπου φ R α) Να αποδείξετε ότι αυτή παράγει ευθείες. β) Να αποδείξετε ότι τα Α ( 5,0) και Β( 5,0) δεν ανήκουν σε καµία από αυτές. γ) Να αποδείξετε ότι το γινόµενο d(a,ε ) d(β,ε ) είναι σταθερό. φ φ
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 5
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου 6 Α ξ ι ο ό γ η σ η 45 Θέµα Α) Να αποδείξετε ότι v+ u+ w v + u + w Β) Να αποδείξετε ότι α+ β γ + α β+ γ + α+ β+ γ α+ β+ γ Γ) Αν είναι α, β, να αποδείξετε ότι α β + 3 α β + α+ β Θέµα Έστω τα διανύσµατα a, o b, ώστε a, b και a, b 60 Έστω και v ένας γραµµικός συνδυασµός των a, b, µε a v 3 και b v 9 Α) Να αποδείξετε ότι v a+ b Β) Να βρείτε τις γωνίες a, v και b, v Θέµα 3 Έστω η συνάρτηση φ(x) x + x, x R Α ) Να αποδείξετε ότι φ(x) x 4 Α ) Να αποδείξετε ότι φ 4 Α 3 ) Να αποδείξετε ότι η φ παρουσιάζει µέγιστο. 4 Β) Έστω τώρα και το τεταρτοκύκιο (κ) : x + y, x 0, y 0 Να βρείτε εκείνη την εφαπτοµένη ( ε) του ( κ) που σχηµατίζει µε τους ηµιάξονες στο ο τεταρτηµόριο τρίγωνο εάχιστου εµβαδού. Θέµα 4 Έστω τα σηµεία Μ(m, m), m R και N (α, β), ώστε α + β + α + β + 0, α,β R Α ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ Α ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Ν Β) Να αποδείξετε ότι τα Μ και Ν δεν ταυτίζονται. Γ) Να βρείτε εκείνα τα σηµεία Μ, Ν, ώστε το τµήµα ΜΝ να γίνεται εάχιστο και να βρείτε επίσης και αυτό το εάχιστο µήκος.