Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, ου κρατάς στα χέρια σου ροέκυψε τελικά μέσα αό την εμειρία και διδακτική διαδικασία ολλών χρόνων στον Εκαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αοτέλεσμα συγγραφής ολλών καθηγητών μας και ο στόχος της ύαρξής του δεν είναι να υοκαταστήσει το σχολικό βιβλίο, αλλά να εξυηρετήσει δύο σκοούς : να είναι ένα βιβλίο οργανωμένο και μεθοδευμένο έτσι ώστε να είναι ουσιαστικό, ρακτικό και φιλικό για το μαθητή, λήρες σε θεωρία, μεθοδολογία, αρατηρήσεις αλλά και κατηγορίες ασκήσεων, να είναι ένα λήρες, λειτουργικό και χρήσιμο εργαλείο για τον καθηγητή του μαθήματος και να διευκολύνει την εκαιδευτική του δραστηριότητα Ελίζοντας ότι το βιβλίο αυτό θα σε βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση και οργάνωση της διδακτέας ύλης και ουσιαστικότερη εαφή με τη γνώση και την εκαίδευση, σου ευχόμαστε καλή ορεία στους δρόμους της γνώσης και καλή ειτυχία στους στόχους σου. Οι συγγραφείς - καθηγητές του Ομίλου

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Μηχανικές Ταλαντώσεις...9 Ασκήσεις στις Μηχανικές Ταλαντώσεις... 18 Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις... 5 Ασκήσεις στις Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις... 41 Φθίνουσες-Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις... 49 Ασκήσεις στις Φθίνουσες-Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις... 57 Σύνθεση Ταλαντώσεων... 65 Ασκήσεις στη Σύνθεση Ταλαντώσεων... 69 ΚΥΜΑΤΑ Εξίσωση Κύματος... 75 Ασκήσεις στην Εξίσωση Κύματος... 81 Συμβολή Κυμάτων... 89 Ασκήσεις στην Συμβολή Κυμάτων... 95 Ηλεκτρομαγνητικό Κύμα... 10 Ασκήσεις στα Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα... 107 ΣΤΕΡΕΟ Μηχανική του στερεού σώματος... 11 Ασκήσεις στη μηχανική του στερεού σώματος... 1 ΚΡΟΥΣΕΙΣ-DOPPLER Θεωρία κρούσεων... 149 Ασκήσεις κρούσεων... 155

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ 5 4 6 - - 7 6 5 4 1-4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ημ 1 0 1 - - - 1 5 4 7 4 6 0 11 6 συν ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ -7-

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ -8-

! ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Ταλάντωση: η αλινδρομική κίνηση p Εξίσωση ταχύτητας: υ=υ ο συνωt υ ο =υ max = μέγιστη ταχύτητα = ωα Χαρακτηριστικά Μεγέθη Αομάκρυνση(x):Είναι διάνυσμα ου έχει αρχή το κέντρο της ταλάντωσης και τέλος τον ταλαντωτή Η αομάκρυνση είναι διάνυσμα ου έχει φορά άντα ρος τα «έξω» Πλήρης ταλάντωση: η κίνηση ου εκτελεί ο ταλαντωτής όταν ξεκινά αό κάοιο σημείο και καταλήγει σ αυτό κινούμενος κατά την ίδια φορά. Περίοδος(Τ):Είναι ο χρόνος ου ααιτείται για να γίνει μια λήρης ταλάντωση Συχνότητα(f):O αριθμός των λήρων ταλαντώσεων σε 1 sec Κυκλική συχνότητα(ω): ω=f ή Φάση(ωt):ω.t=f.t ή ωt = Τ t x Εξίσωση αομάκρυνσης: x=aημωt Διάγραμμα αομάκρυνσης Ο ω = Τ A=μέγιστη αομάκρυνση =λάτος Διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου P ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ -9-

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Σχέση ταχύτητας υ=υ ο συνωtð υ=ωασυνωtð αομάκρυνσης υ =ω Α συν ωtð υ =ω Α (1-ημ ωt)ð υ =ω (Α - Α ημ ωt)ð υ =ω (Α x )ð υ = ± ω Α - Σχέση ειτάχυνσης-αομάκρυνσης: α=-α ο ημωt=-ω Aημωt x= Aημωt α=-ω x Η ειτάχυνση είναι διάνυσμα ου έχει φορά άντα ρος τα «ΜΕΣΑ» και άντα αντίρροη της αομάκρυνσης ΔΥΝΑΜΗ Αό το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής έχω: F=m.α F=-m.ω A ημωt F=-F o ημωt x Εξίσωση ειτάχυνσης: α=-α ο ημωt F ο =F max = μέγιστη δύναμη = mω Α Διάγραμμα ταχύτητας - αομάκρυνσης -Α ωα -ωα α ο =α max = μέγιστη ειτάχυνση = ω Α Διάγραμμα ειτάχυνσης-χρόνου α=- ω A ημωt α=-ω x Αναγκαία και Ικανή συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα Αλή Αρμονική Ταλάντωση F=-m.ω x F=-Dx D= m.ω =σταθερά εαναφοράς Α -Α Διάγραμμα ειτάχυνσηςαομάκρυνσης -ω Α Διάγραμμα Δύναμης-θέσης F ω Α Α DΑ Α -Α -DΑ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ -10-

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Διάγραμμα Δύναμης-χρόνου Πως εργαζόμαστε για να ελέγξουμε αν ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση - Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις ου ασκούνται στο σώμα στη θέση ισορροίας και γράφουμε τη σχέση: ΣF=Ο (1) για τις δυνάμεις ου υάρχουν άνω στο μελλοντικό άξονα κίνησης. - Εκτρέουμε το σώμα κατά x αό τη θέση ισορροίας και σχεδιάζουμε τις δυνάμεις ου ασκούνται στο σώμα όταν αυτό αφεθεί ελεύθερο. Γράφουμε το ΣF() για τις δυνάμεις ου υάρχουν στον άξονα κίνησης. (θετικός ημιάξονας θεωρείται n κατεύθυνση εκτροής). - Ο συνδυασμός των σχέσεων (1) και () δίνει το ΣF=f(x) και μας ειτρέει να αοφασίσουμε αν ρόκειται για αρμονική ταλάντωση. Αν η ταλάντωση είναι αρμονική, τότε στη συνάρτηση ΣF=f(x) ότι αομένει αν "αφαιρεθεί" το -χ το ονομάζουμε D και το χρησιμοοιούμε για τον ροσδιορισμό της εριόδου. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το σύστημα μάζας - ελατήριου του διλανού σχήματος μορεί να εκτελεί ταλάντωση στο λείο λάγιο είεδο. Να ελέγξετε αν η ταλάντωση είναι αρμονική Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις στο θέση ισορροίας και γράφουμε το ΣF=Ο για τον μελλοντικό άξονα κίνησης. Σ x =0 W x -F Ελ =0 W x -kx 1 =0 Ειμηκύνουμε το ελατήριο κατά χ και το ελευθερώνουμε. Στην τυχαία θέση ου ελευθερώνουμε το σώμα σχεδιάζουμε τις δυνάμεις και γράφουμε το ΣF x ΣF x =W x F Ελ ΣFχ=W x -k(x 1 +x) ΣF x =W x -kx 1 -kx() Η σχέσ () με τη βοήθεια της (1) δίνει ΣF x = -kx Άρα το σύστημα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση (α.α.τ.) με D=k. Τύος της εριόδου W x = kx 1 (1) æ ö D = mω ç Þ D = mç Þ ç Τ è ø F F max D = m 4 Τ Þ m Τ = D D Τ = m 4 Þ Τ m 4 = D Þ Τ = m 4 D Þ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ -11-

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Μετατροή αό ημ σε συν και αντίστροφα Η συγκεκριμένη μετατροή γίνεται χρησιμοοιώντας το: +/ ή +/ θ + Αλλαγή ροσήμου Όταν θέλω να αλλάξω το ρόσημο σε μια αό τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημ ή συν εισάγω ή εξάγω αό τη φάση την τιμή.x. -ημθ=ημ(θ+) -συνθ=συν(θ+) Διαφορά φάσης των συναρτήσεων x-υ-α x=aημωt υ=υ ο συνωt=υ ο ημ(ωt+/) α=-α ο ημωt= α ο ημ(ωt+) μροστά αό το x είναι το υ κατά / μροστά αό το υ είναι το α κατά / μροστά αό το x είναι το α κατά ή αλλιώς το υ ροηγείται του x κατά / το α ροηγείται του υ κατά / το α ροηγείται του x κατά ή αλλιώς το x καθυστερεί του υ κατά / το υ καθυστερεί του α κατά / το x καθυστερεί του α κατά Αρχική φάση.x. ημθ=-ημ(θ+) συνθ=-συν(θ+) Αν τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό ερνά αό κάοιο άλλο σημείο, έστω το Γ ου βρίσκεται σε αόσταση d αό το Ο, και όχι αό τη θέση ισορροίας Ο, τότε οι εξισώσεις της ταλάντωσης αίρνουν τη μορφή: x=aημ(ωt+φ) υ=υ ο συν(ωt+φ) α=-α ο ημ(ωt+φ) F=-F o ημ(ωt+φ) θ θ + ημθ = -συν(θ + ) = συν(θ + ) συνθ = ημ(θ + ) = -ημ(θ + ) ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ -1-

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ Η γωνία φ ονομάζεται αρχική φάση. Μια τέτοια ταλάντωση λέμε ότι έχει αρχική φάση. Η γωνία (ωt + φ) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης. Υολογισμός αρχικής φάσης Ένα σώμα ου εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση βρίσκεται τη χρονική στιγμή μηδέν στη θέση x=a/. Ποια είναι η αρχική του φάση; Αιτιολογήστε την αάντησή σας. Αρκεί, για τον υολογισμό της αρχικής φάσης, να γνωρίζουμε τη θέση στην οοία βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή μηδέν ή χρειάζεται να γνωρίζουμε και την κατεύθυνση ρος την οοία κινείται; x=aημ(ωt+φ) t=0, x=0 5/6 Ενέργεια K = mυ U = Dx 1/ υ=υ ο συνωt x=aημωt E ΟΛ =Κ+U ÞE x=α/ /6 mυσυν K = ο ωt DΑημ U = ωt DΑσυν = ωt Ο Λ + ÞE ΟΛ A 1 = Aημφ ημφ = = DΑ Δεν μορεί όμως μια ταλάντωση να έχει δυο αρχικές φάσεις. Γι αυτό χρειαζόμαστε μια ει-λέον ληροφορία. Αυτή είναι η κατεύθυνση της κίνησης. Αν λοιόν είχα σαν δεδομένο ότι τη χρονική t=0 η ταχύτητα είχε θετική κατεύθυνση, τότε: υ=ωaσυν(ωt+φ) t=0 υ=ωaσυνφ συνφ = υ ωα φ = συνφ > 0 6 mωασυνωt DΑσυνωt K = K = D= m.ω mω Ahmw t U= mυημ U= ο ωt υ ο =ωa DΑημωt υ ο =ωa = σταθ = U 1 DΑ ÞE (συνωt ημ Ο Λ = + ωt) MAX = K MAX = E o φ = 6 D= m.ω ή 5 φ = 6 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ -1-

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ K = E συνωt o U o = E ημ ωt όου E o = DΑ Διαγράμματα Ενέργειας ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ mυ = ο mω Α = U o = E ημ ωt K o = E συν ωt U U Dx = K = Eo-UÞK E Dx = o - Κ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ -14-