Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 5: Έργο και Ενέργεια Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 015 Θετικών Επιστημών Φυσικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Έργο και Ενέργεια Δυναμική Ενέργεια Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας Καμπύλες Δυναμικής Ενέργειας
Έργο και Ενέργεια 1 Οι έννοιες έργο και ενέργεια δίνουν τη δυνατότητα εύρεσης των αποτελεσμάτων της άσκησης μιας δύναμης χωρίς να απαιτείται η γνώση της δύναμης σαν συνάρτηση του χρόνου Αν η δύναμη F F() r, δηλ. είναι συνάρτηση της θέσης, το 1 ολοκλήρωμα d δεν μπορεί να υπολογιστεί m F t dt Η έννοια του έργου συνδέεται πάντοτε με την μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας Το μέτρο της ταχύτητας μεταβάλλεται μόνο αν υπάρχει συνιστώσα της F κατά την διεύθυνση της μετατόπισης dr Η μαθηματική πράξη που θα δώσει τη συνιστώσα της F κατά τη διεύθυνση του dr είναι το εσωτερικό γινόμενο. Επομένως ds θ B B B ορίζεται: Α dw F dr, W A B F dr Fdrcos F, dr Fdrcos A A A Β Fcosθ F
Έργο και Ενέργεια 1 συνέχεια Η μαθηματική πράξη που θα δώσει τη συνιστώσα της κατά τη διεύθυνση του είναι το εσωτερικό γινόμενο. Επομένως ορίζεται: Β Fcosθ Α ds θ F B B B dw F dr, W A B F dr Fdrcos F, dr Fdrcos A A A
Έργο και Ενέργεια Υπολογισμός του έργου της δύναμης που ασκείται σε ελατήριο και υπακούει στο νόμο του Hooke F ˆ, για την επιμήκυνσή kx του από την θέση του φυσικού του μήκους (x=0) μέχρι τη θέση x x x x 1 W 0 x F dr kxxˆdxxˆ kxdx kx 0 0 Το έργο αυτό παράγεται πάνω στο ελατήριο από την εφαρμόζων τη δύναμη καταναλώνει έργο F, ενώ ο Αν στο άκρο του ελατηρίου προσδεθεί σώμα τότε αυτό δέχεται δύναμη επαναφοράς F. Αν αυτή υπακούει στο νόμο του Hooke F kxxˆ, τότε: x 1 W x F dr kxx dxx kx x 0 ˆ ˆ 0 0 o F x=0 X=0 F F x=0 F x
Έργο και Ενέργεια 3 Στο σώμα εφαρμόζεται οριζόντια δύναμη F τέτοια ώστε το σώμα να μετατοπιστεί κατά μήκος κυκλικής τροχιάς με ταχύτητα σταθερού μέτρου διαγράφοντας γωνία φ ο. Να υπολογιστεί το έργο W F( 0 ) l φ dφ φ o h s F ds φ B B y
Έργο και Ενέργεια 4 Κατά τον άξονα y η συνισταμένη των δυνάμεων δρα σαν κεντρομόλος T B και το έργο της είναι μηδενικό y Fy m l Κατά τον άξονα x: F B, 0, ds ld. o o x x WF 0 Fxds Bxld Bl sin d Bl(cos 1) o l h ή επειδή cos, WF 0 Bh mgh l Θεώρημα κινητικής Ενέργειας Έργου B B B B B d d 1 WF A B F dr m dr m dt m d m dt dt A A A A A 1 1 m m Αν ΔΚ>0, WF A B 0 δηλ. η F παράγει έργο Αν ΔΚ<0, WF A B 0 δηλ. το σώμα παράγει έργο στον παράγοντα που προκάλεσε τη δύναμη o
Δυναμική ενέργεια 1 Οι νόμοι διατήρησης: Είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι γιατί είναι ανεξάρτητοι α) της τροχιάς και β) της δύναμης που μπορεί να μην είναι γνωστές Δίνουν τις συνέπειες των εξισώσεων κίνησης χωρίς να χρειάζεται να λυθούν. Δυναμική ενέργεια: Όταν το έργο είναι ανεξάρτητο της τροχιάς αυτό σημαίνει ότι είναι συνάρτηση μόνο της αρχικής και τελικής θέσης Αυτή η συνάρτηση λέγεται δυναμική ενέργεια U U(r ) Εξαρτάται από τις συντεταγμένες του σωματιδίου και τις συντεταγμένες όλων των σωματιδίων του χώρου που αλληλεπιδρούν με αυτό
Δυναμική ενέργεια Δυναμική ενέργεια σωματιδίου: υπονοεί ότι τα υπόλοιπα σωματίδια παραμένουν σταθερά στο χώρο και μεταβάλλονται μόνο οι συντεταγμένες του σωματιδίου Μια δύναμη είναι διατηρητική (ή συντηρητική) μόνο αν το έργο που παράγει είναι ανεξάρτητο της τροχιάς, επομένως η δυναμική ενέργεια δεν ορίζεται στην περίπτωση μη διατηρητικών δυνάμεων
Δυναμική ενέργεια 3 Αν το σωματίδιο μετακινείται από το Α στο Β υπό την επίδραση διαφόρων δυνάμεων, να υπολογίσετε το έργο του βάρους του W w( A B) y φ ds w Α m φ W dscosφ x B B B δηλ. εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση ds Β W A B W ds wdscos(w,ds ) wdscos B A Y Α A A A B mg dy mg dy mg y y mgy mgy A Y B B A A B
Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας 1 Αν σε ένα σώμα δρα διατηρητική δύναμη W A B U A U(B) w εξάλλου W A B ( ) Το άθροισμα Κ+U καλείται μηχανική ενέργεια Ε. Επομένως Ε=Κ+U=σταθ. (αρχή διατήρησης της ενέργειας) Η αρχή διατήρησης της ενέργειας αποτελεί συνέπεια της ομοιογένειας του χρόνου, δηλ. δεν υπάρχουν χρονικές στιγμές ή χρονικές περίοδοι που να ξεχωρίζουν από τις υπόλοιπες. Κάθε χρονική στιγμή είναι ισοδύναμη με οποιαδήποτε άλλη. Αν ένα πείραμα πραγματοποιηθεί σήμερα θα δώσει τα ίδια αποτελέσματα με ίδιο πείραμα κάτω από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες που θα πραγματοποιηθεί π.χ. μετά από ένα χρόνο. w U( A) B U(B) 1
Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας Η αρχή διατήρησης της ενέργειας, ακριβώς επειδή πηγάζει από μια τόσο γενική ιδιότητα, έχει καθολική ισχύ. Αν δεν ίσχυε ο νόμος κίνησης του Νεύτωνα αλλά κάποιος άλλος, η αρχή διατήρησης της ενέργειας θα ίσχυε και πάλι, ίσως με κάποια διαφορετική έκφραση Αν σε σώμα δρουν διατηρητικές (Δ) και μη διατηρητικές δυνάμεις (Μ.Δ):.. W A B W A B W A B W A B U A U B, W A B K B K( A) K B K A U A U B W A B W. A B K B U(B) K A U A ( )
Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας 3 Εδώ Κ+U δεν εκφράζει την ολική μηχανική ενεργεία, γιατί αυτή έχει νόημα μόνο για διατηρητικές δυνάμεις. Η () εκφράζει το κέρδος ή την απώλεια ενέργειας λόγω της επίδρασης μη διατηρητικών δυνάμεων Για τα στοιχειώδη έργα dw dk F dr dk και για τις διατηρητικές dw F dr Επειδή dk και υποδηλώνουν τη διαφορά μεταξύ τελικής και αρχικής κατάστασης, το υποδηλώνει τη διαφορά μεταξύ αρχικής και τελικής κατάστασης Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κάθε κεντρική δύναμη είναι διατηρητική. Μια δύναμη είναι κεντρική αν το μέτρο της εξαρτάται από την απόσταση των σωματιδίων που αλληλεπιδρούν και η διεύθυνσή της βρίσκεται πάνω στην ευθεία που τα συνδέει
Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας 4 Παραδείγματα διατηρητικών δυνάμεων αποτελούν η δύναμη της βαρύτητας, η δύναμη επαναφοράς του ελατηρίου, η δύναμη Coulomb κ.α Παράδειγμα μη διατηρητικής δύναμης είναι η τριβή. Παρ όλο που η αλληλεπίδραση καθενός μορίου των σωμάτων που βρίσκονται σε επαφή μπορεί να εκφραστεί από μια διατηρητική δύναμη, η δύναμη της τριβής αποτελεί μια στατιστική έννοια. Όταν το σώμα συμπληρώσει μια κλειστή τροχιά, μακροσκοπικά επανέρχεται στην αρχική του θέση. Μικροσκοπικά όμως τα μόρια δεν έχουν επιστρέψει στην αρχική τους θέση.
Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας 5 Ποια η φυσική σημασία της δυναμικής ενέργειας; F ί F B B B W A B F dr F dr F dr A A A ί F δηλ. είναι η δύναμη που εμείς πρέπει να εφαρμόσουμε ί F στο σώμα ώστε να κινηθεί από τη θέση Α στη θέση Β χωρίς επιτάχυνση Αν UB UA 0 W ί 0 δηλ. α=0 καταναλώνουμε έργο για να υπερνικήσουμε τη F δύναμη F Αν UB UA 0 W ί 0 δηλ. κερδίζουμε έργο από τις δυνάμεις του πεδίου
Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια U=U(r) που οφείλεται στην αλληλεπίδραση λόγω βαρύτητας μεταξύ δυο σημειακών μαζών m 1, m. Λύση 1 F ˆr r A B Gm1m1 Η δύναμη είναι κεντρική F rˆ κι επομένως διατηρητική r Gm1m1 Gm1m1 F dr rˆ drrˆ dr B r r r B 1 1 Gm1m 1r dr UB UA Gm1m 1 1 A ra r B r A Αν r r, U B U A 0 W 0 καταβάλλουμε έργο B A ί Αν r r, U B U A 0 W 0 B A ί κερδίζουμε έργο
Παράδειγμα 1 συνέχεια Λόγω της μορφής της (1), επιλέγουμε για τη θέση Α: όταν ra να θέσουμε Ur 0 U B Gm m ή γενικά r 1 1 B U r Gm m r Gm m 1 Η U r είναι πάντα αρνητική, γιατί πάντα κερδίζουμε r έργο από το σύστημα όταν αφήσουμε τις μάζες m 1, m να πλησιάσουν σιγά σιγά, ξεκινώντας από άπειρη απόσταση
Παράδειγμα Να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια ελατηρίου x=0 F x x F ί ί 0 0 F ί F F kxxˆ 1 Ux U0 F dr kxx ˆdxxˆ kx (1) x Στην περίπτωση αυτή εξυπηρετεί η επιλογή για x=0: 1 U(x=0)=0, οπότε η (1) γράφεται U x kx 0 Εμείς πρέπει να καταναλώσουμε έργο για να κινηθεί το σώμα από τη θέση x=0 στη θέση x χωρίς επιτάχυνση
Καμπύλες δυναμικής ενέργειας 1 Με τη βοήθειά τους κατανοούμε την κίνηση των σωματιδίων χωρίς να χρειάζεται να λύσουμε την εξίσωση κίνησής τους U(x) E 4 E 3 E E 1 L H C A F F F D B K F F K 3 G I dx F dx ί ύ 0 K 1 x 7 x 3 x 1 x x 4 x 5 x 6 x 8 x
Καμπύλες δυναμικής ενέργειας Αυξανομένου του x, όταν η δυναμική ενέργεια αυξάνεται, η κλίση είναι θετική κι επομένως Ενώ αν η δυναμική ενέργεια μειώνεται η κλίση είναι αρνητική και επομένως F 0 F x dx Στα σημεία Κ 1, Κ, Κ 3 : ισορροπίας. F 0 ( F x) dx 0 F 0 dx και αποτελούν θέσεις Στα Κ 1, Κ 3 : η καμπύλη έχει ελάχιστο και τα Κ 1, Κ 3 είναι θέσεις ευσταθούς ισορροπίας Δηλαδή αν το σωματίδιο που βρίσκεται στις αντίστοιχες θέσεις στον άξονα x, απομακρυνθεί κατά λίγο απ αυτές, οι δυνάμεις F δρουν σαν δυνάμεις επαναφοράς και το επαναφέρουν στη θέση ισορροπίας
Καμπύλες δυναμικής ενέργειας 3 Στο Κ η καμπύλη έχει μέγιστο. Το Κ είναι θέση ασταθούς ισορροπίας. Δηλαδή αν κατά λίγο το σωματίδιο απομακρυνθεί απ αυτή, οι ασκούμενες δυνάμεις το απομακρύνουν οριστικά. Έστω ότι δίνεται η ολική μηχανική ενέργεια Ε 1, όπως στο σχήμα. Αυτή τέμνει την καμπύλη στα Α και Β. Επειδή είναι Κ 1 =Ε 1 -U 1 >0, το σωματίδιο δε μπορεί να κινηθεί αριστερά του Α. Επομένως πρέπει x>x 1. Όμως δεν μπορεί να κινηθεί και δεξιά του Β γιατί τότε θα ήταν Κ<0. Επομένως x<x και το σώμα θα κάνει ταλάντωση μεταξύ των δύο αυτών των θέσεων Τα Α και Β λέγονται σημεία αναστροφής. Όταν το σωματίδιο φτάσει στις αντίστοιχες θέσεις x 1, x η κινητική του ενέργεια μηδενίζεται και το σωματίδιο αντιστρέφει την κίνησή του
Καμπύλες δυναμικής ενέργειας 4 Αν η ολική μηχανική ενέργεια είναι Ε, το σωματίδιο δεν μπορεί να κινηθεί αριστερά του C και δεξιά του G γιατί η κινητική του ενέργεια θα ήταν Κ =Ε U <0. Ομοίως δεν μπορεί να κινηθεί μεταξύ των D και F. Δηλαδή πρέπει x 3 <x<x 4 και x 5 <x<x 6. Όταν το σωματίδιο βρίσκεται σε μια απ αυτές της περιοχές δεν μπορεί να μεταπηδήσει στην άλλη. Επομένως οι δυο επιτρεπόμενες περιοχές χωρίζονται από ένα φράγμα δυναμικού. Αν Ε ολ =Ε 3, το σωματίδιο εκτελεί ταλάντωση μεταξύ των θέσεων x 7 και x 8. Αν Ε ολ =Ε 4, το σωματίδιο δεν κάνει ταλάντωση. Μπορεί να κινείται μόνο δεξιά του L απομακρυνόμενο προς το. Αν κινείτο προς τα αριστερά, μόλις φτάσει στο L αναπηδά απομακρυνόμενο προς τα δεξιά.
Καμπύλες δυναμικής ενέργειας 5 Όταν δίνεται η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας U(r) μπορούν να υπολογιστούν οι θέσεις και το είδος ισορροπίας Τα βήματα που ακολουθούνται είναι: 1. Υπολογίζεται η παράγωγος dr. Η δύναμη είναι dr 3. Οι θέσεις ισορροπίας υπολογίζονται θέτοντας F=0 και έστω ότι είναι η r 1, r και r 3 F
Καμπύλες δυναμικής ενέργειας 6 4. Το είδος ισορροπίας προσδιορίζεται ως εξής: α) Υπολογίζεται η dr β) Υπολογίζεται η τιμή της στις θέσεις ισορροπίας r 1, r και r 3 dr γ) Αν π.χ. 0 η καμπύλη εμφανίζει ελάχιστο και το r 1 dr είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας. rr 1 Αν π.χ. Αν π.χ. 0 dr rr 0 dr rr 3 η καμπύλη εμφανίζει μέγιστο και το r είναι θέση ασταθούς ισορροπίας στο r 3 η ισορροπία είναι αδιάφορη.
Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας α) Να υπολογίσετε τη δύναμη F β) Να βρείτε τις θέσεις ισορροπίας γ) Να βρείτε το είδος ισορροπίας δ) Να σχεδιάσετε την Λύση Ur 3 U r r 18r α) 6r 18, F dr 6r 18 dr β) F r r r 0 6 18 0 1 3 1.73, 3 1.73
Παράδειγμα 1 συνέχεια 1 γ) είδος ισορροπίας 1r dr 1 3 0 ευσταθής ισορροπία. dr dr r δ) Πότε U r ; 3 r 3 0 1 3 0 ασταθής ισορροπία 3 r 18r 0 r r 9 0 r 0, r 3, r 3
Παράδειγμα 1 συνέχεια Ποιες οι τιμές της U r στις θέσεις ισορροπίας; U r0 0 U r 3 1 3 0.78 Ur 3 1 3 0.78 Ό r U r 0 Ό r U r -6-4 - 0 4 6 U(r) 40 0 r -0-40
Παράδειγμα Αν U r r 4 4r να υπολογιστούν τα ζητούμενα του προηγούμενου παραδείγματος Λύση α) 3 8r 8r dr F 8r 3 8r dr 3 β) F 0 8r 8r 0 r 0, r 1, r 1 γ) είδος ισορροπίας 4r 8 dr
Παράδειγμα συνέχεια 1 dr dr dr r0 r1 r1 8 0 16 0 16 0 ασταθής ισορροπία, μέγιστο ευσταθής ισορροπία, ελάχιστο ευσταθής ισορροπία, ελάχιστο 0 δ) Πότε U r ; 4 r 4r 0 r r 0 r 0, r 1.41, r 1.41
Παράδειγμα συνέχεια Ποιες οι τιμές της U r στις θέσεις ισορροπίας; U r0 0 U r 1 Όταν U r 1 Όταν U r r U r U r 1 0 - -1 0 1 r -1 -
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Φυσική Halliday-Resnick-Krane 4 η έκδοση Τόμος 1 Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Serway: απόδοση στα ελληνικά Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη, τόμος I Μηχανική 3 η έκδοση Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική και Θερμοδυναμική, Alonso/Finn η έκδοση Τόμος 1 Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική- Θερμοδυναμική, H. D. Young Τόμος Α Physics, Foundations and Applications" Robert M. Eisberg, Lawrence S. Lerner, combined volume, McGraw-Hill, Inc. Φυσική τόμος 1 Μηχανική, Berkeley
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αικατερίνη Πομόνη. «Μηχανική- Ρευστομηχανική. Ενότητα 5». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/phy1901/
Τέλος Ενότητας