HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017 1 1 Προτασιακός λογισµός, προηγούµενη φορά Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον προτασιακό λογισµό για να αποδείξουµε την αλήθεια συγκεκριµένων συλλογισµών. Πχ: Από τις υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα µπορώ να οδηγηθώ στο συµπέρασµα: εν έχει κρύο Πως; 2/21/2017 2 2 Προτασιακός λογισµός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K Προτασιακός λογισµός Με αυτά τα δεδοµένα, αρκεί να δείξουµε ότι στον προτασιακό λογισµό η πρόταση: ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ αποτελεί ταυτολογία! 2/21/2017 3 3 2/21/2017 4 4 1

Απόδειξη ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Α ( Χ Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) ( Α Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) F) Κ ((Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ ( Α Χ)) (Χ ( Α Χ))) Κ (( Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ (( Κ Α Χ) F) Κ ( Κ Α Χ) Κ Απόδειξη ( Κ Α Χ) Κ ( Κ Α Χ) Κ K A X Κ (K Κ) (A X) T (A X) T [Ο.Ε..] 2/21/2017 5 5 2/21/2017 6 6 Απόδειξη µε άλλο τρόπο Αλλιώς 1. εν έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) 2. Εάν χιονίζει έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουµε ατυχήµατα δεν χιονίζει (αντιστροφοαντίθετη της 2) 4. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει 5. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδοµένο) 6. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη της 5) 7. ΕΠΟΜΕΝΩΣ εν έχει κρύο [Ο.Ε..] 2/21/2017 7 7 Απόδειξη µε άλλο τρόπο Αλλιώς 1. εν έχουµε ατυχήµατα ( Α) 2. Εάν χιονίζει έχουµε ατυχήµατα (Χ Α) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουµε ατυχήµατα δεν χιονίζει ( Α Χ) (αντιστροφοαντίθετη της 2) 4. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει ( Χ) 5. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (Κ Χ) 6. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο ( Χ Κ) (αντιστροφοαντίθετη της 5) 7. ΕΠΟΜΕΝΩΣ εν έχει κρύο ( Κ) [Ο.Ε..] 2/21/2017 8 8 2

Κατηγορηµατικός λογισµός Κατηγορηµατικός λογισµός Όµως, άλλα λογικά συµπεράσµατα δεν µπορούν να αποδειχτούν µε τον προτασιακό λογισµό Όλοι θαυµάζουν την Μαρία Εποµένως: Κάποιος θαυµάζει την Μαρία Όλοι θαυµάζουν κάποιον Για τέτοιου είδους συµπεράσµατα, χρειαζόµαστε ένα λογικό οικοδόµηµα µε µεγαλύτερη εκφραστικότητα Ανάγκη χειρισµού των όρων «κάποιος» και «καθένας» Αποτελεί έναν από τους πιο πολύ χρησιµοποιούµενους τυπικούς συµβολισµούς για να γράφουµε ορισµούς, αξιώµατα, καιθεωρήµατα. 2/21/2017 9 9 2/21/2017 10 10 Κατηγορηµατικός λογισµός Η βάση πολλών συστηµάτων τεχνητής νοηµοσύνης... Προτάσεις του κατηγορηµατικού λογισµού υποστηρίζονται από µερικές από τις πιό πολύπλοκες µηχανές αναζήτησης σε βάσεις δεδοµένων, παγκόσµιο ιστό, κλπ Υπάρχουν βέβαια και περιορισµοί σχετιζόµενοι µε τη χρήση κατηγορηµατικού λογισµού, που θα τα δούµε αργότερα Κατηγορηµατικός λογισµός Ο κατηγορηµατικός λογισµός είναι µία επέκταση του προτασιακού λογισµού που επιτρέπει ποσοτικοποίηση σε κλάσεις οντοτήτων. Στον προτασιακό λογισµό (θυµηθείτε) κάθε ατοµική πρόταση αποτελεί µία ατοµική οντότητα. Σε αντίθεση, ο κατηγορηµατικός λογισµός διαφοροποιεί τουποκείµενο µιας πρότασης από το κατηγόρηµα. 2/21/2017 11 11 2/21/2017 12 12 3

Λίγη γραµµατική Συµβολισµοί στον κατηγορηµατικό λογισµό (άτυπα) Στην πρόταση: Ο Κώστας είναι στεναχωρηµένος : ο Κώστας αποτελεί τουποκείµενοτης πρότασης αυτόν για τον οποίο γίνεται λόγος στην πρόταση. Το στεναχωρηµένος αποτελεί το κατηγόρηµα µία ιδιότητα που χαρακτηρίζει το υποκείµενο. Ο κατηγορηµατικός λογισµός στηρίζεται σε αυτή τη διάκριση. Θα χρησιµοποιήσουµε διάφορους τύπους σταθερών που συµβολίζουν αντικείµενα: a,b,c, Μεταβλητές πάνω σε αντικείµενα: x, y, z, Τοαποτέλεσµα της εφαρµογής ενός κατηγορήµατος Pπάνω σε µία σταθερά aείναι η πρόταση P(a) ΕΝΝΟΙΑ: Το αντικείµενο που συµβολίζεται µε a έχει την ιδιότητα που συµβολίζεται µε P. 2/21/2017 13 13 2/21/2017 14 14 Τύποι στον κατηγορηµατικό λογισµό (άτυπα) Το αποτέλεσµατης εφαρµογής του κατηγορήµατος P σε µία σταθερά aείναι η πρόταση P(a). Π.χ.,εάν P = είναι άρτιος αριθµός, και a=7 τότε το P(a), δηλαδή το P(7) είναι η πρόταση Το 7είναι άρτιος αριθµός. 2/21/2017 15 15 Τύποι στον κατηγορηµατικό λογισµό (άτυπα) Το αποτέλεσµατης εφαρµογής του κατηγορήµατος P σε µία µεταβλητή xείναι η προτασιακή µορφή P(x). Π.χ.,εάν P = είναι πρώτος αριθµός, και xµία µεταβλητή, τότε το P(x) είναι η προτασιακή µορφή ο x είναι πρώτος αριθµός. Γιατί δεν είναι πρόταση; Γιατί χωρίς να ξέρουµε τίποτε για το x, δεν µπορούµε να απαντήσουµε το αν είναι αληθής ή ψευδής 2/21/2017 16 16 4

Παράδειγµα Πεδίο ορισµού Εστωη προτασιακή µορφή P(x)= 2x x. εν είναι πρόταση γιατί αν δεν ξέρουµε τίποτε για το x, δεν µπορούµε να αποφανθούµε για την αλήθεια της. Πχ, αν το x είναι φυσικός αριθµός τότε η «πρόταση» είναι σίγουρα αληθής Αν όµως το x είναι ακέραιος, τότε η πρόταση µπορεί να είναι ψευδής Είναι η προτασιακή µορφή πρόταση; Όχι! εν µπορούµε να αποφανθούµε για το κατά πόσο είναι αληθής ή όχι! χρειάζεται ένας προσδιορισµός/οριοθέτηση των τιµών των µεταβλητών! Η συλλογή τιµών τις οποίες µία µεταβλητή x µπορεί να πάρει λέγεται πεδίο ορισµού της x. 2/21/2017 17 17 2/21/2017 18 18 Πίσω στον προτασιακό λογισµό Στον προτασιακό λογισµό, µπορούµε να πούµε αν µία σύνθετη πρόταση είναι αληθής, αν γνωρίζουµε τις τιµές αληθείας των επιµέρους ατοµικών προτάσεων Π.χ., η p q είναι F εάν ξέρουµε ότι p=t, q=f Κατηγορηµατικός λογισµός Στον κατηγορηµατικό λογισµό, λέµε ότι µία πρόταση είναιαληθήςή ψευδής σε σχέση µε ένα µοντέλο Μοντέλο = 1. Απόδoση του νοήµατος του κατηγορήµατος 2. Περιγραφή των αντικειµένων (= προσδιορισµός του πεδίου ορισµού των µεταβλητών) για τα οποία ισχύει το κατηγόρηµα 2/21/2017 19 19 2/21/2017 20 20 5

Κατηγορήµατα µε n ορίσµατα Κατηγορήµατα µε n ορίσµατα Ο κατηγορηµατικός λογισµός γενικεύειτην έννοια του κατηγορήµατος ώστε αυτή να συµπεριλαµβάνει προτασιακές µορφές οποιουδήποτε πλήθους ορισµάτων χρησιµοποιώντας µεταβλητές Έστωπροτασιακή µορφή R(x, y)= ο x θαυµάζει τον y τότε αν x= Νίκος, y = Κώστας, R(Νίκος, Κώστας) = Ο Νίκος θαυµάζει τον Κώστα Έστωπροτασιακή µορφή P(x, y, z) = Ο x έβαλε στον y το βαθµό z τότε αν x= Αργυρός, y = Νίκος, z= 10, P(Αργυρός,Νίκος, 10) = Ο Αργυρός έβαλε στον Νίκο το βαθµό 10 2/21/2017 21 21 Τι νόηµα έχει το P(Αργυρός, Νίκος, z); Είναι προτασιακή µορφή, όχι πρόταση! P(Αργυρός,Νίκος, z) = Q(z) = Ο Αργυρός έβαλε στον Νίκο το βαθµό z 2/21/2017 22 22 Ποσοδείκτες Οι ποσοδείκτεςπαρέχουν ένα συµβολισµό που µας δίνει τη δυνατότητα να ποσοτικοποιήσουµε (µετρήσουµε) πόσα αντικείµενα στο πεδίο ορισµού ικανοποιούν ένα συγκεκριµένο κατηγόρηµα. : καθολικός ποσοδείκτης (FOR LL). : υπαρξιακός ποσοδείκτης ( XISTS). Για παράδειγµα, οι x P(x) και x P(x) αποτελούν προτάσεις Η έννοια των ποσοτικοποιηµένων εκφράσεων Πρώτα, άτυπα: x P(x) σηµαίνει ότιγιακάθε x στο π.ο. της x,ηpισχύει. x P(x) σηµαίνει ότιυπάρχει τουλάχιστον ένα x στο π.ο. της x (δηλ. ένα ή και περισσότερα) για το οποίο η P(x) ισχύει. 2/21/2017 23 23 2/21/2017 24 24 6

Παράδειγµα: Πως µπορούµε να πούµε µε βάση τον κατηγορηµατικό λογισµό ότι Όλοι θαυµάζουν την Μαρία ; Έστω A το σύνολο των ανθρώπων Έστω x, y µεταβλητές µε π.ο. το σύνολο Α Έστω προτασιακή µορφή Θ(x, y) = o/η xθαυµάζει τον/την y Έστω a = Μαρία (στοιχείο του Α) Τότε η πρότασή µας γράφεται: x Θ(x, a) 2/21/2017 25 25 Θυµηθείτε Στον προτασιακό λογισµό, µπορούµε να φτιάξουµε εκφράσεις πεπερασµένου µεγέθους. Π.χ., µπορούµε να γράψουµε P(a) P(b) P(a) P(b) P(c) P(a) P(b) P(c) P(d), κλπ. Αλλά µε αυτόν τον τρόπο, δεν µπορούµε ποτέ να περιγράψουµε µία ιδιότητα Pγια π.χ. όλους τους φυσικούς αριθµούς Στον κατηγορηµατικό λογισµό, µπορούµε να το κάνουµε αυτό µε πολύ απλό τρόπο: xp(x)όπου η µεταβλητή x έχει πεδίο ορισµού τον 2/21/2017 26 26 Πάλι για το πεδίο ορισµού Όπως είπαµε, ο προσδιορισµός του πεδίου ορισµού των µεταβλητών έχει ουσιώδη σηµασία! Π.χ., έστωη προτασιακή µορφή P(x)= 2x x. Η πρόταση x P(x) είναι αληθήςόταν το πεδίο ορισµού της x είναι το N Η πρόταση x P(x) είναι ψευδήςόταν το πεδίο ορισµού της x είναι το Z Παράδειγµα: Έστω ότι το π.ο. της µεταβλητής xείναιοι θέσεις παρκαρίσµατος στο Π.Κ. Έστω ότι P(x) σηµαίνει η x είναι κατειλληµένη Τότε η καθολική ποσοτικοποίηση της P(x), xp(x), είναι η πρόταση: Για κάθε θέση παρκαρίσµατος στο Π.Κ., ισχύει ότι είναι κατειληµµένη. ή αλλιώς, Όλες οι θέσεις παρκαρίσµατος στο Π.Κ. είναι κατειλληµένες 2/21/2017 27 27 2/21/2017 28 28 7

Παράδειγµα: Έστω ότι το π.ο. της µεταβλητής x είναιοι θέσεις παρκαρίσµατος στο Π.Κ. Έστω ότι P(x) σηµαίνει η x είναι κατειλληµένη Τότε, η υπαρξιακή ποσοτικοποίηση της P(x), xp(x), είναι ηπρόταση που µας λέει ότι: Υπάρχει θέση παρκαρίσµατος στο ΠΚ που είναι κατειληµµένη. Τουλάχιστον µία θέση παρκαρίσµατος στο Π.Κ. είναι κατειληµµένη. Κάποια(ες) θέση(εις) παρκαρίσµατος στο Π.Κ. είναι κατειλληµένη(ες). Ελεύθερες και δεσµευµένες µεταβλητές Πριν προχωρήσουµε, πρέπει να διακρίνουµε δύο είδη µεταβλητών, τις ελεύθερεςκαι τις δεσµευµένες 2/21/2017 29 29 2/21/2017 30 30 Ελεύθερες και δεσµευµένες µεταβλητές Μία προτασιακή µορφή όπως η P(x) λέγεται ότι έχει µία ελεύθερη µεταβλητή x. Ένας ποσοδείκτης (είτε το είτε το ) λειτουργεί σε µία έκφραση που έχει µία ή περισσότερες ελεύθερες µεταβλητές, και δεσµεύειµία ή περισσότερες από αυτές τις µεταβλητές, για να παράξει µία ή περισσότερες δεσµευµένες µεταβλητές. Παράδειγµα δέσµευσης (binding) H P(x,y) έχει 2 ελεύθερες µεταβλητές, τις x και y. x P(x,y) έχει 1 ελεύθερη µεταβλητή και µία δεσµευµένη µεταβλητή. [Ποιά είναι ποιά;] Μία προτασιακή µορφή µε καµία ελεύθερη µεταβλητή αποτελεί µία πρόταση. Μία προτασιακή µορφή µε µία ή περισσότερες ελεύθερες µεταβλητές είναι παρόµοια µε ένα κατηγόρηµα: π.χ.έστω Q(y) = xθαυµάζει(x, y) 2/21/2017 31 31 2/21/2017 32 32 8

Εµφανίσεις µεταβλητών που δεν είναι ελεύθερες, είναι δεσµευµένες. Ας ελέγξουµε τι καταλάβαµε: Ποιές µεταβλητές (αν υπάρχουν) είναι ελεύθερεςστις παρακάτω εκφράσεις; 1. x P(x) ΚΑΜΙΑ 2. x P(x) ΚΑΜΙΑ 3. yq(x) H x 4. xp(b) (η b είναι σταθερά) ΚΑΜΙΑ 5. x( y R(x,y)) ΚΑΜΙΑ Ελεύθερες µεταβλητές, τυπικός ορισµός Οι εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών στην α είναι όλες οι εµφανίσεις ελευθέρων µεταβλητών στην α Οι εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών στην (ατελεστήςβ) είναι όλες οι εµφανίσεις ελευθέρων µεταβλητών στηνασυν τις εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών της β Οι εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών στην xϕ είναι όλες οι εµφανίσεις ελευθέρων µεταβλητών στην ϕ εκτός από όλες/κάθε εµφάνιση της x. Οι εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών στην xϕ είναι όλες οι εµφανίσεις ελευθέρων µεταβλητών στην ϕ εκτός από όλες/κάθε εµφάνιση της x. 2/21/2017 33 33 2/21/2017 34 34 Ένας πιό τυπικός ορισµός της αλήθειας ποσοτικοποιηµένων εκφράσεων Συµβολισµός: ϕ(x:=a) είναι το αποτέλεσµα της αντικατάστασης όλων των ελεύθερων εµφανίσεων της µεταβλητής x στηνϕ, µε τη σταθερά a Παράδειγµα Ας δούµε τι σηµαίνει ϕ(x:=a), εάνϕ= 1. P(x) 2. R(x, y) 3. P(b) 4. x P(x) 5. y Q(x) P(a) R(a, y) P(b) x P(x) y Q(a) 2/21/2017 35 35 2/21/2017 36 36 9

Ένας πιο ακριβής ορισµός... Έστωϕ=P(x)µία προτασιακή µορφή µε τη x ορισµένη στο D. Τότε η xϕ είναι αληθής στo D εάντουλάχιστον µίαέκφρασηϕ(x:=a) είναι αληθής στο D. Αλλιώς, η xϕ είναι ψευδής. ηλαδή, η x P(x) είναι αληθής πρόταση στο D αν τουλάχιστον µία πρόταση της µορφής P(a) για κάποιο a στο D είναι αληθής, και ψευδής αλλιώς. Όµοια για το Έστωϕ=P(x)µία προτασιακή µορφή µε τη x ορισµένη στο D. Τότε η xϕ είναιαληθήςστo D εάνκάθε έκφρασηϕ(x:=a) είναι αληθής στο D. Αλλιώς, η xϕ είναι ψευδής. ηλαδή, η x P(x) είναι αληθής πρόταση στο D άν όλες οι προτάσεις της µορφής P(a) για όλα τα a στο D είναι αληθείς, και ψευδής αλλιώς. 2/21/2017 37 37 2/21/2017 38 38 Τι συµβαίνει όταν το π.ο. είναι το κενό σύνολο (δεν έχει στοιχεία); Σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει σύµβαση που καθορίζει τη σηµασιολογία των προτάσεων. Όσοι ενδιαφέρονται, ας κοιτάξουν το http://en.wikipedia.org/wiki/empty_domain. Πιο συγκεκριµένα: Κάθε πρόταση της µορφής x Φ είναι ψευδής. Κάθε πρόταση της µορφής x Φ είναι αληθής. Ο κατηγορηµατικός λογισµός στον οποίο επιτρέπονται κενά π.ο. χωρίς κανένα αντικείµενο ονοµάζεται «Ελεύθερη Λογική» (Free Logic): http://en.wikipedia.org/wiki/free_logic Γενικά, υποθέτουµε ότι τα πεδία ορισµού των µεταβλητών δεν είναι κενά. Ένα παράδειγµα... Έστω η πρόταση P= Πέρασα όλα τα µαθήµατα που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο Έστω M το σύνολο των µαθηµάτων που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το µάθηµα x Τότε η πρόταση Pγράφεται ως: xπ(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; 2/21/2017 39 (c)2001-2004, Michael P. Frank 2/21/2017 40 40 10

Ακόµα ένα παράδειγµα... P= Πέρασα όλα τα µαθήµατα που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο Έστω M το σύνολο των µαθηµάτων που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το µάθηµα x Τότε η πρόταση Pγράφεται ως: xπ(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια µαθήµατα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΕΝ έδωσες κανένα µάθηµα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 2/21/2017 41 41 Πως µπορούµε να χειριστούµε την ίδια περίπτωση χωρίς να εµπλέξουµε κενό πεδίo ορισµού; P= Πέρασα όλα τα µαθήµατα που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο ΈστωΣτο σύνολο όλων των µαθηµάτων (µη κενό) Έστω Π(x) = Πέρασα το µάθηµα x Έστω Ε(x) = Έδωσα το µάθηµα x Τότε η πρόταση Pγράφεται: x (Ε(x) Π(x)) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια µαθήµατα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΕΝ έδωσες κανένα µάθηµα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 2/21/2017 42 42 11