Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο και ονομάζεται γραφική παράσταση της ( ). Το σημείο M ( y, ) ανήκει στην γραφική παράσταση της ( ) όταν και μόνο όταν, y ( ). Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: 0 όταν ο ρητός ( ). 1 όταν ο άρρητος Γραφικές παραστάσεις γνωστών συναρτήσεων Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) a. Η ρητή συνάρτηση ( ) a. 11
Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) a. Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) a+ b. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ( ) ημ, ( ) συν, ( ) ( ) σφ εφ, 1
Η εκθετική συνάρτηση ( ) α Η λογαριθμική συνάρτηση ( ) lo a 1
Παρατηρήσεις Η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης είναι δυνατών να τέμνει τον άξονα σε ένα ή περισσότερα σημεία (ή σε κανένα). Τον άξονα yy όμως μπορεί να τον τέμνει το πολύ σε ένα σημείο. Λυμένες ασκήσεις Μέθοδος 1 (Κοινά σημεία μιας συνάρτησης με τους άξονες) Για να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τον άξονα ή τα κοινά σημεία δύο συναρτήσεων και λύνουμε αντίστοιχα την εξίσωση ( ) 0 ή ( ) ( ). Για να βρούμε το κοινό σημείο μιας γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τον άξονα yy θέτουμε όπου 0 και βρίσκουμε το 0, 0 είναι το σημείο τομής της με τον άξονα yy. ( 0) ( ). Το σημείο ( ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ln + με τους άξονες. ( ) ( ) Λύνουμε την εξίσωση: ( ) 0 ln( + ) 0 ln( + ) ln( + ) ln e e Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στο σημείο e. Θέτουμε όπου 0 οπότε ( 0) ln. Άρα το σημείο τομής της με τον άξονα yy είναι το 0, ln. ( ) 14
Μέθοδος Η C μιας συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα μόνο όταν: ( ) D και > 0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να βρείτε για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της + συνάρτησης ( ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα. 1 Πρέπει: + ( ) > 0 > 0 ( + )( 1 ) > 0 < < 1 1 Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα μόνο όταν,1. ( ) Μέθοδος Επίσης Η C μιας συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα όταν: ( ) D και < 0 yy μόνο ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να βρείτε για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της 1 συνάρτησης ( ) e 1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα. Πρέπει: 1 1 0 ( ) 0 < e 1< 0 e < e 1< 0 < 1 Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα μόνο όταν,1. ( ) Μέθοδος 4 Έστω, συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα και A B. Η C βρίσκεται πάνω από την C για εκείνα και μόνο τα A B < ). για τα οποία είναι ( ) > ( ) (αντίστοιχα ( ) ( ) 15
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Να βρείτε για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης όταν + 5+ e και ( ) 6+ e. ( ) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων είναι A A. Έχουμε: > + 5+ e > 6+ e > 0 1 + 1 >0 ( ) ( ) ( )( ) ( 1)( + 1) -1 0 1 + - + - + Επομένως η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τη μόνο όταν ( 1, 0) ( 1, + ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 ίνονται οι συναρτήσεις, με πεδίο ορισμού το για τις οποίες ισχύει ( ) ( ) + e 1 για κάθε. Να βρεθεί η σχετική θέση των C, C. + e 1 e 1. Θέτουμε Έχουμε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) h( ) e 1. 0 Αν h( ) 0 e 1 e e 0 ( ) > ( ) οπότε η C βρίσκεται πάνω από την C. 0 Αν h( ) 0 e 1 e e 0 ( ) < ( ) οπότε η C βρίσκεται κάτω από την C. 0 Αν h( ) 0 e 1 e e 0 ( ) ( ) C, C τέμνονται στο σημείο ( 0,0) > > > >, άρα για > 0 είναι < < < <, άρα για < 0 είναι, άρα για 0 είναι οπότε η A. Ασκήσεις 1. Να βρείτε (αν υπάρχουν), τα κοινά σημεία των αξόνων με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: 16
(α) ( ) + 1 (δ) (β) ( ) 1 ημ (ε) ( ) (γ) ( ) ( ) 1 + 6. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: + 8 (α) ( ) και ( ) 1 6 (β) ( ) και ( ) + a a. ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) (α) Να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η M ( 1, 6). (β)αν η σημεία της + + 5, a. C διέρχεται από το σημείο ( 1, 6) C και του άξονα. C να διέρχεται από το σημείο M να βρεθούν τα κοινά 4. ίνονται οι συναρτήσεις ( ) + ++ + 1, ( ) (α) Πότε η C είναι «πάνω» από τη (β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C ; C και είναι κορυφές τριγώνου με εμβαδόν Ε τ.μ. + + : C και να αποδείξετε ότι 5. Μια συνάρτηση : έχει γραφική παράσταση, η οποία είναι παραβολή. Αν η C διέρχεται από τα σημεία Α(-1,6), Β(1,0) και Γ(,0) να βρεθεί: (α) Ο τύπος της, και να σχεδιασθεί η C. (β) Τα κοινά σημεία της C και του άξονα. (γ) Τα διαστήματα που η C είναι κάτω από τον. 6. ίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) 5 ( ) + e e, για κάθε 17
Να αποδείξετε ότι η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα. 7. ίνονται οι συναρτήσεις, με πεδίο ορισμού το, για τις οποίες + 1. Να βρεθεί η σχετική θέση των C, C. ισχύει: ( ) ( ) 8. ίνεται η συνάρτηση: ( ) + ( α) (α+) + α 5, α (α) Να βρεθούν οι τιμές του α έτσι, ώστε η C να διέρχεται από το σημείο M,0. ( ) (β) Για α1: (1) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C με τους άξονες. () Nα βρεθεί η σχετική θέση της C με τον άξονα. () Nα βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από τη C, όπου ( ) 4 4. 9. ίνεται η συνάρτηση ( ) + α, αβ,, της οποίας η + β + 1 γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α( 1, 1) και 4 Β, 7. (α) Να βρεθούν τα α, β. (β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τον άξονα. (γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η C βρίσκεται πάνω από τον άξονα. (δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της 10. ίνεται η συνάρτηση : ( 1, + ) οποία ισχύει: ( ) ( ) ( ) C δεν τέμνει τον άξονα. C με την ευθεία y 1. και η ορισμένη στο για την, για κάθε. Να δείξετε ότι η Ίσες συναρτήσεις Ορισμός ύο συναρτήσεις, θα λέγονται ίσες, όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A. ηλαδή ισχύει ( ) ( ) 18
D D A ( ) ( ) για κάθε A Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις : A και : B και έστω A B. Ορίζουμε ως άθροισμα +, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο των συναρτήσεων, τις συναρτήσεις με τύπους: ( + )( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 Το πεδίο ορισμού των +, και είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού των συναρτήσεων και, ενώ το πεδίο ορισμού της είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που. μηδενίζουν τον παρονομαστή ( ) Λυμένες ασκήσεις Μέθοδος 1 Αν Α και Β είναι τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, αντίστοιχα και ισχύει Γ Α και Γ Β, θα λέμε ότι οι και είναι ίσες στο Γ μόνο για κάθε Γ. όταν ( ) ( ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις ( ) ( ) 5 6 + είναι ίσες. Να βρεθεί σύνολο στο οποίο να είναι ίσες. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης : 19
0 A, 0 Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης : [ + ) ( ] [ ) ( ] [ ) A 5 + 6 0,, +,, + Αφού A A. Για να είναι ίσες οι, ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ θα έπρεπε A A [, ) ( ) 5 + 6 ( ) + τότε: ίνονται οι συναρτήσεις ( ) βρεθούν: (α) +, 1, ( ) +. Να (β), (α) Βρίσκουμε αρχικά τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και. 0 0 0 και A 0, 0 A { } Άρα A + A A A { 0,,} 1 + Τότε: ( + )( ) ( ) + ( ) + 1 + Τότε: ( )( ) ( ) ( ) ( ) { } (β) Για να ορίζεται η πρέπει + ( ) + A 0,1,, Άρα { } Τότε: ( ) 0 0 0 1 και 1 ( ) ( ) + 0
Για να ορίζεται η πρέπει: 1 ( ) A 1,0,1,, Άρα { } Τότε: ( ) 0 0 1 0 1 και 1 + ( ) ( ) 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίνονται οι συναρτήσεις 1 < 0 ( α) ( γ ) ( ), ( ). + 1 0 ( β ) + > ( δ ) Να βρεθεί η + (α),(γ): Για < 0 < 0, ( + )( ) ( ) + ( ) 1+ < 0 (α),(δ): Για δεν ορίζεται πράξη (τα δύο σύνολα δεν έχουν > κανένα κοινό σημείο) (β),(γ): Για 0 0, ( + )( ) ( ) + ( ) + 1+ 1 (β),(δ): Για 0 >, > ( + )( ) ( ) + ( ) + 1+ + + < 0 Άρα: ( + ) ( ) 1 0. + > 1
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 ίνονται οι συναρτήσεις και με κοινό πεδίο ορισμού το A, για τις οποίες ισχύει ( + )( ) (( + )( ) 6) ( ( )( ) 9) για κάθε A. Να αποδείξετε ότι Έχουμε ότι για κάθε A ισχύει: ( + )( ) (( + )( ) 6) ( ( )( ) 9) ( ( ) + ( ) )( ( ) + ( ) 6) ( ( ) ( ) 9) ( ) + ( ) ( ) 6 ( ) + ( ) ( ) + ( ) 6( ) ( ) ( ) 18 ( ) 6 ( ) + ( ) 6( ) + 18 0 ( ) 6 ( ) + 9+ ( ) 6( ) + 9 0 ( ) 0 ( ) ( ) + ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) Ασκήσεις 1. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία είναι ίσες οι παρακάτω συναρτήσεις: (α) ( ) ln ( + 007) + ln ( 007 ) και ( ) ln ( 007 ) + (β) ( ) ln ( + ) ln ( ) και ( ) ln 4ln 4 και ( ) ln ( 4) 4 (γ) ( ) ( ) + a αριθμός a έτσι ώστε. Αν ( ) και ( ) +. a + a + 1 + a να βρεθεί ο πραγματικός κ + 4 λ ορισθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε. ίνονται οι συναρτήσεις ( ) και ( ) +. + λ. Να + λ 7
4. Έστω οι συναρτήσεις, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο A, για τις οποίες ισχύει ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) + + 8 + 4 + + 4 για κάθε A. Να δείξετε ότι. 5. ίνονται οι συναρτήσεις, : με την ιδιότητα: Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) + ( ) + ( ) για κάθε. 1 6. ίνονται οι συναρτήσεις ( ) 1 και συναρτήσεις: +,,,. ( ) 7. Να βρείτε τις συναρτήσεις +,, όταν: + + 1 1 1 ( ) και 4 (α) ( ) και ( ) (β) ( ). Να οριστούν οι 8. Να εξετάσετε αν υπάρχουν λ, ώστε οι συναρτήσεις ( λ + 1) 1 ( 1 λ) + λ 1 ( ) και ( ) να είναι ίσες. + λ 1 λ 5 9. ίνονται οι συναρτήσεις: ( ) 1 βρεθούν οι,., ( ). Να e 1 < 10. Αν, αν < 1 ( ), αν 1 συναρτήσεις: (α) και ( ) 1, αν > + (β) (γ), αν να ορίσετε τις
11. ίνονται οι συναρτήσεις,, h:. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι, όταν για κάθε ισχύει η αντίστοιχη σχέση: (α) [ 1 1 ( ) ( + )] + 4, ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) h ( ) + h ( ) h ( ) ( ) 0 (β) [ ] [ ] [ ] (γ) ( ) + ( y) ( ) + ( y), y (δ) + + h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Αν όχι να βρείτε το ευρύτερο σύνολο στο οποίο αυτές είναι ίσες. + 1 (α) ( ) και ( ) 9 1+ συν ημ (β) ( ) και ( ) ημ 1 συν 1 (γ) ( ) + 1 και ( ) + + 1 1. Να βρείτε τις συναρτήσεις, : για τις οποίες ισχύει: ( ) + ( ) 5 ( ) ( ) 1, για κάθε 14. Αν η συνάρτηση και έχουν πεδίο ορισμού το και ισχύει (( )( ) ) ( )( ) ( ( ) ημ ( ) συν ) Για κάθε να αποδείξετε ότι ( ) ημ και ( ) κάθε. + +1 0 συν για 15. ίνονται οι συναρτήσεις και με κοινό πεδίο ορισμού ένα σύνολο A. Αν για κάθε A ισχύει: (( )( ) 1) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 για κάθε A. Άρτια- περιττή συνάρτηση να αποδείξετε ότι 4
Η συνάρτηση : A θα λέγεται: Άρτια όταν για κάθε A και το A κάθε A. Περιττή όταν για κάθε A και το A και ισχύει ( ) ( ) για και ισχύει ( ) ( ) για κάθε A. * Περιοδική όταν υπάρχει αριθμός T τέτοιος ώστε για κάθε A και το T A + T για κάθε A. + και να ισχύει ( ) ( ) Λυμένες ασκήσεις ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές. 5 (α) ( ) ημ συν + (β) ( ) h ln + 1 + (γ) ( ) ( ) 1. Η έχει πεδίο ορισμού το A. Για κάθε και το και ισχύει: ( ) ημ ( ) συν ( ) + ημ συν + ( ). Άρα η είναι άρτια.. Η έχει πεδίο ορισμού το A. Για κάθε και το και ισχύει: 5 + 5 +. Άρα η είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) περιττή.. Η h έχει πεδίο ορισμού το A. Για κάθε και το και ισχύει: h( ) ln ( ) + 1 ln ( + 1) h( ). Άρα η h είναι άρτια. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( ) ln ( ) 1 περιττή. Η έχει πεδίο ορισμού το A. Για κάθε και το και ισχύει: + + είναι άρτια ή 5
( ) ( ) ( ) ( 1) + ( ) ln ( ) + 1 + ( ) ln ( + 1 ) ln + 1 +. ln1 ln + 1 + ln + 1 + Άρα η είναι περιττή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω συνάρτηση : με την ιδιότητα: ( + y) ( ) + ( y) (1), για κάθε, y. Αν ( ) > 0 για κάθε > 0 να δείξετε ότι: (α) ( 0) 0 (β) η είναι περιττή (α) Θέτω y 1 οπότε η εξίσωση (1) γίνεται: ( 1) ( 1) + ( 1) ( 1) 0 (β) Θέτω y οπότε η εξίσωση (1) γίνεται: + + 0 άρα η είναι περιττή. Ασκήσεις ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. ίνεται η συνάρτηση: ( ) ln( 1) + +. Να αποδείξετε ότι: (α) η έχει πεδίο ορισμού το (β) η είναι περιττή (γ) η C έχει με τον μόνο ένα κοινό σημείο.. ίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( ) ( ) e + e για κάθε. (α) Να αποδείξετε ότι η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο M ( 0,). (β) Να προσδιορίσετε τον τύπο της και να αποδείξετε ότι είναι άρτια συνάρτηση.. Αν η συνάρτηση είναι περιττή και για κάθε είναι 5 ( ) συν, να αποδείξετε ότι ( ) 6 συν.
4. ίνεται η συνάρτηση : τέτοια ώστε να ισχύει + π ημ + π για κάθε. ( ) ( ) ( ) (α) Να βρείτε τον τύπο της και να αποδείξετε ότι η είναι περιττή συνάρτηση. (β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. 5. Μία συνάρτηση : έχει την ιδιότητα: [ ] ( ) + ( ) + + ( ) 0, (α) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή (β) Να βρείτε τον τύπο της. ( ) + ( y) 6. Μία συνάρτηση : έχει την ιδιότητα: ( + y) 1 ( ) ( y) για κάθε, y. Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή. 7. ύο συναρτήσεις, : έχουν τις ιδιότητες: ( ) ( ) ( ) και αποδείξετε ότι η είναι άρτια και η περιττή. ( ) ( ) ( ) για κάθε. Να 8. Έστω οι συναρτήσεις, :. (α) Αν περιττή και άρτια να δείξετε ότι η είναι περιττή. (β) Αν, άρτιες να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι άρτια. (γ) Αν άρτια και περιττή να δείξετε ότι η (δ) Αν, άρτιες (ή περιττές) να δείξετε ότι η είναι περιττή. είναι άρτια. 7