1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii. ημ x=, iv. ημ x = 1 ΛΥΣΗ i. ημ x =. Άρα ημ x = x = κ + x = κ + = κ +, όου. ii. = 0 = ημ0 x = κ x = κ+. i ii. = εειδ δεν υάρχει γωνία θ με ημθ =, η εξίσωση είναι αδύνατη. Οι αρακάτω εξισώσεις έχουν ιο αλό τύο λύσεων, ο οοίος ροκύτει αευθείας αό τον τριγωνομετρικό κύ- κλο. = 0 x = κ, = 1 x = κ +, = 1 x = κ 71
iv. ημ x = 1 =. Άρα x = κ + ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Η x = κ + είναι η η μορφ λύσεων της ημ x = 1, όμως είναι ίδια με την x = κ +.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. συν x =, ii. σφ x = 0, iii. εφ x= ΛΥΣΗ i. συν x = = συν x = κ +. ii. σφ x = 0 σφx = σφ x = κ +. x = κ, Αντιμετώιση: Για να λύσουμε την εξίσωση = α ακολουθούμε τα εξς βματα: 1. Προσδιορίζουμε μια γωνία θ, συνθως στο ρώτο τεταρτη- μόριο, ώστε ημθ = α. iii. εφ x = εφx = εφ. Άρα x = κ +.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. ημ x= ημ x ii. συν x= 0 iii. σφ x = σφ x 5 5 iv. εφ x = v. ημ x+ = 1 ΛΥΣΗ i. ημ x = ημ x x = κ + x. Γράφουμε: = α = ημθ οότε οι λύσεις θα είναι x = κ + θ x = κ + θ. Όμοια υολογίζου- με συν x = α, εφx = α, σφx = α 7
x = κ + x 0x = κ (αδύνατη) x = κ + x + x = κ + x = κ +. ii. συν x = 0 = x = κ+ x x = κ x x = κ x = κ x = κ κ x =, κ Ζ. iii. σφ x = σφ x x = κ + x, 5 5 5 5 κ 5 x = κ +, x = + 5 5 5 iv. εφ x = εφ x = εφ x = κ +, κ Ζ( x= κ, κ Ζ ) x= κ, κ Ζ v. Έχουμε: 1 ημ x + = 1 ημ x + = ημ x + = ημ x + = κ + x = κ x + = κ + x = κ + Οι αρακάτω εξισώσεις έχουν ιο αλό τύο λύσεων, ο οοίος ροκύτει αευθείας αό τον τριγωνομετρικό κύκλο. = 0 x = κ + = 1 x = κ = 1 x = κ + η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = -α, α 0 = -α, α 0 εφx = -α, α 0 σφx = -α, α 0 7
1. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 i. ημ x =, ii. συν x= 1, iii. εφ x+ 1= 0, iv. σφ x+ = 0 ΛΥΣΗ 1 i. = = ημ = ημ 7 Άρα x = κ x = κ + + x = κ +. ii. = 1 = συν0 = συν. Ά ρα x = κ+. iii. εφx + 1 = 0 εφx = 1 εφx = εφ εφx. Άρα x = κ. iv. σφx+ = 0 σφ x = σφ x = σφ σφ x= σφ x= κ.. Να λυθούν οι εξισώσεις: x i. εφ x + εφ x= 0, ii. συν + 1 = 0 iii. εφ x = 0 iv. ημ x = 0 ΛΥΣΗ i. εφ x + εφx = 0 εφ x = εφx εφ x = εφ( x) κ x = κ x x = κ + x = +. 1 Οι λύσεις είναι δεκτές αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς. x x x ii. συν + 1 = 0 συν = 1 συν = συν x x = κ±, κ Ζ = λ+, λ Ζ x = λ+, λ Ζ Αντιμετώιση: Για να λύσουμε τις εξισώσεις =-α, = -α, εφx= -α, σφx= -α, ακολουθούμε τα εξς βματα: 1. Προσδιορίζουμε μια γωνία θ, συνθως στο ρώτο τεταρτημόριο, ώστε ημθ = α Όμοια για τους άλλους τριγωνομετρι- κούς αριθμούς.. Εφαρμόζουμε τους αρακάτω τύους: = ημ( x) εφx = εφ( x) σφx = σφ( x) = συν x ( ). Εφαρμόζουμε την μεθοδολογία της κατγορίας 1. συν x 0, συν x 0. 7
iii. Είναι x 0 x ( x x ) εφ = εφ = εφ = εφ = Εομένως έχουμε: εφ x = εφx = εφ x = κ +, εφ x = εφx x = κ. Ο ι λύσεις είναι δεκτές, αφού γι αυτές ισχύει συν x 0. Η εφ x ορίζεται όταν. 0 x κ + iv Η εξίσωση γράφεται: ημ x = 0 ημ x = = = Εομένως: = = ημ x = κ+ x = κ+ x = κ + x = κ + = = ημ ημ x = ημ x = κ x = κ + + x = κ x = κ + η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = συνθ = ημθ εφx = σφθ σφx = εφθ Οι αρακάτω εξισώσεις έχουν ιο αλό τύο λύσεων, ο οοίος ροκύτει αευθείας αό τον τριγωνομετρικό κύκλο. εφx=0 = 0 x = κ, σφx=0 = 0 x = κ + 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. ημ x = συν x, ii. εφ x σφ x=0 75
ΛΥΣΗ i. ημ x = συν x συν x = συν x x = κ + x x = κ x + κ x = κ x = κ x = + κ x = κ x = + x = κ. Ii εφ x σφx = 0 εφ x = σφx εφ x x x = κ + x x = κ + x = κ +. 0 x κ κ x συν ( x) 0 x κ + x κ. Να λυθεί η εξίσωση: ημ x+ συν x = 0 ΛΥΣΗ + συν x = 0 συν x = συν x = ημ x συν x = συν x x x x, κ Ζ x συν = συν + = κ ± + Έχουμε λοιόν: 5 x = κ + + x 0x = κ +, ου είναι αδύνατη, x = κ x x = κ x = κ, 1 ( ) ( ) Αντιμετώιση: Για να λύσουμε εξισώσεις της αρα- κάτω μορφς = συνθ = ημθ εφx = σφθ σφx = εφθ ακολουθούμε τα εξς βματα: 7
η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: α β γ.. = 0 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. ( 1 )( ) = 0 ii. ( εφx)( εφx 1) = 0 iii. εφx εφx ημ x+ = 0 ΛΥΣΗ ( )( ) 0 i. 1 = 0 1 = ημ x = 0 = 1 ημ x = = ημ ημ x = ημ x = κ + x = κ + x = κ + Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι: x = κ + x = κ + x = κ +. ii. ( εφx)( εφx 1) = 0 εφx = 0 εφ x 1 = 0 εφx = εφ x = 1 εφx = εφ εφ x = εφ x = κ + x = κ +. iii. εφx εφx + = 0 εφx 1 1 = 0 ( εφx )( 1) = 0 εφx = 0 1 ημ x 1 = 0 εφx = ημ x = εφx = εφ ( ) ( ). Για την είτευξη του ρώτου βματος εφαρμόζουμε τους αρακάτω τύους: εφx = σφ x σφx x = συν x = ημ x. Εφαρμόζουμε την μεθοδολογία των κατηγοριών 1,. 0 x κ + 77
ημ x = ημ x = κ + x = κ + x = κ + 5 x = κ +, κ Ζ. x = κ + x = κ +. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. ( ημ x+ 1)( 1) = 0 Στα ροβλματα β. 1+ ( ημ x 1) = ημ x+ συν x ου εμλέκονται εφx σφx ρέει να ελέγχουμε αν οι λύσεις ΛΥΣΗ είναι δεκτές όχι. α. Έχουμε: Δηλαδ: ( + 1)( 1) = 0 ( + 1= 0 1 = 0) i. Η εφx ορίζεται 1 = = 1 όταν x κ +, Έτσι αίρνουμε:. 1 = = ημ ημ x = ημ ii. Η σφx ορίζεται ό ταν x κ. x = κ x = κ + + 7 x = κ x = κ + ημ x = 1 x = κ + 7 Άρα, τελικά: x = κ x = κ + x = κ + β. Είναι 1 ημ x = συν x, οότε ημ x 1 = συν x. Έτσι αίρνουμε: 1+ ημ x 1 =ημ x+ 1 ημ x + = ( ) ( ) ( ) συν x συν x = συν x συν x + συν x = 0 1 συν x( 1+ ) = 0 = 0 = Όμως: συν x = 0 x = κ + 78
1 = = συν = συν = συν x = κ ± Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους x = κ + και x = κ ± με.. Να λυθεί η εξίσωση 1 εφ x+ σφ x =. συν x ΛΥΣΗ Με τη βοθεια των βασικών τριγωνομετρικών ταυτοττων αίρνουμε: σφ x = εφx 1 1 = 1+ εφ x άρα = εφ x + 1 συν x συν x H εξίσωση γίνεται: 1 εφ x + σφ x = εφ x + 1+ εφ x εφx = 0 συν x εφ x + εφ x εφx = 0 εφ x εφx + 1 εφx + 1 = 0 ( ) ( ) ( ) ( εφx + 1)( εφ x ) = 0 ( εφx + 1 = 0 εφ x = ) ( x = 1 εφx = εφx = ) 0 εφ Παίρνουμε λοιόν τις εξισώσεις: εφ x = 1 εφx = εφ εφx x = κ εφ x = εφx = εφ x = κ + εφ x = εφx = εφ εφx x = κ Οι λύσεις αυτές είναι όλες δεκτές. Αντιμετώιση: Για να λύσουμε εξισώσεις της αρα- τα εξς κάτω μορφς α β γ.. = 0 ακολουθούμε βματα: 1. Παίρνουμε τους τυχόν εριορισμούς.. Θέτω α = 0 β = 0 γ = 0 και λύνω ην καθεμία ξεχωριστά.. Πολλές φορές θα χρειασθεί να φέρουμε την εξίσωση στην αραάνω μορφ. Αυτό γίνεται με την βοθεια ταυτοττων και αραγοντοοι- σεων.. Ελέγχουμε τις λύσεις ου βρκαμε αν είναι δεκτές. 0 x κ + ημ x 0 79
. Να λυθεί η εξίσωση 1 1 ( 1+ημ x) 1+ = ( 1+συν x) 1+ x συν ΛΥΣΗ 1 1 + 1 + 1 ( 1 + ) = ( 1+ ) + 1 + 1 1 + 1+ = 0 ( 1 + ) 1+ = ( 1+ ) 1+ ( ) ( ) 1 1 ( 1 + )( 1+ ) = 0 ( 1 + = 0 1+ = 0 = ) ( = 1 = 1 = ) Αλλά: ημ x = 1 x = κ Οι τιμές αυτές αορρίτονται λόγω εριορισμών. (Οι τιμές x = κ + αεικονίζονται στον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Β, Β. Οι τιμές x = κ στο σημείο Β. Άρα οι τιμές x = κ αορρίτονται.) = 1 x = κ+ Οι τιμές αυτές είσης αορρίτονται, διότι () x κ. 1 = = 1 εφx = 1 εφx = εφ x = κ +, Οι τιμές αυτές είναι δεκτές. 0 x κ + 0 x κ, Για την εξίσωση ημ x =, έχουμε να εισημάνουμε τα εξς: Δεν μορεί να είναι συν x = 0, διότι τότε θα είναι και ημ x = 0. Έτσι: ημ x + συν x = 0 + 0 = 0 άτοο, αφού ημ x + συν x = 1. Εομένως: = = = 1 εφx = 1 x = κ + 80