. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:

Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως προς το οριζόντιο έδαφος, ενώ το κέν τρο µάζας της έχει κατακόρυφη ταχύτητα v 0. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε: i) το είδος κίνησης της ράβδου µετά την κρούση της και την µορφή της τροχιάς που διαγράφει το κέντρο µάζας της πριν και µετά την κρούση και ii) τον χρόνο που απαιτείται για να γίνει η ράβδος οριζόντια για πρώ τη φορά µετά την κρούση της. Δίνεται η η ροπή αδράνειας Ι C =ml /1 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σ αυτήν και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρονο Δt (Δt 0) της επαφής του άκρου Α της ράβδου µε το έδαφος η ράβδος δέχεται το βάρος της m g και την δύναµη κρού σεως F από το έδαφος. Επειδή η δύναµη F παρουσιάζει ροπή περί το κέντρο µάζας C της ράβδου, αυτή θ αποκτήσει στην διάρκεια του χρόνου Δt περι στροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το C. Eξάλλου οι δύο αυτές δυνάµεις είναι κατακόρυφες µε αποτέλεσµα το κέντρο µάζας να έχει κατακόρυφη επιτάχυνση, η οποία συνδυαζόµενη µε την επίσης κατακόρυφη αρχική του ταχύτητα v 0, του προσδίδει την στιγµή που η ράβδος εγκαταλείπει το έδαφος (δηλαδή στο τέλος του χρόνου Δt) κατακόρυφη ταχύτητα v C µε φο Σχήµα 1 ρά προς τα πάνω. Με τον τρόπο αυτόν αναστρέφεται η κίνησή του, δηλαδή αυτό κίνείται προς τα πάνω επί της ίδιας κατακόρυφης ευθείας (ε) που ακολουθούσε κατα την πτώση της ράβδου. Επειδή η µόνη δύναµη που δέχεται η ράβδος

κινούµενη προς τα πάνω είναι το βάρος της m g, η κίνηση του κέντρου µάζας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη µε επιβράδυνση g. Τα παραπάνω εγγυώνται ότι η ράβδος αµέσως µέτα την κρούση της µε το έδαφος θα εκτελεί επίπεδη κίνηση, που µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας οµαλής περιστροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας της και µιας κατακόρυφης µεταφορικής κίνησης οµαλά µεταβαλόµενης µε επιτάχυνση g. Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται µέχρις ότου η ράβδος επιστρέψει στο έδαφος για να υποστεί την επόµενη κρούση της µε αυτό. Κατά την διάρκεια της φαινοµικά χαώδους κίνησης της ράβδου, λόγω των πολλαπλών περιστροφών της και των πολλαπλών της κρούσεων, το κέντρο µάζας της συνεχίζει ατάραχο να κινείται κατακόρυφα µε επιτάχυνση g. ii) Επειδή κατά τον χρόνο Δt η ώθηση της ροπής του βάρους της ράβδου περί το Α είναι ασήµαντη [(mgl/)ηµφ.δt 0] η στροφορµή της περί το Α δεν µετα βάλλεται ουσιωδώς στον χρόνο Δt, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: (A) L "$ &" = L (A) (µ)*+, µ)-( (A) (A) L "$ &" = L (µ)*+, µ)-( L mv 0 µ" = -mv L C µ" + I C m L µ" ( v + v 0 C) = ml 1 v 0 + v C = L 6"µ όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αµέσως µετά την κρούση. Όµως η κρουση της ράβδου µε το έδαφος είναι τελείως ελαστική, που σηµαίνει ότι η κινητική της ενέργεια στην αρχή και στο τέλος του χρόνου Δt είναι ίδια, δηλα δή ισχύει η σχέση: (1) 1 mv 0 = 1 mv C + 1 I C m v ( 0 - v C ) = ml 1 ( v 0 + v C )( v 0 - v C ) = L 1 (1) L ( 6"µ v - v 0 C) = L 1 v 0 - v C = L"µ () Αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: v C = L 6"µ - L"µ = L 6 $ & 1-3"µ "µ ) ( v C = L 1 $ & 1-3"µ "µ H (1) συνδυαζόµενη µε την (3) δίνει: ) (3) (

v 0 + L $ 1 & 1-3"µ "µ ) = L ( 1"µ v 0 = L ( 1"µ 1 + 3"µ ) = 1v 0 "µ ( ) L 1 + 3"µ (4) Σχήµα ii) Όταν η ράβδος περιστρεφόµενη γίνει οριζόντια για πρώτη φορά αφ ότου εγκατέλειψε το έδαφος, θα έχει περιστραφεί κατά γωνία φ ο δε αντίστοιχος χρόνος περιστροφής της t * θα ικανοποιεί την σχέση: (4) t * = " t * = L 1 + 3"µ & 1v 0 $ "µ ( P.M. fysikos Τροχός µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται ενός οριζόντιου δοκαριού µάζας Μ µε το οποίο παρουσιάζει αρκετά µεγά λο συντελεστή οριακής τριβής, ο οποίος επιτρέπει την κύλιση χωρίς ολίσθηση του τροχού πάνω στο δοκάρι. Το δοκάρι βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου εξασκείται σ αυτό οριζόντια δύναµη F που µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: F = F 0 µ"t i όπου F 0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες και i το µοναδιαίο διά νυσµα του οριζόντιου άξονα Ox. i) Να εξετάσετε την κίνηση του δοκαριού και του τροχού στο σύστη µα αναφοράς του δαπέδου.

ii) Nα βρείτε την ελάχιστη τιµή του συντελεστή οριακής τριβής µετα ξύ τροχού-δοκαριού, ώστε να εξασφαλίζεται η κύλιση του τροχού. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr / του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του C και η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) O τροχός δέχεται το βάρος του w και την αντίδραση του δοκαριού, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T, που είναι στα τική τριβή, αφού ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι. Εξάλλου τo δοκάρι κατά την διεύθυνση κίνησής του Ox δέχεται την δύναµη F και την αντίδραση - T της τριβής T συµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα θα έχουµε την σχέση: F 0 µ"t - T = Ma (1) Σχήµα 3 Σχήµα 4 όπου a Δ η επιτάχυνση του δοκαριού (αλγεβρική τιµή) στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου την στιγµή που εξετάζουµε το σύστηµα. Εφαρµόζοντας τον ίδιο νό µο για την κίνηση του κέντρου µάζας C του δίσκου παίρνουµε την σχέση: T = ma C () όπου a C η αντίστοιχη επιτάχυνση του κέντρου µάζας του δοκαριού (αλγεβρική τιµή). Όµως η τριβή T παρουσιάζει ροπή περί το κέντρο µάζας C του τροχού, µε αποτέλεσµα να προκαλεί περιστροφή αυτού περι άξονα που διέρχεται από το C και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού έχει κάθε στιγµή αλγεβρική τιµή, που ικανοποιεί τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης, δηλαδή την σχέση: TR = I C TR = mr mr T = (3) όπου Τ η αλγεβρική τιµή της τριβής T. Όµως η κυλιση χωρίς ολίσθηση του τροχού επιβάλλει να θεωρήσουµε κοινή την επιτάχυνση των σηµείων επαφής Α του τροχού µε το δοκάρι είτε αυτά είναι σηµεία του τροχού είτε σηµεία του δοκαριού, oπότε θα ισχύει η σχέση: a C + R = a " R = a " - a C (4) η οποία συνδυαζόµενη µε την (3) δίνει:

() T = m(a -a C )/ ma C = m(a -a C )/ 3a C = a a C = a / 3 (5) και η () παίρνει την µορφή: T = ma / 3 (6) Λόγω της προηγούµενης σχέσεως η (1) γράφεται: F 0 µ"t - ma / 3 = Ma 3F 0 µ"t = (3M + m)a a = 3F 0 "µt 3M + m (7) Η (7) µας επιτρέπει να υπολογίσουµε την ταχύτητα v Δ (αλγεβρική τιµή) του δοκαριού σε συνάρτηση µε τον χρόνο t, διότι γράφεται: dv dt = 3F 0 "µt 3M + m dv = 3F 0 "µt 3M + m dt και µε ολοκλήρωση δίνει: v = - 3F 0"$t (3M + m) + C (8) Η σταθερά ολοκληρώσεως C θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι v Δ =0, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: 3F 0 = - 0 (3M + m) + C C = 3F 0 (3M + m) και η (8) γράφεται: v = dx dt 3F 0 "(3M + m) - 3F 0$"t "(3M + m) = 3F 1 - "$t 0 ( ) (3M + m) v = 3F 1 - "$t 0 ( ) (3M + m) dx = 3F 1 - "$t 0 ( )dt (3M + m) Η παραπάνω σχέση µε ολοκλήρωση δίνει: x = 3F 0 3M + m $ t " - µ"t & ) + C ( " όπου x Δ η µετατόπιση του δοκαριού (αλγεβρική τιµή) από την αρχική του θέση σε χρόνο t και C σταθερά ολοκληρώσεως που θα βρεθεί από την αρχική συνθή

κη x Δ (0)=0, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει C =0. Έτσι η εξίσωση κίνησης του δοκαριού στο σύστηµα αναφοράς του δάπέδου θα έχει την µορφή: x = 3F 0 3M + m $ t " - µ"t & ) (9) ( " Σχήµα 5 Από την (9) προκύπτει ότι η κίνηση του δοκαριού είναι µη περιοδική µολονότι εξασκείται σ αυτό περιοδική δύναµη, η δε γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήµα (5). Χρησιµοποιώντας στην συνέχεια την σχέση a C =a Δ /3 και εργα ζόµενοι µε τον ίδιο ως και προηγούµενα τρόπο θα καταλήξουµε στην εξίσωση κίνησης του κέντρου µάζας του δίσκου που έχει την µορφή: x C = F 0 3M + m t - "µt & ( (10) $ Tέλος συνδυάζοντας τις σχέσεις (3), (5) και (6) παίρνουµε τελικά: = F 0 "µt (3M + m)r η οποία ολοκληρούµενη δύο φορές (µε µηδενική αρχική γωνιακή ταχύτητα και µηδενική αρχική γωνιακή εκτροπή του τροχού), τελικά δίνει: (t) = F 0 $ t (3M + m)r " - µ"t & ) (11) ( " Η (11) αποτελεί την εξίσωση της στροφικής κίνησης του κυλιόµενου τροχού, όπου φ(t) είναι η γωνια στροφής του ως συνάρτηση του χρόνου. ii) Για να εξασφαλίζεται η κύλιση χωρίς ολίσθηση του τροχού σε όλη την διάρ κεια δράσεως της δύναµης F επί του δοκαριού, πρέτει η τριβή T να είναι στα τική, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: () T µn m a C µmg F 0 µ"t 3M + m µg µ F 0 "µt (3M + m)g

H πιο πάνω σχέση θα ισχύει κάθε στιγµή, εφ όσον ο συντελεστής οριακής τριβής µ µεταξύ τροχού και δοκαριού ικανοποιεί την σχέση: µ F 0 (3M + m)g P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (6) το τεταρτοκύκλιο (τ) έχει µάζα Μ και ακτίνα R µπορεί δε να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο οµογενής κυκλικός δίσκος (δ) µάζας m και ακτί νας r µπορεί να στρέφεται περί το κέντρο του C που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη µε το Ο εφαπτόµενος του τεταρτοκυκλίου. Μεταξύ των περιφερειών του δίσκου και του τεταρτοκυκλίου υπάρχει επαρ κής τριβή, ώστε η µία επιφάνεια να κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί της άλλης. Εκτρέπουµε το τεταρτοκύκλιο από την θέση ισορροπίας του κατά µικρή γωνία φ 0 και το αφήνουµε ελεύθερο. Να µελετηθεί η κίνη ση του συστήµατος. Δίνεται η απόσταση ΟK=αR του κέντρου µάζας Κ του τεταρτοκυκλίου από το Ο, η ροπή αδράνειάς του Ι Ο =ΜR / ως προς τον άξονα περιστροφής του, η ροπή αδράνειας Ι C =mr / του δίσκου ως προς άξονα διερχόµενο από το C και κάθετο στο επίπεδό του και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Το τεταρτοκύκλιο (τ) κατά την κίνησή του δέχεται το βάρος του w, την δύναµη επαφής από τον δίσκο που αναλύεται στην στατική τριβή T, εφαπ τοµενικής διεύθυνσης και στην κάθετη αντίδραση N ακτινικής διεύθυνσης και τέλος την αντίδραση του άξονα περιστροφής του. Εφαρµόζοντας για το τεταρ τοκύκλιο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 6 I O d dt = " (O) MR d = -Mg(OK)"µ + TR dt MR d dt MR = -Mg"Rµ + TR d = -Mg"µ + T (1) dt

όπου φ η γωνιακή εκτροπή του τεταρτοκυκλίου κατά την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε, ενώ στο άθροισµα " (O) θεωρήθηκαν θετικές οι ροπές που προκαλούν αυξηση της γωνίας φ και αρνητικές αυτές που προκαλούν ελάττω ση. Εξάλλου η περιστροφή του δίσκου περί τον άξονά του επηρεάζεται µόνο από την ροπή της στατικής τριβής T που δέχεται από το τεταρτοκύκλιο, η οποία είναι αντίθετη της T και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφι κής κίνησης θα έχουµε την σχέση: I C d dt = " (C) mr d dt mr = -Tr d = -T () dt όπου θ η αντίστοιχη γωνιακή εκτροπή του δίσκου. Προσθέτοντας κατά µέλη τις (1) και () παίρνουµε την σχέση: MR d dt mr d $ = -Mg"µ - dt (3) Eπειδή η περιφέρεια του τεταρτοκυκλίου κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί της περιφέρειας του δίσκου, το σηµείο επαφής τους Α έχει την ίδια ταχύτητα είτε θεωρείται σηµείο του τεταρτοκυκλίου είτε θεωρείται σηµείο του δίσκου, δηλα δή ισχύει η σχέση: R d dt = r d" dt R d dt = r d " dt (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: MR d dt mr d = -Mg"µ - dt (M + m)r d dt + Mg"µ = 0 d dt + Mg" (M + m)r µ = 0 Για µικρές εκτροπές του τεταρτοκυκλίου από την θέση ισορροπίας του µπορού µε να δεχθούµε ότι ηµφ φ, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: d dt + "Mg (M + m)r 0 d dt + " 0 (5) µε = "Mg (M + m)r Η (5) είναι η τυπική διαφορική εξίσωση µιας αρµονικής κίνησης, δηλαδή αν το τεταρτοκύκλιο εκτραπεί κατά µικρή γωνία από την θέση ισορροπίας του και αφεθεί ελεύθερο θα εκτελεί περί τον άξονα περιστροφής του στροφική αρµονι

κή ταλάντωση, συµπαρασύρωντας σε όµοια ταλάντωση και τον δίσκο. Η περίοδος T των δύο αυτών ταλαντώσεων υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: T = " = $ M + m & ) M ( R g P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (7) η ράβδος ΑΓ έχει αµελητέα µάζα και είναι στέρεα συνδεδεµένη στο άκρο της Α µε δίσκο µάζας m και ακτίνας R στο δε άκρο της Γ µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m/3. O δίσκος µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του C το δε σφαιρίδιο συνδέεται µε το ένα άκρο δύο οριζόντιων ελατηρίων σταθερών k και k που το άλλο τους άκρο είναι ακλότητο, όπως φαίνεται στο σχήµα (7). Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί µε την ράβδο σε κατακόρυφη θέση και τα ελατήρια στην φυσική τους κατάσταση. i) Για µικρή γωνιακή µετατόπιση φ 0 της ράβδου από την κατακόρυφη θέση να µελετηθεί η κίνηση του σφαιριδίου. ii) Nά βρεθεί σε συνάρτηση µε τον χρόνο η δύναµη που δέχεται το σφαιρίδιο από την ράβδο. Δίνεται το µήκος L=R της ράβδου, η επιτάχυνση g της βαρύτητας, k=mg/r και η ροπή αδράνειας Ι Δ =mr / του δίσκου ως προς άξονα κά θετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα δίσκος-ραβδος-σφαιρίδιο την τυχαία χρο νική στιγµή t που η γωνιακή του εκτροπή από την θέση ισορροπίας του είναι φ. Το σύστηµα δέχεται τα βάρη W και w του δίσκου και του σφαιριδίου αντι στοίχως, τις δυνάµεις F 1 και F από τα παραµορφωµένα ελατήρια σταθερών k και k αντιστοίχως και την αντίδραση του άξονα περιστροφής του δίσκου. Σχήµα 7 Εφαρµόζοντας για το σύστηµα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί τον άξονα περιστροφής του, παίρνουµε την σχέση:

I C d dt I C d dt I C d dt = " (C) I C = - mg 3 = - mg 3 d dt = -w(o") - F 1 (OC) - F (OC) R"µ - kxr$ - kxr$ R"µ - 6kxR$ (1) όπου Ι C η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς τον άξονα περιστροφής του και x η αποµάκρυνση του σφαιριδίου ως προς την θέση ισορροπίας του Ο, της οποίας το µέτρο εκφράζει την επιµήκυνση του ενός ελατηρίου και την συσπεί ρωση του άλλου. Όµως για τα µεγέθη Ι C και x έχουµε: I C = m 3 (R) + mr οπότε η (1) γράφεται: = 11mR 6 και x = Rµ" 11mR 6 d dt = - mg 3 R"µ - 1 mg R R "µ$ 11R 6 d dt = - g 3 "µ - 1g"µ$ () Εξάλλου για µικρές εκτροπές του συστήµατος µπορούµε να δεχτούµε ηµφ φ και συνφ 1, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: 11R 6 d dt = - g 3-1g 11R d dt = -76g d dt + 76 11 g R = 0 d dt + " = 0 µε = 76 11 g R (3) Η (3) αποτελεί την τυπική διαφορική εξίσωση µιας αρµονικής στροφικής ταλάν τωσης και µε βάση τις αρχικές συνθήκες φ(0)=φ 0 και (dφ/dt)(0)=0 δέχεται ως λύση την συνάρτηση φ(t)=φ 0 συνωt. H αποµάκρυνση x του σφαιριδίου (αλγεβ ρική τιµή) την χρονική στιγµή t είναι: x = Rµ"(t) R"(t) x R" 0 $&t (4) δηλαδή το σφαιρίδιο εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση περί την θέση ισορ ροπίας του Ο, µε περίοδο Τ που δίνεται από την σχέση: T = " 11 R = 76 g ii) To σφαιρίδιο εκτός από τις δυνάµεις w, F 1, F δέχεται ακόµη την δύναµη

Q από την ράβδο, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα Q x και την κατακό ρυφη συνιστώσα Q y. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση παίρνουµε τις σχέσεις: Σχήµα 8 m d x 3 dt = -F - F + Q 1 x " 0 = -mg / 3 + Q y $ Q x = -m x/3 + 3kx " $ Q y = mg / 3 $ Q = m d x x + kx + kx 3 dt " 0 = -mg / 3 + Q y $ Q = - m 76 g x 3 11 R + 3 mg $ & x) " R ( Q y = mg / 3 ) * Q x = 3mg $, & R " 33R 0 ()*+t. - Q = 46mg $, x & 33 0 ()*+t. " - Q y = mg / 3. / Q y = mg / 3. / Εάν i, j είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οy αντιστοίχως, η πιο πάνω σχέση µας επιτρέπει να εκφράσουµε διανυσµατικά την δύναµη Q µέ σω της σχέσεως: Q = mg 3 & ( 3 0 "$t 5 i + ) j + * P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (9) το ένα άκρο του οριζόντιου ελατηρίου είναι στερεωµένο σε σταθερό σηµείο και το άλλο άκρο του συνδέται µε το κέντρο C κυκλικού δίσκου ακτίνας R και µάζας m, ο οποίος µπορεί να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόν τιο έδαφος. Η ράβδος ΑΣ έχει αµελητέα µάζα, µήκος R και το µεν ακρο της Α είναι στερεωµένο σε σηµείο της περιφέρειας του δισκου, ενώ στο άλλο της άκρο Σ έχει στερεωθεί µικρό σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος έχει την διεύθυνση µιας ακτίνας του δίσκου και όταν είναι κατακόρυφη το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος.

i) Nα καθορισθούν οι θέσεις ισορροπίας του συστήµατος και το είδος της ισορροπίας του. ii) Aν το σύστηµα δεν είναι σε ισορροπία, αλλά ο δίσκος κυλίεται χω ρίς ολίσθηση στο οριζόντιο έδαφος, να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση του συστήµατος, Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η σταθερά k=3mg/r του ελατηρίου. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα σε µια τυχαία θέση, όπου η ράβδος ΑΣ σχη µατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση το δε ελατήριο είναι επιµηκυ µένο κατά x από την φυσική του κατάσταση. Η δυναµική ενέργεια U(φ) του συστήµατος στην θέση αυτή θα είναι ίση µε το άθροισµα της βαρυτικής του δυναµικής ενεργειας U B θεωροόυµενης ως προς κάποιο επίπεδο αναφοράς και της δυναµικής ενέργειας U E ελαστικής παραµόφφωσης του ελατηρίου, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: U() = U B + U E = mg(r + R)"$ + kx / U() = 3mgR"$ + 3mgx /R = 3mg( R"$ + x /R) (1) Σχήµα 9 Eπειδή κατά την κίνηση του συστήµατος ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαί νει, η µετατόπιση x του κέντρου µάζας του C είναι ίση µε Rφ, µε την προυπό θεση ότι αρχή µέτρησης του χρόνου είναι η στιγµή που η ράβδος είναι κατακό ρυφη και το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: U() = 3mg( R"$ + R /R) = 3mgR ("$ + /) () Όµως η τριβή T του δέχεται ο δίσκος από το έδαφος είναι στατική, που σηµαί νει ότι το έργο της είναι µηδενικό και εποµένως κατά την κίνηση του συστήµα τος η µηχανική του ενέργεια διατηρείται γεγονός που µας επιτρέπει να ισχυρι στούµε ότι αν υπάρχουν θέσεις ισορροπίας του συστήµατος στις θέσεις αυτές η πρώτη παράγωγος της U(φ) µηδενίζεται, δηλαδή πρέπει να ισχύει: du() d () = 0 3mgR d d "$ + ( & * = 0 ) 3mgR( -µ" + " ) = 0 µ" = " (3)

Η (3) είναι µια υπερβατική εξίσωση µε προφανή ρίζα την φ=0, ένώ κάθε άλλη ρίζα της φ * στο διάστηµα [0,π] θα βρεθεί ή µε γραφικό τρόπο µέσω των διαγ ραµµάτων των συναρτήσεων f 1 (φ)=ηµφ και f (φ)=φ (σχ. 10) ή µέσω κατάλληλου µαθηµατικού προγράµµατος που τρέχει σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Για να καθορίσουµε το είδος ισορροπίας του συστήµατος εξετάζουµε την δεύτερη πα ράγωγο της U(φ), οπότε θα έχουµε: Σχήµα 10 d U() = 3mgR d ( d dt -"µ + ) = 3mgR d ( dt -$ + 1 ) (4) Από την (4) προκύπτει ότι: " d U() $ d & =0 = 3mgR( -1 + 1) = 0 όποτε το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου δεν µας επιτρέπει να καθορίσουµε αν στην θέση x=0 η U(φ) παρουσιάζει τοπικό µέγιστο ή ελαχιστο και για τον λόγο αυτόν καταφεύγουµε στην επόµενη παράγωτο αρτίας τάξεως της U(φ) δηλαδή στην τέταρτη παράγωγο, για την οποία έχουµε: d 4 U() d 4 = 3mgR"$ " d 4 U() $ d 4 & =0 = 3mgR > 0 δηλαδή η U(φ) παρουσιάζει στην θέση φ=0 τοπικό ελάχιστο, που σηµαίνει ότι στην θέση αυτή το σύστηµα είναι σε ευσταθή ισορροπία. Ακόµη από την (4) έχουµε: " d U() $ d = 3mgR 1 - ()* * & = * ( ) = 6mgR+µ *., / 1 > 0 (5) - 0 H (5) εξασφαλίζει ότι και η θέση φ=φ * του συστήµατος είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας. ii) Μπορούµε να δεχθούµε ότι το σύστηµα κάθε χρονική στιγµή t έχει καθαρώς στροφική κίνηση περί τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής του, που είναι η ευθεία επαφής του (ε) µε το οριζόντιο έδαφος και εποµένως η κινητική του ενέργεια Κ δίνεται από την σχέση:

K = I " = I $ d & ) dt( (6) όπου ω η στιγµιαία γωνιακή του ταχύτητα ίση µε dφ/dt και Ι ε η ροπή άδρά νειας του συστήµατος ως προς τον άξονα (ε), που υπολογίζεται από την σχέση: I = m" + mr / + mr = m" + 3mR / όπου α η απόσταση (εσ). Εφαρµόζοντας στο τρίγωνο ΣCε τον νόµο του συνηµι τόνου παίρνουµε: = (3R) + R - 6R "$( - &) = 10R + 6R "$& οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: I = m(10r + 6R "$) + 3mR = mr ( 3 + 1"$ ) (7) Συνδυάζοντας τις (6) και (7) παίρνουµε: K = mr 4 ( 3 + 1"$ ) d$ ( * & dt) (8) H µηχανική ενέργεια E του συστήµατος την χρονική στιγµή t είναι: (),(8) mr E = K + U() = 4 ( 3 + 1"$ ) d$ ( * + 3mgR "$ + $ ( & dt ) & * (9) ) Όµως η µηχανική ενέργεια E παραµένει σταθερή, διότι η στατική τριβή T και η κάθετη αντίδραση N από το εδαφος δεν παράγουν έργο, οπότε παραγωγίζον τας τη (9) ως προς τον χρόνο θα έχουµε την σχέση: de dt = 0 d dt + mr - 4, - ( 3 + 1"$ ) d$ ( * + 3mgR "$ + $ (. & dt ) & * 0 ) / 0 = 0 mr 4 (-1µ") d", & d" & ( ( + ( 3 + 1)*+" ) d" &. ( $ dt $ dt $ dt -. d " / 1 dt 0 1 - - 3mgRµ" d" & ( + 3mgR" d" & ( = 0 $ dt $ dt -3Rµ" d" & ( $ dt + R ( 3 + 1)*+" ) d " - 3g µ" - " dt ( ) = 0

( 3 + 1"$ ) d $ & d$ ) - 6µ$ ( + dt dt* - 6g ( R µ$ - $ ) = 0 (10) H (10) αποτελεί την ζητούµενη διαφορική εξίσωση. P.M. fysikos