Παραµετρικές Καµπύλες & Επιφάνειες

Παραµετρικές Καµπύλες & Επιφάνειες Ανάγκη Μαθηµατικής Περιγραφής Πολύπλοκων Καµπυλών για επεξεργασία µε υπολογιστή: Αυτοκινητιστική & Αεροναυπηγική βιοµηχανία από µέσα δεκαετίας 96. ιάδοση κατασκευαστικών µηχανών καθοδηγούµενων από Η/Υ. Λύση: παραµετρικέςαναπαραστάσειςκαµπυλών και επιφανειών. de Caseljau, Croë.. Bézer, Reaul. Καµπύλες Bézer: Ορισµός καµπύλης οποιουδήποτε βαθµού µε απλό µαθηµατικό τρόπο. Χρήση σηµείων ελέγχου. Σχήµα εξαρτάται από σηµεία ελέγχου. 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παράσταση Καµπυλών Καµπύλη: σύνολο σηµείων Συνήθως δίνονται από µαθηµατικές εξισώσεις. Αλγεβρική παράσταση καµπυλών µε αλγεβρική εξίσωση: Απλή µορφή yf(x) π.χ. ευθεία ymxd. Πεπλεγµένη µορφή g(x,y) π.χ. ευθεία αxbyc. dy Κλίση επίπεδης καµπύλης: η παράγωγος του y ως προς x. dx 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παραµετρική Παράσταση Καµπυλών Παραµετρική παράσταση: συντεταγµένες δίνονται µε ξεχωριστές εξισώσεις µε τη βοήθεια της ανεξάρτητης παραµέτρου : xx() yy() (, ) ήπεριορίζεται [ a, b]. x( ) Για κάθε τιµή του παίρνουµε ένασηµείο της καµπύλης: () () y x x Π.χ. η ευθεία που διέρχεται από και έχει παραµετρική εξίσωση: y y x y () ( ) x x () ( ) y y µε ήσεσυνεπτυγµένη µορφή: µε () ( ) (, ) (, ) 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παραµετρική Παράσταση Καµπυλών Ευθύγραµµο τµήµα : () ( ) µε [,] Για παίρνουµε καιγια παίρνουµε. Καθώς µεταβάλλεται η, κινούµαστε πάνω στην ευθεία που ορίζεται από τα και. ( ) Αλγεβρική µορφή µπορεί να εξαχθεί από παραµετρική, αν απαλείψουµε. Ηκλίσηδίνεταιπάλιαπό dy dx dy / d dx / d y x ( ) (). 7.4 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παραµετρική Παράσταση Καµπυλών Πλεονεκτήµατα παραµετρικής παράστασης: Περιγραφή κλειστών ή πλειότιµων καµπύλων. Συντεταγµένες ανεξάρτητες µεταξύ τους άµεση εφαρµογή συσχετισµένων µετασχηµατισµών. Εύκολη επέκταση σε περισσότερες διαστάσεις. Ανεξάρτητη από σύστηµασυντεταγµένων. 7.5 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Καµπύλες Bézer H παραµετρική εξίσωση του ευθύγραµµου τµήµατος παρεµβάλει γραµµικά τα και () ( ), µε [,] Κυρτός συνδυασµός των και ((- ) ). Τετραγωνικές καµπύλες Bézer µεταξύ,, : Εστω γραµµικές παρεµβολές µεταξύ, και,. () ( ), [,]. () ( ) Ηγραµµική παρεµβολή των ( ) και ( ) µε τον ίδιο λόγο (), δίνει τετραγωνική συνάρτηση των αρχικών σηµείων: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Τα αρχικά σηµεία, ονοµάζονται σηµεία ελέγχου., 7.6 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Καµπύλες Bézer Βαθµού Τρία διαδοχικά επίπεδα γραµµικής παρεµβολής τεσσάρων σηµείων ελέγχου µας δίνουν καµπύλη Bézer βαθµού ( ). Γενικά, µε () σηµεία ελέγχου, µπορούµε να κατασκευάσουµε καµπύλη Bézer βαθµού,. ( ) () ( ), µε [,] 7.7 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Υπολογισµός Σηµείου Καµπύλης Bézer - De Caseljau Παραπάνω ορισµός είναι υπολογιστικά ασύµφορος. Αντίθετα τα βήµατα γραµµικής παρεµβολής συµφέρουν. Αλγόριθµος De Caseljau: εύρεση σηµείου καµπύλης Bézer για παραµετρική τιµή : Θέτουµε (),,. Επαναληπτική σχέση: r r r r,,, () ( ) ( ) ( ),,,, r () () είναι το ζητούµενο σηµείο. Αυτός ο υπολογισµός καλείται και Τρίγωνο De Caseljau. () 7.8 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Υπολογισµός Σηµείου Καµπύλης Bézer - De Caseljau Αλγόριθµος De Caseljau: ψευδοκώδικας po decaseljauo (, po[] corol_ps, floa ) { for (; <; ) decas_ps[]corol_ps[]; for (r; r<; r) for (; <-r; ) decas_ps[](-)*decas_ps[]*decas_ps[]; reur decas_ps[]; } Για να σχεδιάσουµε ολόκληρη την καµπύλη, υπολογίζουµε ένα-ένα τα σηµεία για ( ) και τα ενώνουµε µε ευθύγραµµα τµήµατα. 7.9 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Πολυώνυµα Berse Οι συντελεστές των στην εξίσωση της καµπύλης Bézer είναι τα πολυώνυµα Berse: B () ( ),,,,, Πολυώνυµα Berse βαθµού : ( ) ( ) () ( ) () Πολυώνυµα Berse βαθµού : B B B B B B B ( ) ( ) () ( ) () ( ) () Καµπύλη Bézer βαθµού µε χρήση πολυωνύµων Berse: () B () 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Πολυώνυµα Berse - Χρήσιµες Ιδιότητες Αποτελούν βάση του διανυσµατικού χώρου των πολυωνύµων βαθµού. Οποιοδήποτε πολυώνυµο f() βαθµού γράφεται: f () B () όπου c κατάλληλοι συντελεστές Αρα κάθε πολυωνυµική καµπύλη βαθµού µπορεί να γραφεί σε µορφή καµπύλης Bézer. Για κάθε ισχύει: B Τα πολυώνυµα Berse είναι συµµετρικά ως προς και (- ): c () και B () B j ( ) B ( ) j 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Ιδιότητες Καµπυλών Bézer Προκύπτουν από εξίσωση ορισµού και ιδιότητες πολυωνύµων Berse. Ιδιότητα κυρτής περιβάλλουσας: Καµπύλη Bézer είναι συσχετισµένος κυρτός συνδυασµός των σηµείων ελέγχου. Αρα βρίσκεται µέσα στην κυρτή περιβάλλουσα των σηµείων. Χρήσιµη ιδιότητα για έλεγχο σχήµατος καθώς και έλεγχο τοµής µε άλλα σχήµατα. Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς: Αφού είναι γραµµικός συνδυασµός των σηµείων ελέγχου της. Αρα για να µετασχηµατίσουµε µια καµπύλη Bézer αρκεί να µετασχηµατίσουµε τασηµεία ελέγχου της. Αναλλοίωτη σε συσχετισµένους µετασχηµατισµούς της παραµέτρου: [,] u [ a, b] u a ( b a) r b u b a u a b a r r () () () 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Ιδιότητες Καµπυλών Bézer Συµµετρία: αν χρησιµοποιήσουµε τασηµεία ελέγχου µε αντίστροφη σειρά, ηκαµπύλη δεν αλλάζει: Αντιστρέφεται η φορά σχεδίασης. Γραµµική ακρίβεια: ανόλατασηµεία ελέγχου είναι συνευθειακά, ηκαµπύλη Bézer γίνεται ευθύγραµµο τµήµα. Παρεµβολή ακραίων σηµείων: ηκαµπύλη περνά από τα ακραία σηµεία και για και. Εφαπτόµενα διανύσµατα στα άκρα: είναι παράλληλα προς τις ακραίες πλευρές του πολυγώνου ελέγχου: d ( ) ( ) d d () ( ) d [ ] Αν η καµπύλη ορίζεται σε τυχαίο διάστηµα u a, b : d d d ( a) ( ) ( ) du d du b a d d d ( b) () ( ) du d du b a ( b a) ( u a) ( b a). καθώς u a / 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

εύτερες παράγωγοι στα άκρα: d d Ιδιότητες Καµπυλών Bézer d () ( )( ) d Αν η καµπύλη ορίζεται σε τυχαίο διάστηµα u a, b : Ψευδο - τοπικός έλεγχος: d du d du ( ) ( )( ) ( a) ( b) ( b a) ( b a) εν υπάρχει τοπικός έλεγχος αφού τα, που είναι τα βάρη των σηµείων ελέγχου, ορίζονται σε όλο το διάστηµα τηςκαµπύλης. Οµως το, και συνεπώς το, επηρεάζει µέγιστα το τµήµα της καµπύλης γύρω από /. B () ( )( ) [ ] ( )( ) B ( ) 7.4 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Οµαλή Συνένωση Καµπυλών Bézer Αύξηση ευελιξίας καµπύλης Bézer: Με αύξηση βαθµού (αστάθεια, αύξηση πολυπλοκότητας). Με οµαλή συνένωση καµπυλών µικρού βαθµού (συνήθως ή 4). Οι πολυωνυµικές καµπύλες F() µε [, ] και G() µε [ ], ενώνονται µε r συνέχεια C στο αν οι παράγωγοι r τάξης είναι ίσες στο : ( r )( ) ( r F )( ) G r m C C για m < r Για πολυώνυµο βαθµού k η k-οστή παράγωγος είναι σταθερά και οι µεγαλύτερες είναι. Αρα, για πολυώνυµα βαθµού k µας ενδιαφέρει µέχρι k C. Εστω καµπύλες Bézer ( ), [,] και m ( ), [, ] µεσηµεία ελέγχου και m αντίστοιχα. Εστω ότι επιθυµούµε ένωσηµε C : C C ( ) m( ) ( ) m ( πρέπει να ανήκει στην ευθεία των και και να βρίσκεται στην απόσταση που ορίζεται) ( )( ) ( ) ( ) C m m (καθορισµός ) Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ 7.5

Οµαλή Συνένωση Καµπυλών Bézer Παρατηρήσεις: Αν m, η εξίσωση της C γίνεται (δηλ. ηαπόσταση ) Αν m, η εξίσωση της C γίνεται ( D έστω). Ισχύει: D και D. Κάθε επιπλέον βαθµός συνέχειας που απαιτούµε καθορίζει τη θέση ενός σηµείου ελέγχου της δεύτερης καµπύλης (περιορισµός).» Για m µε C η έχει ελεύθερο µόνο το. 7.6 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Καµπύλες B-Sple Sple: καµπύλη που προκύπτει από ένωση επιµέρους καµπυλών µε κατάλληλες συνθήκες συνέχειας: Αν επιµέρους καµπύλες είναι βαθµού k, µπορεί να απαιτηθεί ως C k-. Βαθµός B-Sple βαθµός επιµέρους καµπυλών. B-Sple: ορισµός µε σηµεία ελέγχου : Πλήθος σηµείων ελέγχου είναι ανεξάρτητο από βαθµό k. Εξαρτάται από πλήθος τµηµάτων καµπύλης Ορισµός τµηµάτων σε παραµετρικά υποδιαστήµατα [, ] που ενώνονται στο [ m, max ]. Κόµβοι: τιµές της παραµέτρου στα όρια των υποδιαστηµάτων. Είναι απαραίτητοι και κόµβοι εκτός διαστήµατος [ m, max ]. frs m max las Πλήθος κόµβων εξαρτάται από βαθµό k και από πλήθος σηµείων ελέγχου. 7.7 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Γραµµικές Καµπύλες B-Sple Αποτελούνται από ευθύγραµµα τµήµατα µε συνέχεια C. Το τµήµα () στο υποδιάστηµα [, ] έχει άκρα τα και : [ ] ( ),, Αντίστοιχη γραµµικής παρεµβολής για [, ]. Οχι εύχρηστη (γενική). 7.8 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

7.9 Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: & : & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Γραµµικές Καµπύλες B-Sple Σηµείο επηρεάζει τµήµατα, τα και Αν θέσουµε τότε η επίδραση του στην καµπύλη είναι (ο εκθέτης δηλώνει βαθµό καµπύλης). [ ] [ ],, ) (,, ) ( και ( ) N () [ ) [ ) διαφορετικά,,,,, N

Γραµµικές Καµπύλες B-Sple Αθροίζοντας τις επιδράσεις όλων των σηµείων,,, παίρνουµε την εξίσωση της γραµµικής B-Sple: () N () Πόσοι κόµβοι για σηµεία ελέγχου (δηλ. τµήµατα καµπύλης); () ενώνει τα και για [, ]. Αρα το διάστηµαορισµού είναι [, ]. Οµως από ορισµούς N ( ) παρατηρούµε ότι χρειάζονται δύο επιπλέον ακραίοι κόµβοι και. Ετσι τα και επηρεάζουν και αυτά τµήµατα καµπύλης. Ητιµή των ακραίων αυτών κόµβων δεν έχει σηµασία. 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

7. Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: & : & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Τετραγωνικές Καµπύλες B-Sple Εστω το τµήµα ου βαθµού () που ορίζεται στο [, ]: Ορίζεται από σηµεία ελέγχου: µε βήµατα γραµµικής παρεµβολής. Το πρώτο βήµα παρεµβάλλει τα και στα διαστήµατα [ -, ] και [, ] αντίστοιχα (και όχι στο [, ] όπως στις Bézer). Το δεύτερο βήµα παρεµβάλλει τα σηµεία της πρώτης γραµµικής παρεµβολής και στο διάστηµα [, ]. Με αντικατάσταση των και στην παίρνουµε έκφραση συναρτήσει των σηµείων ελέγχου (ορίζεται στο [, ]).,,,, [ ] [ ],, ) (,, ) ( () ( ) () () [ ],, ) ( ) (

7. Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: & : & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Τετραγωνικές Καµπύλες B-Sple Αν εξετάσουµε διαδοχικά τµήµατα B-Sple () µε και () µε στην κοινή τιµή παραµέτρου παρατηρούµε ότι: δηλαδή έχουµε συνέχειαc και C. Θα δώσουµε έκφραση ολόκληρης της τετραγωνικής B-Sple συναρτήσει των σηµείων ελέγχου της: Το επηρεάζει τα τµήµατα (), () και (). [ ], [ ], ) ( ) ( ) ( ) ( [ ] [ ] [ ],, ) (,, ) (,, ) ( c b c a b a

Τετραγωνικές Καµπύλες B-Sple Ορίζουµε:, [, ), [, ) N (), [, ), διαφορετικά Οπότε η B-Sple µε σηµεία ελέγχου τα γράφεται: () N () Πρώτα σηµεία ελέγχου είναι τα,,. Αρα πρώτο τµήµα καµπύλης είναι το () µε κόµβους,,, 4. Αντίστοιχα τελευταίο τµήµα είναιτο () που απαιτεί τα,, και τους κόµβους -,,,. Γενικά µια τετραγωνική B-Sple µε () σηµεία ελέγχου χρειάζεται () κόµβους : Για ικανοποίηση των παραπάνω σχέσεων χρειάζονται και πλασµατικοί κόµβοι και που δεν επηρεάζουν την καµπύλη. ιάστηµα ορισµού της καµπύλης είναι το [, ]. 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Καµπύλες Β-Sple βαθµού k Εύκολα αποδεικνύεται ότι: N N () () N () Γενικεύοντας, οι συναρτήσεις B-Sple βαθµού k ορίζονται αναδροµικά: r () r r r r,,, k N N () N (), r r,,, k r θέτοντας σαν συνθήκη διακοπής της αναδροµής τις B-Sple βαθµού : N () [, ),, διαφορετικά,,, k µε αντιµετάθεση του και 7.4 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

() Καµπύλες Β-Sple βαθµού k Το είναι πολυώνυµο βαθµού r ως προς : Εχει τοπική στήριξη στο διάστηµα [, r ) δηλ. είναι µηδενικό εκτός αυτού του διαστήµατος. ιαδοχικά N r ()[ k r] ενώνονται µε συνέχεια C r- στα σηµεία που ηπαράµετρος παίρνει τις τιµές των κόµβων. Π.χ. γραµµικές B-Sple (k) για 4: N r Π.χ. τετραγωνικές B-Sple (k) για 4: 7.5 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Καµπύλες Β-Sple βαθµού k ( ) [ ] Η κατασκευή ενός τµήµατος,, της B-Sple βαθµού k γίνεται µε k επίπεδα γραµµικής παρεµβολής: Το πρώτο επίπεδο χρησιµοποιεί kσηµεία ελέγχου k. Παρεµβολή των σηµείων αυτών κατά ζεύγη µας δίνει ευθύγραµµα τµήµατα, ένα σηµείο των οποίων ορίζεται ως j (), j k µε διάστηµα ορισµού [ j, j k ]. Κάθε επόµενο επίπεδο r,, k χρησιµοποιεί σηµεία του προηγούµενου επιπέδου για την κατασκευή του ( ), j k r µε διάστηµα ορισµού [ j, jk-r ]. r j Μετά από k βήµατα καταλήγουµε στο βαθµού k και ορισµένο στο διάστηµα [, ]. ιαδοχικά () ενώνονται µε συνέχεια C k-. Μία καµπύλη B-Sple βαθµού k µε () σηµεία ελέγχου γράφεται: k () N () k Αποτελείται από (-k) πολυωνυµικά τµήµατα βαθµού k ( (), k ) καθένα ορισµένο στο διάστηµα [, ]. Συνολικό πεδίο ορισµού είναι το [ k, ]. Συνολικά απαιτούνται (k) κόµβοι k (συν δύο πλασµατικοί στα άκρα, k ). Πρέπει να ισχύουν και <. k ( ) 7.6 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Καµπύλες Β-Sple βαθµού k Υπολογισµός σηµείων B-Sple - Αλγόριθµος de Boor: Επαναληπτική µέθοδος αντίστοιχη de Caseljau για Bézer Βασίζεται στα βήµατα γραµµικής παρεµβολής. Εστω ότι θέλουµε τοσηµείο ( ), [, ] για B-Sple βαθµού k µε σηµεία ελέγχου Θέτουµε:, j k, k,, j ( ) r kr j r και j j k r j j Οπότε το ζητούµενο σηµείο είναι το Π.χ. τρίγωνο de Boor για k. j j () () r (), kr j j k ( ) (). j r,,, k j k r, k r,, () 7.7 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Καµπύλες Β-Sple βαθµού k Αλγόριθµος de Boor: Υλοποίηση µε πίνακαk στοιχείων. Αντίθετα από de Caseljau, τα βάρη συνδυασµού σηµείων δεν είναι σταθερά. Ψευδοκώδικας υπολογισµού ( ), [, ] µε δείκτες πίνακα από (θέτουµε mj-k, οπότε m: k-r). Για σχεδιασµό ολόκληρηςb-sple, αρκεί η εύρεση διαδοχικών σηµείων µε κάποιο βήµα. for (j-k; j<; j) { mj-k; deboor_ps[m]corol_ps[j]; } for (r; r<k; r) { for (j; j>-kr; j--) { mj-k; coeff(-kos[j])/(kos[k-rj]-kos[j]); deboor_ps[m](-coeff)*deboor_ps[m-]coeff*deboor_ps[m]; } } 7.8 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Ιδιότητες Κόµβων B-Sple Εστω B-Sple βαθµού k µε τους k πρώτους κόµβους ίσους, k, (ο πρώτος κόµβος έχει πολλαπλότητα k): Αποδεικνύεται τότε ότι ( ) ( k ) δηλ. η B-Sple (που ορίζεται στο [ k, ]) παρεµβάλλει το. Αντίθετα µε τιςbézer, οι Β-Sple δεν παρεµβάλλουν ακραία σηµεία, εκτός αν έχουµε κόµβους πολλαπλότητας k στην αρχή ή στο τέλος. Γενικότερα αν η ( ) χάνει µια τάξη συνέχειας. Αν ένας κόµβος έχει πολλαπλότητα r ηκαµπύλη είναι C k-r στο αντίστοιχο σηµείο. Π.χ. τετραγωνικές συναρτήσεις B-Sple µε 6. Μέγιστη πολλαπλότητα είναι k αφού διαφορετικά θα έχουµε συνέχεια µικρότερη από C. Αρα < k. 7.9 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Ιδιότητες Καµπυλών B-Sple Τοπικός Ελεγχος: το επηρεάζει µόνο το διάστηµα καµπύλης, k όπου η N k () είναι µη µηδενική. Η Bézer έχει µόνο ψευδο-τοπικό έλεγχο. Ιδιότητα Κυρτής Περιβάλλουσας: ηκαµπύλη βρίσκεται µέσα στην κυρτή περιβάλλουσα των σηµείων ελέγχου αφού είναι κυρτός συνδυασµός τους: Η συνθήκη αυτή είναι πιο ισχυρή στις B-Sple: ηκαµπύλη βρίσκεται µέσα στην κυρτή περιβάλλουσα των (k) σηµείων ελέγχου που ορίζουν κάθε τµήµα της. Π.χ. για k. [ ) 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Ιδιότητες Καµπυλών B-Sple Αναλλοίωτη σε Συσχετισµένους Μετασχηµατισµούς: εφόσον η καµπύλη είναι συσχετισµένος συνδυασµός των σηµείων ελέγχου της. Αρα για να µετασχηµατίσουµε µια B-Sple αρκεί να µετασχηµατίσουµε τα σηµεία ελέγχου της. Αναλλοίωτη σε Συσχετισµένους Μετασχηµατισµούς της Παραµέτρου της, u a ( b a) Γραµµική Ακρίβεια: αν τα είναι συνευθειακά, τότε η B-Sple γίνεται ευθύγραµµο τµήµα. Παρεµβολή Ακραίων Σηµείων: µε πολλαπλότητα k στους ακραίους κόµβους. Αποτελούν Γενίκευση των Καµπυλών Bézer. Πρακτικά, συνήθως χρησιµοποιούνται B-Sple χαµηλού βαθµού π.χ.. 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Καµπύλες Παρεµβολής Καµπύλες παρεµβολής: διέρχονται από δοσµένα σηµεία,,, : Συγκεκριµένα για δοσµένες τιµές της παραµέτρου,,, έχουµε ( ),,,, (Οι καµπύλες προσέγγισης δεν διέρχονται απαραίτητα από τα ) Παραδοσιακές µέθοδοι παρεµβολής: κατασκευή () σαν πολυωνυµική καµπύλη βαθµού : Είναι µοναδική. Πρέπει να προσδιορισθούν οι () συντελεστές του αντίστοιχου πολυωνύµου. Λύση συστήµατος εξισώσεων όχι πρακτική. Αλγόριθµοι Ake και Lagrage προτιµούνται. Μειονεκτήµατα ύπαρξης ενός υψηλόβαθµου πολυωνύµου: Πολύπλοκοι και αριθµητικά ασταθείς υπολογισµοί. Υψηλόβαθµη καµπύλη παρουσιάζει ταλαντώσεις (σχήµα). 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Αλγόριθµος Ake Αναδροµική µέθοδος κατασκευής πολυωνύµου βαθµού από () σηµεία: Για ηπαρεµβολή γίνεται µε ευθύγραµµο τµήµα. Για > χρησιµοποιούνται διαδοχικά βήµατα γραµµικής παρεµβολής. Θέτουµε και r r r r r,,, () () (),,,, r r r Το είναι το σηµείο της καµπύλης για την τιµή, της παραµέτρου. () [ ] 7. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

7.4 Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: & : & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Αλγόριθµος Ake Απόδειξη ότι µε επαγωγή: Υποθέτουµε ότιισχύειγια- σηµεία. Για σηµεία η δίνεται από τη σχέση: Από την υπόθεση, οι και παρεµβάλλουν τα (-) σηµεία και αντίστοιχα. Αρα: Γιαταυπόλοιπα,,,, - χρησιµοποιούµε την υπόθεση της επαγωγής και το γεγονός ότι οι συντελεστές της αθροίζουν στη µονάδα. () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )

Ιδιότητες Παρεµβολής Ake Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς: Αφού όλα τα βήµατα του αλγορίθµου είναι γραµµικές παρεµβολές (συσχετισµένες απεικονίσεις). Απουσία ιδιότητας κυρτής περιβάλλουσας: Ηπαράµετρος δεν ανήκει πάντα στο διάστηµα [, r ] άρα οι συντελεστές µπορείναείναικαιαρνητικοί(βλέπε προηγούµενο σχήµα). Ηκαµπύλη δεν βρίσκεται συνολικά µέσα στην κυρτή περιβάλλουσα των σηµείων παρεµβολής. Αυτό ισχύει γενικά για λείες καµπύλες παρεµβολής. Γραµµική ακρίβεια: Αν τα είναι συνευθειακά η καµπύλη παρεµβολής είναι ευθύγραµµο τµήµα. 7.5 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Πολυώνυµα Lagrage Απ ευθείας υπολογισµός πολυωνύµου παρεµβολής βαθµού για () σηµεία: Τα πολυώνυµα Lagrage L (),,,, χρησιµοποιούνται για την κατασκευή της καµπύλης παρεµβολής: Τα πολυώνυµα Lagrage ικανοποιούν τη σχέση δ j j, j όπου δ,j το δέλτα του Kroecker δ, j, j ηλαδή το L µηδενίζεται σε όλους τους κόµβους εκτός από τον για τον οποίο παίρνει τιµή. Τα πολυώνυµα Lagrage αθροίζουν στην µονάδα βαρυκεντρικός συνδυασµός σηµείων άρα αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετ/µούς. Τα πολυώνυµα Lagrage δεν είναι παντού θετικά, άρα δεν ισχύει η ιδιότητα της κυρτής περιβάλλουσας. j ( j ) j L, () L () 7.6 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παρεµβολή κατά Τµήµατα Ake και Lagrage κατασκευάζουν πολυώνυµα βαθµού για () σηµεία παρεµβολής: Υπολογιστικά ακριβό. Ταλαντώσεις. Μέθοδοι κατά - τµήµατα - παρεµβολής χρησιµοποιούν ακολουθία χαµηλόβαθµων παρεµβολών: Υπολογιστικά φθηνό. Μεγάλος έλεγχος µορφής καµπύλης (π.χ. εφαπτόµενης σε κάθε σηµείο). Κατά - τµήµατα - παρεµβολή, εξετάζουµε τριτοβάθµιες: Herme. B-Sple. 7.7 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παρεµβολή Herme Κυβική παρεµβολή Herme: τριτοβάθµια καµπύλη () µεταξύ και µε εφαπτοµενικά διανύσµατα στα άκρα m και m : ( ) ( ) m m () () 4 άγνωστοι (κυβική) και 4 δεδοµένα, άρα λύνεται. Κάθε τριτοβάθµια καµπύλη µπορεί να εκφραστεί µε τη βοήθεια των πολυωνύµων Berse, στη µορφή Bézer. Αρα: () B () όπου, τα σηµεία ελέγχου που πρέπει να βρούµε. Ηκαµπύλη Bézer διέρχεται από τα ακραία σηµεία της, άρα: ( ) () 7.8 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

7.9 Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: & : & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Παρεµβολή Herme Γνωρίζουµε ότι για τα εφαπτόµενα στα άκρα διανύσµατα της καµπύλης Bézer ισχύει: Η ζητούµενη καµπύλη είναι: ή αναδιατάσσοντάς την συναρτήσει των στοιχείων ορισµού της όπου χρησιµοποιήσαµε ταπολυώνυµα Herme ου βαθµού ( ) ( ) () ( ) m m m m () ( ) ( ) ( ) m m () ( ) ( ) ( ) ( ) m H H m H H ( ) () () () H H H H

Παρεµβολή Herme Αλλαγή παραµετρικού διαστήµατος από, σε u a, b Συσχετισµένη αλλαγή παραµέτρου σε u ( ) a b. Οι Herme, αντίθετα από τις Bézer, δεν παραµένουν αναλλοίωτες επειδή συµµετέχει η εφαπτοµένη στον ορισµό τους. Για να παραµένει αναλλοίωτη µια καµπύλη Herme, αποδεικνύεται ότι πρέπει να διαιρέσουµε ταm και m µετο(b-a): m m ( a) ( b) ( ) b a ( ) b a Η Herme παίρνει τη µορφή: ( u) Hˆ ( u) Hˆ ( u) m Hˆ ( u) m ˆ H ( u) όπου χρησιµοποιούµε ταµετασχηµατισµένα πολυώνυµα Herme ου βαθµού: Hˆ Hˆ Hˆ Hˆ ( u) Hˆ ( ) ( u) ( b a) H ( ) ( u) ( b a) H ( ) ( u) H ( ) 7.4 [ ] [ ]: Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Κατά - Τµήµατα Παρεµβολή Herme Εστω παρεµβολή µεταξύ,,, µε αντίστοιχα εφαπτόµενα διανύσµατα m, m,,m και τιµές παραµέτρου,,, : Αν u, u, η ζητούµενη καµπύλη, θα ισχύει: και m,,,, Για κάθε τµήµα παρεµβολής ( u), u [, ] έχουµε παρεµβολή µεταξύ και µε ακραίαεφαπτοµενικά διανύσµατα m και m άρα η τριτοβάθµια καµπύλη παρεµβολής Herme είναι: u u Hˆ u Hˆ u m Hˆ u m Hˆ u, u όπου ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Hˆ Hˆ Hˆ Hˆ, ( u) H ( ) ( u) ( ) H ( ) ( u) ( ) H ( ) ( u) H ( ) µε (u )/( ) την τοπική παράµετρο. 7.4 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Κατά - Τµήµατα Παρεµβολή Herme Εφαπτόµενα διανύσµατα δεν δίνονται πάντα στην πράξη: Ανάγκη χρήσης λογικών εφαπτόµενων διανυσµάτων και δυνατότητα µεταβολής τους από χρήστη. Μέθοδος FMILL θέτει m στο παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται από τα και : m,,,, Εξασφαλίζει C συνέχεια στις ενώσεις. εν µπορεί να υπολογίσει τα m και m. H καµπύλη που δηµιουργείται ονοµάζεται Camull - Rom sple. 7.4 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Κατά - Τµήµατα Παρεµβολή B-Sple Ζητείται τριτοβάθµια B-Sple καµπύλη () που να παρεµβάλλει τα σηµεία στις αντίστοιχες τιµές της παραµέτρου : ( ), Αν τα είναι διαφορετικά µεταξύ τους, το ίδιο πρέπει να ισχύει και για τα (αύξουσα σειρά). Για να περνά η () από τα και πρέπει να έχουµε πολλαπλότητα στους ακραίους κόµβους: - - ( ) και ( ). Πρέπει να προσδιοριστούν τα σηµεία ελέγχου της () δηλ. τα,,,, ( ). Η τριτοβάθµια B-Sple µε σηµεία ελέγχου έχει κόµβους. Αρα αφού έχουµε τους 5 κόµβους -, απαιτούνται τα παραπάνω σηµεία ελέγχου. Από την εξίσωση ορισµού B-Sple έχουµε: N (γιαταακραίασηµεία η σχέση απλοποιείται κατευθείαν αφού γνωρίζουµε ότι και ). Τελικά έχουµε εξισώσεις µε αγνώστους (τα ). Προσθέτουµε ακόµα περιορισµούς στα ακραία άγνωστα σηµεία (τα και ) και λύνουµε τοσύστηµα. 7.4 j ( ) ( ) j j j Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παραµετροποίηση Καµπύλων Παρεµβολής Ως τώρα υποθέσαµε ότι δίνονται τα σηµεία παρεµβολής και οι κόµβοι : Συνήθως ο χρήστης απαιτεί µια οµαλή καµπύλη που να περνά από τα και δεν ενδιαφέρεται για τα. Μιααπλήλύσηείναιηχρήσηισαπέχοντωνκόµβων. Αν λάβουµε όµως υπ όψητηγεωµετρία των σηµείων παίρνουµε καλύτερα αποτελέσµατα. Π.χ. παραµετροποίηση µήκους χορδής (απόσταση µεταξύ εξαρτάται από απόσταση µεταξύ ). 7.44 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παραµετρικές Επιφάνειες Παραµετρική µορφή επιφάνειας: Περιλαµβάνει παραµέτρους: x x y y z z (, u) (, u) (, u) Η µία παράµετρος διαγράφει µία καµπύλη ενώ η δεύτερη µετακινεί αυτή την καµπύλη στο χώρο. Η καµπύλη που αντιστοιχεί σε σταθερό u ή ονοµάζεται ισοπαραµετρική καµπύλη (ισοϋψείς). 7.45 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Επιφάνειες Bézer Τανυστικό Γινόµενο Εστω αρχική καµπύλη βαθµού m ως προς µε (m) σηµεία ελέγχου m m () B (), [,] m Εστω ότι το κάθε διαγράφει καµπύλη βαθµού ως προς u µε σηµεία ελέγχου j, j : ( u) B ( u), u [,] j j Τότε κάθε σηµείο της αρχικής καµπύλης διαγράφει καµπύλη βαθµού και παράγεται η επιφάνεια Bézer τανυστικό γινόµενο: Η εξίσωση της επιφάνειας λαµβάνεται µε αντικατάσταση του από το στην εξίσωση της αρχικής καµπύλης: m, m m (, ) ( ) u B ( ) B j u j j m j j B m () B ( u), [, ], u [,] Ηαρχικήκαµπύλη είναι η ισοπαραµετρική καµπύλη για u µε σηµεία ελέγχου τα, m j j, m : ( ) u 7.46 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Επιφάνειες Bézer Τανυστικό Γινόµενο Οι καµπύλες Bézer που χρησιµοποιήθηκαν για τον ορισµό της επιφάνειας έχουν συνολικά (m) () σηµεία ελέγχου j, m, j : Αυτά ονοµάζονται σηµεία ελέγχου της επιφάνειας Bézer: u m m Οι ισοπαραµετρικές καµπύλες για u, u, και ονοµάζονται συνοριακές καµπύλες της επιφάνειας. Παράδειγµα επιφάνειας Bézer βαθµών και. m 7.47 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Υπολογισµός Σηµείου Επιφάνειας Bézer ( ) m,, Αλγόριθµος de Caseljau για υπολογισµό u Εφαρµογή de Caseljau σε κάθε γραµµή του πίνακα σηµείων ελέγχου για το δεδοµένο u δίνει (m) σηµεία. Εφαρµογή de Caseljau στα (m) νέα σηµεία για το δεδοµένο δίνει το σηµείο της επιφάνειας. po decaseljausurfaceo( m,, po[][] corol_ps floa, floa u) { po[] emp_ps; po[] bez_ps; for (; <m; ) { for (j; j<; j) emp_ps[j]corol_ps[][j]; bez_ps[]decaseljauo(, emp_ps, u); } reur decaseljauo(m, bez_ps, ); } 7.48 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Ιδιότητες Επιφανειών Bézer Προκύπτουν από τις αντίστοιχες ιδιότητες των καµπύλων Bézer. Ιδιότητα κυρτής περιβάλλουσας. Αφού είναι κυρτός συνδυασµός των σηµείων ελέγχου της. m j B m () B ( u) j Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς. Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς παραµέτρων. Συνοριακές καµπύλες: λαµβάνονται από τις ακραίες γραµµές και στήλες του πίνακα των σηµείων ελέγχου. Τα 4 γωνιακά σηµεία ελέγχου βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια. Υπάρχουν συναρτήσεις παραγώγων και κανονικού διανύσµατος για κάθε σηµείο (, u) της επιφάνειας. Ψευδο-τοπικός έλεγχος: µέγιστη επιροή j στις τιµές (, u)(/m, j/) των παραµέτρων. 7.49 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Επιφάνειες B-Sple Τανυστικό Γινόµενο Επιφάνειες Bézer έχουν ανάλογες ιδιότητες (άρα και µειονεκτήµατα) µε καµπύλες Bézer. Επιφάνειες B-Sple τανυστικό γινόµενο βαθµού k ως προς και l ως προς u ορίζονται ανάλογα µε επιφάνειεςbézer: Συνενώνονται µε C k- ως προς και C l- ως προς u. Χρήση πίνακα (m) () σηµείων ελέγχου j, m, j (τα m και είναι ανεξάρτητα από τα k και l). m, k (, u) N ( ) N ( u) m j Ακολουθίες (mk) κόµβων ως προς και (l) κόµβων ως προς u (ανεξάρτητες µεταξύ τους),,, mk u, u,, u l Ανάγκη πλασµατικών κόµβων, mk, u, u l για ορισµούς. Πεδίο ορισµού [ k, m ] [u l,u ]. u u u l Στοιχεία ελέγχου επιφάνειας B-Sple: Υπολογισµός σηµείου επιφάνειας m, (,u) µε διπλήεφαρµογή αλγορίθµου de Boor. l j m m k j m m m 7.5 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Ιδιότητες Επιφανειών B-Sple Ιδιότητες κόµβων: αντίστοιχες µε καµπύλες B-Sple. Π.χ. αν οι k πρώτοι κόµβοι ως προς είναι ίσοι, η επιφάνεια παρεµβάλλει την ισοπαραµετρική καµπύλη του k. Παραµετροποίηση πολύ πιο δύσκολη από καµπύλες Β-Sple: Επειδή υπάρχουν µόνο ακολουθίες κόµβων και u. Π.χ. για παραµετροποίηση µήκους χορδής, ποια από όλες τις καµπύλες θα επιλέξουµε; Μέσοςόροςδενδίνεικαλάαποτελέσµατα αν διαδοχικές καµπύλες έχουν µεγάλη διαφορά. Τοπικός έλεγχος: j επηρεάζει το τµήµα καµπύλης [, k ) [u j,u jl ). Ιδιότητα κυρτής περιβάλλουσας: Αφού η επιφάνεια Β-Sple είναι κυρτός συνδυασµός των σηµείων ελέγχου της. Στις B-Sple η ιδιότητα αυτή είναι πιο ισχυρή: ένα σηµείο της επιφάνειας βρίσκεται µέσα στην κυρτή περιβάλλουσα των (k) (l) σηµείων υπολογισµού του. Αραηεπιφάνειαβρίσκεται µέσα στην ένωση αυτών των κυρτών περιβαλλουσών. Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς. Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς των παραµέτρων της. 7.5 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Παρεµβολή µε Επιφάνειες B-Sple Εστω παρεµβολή πλέγµατος σηµείων του τρισδιάστατου χώρου µε δικυβικές επιφάνειες B-Sple τανυστικό γινόµενο: (m) () σηµεία j, m, j προς παρεµβολή µε τις ακολουθίες παραµέτρων, m, u j, j. Ζητείται B-Sple επιφάνεια (,u):,,, m (, u j ) j j,,, Παρεµβολή επιτυγχάνεται µε γενίκευση µεθόδου παρεµβολής B-Sple καµπύλης. 7.5 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Επιφάνειες Τανυστικό Γινόµενο - Γενικά Εχουν απλή µαθηµατική µορφή και προκύπτουν εύκολα σαν γενίκευση των αντίστοιχων καµπύλων. Κύριο µειονέκτηµα: ανάγκη τεραγωνικής διάταξης σηµείων ελέγχου. Ειδικά για τις B-Sple πρέπει να έχουν και σχετικά οµοιόµορφη κατανοµή, λόγω της µοναδικής παραµετροποίησης σε κάθε κατεύθυνση. 7.5 Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ