για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή:

α.. Πρόσθεση διιανυσμάτων Αν έχουμε δύο διανύσματα α, β για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: 1 0ς τρόπος!! Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε διάνυσμα Α = α!!!!!" και στη συνέχεια με αρχή το Α διάνυσμα ΑΒ = β τότε το Β λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α, β. Δηλαδή: α!" α!" Α Β α+β 2 0ς τρόπος Κανόνας παραλληλογράμμου α!" α+β Β Α 8

β.. ΙΙδιιότητες πρόσθεσης διιανυσμάτων ια την πρόσθεση διανυσμάτων ισχύουν οι ιδιότητες: i) α + β = β + α (αντιμεταθετική) " " ii) (α + β) + γ = α + (β + γ) (προσεταιριστική) " iii) α + = + α = α " iv) α + ( α) = ( α) + α = " " v) α + γ = β + γ α = β (ιδιότητα της διαγραφής) vi) (α + β) = ( α) + ( β) γ.. Aφαίίρεση διιανυσμάτων Αν έχουμε τα διανύσματα α ". Τότε η διαφορά του από το α " είναι το διάνυσμα: α β = α + ( β). Α α " " α β " Β OB " " OA + AB = α β = δ.. Διιάνυσμα θέσης α) ια οποιοδήποτε σημείο Μ του χώρου Μ αν πάρουμε ένα σταθερό σημείο, (σημείο αναφοράς) ορίζουμε το διάνυσμα OM, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ. 9

β) Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής. A B Δηλαδή: AB = OB OA. Όπου τυχαίο σημείο αναφοράς. ε.. Μέτρο αθροίίσματος ια οποιαδήποτε διανύσματα α " και ισχύει: " " α β α + β α + β πότε έχουμε: Aν Aν α " " β τότε α + β = α + β " " α β τότε α + β = α β 10

1. Να βρεθεί το διάνυσμα το οποίο είναι άθροισμα των διανυσμάτων ν " v " 2 v " 3 1 ν 4 Λύση ια να βρούμε το άθροισμα των διανυσμάτων ν1, ν2, ν3, ν4 παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου και με αρχή το μεταφέρουμε τα διανύσματα και τα κάνουμε διαδοχικά. Το άθροισμά τους θα είναι το διάνυσμα με αρχή το και πέρας το πέρας του τελευταίου. Μπορούμε να τα πάρουμε με όποια σειρά θέλουμε, αφού ισχύουν η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα. Έτσι έχουμε: Είναι : Δ = Α+ ΑΒ+ Β+ Δ A ν " 2 B ν " " ν 1 3 ν " 4 Δ Δ = ν1 + ν2 + ν3 + ν4 11

2. Να εκφράσετε το διάνυσμα x " σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων i) ii) x " α " x " α " iii) x " " γ ζ " α " ε " δ " " γ Λύση Αν έχουμε μια τεθλασμένη κλειστή γραμμή και πάρουμε το άθροισμα των διανυσμάτων που παριστάνουν οι πλευρές της κατά μια κατεύθυνση τότε έχουμε το μηδενικό διάνυσμα. Έτσι έχουμε μία εξίσωση με άγνωστο το διάνυσμα x " την οποία και λύνουμε ως προς x " αφού γνωρίζουμε ότι ισχύει: " " " λ1β + λx = λ2α " " " λx = λ2α λ1β " 1 " " x = ( λ2α λ1β ) με λ1, λ2 R και λ R * λ Έτσι έχουμε: + = Από το (i) σχήμα: x α β 0 " " " x = β α " " " # " + + = Από το (ii) σχήμα: x α β γ 0 x = β α γ + + + + = Aπό το (iii) σχήμα: x α β γ δ ε ζ 0 " " " x = β α γ + δ ε ζ 12

3. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΔ και παίρνουμε το διάνυσμα ΔΕ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι : Α + ΒΔ = ΑΕ. Ε Δ A B Λύση Συνήθως, όταν μας δίνεται ένα σχήμα και θέλουμε να αποδείξουμε μια ισότητα με διανύσματα του σχήματος, το πιο απλό που σκεφτόμαστε είναι: Nα εκφράσουμε τα διανύσματα του ενός μέλους σαν άθροισμα ή διαφορά άλλων διανυσμάτων έτσι ώστε να καταλήξουμε στα διανύσματα του άλλου μέλους της ισότητας. Ή παίρνουμε την ισότητα και καταλήγουμε σε άλλη ισότητα που ισχύει. Έτσι για να αποδείξουμε ότι Α + ΒΔ = ΑΕ έχουμε: Α = ΑΔ+ Δ (1) ΒΔ = Β+ Δ (2) Aπό (1) + (2) έχουμε: Α + ΒΔ = ΑΔ + Δ + Β + Δ = ΑΔ Δ + Β + Δ = ΑΔ + Β = ΑΔ + ΔΕ = ΑΕ 4. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΔ και το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Μ ισχύει: MA + MB+ M+ ΜΔ = 4Μ Λύση ια να αποδείξουμε μια ισότητα διανυσμάτων μπορούμε να επιλέξουμε τυχαίο σημείο αναφοράς, και να αντικαταστήσουμε κάθε διάνυσμα του ενός μέλους ως διαφορά δύο διανυσμάτων, με πράξεις δε να καταλήξουμε στο άλλο μέλος ή μπορούμε να πάρουμε δεδομένη την ισότητα και να καταλήξουμε σε ισότητα που προφανώς ισχύει. Α Β ια την απόδειξη της άσκησης παίρνουμε ως σημείο αναφοράς το κέντρο του παραλληλογράμμου. Έτσι έχουμε: Δ!!!!"!!!!"!!!"!!!"!!!"!!!!"!!!"!!!!"!!!"!!!!"!!!"!!!!" ΜΑ + ΜΒ + Μ + Μ = Α Μ + Β Μ + Μ + Μ =!!!"!!!"!!!"!!!"!!!!"!!!!"!!!!" Α + Β 4Μ = 4Μ = 4Μ 13

1. Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΔ του σχήματος είναι:!!!"!"!! ΑΒ = α, Α = β. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της στήλης (Α) με το ίσο του της στήλης (Β) Α α!" Β ΣΤΗΛΗ Α 1. α!"!!!" Α. Α 2. α+β Β. Β!!!" 3. β α.!!!" 4. α β!!!" Δ. Β 5. α β 6. 2 ΣΤΗΛΗ Β 2. Αν ισχύει AB + A = ΑΚ+ ΑΛ τότε να δείξετε ότι τα τμήματα Β και ΚΛ έχουν το ίδιο μέσο. _ 14

" 3. Αν για τα α, βγ, ισχύει α+β = 0 α) Να κατασκευάσετε τα διανύσματα: " " i) x =α β + γ " " ii) y =α β γ "!" ; β) Τι σχέση έχουν τα x,ω!" " iii) ω = α+β γ 4. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΔ. Να βρείτε τα διανύσματα: "!!!"!!!" i) x =ΑΒ+ " " + y iv) x ii) y Α Β Δ "!!!"!!!"!"!!!"!!!" ii) y =ΑΒ Β iii) ω =Α Β " "!" ω + + iii) x y ω 15