Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης
Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές Τα bits της δυαδικής πληροφορίας ενδεχομένως να ομαδοποιούνται σε σύμβολα των k=log 2 M bits Απαιτούνται Μ κυματομορφές που βρίσκονται σε έναν Ν-διάστατο χώρο (N=1, 2, ) Είδαμε κάποιες βασικές επιλογές ως προς τις κυματομορφές Αντίποδες: PAM, PSK, QAM, Ορθογώνιες: PPM, FSK Θα δούμε στη συνέχεια το πώς ο δέκτης διαχειρίζεται τις κυματομορφές του λαμβανόμενου σήματος προκειμένου να εξάγει την αρχική ψηφιακή πληροφορία 2
Εισαγωγή Κατά τη διάρκεια μετάδοσης ενός συμβόλου, ο πομπός στέλνει την κυματομορφή s (t), = 1,, M Το κανάλι AWGN εισάγει θόρυβο n(t) με φασματική πυκνότητα ισχύος S n (f)=n /2 [W/Hz] Ο δέκτης λαμβάνει, r t s t n t t T Παρατηρώντας το r(t) καλείται να πάρει μια απόφαση για το ποιο από τα σύμβολα {s } στάλθηκε Ζητούμενο: ποιος είναι ο βέλτιστος δέκτης; 3
Βασικά Τμήματα Βέλτιστου Δέκτη Ελαχιστοποιεί την πιθανότητα σφάλματος απόφασης r t ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ ΦΩΡΑΤΗΣ sˆ r r1 r N T Μπορεί να είναι είτε Αποδιαμορφωτής Συσχέτισης είτε Αποδιαμορφωτής Προσαρμοσμένων Φίλτρων Αποφασίζει ποια από τις Μ κυματομορφές μεταδόθηκε βασισμένος στην παρατήρηση του διανύσματος r 4
Αποδιαμορφωτής Συσχέτισης Λειτουργία: είσοδος: η λαμβανόμενη αναλογική κυματομορφή r(t) έξοδος: ένα Ν-διάστατο διάνυσμα Το λαμβανόμενο σήμα, r t s t n t t T προβάλλεται στις διαστάσεις του χώρου κυματομορφών Πώς υπολογίζονται οι προβολές; ολοκλήρωση του λαμβανόμενου σήματος με την αντίστοιχη συνάρτηση βάσης Ν ολοκληρώσεις (συσχετίσεις) T r t k t dt 5
Αποδιαμορφωτής Συσχέτισης 6
Αποτέλεσμα Συσχετιστών Σε κάθε συσχετιστή, k=1,...,ν, όπου s k είναι η προβολή του σήματος και n k είναι η προβολή του θορύβου στην k-οστή συνιστώσα του χώρου T r r t t dt k s k k T n k n t k t dt k n T s s t dt k k 7
Διανυσματική Αναπαράσταση Τα αποτελέσματα των συσχετιστών μπορούν να γραφούν σε μορφή διανύσματος ως r s n Τα στοιχεία του s εξαρτώνται από το ποιο σήμα μεταδόθηκε Τα στοιχεία του n είναι τυχαίες μεταβλητές 8
Επάρκεια των Προβολών Κάθε s (t) μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων βάσης ψ k (t) : Προβάλλοντας το λαμβανόμενο σήμα στις Ν συναρτήσεις βάσης δε χάνουμε ενέργεια της κυματομορφής συμβόλου Ο θόρυβος, στη γενική περίπτωση, δεν είναι περιορισμένος στις Ν συγκεκριμένες συνιστώσες (όπως, εκ κατασκευής, είναι το χρήσιμο σήμα) αγνοώντας τυχόν προβολές του θορύβου σε άλλες συνιστώσες, πέρα των Ν, δε χάνουμε χρήσιμη πληροφορία και επιπλέον μειώνεται η ισχύς του θορύβου N n n n1 s t s t, 1,, M Τελικό Συμπέρασμα: Με τη διαδικασία των προβολών του r(t) στις Ν συναρτήσεις βάσεις δε χάνουμε χρήσιμη πληροφορία. Οι έξοδοι των συσχετιστών είναι στατιστικά επαρκείς για τη λήψη απόφασης 9
Ανάλυση Διανύσματος r=s +n To s είναι ντετερμινιστικό (νομοτελειακό) Τα στοιχεία του n είναι Gaussian τυχαίες μεταβλητές (γιατί;) Μέση τιμή συνιστωσών θορύβου T E nk En t k t dt T n k n t k t dt Συνδιασπορά (Συμμεταβολή, Covariance) T T E n n En t n t dtd k k N, 2, k k 1
Ανάλυση Διανύσματος r=s +n Συνιστώσες Θορύβου ασυσχέτιστες τ.μ. Gaussian, άρα και ανεξάρτητες μηδενικής μέσης τιμής και ίδιας διασποράς σ n2 =N /2 η από κοινού pdf είναι: N 1 f f n e n i i1 N N 2 N i1 2 i n N όπου f n i 1 2 ni N e N Συνιστώσες Διανύσματος r Λόγω των συνιστωσών του θορύβου, είναι: Gaussian τυχαίες μεταβλητές και ανεξάρτητες μέσης τιμής s k η κάθε μία, και ίσης διασποράς σ n2 =N /2 11
Υπό Συνθήκη PDF Λόγω ανεξαρτησίας των στοιχείων του r μεταξύ τους, η από κοινού υπό συνθήκη pdf να ληφθεί r δεδομένου ότι στάλθηκε s είναι f rs f r s N k k i1 όπου r 2 k sk N e f r s k k Τελικά η από κοινού pdf για κάθε είναι 1 N f 1 rs exp rs N 2 N 2 N Καλείται και συνάρτηση πιθανοφάνειας (likelihood) του s 12
Αποδιαμορφωτής Προσαρμοσμένου Φίλτρου Εναλλακτικός τρόπος υλοποίησης της συσχέτισης στον Α/Δ σήματος Συσχέτιση r(t) με συνάρτηση βάσης T rk r t k t dt Συνέλιξη r(t) με φίλτρο h k (t) t y t r h t d k k Αν επιλέξω ως φίλτρο το h k k T, T, ύ και δειγματοληπτήσω την έξοδο του φίλτρου για t=t τότε οι δύο διατάξεις είναι ισοδύναμες. 13
Προσαρμοσμένο Φίλτρο Γενικά ένα φίλτρο με κρουστική απόκριση ht st t όπου το σήμα s(t) είναι μηδέν εκτός του [,Τ], λέγεται προσαρμοσμένο φίλτρο (atched filter) στο σήμα s(t) Παρατήρηση: αν στο προσαρμοσμένο φίλτρο χρησιμοποιηθεί ως είσοδος το σήμα s(t), τότε η έξοδος του φίλτρου είναι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του s(t) t y t s s T t d 14
Προσαρμοσμένο Φίλτρο (2) 15
Προσαρμοσμένο Φίλτρο (3) 16
Διάγραμμα Τα φίλτρα είναι προσαρμοσμένα στις Ν συναρτήσεις βάσης 17
Ιδιότητα Προσαρμοσμένου Φίλτρου Ιδιότητα: Μεγιστοποίηση SNR Εξόδου. Εάν ένα σήμα διαβρώνεται από AWGN, το φίλτρο με κρουστική απόκριση προσαρμοσμένη στο s(t) μεγιστοποιεί το SNR εξόδου τη χρονική στιγμή t=t Η μέγιστη τιμή του SNR είναι S N o 2E N s 18
Ερμηνεία στο Πεδίο Συχνοτήτων (ΟΧΙ) Αν το σήμα s(t) έχει φάσμα S(f), τότε το προσαρμοσμένο φίλτρο σε αυτό έχει απόκριση συχνότητας st S f ht stt S f e * j2 ft ίσο με το συζυγές του S(f) επί έναν παράγοντα φάσης λόγω της καθυστέρησης δειγματολήπτησης Έξοδος του φίλτρου y t s t h t Y f S f e 2 j2 ft 19
Ερμηνεία στο Πεδίο Συχνοτήτων (2) (ΟΧΙ) Η συνιστώσα του σήματος στην έξοδο εκφράζεται ως s Δειγματοληπτείται τη χρονική στιγμή t=t Η ισχύς του σήματος είναι t y t s s T t d s T y T s d E 2 P y T E 2 2 s s s s 2
Ερμηνεία στο Πεδίο Συχνοτήτων (3) (ΟΧΙ) Η συνιστώσα του θορύβου στην έξοδο εκφράζεται ως y t n t h t n Με πυκνότητα φάσματος ισχύος S f H f N n 2 2 Η συνολική (σε όλο το εύρος των συχνοτήτων) ισχύς του θορύβου είναι N 2 E N Pn Sn f df S f df 2 2 s Άρα το SNR είναι Ps 2E SNR P N n s 21
Βασικά Τμήματα Βέλτιστου Δέκτη Ελαχιστοποιεί την πιθανότητα σφάλματος απόφασης r t ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ ΦΩΡΑΤΗΣ sˆ r r r N 1 T Μπορεί να είναι είτε Αποδιαμορφωτής Συσχέτισης είτε Αποδιαμορφωτής Προσαρμοσμένων Φίλτρων Αποφασίζει ποια από τις Μ κυματομορφές μεταδόθηκε βασισμένος στην παρατήρηση του διανύσματος r 22
Βέλτιστος Φωρατής Λειτουργία: είσοδος: το Ν-διάστατο διάνυσμα των προβολών έξοδος: η απόφαση για το σύμβολο που στάλθηκε Ερώτηση: δεδομένου του διανύσματος r, ποιος είναι ο βέλτιστος τρόπος να αποφασίσει ο φωρατής ποιο σύμβολο στάλθηκε; Απάντηση: δοθείσης της παρατήρησης r, θέλουμε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα σωστής απόφασης Υπόθεση: το σύστημα δεν έχει μνήμη μεταξύ διαδοχικών περιόδων συμβόλου Τ 23
Γεωμετρική Ερμηνεία του r Το διάνυσμα των προβολών εκφράζεται ως r s n Λόγω των ιδιοτήτων του θορύβου και με βάση την ανάλυση που έγινε το διάνυσμα r μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα (υπερ-)σφαιρικό νέφος γύρω από το διάνυσμα s η πυκνότητα του νέφους είναι υψηλότερη στο κέντρο και αποσβενόμενη προς τα έξω τα σημεία που είναι πιο κοντά στο s είναι πιθανότερα να εμφανιστούν όσο μικρότερη είναι η διασπορά του θορύβου, N /2, τόσο πιο συμπαγής είναι η σφαίρα όσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά, τόσο πιο απλωμένο είναι το νέφος 24
Παράδειγμα Ν=3 Μ=4 στάλθηκε το s 1 25
Maxiu A-Posteriori Probability Ο βέλτιστος κανόνας απόφασης είναι να επιλέξουμε το σύμβολο s με τη μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης δεδομένης της παρατήρησης r, δηλαδή, υπολογίζουμε την εκ των υστέρων (a-posteriori) πιθανότητα να στάλθηκε κάθε ένα από τα σύμβολα s δεδομένου ότι έχουμε λάβει το r και επιλέγουμε εκείνο που μεγιστοποιεί αυτήν την πιθανότητα, δηλαδή το κριτήριο μας είναι: ax Το κριτήριο αυτό λέγεται s κριτήριο Μέγιστης εκ των Υστέρων Πιθανότητας (Maxiu Α-posteriori Probability - MAP) P s r 26
Κριτήριο MAP Αποδεικνύεται ότι το κριτήριο MAP μεγιστοποιεί την πιθανότητα σωστής λήψης άρα, ελαχιστοποιεί την πιθανότητα σφάλματος Αν ο δέκτης δεν είχε καν την παρατήρηση r τότε θα διάλεγε ένα σύμβολο με βάση τις εκ των προτέρων πιθανότητες εμφάνισης P(s ) δηλαδή απλά θα διάλεγε το πιθανότερο σύμβολο 27
Απλοποίηση (MAP ML ) (1/2) Κανόνας Bayes P s r f rs Ps f r f(r s ): η πιθανότητα να λάβω r, αν στάλθηκε το s (πιθανοφάνεια του s δοθέντος του r) P(s ): η a-priori πιθανότητα εμφάνισης του συμβόλου f(r): η πιθανότητα να λάβω το συγκεκριμένο διάνυσμα (είναι ανεξάρτητη του συμβόλου) * Προσέξτε τη διαφορά στο συμβολισμό: P( ), f( ) 28
Απλοποίηση (MAP ML) (2/2) Απλοποίηση: αν τα σύμβολα είναι ισοπίθανα, τότε P(s )=1/M δηλαδή το P(s ) γίνεται σταθερά ανεξάρτητη του συμβόλου Η μεγιστοποίηση του P(s r) αντιστοιχεί σε μεγιστοποίηση του f(r s ) ax s P s r ax f r s Συμπέρασμα: Υποθέτοντας ισοπίθανα σύμβολα, το κριτήριο MAP απλοποιείται στο κριτήριο μεγιστοποίησης της συνάρτησης πιθανοφάνειας s 29
Κριτήριο ML ax s f rs Το κριτήριο αυτό καλείται κριτήριο μέγιστης πιθανοφάνειας (axiu likelihood - ML) Παρατήρηση: Aντί να μεγιστοποιήσουμε την pdf f(r s ), μπορούμε να μεγιστοποιήσουμε οποιοδήποτε μονότονη συνάρτησή της συνήθως χρησιμοποιείται η ln(f(r s )) 3
Κριτήριο ML (2) Υπενθύμιση: η συνάρτηση πιθανοφάνειας υπολογίστηκε ως f 1 rs exp rs N 2 N 2 N Το κριτήριο ML εκφράζεται πλέον ως ax ln s f rs in rs s 2 Συμπέρασμα: Tο βέλτιστο σύμβολο είναι αυτό που έχει την ελάχιστη Ευκλείδια απόσταση από το διάνυσμα του λαμβανόμενου σήματος 31
Φώραση Ελάχιστης Απόστασης Ο φωρατής καλείται να υπολογίσει τις μετρικές απόστασης rs, rs 2 N 2 k k k 1 D r s ανάμεσα σε όλα τα σύμβολα και το ληφθέν διάνυσμα και να επιλέξει το σύμβολο με τη μικρότερη απόσταση Εναλλακτικά, 2 2 2 T T r r s s r s s in 2 ax 2 s μιας και το μέτρο του r είναι κοινό για όλα τα σύμβολα s 32
Φώραση Μέγιστης Συσχέτισης Ορίζεται η ποσότητα T C rs, 2rs s 2 πρώτος όρος: είναι η συσχέτιση μεταξύ του συμβόλου και του λαμβανόμενου σήματος δεύτερος όρος: σταθμίζει την ενέργεια κάθε συμβόλου Αν τα σύμβολα είναι ίσης ενέργειας (π.χ. PSK) ο δεύτερος όρος μπορεί να αγνοηθεί Η ποσότητα ονομάζεται μετρική συσχέτισης Συμπέρασμα: ο βέλτιστος φωρατής ML επιλέγει το σύμβολο με τη μικρότερη μετρική απόστασης (ή ισοδύναμα) με τη μεγαλύτερη μετρική συσχέτισης 33
MAP για μη Ισοπίθανα Σύμβολα Το κριτήριο MAP απλοποιείται στο ML όταν τα σύμβολα είναι ισοπίθανα Αν τα σύμβολα δεν είναι ισοπίθανα, ο βέλτιστος φωρατής MAP θα πρέπει να μεγιστοποιήσει κανονικά την ax s s r ax r s s P f P s 34