Επαναληπτικές ασκήσεις

Επαναληπτικές ασκήσεις

a a a Τ Τ x Τ Έστω απομονωμένο μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτελείται από 3 mol όμοιων και διακριτών μονοατομικών μορίων τα οποία δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Τα μόρια αυτά μπορούν να βρεθούν είτε σε μια μη εκφυλισμένη βασική ενεργειακή στάθμη με ε, είτε σε μία πενταπλά εκφυλισμένη διεγερμένη ενεργειακή στάθμη με ε ε 9,336 - J. (A) (B) Στο σχήμα παρουσιάζεται η μεταβολή του πληθυσμού ισορροπίας των δύο αυτών ενεργειακών σταθμών καθώς η θερμοκρασία του συστήματος μεταβάλλεται από τους Κ έως το άπειρο. Στον άξονα Υ του σχήματος έχουν σημειωθεί οι πληθυσμοί a, a,,,,,, a και. ) Σε ποια ενεργειακή στάθμη αναφέρεται η κάθε καμπύλη; ) Να υπολογιστούν: α) οι αριθμητικές τιμές των a,,, και. β) οι αριθμητικές τιμές του αθροίσματος (a a ) καθώς και του αθροίσματος ( ), με δεδομένο ότι Τ 5Τ. γ) η αριθμητική τιμή της Τ x. δ) η μέση ενέργεια των μορίων του συστήματος όταν αυτό είναι στην θερμοκρασία Τ x. ε) η θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο του συστήματος όταν αυτό βρίσκεται στην θερμοκρασία Τ x.

) Σε ποια ενεργειακή στάθμη αναφέρεται η κάθε καμπύλη; Επειδή όταν Τ μόνο η βασική θεμελιώδης στάθμη είναι κατειλημμένη, έπεται ότι η καμπύλη (Β) παριστάνει την μεταβολή του πληθυσμού n με την θερμοκρασία. Συνεπώς, η (Α) αναφέρεται στην μεταβολή του πληθυσμού n. a (A) (B) a a Τ Τ x Τ

α) Να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές των a,,, και. Είναι προφανές ότι: a και α 9 Ν nn A (3 mol) (6, 3 mol - ),7 4 a (n ) (n ) a a Τ Τ x Τ Είναι επίσης προφανές ότι:,5ν,5nn A,5 (3 mol) (6, 3 mol - ) 9,33 3 a n 5 n T T x T T x n n T T x T T x N a N a 5 5 N

α) Να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές των a,,, και. a και α 9 Ν,7 4 και,5ν 9,33 3 a a a Τ Τ x Τ (n ) (n ) Για το σύστημά μας ισχύει ότι: n n ε N N q ε ε N ε N q ε Τα και, είναι οι πληθυσμοί των δύο ενεργειακών σταθμών όταν η θερμοκρασία τείνει στο άπειρο. Αλλά όταν T τότε όλοι οι εκθετικοί όροι τείνουν στην μονάδα, οπότε: a a N 6 3 3 n a3 3, T 5N 6 4 7 n a7,56 T

β) Να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές του αθροίσματος (a a ) καθώς και του αθροίσματος ( ), με δεδομένο ότι Τ 5Τ. a (n ) (n ) a a Τ Τ x Τ Είναι προφανές ότι: a a Ν,7 4 a a 4 a a 6 n n T T T T n n T T T T N N

γ) Να υπολογιστεί η αριθμητική τιμή της Τ x. a a a Τ Τ x Τ (n ) (n ) Όταν η θερμοκρασία είναι Τ x τότε θα ισχύει: T x N ε n ε x x ε k ln n N ε x ε T ε ln x x x 4 K

δ) Να υπολογιστεί η μέση ενέργεια των μορίων του συστήματος όταν αυτό είναι στην θερμοκρασία Τ x. Η ενέργεια του συστήματός μας είναι: a a a Τ Τ x Τ (n ) (n ) E n ε nε E nε Όταν η θερμοκρασία είναι Τ x ισχύει ότι: N n Άρα, τότε: N E ε Οπότε: E ε ε ε 4,66 N J

a a a Τ Τ x Τ ε) Να υπολογιστεί η θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο του συστήματος όταν αυτό βρίσκεται στην θερμοκρασία Τ x. (n ) (n ) Η ενέργεια του συστήματός μας είναι: E n ε n ε E n ε U U ( ) U U ( ) E E N ε N ε Άρα η θερμοχωρητικότητα θα είναι: V V V U β Nε N, V β β N ε E β N, V N, V N, V

ε) Να υπολογιστεί η θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο του συστήματος όταν αυτό βρίσκεται στην θερμοκρασία Τ x. Θα υπολογίσουμε την μερική παράγωγο: N V V N, β ε du u m dm u u m d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,, N V N V N V N V N V N V ε β β β β β β N V, β ( ) du dm u m d ) ( const d du d u u const x const d ) (

ε) Να υπολογιστεί η θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο του συστήματος όταν αυτό βρίσκεται στην θερμοκρασία Τ x. Άρα: a a a Τ Τ x Τ (n ) (n ) V N ε β Nε V ( ) Όταν η θερμοκρασία είναι T x : V V N x ε ( x ) ε ε 6,56 J K x N, V Θα μπορούσαμε να εκφράσουμε πιό κομψά την V :

ε) Να υπολογιστεί η θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο του συστήματος όταν αυτό βρίσκεται στην θερμοκρασία Τ x. a (n ) (n ) a a Τ Τ x Τ V V N ( ) ( ) ( ( ) ε Nε Nε ) [( ) ] N V ( ) q ε N ε

Παρουσιάζεται η κατανομή της ενέργειας στα μόρια τριών διαφορετικών απομονωμένων μακροσκοπικών συστημάτων, για δύο θερμοκρασίες. Το κάθε σύστημα αποτελείται από σταθερό αριθμό όμοιων, διακριτών και ανεξάρτητων μορίων. Τα τρία συστήματα διαφέρουν μεταξύ τους τόσο ως προς την φύση των μορίων που τα απαρτίζουν όσο και ως προς το συνολικό πλήθος των μορίων. Ποια σχήματα είναι σωστά; Ποια σχέση συνδέει τις θερμοκρασίες Τ και Τ ; T T T T T T Ενέργεια μορίου Ενέργεια μορίου Ενέργεια μορίου

Παρουσιάζεται η κατανομή της ενέργειας στα μόρια τριών διαφορετικών απομονωμένων μακροσκοπικών συστημάτων, για δύο θερμοκρασίες. Το κάθε σύστημα αποτελείται από σταθερό αριθμό όμοιων, διακριτών και ανεξάρτητων μορίων. Τα τρία συστήματα διαφέρουν μεταξύ τους τόσο ως προς την φύση των μορίων που τα απαρτίζουν όσο και ως προς το συνολικό πλήθος των μορίων. Ποια σχήματα είναι σωστά; Ποια σχέση συνδέει τις θερμοκρασίες Τ και Τ ; T Αδύνατον, διότι T ( n i ) T < ( ni ) T για κάθε i Ενέργεια μορίου j ( ) ( ) N n j < n N < T j j T Άτοπον! ε i ( n i ) T ( ni ) T

Παρουσιάζεται η κατανομή της ενέργειας στα μόρια τριών διαφορετικών απομονωμένων μακροσκοπικών συστημάτων, για δύο θερμοκρασίες. Το κάθε σύστημα αποτελείται από σταθερό αριθμό όμοιων, διακριτών και ανεξάρτητων μορίων. Τα τρία συστήματα διαφέρουν μεταξύ τους τόσο ως προς την φύση των μορίων που τα απαρτίζουν όσο και ως προς το συνολικό πλήθος των μορίων. Ποια σχήματα είναι σωστά; Ποια σχέση συνδέει τις θερμοκρασίες Τ και Τ ; T T Δυνατόν, αν αφορά μόρια που μπορούν να βρεθούν σε εκφυλισμένες καταστάσεις. Ενέργεια μορίου ε ( n ) T ( n ) T

Μοριακό Άθροισμα Καταστάσεων (q) Παράδειγμα Η ενέργεια μιας ενεργειακής στάθμης περιστροφικής κίνησης ενός ασύμμετρου διατομικού μορίου (π.χ. Hl) δίνεται από τη σχέση: ( j ) με j,,, ε j hcbj όπου B η σταθερά περιστροφής του μορίου. Η πολλαπλότητα κάθε ενεργειακής στάθμης δίνεται από τη σχέση: j j Κατανομή μορίων σε στάθμες Κατανομή μορίων σε καταστάσεις Ενέργεια ε i Ενέργεια ε i Πληθυσμός n i Πληθυσμός n i

Παρουσιάζεται η κατανομή της ενέργειας στα μόρια τριών διαφορετικών απομονωμένων μακροσκοπικών συστημάτων, για δύο θερμοκρασίες. Το κάθε σύστημα αποτελείται από σταθερό αριθμό όμοιων, διακριτών και ανεξάρτητων μορίων. Τα τρία συστήματα διαφέρουν μεταξύ τους τόσο ως προς την φύση των μορίων που τα απαρτίζουν όσο και ως προς το συνολικό πλήθος των μορίων. Ποια σχήματα είναι σωστά; Ποια σχέση συνδέει τις θερμοκρασίες Τ και Τ ; T T Δυνατόν, αν αφορά μόρια που μπορούν να βρεθούν σε εκφυλισμένες καταστάσεις. Ενέργεια μορίου ( n ) < ( n ) T T T T > ε ( n ) T ( n ) T

Παρουσιάζεται η κατανομή της ενέργειας στα μόρια τριών διαφορετικών απομονωμένων μακροσκοπικών συστημάτων, για δύο θερμοκρασίες. Το κάθε σύστημα αποτελείται από σταθερό αριθμό όμοιων, διακριτών και ανεξάρτητων μορίων. Τα τρία συστήματα διαφέρουν μεταξύ τους τόσο ως προς την φύση των μορίων που τα απαρτίζουν όσο και ως προς το συνολικό πλήθος των μορίων. Ποια σχήματα είναι σωστά; Ποια σχέση συνδέει τις θερμοκρασίες Τ και Τ ; T T Δυνατόν Μη εκφυλισμένες καταστάσεις. Ενέργεια μορίου Ενέργεια ε i Πληθυσμός n i

Παρουσιάζεται η κατανομή της ενέργειας στα μόρια τριών διαφορετικών απομονωμένων μακροσκοπικών συστημάτων, για δύο θερμοκρασίες. Το κάθε σύστημα αποτελείται από σταθερό αριθμό όμοιων, διακριτών και ανεξάρτητων μορίων. Τα τρία συστήματα διαφέρουν μεταξύ τους τόσο ως προς την φύση των μορίων που τα απαρτίζουν όσο και ως προς το συνολικό πλήθος των μορίων. Ποια σχήματα είναι σωστά; Ποια σχέση συνδέει τις θερμοκρασίες Τ και Τ ; T T Δυνατόν, αφού πρόκειται για τυπικές κατανομές ενέργειας σε μόρια που μπορούν να βρεθούν σε μη εκφυλισμένες καταστάσεις. Ενέργεια μορίου ( n ) < ( n ) T T T T > ε ( n ) T ( n ) T