ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 367 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ευθείες και επίπεδα Οι πρωταρχικές έννοιες του χώρου είναι: το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. α Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων Οι δυνατές θέσεις δύο διαφορετικών επιπέδων είναι: Να είναι παράλληλα. p Να τέμνονται κατά µία ευθεία. Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο χώρο Να είναι παράλληλες, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. ε ζ
368 ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Να τέμνονται, δηλαδή να έχουν ένα µόνο κοινό σημείο. Να είναι ασύμβατες, δηλαδή να ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου ευθεία να περιέχεται στο επίπεδο. ευθεία να είναι παράλληλη στο επίπεδο. ε p ευθεία να τέμνει το επίπεδο σε ένα σημείο.
ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 369 Ευθεία κάθετη σε επίπεδο Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, όταν είναι κάθετη σε δύο ευθείες του, που διέρχονται από το ίχνος της. πόσταση σημείου από επίπεδο Το κάθετο ευθύγραµµο τµήµα, που φέρουμε προς το επίπεδο p από ένα σημείο που δεν α- νήκει στο επίπεδο, λέγεται απόσταση του σημείου από το επίπεδο p. πόσταση παραλλήλων επιπέδων πόσταση δύο παραλλήλων επιπέδων p και q ονομάζουμε την απόσταση ενός σημείου του ενός επιπέδου από το άλλο επίπεδο. p q
370 ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΕΡΩΤΣΕΙΣ ΚΤΝΟΣΣ 1 Μια ευθεία είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο, αν είναι παράλληλη σε µια ευθεία του επιπέδου. Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, αν είναι κάθετη σε µια ευθεία του επιπέδου. 3 Μια ευθεία ανήκει σε ένα επίπεδο, όταν δύο σηµεία της είναι και σηµεία του επιπέδου. 4 πόσταση δύο παραλλήλων επιπέδων ονοµάζουµε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που έχει τα άκρα του στα δύο επίπεδα. 5 Κάθε ευθεία κάθετη σε ένα επίπεδο, τέµνει το επίπεδο αυτό. 6 ύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο, είναι µεταξύ τους παράλληλες. 7 ν µια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο p, τότε είναι κάθετη σε κάθε άλλο επίπεδο που είναι παράλληλο στο p. 8 πό τρία διαφορετικά σηµεία που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία, διέρχονται: : ύο επίπεδα : Μόνο ένα επίπεδο : Άπειρα επίπεδα. Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. 9. Πόσα επίπεδα διέρχονται από µια ευθεία;. : Ένα : ύο : Τρία : Άπειρα. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ΣΩΣΤΟ -ΛΟΣ ΠΝΤΣ Στο 1 η ευθεία μπορεί να είναι παράλληλη σε µια ευθεία του επιπέδου και να ανήκει στο επίπεδο. Στο η ευθεία μπορεί να είναι κάθετη σε µια ευθεία του επιπέδου και να ανήκει στο επίπεδο. Στο 4 δεν φτάνει μόνο το γεγονός να έχει το ευθύγραµµο τµήµα τα άκρα του στα δύο επίπεδα αλλά και να είναι κάθετο σε αυτά.
ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 371 Σ Κ Σ Ε Ι Σ ΣΚΣ 1 Στο παρακάτω ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο να βρείτε ευθείες που είναι: α) κάθετες στην Ε β) παράλληλες στην γ) ασύµβατες µε την. Ε α),ε,, Ε α) είναι κάθετη με την Ε στο επίπεδο Ε, Ε στο Ε, η στο Ε,η Ε β) Ε,, στο Ε. β) Ε είναι παράλληλη στην στο Ε, η στο γ),ε και η στο. γ) Οι,Ε δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο με την ΣΚΣ Στο παρακάτω σχήµα να βρείτε επίπεδα τα οποία: α) Είναι παράλληλα µε το γραµµοσκιασµένο επίπεδο p. β) Τέµνουν το γραµµοσκιασµένο επίπεδο. Σε κάθε περίπτωση να βρείτε την κοινή τους ευθεία.
37 ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ α) α) Είναι η πίσω όψη του σπιτιού. β) Το Ε στην Ε και το Ε στην Ε β) Είναι η πλευρά του σπιτιού το κατά την, τέλος η αθέατη πλευρά που φαίνεται και αυτή που δεν φαίνεται αλλά και το δάπεδο του σπιτιού κατά την και η σκεπή. ΣΚΣ 3 Κ Το διπλανό σχήµα παριστάνει ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. α) Να σχεδιάσετε το επίπεδο που ορίζουν τα σηµεία,,. β) Να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από το σηµειο Κ και είναι παράλληλη στην κάτω έδρα του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Ε Κ Ε ΣΚΣ 4 Οι αποστάσεις των σηµείων, από το επίπεδο p είναι '=0, ' =14. ν ''=8, να υπολογίσετε το.
ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 373 = = ( ) + ( ) = 6 + 8 + = 100 = 10 Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο, όπου το σημείο που τέμνει η κάθετος από το την στο επίπεδο Ά. ΣΚΣ 5 Στο παρακάτω ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο να υπολογίσετε το. Ε = Ε Ε = 144 + 9 = 153 Ε = 153 = Ε Ε 1 cm + + Ε Ε = 4 = 169 = 169 = 13 cm = 1 + 3 + 153 4 cm 3 cm Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα Ε και Ε. Επίσης είναι Ε ==4 cm ΣΚΣ 6 Ο παρακάτω κύβος έχει ακµή 1 cm. α) Να εξηγήσετε γιατί η και η ΛΚ είναι κάθετες στην έδρα του κύβου. β) Να υπολογίσετε την απόσταση της κορυφής από το γραµµοσκιασµένο επίπεδο. Ε
374 ΜΕΡΟΣ 4.1 ΕΥΕΙ ΚΙ ΕΠΙΠΕ ΣΤΟ ΧΩΡΟ α) είναι κάθετη στην έδρα γιατί είναι κάθετη σε δύο ευθείες της έδρας αυτής που διέρχονται από το ίχνος της.συγκεκριμένα η είναι κάθετη στην και η είναι κάθετη στην. Ομοίως και η ΛΚ είναι κάθετη στην έδρα γιατί είναι κάθετη σε δύο ευθείες της έδρας αυτής που διέρχονται από το ίχνος της, δηλαδή η ΛΚ είναι κάθετη στην και η ΛΚ είναι κάθετη στην. β) = + = 1 + 1 = 88 Κ Κ Κ = Κ = 144 4 = 7 Κ = Κ Κ = 1 = 144 7 7 8,49 cm Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα και Κ ΣΚΣ 7 κεραία Κ του σχήµατος, ύψους 1m, είναι τοποθετηµένη κάθετα στο επίπεδο του εδάφους. Συγκρατείται µε τρία συρµατόσχοινα που στερεώνονται στην κορυφή της και στα σηµεία,, που απέχουν 5m από το Κ. α) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου από το επίπεδο p. β) Να υπολογίσετε το συνολικό µήκος των συρµατόσχοινων που συγκρατούν την κεραία. α) Κ=1 m β) = Κ + Κ = 1 + 5 = 144 + 5 = 169 = 169 = 13 m α)ιατί απόσταση από ένα επίπεδο είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα προς το επίπεδο αυτό. β) Το συνολικό µήκος των συρµατόσχοινων που συγκρατούν την κεραία είναι 3.=3.13=39 m