Δύο οµογενείς σφαίρες Α και Β, της ίδιας ακτίνας R µε αντίστοιχες µάζες m και m είναι ακίνητες επί οριζοντίου εδάφους και εφάπ τονται µεταξύ τους. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρη σης του χρόνου ενεργεί επί της σφαίρας Α οριζόντια δύναµη F, η οποία κατευθύνεται προς την Β ο δε φορέας της δίέρχεται από το κέντρο µάζας της Α. Η τριβή µεταξύ των δύο σφαιρών θεωρείται αµε λητέα, ενώ µεταξύ του εδάφους και κάθε σφαίρας υπάρχει τριβή µε συντελεστή οριακής τριβής n. i) Nα βρεθεί η συνθήκη, ωστε οι δύο σφαίρες να κυλίονται χωρίς ολίσ θηση επί του εδάφους. Τι θα συµβεί αν κάποια στιγµή πάψει να ενερ γεί η δύναµη F ; ii) Να µελετηθεί η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιρών στην πε ρίπτωση που δεν πληρούται η συνθήκη του προηγούµενου ερωτήµα τος. Tι θα συµβεί αν και στην περίπτωση αυτή πάψει να ενεργεί η δύ ναµη F ; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνει ας Ι=mR /5 σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης F που δέχεται η σφαίρα Α έχει τέτοια τιµή, ώστε και οι δύο σφαίρες να κυλίονται χωρίς ολίσθηση επί του οριζόντιου εδάφους. Στην σφαίρα Α εκτός από την δύναµη F ενεργεί ακόµη το βάρος της m g, η δύναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην κάθε τη προς το έδαφος συνιστώσα N (κάθετη αντίδραση) και στην τριβή T, που είναι στατική τριβή µε κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του κέντρου µάζας C της σφαίρας (σχήµα ) και η δύναµη επαφής f από την σφαίρα Β, της οποί ας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο της. Εξάλλου η σφαίρα Β δέχεται το βάρος της m g, την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος που αναλύεται στην στα τική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την δύναµη επαφής f από την σφαίρα Α, η οποία έχει τον ίδιο φορέα αντιθετη φορά και ίσο µέτρο µε την f (τρίτος νόµος του Νεύτωνα). Εφαρµόζοντας για τις µεταφορικές κινή σεις των δύο σφαιρών τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε τις σχέσεις:
F - T - f = m a f - T = m a όπου a η κοινή επιτάχυνση των κέντρων µάζας των σφαιρών. Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις () και λαµβάνοντας υπ όψη ότι f =f, παίρνουµε: F - T - T = a(m + m ) () () Σχήµα Eξάλλου η ροπή της T περί το κέντρο µάζας C της σφαίρας Α προσδίνει σ αυτήν γωνιακή επιτάχυνση ' η δε ροπή της T περί το κέντρο µάζας C της σφαίρας Β προκαλεί σ αυτήν περιστροφή µε γωνιακή επιτάχυνση ', σύµφω να δε µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε τις σχέσεις: T R = m R ' /5 T R = m R ' /5 $ T = m R' /5 T = m R' /5 $ T = m a/5 T = m a/5 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: F - m a 5 - m a = a(m 5 +m ) F= 7(m +m )a 5 5F a= 7(m +m ) H (4) εγγυάται ότι η επιτάχυνση a είναι σταθερή, δηλαδή οι µεταφορικές κινή σεις των δύο σφαιρών είναι οµαλά επιταχυνόµενες. Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: (4) και T = m $ & 5 % T = m $ & 5 % 5F 7(m +m ) = m F 7(m +m ) 5F 7(m +m ) = m F 7(m +m ) (5) (6) Επειδή οι τριβές είναι στατικές πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:
T nm g T nm g $ (5),(6) m F / 7(m +m ) nm g m F / 7(m +m ) nm g $ F 7n (m +m )g (7) H (7) αποτελεί την αναγκαία σύνθηκη για να κυλίωνται οι δύο σφαίρες χωρίς ολίσθηση. Εάν κάποια στιγµή t * πάψει να ενεργεί επί της σφαίρας Α η δύναµη, F, τότε από τις (5) και (6) προκύπτει Τ =Τ =0, από την (4) a=0, οπότε οι σχέσεις () δίνουν f =f =0 που σηµαίνει ότι για t>t * οι δύο σφαίρες συνεχίζουν να κυλίονται χωρίς ολίσθηση αλλά ισοταχώς (σχήµα ). Η ταχύτητα v * της µεταφο ρικής τους κίνησης θα έχει µέτρο: v * = at * = 5Ft * 7(m +m ) Σχήµα το δε µέτρο της γωνιακής τους ταχύτητας * θα είναι: * = v * R = 5Ft * 7R(m +m ) ii) Ας δέχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης F ικανοποιεί την σχέση: F > 7n (m +m )g (8) Τότε οι τριβές T, T είναι τριβές ολισθήσεως και οι σφαίρες κατά την έναρξη της κινήσεώς τους θα περιστρέφονται και ταυτόχρονα θα ολισθαίνουν επί του εδάφους. Η νέα κοινή επιτάχυνση a των µεταφορικών κίνησεων των δύο σφαι ρών θα ικανοποίει, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, τις σχέσεις: F - nm g - f = m a f - nm g = m a (+ ) F - ng(m + m ) = (m + m )a a = F - ng(m + m ) m + m = F m + m - ng (9)
H σχέση (9) είναι αποδεκτή, εφόσον οδήγει σε αντίθετες αλγεβρικές τιµές για τις δυνάµεις f και f. Για να διαπιστώσουµε αν αυτό είναι αληθές, µπορούµε να γράψουµε για τις αλγεβρικές τιµές f, f των δυνάµεων αυτών τις σχέσεις: F - nm g + f = m a f - nm g = m a f = m a - F + nm g f = m a + nm g (9) και f = f = Fm m + m - nm g - F + nm g = Fm m + m - nm g + nm g = -Fm m + m Fm m + m Από τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι f = -f. Εφαρµόζοντας εξάλλου για τις δύο σφαίρες τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε: T R = m R ' /5 T R = m R ' /5 $ nm g = m R' /5 nm g = m R' /5 $ ' = 5ng/R ' = 5ng/R $ όπου ', ' οι γωνιακές επιταχύνσεις των σφαιρών Α και Β αντιστοίχως. Εάν v µ είναι η κοινή µεταφορική ταχύτητα των σφαιρών µετά από χρόνο t αφό του ασκήθηκε η δύναµη F, θα έχουµε: (0) (9) v µ = at v µ = Ft m + m - ngt () Eξάλλου το µέτρο της αντίστοιχης γωνιακής ταχύτητας των σφαιρών είναι: (0) = ' t = 5ngt R 5ngt R = () Eάν δεχθούµε ότι υπάρχει χρονική στιγµή t * για την οποία ισχύει v µ =ωr, τότε από τις () και () προκύπτει: Ft * - ngt m + m * = 5ngt * F m + m = 7ng F = 7ng(m + m ) η οποία αντιφάσκει µε την παραδοχή που εκφράζει η (8). Αυτό σηµαίνει ότι δύο σφαίρες συνεχώς θα εκτελούν οµαλά επιταχυνόµενη κύλιση µε ολίσθηση. Ας δεχθούµε τώρα ότι κάποια στιγµή t 0 η δύναµη F παύει να ενεργεί. Τότε συµ φωνα µε την (9) το µέτρο της a είναι a=-ng, oπότε θα έχουµε: 0 - f - nm g = -nm g f - nm g = -m ng f =f =0
δηλαδή οι σφαίρες την στιγµή αυτή χάνουν την επαφή τους, που σηµαίνει ότι ανεξαρτητοποιούνται και καθε µιά έχει δεξιόστροφη περιστροφή µε γωνιακή τα χύτητα µέτρου: (0) 0 = ' t 0 0 = 5ngt 0 R R= 5ngt 0 0 (3) αλλά και µεταφορική ταχύτητα µέτρου: (9) v 0 = at 0 v 0 = Ft 0 m + m - ngt 0 (4) Παρατηρούµε ότι: v 0 0 R = Ft 0-5ngt 0 m + m 5ngt 0 / = F 5(m + m )ng - 5 v 0 0 R = 5 (8) F $ (m + m )ng - % ' & v 0 0 R > 7 $ 5 - % ' & v 0 0 R > v 0 > 0 R δηλαδή την στιγµή που αποσύρεται η δύναµη F οι δύο σφαίρες παύουν να αλ ληλοεπιδρούν και τα σηµεία επαφής τους µε το έδαφος έχουν ταχύτητες οµόρ ροπες µε τις ταχύτητες των κέντρων τους το δε µέτρο τους είναι v 0 -ω 0 R. Η περαιτέρω µελέτη της κίνησης των σφαιρών αναγεται στην εξέταση του εξής προβλήµατος: Mια οµογενής σφαίρα ακτίνας R και µάζας m, εκτοξεύεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο κατά τέτοιο τρόπο ώστε, τη στιγµή που έρχεται σ επαφή µε αυτό η σφαίρα να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της µε γωνιακή ταχύτητα 0 και επί πλέον να έχει µεταφορική ταχύτητα v 0 παράλληλη προς το έδαφος και κά θετη στην 0. H φορά της v 0 και η φορά περιστροφής της σφαίρας είναι τέτοιες, ώστε το σηµείο επαφής της σφαίρας µε το έδαφος να έχει λόγω των δύο κινήσεών της αντίρροπες ταχύτητες. Eάν ισχύει v 0 >Rω 0 να µελετηθεί η κίνηση της σφαίρας. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n µεταξύ σφαίρας και οριζοντίου εδάφους, η επιτά χυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι C =mr /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C. ΛYΣH: Κατά την στιγµή που η σφαίρα συναντά το οριζόντιο έδαφος το σηµείο επαφής της A µε αυτό έχει, λόγω µεταφορικής κίνησης της σφαίρας ταχύτητα v = v 0 και λόγω περιστροφικής κίνησης ταχύτητα v αντίρροπη της v, µε µέτρο v =ω 0 R<v 0, Άρα η σχετική ταχύτητα του Α ως προς το έδαφος θα έχει την φορά της v 0 (σχήµα 3) µε αποτέλεσµα η τριβή T που δέχεται από αυτό να είναι
τριβή ολίσθησης, αντίρροπη της v 0 (σχήµα 4). Έτσι υπό την επίδραση της τριβής η µεταφορική κίνηση της σφαίρας γίνεται επιβραδυνόµενη, η δε επιβράδυνση a C του κέντρου µάζας της, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτω να, θα έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: T = ma C nn = ma C nmg = ma C a C = ng () Σχήµα 3 Σχήµα 4 όπου N η κάθετη αντίδραση από το οριζόντιο έδαφος. Aπό την () προκύπτει ότι η επιβράδυνση a C είναι σταθερή, δηλαδή η µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας της, ύστερα από χρόνο t αφότου ήλθε σ επαφή µε το έδαφος, θα δίνεται από την σχέση: () v C = v 0 - a C t v C = v 0 - ngt () Eξάλλου, υπό την επίδραση της ροπής της T περί το κέντρο µάζας της σφαίρας, η περιστροφική κίνησή της περί αυτό είναι επιταχυνόµενη µε γωνιακή επιτά χυνση ', της οποίας το µέτρο, σύµφωνα µε το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης δίνεται από την σχέση: TR = I C ω nmgr = mr ω /5 ω = 5ng/R (3) δηλαδή η ' είναι σταθερή, που σηµαίνει η περιστροφική κίνηση της σφαίρας είναι οµαλά επιταχυνόµενη. Έτσι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστ ροφής της κατά την χρονική στιγµή t θα είναι: (3) ω = ω 0 + ω t ω = ω 0 + 5ngt/R (4) Eπειδή το µέτρο της v C µειώνεται χρονικά, ενώ το µέτρο της αυξάνεται, υπάρχει χρονική στιγµή t 0 κατα την οποία ισχύει v C =ωr, δηλαδή την στιγµή αυτή µηδενίζεται η σχετική ταχύτητα του σηµείου επαφής Α ως προς το έδα φος, δηλαδή µηδενίζεται η τριβή και η σφαίρα θα κυλίεται χωρίς ολίσθηση µε σταθερή µεταφορική ταχύτητα v * και σταθερή γωνιακή ταχύτητα *, των οποίων τα µέτρα ικανοποιούν την σχέση: v * =ω * R v 0 ngt 0 =(ω 0 +5ngt 0 /R)R
v 0 ngt 0 =ω 0 R+5ngt 0 / v 0 ω 0 R=7ngt 0 / t 0 =(v 0 ω 0 R)/7ng Μεταφέροντας την παραπάνω ανάλυση στο αρχικό πρόβληµα των δύο σφαιρών συµπεραίνουµε ότι για t>t 0 οι σφαίρες Α και Β θα κυλίωνται ισοταχώς χωρίς ολίσθηση. P.M. fysikos Oµογενής σφαίρα Α, µαζας m και ακτίνας R, στρέφεται δεξιόστροφα µε γωνιακή ταχύτητα 0 περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και κάποια στιγµή έρχεται σε επαφή µε οριζόντιο έδαφος και µε σφαίρα Β, µάζας m/ και ακτίνας R, η οποία ακινητεί στο έδαφος. Η τριβή µεταξύ των δύο σφαιρών θεωρείται αµελητέα, ενώ µεταξύ του εδάφους και κάθε σφαίρας υπάρχει τριβή µε συντελεστή οριακής τριβής n. Να µελετηθεί η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιρών. ΛΥΣΗ: Tην χρονική στιγµή t=0 που η σφαίρα A έρχεται σε επαφή µε το οριζόντιο έδαφος δέχεται από αυτό δυναµη, που αναλύεται στην κάθετη προς το έδαφος συνιστώσα N (κάθετη αντίδραση) και στην τριβή T, που είναι τριβή ολίσθησης µε κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του σηµείου επαφής της σφαίρας µε το έδαφος (σχήµα 5). Ακόµη η σφαίρα δέχεται το βάρος της m g και την δύναµη επαφής f από την σφαίρα Β της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο µάζας της C. Εξάλλου η σφαίρα Β δέχεται το βάρος της m g /, την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος που αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την δύναµη επαφής f από την σφαίρα Α, η οποία έχει τον ίδιο φορέα αντιθετη φορά και ίσο µέτρο µε την f (τρίτος νόµος του Νεύτωνα). Διακρίνουµε τις εξής δύο περιπτώσεις: Περίπτωση η: H σφαίρα Β κυλίεται ολισθαίνουσα επί του εδάφους και εφαπτόµενη συνεχώς της σφαίρας Α. Σχήµα 5 Στην περίπτωση αυτή η τριβή T επί της σφαίρας Β είναι τριβή ολίσθησης η
οποία αντιστέκεται στην µεταφορική της κίνηση, ενώ δηµιουργεί περιστροφή της σφαίρας περί το κέντρο µάζας της C. Eξάλλου η σφαίρα Α σε πρώτο στάδιο εκτελεί σύνθετη κίνηση, αποτελούµενη από µια ευθύγραµµη µεταφορική κίνη ση και µια περιστροφική κίνηση περι το κέντρο µάζας της C. Εφαρµόζοντας για τις µεταφορικές κινήσεις των δύο σφαιρών τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε τις σχέσεις: T - f = ma f - T = ma/ nmg - f = ma f - nmg/ = ma/ όπου a η κοινή επιτάχυνση των κέντρων µάζας των σφαιρών. Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις () και λαµβάνοντας υπ όψη ότι f =f, παίρνουµε: nmg = 3ma a = ng 3 H () εγγυάται ότι η επιτάχυνση a είναι σταθερή, δηλαδή οι δύο µεταφορικές κινήσεις είναι οµαλά επιταχυνόµενες. Αυτό σηµαίνει ότι η µεταφορική ταχύτη τα v των δύο σφαιρών την χρονική στιγµή t δίνεται από την σχέση: () v = at v = ngt/3 (3) Eξάλλου η ροπή της T περί το κέντρο µάζας C της σφαίρας Α επιβραδύνει την περιστροφή της, δηλαδή προσδίνει σ αυτήν γωνιακή επιβράδυνση ' της οποί ας το µέτρο σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ικανοποι εί την σχέση: T R = I C ' nmgr = mr ' /5 ' = 5ng/R (4) δηλαδή η ' είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι η περιστροφική κίνηση της σφαί ρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας την χρονική στιγµή t, θα είναι: (4) = 0 - ' t = 0-5ngt/R (5) Ακόµη η ροπή της T περί το κέντρο µάζας C της σφαίρας Β προκαλεί σ αυτήν περιστροφή µε γωνιακή επιτάχυνση ', της οποίας το µέτρο σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ικανοποιεί την σχέση: T R = I C ' n(m/)gr = (m/)r ' /5 ' = 5ng/R (6) Aς αναζητήσουµε την χρονική στιγµή t * για την οποία ισχύει v=ω R. Την στιγ µή αυτή επίκειται η καθάρη κύλιση της σφαίρας Α στο οριζόντιο έδαφος και θα ισχύει η σχέση: () () ngt * 3 = R - 5ngt * 0 ngt * = 6 0 R - 5ngt * t * = 6 0 R 7ng (7)
Η κοινή µεταφορική ταχύτητα των δύο σφαιρών την στιγµή t * έχει µέτρο: (),(7) v * = at * v * = ng 3 6 0 R 7ng = 0R 7 (8) τα δε αντίστοιχα µέτρα των γωνιακών ταχυτήτων περιστροφής των σφαιρών Α και Β είναι: και * (8) = v * / R * (6),(7) = ' t * * = 0 /7 (9) * = 5ng R 6 0 R% $ ' = 5 0 7ng& 7 (0) Aς δέχθούµε ότι για t>t * η σφαίρα Α κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόν τιο έδαφος. Τότε µπορούµε να ισχυριστούµε τα εξής: α. Η κύλιση της Α αποκλείεται να είναι ισοταχής, διότι τότε η τριβή T θα είναι µηδενική, οπότε πρέπει να είναι µηδενικές και οι δυνάµεις επαφής f, f µε αποτέλεσµα η σφαίρα Α να χάσει την επαφή της µε την Β, που σηµαίνει ότι η Β ή έχει την σταθερή µεταφορική ταχύτητα της σφαίρας Α εφαπτόµενη οριακά αυτής ή επιταχύνεται αποµακρυνόµενη αυτής. Όµως και τα δύο αυτά ενδεχόµενα είναι αδύνατα, λόγω της ύπαρξης της τριβής ολίσθησης T, η οποία επιβραδύνει την Β. β. Η κύλιση ης Α αποκλείεται να είναι επιταχυνόµενη, διότι τότε η τριβή T θα προκαλούσε µαζί µε την f επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης της σφαίρας Α και επιβράδυνση της περιστροφής της περί το κέντρο µάζας της, πραγµα που έρχεται σε αντίθεση µε την συνθήκη κύλισης v=ωr. γ. Αποµένει να εξετάσουµε εάν είναι επιτρεπτή η επιβραδυνόµενη κύλιση της σφαίρας Α. Για να συµβαίνει αυτό πρέπει η τριβή T να είναι στατική και να διατηρεί την φορά που φαίνεται στο σχήµα (5), ώστε η ροπή της περι το κέντρο µάζας C να µειώνει την γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας και µαζί µε την f να προκαλείται µείωση της µεταφορικής της ταχύτητας (Τ <f ), ώστε κάθε στιγµή να ισχύει v=ωr. Στην περίπτωση αυτή αν a ' είναι η κοινή επιβράδυνση της µεταφορικής κίνησης των δύο σφαίρων, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα θα έχουµε τις σχέσεις: T - f = -ma' f - T = -ma'/ T - f = -ma' f - nmg/ = -ma'/ (+ ) T - nmg = - 3ma' () Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική κίνηση της σφαίρας Α τον θεµελι ώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε: T R = I C ' T R = mr ' /5 T = mr' /5 = ma'/5 ()
όπου ' η γωνιακή επιβράδυνση της σφαίρας. Απαλοίφoντας το Τ µεταξύ των () και () έχουµε: ma' 5 - nmg = - 3ma' a'= 5ng 9 (3) δηλαδή αν πράγµατι υπάρχει επιβραδυνόµενη κύλιση χωρίς ολίσθηση, αυτή θα είναι οµαλά επιβραδυνόµενη. Όµως για να είναι αποδεκτα όλα τα παραπάνω απαιτείται να διαπιστωθεί αν η τριβή T είναι στατική και αν οι αλγεβρικές τιµές f, f των δυναµεων f, f αντιστοίχως επαληθεύουν την σχέση f =- f. H () µε βάση την (3) δίνει: T = m 5 5ng 9 = mng 9 < mng (4) δηλαδή η T είναι στατική τριβή. Αν λάβουµε ως θετική φορά την φορά της µε ταφορικής κίνησης των δύο σφαιρών, τότε για την αλγεβρική τιµή f θα έχου µε: (3),(4) T + f = -ma' nmg 9 + f = -m 5ng 9 Εξάλλου η αλγεβρική τιµή f ακολουθεί την σχέση: f = - 7mng 9 < 0 (5) (3) f - T = -ma'/ f = nmg - m 5ng 9 = 7nmg > 0 (6) Aπό τις (3) και (4) προκύπτει ότι f =- f. Άρα φαίνεται ότι για t>t * το σύστη µα µπορεί να κινείται µε την σφαίρα Α να εκτελεί οµαλα επιβραδυνόµενη κύλι ση χωρίς ολίσθηση, εφαπτόµενη συνεχώς της σφαίρας Β για την οποία εξαρχής δεχθήκαµε ότι κυλίεται µε ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Ο χρό νος t ολ που µεσολαβεί απο την στιγµή που αρχίζει η οµαλά επιβραδυνόµενη κύ λιση της σφαίρας Α µεχρις ότου αυτή σταµατήσει, υπολογίζεται από την σχέση: (8),(3) 0 = v * - a't t = v * /a' t = 0R 7 9 5ng = 38 0R 85ng (7) Το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας Α την χρονική στιγµή t * +t ολ είναι: ($ ) = * - ' t %$ = * - a't %$ / R η οποία µε βάση τις (9), (3) και (7) γράφεται: ($ ) = R 0 7-5ng 9 38 0 R 85ngR = 0 R 7-0 R 7 = 0
δηλαδή την στιγµή που µηδενίζεται η µεταφορική ταχύτητα της σφαίρας Α µη δενίζεται και η γωνιακή της ταχύτητα. Η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας Β έχει µέτρο: ($ ) = * + ' t %$ η οποία µε βάση τις (9), (3) και (7) γράφεται: ($ ) = 5 0 7 + 5ng R % 38 0 R( ' * = 5 0 & 85ng ) 7 +95 0 85 = 0 (8) δηλαδή την χρονική στιγµή t * +t ολ η κινητική ενέργεια του συστήµατος θα εί ναι: K = I C ( 0 ) = I C (4 0) = 4K $ (9) H σχέση (9) αποτελεί ενεργειακό άτοπο, διότι πρέπει να ισχύει Κ<Κ αρχ. Αυτό σηµαίνει ότι η περίπτωση που εξετάσαµε είναι ανέφικτη. Περίπτωση η: H σφαίρα Β κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του εδάφους εφαπτόµενη συνεχώς της σφαίρας Α. Στην περίπτωση αυτή η τριβή T επί της σφαίρας Β είναι στατική τριβή η οποία αντιστέκεται στην µεταφορική της κίνηση, ενώ δηµιουργεί περιστροφή αυτής περί το κέντρο µάζας της C. Eξάλλου η σφαίρα Α σε πρώτο στάδιο εκτελεί σύνθετη κίνηση, αποτελούµενη από µια ευθύγραµµη µεταφορική κίνηση και µια περιστροφική κίνηση περι το κέντρο µάζας της C. Εφαρµόζοντας για τις µεταφορικές κινήσεις των δύο σφαιρών τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτω να, παίρνουµε τις σχέσεις: T - f = ma f - T = ma/ nmg - f = ma f - T = ma/ (0) Σχήµα 6 όπου a η κοινή επιτάχυνση των κέντρων µάζας των σφαιρών. Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (0) και λαµβάνοντας υπ όψη ότι f =f, παίρνουµε: nmg - T = 3ma/ () Εφαρµόζοντας εξάλλου για τις περιστροφικές κινήσεις των δύο σφαιρών τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις:
T R = mr ' /5 T R = (m/)r ' /5 $ nmg = mr' /5 T = mr' /5 $ R' = 5ng/ T = ma/5 $ όπου ' η γωνιακή επιβράδυνση της σφαίρας Α και ' η γωνιακή επιτάχυν ση της σφαίρας Β, για την οποία ισχύει a=ω R λόγω της κυλίσεώς της. Συνδυ άζοντας την () µε την δεύτερη εκ των () παίρνουµε: nmg - ma/5 = 3ma/ ng = 3a/ + a/5 a = 0ng/7 (3) Για να είναι όλα τα παραπάνω αποδεκτά πρέπει: α. Η τριβή T να είναι στατική και β. Οι αλγεβρικές τιµές των δυνάµεων f και f να είναι αντίθετες. Για να εξακριβώσουµε αν ισχύουν οι δύο αυτές παράµετροι, παρατηρούµε ότι: (3) T = ma/5 T = m 0ng$ & = n m 5 7 % g 4 $ & < n m 7% g δηλαδή η T είναι στατική τριβή. Ακόµη για τις αλγεβρικές τιµές f, f των δυνάµεων f και f έχουµε τις σχέσεις: () T + f = ma f - T = ma/ nmg + f = 0mng/7 f - nmg/7 = 5mng/7 f = -7mng/7 f = 7mng/7 f = -f δηλαδή οι δυνάµεις f και f είναι αντίθετες. Είναι και πάλι εύκολο να διαπι στώσουµε ότι την χρονική στιγµή t * =6ω 0 R/7ng επίκειται η κύλιση χωρίς ολίσ θηση της σφαιρας Α και έστω ότι για t>t *, η Α συνεχίζει να κυλίεται. Ας εξετά σουµε αν η κύλιση αυτή µπορεί να είναι επιταχυνόµενη. Τότε αν a ' είναι η κοινή επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης των δύο σφαιρών, θα πρέπει να ισχύει: T - T = 3m a' ma' 5 - ma' 5 = 3ma' η οποία όµως δεν αληθεύει, γεγονός που αποκλείει την επιταχύνόµενη κύλιση της Α. Ας δέχθούµε ότι η κύλιση της Α είναι επιβραδυνόµενη, οπότε για την κοινή τους επιβράδυνση a ' θα έχουµε: T - T = - 3m a' ma' 5 - ma' 5 = - 3ma' η οποία όµως δεν αληθεύει, γεγονός που αποκλείει και την επιταβραδυνόµενη κύλιση της Α. Άρα η Α για t>t * κυλίεται ισοταχώς, που σηµαίνει Τ =0, f =f =0 δηλαδή οι δύο σφαίρες ανεξαρτητοποιούνται κυλιόµενες ισοταχώς επί του οριζο
ντίου εδάφους. Η κοινή ταχύτητα v * της µεταφορικής τους κίνησης έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: (3),(7) v * = at * v * = 0ng 7 6 0 R% $ ' 7ng& = 60 0 R (7) (4) η δε κοινή τους γωνιακή ταχύτητα * έχει µέτρο για το οποίο ισχύει: * = v * R (4) * = 60 0 (7) (5) Mε βάση τις παραπάνω τιµές µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι η τελική κινητι κή ενέργεια του συστήµατος των δύο σφαιρών υπολέιπεται της αρχικής τους κινητικής ενέργειας, γεγονός που δικαιλογείται από το αρνητικό έργο της τρι βής T στο χρονικό διάστηµα από 0 έως t *. P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο ισορροπεί στην κορυφή µιας λείας κυρτής επι φάνειας, της οποίας η τοµή µε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το σφαιρίδιο έχει την µορφή κυκλοειδούς καµπύλης (βλέπε σχή µα), µε παραµετρικές εξισώσεις της µορφής: x = ( - µ) ' ( y = ( - $%&) ) 0 (Ι) και α θετική σταθερή ποσότητα. Δίνουµε στο σφαιρίδιο µια οριζόντια ελαφρά ώθηση, αναγκάζοντάς το να αρχίσει κινούµενο επί της κυκ λοειδούς. i) Να δείξετε ότι η ακτίνα καµπυλότητας ρ της κυκλοειδούς καµπύ λης σ ένα σηµείο της, δίνεται από την σχέση: = 4µ ($/) όπου θ η τιµή της παραµέτρου που αντιστοιχεί στο σηµείο αυτό. ii) Nα δείξετε ότι το σφαιρίδιο κινούµενο επί της κυρτής επιφάνειας θα την εγκαταλείψει σε κάποιο σηµείο της και να προσδιορίσετε την θέση του σηµείου αυτού. ΛΥΣΗ: i) Η ακτίνα καµπυλότητας ρ της κυκλοειδούς τροχιάς που ακολουθεί το σφαιρίδιο, υπολογίζεται σε κάθε σηµείο της µέσω της σχέσεως:
[ = + ] 3 / (dy/dx) () d y/dx όπου dy/dx, d y/dx η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος αντιστοίχως της συνάρ τησης y=y(x) που περιγράφει την κυκλοειδή καµπύλη σε σύστηµα καρτεσια νών συντεταγµένων. Διαφορίζοντας τις παραµετρικές εξισώσεις (Ι) παίρνουµε τις σχέσεις: dx = ( - $%)d% ' ( dy = &µ%d% ) (:) dy dx = µ - $% dy dx = µ ( /)$%( /) µ ( /) = $%( /) µ ( /) () Διαφορίζοντας την σχέση () παίρνουµε: d dy $,'()(* /)/ & = d dx. % - +µ(* /) = 0 -+µ(* /)+µ (* /) - '()(* /)'()(* /) d(* /) +µ (* /) d dy $ & = dx% -d(' /) (µ (' /) d dx dy$ & = - dx% 'µ (( /) d( dx d y dx = - d µ ( /) dx = - µ ( /) ( - $%&) = - 4µ 4 ( /) (3) διότι ισχύει dθ/dx=/α(-συνθ). Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), () και (3) παίρ νουµε την αποδεικτέα σχέση: [ = + $ (% /)/ &µ (% /)] 3 / - / 4'&µ 4 (% /) = 4'&µ (%/) (4) ii) Εξετάζουµε στην συνέχεια το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση Μ της κυκλο ειδούς τροχιάς του, µε συντεταγµένες x και y. Το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής N από την κυρτή επιφάνεια, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σ αυτήν, δηλαδή έχει την διεύθυνση της ακτίνας ΜΚ της τροχιάς στο σηµείο Μ, µε το κέντρο καµπυλότητας Κ προς το κοίλο της µέρος (σχ. 7). Εάν w r είναι η συνιστώσα του βάρους w κατά την διεύθυνση της ακτίνας ΜΚ, τότε η συνισταµένη των N και w r αποτελεί για το σφαιρίδιο κεντροµόλο δύναµη, οπότε θα ισχύει η σχέση: w r - N = mv / w$ - N = mv /% N = m(g$ - v /%) (5) όπου η v ταχύτητα του σφαιριδίου, φ η γωνία της ΚΜ µε την κατακόρυφη
διεύθυνση και ρ η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο σηµείο Μ. Εάν v x, v y είναι οι προβολές της ταχύτητας v του σφαιριδίου στους άξονες x, y θα έχουµε: Σχήµα 7 v x = dx dt = dx d d dt = d ( d - µ ) d dt = ( - $%& ) (6) v y = dy dt = dy d d dt = d ( d - $% ) d dt = &µ (7) Για το µέτρο της v ισχύει η σχέση: v = v x + v y (6),(7) v = ( - $%) + µ v = ( + $ % - $% + &µ %) v = ( - $%) v = 4 µ ( / ) (8) Εξάλλου από το σχήµα προκύπτει η σχέση: $ = v x v (),(4) $ = % ( - & ) % 'µ(& / ) = %'µ (& / ) = 'µ (& / ) (9) % 'µ(& / ) Aς δεχθούµε ότι το σφαιρίδιο σε κάποια θέση Μ * εγκαταλείπει την τροχιά του. Τότε στην θέση αυτή θα ισχύει N=0 και η (5) δίνει: (8),(9) g$ - v /% = 0 $ = v /%g µ ( / ) = 4 µ ( / ) 4gµ ( / ) = g (0) Ακόµη εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως Μ 0 και της θέσεως Μ *, παίρνουµε την σχέση: 0 + mg(m 0 A) = mv / + mgy g = v / + g( - $%) (8)
4g = 4 µ ( / ) (0) + 4gµ ( / ) 4g = 4 µ ( / )(g /) + 4gµ ( / ) = µ ( / ) µ ( / ) = ± / () Επειδή στην θέση Μ * πρέπει να ισχύει π/<θ/<π, η () δίνει θ/=π-π/4, δηλα δή θ=3π/. P.M. fysikos