ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Μέρος Α. (3.6 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στο διάστημα: 3. (γ). Να υπολογιστεί το γενικευμένο ολοκλήρωμα ln(/ )d. 3 (δ). Θεωρούμε την αυτόνομη διαφορική εξίσωση: = +. Να βρεθούν οι σταθερές τιμές της και να χαρακτηριστούν ως προς την ευστάθεια.. (3.6 μονάδες) (α). Οι εξισώσεις: { = s, + = t} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {s,t}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς t χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. (β). Μια συνάρτηση f(,) είναι φθίνουσα και αύξουσα. Να σκιαγραφηθεί μια ισοσταθμική της στη θετική περιοχή. Να γίνει το ίδιο αν είναι επιπλέον γνωστό ότι ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης. (γ). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(,) = (+ ) / είναι ομογενής μηδενικού βαθμού, και να διατυπωθεί (μόνο) η αντίστοιχη εξίσωση Euler. (δ). Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά στη θετική περιοχή:,, η λύση (, ) των προβλημάτων βελτιστοποίησης: / ma{f(, ) = g(, ) = + 4}, ma{h(, ) = g(, ) = + 4} Μέρος Β 3.(.4 μονάδες) (α). Η ποσότητα ζήτησης Q ενός αγαθού εξαρτάται από την μοναδιαία τιμή του P και από το εισόδημα Y, σύμφωνα με την σχέση: Q= P+ Y+. Αν αρχικά έχουμε {P=,Y = }, και στη συνέχεια το εισόδημα αυξηθεί κατά %, να βρεθεί σε τι ποσοστό πρέπει να αυξηθεί η τιμή ώστε να μην αλλάξει η ζήτηση. (β). Η συνολική δαπάνη για την αγορά ενός αγαθού είναι E= QP, όπου Q είναι η ποσότητα και P η μοναδιαία τιμή. Αν η ποσότητα αυξηθεί κατά 6% και η τιμή αυξηθεί επίσης κατά 6% να εκτιμηθεί η αύξηση στη συνολική δαπάνη. Η πραγματική αύξηση θα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την παραπάνω εκτίμηση; 4.(.4 μονάδες) Μία επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα σε ποσότητες {,}, με κόστος C= + + +, και έχει έσοδο R= v+ w, όπου {v >, w > } είναι οι μοναδιαίες τιμές τους. (α) Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση κέρδους Π(, ) = R(, ) C(, ) είναι κοίλη, και να βρεθούν οι ποσότητες παραγωγής (, ) που τη μεγιστοποιούν, ως συναρτήσεις των παραμέτρων {v,w}. Υπό ποίες συνθήκες θα παράγονται αμφότερα τα προϊόντα σ αυτή την περίπτωση; (β) Για δοσμένο κόστος C(, ) = c, να βρεθούν οι ποσότητες παραγωγής (, ) που μεγιστοποιούν το έσοδο R(,), ως συναρτήσεις των παραμέτρων {v,w,c}. Υπό ποίες συνθήκες θα παράγονται αμφότερα τα προϊόντα σ αυτή την περίπτωση; (γ) Πώς σχετίζονται τα κέρδη Π και Π που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9. Λύσεις. (4 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στο διάστημα: 3. (γ). Να υπολογιστεί το γενικευμένο ολοκλήρωμα ln(/ )d. 3 (δ). Θεωρούμε την αυτόνομη διαφορική εξίσωση: = +. Να βρεθούν οι σταθερές τιμές της και να χαρακτηριστούν ως προς την ευστάθεια. (α). Η ln(+ ) προκύπτει με οριζόντια μετατόπιση της ln προς τα αριστερά κατά μονάδες, όπως στο πρώτο γράφημα. Το σημείο ισοελαστικότητας είναι εκεί όπου οι κλίσεις της εφαπτομένης και της ακτίνας συμπίπτουν σε απόλυτη τιμή, όπως στο δεύτερο γράφημα: ln(+ ) ln (β). Η συνάρτηση είναι κυρτή διότι η δεύτερη παράγωγος είναι παντού θετική: f() = ln f () = / f () = / > Το μέγιστο κυρτής συνάρτησης βρίσκεται πάντοτε στα σύνορα του διαστήματος: ma{f() =, f(3) = 3 ln 3} = 3 ln3 Πράγματι, έχουμε: f() > f(3) > 3 ln3 ln3> = ln e 3> e=.7, αληθεύει γ). ln(/ ) = ln. Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά μέρη βρίσκουμε: f =,g = ln f =,g = / ln d= ln d = ln ln = ln = ln= διότι ο κανόνας L Hopital μας δίνει: ln / ln = = όταν / / (δ). Σταθερές τιμές: 3 f() = + = (+ ) = =, με Η σταθερή τιμή είναι ασταθής. = + = > f () 3 =
. (4 μονάδες) (α). Οι εξισώσεις: { = s, + = t} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {s,t}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς t χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. (β). Μια συνάρτηση f(,) είναι φθίνουσα και αύξουσα. Να σκιαγραφηθεί μια ισοσταθμική της στη θετική περιοχή. Να γίνει το ίδιο αν είναι επιπλέον γνωστό ότι ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης. (γ). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(, ) = (+ ) / είναι ομογενής μηδενικού βαθμού, και να διατυπωθεί (μόνο) η αντίστοιχη εξίσωση Euler. (δ). Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά, στη θετική περιοχή:,, η λύση (, ) των προβλημάτων βελτιστοποίησης: / ma{f(, ) = g(, ) = + 4}, ma{h(, ) = g(, ) = + 4}. (α). ft f f(,,s, t) = s= gt g = = = = g(,,s,t) = + t= t f f 4 4 g g (β). f, f d f < > d = f > : οι ισοσταθμικές έχουν θετική κλίση Αν επιπλέον έχει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης τότε το μέτρο του ρυθμού υποκατάστασης: d / d, δηλαδή το μέτρο της κλίσης της ισοσταθμικής, θα αυξάνει με το, όπως στο δεύτερο γράφημα παρακάτω. + (γ). f = = + : είναι ομογενής μηδενικού βαθμού διότι είναι συνάρτηση μόνο του λόγου των συντεταγμένων. Η αντίστοιχη εξίσωση Euler είναι: f + f = (δ). Οι αντικειμενικές συναρτήσεις είναι αύξουσες, και επομένως η λύση θα βρίσκεται στον ισοτικό περιορισμό. Δίνεται από τις εξισώσεις Lagrange, ή ισοδύναμα από τις εξισώσεις περιορισμένης στασιμότητας. Για την f βρίσκουμε: fg fg = = = 8 4 =, = g= c + = 4 + = 4 3 3 Η h είναι αύξων μετασχηματισμός της f και εφόσον η περιοχή βελτιστοποίησης είναι ίδια θα έχει την ίδια λύση. f
Μέρος Β 3.( μονάδες) (α). Η ποσότητα ζήτησης Q ενός αγαθού εξαρτάται από την μοναδιαία τιμή του P και από το εισόδημα Y, σύμφωνα με την σχέση: Q= P+ Y+. Αν αρχικά έχουμε {P=,Y = }, και στη συνέχεια το εισόδημα αυξηθεί κατά %, να βρεθεί σε τι ποσοστό πρέπει να αυξηθεί η τιμή ώστε να μην αλλάξει η ζήτηση. (β). Η συνολική δαπάνη για την αγορά ενός αγαθού είναι E= QP, όπου Q είναι η ποσότητα και P η μοναδιαία τιμή. Αν η ποσότητα αυξηθεί κατά 6% και η τιμή αυξηθεί επίσης κατά 6% να εκτιμηθεί η ποσοστιαία αύξηση στη συνολική δαπάνη. Η πραγματική αύξηση θα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την παραπάνω εκτίμηση; (α). Για σταθερό Q= q τα {P,Y} θα ικανοποιούν την εξίσωση: P+ Y+ = q P= Y+ q P = Η ελαστικότητα του P ως προς Y θα είναι: ε= P Y / P= / = Επομένως η απαιτούμενη μεταβολή της τιμής θα ικανοποιεί: %dp= ε(%dy) = = % Επειδή οι σχέσεις είναι γραμμικές τα διαφορικά συμπίπτουν με τις πραγματικές μεταβολές. Επομένως %ΔP= %. Απευθείας βρίσκουμε το ίδιο αποτέλεσμα και ως εξής. Λόγω γραμμικότητας οι μεταβολές ικανοποιούν τη σχέση: ΔQ= ΔP+ ΔY= ΔP= ΔY ΔP YΔY Y = %ΔP = (%ΔY) = = % P P Y P (β). Στο γινόμενο τα ποσοστιαία διαφορικά προστίθενται. Επομένως: %de = %dq + %dp= % είναι η εκτίμηση για την αύξηση της δαπάνης. Εξάλλου η E= QP ως συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ομογενής δευτέρου βαθμού και αν τα {Q,P} μεταβληθούν κατά το ίδιο ποσοστό (%6), το E θα μεταβληθεί οριακά κατά το διπλάσιο ποσοστό (%) Στην πραγματικότητα η αύξηση θα είναι λίγο μεγαλύτερη, διότι οι μεταβολές ικανοποιούν τη σχέση: ΔE = (Q+ ΔQ)(P+ ΔP) QP= PΔQ+ QΔP+ ΔQΔP ΔE PΔQ QΔP ΔQΔP ΔQ ΔP ΔQ ΔP = + + = + + E E E E Q P Q P %ΔQ%ΔP %ΔE = %ΔQ + %ΔP+ = 6+ 6 +.36=.36% 4.( μονάδες) Μία επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα σε ποσότητες {,}, με κόστος και έχει έσοδο R= v+ w, όπου {v>, w > } είναι οι μοναδιαίες τιμές τους. C= + + +, (α) Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση κέρδους Π(,) = R(,) C(,) είναι κοίλη, και να βρεθούν οι ποσότητες παραγωγής (, ) που τη μεγιστοποιούν, ως συναρτήσεις των παραμέτρων {v,w}. Υπό ποίες συνθήκες θα παράγονται αμφότερα τα προϊόντα σ αυτή την περίπτωση; (β) Για δοσμένο κόστος C(, ) = c, να βρεθούν οι ποσότητες παραγωγής (, ) που μεγιστοποιούν το έσοδο R(,), ως συναρτήσεις των παραμέτρων {v,w,c}. Υπό ποίες συνθήκες θα παράγονται αμφότερα τα προϊόντα σ αυτή την περίπτωση; (γ) Πώς σχετίζονται τα κέρδη Π και Π που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;
(α). Π= R C = (v+ w) (+ + + ) = + v+ w Είναι κοίλη γνήσια, διότι είναι τετραγωνική με συντελεστές των τετραγωνικών όρων: α= <,γ = <,β= / Δ= αγ β = / 4= 7 / 4> Εξάλλου έχει: Π = <,Π = 4<,Π = Δ= Π Π Π = 7> Το μέγιστο θα δίνεται από το ελεύθερο στάσιμο: v v Π = + v= + = v w 4 4v w w w v = =, = = Π = 4 + w = + 4= w 7 7 4 4 Αμφότερες οι ποσότητες θα είναι γνήσια θετικές αν οι τιμές ικανοποιούν τις σχέσεις: 4v w > & w v > 4v > w > v / (β). Είναι η λύση του προβλήματος: ma{r = v+ w C= + + + = c} R = λc v = λ(+ ) + = v / λ R = λc w = λ(+ 4) + 4= w / λ C= c + + + = c + + + = c Το σύστημα είναι ίδιο με το προηγούμενο και έχει λύση: 4v w w v 4v w w v 4v w w v =,= + + + = c 7λ 7λ 7λ 7λ 7λ 7λ (4v w)(w v) + (4v w) + (w v) v + w vw + = c λ = > αν c> 49λ 7(c ) Δηλαδή, για να έχουμε λύση το κόστος πρέπει να καλύπτει τουλάχιστον το σταθερό που είναι. Το λ δίνεται από την θετική ρίζα. Οι συνθήκες για θετική παραγωγή αμφότερων των προιόντων είναι ίδια με προηγουμένως, και επιπλέον c> : (4v w) 7(c ) (w v) 7(c ) =, =. v + w vw v + w vw (γ). Από το (α) και από το (β)βρίσκουμε: Π (v, w) = v+ w (+ + + ), και Π (v, w,c) = v + w c Αν μεγιστοποιήσουμε το δεύτερο ως προς όλα τα c τότε θα προκύψει το πρώτο, διότι θα μεγιστοποιήσουμε το κέρδος χωρίς περιορισμό κόστους. Δηλαδή: Π (v,w) = ma{π (v,w,c)} c