Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών

5 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών 5.1 Οι συνιστώσες του Τελεστή της Τροχιακής Στροφορµής σε Σφαιρικές Συντεταγµένες Η τροχιακή στροφορµή για ένα σωµατίδιο δίνεται από τη σχέση : L = r p όπου p η ορµή του σωµατιδίου, p = i L = ( i r = ( i ˆx ŷ ẑ x y z x y z σε καρτεσιανές συντεταγµένες. Οι συνιστώσες της στροφορµής είναι : L x = yp z zp y = ( i [y z z y ] L y = zp x xp z = ( i [z x x z ] L z = xp y yp x = ( i [x y y x ] χρησιµοποιώντας τους µεταθέτες των r, p ϐρίσκουµε τους µεταθέτες των L x, L y, L z. [L x, L y ] = i L z [L y, L z ] = i L x [L z, L x ] = i L y Συνοπτικά παίρνοντας το διάνυσµα L της στροφορµής και τον αντισυµµετρικό τανυστή ε jkl έχουµε : [L j, L k ] = i ε jkl L l j, k, l = 1,, 3 και ε 13 = 1 Με µονάδα ισούνται όλες οι δεξιόστροφες µεταθέσεις των 1,,3. Με ( 1 ισούνται οι αριστερόστροφες µεταθέσεις. -1 1 ε 13 = ε 31 = ε 31 = 1 +1 ε 13 = ε 31 = ε 13 = 1 ε kkl = 0 k, l = 1,, 3 3

9 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών Ο τελεστής της Ολικής Στροφορµής ορίζεται µέσω του τετραγώνου του διανύσµατος της στροφορµής L = L x + L y + L z Εχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι µετατίθεται µε το L x, L y, L z και µε τη Χαµιλτονιανή εάν V (r = V (r, και εµφανίζεται στη Χαµιλτονιανή του ατόµου του Υδρογόνου. [L, L x ] = 0 [L, L y ] = 0 [L, L z ] = 0 [L, L x ] = [L y, L x ] + [L z, L x ] = L y [L y, L x ] + [L y, L x ]L y + [L z, L x ]L z + L z [L z, L x ] = i L y L z i L z L y + i L y L z + i L z L y = 0 [L k, H] = i (r F k εάν V (r = V (r F = F (rˆr r F = 0 και η στροφορµή διατηρείται, διότι ο µεταθέτης µε τη Χαµιλτονιανή µηδενίζεται. Ακόµη έχουµε : [L k, r j ] = i ε kjl r l (r 1 = x, r = y, r 3 = z και [L k, p j ] = i ɛ jkl p l Απόδειξη. Για τη στροφορµή µπορούµε να γράψουµε γενικά : [L x, y] = [yp z zp y, y] = [yp z, y] [zp y, y] = 0 z[p y, y] = z( i = i z L k = ɛ kjl r j p l Εάν V (r = V (r σφαιρική συµµετρία στο πρόβληµα Εκφράζουµε τη στροφορµή σε σφαιρικές συντεταγµένες. x = r cos φ y = r sin φ z = r cos θ ˆr = ˆx cos φ + ŷ sin φ + ẑ cos θ ˆθ = ˆx cos θ cos φ + ŷ cos θ sin φ ẑ ˆφ = ˆx sin φ + ŷ cos φ Παρατήρηση : τα ˆx, ŷ, ẑ είναι τα µοναδιαία διανύσµατα στους τρεις άξονες x, y, z. Επίσης ισχύουν ˆr ˆθ = ˆφ ˆr ˆφ = ˆθ = ˆr r + ˆθ 1 r θ + ˆφ 1 r

5.1 Οι συνιστώσες του Τελεστή της Τροχιακής Στροφορµής σε Σφαιρικές Συντεταγµένες 93 [ L = r p = ( i r = ( i ˆφ θ ˆθ 1 ] Συγχρόνως ισχύει L = ˆxL x + ŷl y + ẑl z άρα εκφράζουµε τα ˆφ, ˆθ ως προς ˆx, ŷ, ẑ και ϐρίσκουµε τις καρτεσιανές συνιστώσες της στροφορµής συναρτήσει των θ, φ: L z = ( i [ L y = ( i cos φ θ cos θ sin φ ] [ L x = ( i sin φ θ cos θ cos φ ] Υπολογίζουµε τώρα το L L = L x + L y + L z L z = ( i = Υπολογίζω το L x : L xψ = L x (L x Ψ = ( i sin φ θ + cos θ = ( sin φ Ψ θ cos φ + sin φ cos φ θ } sin φ Ψ θ + cos θ } cos φ Ψ 0 cos θ Ψ + cos θ cos φ cos φ Ψ θ + cos θ cos φ sin φ 0 Ψ Φ θ ( cos θ + cos φ ( sin φ 0 ( Ψ cos θ + cos φ Ψ και το L y : L yψ = ( i cos φ θ cos θ = ( cos φ Ψ θ 0 cos θ sin φ cos φ Ψ + θ sin φ } cos φ Ψ θ cos θ 0 ( cos φ sin φ cos θ Ψ θ ( cos θ sin φ cos φ 0 Ψ + } sin φ Ψ + cos θ sin φ Ψ θ ( cos θ sin φ Ψ

94 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών Προσθέτοντας έχουµε : (L x + L y + L zψ = ( sin φ Ψ θ + cos φ Ψ θ = ( Ψ θ = ( + cos θ sin φ Ψ θ + ( cos θ + 1 [ 1 L Ψ = ( ( cos θ sin φ Ψ + Ψ + cos θ Ψ θ + cos θ sin θ ( Ψ θ θ + 1 sin θ ( Ψ + 1 θ θ sin θ + cos θ cos φ Ψ θ cos φ Ψ } Ψ + Ψ } Ψ ] Ψ και όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, ο διαφορικός τελεστής δεξιά έχει ιδιοσυναρτήσεις τις σφαιρικές αρµονικές Y lm (θ, φ µε ιδιοτιµή l(l + 1. } και µε m = 0, ±1, ±,..., ±l. L Y lm = l(l + 1Y lm L z Y lm = m Y lm Υπενθύµιση: Y lm (θ, φ = A lm e imφ (1 cos θ m / dl+ m (1 cos θ l d cos θ l+ m 5. Αλγεβρικός υπολογισµός των ιδιοτιµών του τελεστή της στροφορµής Θα ονοµάσουµε τους ερµιτιανούς τελεστές J x, J y, J z τελεστές της στροφορµής, εάν ικανοποιούν τις εξής σχέσεις µετάθεσης : [J x, J y ] = i J z [J y, J z ] = i J x [J z, J x ] = i J y Ορίζουµε την ολική στροφορµή J ως εξής : και αποδεικνύεται ότι [J, J] = 0, όπου J = J x + J y + J z J = ˆxJ x + ŷj y + ẑj z Εάν ορίσουµε τους τελεστές J + = J x + ij y J = J x ij y = J + αυτοί ικανοποιούν τις εξής µεταθετικές σχέσεις : [J z, J + ] = [J z, J x + ij y ] = [J z, J x ] + i[j z, J y ] = i J y + i( i J x = (J x + ij y = J + Αντίστοιχα [J z, J ] = J

5. Αλγεβρικός υπολογισµός των ιδιοτιµών του τελεστή της στροφορµής 95 Απόδειξη. ([J z, J + ] = ( J + = J + = J και οµοίως ([J z, J + ] = (J z J + (J + J z = J J z J z J = [J z, J ] J z J + = J + J z + J + = J + (J z + J z J = J J z J = J (J z [J, J + ] = [J, J x ] + i[j, J y ] = 0 + 0 = 0 [J, J ] = 0 Ακόµη [J +, J ] = [J x + ij y, J x ij y ] = i[j x, J y ] + i[j y, J x ] = ( i(i J z + i( i J z = J z Θέλουµε να ϐρούµε τις συναρτήσεις Ψ που είναι ιδιοσυναρτήσεις του J και ενός εκ των J k, έστω του J z. J Ψ = aψ J z Ψ = bψ Ορίζουµε Ψ + = J + Ψ, Ψ = J Ψ. Εχουµε J z Ψ + = J z J + Ψ = J + (J z + Ψ = (b + Ψ + J z Ψ = J z J Ψ = J (J z Ψ = (b Ψ Ο J + ονοµάζεται αυξητικός τελεστής (raising operator, ανεβάζει την ιδιοτιµή του J z κατά 1. Ο J ονοµάζεται µειωτικός τελεστής (lowering operator, κατεβάζει την ιδιοτιµή του J z κατά 1. Ακόµη, J Ψ + = J J + Ψ = J + J Ψ = aj + Ψ = aψ + Ιδιοσυναρτήσεις του J. J Ψ = J J Ψ = J J Ψ = aψ Θα δείξουµε ότι a b : και J = Ψ J Ψ = a Ψ Ψ = a J = Ψ J Ψ = Ψ J x Ψ + Ψ J y Ψ + Ψ J z Ψ Ψ J z Ψ = b διότι Jx = Jy = Ψ JxΨd 3 x = Ψ Jy Ψd 3 x = (J x Ψ (J x Ψ 0 (J y Ψ (J y Ψ 0 Οι τελεστές J x, J y, J z είναι ερµιτιανοί. Jz = Ψ Jz Ψd 3 x = (J z Ψ (J z Ψd 3 x = b b Ψ Ψd 3 x = b b = b και b = b R, ερµιτιανότητα του τελεστή.

96 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών Παρατηρήσεις 1. J z (J +Ψ = (b + (J +Ψ Απόδειξη. J z (J +Ψ = J z J + (J + Ψ = J + (J z + Ψ + = J + J z Ψ + + J + Ψ + = J + (b + Ψ + + J + Ψ = (b + J + Ψ + = (b + J +Ψ. Γενικά έχουµε J z (J n +Ψ = (b + n (J n +Ψ Απόδειξη. J z J n +Ψ = J z J + (J n 1 + Ψ = J + (J z + J n 1 + Ψ = J +(J z + + J n + Ψ = J 3 +(J z + + + J n 3 + Ψ =... = J n +(J z + n Ψ = J n +(b + n Ψ = (b + n J n +Ψ 3. J (J n +Ψ = J n +(J Ψ = a(j n +Ψ όπου λαµβάνουµε υπόψιν ότι J +, J µετατίθενται. Επειδή η J n +Ψ = Ψ είναι συγχρόνως ιδιοσυνάρτηση του J z µε ιδιοτιµή (b + n και ιδιοσυνάρτηση του J µε ιδιοτιµή a, έχουµε a (b + n Αλλά το b + n αυξάνεται απεριόριστα. Θα πρέπει κάπου να τερµατίζει αυτή η ακολουθία ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων. Εποµένως υπάρχει n 1 τέτοιο ώστε : J n1 + Ψ = 0 Άρα η µεγαλύτερη ιδιοτιµή του J z είναι b + (n 1 1. ηλαδή το J z έχει µέγιστη ιδιοτιµή για δεδοµένο a. Εστω λοιπόν τώρα ότι b είναι η µεγαλύτερη ιδιοτιµή του J z µε Ψ την αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση, τότε Ακόµη έχουµε : J z Ψ = bψ και J + Ψ = 0. J z (J k Ψ = (b k J k Ψ και a (b k k, άρα το k δεν µπορεί να γίνει άπειρο κάπου λοιπόν αυτή η άπειρη ακολουθία ιδιοτιµών σταµατάει, έστω για κάποιο k = n, εποµένως J n+1 Ψ = 0 Άρα η Ψ = J n Ψ είναι η κυµατοσυνάρτηση µε τη µικρότερη ιδιοτιµή του J z µε ιδιοτιµή (b n, J z Ψ = (b n Ψ και J Ψ = 0. Εχουµε τις σχέσεις : J J + = (J x ij y (J x + ij y = Jx + Jy + i[j x, J y ] = Jx + Jy + Jz Jz J z = J Jz J z J + J = (J x + ij y (J x ij y = Jx + Jy i[j x, J y ] = Jx + Jy + Jz Jz + J z = J Jz + J z

5.3 Αναπαράσταση των τελεστών της στροφορµής µε πίνακες 97 J+ J Ψ = 0 Βάζοντας a = b(b + ϐρίσκουµε J J + Ψ = 0 J J + Ψ = (J J z J z Ψ = (a b bψ a b b = 0 a = b(b + J + J Ψ = (J J z + J z Ψ = a (b n + (b n = 0 ( a (b n + (b n Ψ b = n, µε n = 0, 1,,... b = 0,,, 3,, 5,... a = n ( n + 1 Για n = άρτιος ακέραιος = l, έχουµε b = l, a = l(l + 1 Αλλιώς το b είναι ηµιακέραιος. συνολικά n + 1 τιµές. Για n = 1 b = ± / (spin= 1/ b = µεγαλύτερη ιδιοτιµή = n n n = µικρότερη ιδιοτιµή = n b = n ( n, 1,..., n 5.3 Αναπαράσταση των τελεστών της στροφορµής µε πίνακες Είδαµε λοιπόν ότι µια ιδιοσυνάρτηση των J και J z χαρακτηρίζεται από δύο αριθµούς ακέραιους ή ηµιακέραιους, τους j και m, όπου m = j, j 1,..., j, άρα και η κυµατοσυνάρτηση χαρακτηρίζεται ως εξής Ψ Ψ jm. Οι τελεστές J z, J είναι ερµιτιανοί, άρα έχουν ένα πλήρες, ορθογώνιο σύστηµα κυµατοσυναρτήσεων. Ψ jm Ψ j m = δ jj δ mm J Ψ jm = J(J + 1Ψ jm J z Ψ jm = mψ jm Ψ j m J Ψ jm = J(J + 1δ jj δ mm Ψ j m J z Ψ jm = mδ jj δ mm διαγώνιοι πίνακες διάστασης (j + 1 (j + 1 για δεδοµένο J Ζητάµε τώρα τους πίνακες που παριστάνουν τα J x και J y για σταθερό δεδοµένο J. Άρα κινούµαστε σε έναν διανυσµατικό χώρο διάστασης j + 1. Εχουµε : J + Ψ jm = C + Ψ j,m+1 J Ψ jm = C Ψ j,m 1

98 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών διότι ο J + αυξάνει την ιδιοτιµή του J z κατά ένα και ο J ελαττώνει την ιδιοτιµή του J z κατά ένα. Θέλουµε να ϐρούµε τα C +, C. C + Ψ j,m+1 C + Ψ j,m+1 = C+ Ψ Ψ = C+ J + Ψ jm J + Ψ jm = Ψ jm J J + Ψ jm = = Ψ jm (J Jz J z Ψ jm = [ ] j(j + 1 m m = [ ] j(j + 1 m(m + 1 Οµοια, C + = j(j + 1 m(m + 1 C = j(j + 1 m(m 1 J + = J x + ij y J = J x ij y J x = 1 (J + + J J y = 1 i (J + J J x Ψ jm = 1 (J +Ψ jm + J Ψ jm = j(j + 1 m(m + 1Ψj,m+1 + j(j + 1 m(m 1Ψj,m 1 J y Ψ jm = 1 i (J +Ψ jm J Ψ jm = i j(j + 1 m(m + 1Ψj,m+1 i j(j + 1 m(m 1Ψj,m 1 j = 0, m = 0 Ψ 00 j = 1, m = ±1 J = 3 ( 1 0 4, J 0 1 z = ( 1 0 0 1 J x = ( 0 1, J 1 0 y = ( 0 i i 0 j = 1, m = 1, 0, 1 J = 1 0 0 0 1 0, J z = 1 0 0 0 0 0 = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 J x = 0 1 0 1 0 1, J y = 0 i 0 i 0 i 0 1 0 0 i 0 5.3.1 Υπολογισµός των ιδιοσυναρτήσεων για ακέραια τιµή j = l της στροφορµής L + = L x + il y L x = ( i L y = ( i [ sin φ θ cos θ L + = e iφ [ θ + icos θ cos φ ] ] [ cos φ θ cos θ sin φ ] και L = L + = e iφ [ θ icos θ L z = i ]

5.4 Spin 99 Εξίσωση χωριζόµενων µεταβλητών περιοδική µε περίοδο π!!!! L z Ψ ll = i Ψ ll L + Ψ ll = 0 Ψ ll θ = lψ ll + icos θ Ψ ll = 0 Ψ ll = Q(θΦ(φ i Ψ ll = i QdΦ dφ = lqφ Φ(φ = e ilφ dq dθ + icos θ (ilq = 0 dq dθ = l cos θ Q Αλλαγή µεταβλητής u = du = cos θdθ η οποία έχει λύση Q = Au l dq cos θdθ = l Q dq du = l Q u Ψ ll (θ, φ = A ll ( l e ilφ Κανονικοποίηση : π π π 1 Ψ llψ ll dθdφ = πa lla ll ( l dθ = πa lla ll (1 ξ l dξ = 1 0 0 0 1 όπου διότι ξ = cos θ, dξ = dθ, sin θ = 1 ξ και 1 1 (1 ξ l dξ = l+1 Γ (l + 1 Γ(l + πa lla ll l+1 Γ (l + 1 Γ(l + = 1 Γ(l + (l + 1! A A = π l+1 Γ = (l + 1 π l+1 (l! Γ(l + 1 = l! (l + 1! A ll = 4π l (l! Υπολογίζουµε τις άλλες Ψ lm δρώντας µε τον τελεστή L. 5.4 Spin Εάν µέσα σε ένα µαγνητικό πεδίο B ϐάλουµε ένα µαγνητικό δίπολο, µε µαγνητική διπολική ϱοπή µ, η ενέργεια αλληλεπίδρασης είναι : U = µ B Εάν Η δύναµη που ασκείται στο µαγνητικό δίπολο είναι εάν το µαγνητικό πεδίο εξαρτάται µόνο από το z. B = Bẑ U = µ z B F = U F z = µ z B z Τα ουδέτερα άτοµα έχουν µαγνητική διπολική ϱοπή λόγω των περιστρεφόµενων ηλεκτρονίων.

100 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών I L π μ r m e e v Ηλεκτρόνιο µε ϕορτίο q e = e κινούµενο προς τα δεξιά µε ταχύτητα v αντιστοιχεί σε ϱεύµα I προς τα αριστερά. Εποµένως η µαγνητική διπολική ϱοπή του ϐρόχου είναι µ = Iπr µε διεύθυνση προς τα κάτω. Γενικά µ = 1 r Jd 3 x I = e T, Η στροφορµή του σωµατιδίου είναι L = mvr ιανυσµατικά λοιπόν έχουµε : ω = π T, µ = e T πr = e v = ωr π T r = e ωr L = mvr = mωr µ = e m e ωr = e L m e m e µ = e m e L για το ηλεκτρόνιο. Για ηλεκτρόνιο µε στροφορµή l η διπολική ϱοπή που οφείλεται στην τροχιακή στροφορµή είναι : 19, Stern και Gerlach µ τρ,z = e m e m, l m l έσµη από άτοµα Αργύρου (Ag περνά κάθετα µέσα από µαγνητικό πεδίο κατά τον άξονα των z και προσπίπτει σε ϕωτογραφική πλάκα, όπου αφήνει το ίχνος τους. Το διάνυσµα µ της µαγνητικής διπολικής ϱοπής των ατόµων της δέσµης έχει τυχαίο προσανατολισµό στο χώρο. Ag 47e 46e + 1e, ένα ηλεκτρόνιο µόνο του στην εξώτατη στοιβάδα. Το ίχνος της δέσµης στην πλάκα ϑα έπρεπε να καλύπτει πλήρως µία περιοχή γύρω από το κέντρο (z 0. Οι Stern και Gerlach παρατήρησαν ότι η δέσµη χωρίστηκε σε δύο συνιστώσες, µία κατά το ϑετικό άξονα των z και η άλλη κατά τον αρνητικό άξονα των z, ισαπέχοντας από το µηδέν. 197, Phipps και Taylor Σε όµοιο πείραµα, χρησιµοποίησαν δέσµη από άτοµα υδρογόνου στη ϑεµελιώδη στάθµη : l = 0 µ τροχ = 0. Περιµένουµε η δέσµη να περάσει χωρίς καµία απόκλιση. Η δέσµη και πάλι χωρίζεται στα δύο. Πιθανή λύση : ο πυρήνας περιστρέφεται γύρω από κάποιο άξονα. µ π e m π Βρέθηκε ότι η δέσµη χωρίζεται σε δύο µέρη, έχοντας κατά 1000 ϕορές µεγαλύτερη απόσταση µεταξύ τους, δηλαδή η µαγνητική διπολική ϱοπή που παίρνει µέρος είναι εξαρτώµενη από τη µάζα του ηλεκτρονίου. m π = 1836m e Ενα άλλο σοβαρό πρόβληµα Στα άτοµα η πρώτη στοιβάδα µε l = 0 παίρνει το πολύ ηλεκτρόνια. Η δεύτερη στοιβάδα µε l = 1 και εκφυλισµό l + 1 = 3 παίρνει το πολύ 6 ηλεκτρόνια. Άτοµα µε 9 η περισσότερα ηλεκτρόνια κατανέµουν το ένατο ηλεκτρόνιο στην τρίτη στοιβάδα. Ερώτηµα : Γιατί δεν πάνε όλα τα ηλεκτρόνια στη ϑεµελιώδη στάθµη ; Πιθανή απάντηση : ιότι σε κάθε κατάσταση αντιστοιχεί ένα σωµατίδιο. Γιατί τότε για l = 0 έχουµε δύο και όχι ένα σωµατίδιο ; Απάντηση : ιότι..;; Ο Pauli εισήγαγε έτσι αυθαίρετα έναν ακόµη (τέταρτο κβαντικό αριθµό που παίρνει δύο τιµές. Το 195 και 196 οι Uhlenbeck και Goudsmit εισήγαγαν το spin και έτσι όλα τα παραπάνω ϐρήκαν µια ϕυσιολογική αυτοσυνεπή εξήγηση.

5.4 Spin 101 Πληρέστερη και πιο ϑεµελιώδη εξήγηση έδωσε αργότερα ο Dirac, γράφοντας τη σχετικιστική εξίσωση για το ηλεκτρόνιο. Το ηλεκτρόνιο λοιπόν έκτος από τροχιακή στροφορµή έχει και ιδιοστροφορµή ή ενδογενή στροφορµή, που την ονοµάζουµε στροφορµή του spin. Το spin είναι ένα κβαντοµηχανικό µέγεθος και δε µπορεί να περιγραφεί κλασσικά. Είναι µια χαρακτηριστική σταθερά του σωµατιδίου, όπως η µάζα και το ϕορτίο. Το spin δεν οφείλεται σε κάποια περιστροφή του ηλεκτρονίου γύρω από κάποιο άξονα και δε µεταβάλλεται σαν µέγεθος, δε διεγείρεται όπως ϑα είχαµε σε µια κλασσική περιγραφή (π.χ. περιστροφή. Το ηλεκτρόνιο έχει µια µαγνητική διπολική ϱοπή που σχετίζεται µε το spin. µ s = g e m e S όπου g σταθερά, γυροµαγνητικός λόγος του ηλεκτρονίου, και S είναι το spin του ηλεκτρονίου (ιδιοστροφορµή. Οι συνιστώσες του spin s x, s y, s z ικανοποιούν τις σχέσεις µετάθεσης της στροφορµής. Άρα οι ιδιοτιµές του S και S z είναι αντίστοιχα : s(s + 1 και m s, s m s s οπότε η µαγνητική διπολική ϱοπή κατά τον άξονα z είναι : µ sz = g e m e m s και επειδή η δέσµη χωρίζεται σε δύο συνιστώσες, το m s παίρνει δύο µόνο τιµές : s + 1 = s = 1 m s = ± 1 Ο γυροµαγνητικός λόγος g προσδιορίζεται πειραµατικά : g = «παράγοντας Landé» Η τιµή αυτή προβλέπεται από την εξίσωση του Dirac για το ηλεκτρόνιο. Ακριβέστερες µετρήσεις έδωσαν για το γυροµαγνητικό λόγο του ηλεκτρονίου την τιµή g =, 003 (Lamb, 1947. Η τιµή αυτή υπολογίστηκε ακριβώς από την κβαντική ϑεωρία πεδίου. Η απόκλιση από την τιµή, λέγεται ανώµαλη µαγνητική διπολική ϱοπή. Οι τελεστές του spin του ηλεκτρονίου s = 1/ παριστάνονται µε διδιάστατους πίνακες : S x = ( 0 1, S 1 0 y = ( 0 i, S i 0 z = ( 1 0 0 1 Οι ιδιοσυναρτήσεις του S z προκύπτουν από την εξίσωση ιδιοτιµών : S z X + = ( 1 X + X + = 0 S z X = ( 0 X X = 1 Οι κυµατοσυναρτήσεις X του ηλεκτρονίου στο χώρο του spin είναι διανύσµατα ή αλλιώς πίνακες µε µία µόνο στήλη. ( α X = = αx + + βx β ( α X X = X X = (α, β = αα + ββ β

10 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών ή X = α + + β X X = αα + + + ββ + α β + + αβ + + = 0, + = 0, + + = 1, = 1 εάν η κυµατοσυνάρτηση X είναι κανονικοποιηµένη, X X = αα + ββ = 1 Η µέση τιµή ενός τελεστή Â που δίνεται ως πίνακας A είναι X AX = Â Παράδειγµα πραγµατικός αριθµός. S x = X S x X = (α, β 0 ( α 0 β ( β / = (α, β = α / (α β + β α Ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις των S x, S y Οι τελεστές S x, S y, S z έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές ± /. Ιδιοσυναρτήσεις του S x S x X (x + = X(x + ( 0 1 1 0 Παίρνουµε α = β = 1/ για κανονικοποίηση. ( α = β S x X (x + = 1 ( 1 1 ( α β = α β ( 1 1 S y X (y + = 1 ( 1, X (y = 1 ( 1 i i Οι κυµατοσυναρτήσεις αυτές ονοµάζεται spinors (σπίνορες., X (x = 1 Φυσική ερµηνεία του X = ( α β X = α X + + β X Πιθανότητα P ± σε µία µέτρηση του spin κατά τον άξονα z να ϐρούµε spin = ± /. P + = α α spin(z = / P = β β spin(z = / Η κυµατοσυνάρτηση λοιπόν του ηλεκτρονίου στο άτοµο του υδρογόνου είναι : όπου X ms = X + ή X. Πίνακες του Pauli: Ψ(r, θ, φ = R nl Y lm X ms Ιδιότητες : σ x = ( 0 1, σ 1 0 y = S k = σ k ( 0 i i 0, σ z = ( 1 0 0 1

5.4 Spin 103 σk = 1 traceσ k = 0 det σ k = 1 σ x σ y σ z = i Ηλεκτρόνιο µέσα σε σταθερό οµογενές µαγνητικό πεδίο Θεωρούµε την κίνηση ενός ϕορτισµένου σωµατιδίου (ηλεκτρόνιο µέσα σε σταθερό οµογενές µαγνητικό πεδίο B = Bẑ. Επειδή η αλληλεπίδραση του spin µε το B δεν εξαρτάται από τη ϑέση του σωµατιδίου στο χώρο, τότε η χαµιλτονιανή χωρίζεται σε δύο ανεξάρτητα µέρη και η κυµατοσυνάρτηση µπορεί να γραφτεί σαν το γινόµενο δύο συναρτήσεων µια που εξαρτάται από το r και της κυµατοσυνάρτησης του spin. B θ S H = H 0 + H B, H B = µ s B B = A, H 0 = 1 m (P ea + U(r, p = i HΨ = E ολ Ψ (H 0 + H B Ψ = E ολ Ψ Ψ = Ψ(rX [H 0 Ψ(r] X + Ψ(r(H B X = E 0 ΨX + EXΨ H 0 Ψ = E 0 Ψ H B X = EX και λύνουµε εδώ τη δεύτερη εξίσωση : µ = g e S = ge σ m e 4m e ( e Bg H B = µ B = σ z 4m e Εξίσωση του Schrödinger χρονικά ανεξάρτητη και ορίζουµε ge B 4m e H B X n = E n X n ( 1 0 X 0 1 n = E n X n, µε n = 1, X n = ( αn β n µε α n + β n = 1 ω = egb 4m e Η γενική χρονικά εξαρτηµένη λύση του κβαντικού συστήµατος ϑα είναι : X(t = n C n X n e ient/ µε n = 1,. Τα c n ορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. ( ( 1 0 αn ω X 0 1 n = E n X n, X n = β n ω α n = E n α n ω β n = E n β n

104 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών Μηδενίζουµε την ορίζουσα : ω E 0 0 ω E = 0 E 1 = ω, X 1 = ( 1 0 = X+ α 1 = 1, β 1 = 0 E = ω, X = ( 0 1 = X α = 0, β = 1 X(t = C 1 e ie1t/ X + + C e iet/ X ( C1 e X(t = iωt C e iωt C 1 + C = 1 Εφαρµογή Η κυµατοσυνάρτηση του spin τη χρονική στιγµή t = 0 είναι X(0 = 1 ( 1 1 δηλαδή το σωµατίδιο είχε spin + / κατά το ϑετικό άξονα του x X(t = C 1 = 1, C = 1 X(t = 1 ( e iωt e iωt ( ( cos ωt 1 sin ωt 1 i 1 1 t = 0 X(t = 1 ( 1 = X + (x 1 ωt = π 4 X(t = 1 ( 1 i = 1 ( 1 1 + i (1 i = e iπ/4 X + (y i ωt = π X(t = i ( 1 1 = ix (x = e iπ/ X (x ωt = 3π 4 X(t = e i3π/4 X (y, X (y = 1 ( 1 i ωt = 4π 4 = π X(t = 1 ( 1 = e iπ X + (x = e iπ X(0 1 ύο συναρτήσεις Ψ 1 και e iφ Ψ 1 = Ψ που διαφέρουν κατά µία ϕάση έχουν τις ίδιες πιθανότητες και δίνουν τις ίδιες µετρήσεις. Άρα το s περιστρέφεται γύρω από το B µε γωνιακή ταχύτητα ω (µετάπτωση του spin, συχνότητα Larmor. Μπορούµε να λύσουµε τη χρονικά εξαρτηµένη εξίσωση του Schrödinger: i dx dt = H BX, H B = µb B = Bẑ H B = ge 4m Bσ z i dx dt = geb 4m σ zx i dx dt = geb 4m σ zx

5.5 Πρόσθεση στροφορµών 105 X(t = ( C+ (t C (t Οριακή συνθήκη X(0 = X + (x = 1 ( 1 1 i dc + dt dc dt ( ( 1 0 = ω C+ 0 1 i dc + = ωc + C + (t = C + (0e iωt dt i dc = ωc C (t = C (0e iωt dt ( ( C+ (t C+ (0e iωt X = = C (t C (0e iωt X(t = 1 ( e iωt e iωt ω = geb ω = eb 4m e m e X(t = 1 ( cos ωt i sin ωt cos ωt + i sin ωt ( ( cos ωt 1 sin ωt 1 X(t = i 1 1 X(t = cos ωtx + (x i sin ωtx (x C 5.5 Πρόσθεση στροφορµών (α Υποθέστε ότι έχουµε ένα σύστηµα δύο σωµατιδίων που οι στροφορµές τους J 1 και J έχουν καθορισµένο µέγεθος, αλλά που ο προσανατολισµός τους µπορεί να παίρνει όλες τις επιτρεπόµενες τιµές. (ϐ Υποθέστε (εναλλακτικά ότι έχουµε ένα ηλεκτρόνιο, το οποίο εκτός από τροχιακή στροφορµή J 1 έχει και στροφορµή του spin J και χρειάζεται να υπολογίσουµε την ολική στροφορµή του. Και στις δύο προηγούµενες περιπτώσεις έχουµε δύο τελεστές στροφορµής, τους J 1, J, που µετατίθενται µεταξύ τους : [J 1k, J l ] = 0 k, l = 1,, 3 και ισχύει : [J 1k, J 1l ] = i ɛ klρ J 1ρ [J k, J l ] = i ɛ klρ J ρ Το άθροισµα αυτών των δύο τελεστών είναι ένας τελεστής στροφορµής, η ολική στροφορµή του συστήµατος. Πράγµατι, ορίζουµε J k = J 1k + J k µε ιδιότητες µετάθεσης : [J k, J l ] = i J ρ ɛ klρ J = J 1 + J Ολική στροφορµή του συστήµατος Εστω ότι J 1 (J 1 + 1, J (J + 1 και J(J + 1 είναι οι ιδιοτιµές των τελεστών J 1, J και J αντίστοιχα. Το πρόβληµά µας είναι να υπολογίσουµε τις δυνατές τιµές του J, µε γνωστά τα J 1, J. Οι τελεστές J 1 και J µετατίθενται µεταξύ τους. Ο τελεστής J = J x + J y + J z = (J 1x + J x + (J 1y + J y + (J 1z + J z

106 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών µετατίθεται µε τους J 1 και J. Εχουµε την ταυτότητα : J = (J 1 + J (J 1 + J = J 1 + J + J 1 J, όπου J 1 J = J 1x J 1y + J 1y J y + J 1z J z διότι τα J 1, J µετατίθενται µεταξύ τους. Σηµειώνουµε πρώτα ότι : [J, J x ] = 0, [J, J y ] = 0, [J, J z ] = 0 [J, J 1x ] = i J 1y J z i J 1z J y Προσοχή : Κατά δεύτερον : [J, J x ] = i J 1y J z + i J 1z J y [J, J 1x + J x ] = 0 [J, J 1x ] 0, [J, J x ] 0 [J, J 1x] = [J 1, J 1x] + [J, J 1x] + [J 1 J, J 1x] = 0 + 0 + [J J 1, J 1x] [J, J 1] = [J J 1, J 1] = [J x J 1x, J 1] + [J y J 1y, J 1] + [J z J 1z, J 1] = 0 διότι [J 1k, J 1] = 0, k. Οµοια, [J, J ] = 0. Άρα έχουµε ένα σύνολο 4 µετατιθέµενων τελεστών, J 1, J, J, J z, µε κοινό σύστηµα ιδιοσυναρτήσεων. Επίσης αποδεικνύεται εύκολα ότι : J = J 1 + J + J 1 J = J 1 + J + J 1z J z + J 1+ J + J 1 J + Οι κοινές ιδιοσυναρτήσεις Φ jj1j m = Φ jm είναι γραµµικός συνδυασµός των γινοµένων Ψ j1m 1 Ψ jm µε m 1 + m = m, π.χ. J z Φ jm = (J 1z + J z Ψ j1m 1 Ψ jm = (J 1z Ψ j1m 1 Ψ jm + Ψ j1m 1 (J z Ψ jm = (m 1 + m Ψ j1m 1 Ψ jm = mφ jm Το σύνολο των συναρτήσεων Ψ j1m 1 Ψ jm είναι (j 1 + 1(j + 1, όσα είναι τα δυνατά Ϲεύγη (m 1, m. Ενώ σε µία ιδιοτιµή του J z την m αντιστοιχούν πολλοί συνδυασµοί (m 1, m µε m 1 + m = m. Στόχος είναι να ϐρούµε τους σωστούς γραµµικούς συνδυασµούς των Ψ j1m 1 Ψ jm ώστε να αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιµή j του τελεστή J. Για µια δυνατή τιµή J της ολικής στροφορµής το m παίρνει τις τιµές j,..., j, σύνολο j + 1 Γνωρίζοντας λοιπόν το σύνολο των δυνατών τιµών του m, µπορούµε να ϐρούµε τις τιµές του j που χρειάζονται για να το καλύψουν. Η µέγιστη τιµή του j αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή του m = j 1 + j = j max, µε ιδιοσυνάρτηση µόνο την Φ jmax,jmax = Ψ j1j 1 Ψ jj Φ jmax Την κυµατοσυνάρτηση µε m = j 1 + j 1 = j max 1, αλλά µε την ίδια ιδιοτιµή του J την ϐρίσκουµε δρώντας µε τον τελεστή J = J 1 + J, [J, J ] = 0 J max ΦJmax 1 = J ΦJmax = (J 1 + J Ψ j1j 1 Ψ jj = (J 1 Ψ j1j 1 Ψ jj + Ψ j1j 1 (J Ψ jj = C 1 Ψ j1,j 1 1Ψ jj + C Ψ j1j 1 Ψ j,j 1 C 1 = j 1 (j 1 + 1 j 1 (j 1 1 = j 1

5.5 Πρόσθεση στροφορµών 107 C = j µε ιδιοτιµή του J z ίση µε (j 1 + j 1 και ιδιοτιµή του J ίση µε (j 1 + j (j 1 + j + 1. Εφαρµόζοντας την προηγούµενη διαδικασία J max ϕορές, ϐρίσκουµε όλες τις ιδιοσυναρτήσεις Φ Jmax, m. Υπάρχει ένας ακόµα γραµµικά ανεξάρτητος συνδυασµός των Ψ j1,j 1 1, Ψ j,j και Ψ j1j 1 Ψ j,j 1 Φ = αψ j1,j 1Ψ j,j + βψ j1j 1 Ψ jj 1 µε ιδιοτιµή του m = j 1 + j 1, αλλά ιδιοτιµή j = j 1 + j 1 για το J. Μπορούµε τώρα να δούµε έναν σχηµατικό τρόπο για να ϐρούµε τις δυνατές τιµές της ολικής στροφορµής. Φτιάχνουµε έναν πίνακα τιµών του m = m 1 + m για j 1 = 1 και j =, για παράδειγµα. m 1 /m 1 0 1 1 3 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 3 Αν ξεκινήσουµε στον πίνακα από την πρώτη του γραµµή, προχωρήσουµε οριζόντια µέχρι το τέλος και κατεβούµε προς τα κάτω, ϑα συναντήσουµε τις τιµές του m που αντιστοιχούν σε j = j 1 + j = 3. Μετά παίρνουµε τη δεύτερη γραµµή και κάνουµε το ίδιο οι τιµές του m που συναντούµε αντιστοιχούν σε j = j 1 + j 1 =. Η τρίτη γραµµή ϑα δώσει τιµές του m για τον κβαντικό αριθµό j = j 1 + j = 1 = j j 1 σε αυτήν την περίπτωση. Πράγµατι όλες οι δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει το j δίνονται από τη σχέση : υποθέτοντας ότι j j 1. j 1 + j j j 1 + j j 1 = j j 1 Απόδειξη. Θα αποδείξουµε ότι j 1 + j j j 1 j µε ϐήµα ένα. Ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων ιδιοσυναρτήσεων των τελεστών (J, J z είναι (j 1 + 1(j + 1. Εστω λοιπόν ότι το j παίρνει τις τιµές j 1 + j, j 1 + j 1,..., j 1 + j n Εχουµε [ ] [ ] [ ] (j 1 + j + 1 + (j 1 + j 1 + 1 +... + (j 1 + j n + 1 = (j 1 + j (n + 1 + (n + 1 (1 + +... + n (n + 1n = (j 1 + j (n + 1 + n + 1 = (j 1 + 1(j + 1 (j 1 + j n + (j 1 + j + n + 1 n n = 4j 1 j + j 1 + j + 1 n n(j 1 + j + 4j 1 j = 0 n = (j 1 + j ± 1 4(j1 + j 16j 1 j n = (j 1 + j ± (j 1 j = (j 1 + j ± j 1 j εκτή µόνο η λύση n = (j 1 + j j 1 j, εάν j > j 1 n = (j 1 + j (j j 1 = j 1

108 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών J max = j 1 + j, J min = j 1 + j n = j 1 + j j 1 = j j 1 J min = j 1 j Εάν j 1 = j = j J max = j J min = 0 Οι καταστάσεις µε µέγιστο j = j max = j είναι συµµετρικές στην εναλλαγή των µεταβλητών των δύο σωµατιδίων. Το επόµενο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων µε j = j 1 είναι αντισυµµετρικό στην εναλλαγή. Και πάει εναλλάξ καθώς ελαττώνεται το j. Πρόσθεση τροχιακής στροφορµής l και spin s = 1/ J 1 = L, J = S J = L + S J z = L z + S z J max = l + 1, J min = l 1 5.5.1 Πρόσθεση δύο spin 1/ Από την πρόσθεση προκύπτουν δύο τιµές της ολικής στροφορµής s = 1 και s = 0. Εστω S (1 και S ( αντίστοιχα οι δύο τελεστές του spin για τα δύο σωµατίδια. και οι ιδιοσυναρτήσεις του spin είναι αντίστοιχα S = S (1 + S ( X (1 ±, X ( ±. Οι καταστάσεις µε συνολικό spin s = 1 είναι Ψ 11 = X (1 + S Ψ 11 = Ψ 11 Ψ 1, 1 = X (1 X ( S Ψ 1, 1 = Ψ 1, 1 Για να πάρουµε την Ψ 10 δρούµε µε τον τελεστή S = S (1 + S ( στην Ψ 11. S Ψ 11 = Ψ 10 = (S (1 + S ( X (1 + = (S (1 X (1 + X ( + + X (1 + (S ( = X (1 X ( + + X (1 = X ( + ( X (1 X ( + + X (1 S Ψ 10 = Ψ 10 Κανονικοποιώντας την Ψ 10 έχουµε : Ψ 10 = 1 ( X (1 X ( + + X (1 συµµετρικός συνδυασµός των X (1 X ( + και X(1. S z X (1 X ( + = 0 S z X (1 = 0 S z Ψ 10 = 0

5.5 Πρόσθεση στροφορµών 109 Εάν S = S 1 + S, τότε S = (S 1 + S (S 1 + S = S 1 + S + S 1 S (S 1 S = S 1x S x + S 1y S y + S 1z S z. Θα δείξουµε ότι : S 1 S = S 1z S z + S 1+ S + S 1 S + S 1+ = S 1x + is 1y, S + = S x + is y S 1 = S 1x is 1y, S = S x is y S 1+ S + S 1 S + = (S 1x + is 1y (S x is y + (S 1x is 1y (S x is y = S 1x S x + S 1y S y S = S 1 + S + S 1z S z + S 1+ S + S 1 S + S Ψ 11 = S1X (1 + + S X (1 + + S 1z S z X (1 + + S 1+ S X (1 + + S 1 S + X (1 + = 3 4 X(1 + + 3 4 X(1 + + X(1 + + (S 1+ X (1 0 + (S X ( + + (S 1 X ( + ( S 0 + = 8 4 X(1 + = X (1 + Οµοια δουλεύουµε και για τις άλλες καταστάσεις Ψ 10 και Ψ 1, 1. Η ιδιοσυνάρτηση µε spin s = 0 είναι γραµµικός συνδυασµός των X (1 X ( +, X(1 ορθογώνια στην Ψ 10 : Ψ 00 = ax (1 X ( + + bx (1 Ψ 10 Ψ 00 = 1 a X (1 X ( + X (1 X ( + + a X (1 X (1 X ( +b X (1 X (1 + + b X (1 } = 0 a + 0 + 0 + b = 0 a = b X ( + X (1 αντισυµµετρική και και a + b = 1 a = 1 a = 1, b = 1 Ψ 00 = 1 ( X (1 X ( + X (1 S z Ψ 00 = 0 και S Ψ 00 = 0