ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4)
Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος 5] Δίνονται τα διανύσματα ΟA= ( 4, ) και ΟB= (,), όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟA και ΟΒ είναι κάθετα (Μονάδες 4) β) Αν Γ( α,β ) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: AB = 3, 4 AΓ= α 4,β + i) να αποδείξετε ότι: ( ) ii) να αποδείξετε ότι: 4α + 3β = και ( ) (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και AB είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ (Μονάδες ) α) Για να δείξουμε ότι τα διανύσματα είναι κάθετα, αρκεί να δείξουμε ότι το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν Όντως έχουμε από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου: ΟA ΟB= 4,, = 4 + =, άρα ΟA ΟB βi) ii) Αφού τα ΟA, ΟB οπότε και ( ) είναι οι διανυσματικές ακτίνες των Α, Β, είναι Α ( 4, ), Β(, ) ΑΒ = x x,y y = 4, = 3,4 B A B A ΑΓ = x x,y y = α 4, β = α 4, β + Γ A Γ A, Αφού το Γ είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και συνεπώς τα διανύσματα AB και AΓ έχουν κοινό φορέα, οπότε η ορίζουσά τους είναι μηδέν Είναι: 3 4 det ( AB, AΓ) = = 3( β + ) 4( α 4) = α 4 β + 3β 6 4α + 6 = 4α + 3β = 3
ΑΛΛΗ 4 Είναι λαβ =, οπότε η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β έχει εξίσωση 3 4 y = ( x ) 3y 6 = 4x + 4 4x + 3y = 3 Αφού το Γ ανήκει στην ευθεία, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της, άρα είναι 4α + 3β = iii) H διανυσματική ακτίνα του Γ είναι ΟΓ = ( α, β) γινόμενο θα είναι μηδέν ΟΓ ΑΒ = α,β 3, 4 = 3α + 4β = Οπότε Λύνουμε το σύστημα οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε Άρα 8 3 8 4α = 4α= α= 5 5 5 4α + 3β = 3 α + 9β = 3 4 3α + 4β = α + 6β =, οπότε, αφού ΟΓ ΑΒ, το εσωτερικό τους 6 5β = 3 β = 5 4
GI_V_MATHP_4_869 [παράγραφος 5] AB = λ, λ + AΓ = 3λ, λ, όπου λ και λ, και M είναι Σε τρίγωνο ABΓ είναι ( ), ( ) το μέσο της πλευράς BΓ AM = α) Να αποδείξετε ότι ( λ, λ) (Μονάδες 7 ) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AM είναι κάθετο στο διάνυσμα α =, λ λ (Μονάδες 8 ) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ABΓ (Μονάδες ) α) Αφού το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, η διανυσματική του ακτίνα, θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το Α, θα ισούται με το ημιάθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των άκρων Δηλαδή είναι: AM = ( AB + AΓ) = ( 4λ, λ) = ( λ, λ) β) Τα διανύσματα AM και α θέλουμε να είναι κάθετα, οπότε το εσωτερικό τους γινόμενο θα πρέπει να είναι μηδέν Έχουμε λοιπόν: λ AM α = ( λ, λ ), λ = 4 λ = λ = λ γ) Για λ AB =,3 AΓ = 6, Τότε: = έχουμε ( ) και ( ) 3 ABΓ = det AB, AΓ = ABΓ = 8 τμ 6 ( ) 5
GI_V_MATHP_4_86 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :x y λ + 6 = και ε :x + y λ 4=, όπου λ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε και ε τέμνονται και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε :8x+ y 6= (Μονάδες 7) γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία AB ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι ( ΚΑΒ) 9 = 4 (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) α) Για να δείξουμε ότι οι ευθείες ε και ε τέμνονται,αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεών τους και να δείξουμε ότι έχει λύση για κάθε τιμή της παραμέτρου λ x y λ + 6 = Έχουμε λοιπόν: x + y λ 4= Προσθέτοντας κατά μέλη είναι x = λ x = λ, οπότε, y= λ + 4 ( λ ) = 8λ + 4 Αφού το σύστημά τους δεν είναι αδύνατο, οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Μ( λ, 8λ + 4 ), λ β) Έστω Μ ( x,y ), x,y οι συντεταγμένες του σημείου ( ) Μ λ, 8λ + 4, λ Τότε είναι: x = λ 8x = 8λ 8 ( ) y= 8λ + 4 y = 8λ + 4 ( ) Θα απαλείψουμε την παράμετρο λ, προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις Οπότε () + ( ) 8x + y 6 = Δηλαδή το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ( ε ):8x+ y 6= για κάθε λ 6
γi) H ευθεία ε τέμνει τον άξονα xx σε σημείο με τεταγμένη, οπότε για y= έχουμε: 8x 6 x 6 3 8 4 + = = = Δηλαδή η ( ) ε τέμνει τον άξονα xx στο σημείο 3 Α, 4 H ( ε ) τέμνει τον άξονα yy σε σημείο με τετμημένη, οπότε είναι για x = : 8 + y= 6 y= 6 Δηλαδή η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy στο Β(, 6 ) yb ya 6 6 Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης λαβ = = = = 8 Η ζητούμενη x 3 3 B xa 4 4 ευθεία ( ζ ) είναι παράλληλη στην ΑΒ, οπότε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Δηλαδή ( ζ )//ΑΒ λζ = λαβ λζ = 8 Επιπλέον η ( ζ ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων Συνεπώς η εξίσωση της ευθείας ( ζ ) είναι: y = λζx y= 8x ii) Έστω Κ ( x, y) = ( x, 8x ),x τυχαίο σημείο της ( ζ ) Τότε 3 ΑΚ = x, 8x 4 και ΒΚ = ( x, 8x 6) 3 x 8x 9 9 = = = + + + = 4 x 8x 6 ( ΚΑΒ) det ( ΑΚ, ΒΚ ) 4 8x 6x 6x 8x και Σχόλιο: Το εμβαδόν είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου K, γιατί η ευθεία ζ στην ο- ποία ανήκει το Κ είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ Συνεπώς θεωρώντας ως βάση του τριγώνου ΚΑΒ την ΑΒ, για οποιοδήποτε σημείο Κ της ζ, το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι σταθερό και ίσο με την απόσταση των παράλληλων ευθειών 7
GI_V_MATHP_4_86 [παράγραφος 3] Δίνεται η ευθεία ε :x 4y 7 = και τα σημεία Α (, 4) και ( ) B,6 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x, y ) για τα οποία ισχύει ( ΚΑΒ) ( ΜΑΒ) στις ευθείες με εξισώσεις τις: x y 5= και x y+ 5= α) Η ( ε ) γράφεται x 4y 7= x = 4y+ 7 (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) = ανήκουν (Μονάδες ) Επειδή το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε, οι συντεταγμένες του θα ικανοποιούν την εξίσωση της ε και συνεπώς θα είναι της μορφής M( 4α + 7,α ),α και θα ισχύει: ( MA) ( MB) ( 4α 9) ( α 4) ( 4α 5) ( α 6) = + + = + + 6α + 7α + 8+ α 8α + 6 = 6α + 4α + 5 + α α + 36 36α = 36 α = Άρα το σημείο M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B είναι το ( ) M 3, AM = 5, 5 β) Έχουμε ( ) και AB = ( 4, ), οπότε: 5 5 MAB = det MA,AB = = 5 τμ 4 γ) Έχουμε τα σημεία Α (, 4), B(,6, ) M( 3, ) και ( ) ΑΚ = ( x x,y y ) = ( x+,y 4) K A K A AB = ( x B x A, yb ya) = ( 4, ) ( MAB) = 5 και Κ x,y Τότε: x+ y 4 = = = + = 4 ( KAB) det ( AK, AB) ( x ) 4( y 4) x + 4 4y + 6 = x 4y + = x y + ΚΑΒ = ΜΑΒ x y+ = 5 Τότε από την ισότητα των εμβαδών έχουμε Άρα τα σημεία Κ(x, y) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις: x y 5= και x y+ 5= 8
GI_V_MATHP_4_86 [παράγραφος ] Δίνεται η εξίσωση: x + xy+ y 6x 6y+ 8= α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε και ε οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους (Μονάδες 7) β) Αν ε :x+ y = και ε :x+ y 4=, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των ε και ε (Μονάδες 8) γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας ε με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β ii) (Μονάδες ) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο (Μονάδες 8) α) Η εξίσωση γράφεται: x + xy+ y 6x 6y+ 8= x+ y 6 x+ y + 8= Θέτοντας x+ y= ω η εξίσωση μετασχηματίζεται στη δευτεροβάθμια έχει διακρίνουσα Δ = 4 και ρίζες εξισώσεις δύο ευθειών Παρατηρούμε ότι λ = λ = ω = 6 ω = ± ή Οπότε ω = 4 Άρα η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους β) Έχουμε ( ε ) :x+ y = και ( ) ω 6ω + 8=, η οποία x+ y = ή, οι οποίες είναι οι x + y 4 = ε :x+ y 4= Θα βρούμε δύο σημεία Η και Θ, ένα σε καθεμία από τις δύο ευθείες Για x = σε καθεμία από τις δύο ευθείες, έχουμε: Το σημείο Η (, ) ( ε ) και το Θ(, 4) ( ε ) x + x y + y = Το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΗΘ έχει συντεταγμένες Η Θ, Η Θ (,3) Άρα η μεσοπαράλληλη των ( ε ),( ) Άρα έχει εξίσωση: ε διέρχεται από το M και έχει λ = y y = λ x x y 3= x y 3= x x+ y 3= M M 9
γ) i) Για y = στην ( ) x =, άρα Α(, ) Για x = στην ( ) y= 3, άρα B,3 ( ) ε :x+ y = προκύπτει ε :x+ y 4= προκύπτει ii) ο Η πλευρά ΑΔ θα σχηματίζει γωνία 45 με την διαγώνιο ΑΒ, άρα ΑΔ //xx, οπότε η εξίσωση της είναι ( ΑΔ ):y= η οποία τέμνει την (ε) στο σημείο Δ(, ) Όμοια Γ(,3 ) η 5 Αν Κ, το μέσον του ΑΒ Ο κύκλος με κέντρο το 5 Κ, και ακτίνα 5 R = ΑΚ = + = = = 4 Γ(,3 ) και Δ(, ) τέμνει την ευθεία ( ε ) στα σημεία
GI_V_MATHP_4_863 [παράγραφος ] Δίνεται η εξίσωση x + y xy 3λx+ 3λy+ λ =, με λ διαφορετικό του α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με (Μονάδες ) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με, να βρείτε την τιμή του λ (Μονάδες 3) α) Η δοσμένη εξίσωση γίνεται: x y xy 3λx 3λy λ x y 3λ x y λ + + + = + = ( x y λ)( x y λ) = x y λ = ή x y λ = x y λ x y λ x y + λ = x y x y λ λ x y λ = y= x λ ή y= x λ Άρα έχουμε δύο ευθείες την ε :y= x λ και την ζ :y= x λ, παράλληλες μεταξύ τους, με συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) ίσο με η Η εξίσωση γράφεται: x y xy 3λx 3λy λ x y 3λ x y λ + + + = + = Θέτοντας x y= t η εξίσωση μετασχηματίζεται στη δευτεροβάθμια ποία έχει διακρίνουσα ( ) Δ = 3λ 4λ = λ >, αφού λ t = λ 3λ± λ ( ε ):x y= λ ( ε ):x y λ = Οπότε: t, = ή ( ζ ):x y= λ ( ζ ):x y λ = t = λ Αφού λε = λζ =, έπεται ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες t 3λt+ λ =, η ο- β) Αφού οι ευθείες ( ε ) και ( ζ ) είναι παράλληλες, η πλευρά α του τετραγώνου θα είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δύο παράλληλων ευθειών Για την απόσταση των δύο ευθειών θα βρούμε ένα σημείο πάνω σε μία από τις δύο ευθείες καιι θα πάρουμε την απόστασή του από ε την άλλη Το σημείο Α (, λ), που προέκυψε για x = στην ( ε ), είναι σημείο της ( )
Άρα Αλλά 3η ( ) λ λ λ λ α = d ( ε, ζ) = d( A, ζ) = = = λ Ετετρ = α = = λ = 4 λ = ή λ = α) Η πρώτη εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: x xy 3λx y 3λy λ + + + = ή ( )( ) x xy 3λx+ y+ λ y+ λ = ή ( + + + ) + ( + )( + ) = ή ( )( ) x y λ y λ x y λ y λ [( y= x λ) ή ( y x λ) = ] x y λ x y λ = ή β) Η ευθεία y= x, που είναι κάθετη στις δύο προηγούμενες παράλληλες ευθείες τις τέμνει στα λ λ σημεία,,( λ, λ) Επομένως ισχύει λ = ή λ = αντίστοιχα λ λ λ λ λ + λ+ = + = λ = 4, 4 4 από όπου παίρνουμε Παρατήρηση: Θα μπορούσε το (β) ερώτημα να ήταν: Αν η πλευρά ρόμβου, του οποίου δύο πλευρές είναι πάνω στις ευθείες του α) ερωτήματος είναι k, με k να είναι δεδομένου μέτρου ευθύγραμμο τμήμα, βρείτε τη τιμή του λ
GI_V_MATHP_4_864 [παράγραφος 3] Δίνονται οι ευθείες ε :3x+ y+ 3= και ε :x+ y 4= α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 5) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x,y ) για τα οποία ισχύει ( ΚΒΓ) ( ΑΒΓ) δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) = ανήκουν σε (Μονάδες ) α) Για το σημείο τομής A των δύο ευθειών, λύνουμε το σύστημα εξισώσεων των δύο ευθειών, αφού το A ανήκει και στις δύο ευθείες Έχουμε λοιπόν: 3x + y = 3 3x + y = 3 3x + y = 3 x = x + y = 4 3x 6y = 5y = 5 y = 3 Επομένως το σημείο τομής των ευθειών ε και ε είναι A(,3) β) Το σημείο στο οποίο η ε τέμνει τον άξονα yy έχει τετμημένη μηδέν Οπότε για x = στην ε βρίσκουμε y 3 =, οπότε B, ( 3) Επίσης, το σημείο στο οποί η ε τέμνει τον άξονα xx έχει τεταγμένη μηδέν Οπότε για y= στην ε βρίσκουμε x = 4, δηλαδή Γ( 4, ) ii) Επειδή i) Η εξίσωση της ευθείας ΒΓ είναι: yγ yb + 3 3 y yb = ( x xb) y ( 3) = ( x ) y+ 3= x 3x 4y = xγ xb 4 4 AB =, 6, AΓ = 6, 3, από τον τύπο εμβαδού τριγώνου με την ορίζουσα βρίσκουμε: 6 E= det( AB,AΓ ) = = 3 = 5 τμ 6 3 KB = x, 3 y, KΓ = 4 x,y, οπότε: ( KBΓ) = ( ABΓ) det ( KB, KΓ) = 3 γ) Είναι 3
x 3 y 4 x y = 3 3x + 4y + = 3 ( 3x 4y = 3 ή 3x 4y = 3 ) 3x 4y 4 = ή 3x 4y + 8 = Οπότε τα σημεία Κ ( x,y ) ανήκουν στις ευθείες οι οποίες είναι παράλληλες καθώς ( ζ ) :3x 4y 4= και ( ) λ 3 3 = λ = = 4 4 ζ ζ ζ :3x 4y+ 8= 4
GI_V_MATHP_4_865 [παράγραφος 3 ] Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε :y Α ( x,y ), ( ) Β x,y και x < x = x, με Αν το σημείο Μ ( 3,5 ) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β β) να αποδείξετε ότι ( ΟΑΒ) = 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x,y ) για τα οποία ισχύει ( ΚΑΒ) ( ΟΑΒ) στις ευθείες με εξισώσεις τις: x y = και x y+ 6= (Μονάδες 3) (Μονάδες 5) = ανήκουν (Μονάδες 7) α) Οι συντεταγμένες του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων Οπότε, αφού το M είναι μέσο του AB έχουμε: x+ x y+ y M, x+ x Έτσι 3 x x 6() y + y = + = και = 5 y + y = ( ) Αφού το γινόμενο των τετμημένων των σημείων A και B ισούται με 5 έχουμε xx 5( 3) = Στις σχέσεις ()(),3 έχουμε το άθροισμα και το γινόμενο των x,x Συνεπώς τα x,x είναι w 6w+ 5= w w 5 = w = η w = 5 λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ( )( ) Άρα x = και x = 5 αφού x < x Επειδή το AB είναι παράλληλο προς την ευθεία ( ε ) :y = x, αν λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του ΑΒ θα ισχύει: Προσθέτοντας την ( ) και ( ) Άρα A,3 ( ) και B5,7 ( ) y y = = = ( ) λ y y 4 4 x x β) Είναι ΟΑ = (, 3) και ΟΒ = ( 5,7) οπότε: ( ) αφού x x = 4 4 παίρνουμε y = 4 y = 7 και άρα y 3 = από την ( ) 3 OAB = det OA, OB = = 4 5 7 4 5
γ) Είναι ΑΚ = ( x,y 3) και ΑΒ = ( 4, 4) Οπότε KAB = OAB det AK, AB = 8 x y 3 4 4 = 6 4x 4 4y + = 6 4x 4y + 8 = 6 4x 4y + 8 = 6 η 4x 4y + 8 = 6 x y = η x y+ 6= Άρα τα σημεία K( x,y ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις x y = και x y+ 6= 6
GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος 5] Δίνονται τα διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύουν: κ α =, β =, ( α,β) = 6 και γ = α β, όπου κ α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Αν ισχύει β γ= κ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ = ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3α + γ και β γ είναι κάθετα (Μονάδες 3) (Μονάδες 6) (Μονάδες 8) (Μονάδες 8) α) o Έχουμε αβ = αβσυν6 = = βi) κ κ κ Ισχύει β γ= κ β α β = κ α β β = κ = κ κ = ii) Για κ γ= α β γ = α β γ = α + α β+ β = έχουμε ( ) iii) Υπολογίζουμε τα ( ) και ( ) γ = + + γ = 7 γ = 7 α γ= α α β = α α β= = 5 β γ = β α β = α β β = = επομένως 3α + γ β γ = 3α β 3α γ+ β γ γ = 3 3 5 + 7= Άρα τα διανύσματα είναι κάθετα 7
GI_V_MATHP_4_867 [παράγραφος ] Δίνονται τα διανύσματα α και b με μέτρα,6 αντίστοιχα και φ [, π] η μεταξύ τους γωνία Επίσης δίνεται η εξίσωση ( αb+ ) x+ ( αb ) y 5= () α) Να αποδείξετε ότι η ( ) παριστάνει ευθεία για κάθε φ [, π] (Μονάδες 3) β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα yy, να αποδείξετε ότι b= 3α (Μονάδες 7) γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα xx, να αποδείξετε ότι b= 3α (Μονάδες 7) δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι b α α) Η ( ) είναι στη μορφή Ax By Γ + + = με A = αb+, B = αb Για να παριστάνει ευθεία, αρκεί A ή B Δηλαδή αb+ Δηλαδή αb ή αb που ισχύει Άρα η εξίσωση ( ) παριστάνει ευθεία για κάθε φ [, π] και Γ = 5 ή αb (Μονάδες 8) β) Αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα yy δεν θα ορίζεται για αυτή συντελεστής διεύθυνσης φ [,π] Οπότε B= αb = αb= α b συνφ = συνφ = φ = Δηλαδή, τα διανύσματα είναι ομόρροπα και b = 6= 3α Οπότε b= 3α γ) Αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα xx θα έχει συντελεστή διεύθυνσης Οπότε: φ [,π] A= αb+ = αb= α b συνφ = συνφ = φ= π Δηλαδή, τα διανύσματα είναι αντίρροπα και b = 6= 3α Οπότε b= 3α δ) Η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων είναι η ευθεία με εξίσωση y x ( ε) Οποτε, η ευθεία ( ) και η ( ) ε θα έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Έχουμε λοιπόν: αb+ λ = λε = αb = αb αb= αb= α b αb = 8
η α) Oι συντελεστές των x,y προφανώς δε μηδενίζονται συγχρόνως, άρα η () παριστάνει ευθεία για κάθε φ [, π], β) Ισχύει a b = a b = a b = a b άρα τα διανύσματα είναι ομόρροπα και αφού b = 3 a έχουμε ότι b = 3a γ) Ισχύει a b + = a b = a b = a b άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και αφού b = 3 a έχουμε ότι b = 3a δ) Για την ευθεία ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, που θα ισούται με την κλίση της διχοτόμου, άρα έχουμε a b + = a b = a b a b = a b a b 9
GI_V_MATHP_4_868 [παράγραφος 5] α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u+ v = u + v και u+ v = u v (Μονάδες ) α β γ β) Δίνονται τα διανύσματα α,β, γ για τα οποία ισχύουν: α+ β+ γ= και = = 3 4 7 i) Να αποδείξετε ότι: α β και β γ ii) Να αποδείξετε ότι: 7α + 3γ = (Μονάδες 8) (Μονάδες 7) α) v u v u v u ( v u ) + = + + = + v + v u+ u = v + v u + u v u = v u v u = v u Άρα v,u ομόρροπα Όμοια ( ) v+ u = v u v+ u = v u v + v u+ u = v v u + u v u = v u v u = v u Άρα v,u αντίρροπα βi) ος ΤΡΟΠΟΣ Αν θέσουμε α β γ = = = λ τότε α 3 4 7 Είναι = 3λ, β = 4λ, γ = 7λ α+ β+ γ= α+ β= γ Οπότε ( α+ β) = ( γ) α + α β+ β = γ α β= 49λ 6λ 9λ α β= 4λ αβ = λ α β= α β Άρα α,β ομόρροπα Όμοια προκύπτει ότι β, γ αντίρροπα ος ΤΡΟΠΟΣ Αν θέσουμε α β γ = = = λ 3 4 7 τότε α = 3λ, β = 4λ, γ = 7λ ( )
Παρατηρούμε ότι α+ β = γ α+ β = γ ( ) α + β = 3λ + 4λ = 7λ= γ ( 3 ) Από τις ( ) και ( 3 ) έχουμε ότι α+ β = α + β, άρα α,β ομόρροπα Τότε α= λβ με λ > και από τη σχέση α+ β+ γ= γ= ( λ+ ) β = + < τότε γ = ρβ άρα γ,β αντίρροπα Αν θέσουμε όπου ρ ( λ ) ii) ος ΤΡΟΠΟΣ Αν θέσουμε v= 7α και u = 3γ τότε έχουμε ότι v, u είναι αντίρροπα Αφού όμως από τη σχέση α β γ = = έχουμε ότι 7 α = 3 γ προκύπτει v = u 3 4 7 Άρα v, u αντίθετα οπότε 7α + 3γ = ος ΤΡΟΠΟΣ ( ) 9 3 7α + 3γ = 7α + 3γ = 49 α + 4αγ + 9 γ = 49 γ 4 γ + 9 γ = 49 7 Άρα 7α + 3γ = 7α + 3γ =
GI_V_MATHP_4_86 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ( ) Α (, ) ε : λ x y 5 + =, ( ) ε : λ + 3x y 5= με λ και το σημείο α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ οι ευθείες τέμνονται β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του λ (Μονάδες 7) (Μονάδες ) γ) Έστω λ = και Β,Γ τα σημεία που οι ε και ε τέμνουν τον άξονα yy Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 8) α) Η ορίζουσα του συστήματος των ( ε ) και ( ) ε είναι: λ = = + = = ( + ) < λ + 3 D λ λ 3 λ λ λ για κάθε λ Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ, δηλαδή για κάθε τιμή του λ οι ευθείες τέμνονται ε β) Πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου Α να επαληθεύουν τις εξισώσεις των ( ) Οπότε έχουμε: ( ) λ 5= 4λ = 8 λ = ( λ + 3) + 5= λ = 4 γ) Για λ = είναι: ε : 3x+ y 5= και ε : 7x y 5= ε και ( ) Το σημείο στο οποίο η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy έχει τετμημένη μηδέν Οπότε για x = στην ( ε ) βρίσκουμε ότι η ( ) στην ( ε ), βρίσκουμε ότι η ( ) Είναι: άρα AB =,5 + =, 6 ε τέμνει τον yy ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο ( ) Β,5, Αντίστοιχα για x = στο σημείο Γ(, 5) και AΓ = (, 5+ ) = (, 4) 6 ΑΒΓ = det AB,AΓ = = 8 + = 4 = τμ 4,
GI_V_MATHP_4_86 [παράγραφος 5-] Δίνονται οι ευθείες ε :κx ( + κ) y+ 3κ = και κ ζ :+ 3κ x + κ y+ 6κ =, όπου α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ( ε) και ( ζ ) (Μονάδες ) (Μονάδες 5) α) Το διάνυσμα u = ( κ, κ) v = κ, 3κ ( ) είναι παράλληλο στην ευθεία ( ε ) και το διάνυσμα είναι παράλληλο στην ευθεία ( ζ ) κ κ ε ζ u v det u,v = = 5κ + κ + = κ 3κ Έχουμε ( ) η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα Δ = 6, άρα είναι αδύνατη στο Άρα δεν υπάρχει τιμή του πραγματικού κ ώστε να είναι ε ζ β) Έστω ω = ( v,u ) Τότε: u v ( κ)( κ ) + ( κ)( 3κ ) συνω = = = u v κ + κ κ + 3κ + + + + = = = 5κ + κ + κ + 4κ + 5κ κ Άρα η οξεία γωνία των διανυσμάτων είναι ζ είναι 35 Οπότε και η αμβλεία γωνία των ευθειών ( ε ) και ( ) 5κ κ 5κ κ ( + + ) ω = 45 και η αμβλεία είναι 35 3
GI_V_MATHP_4_86 [παράγραφος 3] 3 Δίνονται τα σημεία Α,, B, ( ) και μ 4 Γ μ,, όπου μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και ΒΓ (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μ ΒΓ= AB (Μονάδες 8) (Μονάδες 6) δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι ( ΟΒΓ) =, όπου O είναι η αρχή των αξόνων 3 α) Είναι AB =, + =, και μ 4 μ ΒΓ = μ, + = μ, β) Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Πράγματι μ μ det ( AB, ΒΓ) = = =, μ μ άρα είναι AB BΓ δηλαδή τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά μ μ BΓ = AB μ μ, =, μ μ, =, γ) ( ) δ) Για μ = είναι μ μ = μ μ + = μ = μ = 3 Γ,, δηλαδή το Γ ταυτίζεται με το Α ΟΒΓ = det ΟB, ΟΓ = 3 = 3+ = τμ (Μονάδες 3) 4
GI_V_MATHP_4_863 [παράγραφος 3] Δίνονται τα σημεία Α ( 3, 4 ), B5,7 ( ) και Γ( μ, 3μ ) +, όπου μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και AΓ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ ii) (Μονάδες 8) (Μονάδες 5) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση (Μονάδες 7) γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ ; και AΓ = μ + 3,3μ 4 = μ,3μ 6 α) Είναι AB = ( 5 3, 7 4) = (,3) Επειδή ( ) 3 det AB, AΓ = 6μ 6μ 6 6 μ 3μ 6 = + = είναι παράλληλα, άρα τα σημεία Α,Β,Γ δεν είναι συνευθειακά βi) Είναι: (Μονάδες 5) τα διανύσματα AB, AΓ δεν 3 ΑΒΓ = det AB, AΓ 6μ 6μ 6 3τμ = μ 3μ 6 = + =, άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του μ (ii) Αφού Γ( μ +, 3μ ) έχουμε: και x = μ + x απ όπου μ = y = 3μ x y= 3 y= 3x 3 4 3x y= 7 Άρα το Γ για οποιαδήποτε τιμή του μ ανήκει στην ευθεία ( ε ) με εξίσωση ε :3x y= 7 3 (γ) Παρατηρούμε ότι λε = = λ AB,οπότε ε //ΑΒ Άρα για οποιαδήποτε θέση του Γ στην ( ε ) το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ από το γ έχει σταθερό μήκος, οπότε και το εμβαδόν μένει σταθερό 5
GI_V_MATHP_4_47 Δίνονται τα σημεία A ( λ +, λ ), B, ( ) και ( ) α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος BΓ Γ 4,6, λ R β) Αν το σημείο A ισαπέχει από τα σημεία B και Γ, να βρείτε την τιμή του λ γ) Για λ = 4,να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ABΔΓ να είναι ρόμβος (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) (Μονάδες ) α) Το μέσο M του τμήματος BΓ είναι: + 4 + 6 M, 6 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας BΓ είναι: λbγ = = 4 δηλαδή το M( 3,4 ) Αν δ είναι η μεσοκάθετος του BΓ τότε λ δ λbγ = λδ = και η εξίσωση της δ εί- ναι: y ym = λδ ( x xm ) y 4= ( x 3) x+ y= β) Αφού το A ισαπέχει από τα σημεία B και Γ τότε ανήκει στη μεσοκάθετο του BΓ δηλαδή στην ευθεία δ Έτσι με x= λ + και y= λ η δ γίνεται: λ + + ( λ ) = λ = 4 γ) Αν λ = 4 τότε A( 5,3 ) Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ ρόμβος πρέπει κι αρκεί το Μ να xa + xδ = xμ 5+ xδ = 6 xδ = είναι μέσο της ΒΔ, άρα οπότε Δ(, 5) ya + yδ = ym 3+ yδ = 8 yδ = 5 ΑΛΛΗ Το σημείο Δ πρέπει να ισαπέχει από τα Β, Γ, οπότε βρίσκεται στη μεσοκάθετο του BΓ, άρα έχει συντεταγμένες Δ( α, α ), α R Οπότε ( ΜΔ) ( ΜΑ) ( α 3) ( α 4) ( 5 3) ( 3 4) = + = + 8 α + α 4 = 5 α 8α + 5 = Η εξίσωση δίνει α = 5, οπότε Δ (, 5 ) ή α = 3 που απορρίπτεται αφού ταυτίζεται με το A ΣΧΟΛΙΟ: Είναι το 4_869 (που αποσύρθηκε), με αλλαγμένες τις συντεταγμένες του A 6