Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών
Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2
Περιεχόµενα ενότητας 6.1 Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές...................... 4 6.1.1 Παράρτηµα: Γενική απόδειξη του Θεωρήµατος 6.1.9................. 9 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3
6.1 Το φασµατικό θεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Σταθεροποιούµε έναν αυτοσυζυγή τελεστή A B(H ) και στοχεύουµε να «αναπαραστήσουµε» τον A ως πολλαπλασιαστικό τελεστή σ έναν κατάλληλο χώρο L 2 (X, µ). Ακριβέστερα, ϑα κατασκευάσουµε ένα χώρο µέτρου (X, µ) και µία f L (X, µ) ώστε ο A να είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον πολλαπλασιαστικό τελεστή M f, δηλαδή να υπάρχει ένας ορθοµοναδιαίος τελεστής U : L 2 (X, µ) H ώστε A = U M f U 1. Το κρίσιµο ϐήµα εµπεριέχεται στο: Λήµµα 6.1.1. Για κάθε µη µηδενικό x H υπάρχει ϑετικό κανονικό πεπερασµένο µέτρο Borel µ x στο σ(a) και ισοµετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H ώστε (και ειδικότερα AU x = U x M fo όπου f o (λ) = λ). U x M f = f (A)U x για κάθε f C(σ(A)) Απόδειξη. Από τον συναρτησιακό λογισµό για συνεχείς συναρτήσεις (Θεώρηµα 5.1.3), ορίζεται η απεικόνιση Φ c : C(σ(A)) B(H ) : f f (A) που είναι ισοµετρικός *-µορφισµός. Σταθεροποιούµε ένα µη µηδενικό x H και ϑεωρούµε την γραµµική απεικόνιση ϕ x : C(σ(A)) C : f f (A)x, x. Παρατηρούµε ότι η ϕ x είναι θετική γραµµική µορφή στον C(σ(A)), δηλαδή ϕ x ( f ) 0 για κάθε f 0. Πράγµατι, αν f 0 τότε f (A) 0 (Πόρισµα 5.1.12) εποµένως ϕ x ( f ) = f (A)x, x 0. Από το Θεώρηµα Αναπαράστασης του Resz 1, υπάρχει (µοναδικό) ϑετικό πεπερασµένο κανονικό µέτρο Borel µ x στο σ(a) ώστε f dµ x = ϕ x ( f ) = f (A)x, x για κάθε f C(σ(A)). Θεωρώντας τώρα τον χώρο C(σ(A)) ως υπόχωρο του L 2 (σ(a), µ x ), 2 ορίζουµε την απεικόνιση U ox : (C(σ(A)), 2 ) (H, H ) : f f (A)x που είναι προφανώς γραµµική. Ισχυριζόµαστε ότι είναι ισοµετρία. Πράγµατι, για κάθε f C(σ( A)), f (A)x 2 H = f (A)x, f (A)x = f (A) f (A)x, x = ( f f )(A)x, x = f f dµ x = f 2 2 (χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι η Φ c : f f (A) είναι *-µορφισµός). είξαµε λοιπόν ότι U ox ( f ) H = f 2 για κάθε f C(σ(A)), δηλαδή ότι η U ox είναι ισοµετρική. Εποµένως επεκτείνεται σε ισοµετρία U x ορισµένη στην κλειστή ϑήκη του C(σ(A)) ως προς την νόρµα. 2. Αλλά αυτή η κλειστή ϑήκη είναι ακριβώς 3 ο L 2 (σ(a), µ x ). Εχουµε λοιπόν µία ισοµετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H 1 ϐλέπε π.χ. Γ. Κουµουλλής, Σ. Νεγρεπόντης, Θεωρία Μέτρου, Εκδ. Συµµετρία, 1988 [Θεώρηµα 12.26] 2 δηλαδή ταυτίζοντας συναρτήσεις που διαφέρουν µόνο σε µ x -µηδενικά σύνολα 3 ϐλέπε π.χ. Γ. Κουµουλλής, Σ. Νεγρεπόντης, Θεωρία Μέτρου, Εκδ. Συµµετρία, 1988 [Πρόταση 12.24] Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4
που ικανοποιεί U x ( f ) = f (A)x όταν η f είναι συνεχής. Μένει να δειχθεί ότι U x M f = f (A)U x για κάθε f C(σ(A)). Πράγµατι, για κάθε g C(σ(A)) έχουµε (U x M f )(g) = U x ( f g) = (( f g)(a))(x) = f (A)(g(A)(x)) = ( f (A)U x )(g). Εποµένως οι φραγµένοι τελεστές U x M f L 2 (σ(a), µ x ), άρα είναι ίσοι. και f (A)U x ταυτίζονται στον πυκνό υπόχωρο C(σ(A)) του Παρατήρηση 6.1.2. Αξίζει ίσως να σχολιάσει κανείς τον διπλό ρόλο του χώρου C(σ( A)) στην προηγού- µενη απόδειξη: Αφενός µεν χρησιµοποιήθηκε (µέσω του συναρτησιακού λογισµού) ως χώρος τελεστών f (A) στον H, αφετέρου ως χώρος διανυσµάτων στον L 2 (σ(a), µ x ). Παρατήρηση 6.1.3. Το σύνολο τιµών m(u x ) της ισοµετρίας U x του Λήµµατος είναι ακριβώς ο κυκλικός υπόχωρος H x = [A n x : n = 0, 1,...] = [x, Ax, A 2 x,...] του x για τον A. Πράγµατι, το σύνολο τιµών του U x είναι κλειστό (διότι ο U x είναι ισοµετρία) και περιέχει το f (A)x για κάθε f C(σ(A)). Ειδικότερα περιέχει όλα τα διανύσµατα της µορφής A n x για n = 0, 1,..., άρα περιέχει τον H x. Από την άλλη µεριά κάθε f C(σ(A)) προσεγγίζεται από µία ακολουθία (p n ) από πολυώνυµα, οµοιόµορφα στο σ(a), και συνεπώς p n (A) f (A) 0, άρα και p n (A)x f (A)x 0. Αλλά κάθε p n (A)x ανήκει στον H x, συνεπώς το ίδιο ισχύει για το f (A)x. Εποµένως και συνεπώς ισχύει ισότητα. m U ox = { f (A)x : f C(σ(A))} H x m U x άρα m U x = m U ox H x m U x Παρατήρηση 6.1.4. Αν µπορούσαµε να επιλέξουµε το x H ώστε ο U x να είναι αντιστρέψιµος, τότε το προηγούµενο Λήµµα ϑα έδινε f (A) = U x M f Ux 1 για κάθε f C(σ(A)), και ειδικότερα A = U x M fo Ux 1, οπότε ϑα είχαµε δείξει ότι ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή. Αλλά ο U x είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι επί του H (γιατί είναι πάντα ισοµετρία, άρα 1 1). Από την προηγούµενη παρατήρηση, αυτό συµβαίνει ακριβώς όταν ο κυκλικός υπόχωρος H x είναι όλος ο χώρος H. Ορισµός 6.1.5. Ενα διάνυσµα x H λέγεται κυκλικό (cyclc) για τον τελεστή A B(H ) αν ο κυκλικός υπόχωρος (cyclc subspace) που ορίζει είναι όλος ο H, ισοδύναµα αν ο γραµµικός χώρος [A n x : n = 0, 1,...] είναι πυκνός στον H. Το Λήµµα και οι παρατηρήσεις που προηγήθηκαν αποδεικνύουν την Πρόταση 6.1.6. Αν ένας αυτοσυζυγής τελεστής A B(H ) έχει κυκλικό διάνυσµα, υπάρχει πεπερασµένο ϑετικό κανονικό µέτρο Borel µ στο σ(a) ώστε ο A να είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον τελεστή M fo του πολλαπλασιασµού επί την ανεξάρτητη µεταβλητή, (M fo (g))(x) = xg(x), στον L 2 (σ(a), µ). Οµως, δεν έχουν όλοι οι αυτοσυζυγείς τελεστές κυκλικά διανύσµατα. Για παράδειγµα, ο ταυτοτικός τελεστής του H δεν έχει ποτέ κυκλικό διάνυσµα, εκτός αν ο H είναι µονοδιάστατος! Ενα λιγότερο τετριµµένο παράδειγµα είναι το εξής: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5
Παράδειγµα 6.1.7. Εστω H = L 2 ([0, 1]) L 2 ([0, 1]) 4 και έστω A = M fo M fo όπου f o (λ) = λ (λ [0, 1]). Τότε ο A είναι αυτοσυζυγής τελεστής χωρίς κυκλικό διάνυσµα. Απόδειξη. Οτι ο A είναι αυτοσυζυγής έπεται από το γεγονός ότι η f o είναι πραγµατική. Ισχυριζόµαστε ότι κανένα διάνυσµα f g δεν είναι κυκλικό για τον A. Πράγµατι, το διάνυσµα ḡ ( f ) είναι κάθετο σε κάθε A n ( f g): A n ( f g), ḡ ( f ) = (M n f o f M n f o g), ḡ ( f ) = M n f o f, ḡ M n f o g, f = t n f (t)g(t)dt t n g(t) f (t)dt = 0. Επεται ότι η γραµµική ϑήκη του συνόλου {A n ( f g) : n = 0, 1,...} δεν µπορεί να είναι πυκνή στον H. Παρατηρούµε ότι αν ταυτίσουµε τον χώρο H στο παράδειγµα αυτό µε τον L 2 ([0, 1] [1, 2]), τότε ο τελεστής A ταυτίζεται µε τον M f, όπου f η «οδοντωτή» συνάρτηση f (t) = t για t [0, 1] και f (t) = t 1 για t (1, 2]. Με κάπως ανάλογο τρόπο, η γενική περίπτωση ανάγεται στην περίπτωση της Πρότασης 6.1.6 τοποθετώντας κατάλληλους χώρους µέτρου «τον ένα δίπλα στον άλλο». Λήµµα 6.1.8. Αν A B(H ) είναι αυτοσυζυγής, υπάρχει µία οικογένεια {H : I} από κάθετους ανά δύο υποχώρους του H, ώστε () κάθε H να είναι A-αναλλοίωτος, δηλ. A(H ) H () κάθε H να είναι A-κυκλικός, δηλ. να περιέχει ένα A-κυκλικό διάνυσµα () το ευθύ άθροισµα H (δηλαδή ο µικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει κάθε H ) να είναι όλος ο H. Απόδειξη. Ονοµάζουµε δύο µη µηδενικά διανύσµατα x 1, x 2 H πολύ κάθετα (ως προς A) αν A n x 1 A m x 2 για κάθε n, m = 0, 1,..., ισοδύναµα (γιατί;) αν οι κυκλικοί υπόχωροι που παράγονται από τα x 1 και x 2 είναι κάθετοι. Εστω {x : I} µία µεγιστική 5 οικογένεια από πολύ κάθετα διανύσµατα, και για κάθε έστω H = [A n x : n = 0, 1,...] ο αντίστοιχος κυκλικός υπόχωρος. Εφόσον A(A n x ) = A n+1 x H για κάθε n και ο A είναι συνεχής, έπεται ότι A(H ) H για κάθε. Μένει να δειχθεί ότι το ευθύ άθροισµα H είναι όλος ο H. Πράγµατι, αν ένα µη µηδενικό διάνυσµα x H είναι κάθετο στον H τότε για κάθε I και κάθε n, m = 0, 1,... έχουµε A n x, A m x = x, A n+m x = 0 (διότι A n+m x H ) πράγµα που δείχνει (γιατί;) ότι ο κυκλικός υπόχωρος H x που παράγεται από το x είναι κάθετος στον H. Αυτό αντιβαίνει στην µεγιστικότητα της οικογένειας {x : I}. Σταθεροποιούµε µία οικογένεια {H : I} όπως στο Λήµµα 6.1.8. 4 µε το εσωτερικό γινόµενο f 1 g 1, f 2 g 2 = f 1, f 2 + g 1, g 2 5 Η απόδειξη της ύπαρξης τέτοιας οικογένειας είναι τυπική εφαρµογή του Λήµµατος Zorn. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6
Από το Λήµµα 6.1.1, για κάθε I υπάρχει πεπερασµένο ϑετικό µέτρο Borel µ στον σ(a) και ισοµετρία (*) U : L 2 (σ(a), µ ) H ώστε AU = U M f όπου f (λ) = λ (λ σ(a)), και το σύνολο τιµών της U είναι H. ηλαδή, αν ϑέσουµε A = A H, κάθε A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον πολλαπλασιαστικό τελεστή M f που δρα στον χώρο L 2 (σ(a), µ ). Θα δείξουµε ότι ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν κατάλληλο πολλαπλασιαστικό τελεστή M f στον L 2 (X, µ), όπου ο (X, µ) είναι η λεγόµενη ξένη ένωση των χώρων µέτρου (σ(a), µ ), I. Για να αποφύγουµε ορισµένες µετροθεωρητικές δυσκολίες, ϑα υποθέσουµε στο εξής 6 ότι ο χώρος H είναι διαχωρίσιµος, οπότε και η οικογένεια {x } είναι αριθµήσιµη. Υποθέτουµε λοιπόν ότι I = N. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε, όπως ϑα δούµε, να πάρουµε για (X, µ) τον R εφοδιασµένο µε ένα κατάλληλο µέτρο Borel. Παρατηρούµε πρώτα ότι, εφόσον σ( A) [ A, A ], η διάµετρος του σ( A) δεν υπερβαίνει το 2 A. Εποµένως, αν ϑέσουµε a = 3 A και X = σ(a) + a = {λ + a : λ σ(a)}, τα σύνολα X, N είναι ξένα ανα δύο συµπαγή υποσύνολα του R. Ορίζουµε το εξής µέτρο Borel στο R: µ(y ) = µ (ϕ (Y X )), Y R Borel όπου ϕ : X σ(a) : t t a. Είναι εύκολη άσκηση Θεωρίας Μέτρου να ελέγξει κανείς ότι το µ είναι πράγµατι µέτρο και είναι σ- πεπερασµένο, αφού κάθε µ είναι πεπερασµένο. Απεικονίζουµε τώρα τους χώρους L 2 (σ(a), µ ), N ισοµετρικά σε κάθετους ανά δύο υποχώρους του L 2 (R, µ): Ισχυρισµός : Για κάθε η απεικόνιση είναι γραµµική, επί και ικανοποιεί W : L 2 (R, µ) L 2 (σ(a), µ ) όπου (W g)(λ) = g(λ + a), λ σ(a) W g = g X για κάθε g L 2 (R, µ). Απόδειξη : Η W είναι επί του L 2 (σ(a), µ ), γιατί αν h L 2 (σ(a), µ ) ϑέτοντας g(t) = h(ϕ (t)) για t X και g(t) = 0 για t X, έχουµε g(t) 2 dµ(t) = h(ϕ (t)) 2 dµ(t) = h(λ) 2 dµ (λ) < X R 6 Τονίζουµε ότι η υπόθεση αυτή γίνεται µόνον για ευκολία στην απόδειξη το ϑεώρηµα 6.1.9 ισχύει και σε µη διαχωρίσιµους χώρους. ίνουµε µία γενική απόδειξη στο Παράρτηµα 6.1.1 σ(a) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7
άρα g L 2 (R, µ) και W g = h. Εστω g L 2 (R, µ). Αν η g µηδενίζεται στο X τότε για κάθε λ σ(a) έχουµε (W g)(λ) = 0 εφόσον λ + a X. Αν η g µηδενίζεται στο X c τότε ισχυρίζοµαι ότι W g = g. Πράγµατι αρκεί να αποδειχθεί ο ισχυρισµός n όταν η g είναι απλή συνάρτηση, g = c k χ Yk όπου Y k X ξένα Borel. Εχουµε W g = c k χ ϕ (Y k ) k=1 (γιατί W ( χ Y ) = χ ϕ (Y )), άρα W g 2 = c k 2 χ 2 ϕ (Y k ) = c k 2 µ (ϕ (Y k )) = c k 2 µ(y k ) = g 2. Επεται ότι για κάθε g L 2 (R, µ) ισχύει και ο ισχυρισµός αποδείχθηκε. k k W g = W (g X ) + W (g X c ) = W (g X ) = g X k k Για κάθε N έχουµε ονοµάσει f L (σ(a), µ ) τη συνάρτηση f (λ)=λ (λ σ(a)). Ορίζουµε τώρα την συνάρτηση f : R R ϑέτοντας { f (t a), αν υπάρχει ώστε t X f (t) = 0, αν t X Η f ανήκει στον L (R, µ) γιατί f = sup f = A, άρα ορίζεται ο τελεστής M f στον L 2 (R, µ). Παρατηρούµε ότι W M f = M f W Πράγµατι, για κάθε g L 2 (R, µ), αν λ σ(a) έχουµε οπότε (W f g)(λ) = ( f g)(λ + a) = f (λ + a)g(λ + a) = f (λ)g(λ + a) W M f g = W ( f g) = f (W g) = M f W g. Επειδή όµως U M f = AU (ϐλ. εξίσωση (*)), έπεται ότι (**) U W M f = U M f W = AU W. Παρατηρούµε ότι για κάθε g L 2 (R, µ) έχουµε U W g H άρα τα U W g είναι ανά δύο κάθετα και εποµένως, αφού η U είναι ισοµετρία, Επεται ότι η σειρά U W g 2 = =1 = W g 2 = =1 g X 2 =1 g 2 dµ = =1 X U W g συγκλίνει στον H και ότι =1 U W g =1 2 R = g 2. g 2 dµ = g 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8
Αν λοιπόν ορίσουµε την απεικόνιση U : L 2 (R, µ) H : g U W g τότε η U είναι ισοµετρία. Η εικόνα της περιέχει κάθε H, άρα και την κλειστή γραµµική τους ϑήκη, που είναι ο H. ηλαδή η U είναι ισοµετρία επί, άρα ορθοµοναδιαίος τελεστής. Τέλος, για κάθε g L 2 (R, µ), U M f g = εποµένως U M f = AU και άρα U W M f g ( ) = AU W g = A U W g = AUg A = U M f U 1. Εχουµε λοιπόν αποδείξει (µε την επιπλέον υπόθεση ότι ο H είναι διαχωρίσιµος) το Θεώρηµα 6.1.9 (Φασµατικό Θεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές). Εστω A B(H ) αυτοσυζυγής τελεστής. Υπάρχει χώρος µέτρου (X, µ), συνάρτηση f L (X, µ) και ορθοµοναδιαίος τελεστής U : L 2 (X, µ) H ώστε A = U M f U 1. 6.1.1 Παράρτηµα: Γενική απόδειξη του Θεωρήµατος 6.1.9 Υπενθυµίζεται ότι έχουµε έναν αυτοσυζυγή τελεστή A B(H ) και µία οικογένεια {H : I} από κάθετους ανα δύο A-αναλλοίωτους κυκλικούς υποχώρους µε ευθύ άθροισµα H (Λήµµα 6.1.8). Από το Λήµµα 6.1.1, για κάθε I υπάρχει πεπερασµένο ϑετικό µέτρο Borel µ στον σ(a) και ισοµετρία (*) U : L 2 (σ(a), µ ) H ώστε AU = U M f όπου f (λ) = λ (λ σ(a)), και το σύνολο τιµών της U είναι H. ηλαδή, αν ϑέσουµε A = A H, κάθε A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον πολλαπλασιαστικό τελεστή M f που δρα στον χώρο L 2 (σ(a), µ ). Θα δείξουµε ότι ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν κατάλληλο πολλαπλασιαστικό τελεστή M f στον L 2 (X, µ), όπου ο (X, µ) είναι η ξένη ένωση των χώρων µέτρου (X, µ ) = (σ(a), µ ). Η απόδειξη ϑα γίνει σε δύο ϐήµατα: πρώτα ϑα δείξουµε ότι ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε το ευθύ άθροισµα B = M f των πολλαπλασιαστικών τελεστών M f, και µετά ϑα δείξουµε ότι ο B είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή. H = H A H = H U U M f L 2 (X, µ ) L 2 (X, µ ) V V M f L 2 (X, µ) L 2 (X, µ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9
Ορισµός 6.1.10. (α) Αν {K } είναι µία οικογένεια χώρων Hlbert, ονοµάζουµε (εξωτερικό) ευθύ άθροισµα K το σύνολο K όλων των οικογενειών (x ) µε x K για κάθε που είναι τετραγωνικά αθροίσιµες 7, δηλαδή x 2 <. Συµβολίζουµε τα στοιχεία x K µε x = x και ϑέτουµε 8 x, y K = x, y. I (ϐ) Αν T : H K είναι ϕραγµένοι τελεστές για κάθε και sup T <, τότε για κάθε x K η οικογένεια (T (x )) είναι τετραγωνικά αθροίσιµη. Ορίζουµε το ευθύ άθροισµα T των τελεστών T από την σχέση T : H K x T (x ). Παρατήρηση 6.1.11. Η T είναι καλά ορισµένη γραµµική απεικόνιση διότι για κάθε x H έχουµε T (x ) 2 K sup T 2 x 2 H. I I Εποµένως πράγµατι T (x ) K, και ο T είναι ϕραγµένος τελεστής µε T sup T. Μάλιστα είναι εύκολη άσκηση να δείξει κανείς ότι T = sup T. Αν κάθε T είναι ισοµετρία, τότε και ο T είναι ισοµετρικός. Παρατήρηση 6.1.12. Αν H n, n N είναι κάθετοι ανά δύο υπόχωροι ενός χώρου Hlbert H, τότε το εσωτερικό ευθύ άθροισµά τους H n είναι ίσο µε το σύνολο H 0 = { x n : x n H n, x n 2 < } n και η απεικόνιση W : n H n H 0 : x n x n n είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός. Για τον λόγο αυτό ταυτίζουµε το εξωτερικό µε το εσωτερικό ευθύ άθροισµα καθέτων ανά δύο υποχώρων 9 ενός χώρου Hlbert. Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι το σύνολο H 0 είναι καλά ορισµένο, γιατί αν x n H n, δηλαδή xn 2 < τότε τα µερικά αθροίσµατα s N = N x n της σειράς n x n αποτελούν ϐασική ακολουθία: πράγµατι αν m > n τότε s m s n 2 = m k=n+1 n=1 x k 2 (αφού τα x k είναι ανά δύο κάθετα). Επίσης έχουµε 2 n 2 n x k = lm x k = lm x k 2 = n n k=1 k=1 k=1 x k 2. Είναι τώρα ϕανερό ότι η W είναι καλά ορισµένη, γραµµική και ισοµετρική απεικόνιση από τον H n στον H και η εικόνα της είναι ακριβώς ο H 0. Συνεπώς ο H 0 είναι (πλήρης, άρα) κλειστός υπόχωρος του H και ϐεβαίως περιέχει κάθε H n, άρα και τη γραµµική τους ϑήκη. Αφού ο H 0 είναι πλήρης, έπεται ότι H n H 0. Αν όµως κάποιο y H είναι κάθετο σε κάθε H n, τότε είναι κάθετο και στον H 0, γιατί για κάθε x = x n H 0 έχουµε y, n x n = n y, x n = 0. Αρα τελικά ισχύει ισότητα: H n = H 0. 7 Αποδεικνύεται, ακριβώς όπως στην περίπτωση του l 2, ότι το ευθύ άθροισµα χώρων Hlbert είναι χώρος Hlbert. 8 Το άθροισµα της σειράς είναι εξ ορισµού το όριο του δικτύου των αθροισµάτων σε πεπερασµένα υποσύνολα του I, και η σειρά συγκλίνει διότι συγκλίνει απόλυτα, εφόσον ( F x, y )2 ( F x 2) ( F y 2) για κάθε F I πεπερασµένο. 9 Η παρατήρηση αυτή αληθεύει και για υπεραριθµίσιµες οικογένειες υποχώρων, αρκεί να ϑεωρήσουµε το άθροισµα ως το όριο του δικτύου {s F } των αθροισµάτων s F = x όπου F I πεπερασµένο. F Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10 k=1 x
Επανερχόµαστε τώρα στη µελέτη του αυτοσυζυγούς τελεστή A B(H ). Ισχυρισµός 6.1.13. Εστω K το (εξωτερικό) ευθύ άθροισµα L 2 (σ(a), µ ) και B := M f : K K. Τότε ο τελεστής A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον τελεστή B µέσω της απεικόνισης U όπου ηλαδή έχουµε το µεταθετικό διάγραµµα: U = U : K = L 2 (σ(a), µ ) H = H. H = H A H = H U U M f L 2 (X, µ ) L 2 (X, µ ) Απόδειξη. Ο B είναι καλά ορισµένος και ϕραγµένος 10, µε B sup M f = sup f = A. Για κάθε g = g K έχουµε B( g ) = M f g, άρα (από την (*)) UB( g ) = U M f g = AU g = A( U g ) = AU( g ). είξαµε λοιπόν ότι UB = AU. A = UBU 1. Εφόσον η U είναι ισοµετρία επί του H, άρα αντιστρέψιµη, έπεται ότι Συνεπώς ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε ένα ευθύ άθροισµα πολλαπλασιαστικών τελεστών. Μένει να αποδειχθεί ότι ο τελεστής B = M f είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή σ έναν κατάλληλο χώρο L 2 (X, µ). Ο χώρος (X, µ) είναι η «ξένη ένωση» των χώρων (σ(a), µ ) που ορίζεται αναλυτικά ως εξής: Ορισµός 6.1.14. Θέτουµε X = σ(a) {} και ονοµάζουµε S την σ-άλγεβρα των Borel υποσυνόλων του X. Εστω X = I X. Ορίζουµε την οικογένεια S και την απεικόνιση µ από τις σχέσεις S = {Y X : Y X S για κάθε I} µ : S [0, + ] : Y µ (Y X ). (Για συντοµία, ταυτίζουµε το Y X µε την προβολή του {λ σ(a) : (λ, ) Y X.) Ισχυρισµός 6.1.15. Η οικογένεια S είναι σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X και το µ είναι σ-προσθετικό (ϑετικό) µέτρο στην S. Απόδειξη. Είναι άµεσο ότι η S είναι άλγεβρα υποσυνόλων του X και ότι το µ είναι πεπερασµένα προσθετικό. Εποµένως αρκεί να αποδειχθεί ότι, αν (Y n ) είναι αύξουσα ακολουθία στοιχείων της S και Y = n Y n, τότε Y S και µ(y ) = lm n µ(y n ). Για κάθε I, εφόσον κάθε Y n ανήκει στην S, κάθε Y n X ανήκει στην S. Αρα n (Y n X ) S για κάθε. Αλλά n (Y n X ) = Y X, άρα Y S. 10 Παρατηρούµε ότι εφόσον f (λ) = λ (λ σ(a)) έχουµε f = sup{ λ : λ σ(a)} = A διότι ο A είναι αυτοσυζυγής. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11
Για να δείξουµε ότι µ(y ) = lm n µ(y n ), παρατηρούµε ότι η (µ(y n )) είναι αύξουσα ακολουθία στο [0, + ] και µ(y n ) µ(y ) για κάθε n. Αρα αν µ sup n µ(y n ) έχουµε µ µ(y ). Για την αντίστροφη ανισότητα αρκεί, από τον ορισµό του µ(y ), να δείξουµε ότι F µ (Y X ) µ για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο F του I. Παρατηρούµε ότι για κάθε, έχουµε sup n µ (Y n X ) = µ (Y X ) διότι (Y n X ) (Y X ) και το µ είναι σ-προσθετικό. Επεται ότι µ (Y X ) = sup µ (Y n X ) = sup µ (Y n X ) F F n n F sup n I µ (Y n X ) = sup n µ(y n ) = µ, άρα µ(y ) µ. Για κάθε I έχουµε ονοµάσει f L (σ(a), µ ) την συνάρτηση f (λ) = λ (λ σ(a)). Ορίζουµε τώρα την συνάρτηση f : X = (σ(a) {}) C : (λ, ) f (λ). Είναι ϕανερό ότι f L (X, µ) (µάλιστα f = sup f = sup{ λ : λ σ(a)} = A ). Ισχυρισµός 6.1.16. Η απεικόνιση V : h (h X ) απεικονίζει τον L 2 (X, µ) ισοµετρικά επί του K = L 2 (σ(a), µ ) και B = V M f V 1. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι η V είναι καλά ορισµένος ορθοµοναδιαίος τελεστής. Εστω πρώτα Y S και χ = χ Y. Επεται από τον ορισµό του µέτρου µ ότι χdµ = µ(y ) = µ (Y X ) = χ Y X dµ = χ X dµ. X X X Λόγω γραµµικότητας, η ίδια ισότητα ισχύει αν χ είναι µία απλή ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Εφόσον οι απλές ολοκληρώσιµες συναρτήσεις είναι πυκνές στον L 1 (X, µ), για κάθε g L 1 (X, µ), g 0 έχουµε gdµ = g X dµ. X X Εποµένως αν h L 2 (X, µ) τότε h X L 2 (X, µ ) για κάθε άρα η h (λ) = h(λ, ) ανήκει στον L 2 (σ(a), µ ) και µάλιστα (χρησιµοποιώντας την τελευταία ισότητα για g = h 2 ) h 2 2 = h 2 dµ = h X 2 dµ = h 2 dµ, X X δηλαδή η οικογένεια h όπου h (λ) = h(λ, ) ανήκει στον L 2 (σ(a), µ ) = K και h 2 = h K. Συνεπώς η απεικόνιση V : L 2 (X, µ) K : h h είναι καλά ορισµένη ισοµετρία. Η V είναι επί γιατί ο m V περιέχει το πυκνό υποσύνολο όλων των g = g K όπου g = 0 εκτός από πεπερασµένο πλήθος δεικτών. Πράγµατι, για κάθε τέτοιο g, ορίζουµε την h στον X από τις σχέσεις h(λ, ) = g (λ) (λ σ(a), I) και παρατηρούµε ότι h L 2 (X, µ) και h(λ, ) = g (λ) για κάθε, άρα V h = g = g. σ(a) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12
Ισχυρισµός 6.1.17. Η απεικόνιση V : h h, όπου h (λ) = h(λ, ) απεικονίζει τον L 2 (X, µ) ισοµετρικά επί του K = L 2 (σ(a), µ ) και B = V M f V 1. Απόδειξη. είχνουµε ότι B = V M f V 1. Εστω g L 2 (X, µ) και g L 2 (σ(a), µ ) µε g (λ) = g(λ, ). Τότε V (g) = g και B(Vg) = B( g ) = M f g = f g, V (M f g) = V ( f g) = f g. Επεται ότι BV = V M f, άρα B = V M f V 1 διότι ο V είναι αντιστρέψιµος. Αν ονοµάσουµε W : L 2 (X, µ) H την σύνθεση W = U V : L 2 (X, µ) K H, τότε A = UBU 1 = U(V M f V 1 )U 1, δηλαδή A = W M f W 1. Εχουµε λοιπόν αποδείξει το Θεώρηµα 6.1.18. (Φασµατικό Θεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές) Εστω A B(H ) αυτοσυζυγής τελεστής. Υπάρχει χώρος µέτρου (X, µ), συνάρτηση f L (X, µ) και ορθοµοναδιαίος τελεστής W : L 2 (X, µ) H ώστε A = W M f W 1. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13