3. Εντατική κατάσταση του πετρώματος

3. Εντατική κατάσταση του πετρώματος Σύνοψη Αναπτύσσεται η εντατική κατάσταση του πετρώματος και οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την ανάλυσή της. Αρχικά επισημαίνεται η σημασία της μελέτης της εντατικής κατάστασης του πετρώματος στη μηχανική των πετρωμάτων. Δίνεται η έννοια του τανυστή ως φυσικό μέγεθος και οι βασικές ιδιότητες που διέπουν τον μετασχηματισμό τανυστών από ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα άλλο. Εξετάζονται οι ορθές και διατμητικές συνιστώσες της τάσης, καθώς και οι συνιστώσες της τάσης σε ένα απειροστό στοιχείο του πετρώματος. Δίνεται ο τανυστής της τάσης και ο κανόνας μετασχηματισμού του. Υπολογίζονται οι κύριες τάσεις και οι κύριες διευθύνσεις. Εξετάζεται η διδιάστατη εντατική κατάσταση και η γραφική παρουσίαση των τάσεων με τη βοήθεια του κύκλου Mohr. Συζητείται η επιτόπου εντατική κατάσταση του πετρώματος και η σημασία της, και αναφέρονται οι μέθοδοι μέτρησης του φυσικού εντατικού πεδίου. Το κεφάλαιο συμπληρώνεται με ερωτήσεις και ασκήσεις για την εμπέδωση της ύλης. Προαπαιτούμενη γνώση Γραμμική άλγεβρα. Μηχανική παραμορφώσιμου σώματος. 3.1. Η σημασία της εντατικής κατάστασης του πετρώματος Η μελέτη της εντατικής κατάστασης του πετρώματος είναι σημαντική για την κατανόηση του σχηματισμού μεγάλων γεωλογικών δομών, όπως πτυχών και ρηγμάτων. Είναι επίσης σημαντική για την εκτίμηση της ευστάθειας και εν γένει της μηχανικής συμπεριφοράς του πετρώματος κατά τη διάνοιξη σηράγγων, μεγάλων υπογείων ανοιγμάτων, επιφανειακών ορυγμάτων, μεταλλευτικών εκσκαφών, βαθιών γεωτρήσεων καθώς και κατά τη θεμελίωση κατασκευών σε πετρώματα. Τα πετρώματα επιτόπου υπόκεινται στις δράσεις του φυσικού εντατικού πεδίου και στις μεταβολές των τάσεων, που προκύπτουν ως αποτέλεσμα της ανθρωπογενούς δραστηριότητας. Η συμπεριφορά του πετρώματος στις τεχνικές κατασκευές καθορίζεται από τη δυνατότητά του να αναλάβει αυτά τα φορτία. Συνεπώς, η εκτίμηση της μηχανικής συμπεριφοράς του πετρώματος στις μεταλλευτικές και τεχνικές δραστηριότητες απαιτεί την κατανόηση των εννοιών της δύναμης, της έλξης και της τάσης, καθώς τα κριτήρια αντοχής του πετρώματος και της βραχομάζας βασίζονται στην ανάλυση της εντατικής κατάστασης. Εξάλλου, όλες οι εργαστηριακές δοκιμές προσδιορισμού της αντοχής υποβάλλουν το πέτρωμα σε συγκεκριμένες εντατικές συνθήκες και η αξιολόγηση της συμπεριφοράς του πραγματοποιείται σε συνάρτηση με αυτές. Η Μηχανική των Πετρωμάτων, ως διεπιστημονικό πεδίο, δανείζεται πολλές έννοιες από τη Μηχανική του Συνεχούς Μέσου και την Αντοχή των Υλικών, και ιδίως, τις έννοιες της τάσης και της παραμόρφωσης. Η εντατική κατάσταση του πετρώματος περιγράφεται συνήθως με βάση τις αρχές της μηχανικής συνεχούς μέσου, όπου ισχύει η θεώρηση της τάσης ως τανυστή 2 ας τάξης. Η πρόσθετη δυσκολία που εισάγεται στη μελέτη της εντατικής κατάστασης οφείλεται, κατά κύριο λόγο, στην κατανόηση της έννοιας του τανυστή 2 ας τάξης, καθώς δεν απαντάται ως ποσότητα στην καθημερινή ζωή. Η ανάλυση της εντατικής κατάστασης του πετρώματος εξετάζεται σε διάφορα βιβλία μηχανικής πετρωμάτων (Τσουτρέλης 1986, Goodman 1989, Hudson & Harrison 1997, Harrison & Hudson 2000, Αγιουτάντης 2002, Brady & Brown 2006, Jaeger et al. 2007). 3.2. Βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα και τανυστές Βαθμωτό είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζεται πλήρως από έναν πραγματικό αριθμό, το μέτρο του. Παραδείγματα βαθμωτών μεγεθών είναι η μάζα, το μέτρο ελαστικότητας και ο λόγος Poisson ενός γραμμικά ελαστικού και ισότροπου υλικού, η θερμοκρασία, κλπ. Αυτά τα μεγέθη περιγράφονται πλήρως από μία τιμή. Ένα διάνυσμα χαρακτηρίζεται από το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά του (ή αλλιώς από το μέτρο και την κατεύθυνση). Παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών είναι η δύναμη, η μετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Αυτά περιγράφονται πλήρως από τρεις πραγματικούς αριθμούς, τις συνιστώσες x 1, x 2 και x 3, που προκύπτουν από την προβολή του διανύσματος στους άξονες ενός τρισορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος 33

συντεταγμένων. Οι συνιστώσες του διανύσματος σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων θα είναι διαφορετικές και συνεπώς οι τρεις πραγματικοί αριθμοί, που καθορίζουν πλήρως το διάνυσμα, έστω τώρα x' 1, x' 2 και x' 3, θα αλλάξουν. Οι νέες συνιστώσες του διανύσματος είναι δυνατόν να εκφραστούν συναρτήσει των συνιστωσών του στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων μέσω ενός κατάλληλου μετασχηματισμού. Εντούτοις, το μέτρο του διανύσματος θα έχει την ίδια τιμή σε κάθε σύστημα συντεταγμένων. Είναι συνεπώς αναλλοίωτος ποσότητα και ανεξάρτητο του συστήματος συντεταγμένων. Τα βαθμωτά μεγέθη και τα διανύσματα είναι ειδικές περιπτώσεις μιας ευρύτερης κατηγορίας ποσοτήτων με φυσική σημασία, οι οποίες ικανοποιούν ορισμένο νόμο μετασχηματισμού από ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα νέο. Αυτές οι ποσότητες καλούνται τανυστές. Ένα βαθµωτό μέγεθος είναι τανυστής μηδενικής τάξης. Στις τρεις διαστάσεις έχει μία συνιστώσα (3 0 =1), x, που παραμένει αναλλοίωτη υπό έναν μετασχηματισμό στροφής: x'=x. Έτσι, οι τανυστές μηδενικής τάξης έχουν την ίδια έκφραση σε κάθε σύστημα συντεταγμένων. Τα διανύσματα είναι τανυστές πρώτης τάξης. Στις τρεις διαστάσεις έχουν τρεις συνιστώσες (3 1 =3), x i, οι οποίες μετασχηματίζονται υπό έναν μετασχηματισμό στροφής ως 4 x i '=R im x m. Για παράδειγμα, η συνιστώσα x i ' γράφεται ως: = + +. Ο τανυστής δευτέρας τάξης έχει στις τρεις διαστάσεις εννέα συνιστώσες x ij (i,j=1,2,3). Ένας τανυστής δευτέρας τάξης μπορεί να παρασταθεί σε ένα σύστημα συντεταγμένων από έναν πίνακα διάστασης 3x3: = (3.32) Η έκφραση του σε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων δίνεται από τον μετασχηματισμό: = (3.33) ο οποίος γράφεται αλλιώς ως: = (3.34) R είναι το μητρώο μετασχηματισμού με συνιστώσες R ij και R Τ το ανάστροφο μητρώο του R, δηλαδή το μητρώο που προκύπτει εάν στο R μετατρέψουμε τις γραμμές σε στήλες και τις στήλες σε γραμμές. Ο τανυστής δευτέρας τάξης x έχει τρεις αναλλοίωτες: i) το ίχνος του x, Tr(x), δηλαδή το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων του, ii) το ίχνος του x 2, Tr(x 2 ), iii) το ίχνος του x 3, Tr(x 3 ). Η τάση καθώς και η απειροστή τροπή (=ανηγμένη παραμόρφωση) σε ένα σημείο είναι τανυστές δευτέρας τάξης. 3.3. Ο τανυστής της τάσης Στο Σχήμα 16 ένα παραμορφώσιμο στερεό σώμα βρίσκεται σε ισορροπία υπό την επίδραση των εξωτερικώς εφαρμοζόμενων επιφανειακών δυνάμεων F 1, F 2,, F n. Η εντατική κατάσταση σε οποιαδήποτε νοητή επιφάνεια Α καθορίζεται από τη δύναμη που απαιτείται για τη διατήρηση της ισορροπίας μέρους του σώματος. Έστω η στοιχειώδης επιφάνεια ΔΑ, που περιβάλλει ένα σημείο Ο, με κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα n και εφαπτομενικό μοναδιαίο διάνυσμα s. Αν η συνισταμένη δύναμη, που απαιτείται για τη διατήρηση της ισορροπίας στη στοιχειώδη επιφάνεια ΔΑ, είναι ΔF (Σχήμα 16β), ορίζεται ο ελκυστής (traction), ή αλλιώς το διάνυσμα της τάσης, ως: 4 Ισχύει η σύμβαση άθροισης της γραμμικής άλγεβρας με επαναλαμβανόμενο δείκτη. Οι τρεις συντεταγμένες x 1, x 2, x 3 συμβολίζονται απλώς ως x i όπου ο δείκτης i λαμβάνει τιμές i=1,2,3. Έτσι, μία γραμμική μορφή άθροισης L=a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 γράφεται χωρίς το σύμβολο του αθροίσματος ως L=a i x i με προκαθορισμένη τιμή του δείκτη i=1,2,3. Ο επαναλαμβανόμενος δείκτης σε αυτή τη σχέση αθροίσεως καλείται γενικά βουβός δείκτης, ενώ ένας μη επαναλαμβανόμενος δείκτης δηλώνει μια συνιστώσα. (Για περισσότερα βλ. Βαρδουλάκης 2008). 34

() Δ = lim Δ (3.35) Ο ελκυστής παριστάνει τη δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας στη θέση του σημείου σ Ο. Σχήμα 16 (α) Φόρτιση ενός παραμορφώσιμου στερεούύ σώματος σε ισορροπία. (β)) Δύναμη για τη διατήρηση της ισορροπίας σε στοιχειώδη επιφάνεια. (γ) Η ορθή και η διατμητική συνιστώσα που δρουν στη στοιχειώδη επιφάνεια. (δ) Οι συνιστώσες του ελκυστή σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων. Η στοιχειώδης δύναμη ΔF αναλύεται στις συνιστώσες της κάθετα και εφαπτομενικά στη στοιχειώδη επιφάνεια Δ. Προκύπτει έτσι η ορθή ΔN και η διατμητική ΔS συνιστώσα στο τοπικό σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων n, s αντίστοιχα. Ορίζονται τότε η ορθή και διατμητική συνιστώσα του ελκυστή: 35

Δ = lim Δ Δ έτσι ώστε: () = + ; = Δ lim Δ Δ (3.36) (3.37) Από την εξ. (3.37) συνάγεται το συμπέρασμα ότιι ο ελκυστής εξαρτάται από α το διάνυσμα n. Ο ελκυστής f (n) μπορεί επίσης να αναλυθεί στις συνιστώσες f x, f y, f z παράλληλα προς τουςς άξονες x, y, z αντίστοιχαα του συστήματος αξόνων Oxyz, όπως φαίνεται στο Σχήμα 16δ. Όταν το διάνυσμα n είναι παράλληλο με κάποιον από του άξονες του Oxyz, έστω π.χ. τον άξονα x, οι τρεις συνιστώσες του ελκυστή καθορίζουν τρεις συνιστώσες της τάσης στη θέσηη Ο: =, =, = (3.38) Ομοίως, όταν το διάνυσμα n είναι παράλληλο προς τους άξονες y και z οι συνιστώσεςς της τάσης καθορίζοντα αι αντίστοιχα από τις συνιστώσες του ελκυστή: ε =, =, = (3.39) =, =, = (3.40) Οι συνιστώσες σ ij με i= =x, y, z και j=x, y, z είναι οι προβολές του ελκυστή κατά τους άξονεςς x, y, z στις επιφάνειες με μοναδιαίαα κάθετα διανύσματα παράλληλα προς στους ίδιους άξονες. Οι εννέα ποσότητες σ ij καλούνται συνιστώσες του τανυστή της τάσης κατά Cauchy και καθορίζουν πλήρως την εντατική κατάσταση σε ένα σημείο. Η αναπαράσταση των τάσεων διευκολύνεται, εάν θεωρηθεί ότι το σημείο περιβάλλεται από έναν στοιχειώδη κύβο απειροστών διαστάσεων,, οι έδρες του οποίου είναι κάθετες στους άξονες x, y και z, όπως φαίνεται στο Σχήμα 17. Σχήμα 17. Καθορισμός της εντατικής κατάστασης σε ένα σημείο που περιβάλλεται από τον στοιχειώδη κύβο με έδρες κάθετες προς του άξονες x, y, z. Σε κάθε συνιστώσα της τάσης υπάρχουν δύο δείκτες, εκ των οποίων ο πρώτος αναφέρεται στον άξονα κάθετα στο επίπεδο που ασκείται η συνιστώσα, ενώ ο δεύτερος στη διεύθυνσή της. Οι τρεις συνιστώσες σ xx, σ yy και σ zz καλούνται ορθές τάσεις και οι υπόλοιπες εννέα (τ xy, τ xz, τ yx, τ yz, τ zx και τ zy ) διατμητικέςς τάσεις. Για παράδειγμα, η ορθή συνιστώσα σ xx ασκείται σεε επίπεδο κάθετο στον άξονα ά x (πρώτος δείκτης x) κατά τη 36

διεύθυνση του άξονα x (δεύτερος δείκτης x). Αντίστοιχα, η διατμητική συνιστώσα τ xy ασκείται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα x (πρώτος δείκτης x) κατά τη διεύθυνση του άξονα y (δεύτερος δείκτης y). Στα πλαίσια της μηχανικής των πετρωμάτων, οι ορθές τάσεις θεωρούνται θετικές όταν είναι θλιπτικές. Για τις διατμητικές συνιστώσες σημειώνεται ότι, όταν η θετική ορθή συνιστώσα στην ίδια έδρα είναι ομόρροπη με τον αντίστοιχο θετικό ημιάξονα, τότε η θετική διατμητική συνιστώσα θα είναι επίσης ομόρροπη με τον αντίστοιχο θετικό ημιάξονα. Αντίθετα, όταν η θετική ορθή συνιστώσα στην ίδια έδρα είναι αντίρροπη από τον αντίστοιχο θετικό ημιάξονα, τότε η θετική διατμητική συνιστώσα θα είναι επίσης αντίρροπη από τον αντίστοιχο θετικό ημιάξονα. Η θετική φορά κάθε συνιστώσας σύμφωνα με τη σύμβαση της μηχανικής των πετρωμάτων φαίνεται στο στοιχειώδη κύβο στο Σχήμα 17. Έτσι, η ορθή τάση σ yy είναι θετική επειδή είναι θλιπτική, ενώ είναι αντίρροπη από τον θετικό ημιάξονα y. Οι θετικές διατμητικές συνιστώσες στην ίδια έδρα θα είναι αντίρροπες από τους θετικούς ημιάξονες x και z. Οι εννέα συνιστώσες του τανυστή της τάσης μπορούν να συγκεντρωθούν σε ένα πίνακα με σειρές τις συνιστώσες που ασκούνται σε ένα επίπεδο και στήλες τις συνιστώσες σε μία διεύθυνση. Δίνονται έτσι σε μητρωϊκή μορφή ως: = (3.41) Η μορφή του τανυστή της τάσης στην εξίσωση (3.41) υποδηλώνει ότι η εντατική κατάσταση σε μία θέση του πετρώματος καθορίζεται πλήρως από εννέα συνιστώσες της τάσης. Εντούτοις, θεωρώντας την ισορροπία ροπών του στοιχειώδους κύβου στο Σχήμα 17 αποδεικνύεται ότι: =, =, = (3.42) Συνεπώς μόνο έξι συνιστώσες του τανυστή της τάσης είναι ανεξάρτητες και απαιτούνται για τον πλήρη καθορισμό της εντατικής κατάστασης σε ένα σημείο. Ο τανυστής της τάσης είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο και γράφεται ως: = (3.43) Η μονάδα της τάσης στο SI είναι το Pascal (Pa = N/m 2 ). Τάση μεγέθους 1 Pa παράγεται από μία δύναμη 1 Ν που δρα κάθετα ή παράλληλα σε ένα τετραγωνικό μέτρο επιφάνειας. Η ατμοσφαιρική πίεση (~1 bar) αντιστοιχεί σε ~100 kpa. Οι τάσεις του στερεού φλοιού της Γης συνήθως μετρούνται σε MPa (MegaPascal) όπου 1 MPa ισούται με ~10 bar. Τάση μεγέθους 1 MPa αντιστοιχεί σε πίεση νερού σε βάθος περίπου 100 m ή σε πίεση υπερκείμενων πετρωμάτων σε βάθος περίπου 37 m, θεωρώντας την πυκνότητα του νερού ίση με 1000 kg/m 3 και του πετρώματος 2700 kg/m 3. Σημειώνεται ότι η τάση δεν είναι το ίδιο με την πίεση. Η πίεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη εντατική κατάσταση στην οποία δεν υπάρχουν διατμητικές τάσεις και όλες οι ορθές τάσεις είναι ίσες (π.χ. η πίεση ενός ρευστού). 3.4. Μετασχηματισμός του τανυστή της τάσης Σε ορισμένες περιπτώσεις ο τανυστής της τάσης είναι γνωστός ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα Οxyz και τίθεται το ερώτημα εάν μπορεί να εκφραστεί ως προς ένα διαφορετικό σύστημα Οlmn. Μία τέτοια περίπτωση δείχνεται στο Σχήμα 3.18. Ο προσανατολισμός ενός άξονα του νέου συστήματος, π.χ. του άξονα l, μπορεί να εκφραστεί σε σχέση με τον προσανατολισμό του αρχικού συστήματος με τo διάνυσμα (l x, l y, l z ) των συνημίτονων κατεύθυνσης του άξονα l. Στο διάνυσμα αυτό, το l x παριστάνει την προβολή του μοναδιαίου διανύσματος του άξονα l στον άξονα x. Ομοίως ορίζονται τα l y και l z. Επίσης, ο προσανατολισμός των αξόνων m και n ορίζεται από τα διανύσματα των συνημίτονων κατεύθυνσης (m x, m y, m z ) και (n x, n y, n z ). Αποδεικνύεται ότι ο τανυστής της τάσης ως προς το νέο σύστημα αξόνων δίνεται από τη σχέση: 37

= = (3.44) ή αλλιώς = (3.45) όπου R είναι ο πίνακας (ή μητρώο) στροφής = (3.46) για τον οποίο ισχύει ότι ο αντίστροφος του είναι ίσος με τον ανάστροφο, δηλ. = (3.47) από τη σχέση (3.45) προκύπτει ότι το μητρώο των τάσεων είναι ένας τανυστής τ 2 αςς τάξης, καθώς υπόκειται στον κανόνα μετασχηματισμού τηςς παραγράφου 3.1. Το σύστημα εξισώσεων που προκύπτει από τους πολλαπλασιασμούς πινάκων της (3.45) είναι γνωστό ως εξισώσεις μετασχηματισμού των τάσεων. Σχήμα 3.18. Συστήματα συνεταγμένων Οxyz και Οlmn. 3.5. Κύριες τάσεις και κύριες διευθύνσεις Η προηγούμενη ανάλυση δείχνει ότι η εντατική κατάσταση σε ένα σημείο τουυ πετρώματος μπορεί να καθορισθεί με τις έξι συνιστώσες του τανυστή της τάσης, των οποίων τα μεγέθη σχετίζονται με τις διευθύνσεις των αξόνωνν αναφοράς. Εξάλλου, σε οποιοδήποτε επίπεδο του τ πετρώματος ορίσθηκαν μία ορθή και δύο αμοιβαία κάθετες διατμητικές συνιστώσες της τάσης. Ένα κύριο επίπεδο (principal plane) ορίζεται ως αυτό στο οποίο οι διατμητικές συνιστώσες της τάσης μηδενίζονται. Η ορθή τάση στο κύριο επίπεδο καλείται κύρια τάση (principal stress). Η κάθετος στο κύριο επίπεδο ορίζει τη διεύθυνση του άξονα της κύριας τάσης. Δεδομένου ότι για τον καθορισμό της εντατικήςς κατάστασης λαμβάνονται υπόψη τρεις άξονες αναφοράς, θα υπάρχουν τρεις άξονες των κυρίων τάσεων. Υπάρχουν συνεπώς τρεις κύριες κ τάσειςς και διευθύνσεις (Σχήμα 19) που πρέπει να προσδιορισθούν ώστε να καθορισθεί η εντατική κατάσταση σε έναα σημείο του πετρώματος. 38

Σχήμα 19. Κύριες τάσεις. Οι κύριες τάσεις μπορούν να υπολογιστούν από την εξίσωση: = 0 (3.48) ή αλλιώς = 0 (3.49) όπου δ ij το δέλτα του Kronecker: = 1 όταν = 0 όταν (3.50) Η ανάπτυξη της ορίζουσας της εξ. (3.49) δίνει μία εξίσωση τρίτου βαθμού ως προς σ: : + = 0 (3.51) I 1σ, I 2σ, I 3σ είναι η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη αναλλοίωτη του τανυστή της τάσης: = + + = + + = +2 + + + + (3.52) Η επίλυση της εξίσωσης (3.51) ως προς σ δίνει τρεις πραγματικές λύσεις για α τις κύριες τάσεις, που συμβολίζονται με σ 1, σ 2, σ 3 με φθίνουσα σειρά, δηλ. σ 1 >σ 2 >σ3, 3 και καλούνται μέγιστη, ενδιάμεση και ελάχιστη κύρια τάση. Οι διευθύνσεις των κυρίων τάσεων (κύριες διευθύνσεις) μπορούν να ορισθούν με τα συνημίτονα κατεύθυνσης λ x, λ y, λ z των αξόνωνν των κυρίων διευθύνσεων. Από μαθηματικήςς άποψης, η διαδικασίαα υπολογισμού των κύριων τάσεων και διευθύνσεων είναι απλώς ο προσδιορισμός τωνν ιδιοτιμών (eigenvalues( ) του τανυστή της τάσης και του ιδιοδιανύσματος (eigenvector) κάθε ιδιοτιμής. 3.6. Υδροστατική και αποκλίνουσα τάση Σε ορισμένες περιπτώσεις στη μηχανική των πετρωμάτων, όπως π.χ. κατά την τριαξονική καταπόνηση του πετρώματος, είναι χρήσιμο να διαχωρίζεται ο τανυστής της τάσης σε δύο μέρη, το υδροστατικό (hydrostatic) σ m και το αποκλίνον (deviatoric) s. ή Το υδροστατικό μέρος του τανυστή της τάσης γράφεται ως: 39

0 0 = =0 0 0 0 (3.53) ενώ το αποκλίνον ως: = = (3.54) σ m =I 1σ /3 είναι η μέση τάση. Η χρησιμότητα αυτού του διαχωρισμού οφείλεται στο γεγονός ότι στην ελαστική περιοχή παραμόρφωσης, η υδροστατική τάση ελέγχει την ογκομετρική μεταβολή του πετρώματος, ενώ η αποκλίνουσα τάση ελέγχει την παραμόρφωση του σχήματος. Ακόμα και σε πολύ υψηλή υδροστατική τάση δεν προκαλείται πλαστική διαρροή, επειδή δεν υπάρχουν διατμητικές τάσεις. Ωστόσο, η αποκλίνουσα τάση παράγει διατμητική τάση και μπορεί ως εκ τούτου να οδηγήσει σε πλαστική διαρροή σε περίπτωση υπέρβασης του ορίου ελαστικότητας του πετρώματος. Εξάλλου, ορισμένα κριτήρια αστοχίας του πετρώματος (βλ. Κεφάλαιο 6), τα οποία λαμβάνουν υπόψη την επίδραση της ενδιάμεσης κύριας τάσης, είναι πιο βολικό να εκφράζονται συναρτήσει της αναλλοίωτης J 2σ του αποκλίνοντα τανυστή της τάσης, η οποία εκφράζεται συναρτήσει των κυρίων τάσεων ως: = 1 6 [( ) + ( ) + ( ) ] (3.55) Οι κύριες αποκλίνουσες τάσεις s 1, s 2, s 3 μπορούν να υπολογιστούν από τις κύριες τάσεις σ 1, σ 2, σ 3 και τη μέση τάση σ m : = ; = ; = (3.56) Οι διευθύνσεις των κύριων αποκλίνουσων τάσεων συμπίπτουν με τις διευθύνσεις των κυρίων τάσεων. 3.7. Μέγιστη διατμητική τάση - οκταεδρική διατμητική τάση Οι μέγιστες και οι ελάχιστες διατμητικές τάσεις ασκούνται σε επίπεδα που περιέχουν έναν κύριο άξονα και διχοτομούν τη γωνία μεταξύ των άλλων δύο κύριων αξόνων (βλ. π.χ. Timoshenko και Goodier 1970, Jaeger et al. 2007). Τα επίπεδα αυτά δεν είναι κάθετα μεταξύ τους αλλά σχηματίζουν ένα κανονικό δωδεκάεδρο. 5 Οι τιμές των διατμητικών τάσεων είναι: =± ( ) 2 =± ( ) 2 =± ( ) 2 για = 0 ; = ±1 2 ; = ±1 2 για = ±1 2 ; = 0 ; = ±1 2 για = ±1 2 ; = ±1 2 ; = 0 (3.57) l, m και n είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του μοναδιαίου κάθετου διανύσματος στα επίπεδα μέγιστης και ελάχιστης διατομητικής τάσης ως προς τους άξονες των σ 1, σ 2 και σ 3 αντίστοιχα. Αυτές οι ακραίες τιμές της διατμητικής τάσης αποτελούν τοπικά ακρότατα και συμβολίζονται με τ 1, τ 2 και τ 3, αντίστοιχα. Οι τιμές της ορθής τάσης στα επίπεδα της μέγιστης και ελάχιστης διατμητικής τάσης είναι: 5 Το κανονικό δωδεκάεδρο έχει ως έδρες δώδεκα κανονικά πεντάγωνα, τα οποία ενώνονται ανά τρία σε κάθε κορυφή του. 40

=( + )/2 για = 0 ; = ±1 2 ; = ±1 2 =( + )/2 για = ±1 2 ; =0 ; =±1 2 =( + )/2 για = ±1 2 ; = ±1 2 ; = 0 (3.58) Από την (3.57) προκύπτει ότι η μέγιστη διατμητική τάση δρα σε ένα επίπεδο το οποίο διχοτομεί τη γωνία μεταξύ μέγιστης και ελάχιστης κύριας τάσης. Έτσι, η μέγιστη διατμητική τάση είναι: = 2 (3.59) Στο επίπεδο με l=m=n=1 3, η ορθή τάση είναι ίση με τη μέση τάση (σ=σ m ) και η διατμητική τάση είναι: = = 1 3 3( + + ) ( + + ) (3.60) ή αλλιώς = = 1 3 [( ) + ( ) + ( ) ] (3.61) ή χρησιμοποιώντας τη μέση τάση σ m ως: = = 1 3 [( ) + ( ) + ( ) ] (3.62) Η τ OCT είναι γνωστή ως οκταεδρική διατμητική τάση, γιατί το επίπεδο στο οποίο δρα είναι ένα επίπεδο ενός κανονικού οκταέδρου με κορυφές στους κύριους άξονες. Σχετίζεται με τη δεύτερη αναλλοίωτο της αποκλίνουσας τάσης με τη σχέση: = 2 /3 (3.63) και εμφανίζεται σε ορισμένα κριτήρια αστοχίας του πετρώματος (βλ. Κεφάλαιο 6). 3.8. Διδιάστατη εντατική κατάσταση Κατά τη μελέτη και τον σχεδιασμό κατασκευών σε πετρώματα είναι συχνή η περίπτωση όπου ο λόγος του μήκους προς τις διαστάσεις της διατομής της κατασκευής είναι μεγάλος και η ανάλυση διευκολύνεται από τη θεώρηση σταθερών εντατικών συνθηκών κατά μήκος της κατασκευής. Για παράδειγμα, σε μία σήραγγα σταθερής διατομής, μπορεί να γίνει η παραδοχή ότι η κατανομή των τάσεων είναι ίδια σε όλα τα επίπεδα κάθετα στον διαμήκη άξονα της σήραγγας. Φυσικά, η παραδοχή αυτή προϋποθέτει ότι, εκτός από τη γεωμετρία, και η εξωτερική φόρτιση της κατασκευής παραμένει σταθερή κατά μήκος. Έχει, λοιπόν, και πρακτική αξία η ανάλυση της εντατικής κατάστασης του πετρώματος σε δύο διαστάσεις. 3.8.1. Ο τανυστής της τάσης σε δύο διαστάσεις Όπως περιγράφηκε προηγουμένως, για τον καθορισμό της τάσης σε τρεις διαστάσεις απαιτείται να είναι γνωστές οι έξι συνιστώσες του τανυστή της τάσης. Για την εντατική ανάλυση στο επίπεδο x-y οι έξι συνιστώσες της τάσης είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων (x,y) μόνο. Επιπλέον, μία διαξονική εντατική κατάσταση σε κάθε σημείο του επιπέδου μπορεί να καθορισθεί συναρτήσει των συνιστωσών σ xx, σ yy και τ xy της τάσης στο επίπεδο. Επομένως, ο τανυστής της τάσης σε δύο διαστάσεις γράφεται: = (3.64) 41

Οι θετικές φορές των ορθών και διατμητικών τάσεων στο επίπεδο δίνονται στο Σχήμαα 20. Σχήμα 20. Θετικές φορές ορθών και διατμητικών τάσεων στο επίπεδο. 3.8.2. Μετασχηματισμός του διδιάστατου τανυστή της τάσης Συχνά, είναι γνωστές οι συνιστώσεςς του διδάστατου τανυστή της τάσης ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy και ζητούνται οιι συνιστώσεςς του σε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων, Οlm. Ο τανυστής της τάσης στο νέο σύστημα γράφεται ως: = (3.65) Για τον υπολογισμό του σ μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση μετασχηματισμού: = (3.66) όπου ο πίνακας μετασχηματισμού στο επίπεδο: cos = sin sin cos (3.67) Η παραπάνω εξίσωση γράφεται: cos = sin sin cos cos si sin n cos cos + sin +2 sinn cos = (cos sin ) sin cos (cos sin ) sincos sin + cos 2 sin cosc από όπου προκύπτουν οι εξισώσεις μετασχηματισ σμού των τάσεων στο επίπεδο: = cos + sin +2 sin cos = sin + cos 2 sin coss = (cos sin ) sin cos (3.68) 42

Σχήμα 21. Στροφή του συστήματος αξόνων κατά γωνία θ. Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δεν αποτελεί πάντοτε το πιο κατάλληλο σύστημα για την ανάλυση της εντατικής κατάστασης του πετρώματος. Το πολικό σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιείται συχνά στην ανάλυση αξονοσυμμετρικών προβλημάτων, καθώς και προβλημάτων εντατικής ανάλυσης υπόγειων ανοιγμάτων κυκλικής διατομής. Η μετάβαση από τις καρτεσιανές (x, y) y στις πολικές συντεταγμένες (r, θ) φαίνεται για ένα σημείο P του πετρώματος στο Σχήμα 22, μαζί με τις θετικές φορές των τάσεων σε ένα απειροστό στοιχείο του πετρώματος που περιβάλλει το υπόψη σημείο. Οι εξισώσεις μετασχηματισμού μεταξύ των καρτεσιανών και των πολικών συντεταγμένω ων είναι: =( + ) / ; = tan =cos ; = sin (3.69) (3.70) Εάν είναι γνωστός ο τανυστής της τάσης στο σύστημα συντεταγμένων (x,( y), τότε ο τανυστής της τάσης στο πολικό σύστημα (r, θ) δίνεται από τις εξισώσεις μετασχηματισμού (3. 68) με σ ll =σσ rr, σ mm =σ θθ και τ lm =τ rθ. Η διεύθυνση της σ rr ταυτίζεται με τη διεύθυνση του διανύσματος OΣ που συνδέει τηνν αρχή των αξόνων με το σημείο Σ και καλείται ακτινική διεύθυνση, ενώ η σ rr καλείται ακτινική τάση. Αντίστοιχα, η διεύθυνση της σ θθ ταυτίζεται με τη διεύθυνση της καθέτου του διανύσματος OΣ στο σημείο Σ καιι καλείται εφαπτομενικήε διεύθυνση, ενώ η σ θθ καλείται εφαπτομενική τάση. Σχήμα 22. Σημείο Σ του πετρώματος σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες και θετικές φορές των τάσεων σε σύστημα πολικών συντεταγμένων. Συχνά, κατά την ανάλυση της εντατικής κατάστασης του πετρώματος στην πράξη, η προσοχή εστιάζεται στις συνιστώσες της τάσης σε ένα δεδομένο επίπεδοο με μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα n(n x x,n y ), το οποίο προκύπτει από στροφή του άξονα x κατά γωνία θ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 23. Η ορθή και διατμητική τάση τ στο υπό εξέταση επίπεδο μπορούν να υπολογιστούν με κατάλληλη τροποποίηση των εξισώσεων μετασχηματισμού (3.68): = 1 2 + + 1 2 cos 2 + sin 2 (3.71) 43

= 1 2 sin2 + cos 2 Εξάλλου, οι συνιστώσες του ελκυστή στο σύστημα Οxy μπορούν να προσδιορισθούν από την εξίσωση: = = (3.72) Σχήμα 23. (α) Επίπεδο με μοναδιαίο κάθετο διάνυσμαα n, (β) ορθή και διατμητική τάση, (γ) οι συνιστώσες τουυ ελκυστή. 3.8.3. Κύριες τάσεις και κύριες διευθύνσεις στο επίπεδο Με στροφή του συστήματος Οxy κατά γωνία θ=aa προκύπτει το σύστημα, στο οποίο η διατμητική τάση είναι μηδέν και οι ορθές τάσεις είναι οι κύριες τάσεις. Η γωνία a υπολογίζεται από την απαίτηση τ lm =0: tan 2 = 2 (3.73) Αντικαθιστώντας θ=a στην εξίσωση (3.71) προκύπτουν οι τιμές των κυρίων τάσεων:, = 1 2 + ± 2 + (3.74) Η μεγαλύτερη αλγεβρικά κύρια τάση καλείται μέγιστη κύρια τάση, σ 1, και η μικρότερη ελάχιστη κύρια τάση, σ 2. Σχετικά με τον υπολογισμό των κύριων διευθύνσεων σημειώνεται ότι ό υπάρχουνν δύο τιμές της τ γωνίας a που ικανοποιούν την εξίσωση (3.73), οι οποίεςς διαφέρουν μεταξύ τουςς κατά γωνίαα π/2 και εμπίπτουν στο εύρος 0 a π. Η επιλογή της διεύθυνσης της μέγιστης κύριας τάσης, η οποία σχηματίζει γωνία a=a 1 με τον θετικό ημιάξονα x, μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια του διαγράμματος στο Σχήμα 24. Οι κύριες τάσεις στο επίπεδο μπορούν να υπολογισθούν και απόό τη χαρακτηριστική εξίσωση (3.51). Για την επίπεδη εντατική κατάσταση η τρίτη αναλλοίωτη Ι 3σ της τάσης μηδενίζεται και η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται: + = 0 ( + ) =0 Για σ 0 προκύπτει: + =0 (3.75) 444

Σχήμα 24. Διάγραμμα προσδιορισμού της διεύθυνσης της μέγιστης κύριας τάσης. Η πρώτη I 1σ και η δεύτερη I 2σ αναλλοίωτη του τανυστή της τάσης είναι: = +, = και η χαρακτηριστική εξίσωση γίνεται: + + 2 = 0 (3.76) Η επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης ως προς σ δίνει δύο πραγματικές λύσεις για τις κύριες τάσεις, όπως στην εξίσωση (3.74). Οι κύριες διευθύνσεις μπορούν να ορισθούν με τα συνημίτονα κατεύθυνσης λ xi, λ yi της τ εκάστοτεε κύριας τάσης ως προς τους άξονες x,, y. Αυτά υπολογίζονται από το σύστημα: σ σ =0 (3.77) και την ταυτότητα: + = 1 (3.78) αντικαθιστώντας τη σ με κάθε μία από τις κύριεςς τάσεις. 3.9. Γραφική αναπαράσταση της εντατικής κατάσταση ης με τον κύκλο του Mohr Η αναπαράσταση της εντατικής κατάστασης του πετρώματος σε ένα σημείο μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα με μία απλή γραφική κατασκευή, όπως περιγράφεται στη συνέχεια. σ Από τις εξισώσεις (3.71) υπολογίζονται η ορθή και διατμητική τάση σε ένα επίπεδο με μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα υπό γωνία θ από τον θετικό ημιάξονα x. Εάν οι άξονες x και y επιλεγούν έτσι ώστε να συμπίπτουν σ με τις κύριεςς διευθύνσεις τότε σ xx =σ 1, σ yy =σ 2, τ xy =0 και οι (3.71) γράφονται ως: = + + 2 2 = 2 cos 2 sin 2 = ( ) sin cos (3.79) σ 1, σ 2 είναι οι κύριες τάσεις και η γωνία θ μετρείται αντιωρολογιακά από τη διεύθυνση της μέγιστης κύριας τάσης. Σε διάγραμμα αξόνων ορθής-διατμητικής τάσης (σ n, τ), οι δύο τελευταίες τ σχέσεις παριστάνουν ένανν 45

κύκλο, γνωστό ως κύκλο του Mohr (1914), με κέντρο {(σ 1 +σ 2 ) 2,0} και ακτίνα (σ 1 -σ 2 ) 2, όπως φαίνεται στο Σχήμα 25. Σχήμα 25. Γραφική αναπαράσταση της εντατικής ε κατάστασης με τον κύκλο του Mohr. M Σχετικά με τον κύκλο του Mohr και την εφαρμογή του για την ανάλυση της εντατικής κατάστασης του πετρώματος σημειώνεται ότι σύμφωνα με τη σύμβαση της Μηχανικής των Πετρωμάτων για τις τ τάσεις, οι θλιπτικές ορθές τάσεις είναι θετικές, ενώ το πρόσημο της διατμητικήςς τάσης καθορίζεται συναρτήσει της κατεύθυνσης της θετικής ορθής τάσης τ και του αντίστοιχου θετικούύ ημιάξονα,, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως. Για να διατηρείται το τ σωστό πρόσημο της διατμητικής τάσης τ αλλά και η φορά περιστροφής στον κύκλο του Mohr, θα πρέπει ο θετικός ημιάξονας των διατμητικώνν τάσεων να έχει φορά προς τα κάτω (βλ. π.χ. Harrison & Hudson 2000,, Brady & Brown 2006) ). Έτσι, οι θετικές θ διατμητικές τάσεις είναι στο ημικύκλιο κάτω από τον άξονα των ορθών τάσεων. Σημειώνεται δε ότι, όταν σχεδιάζεται η γωνία στροφής θ στον κύκλο του Mohr, γίνεται 2θ. Η μέγιστη κύρια τάση δίνεται από την ορθή τάση στο σημείο M του κύκλου Mohr (σn=σ n 1, τ=0). Η διεύθυνση της ελάχιστης κύριας τάσης προκύπτει για γωνία θ=90 ο ως προς τη διεύθυνση της σ1. 1 Το επίπεδο της σ 2 αντιπροσωπεύεται με σημείο που προκύπτει από περιστροφή στον κύκλο τουυ Mohr κατά 2θ=180 ο, το οποίο είναι το σημείο N στο Σχήμα 25 (σ n =σ 2, τ= =0). Το σημείο Α στο κύκλο Mohr στο Σχήμαα 25 αντιπροσωπεύει τηνν εντατική κατάσταση σ n =σ xx και τ=τ xy σε ένα επίπεδο με μοναδιαίο διάνυσμα στραμμένο κατά γωνία θ ωρολογιακά ως προςς τον άξονα της μέγιστης κύριας τάσης. Έστω ότι το μοναδιαίο διάνυσμα του επιπέδου συμπίπτει με τη διεύθυνση του άξονα x σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα xy. Το επίπεδοο που αντιστοιχεί στη διεύθυνση y θα είναι στραμμένο κατά γωνία 90 ο αντιωρολογιακά ως προς τον άξονα x. Στον κύκλο, αυτή η στροφή σ θα αντιστοιχεί σε γωνία 180 ο αντιωρολογιακά και συνεπώς η εντατική κατάσταση στο υπόψην επίπεδοο θα αντιπροσωπεύεται από το σημείο Β, το οποίο βρίσκεται αντιδιαμετρικά από το σημείο Α. Από τον κύκλο του Mohr προκύπτει ότι η μέγιστη διατμητική τάση έχει μέγεθος (σ 1 -σ 2 ) 2, ίσο με την ακτίνα του κύκλου, και εμφανίζεταιι σε επίπεδα για τα οποία 2θ=90 ο, δηλ. θ=±45 ο. Συνεπώς, τα επίπεδα της μέγιστης διατμητικής τάσης είναι προσανατολισμένα κατά γωνία 45 ο ως προς π τα επίπεδα των κυρίων τάσεων. Ο κύκλος του Mohr μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κύριων τάσεων και διευθύνσεων, με δεδομένο τον τανυστή των τάσεων στο καρτεσιανό σύστημα αξόνων Oxy (Σχήμα 3.26). Για τον γραφικό υπολογισμό των κυρίων τάσεων, τα ζεύγη τιμών (σ xx, τ xy y) και (σ yy, -τ xy ) απεικονίζονται στο διάγραμμα σ n -τ και στη σχεδιάζεται η ευθεία πουυ ενώνει τα δύο σημεία, η οποία είναι διάμετροςς του κύκλου. Στη συνέχεια σχεδιάζεται ο κύκλος Mohr με κέντρο Ο ((σ xx +σ yy )/2, 0) και κ ακτίνα ρ= =0.5[(σ xx -σ yy y) 2 +(2τ xy ) 2 ] 1/2. Οι κύριες τάσεις υπολογίζονται ως: σ 1 =(σ xx +σ yy )/2+ρ και σ 2 =(σ xx +σ yy )/2-ρ. Η γωνία στροφής από τον άξονα x προς την κατεύθυνση της σ 1 υπολογίζεται ως tan = 2 2 46

Σχήμα 3.26. Προσδιορισμός των κυρίωνν τάσεων με τον κύκλο του Mohr. Ο κύκλος του Mohr μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τάσεων σε ένα νέο σύστημα αξόνων Olm στραμμένο κατά γωνία θ ως προς τοο Oxy, με δεδομένο τον τανυστή τ των τάσεων στο Oxy (Σχήμαα 3.27). Προς τον σκοπό αυτό, σχεδιάζεται ο κύκλος Mohr για τη δεδομένη εντατική κατάσταση και υπολογίζονται οι συντεταγμένες του κέντρου Κ και η ακτίνα ρ. Στη συνέχεια, σημειώνεται στην περιφέρεια του κύκλου Mohr τόξο γωνίας 2θ με αρχή το σημείο (σ xx, τ xy ) και φορά ομόρροπη με τη φορά της στροφής του Oxy προς το Olm. Το τέλος του τόξου είναι το σημείο (σ ll, τ lm ). Οι συνιστώσες της τάσης στο σύστημα Olm υπολογίζονται ως σ ll ==(σσ xx +σ yy )/2+ρ*cos(ω-2θ), σ mm ==(σ xx +σσ yy )/2-ρ* cos(ω-2θ), τ lm =ρ*sin(ω-2θ).. 3.10. Φυσικό εντατικό πεδίο Η γνώση του φυσικού εντατικού πεδίου είναιι καθοριστικής σημασίας για όλα τα πεδία εφαρμογής της μηχανικής των πετρωμάτων. Γενικά, οι τάσεις του φυσικού εντατικού πεδίου μεταβάλλονται συναρτήσει του βάθους από την επιφάνεια, όμως η μεταβολή τους δεν ακολουθεί κάποιο συγκεκριμένο πρότυπο, καθώς επηρεάζονται από παράγοντες όπως η τοπογραφία, οι τεκτονικές δυνάμεις, η καταστατική συμπεριφορά του πετρώματος και η τοπική γεωλογική ιστορία. Ταα θέματα αυτά, καθώς και οι διάφορες μέθοδοι μέτρησης των επιτόπου τάσεων, εξετάζονται διεξοδικά από τους Amadei & Stephansson (1997) και από τους τ Zang & Stephanssonn (2010). 3.10.1. Παράγοντες διαμόρφωσης του φυσικού εντατικού πεδίου π Ως φυσικό (natural stress field) ή πρωτογενέςς (primary stress field) εντατικό πεδίο, νοείται η εντατική κατάσταση που επικρατεί στο πέτρωμα πριν από οποιαδήποτε τεχνητήή διατάραξη, όπως, για παράδειγμα, λόγω της διάνοιξης μίας υπόγειας εκσκαφής. Είναι το αποτέλεσμα των διαφόρων δ γεγονότων τηςς γεωλογικής ιστορίας του πετρώματος, όπως και της τ δράσης παλαιότερων εντατικών καταστάσεωκ ων. Κατά τους Harrison & Hudson (2000) το επιτόπου εντατικό πεδίο οφείλεται κυρίως σε τρεις βασικούς παράγοντες: το τ βάρος των 47

υπερκειμένων πετρωμάτων, τις σύγχρονες τεκτονικές δυνάμεις και τις τεκτονικές δυνάμεις που έδρασαν κατά το παρελθόν. Σχήμα 3.27. Στροφή του τανυστή των τάσεων με τον κύκλο του Mohr. Η εντατική κατάσταση λόγω του βάρους των υπερκειμένων πετρωμάτων αναφέρεται ως τάση βαρύτητας (gravitational stress) ή αλλιώς πίεση υπερκειμένων (overburden pressure). Αυξάνεται με το βάθος από την επιφάνεια και επηρεάζεται από την τοπογραφία. Οι τεκτονικές τάσεις προκαλούνται από δυνάμεις που επιβάλλονται από την ενεργό τεκτονική ή από τεκτονικά γεγονότα του παρελθόντος, π, στα οποία οφείλονται οι λεγόμενες υπολειμματικές τάσεις (remnant stresses). Ο ίδιος όρος χρησιμοποιείται για τις πάσης φύσεως τάσεις που παραμένουν στο πέτρωμα ακόμη καιι μετά την απομάκρυνση του μηχανισμού που τιςς προκάλεσε. Οι ενεργές τεκτονικές τάσεις υποδιαιρούνται περαιτέρω ανάλογα με την περιοχήή στην οποία μπορεί να θεωρηθεί ότι αυτές παραμένουν σταθερές. 3.10.2. Μεταβολή των τάσεων με το βάθος Οι τάσεις βαρύτητας μπορεί να εκτιμηθούν εφόσον θεωρηθεί η περίπτωση μιας ελεύθερης επιφάνειας χωρίς εξωτερική φόρτιση. Τότε, οι διατμητικές συνιστώσες του ελκυστή στην επιφάνεια είναι μηδέν και η διεύθυνση της καθέτου στην επιφάνεια θα αποτελεί μία κύρια διεύθυνση. Ως εκ τούτου, σε περιοχές με επίπεδη ή σχεδόν επίπεδη μορφολογία του εδάφους, είναι ευλογοφανές ότι ό μια από τις κύριες διευθύνσεις της τάσης θα είναι η κατακόρυφη. Η απλούστερη υπόθεση είναι ότι η θλιπτική κατακόρυφη ορθή τάση σε οποιοδήποτε βάθος z κάτω από την επιφάνεια θα πρέπει να αντιστοιχεί στο βάρος των υπερκειμένων πετρωμάτων (π.χ. Jaeger et al. 2007): = = (3.80) όπου ρ m η μέση πυκνότητα των υπερκειμένων πετρωμάτων, ενώ η επιτάχυνση τηςς βαρύτηταςς g θεωρείται σταθερή. Σε πρακτικά προβλήματαα μηχανικήςς πετρωμάτων η παραπάνω προσέγγιση υιοθετείται σχεδόν 48

καθολικά. Επιτόπου μετρήσεις για την εκτίμηση του φυσικού εντατικού πεδίου, οι οποίες παρουσιάζονται από τους Brown και Hoek (1978), τείνουν να επιβεβαιώσουν την εξίσωση (3.80) με μέση πυκνότητα του πετρώματος ρ m =2700 kg/m 3 (Σχήμα 28). Σχήμα 28. Μεταβολή της κατακόρυφης τάσης τ με το βάθος (σύμφωνα τις μετρήσεις που παρουσιάζονται από τους Brown και Hoek 1978). Η πιο απλή υπόθεση αναφορικά με το τ πλήρες φυσικό εντατικό πεδίο είναι ότι οι άλλες δύο κύριεςς τάσεις είναι επίσης ίσες με το βάρος των υπερκειμένων, δηλ. σ xx =σ yy =σσ zz =σ 2 =σ 3 =σ 1 =σ= v =ρ m gz, όπως φαίνεται στο Σχήμα 29α. Κάθε εντατική κατάσταση στην οποία οι τρεις κύριες τάσεις είναι ίσες αναφέρεται στη μηχανική ως υδροστατική (hydrostatic). Ωστόσο, στα πλαίσια της μηχανικής των πετρωμάτων, συχνά αναφέρεται ως λιθοστατική. Η υπόθεση της λιθοστατικής εντατικής κατάσταση δεν λαμβάνει λ υπόψη το αποτέλεσμα των τεκτονικών δυνάμεων. Σχήμα 29. (α) Λιθοστατική εντατική κατάσταση. (β) Εντατική κατάσταση για ισότροπο, ομοιογενές και ελαστικό πέτρωμα, πλήρως περιορισμένο πλευρικά. Κατά μία άλλη υπόθεση για το επιτόπου εντατικό πεδίο, η παραμόρφωση του πετρώματος σεε βάθος είναι μονοαξονική, καθώς δεν υφίσταται εγκάρσια παραμόρφωση λόγω του περιορισμούύ από την παρουσία του γειτονικού πετρώματος. Τότε, προκειμένου για ισότροπο, ομοιογενές και κ ελαστικόό πέτρωμα, οι οριζόντιες τάσεις θα είναι σ xx =σ yy =[ν/(1-ν)]σ zz, όπου ν ο λόγος Poisson του πετρώματος (βλ. Κεφάλαιο 4). Επιπλέον, θεωρείται ότι τ xy =τ yz =τ xz =0. Τόσο η υπόθεση της λιθοστατικής εντατικής κατάστασης, όσο και η υπόθεση της μονοαξονικής παραμόρφωσης του πετρώματος σε βάθος, μπορούν να διατυπωθούν με την τ ακόλουθηη ενιαία μορφή: = = ; = = = (3.81) 49

k είναι ο συντελεστής πλευρικής τάσης: k=1 για λιθοστατική εντατική κατάστασης και k=ν/(1-ν) σύμφωνα με την υπόθεση μονοαξονικής παραμόρφωσης. Στην πράξη, συνήθως, μεε k συμβολίζεται ο λόγος της μέσης οριζόντιας τάσης προς την κατακόρυφη τάση: =, = ( + )/2 (3.82) Μετρήσεις των οριζόντιων τάσεων σε περιοχές τεχνικών και μεταλλευτικών έργων παγκοσμίως δείχνουν ότι ο λόγος k τείνει να λάβει υψηλές τιμές σε μικράά βάθη, ενώ μειώνεται με μ την αύξηση του βάθους (Brown & Hoek 1978), όπως φαίνεται στο Σχήμα 30. Σε βάθη μικρότερα των 300 m, ο λόγος k βρέθηκε να κυμαίνεται μεταξύ k=1 και k=4. Σε μεγαλύτεραα βάθη, το εύρος του k περιορίζεται σημαντικά, και σε βάθη μεγαλύτεραα από 2 km, οι παρατηρούμενες τιμές είναι ε γενικά μικρότερες από 1. Σχήμα 30. Μεταβολή του λόγου k με το βάθος (σύμφωνα τις μετρήσεις που παρουσιάζονται απόό τους Brown και Hoek 1978). 3.10.3. Μέθοδοι μέτρησης των επιτόπουυ τάσεων Όταν οι επιτόπου τάσεις ενδέχεται να έχουν σημαντική επίδραση στη σ συμπεριφορά των τεχνικών τ και μεταλλευτικών έργων, συνιστάται η μέτρησή τους. Μία από τις πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες μεθόδους για την εκτίμηση της εντατικής κατάστασης του πετρώματος σε βάθος είναιι η μέθοδος της υδραυλικής θραύσης (hydraulic fracturing) του πετρώματος σε μία βαθιά γεώτρηση (Haimson και Cornet 2003). Σε αυτήν τη διαδικασία, νερό ή πολφός εισπιέζεται σε ένα υδραυλικά απομονωμένο τμήμα της γεώτρησης, μέχρι η πίεση στο τοίχωμα της οπής της να είναι αρκετά υψηλή, ώστε να προκαλέσει την εφελκυστική θραύση του πετρώματος και τη διάδοση της ρωγμής εντός του γεωλογικού σχηματισμού (Σχήμα 31). Στιςς γεωτρήσεις άντλησης πετρελαίου, η υδραυλική θραύση χρησιμοποιείται για να αυξήσει την ικανότητα του ρευστού να ρέει από τον σχηματισμό μέσα στη γεώτρηση. Μια άλλη μέθοδος για την εκτίμηση ε τηςς επιτόπου τάσης είναι η μέθοδος του επίπεδου γρύλου (flat- jack). Σε μία ελεύθερη επιφάνεια του πετρώματος, όπως π.χ. στο τοίχωμα μίας υπόγειας στοάς, διανοίγεται μία σχισμή, όπως στο Σχήμα 3.32. Προηγείται η επιλογή δύο σημείων εκατέρωθεν της σχισμής, τα οποία και παρακολουθούνται ώστε να διαπιστωθούν τυχόν αλλαγές της μεταξύ τους τ απόστασης. Εάν η αρχική τάση κάθετα προς το επίπεδο της σχισμής είναι θλιπτική, όπως είναι συνήθως, τα τοιχώματά της θα συγκλίνουνν μετά τη διάνοιξη. Στη σχισμή τοποθετείται και στερεώνεται επίπεδος γρύλος, στον οποίο εισπιέζεται ένα υδραυλικό ρευστό μέχρις ότου η απόσταση μεταξύ των σημείων μέτρησης εκατέρωθεν της σχισμής επιστρέψει στην αρχική της τιμή. Όταν συμβεί αυτό, θεωρείται ότι η πίεση του ρευστού στον επίπεδο γρύλο είναι ίση με τη θλιπτική τάση που δρα κάθετα προς το επίπεδο της σχισμής. 50

Σχήμα 31. Μέθοδος της υδραυλικής θραύσης του πετρώματος σε βαθιά γεώτρηση για τον προσδιορισμό των τάσεων του φυσικού εντατικού πεδίου. Ο επίπεδος γρύλος αποτελείται από δύο επίπεδες χαλύβδινες λαμαρίνες, συγκολλημένες μεταξύ τους γύρω από τις ακμές τους, και έναν σωλήνα που επιτρέπει στο υδραυλικό ρευστό να εισέλθει εντός του μεταξύ τους κενού χώρου. Αυτή η μέθοδος είναι σχετικά απλή, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για την τ εκτίμησηη των τάσεων στην περιοχή μίας προϋπάρχουσας εκσκαφής. Συνεπώς, η τάση που μετρείται με τη μέθοδο αυτή αντιπροσωπεύει το εντατικό πεδίο που επικρατείί γύρω από την εκσκαφή και όχι το φυσικό εντατικό πεδίο. Σχήμα 3.32. Μέθοδος επίπεδου γρύλου στο τοίχωμα στοάς. Ορισμένες άλλες μέθοδοι εκτίμησης της εντατικής κατάστασης τουυ πετρώματος σε βάθος, οι οποίες αναφέρονται συλλογικά ως «μέθοδοι εκτόνωσης» (relief methods, Jaeger et al. 2007) ή υπερδιάτρησης (overcoring, Sjoberg et al. 2003), συνδυάζουν διάτρηση γεώτρησης καιι πυρηνοληψία, ώστε να εκτονώσουνν τις τάσεις σε κάποια μικρή περιοχή του πετρώματος. Η μέτρηση της παραμόρφωσης, που εμφανίζεται κατά τη διάρκεια αυτής της εκτόνωσης, μαζί με τηνν υπόθεση ελαστικής συμπεριφοράς του πετρώματος, οδηγεί στον υπολογισμό των επιτόπου τάσεων. 3.10.4. Παρουσίαση των τάσεων του φυσικού εντατικού πεδίου Όπως αναλύθηκε στις προηγούμενες παραγράφους, η εντατική κατάσταση σε οποιοδήποτε σημείο του πετρώματος μπορεί να καθοριστεί πλήρως από έξι ανεξάρτητες συνιστώσες του τανυστή της τάσης ως προς ένα σύστημα αναφοράς. Ωστόσο, το φυσικό εντατικό πεδίο, συνήθως δίνεται δ εκφράζοντας τον τανυστή της τάσης στο σύστημα κύριων αξόνων, ενώ ο προσανατολισμός των κυρίωνν τάσεων συχνά παρουσιάζεται με τη βοήθεια της στερεογραφικής προβολής (Goodman 1964). 51

Ένα παράδειγμαα παρουσίασης των τάσεων του φυσικού εντατικού πεδίου δίνεται στο Σχήμα 33. Η σ 1 =15 MPa είναι οριζόντια με διεύθυνση Ανατολή-Δύση και απεικονίζεται στην περιφέρεια του κύκλου της στερεογραφικής προβολής, η σ 2 =10 MPa είναι κατακόρυφη και απεικονίζεται στο κέντρο της στερεογραφικής προβολής, ενώ η σ 3 =7.5 MPa είναι οριζόντια με διεύθυνση Βορράς-Νότο ος και απεικονίζεται στην περιφέρεια του κύκλου της στερεογραφικής προβολής. Σχήμα 33. Παρουσίαση των κυρίων τάσεων του φυσικού εντατικού πεδίου με τη βοήθεια β της στερεογραφικήςς προβολής. Βιβλιογραφία/Αναφορέςς Αγιουτάντης, Ζ.Γ. (2002). Στοιχεία Γεωμηχανική ής: Μηχανική Πετρωμάτων. 1η εκδ., Ίων. Amadei, B., Stephansson, O. (1997). Rock Stresss and its Measurement, Chapman C & Hall. Βαρδουλάκης, Ι. (2008). Στοιχεία Μηχανικής Συνεχούς Μέσου-Διδακτικέςς σημειώσεις. Ε.Μ.Π. Brady, B.H. G., Brown, E.T. (2006). Rock Mechanics for Underground Mining. M 3 rd Ed, Springer. Brown, E.T.., Hoek, E. (1978). Trends in Relationships between Measured In-Situ Stresses and Depth. Int J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr, 15:211-215. Goodman, R.E. (1964). The resolution of stresses in rock using stereographic projection. Int J Rock Mech Mining Sci, 1:93-103. Goodman, R.E. (1989). Introduction to Rock Mechanics. 3 rd Ed, John Wiley. Haimson, B..C., Cornet, F.H. (2003). ISRM Suggested Methods for rock stress estimation Part 3: hydraulic fracturing (HF) and/or hydraulic testing of pre-existing fractures (HTPF). Intt J Rock Mech Min Sci & Geomech Abstr, 40:1011 1020. Harrison, J.P., Hudson, J.A. (2000). Engineering g Rock Mechanics Illustrative Worked Examples. Pergamon Press. Hudson, J.A., Harrison, J.P. (1997). Engineering g Rock Mechanics An Introduction to the Principles. Pergamon Press. Jaeger, J.C., Cook, N.G.W., Zimmerman, R.W. (2007). Fundamentals of Rock Mechanics. 4 th Ed, Blackwell Publishing. Mohr, O. (1914). Abhandlungen aus dem Gebietee der Technische Mechanik (Treatisee on Topics in Engineering Mechanics). 2 ndd Εd, Ernst & Sohn. 52

Sjoberg, J., Christiansson, R., Hudson, J.A. (2003). ISRM Suggested Methods for rock stress estimation Part 2: overcoring methods. Int J Rock Mech Min Sci, 40: 999-1010. Timoshenko, S., Goodier, J.N. (1970). Theory of Elasticity. McGraw-Hill, New York, USA. Τσουτρέλης, Χ. (1985). Στοιχεία Μηχανικής των Πετρωμάτων: Βασικά Θεωρητικά Στοιχεία και Πειραματικές Μέθοδοι. 1η εκδ.,τσουτρέλης Χ., Zang, A., Stephansson, O. (2010). Stress field of the Earth s crust. Springer. 53

Ερωτήσεις-Ασκήσεις Ερώτηση 1 (α) Εξηγείστε την έννοιας της τάσης. (β) Πως ορίζονται η ορθή και η διατμητική τάση; Ερώτηση 2 Σχεδιάστε τον στοιχειώδη κύβο, που περιβάλλει ένα σημείο του πετρώματος σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων αναφοράς xyz και σημειώστε τις θετικές φορές των ορθών και διατμητικών τάσεων στις έδρες του. Ερώτηση 3 (α) Τι είναι ο τανυστής της τάσης; (β) Δώστε τον τανυστή της τάσης στο σύστημα xyz. (γ) Εξηγείστε τη σημασία των δύο δεικτών κάθε συνιστώσας της τάσης. (δ) Αποδείξτε ότι ο τανυστής της τάσης είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο. Ερώτηση 4 (α) Τι είναι οι αναλλοίωτες του τανυστή της τάσης; (β) Γράψτε τις τρεις αναλλοίωτες του τανυστή της τάσης στο σύστημα xyz. Ερώτηση 5 (α) Τι είναι οι κύριες τάσεις και οι κύριες διευθύνσεις; (β) Δώστε τον τανυστή της τάσης στο σύστημα των κυρίων διευθύνσεων. (γ) Γράψτε τις τρεις αναλλοίωτες του τανυστή της τάσης στο σύστημα των κυρίων διευθύνσεων. Ερώτηση 6 (α) Δώστε το υδροστατικό και το αποκλίνον μέρος του τανυστή της τάσης. (β) Εξηγείστε τη σημασία αυτού του διαχωρισμού. Ερώτηση 7 (α) Σχεδιάστε τις συνιστώσες της τάσης σε ένα στοιχειώδες τετράπλευρο, που περιβάλλει ένα σημείο του πετρώματος, στο σύστημα αξόνων xy. (β) Δώστε τον τανυστή της τάσης στο σύστημα xy. Ερώτηση 8 (α) Σχεδιάστε τις συνιστώσες της τάσης σε ένα στοιχειώδες τετράπλευρο, που περιβάλλει ένα σημείο του πετρώματος, στο σύστημα των κυρίων διευθύνσεων. (β) Δώστε τον τανυστή της τάσης στο επίπεδο στο σύστημα των κυρίων διευθύνσεων. Ερώτηση 9 (α) Γράψτε τις αναλλοίωτες του τανυστή της τάσης στο επίπεδο. (β) Δώστε το υδροστατικό και το αποκλίνον μέρος του τανυστή της τάσης στο επίπεδο. 54

Ερώτηση 10 (α) Τι είναι ο κύκλος του Mohr; (β) Πως χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση της εντατικής κατάστασης στο επίπεδο; Ερώτηση 11 Στις εργαστηριακές δοκιμές μηχανικής πετρωμάτων τα δοκίμια του πετρώματος συχνά υποβάλλονται στις ακόλουθες εντατικές καταστάσεις: μονοαξονική θλίψη, διαξονική θλίψη, τριαξονική θλίψη, υδροστατική θλίψη, μονοαξονικός εφελκυσμός, διαξονικός εφελκυσμός. Δώστε τον τανυστή της τάσης για κάθε μία από αυτές. Ερώτηση 12 Σχεδιάστε τους κύκλους Mohr για τις ακόλουθες εντατικές καταστάσεις: μονοαξονική θλίψη, διαξονική θλίψη, τριαξονική θλίψη, υδροστατική θλίψη, μονοαξονικός εφελκυσμός, διαξονικός εφελκυσμός. Ερώτηση 13 (α) Εξηγείστε τη σημασία του φυσικού εντατικού πεδίου για τα πρακτικά προβλήματα της μηχανικής των πετρωμάτων. (β) Τι προβλέπει η υπόθεση της λιθοστατικής εντατικής κατάστασης για το φυσικό εντατικό πεδίο; (γ) Πως υπολογίζονται οι οριζόντιες τάσεις του φυσικού εντατικού πεδίου σύμφωνα με την υπόθεση της μονοαξονικής παραμόρφωσης του πετρώματος σε βάθος; (δ) Τι δείχνουν τα στοιχεία των μετρήσεων του φυσικού εντατικού πεδίου για τη μεταβολή του λόγου της μέσης οριζόντιας τάσης προς την κατακόρυφη τάση; Άσκηση 1 Οι συνιστώσες της τάσης σε ένα σημείο του πετρώματος είναι: σ xx =10 MPa, σ yy =15 MPa, σ zz =40 MPa, τ xy =2 MPa, τ xz =7 MPa, τ yz =5 MPa. (α) Σχεδιάστε τις συνιστώσες της τάσης στις έδρες στοιχειώδους κύβου, που περιβάλλει το σημείο του πετρώματος, στο σύστημα xyz. (β) Δώστε τον τανυστή της τάσης στο σύστημα xyz. (γ) Δώστε τον τανυστή της τάσης σε σύστημα αξόνων lmn, το οποίο προκύπτει από το σύστημα xyz ύστερα από στροφή 30 ο περί τον άξονα z. (δ) Υπολογίστε τις κύριες τάσεις και τις κύριες διευθύνσεις. (ε) Δώστε τις αναλλοίωτες του τανυστή της τάσης. (στ) Δώστε τον υδροστατικό και το αποκλίνων μέρος του τανυστή της τάσης. (ζ) Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση σε επίπεδο με μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα (1 3, 1 3, 1 3). Λύση (α) Οι συνιστώσες της τάσης στις έδρες στοιχειώδους κύβου, που περιβάλλει το σημείο του πετρώματος, στο σύστημα xyz δίνονται στο Σχήμα 34. (β) Ο τανυστής της τάσης στο σύστημα xyz είναι: 10 2 7 =2 15 5 () 7 5 40 (γ) Τα συνημίτονα κατεύθυνσης των αξόνων του συστήματος lmn ως προς τους άξονες του συστήματος xyz: l x =cos(30 ο )= 3/2, l y =cos(60 ο )=1/2, l z =cos(90 ο )=0 m x =cos(120 ο )=-1/2, m y =cos(30 ο )= 3/2, m z =cos(90 ο )=0, n x =cos(90 ο )=0, n y =cos(90 ο )=0, n z =cos(0 ο )=1, 55

Σχήμα 34. Ορθές και διατμητικές τάσεις (σε MPa) στιςς έδρες του στοιχειώδους κύβου. Το μητρώο στροφής είναι: 3/2 = 1/2 0 1/2 0 3/2 0 0 1 Ο τανυστής των τάσεων στο σύστημα lmn υπολογίζεται από τη σχέση: 3/2 1/2 0 10 = 1/2 3/ 2 02 0 0 1 7 2 7 3/2 1/2 0 15 5 1/2 3/22 0 5 40 0 0 1 = 3/2 1/2 0 10 = 1/2 3/2 02 0 0 1 7 2 7 3/2 1/22 0 15 5 1/2 3/22 0= 5 40 0 0 1 12.982 3.165 8.5622 =3.165 12..018 0.830 MPa 8.562 0.830 40 (δ) Οι κύριες τάσεις μπορούν να υπολογιστούν με την επίλυση τηςς εξίσωσης (3.51) ως προς σ. Από μαθηματικής άποψης, η διαδικασίαα υπολογισμού των κύριων τάσεων και διευθύνσεων είναι απλώς ο προσδιορισμός των ιδιοτιμών του τανυστή της τάσης και του ιδιοδιανύσματος κάθε ιδιοτιμής. ι Η υπολογιστική διαδικασίαα μπορεί να απλοποιηθεί εάν αξιοποιηθούν τα σύγχρονα σ μαθηματικά προγράμματα, που έχει ο μηχανικός στη διάθεσή του. Έτσι, οι κύριες τάσεις είναι: σ 1 =42.578 MPa, σ 2 =14.105 MPa και σ 3 =8.317 MPa, ενώ τα συνημίτονα κατεύθυνσης των σ 1, σ 2, σ 3 είναι (0.1911, 0.2158, 0.9575), (0.1474, - 0.9708, 0.1894), (-0.9704, -0.1049, 0.2174) αντίστοιχα. (ε) Οι αναλλοίωτες του τανυστή της τάσης υπολογίζονται από τη σχέση (3.52):( Ι 1σ =65, Ι 2σ =2081, Ι 3σ =80570. (στ) Η μέση τάση είναι σ m =I 1σ /3=65/3=21.667 MPa. Το υδροστατικό μέρος του τανυστή της τάσης γράφεται ως: 0 0 21.667 0 0 = = 0 0 = 0 21.667 0 0 0 0 0 21.667 56

ενώ το αποκλίνον ως: = = 10 21.667 2 7 = 2 151 21.6677 5 = 7 2 40 21.667 (ζ) Στο επίπεδο με l=m= =n=1 3, η ορθή τάση είναι ίση με τη μέση τάσηη (σ=σ m ) και ι η διατμητική τάση είναι ίση με την οκταεδρική τάση, που δίνεται από τη σχέση: 1 = = 3 3( + + ) ( + + ) =14.974 Άσκηση 2 11.667 2 7 = 2 6.667 5 7 2 18.333 Στα πλαίσια εργαστηριακού πειράματος, πλάκα γρανίτη διαστάσεων 200x200x50 mm φορτίζεται με κατακόρυφη δύναμη 200 kn, όπως φαίνεταιι στο Σχήμα 35α. (α) Δώστε Δ τον τανυστή της τάσης. (β) Σχεδιάστε τον κύκλο Mohr για τη δεδομένη εντατική κατάσταση. (γ) Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία β με τον οριζόντιοο άξονα και δώστε σε διάγραμμα τη μεταβολή τους για τιμές της γωνίας β στο διάστημα [0, 90 ο ]. Σχήμα 35. Πλάκα γρανίτη που φορτίζεται: (a) με κατακόρυφη δύναμη 200 kn, (β)) με κατακόρυφη δύναμη 200 kn και οριζόντια δύναμη 50 kn. Άσκηση 3 Η ίδια πλάκα γρανίτη φορτίζεταιι στη συνέχεια και με οριζόντια δύναμη δ 50 kn, όπως φαίνεται στο Σχήμα 35β. (α) Δώστε τον τανυστή της τάσης.. (β) Σχεδιάστε τον κύκλο Mohr γιαα τη δεδομένη εντατική κατάσταση. (γ) Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία β με τον οριζόντιο άξονα και δώστε σε διάγραμμα τη μεταβολή τους για τιμές της γωνίας β στο διάστημα [0, 90 ο ]. Άσκηση 4 Σε μία εργαστηριακή δοκιμή συμβατικής τριαξονικής κύρια τάση είναι σ 1 =50 MPa και ασκείται κατά την θλίψης ενόςς δοκιμίου πετρώματος η μέγιστη κατακόρυφη διεύθυνση, ενώ σ 2 =σ 3 =10 MPa. 57

Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση διεύθυνση της μέγιστης κύριας τάσης. σε επίπεδο με μοναδιαίο διάνυσμα υπό γωνία 30 ο με τη Άσκηση 5 Η εντατική κατάσταση σε ένα σημείο του πετρώματος είναι: σ xx =30 MPa, σ yy =15 MPa, τ xy y=5 MPa. (α) Υπολογίστε τις κύριες τάσεις και διευθύνσεις. (β) Υπολογίστε τις συνιστώσες σ της τάσης σε σύστημα αξόνων lm, που προκύπτει από στροφή του συστήματος xy κατά γωνία 30 ο. Λύση (α) Οι κύριες τάσεις υπολογίζονται από την εξίσωση:, = 1 2 + ± 2 Η γωνία στροφής από τον άξονα x προς την κατεύθυνση της σ 1 υπολογίζεται ως 1. 2 =tan = 33.69 + Ο προσανατολισμός των κυρίων τάσεων δίνεται στο Σχήμα 36. =31.514 ; = 13.486 Σχήμα 36. Δεδομένη εντατική κατάσταση και προσανατολισμός της μέγιστης κύριας τάσης ως προς τον άξονα x. Για τον προσδιορισμό των κυρίων τάσεων τ και διευθύνσεωνν μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο κύκλος Mohr, όπως φαίνεται στο Σχήμα 37. Απεικονίζονται στο διάγραμμα τα ζεύγη τιμών (σ xx = =30 MPa, τ xy =5 MPa) και (σ yy =15, -τ xy =-5 MPa) και σχεδιάζεται η ευθείαα που ενώνει τα δύο σημεία. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου Mohr Κ {(σ xx +σ yy )/2=(30+15)/2=22.5, 0} και η ακτίναα ρ=0.5[(σ xx -σσ yy ) 2 +(2τ xy ) 2 ] 1/2 =9.014 Οι κύριες τάσεις υπολογίζονται ως: σ 1 =22.5+9.014=31.514 και σ 2 =22.5-9.014=13.4866 MPa. 58

Σχήμα 37. Κύκλος Mohr για τη δεδομένη εντατική κατάσταση και προσανατολισμός της μέγιστης κύριας τάσης ως προς τον άξονα x. (β) Οι συνιστώσες της τάσης σε σύστημα αξόνων lm, που προκύπτει από α στροφή του συστήματος xy κατά γωνία 30 ο, υπολογίζονται ως: cos = sin sin cos cos si sin n cos = 30.580 3.995 3.995 14.420 Ο υπολογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί καιι από τον κύκλο Mohr. Προς Π τον σκοπό αυτό, σχεδιάζεται ο κύκλος Mohr για τη δεδομένη εντατική κατάσταση και υπολογίζονται οι συντεταγμένες του κέντρου c και η ακτίνα r. Στη συνέχεια, σημειώνεταιι στην περιφέρεια του κύκλου Mohr τόξο γωνίας ς 60 ο (=2x30 ο ) με αρχή το σημείο (30, 5) και φορά ομόρροπη με τη φορά της στροφής του Olm ως ω προς το Oxy. Το τέλος του τόξου είναι το σημείο (σ ll, τ lm ). Οι συνιστώσες της τάσης στο σύστημα Olm υπολογίζονται ως: σ ll =22.5+ +9.014 cos(ω- 2θ)=30.580 MPa, σ mm =22.5-9.014 cos(ω-2θ)=14..420 MPa, τ lm m=9.014 sin( (ω-2θ)=-3.995 MPa. -15-10 -5 (15,-5) (30.580,-3.995) 0 0 5 10 15 20 25 ω 30 35 40 σ n τ 5 (-3.995,14. 420) (30, 5) 10 15 Σχήμα 38. Κύκλος Mohr για τη δεδομένη εντατική κατάσταση και προσανατολισμός της μέγιστης κύριας τάσης ως προς τον άξονα x. 59