Μουκούλης Χρήστος, ΑΤΜ Μεταπτυχιακός φοιτητής ΤΑΤΜ, ΑΠΘ. Επεξεργασία δορυφορικών δεδομένων GOCE σε εφαρμογές τοπικής κλίμακας

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών «Γεωπληροφορική» Κατεύθυνση «Τοπογραφικές Εφαρμογές Υψηλής Ακρίβειας» Μουκούλης Χρήστος, ΑΤΜ Μεταπτυχιακός φοιτητής ΤΑΤΜ, ΑΠΘ Επεξεργασία δορυφορικών δεδομένων GOCE σε εφαρμογές τοπικής κλίμακας Επιβλέπων καθηγητής : Δημήτριος Τσούλης Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2015

2

3 Πρόλογος Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία από τον Μουκούλη Χρήστο, Αγρονόμο και Τοπογράφο Μηχανικό, φοιτητή του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών με τίτλο «Γεωπληροφορική» του Τμήματος Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών στην κατεύθυνση «Τοπογραφικές Εφαρμογές Υψηλής Ακρίβειας» και πραγματεύεται την προεπεξεργασία των βαθμιδομετρικών δεδομένων της δορυφορικής αποστολής GOCE. Ο δορυφόρος GOCE μπορεί πλέον να μην βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τη Γη, όμως ο μεγάλος όγκος δεδομένων και οι υψηλής ακρίβειας μετρήσεις με τις οποίες τροφοδότησε την επιστημονική κοινότητα θα χρησιμοποιούνται για αρκετά χρόνια ακόμα για την μελέτη τόσο του πεδίου βαρύτητας της Γης όσο και των γεωφυσικών διεργασιών της. Η προεπεξεργασία των δεδομένων αυτών είναι απαραίτητη προκειμένου να ελεγχθούν για την ορθότητα τους, την αξιοπιστία τους και να μετασχηματιστούν σε κατάλληλη μορφή ώστε να αξιοποιηθούν στη συνέχεια είτε για τη δημιουργία προϊόντων που αφορούν το πεδίο βαρύτητας της Γης (γεωδυναμικά μοντέλα, υψόμετρα γεωειδούς κ.α.), μέσω των γνωστών μαθηματικών εργαλείων της σφαιρικής αρμονικής ανάλυσης, είτε για άλλες γεωφυσικές εφαρμογές (μοντελοποίηση λιθόφαιρας, μελέτη του φλοιού κ.α.). Η μεθοδολογίες της επεξεργασίας διαφέρουν ανάλογα με την χρήση για την οποία προορίζονται οι βαθμίδες. Ο κύριος λόγος συγγραφής αυτής της εργασίας, είναι να εστιάσει στην διαχείριση, την επεξεργασία και την δημιουργία προϊόντων που θα είναι κατάλληλες για γεωφυσικές εφαρμογές τοπικής κλίμακας.

4

5 Extended Summary The present Master of Science Thesis was composed by Christos Moukoulis, Rural and Survey Engineer, student of the postgraduate studies program Geoinformatics of the Department of Rural and Surveying Engineering in the direction of High Precision Land Surveying Applications and under the supervision of Professor Dimitrios Tsoulis. The GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) satellite mission launched on 17 March 2009 provides for the first time Satellite Gravity Gradiometer (SGG) data. It is designed to recover the Earth gravity anomaly field with an accuracy of better than 1 to 2 mgal with a spatial resolution of 100 km or less. The GOCE satellite is not now in orbit around the Earth, but the large data volume and high-precision measurements with which fueled the scientific community will be used for several more years for the study of the gravity field of the Earth and its geophysical functions. But before the use of these data, it is necessary to assess the signal and noise in them, check their accuracy, their reliability and form them into a suitable form to be used then to create products related to the gravitational field of the Earth (e.g. geopotential models, geoid heights). There are different preprocessing workflows and depend on the desirable products. This paper aims to be a wizard to everyone user who wants to work with GOCE gradients for local applications (for a country or a region), especially the geophysical ones (lithosphere modelling, Moho depths variation, crustal study etc.). The present thesis consists of seven chapters and two appendices. The first chapter contains the introduction of the Thesis where the main objective and aims of this work are analyzed. There is also a review the software that developed and used for the computations and file management. The second chapter presents the fundamental theoretical background required for the understanding of GOCE mission. There is glimpse of the potential theory, the method of satellite gravity gradiometry and the method of satellite to satellite tracking (SST). The third chapter is dedicated to preview of the basic features of GOCE satellite mission. It starts with the general presentation of the mission, continuous with its basic instrument, the Satellite Gravity Gradiometer and the SST method and ends with the coordinate systems and transformations. The forth chapter is the thesis core. There is a detailed presentation of the workflow s stages, the preprocessing, the filtering, the combination of the data and the methodology used in the final process of those data. There is also an evaluation of the produced data comparing them with gradients of global geopotential models. The fifth chapter contains the application of the projection the full gravity gradient tensor to a mean sphere and an assessment of them. It also contains the methodology for gridding the data into spherical grids.

6 The sixth chapter there is a short application as a test for connection the gravity gradients with the geophysical features of Earth and especially its layers. This application realized with the comparison of GOCE processed data with synthetic ones, computed by analytical methods. The seventh chapter summarizes the final conclusions concerning the GOCE data, the accuracy of the filtered gravity gradients and the processing methodologies examined. Few suggestions for future work are also pointed out. The Appendix A deals with the presentation of Matlab oriented software Graflab(GRavityFieldLABaratory), which used for the synthesis of gravity gradients from global geopotential models. The Appendix B contains a short review of quaternions and a method to interpolate them.

7 Ευχαριστίες Αρχικά οφείλω ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή μου, κ. Δημήτριο Τσούλη για την υπόδειξη του θέματος της εργασίας, τη βιβλιογραφία, τις επεξηγήσεις στο απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο, όλες τις συμβουλές και φυσικά την εμπιστοσύνη που μου έδειξε. Επίσης, πολλές ευχαριστίες στον φίλο και συνάδερφο Δημήτριο Πιρετζίδη, για την πολύτιμη βοήθεια του και παροχή λογισμικού για τους μετασχηματισμούς συντεταγμένων στα διάφορα συστήματα αναφοράς, αλλά και τις γενικές συζητήσεις περί των διαφόρων θεμάτων που προέκυπταν. Τέλος, στην οικογένεια μου, τους γονείς και την αδερφή μου για την στήριξη τους σε όλα αυτά τα χρόνια των σπουδών μου.

8

9 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Extended Summary...5 Ευχαριστίες...7 Περιεχόμενα...9 Κατάλογος Σχημάτων... 11 Κατάλογος Πινάκων... 15 1. Εισαγωγή... 17 1.1 Εισαγωγή... 17 1.2 Στόχοι - Κίνητρο... 18 1.2 Διάρθρωση... 20 1.4 Λογισμικό... 20 2. Θεωρητικό Υπόβαθρο... 23 2.1 Εισαγωγή... 23 2.2. Το πεδίο έλξης της Γης... 23 2.3. Συνιστώσες του πεδίου έλξης... 26 2.4. Διαστημική βαθμιδομετρία... 29 2.5. Μέτρηση διαδορυφορικών αποστάσεων... 31 3. Η δορυφορική αποστολή GOCE... 33 3.1 Εισαγωγή... 33 3.2. Γενικά στοιχεία... 33 3.3. Το βαθμιδόμετρο... 38 3.4. Η μέθοδος SST... 42 3.5. Προϊόντα GOCE... 43 3.5.1. Γενικά... 43 3.5.2. Τα προϊόντα EGG_NOM_2 και SST_PSO_2... 45 3.6. Συστήματα αναφοράς... 53 3.7. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων... 55 4. Επεξεργασία προϊόντων GOCE... 59 4.1 Εισαγωγή... 59 4.2. Προεπεργασία... 60 4.3. Επισκόπηση προϊόντων... 67

10 4.4. Μεθοδολογία επεξεργασίας - Φιλτράρισμα... 78 4.4.1. Μεθοδολογία... 78 4.4.2. Φίλτρα... 82 4.5. Σύγκριση με γεωδυναμικά μοντέλα... 83 4.6. Παραγωγή χαρτών... 87 5. Προβολή σε μια μέση σφαίρα... 97 5.1 Εισαγωγή... 97 5.2. Προβολή σε μέση σφαίρα... 97 5.3. Κανναβοποίηση προβεβλημένων βαθμίδων... 102 6. Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος... 107 6.1 Εισαγωγή... 107 6.2. Στοιχεία από την δομή της Γης... 107 6.3. Αναλυτικές μέθοδοι... 110 6.4. Υπολογισμοί... 111 7. Συμπεράσματα... 115 8. Βιβλιογραφία... 119 9. Παράρτημα 1 : Το λογισμικό Graflab... 123 10. Παράρτημα 2 : Τετραδικοί αριθμοί... 125

11 Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα 1 : Περιοχή μελέτης (Bing Maps)... 19 Σχήμα 2 : Βασική αρχή μέτρησης διαδορυφορικών αποστάσεων (ESA)... 31 Σχήμα 3 : Καλλιτεχνική άποψη του δορυφόρου GOCE (ESA)... 33 Σχήμα 4 : Το μέσο ύψος του δορυφόρου κατά τη διάρκεια της αποστολής (ESA)... 34 Σχήμα 5 : Τελευταία θέαση του δορυφόρου, λίγο πριν την καταστροφή του (ESA)... 34 Σχήμα 6: Οι προωθητήρες ιόντων ξένου (ESA)... 36 Σχήμα 7 : Απεικόνιση εσωτερικού του δορυφόρου (ESA)... 36 Σχήμα 8 : Το βαθμιδόμετρο του GOCE (ESA)... 37 Σχήμα 9 : Οι άξονες του βαθμιδομέτρου και των επιταχυνσιομέτρων (ESA)... 38 Σχήμα 10 : Η συνάρτηση πυκνότητας των σφαλμάτων για την κάθε συνιστώσα (ESA)... 39 Σχήμα 11 : Υλοποίηση μεθόδου SST από τον δορυφόρο GOCE και τους δορυφόρους GPS ( ESA)... 42 Σχήμα 12 : Επίγειο τμήμα αποστολής (ESA)... 43 Σχήμα 13 : Απόσπασμα αρχείου.hed... 46 Σχήμα 14 : Απόσπασμα αρχείου.sgg... 48 Σχήμα 15 : Απόσπασμα αρχείου.qat... 50 Σχήμα 16 : Απόσπασμα αρχείου.hed... 51 Σχήμα 17 : Απόσπασμα αρχείου.kin... 52 Σχήμα 18 : Συστήματα συντεταγμένων (ESA)... 54 Σχήμα 19 : Λογικό διάγραμμα μεθοδολογίας... 59 Σχήμα 20 : Περιβάλλον λογισμικού GOCEPARSER... 60 Σχήμα 21 : Ημερολόγιο συμβάντων μετρήσεων GOCE (ESA)... 64 Σχήμα 22 : Οι τροχιές από τα αρχεία μετρήσεων στην περιοχή μελέτης... 65 Σχήμα 23 : Τροχιακά ίχνη ημερησίων αρχείων στην περιοχή μελέτης... 66 Σχήμα 24 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vxx (μονάδα Eotvos)... 67 Σχήμα 25 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vzz (μονάδα Eotvos)... 68 Σχήμα 26 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vyy (μονάδα Eotvos)... 68 Σχήμα 27 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vxz (μονάδα Eotvos)... 69 Σχήμα 28 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vxy (μονάδα Eotvos)... 69 Σχήμα 29 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vyz (μονάδα Eotvos)... 70 Σχήμα 30 : Διαφορές παρατηρούμενων βαθμίδων με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5... 71 Σχήμα 31 : Διαφορά βαθμίδας Vyy του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας... 72 Σχήμα 32 : Διαφορά βαθμίδας Vxx του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας... 72 Σχήμα 33 : Διαφορά βαθμίδας Vxy του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας... 73 Σχήμα 34 : Διαφορά βαθμίδας Vzz του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας... 73

12 Σχήμα 35 : Διαφορά βαθμίδας Vxz του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας... 74 Σχήμα 36 : Διαφορά βαθμίδας Vyz του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας... 74 Σχήμα 37 : Αριστερά : Συνάρτηση πυκνότητας φάσματος των βαθμίδων του GOCE, Δεξιά : Συνάρτηση πυκνότητας φάσματος των υπολογισμένων βαθμίδων από το μοντέλο ΤΙΜR5... 75 Σχήμα 38 : Συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος βαθμίδων GOCE και διαφορών βαθμίδων GOCE με υπολογισμένων από το μοντέλο ΤΙΜR5 για την κάθε συνιστώσα... 77 Σχήμα 39 : Διάγραμμα μεθοδολογίας φιλτραρίσματος... 80 Σχήμα 40 : : Συνάρτηση πυκνότητας φάσματος της συνιστώσας XY για : τις παρατηρούμενες βαθμίδες GOCE, του μοντέλου GOGRA04S, των φιλτραρισμένων βαθμίδων GOCE, των β φιλτραρισμένων βαθμίδων του μοντέλου GOGRA04S και των τελικών φιλτραρισμένων βαθμίδων... 81 Σχήμα 41 : Συνάρτηση πυκνότητας φάσματος της συνιστώσας ΧΧ για : τις παρατηρούμενες βαθμίδες GOCE, του μοντέλου GOGRA04S, των φιλτραρισμένων βαθμίδων GOCE, των φιλτραρισμένων βαθμίδων του μοντέλου GOGRA04S και των τελικών φιλτραρισμένων βαθμίδων... 81 Σχήμα 42 : Συνάρτηση απόκρισης παλμού φίλτρου... 83 Σχήμα 43 : Αριστερά : Συνιστώσα Vxx, Δεξιά : Συνιστώσα Vyy (μονάδα Eotvos)... 87 Σχήμα 44 : Αριστερά : Συνιστώσα Vxz, Δεξιά : Συνιστώσα Vyz (μονάδα Eotvos)... 88 Σχήμα 45 : Αριστερά : Συνιστώσα Vzz, Δεξιά : Συνιστώσα Vxy (μονάδα Eotvos)... 88 Σχήμα 46 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vxx, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)... 91 Σχήμα 47 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vyy, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)... 92 Σχήμα 48 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vzz, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)... 93 Σχήμα 49 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vxy, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)... 94 Σχήμα 50 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vxz, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)... 95 Σχήμα 51 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vyz, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)... 96 Σχήμα 52 : Σχήμα υπολογισμού πρώτης παραγώγου δυναμικού... 98 Σχήμα 53 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΧΧ (Eotvos)... 104 Σχήμα 54 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΥΥ (Eotvos)... 104 Σχήμα 55 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΖΖ (Eotvos)... 105 Σχήμα 56 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΧΥ (Eotvos)... 105 Σχήμα 57 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΧΖ (Eotvos)... 106 Σχήμα 58 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΥΖ (Eotvos)... 106

13 Σχήμα 59 : Το απλοποιημένο μοντέλο της δομής ή του εσωτερικού του της Γης. Η γήινη σφαίρα αποτελείται από ομόκεντρα στρώματα διαφορετικού πάχους, σύστασης και πυκνότητας. Η μεγεθυσμένη τομή του εσωτερικού της Γης, αποκαλύπτει το λεπτό πάχος του φλοιού, το μανδύα και τον πυρήνα, που αποτελούνται από τρία επιμέρους τμήματα (ανώτερος και κατώτερος μανδύας, ζώνη μετάβασης - εξωτερικός και εσωτερικός πυρήνας).... 109 Σχήμα 60 : Σχήμα υπολογισμού ακτινικής συνιστώσας Vzz (Τσούλης, 2013)... 110 Σχήμα 61 : Κατανομή σε δακτύλιο του ποσοστού συμμετοχής κάθε στρώματος στο βαθμιδομετρικό σήμα... 113 Σχήμα 62 : Το περιβάλλον του λογισμικου Graflab... 124

14

15 Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 1 : Φέρουσες διατάξεις και μηχανισμοί... 35 Πίνακας 2 : Πεδία εφαρμογής της δορυφορικής αποστολής GOCE... 35 Πίνακας 3 : Ονοματολογία αρχείων δεδομένων... 45 Πίνακας 4 : Περιεχόμενα αρείων.sgg κατά στήλες... 47 Πίνακας 5 : Κωδικοί κατάστασης μέτρησης (flag)... 48 Πίνακας 6 : Περιεχόμενα αρχείων.qat κατά στήλες... 49 Πίνακας 7 : Περιεχόμενα αρχείων.kin ανά στήλες... 51 Πίνακας 8 : Τύποι αρχεία που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία... 61 Πίνακας 9 : Περιεχόμενα εξαγώγιμου αρχείου... 64 Πίνακας 10 : Στατιστικά διαφορών παρατηρούμενων βαθμίδων με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5... 70 Πίνακας 11 : Στατιστικά διαφορών παρατηρούμενων βαθμίδων με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση των μέσων όρων της κάθε συνιστώσας... 75 Πίνακας 12 : Στοιχεία Φίλτρου... 82 Πίνακας 13 : Φιλτραρισμένες βαθμίδες στο GRF... 83 Πίνακας 14 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EGM2008... 84 Πίνακας 16 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο TIMR5... 84 Πίνακας 15 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN-6C4... 84 Πίνακας 17 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EGM2008 (1)... 85 Πίνακας 18 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EGM2008 (2)... 85 Πίνακας 19 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN-6C4 (1)... 86 Πίνακας 20 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN-6C4 (2)... 86 Πίνακας 21 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο TIM R5 (1)... 86 Πίνακας 22 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο TIM R5 (2)... 86 Πίνακας 23 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο TIMR5.. 89 Πίνακας 24 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EGM2008... 89 Πίνακας 25 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN- 6C4... 90 Πίνακας 26 : Στατιστικά πρωτογενών βαθμίδων πριν την προβολή... 100 Πίνακας 27 : : Στατιστικά βαθμίδων μετά την προβολή... 100 Πίνακας 28 : Διαφορές προβεβλημένων με συνθετικές βαθμίδες από TIMR5... 100 Πίνακας 29 : Διαφορές προβεβλημένων με συνθετικές βαθμίδες από EIGEN-6C4... 101

16 Πίνακας 30 : Στατιστικά στοιχεία ονομαστικών (nominal) ακριβειών... 101 Πίνακας 31 : Στατιστικά διαφορών βαθμίδων καννάβου με συνθετικές, υπολογισμένες από το μοντέλο TIMR5... 103 Πίνακας 32 : Στατιστικά διαφορών βαθμίδων καννάβου με συνθετικές, υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN6C4... 103 Πίνακας 33 : Στοιχεία στρωμάτων της Γήινης σφαίρας... 111 Πίνακας 34 : Υπολογισμένες ακτινικές συνιστώσες ανά στρώμα... 112 Πίνακας 35 : Διαφορές τιμών ακτινικών συνιστωσών... 112

17 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Εισαγωγή Έλξη είναι το φαινόμενο κατά το οποίο όλα τα φυσικά σώματα έλκονται μεταξύ τους με δύναμη ανάλογη με τις μάζες τους. Αντίστοιχα, η έλξη της Γης είναι η δύναμη που έλκει όλα τα σώματα προς αυτήν. Η βαρύτητα της Γης, εκτός από την έλξη οποιοδήποτε σώματος, περιλαμβάνει και την επιτάχυνση λόγω της περιστροφικής κίνησης της Γης. Καθώς λοιπόν η βαρύτητα επηρεάζεται τόσο από την κατανομή των μαζών της Γης όσο και από την περιστροφή της, η μέτρηση της θα οδηγούσε και μια καλύτερη κατανόηση της πυκνότητας και των εσωτερικών διεργασιών της. Ο Isaak Newton, το 1687, διατύπωσε τον περίφημο Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης στο έργο του Philosophiae naturalis principia mathematica. Εκεί, περιέγραψε την ελκτική δύναμη ως ανάλογη των μαζών δυο αλληλοελκόμενων σωμάτων και αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους, σύμφωνα με τον γνωστό τύπο F 1,2 = G m 1m 2 2 e r 1,2 1,2 (1.1) Όπου F1,2 η δύναμη έλξης μεταξύ των μαζών 1 και 2, G η παγκόσμια σταθερά έλξης με τιμή G=6.672x10-11 m 3 s -2 kg -1, m1 και m2 οι μάζες 1 και 2 αντίστοιχα, r1,2 η απόσταση μεταξύ των δυο μαζών Μέχρι και πριν από την εκτόξευση του πρώτου τεχνητού δορυφόρου, του Σοβιετικού Sputnik το 1957, τα γεωδυναμικά μοντέλα προέρχονταν όλα μόνο από επίγειες μετρήσεις,

18 Εισαγωγή με αποτέλεσμα την πολύ μικρή χωρική ανάλυση και ακρίβεια, εξαιτίας της φτωχής παγκόσμιας κάλυψης. Η βελτίωση της τεχνολογίας της παρακολούθησης της τροχιάς των δορυφόρων, με τεχνικές όπως το Satellite Laser Ranging (SLR) και τα παγκόσμια συστήματα προσδιορισμού θέσης (GPS, GLONASS), επέτρεψαν έναν πιο ακριβή και σε πραγματικό χρόνο προσδιορισμό της τροχιάς και να οδήγησαν σε καλύτερες χωρικές αναλύσεις σε παγκόσμια κλίμακα. Η πρώτη αμιγώς γεωδαιτική αποστολή με τον δορυφόρο CHAllenging Mini-satellite Payload (CHAMP) έγινε τον Ιούλιο του 2000 και αποτέλεσε ένα ορόσημο για τον προσδιορισμό του γήινου πεδίου βαρύτητας, επιτυγχάνοντας ακρίβειες 0.5mGal και 10cm για την βαρύτητα και το γεωειδές αντίστοιχα και χωρική ανάλυση 550km. Ο δεύτερη σχετική με τη βαρύτητα αποστολή ήταν η Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) και βελτίωσε ακόμα περισσότερο τα γεωδυναμικά μοντέλα, με ακρίβειες 1cm για το γεωειδές σε βαθμό και τάξη 110 και 180km χωρική ανάλυση. Στις 17 Μαρτίου του 2009, εκτοξεύτηκε, υπό την αιγίδα της Ευρωπαϊκής Υπηρεσίας Διαστήματος (ESA - European Space Agency), η τρίτη δορυφορική αποστολή με το όνομα Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer (GOCE). Ήταν η πρώτη φορά που ένας δορυφόρος πετούσε τόσο κοντά στη Γη και έφερε μαζί του ένα βαθμιδόμετρο υψηλής ευαισθησίας και ακρίβειας, φέρνοντας ξανά την επανάσταση στις γεωεπιστήμες, με χωρική α- νάλυση 100km και ακρίβεια γεωειδούς καλύτερη από 1cm. 1.2 Στόχοι - Κίνητρο Ο κύριος στόχος της εργασίας αυτής είναι να αποτελέσει έναν οδηγό για όλα τα στάδια της προεπεξεργασίας που πρέπει να υποστούν τα πρωτογενή δεδομένα των βαθμίδων της αποστολής GOCE, προκειμένου να αξιοποιηθούν από τα διάφορα λογισμικά αλλά και να ελεγχθούν για τυχόν σφάλματα και να απαλλαχθούν από αυτά. Για την δημιουργία του οδηγού αυτού έγινε έρευνα σε μεγάλο μέρος της διεθνούς βιβλιογραφίας και στις διάφορες μεθοδολογίες που προτείνονται. Ιδιαίτερα, η εργασία αυτή επικεντρώνεται στην επεξεργασία βαθμίδων βαρύτητας ώστε να χρησιμοποιηθούν για εφαρμογές τοπικής κλίμακας (πχ χώρας ή υποπεριοχής ηπείρου) και όχι παγκόσμιες (πχ δημιουργία παγκόσμιων γεωδυναμικών μοντέλων) και κυρίως για γεωφυσικές εφαρμογές όπως είναι η μοντελοποίηση της λιθόσφαιρας ή η μελέτη του γήινου φλοιού. Όλα τα στάδια περιγράφονται αναλυτικά ώστε να διευκολυνθεί όσο το δυνατόν ο τελικός χρήστης των δεδομένων αυτών. Επίσης, κίνητρο ήταν και η διερεύνηση του βαθμού της δυνατότητας που έχει ένας απλός χρήστης με απλό εξοπλισμό να χρησιμοποιήσει αυτόν το μεγάλο όγκο δεδομένων που του παρέχεται, κυρίως με βάση την διάρκεια επεξεργασίας όλα αυτά τα δεδομένα από έναν συμβατικό υπολογιστή. Επιπλέον, σημαντικό μέρος της εργασίας καταλαμβάνει η αξιολόγηση των επεξεργασμένων βαθμίδων, της μεθοδολογίας και η εξαγωγή συμπερασμάτων από τα διάφορα στάδια αυτής. Η αξιολόγηση έγινε κυρίως με την σύγκριση τους με τις αντίστοιχες από τα γεωδυναμικά

19 Εισαγωγή μοντέλα, που υπολογίζονται από τα διάφορα ερευνητικά κέντρα με πιο αυστηρές μεθοδολογίες. Επίσης, εξίσου σημαντική είναι και η εφαρμογή της προβολής των βαθμίδων σε μια μέση σφαίρα και η κανναβοποίηση τους, καθώς για τις περισσότερες γεωφυσικές εφαρμογές απαιτείται η χρήση βαθμίδων σε μορφή καννάβων. Τέλος, χρήσιμα συμπεράσματά για την επίδραση των γήινων στρωμάτων προκύπτουν από την σύγκριση της επεξεργασμένης ακτινικής συνιστώσας με την υπολογισμένη από αναλυτικές μεθόδους. Όπως ειπώθηκε, οι επεξεργασία εστιάζεται σε δημιουργία βαθμίδων για τοπικές εφαρμογές και σε αντίστοιχη κλίμακα. Η περιοχή μελέτης που επιλέχθηκε, είναι η περιοχή της Ελλάδας, στα όρια μεταξύ 19 ο έως 29 ο για το γεωγραφικό μήκος και 34 ο έως 43 ο για το γεωγραφικό πλάτος, γνωστή για τις έντονες γεωφυσικές της διεργασίες και επομένως την ύπαρξη έντονων διακυμάνσεων στο παρατηρούμενο βαρυτικό σήμα. Οι μετρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν αφορούν το χρονικό διάστημα από την 2 η Ιανουαρίου 2012 έως και τις 20 Οκτωβρίου του 2013, που είναι και το πέρας της αποστολής. Στο διάστημα αυτό ο δορυφόρος βρισκόταν σε συνεχή καθοδική πορεία, μέχρι τελικά την είσοδο στην ατμόσφαιρα και την καταστροφή του. Σχήμα 1 : Περιοχή μελέτης (Bing Maps)

20 Εισαγωγή 1.2 Διάρθρωση Η εργασία αποτελείται από 7 κεφάλαια : εισαγωγή, όπου γίνεται μια σύντομη παρουσίαση του θέματος της εργασίας, των στόχων της, των ενοτήτων της και του λογισμικού που χρησιμοποιήθηκε κεφάλαιο 2ο, όπου γίνεται μια ανασκόπηση του απαραίτητου θεωρητικού υποβάθρου Το κεφάλαιο 3ο αναφέρεται στις λεπτομέρειες της δορυφορική αποστολή GOCE και ιδιαίτερα στις διατάξεις, μεθοδολογίες, προϊόντα και συστήματα συντεταγμένων το κεφάλαιο 4ο παρουσιάζει την διαδικασία επεξεργασίας των δεδομένων που ακολουθήθηκε και τη σύγκριση των αποτελεσμάτων με γεωδυναμικά μοντέλα το κεφάλαιο 5ο περιέχει την εφαρμογή της προβολής των βαθμίδων σε μια μέση σφαίρα και την δημιουργία καννάβων από αυτές το κεφάλαιο 6ο αφορά μια εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος, στην οποία υπολογίζεται η ακτινική συνιστώσα του δυναμικού από ένα διακριτό αριθμό στρωμάτων του γήινου φλοιού και πραγματοποιείται η σύγκριση της με την αντίστοιχη από τις μετρήσεις το κεφάλαιο 7ο αναφέρεται στα συμπεράσματα που προκύπτουν και στις προτάσεις για μελλοντική εργασία Με το πέρας των κεφαλαίων, ακολουθούν δυο παραρτήματα : το Παράρτημα Α, στο οποίο παρουσιάζεται το λογισμικό GrafLab, που χρησιμοποιήθηκε στην εργασία για τον υπολογισμό συνθετικών βαθμίδων από παγκόσμια γεωδυναμικά μοντέλα το Παράρτημα Β, το οποίο περιέχει μια σύντομη αναφορά στους τετραδικούς αριθμούς και στην μεθοδολογία παρεμβολής τους 1.4 Λογισμικό Όπως αναφέρεται συχνά και στα διάφορα κεφάλαια της εργασίας, όλοι οι υπολογισμοί έγιναν με κώδικες που δημιουργήθηκαν από τον γράφοντα στο περιβάλλον του λογισμικού MathWorks MatLab, με εξαίρεση τους κώδικες για τους μετασχηματισμούς συντεταγμένων που συντάχθηκαν από τον κ. Δημήτριο Πιρετζίδη. Στο περιβάλλον του λογισμικού αυτού παρήχθησαν και οι χάρτες που παρουσιάζονται και συγκεκριμένα με την έτοιμη βιβλιοθήκη Μ_Map. Από την σουίτα λογισμικού Microsoft Office χρησιμοποιήθηκαν το Word και το Excel, το πρώτο για την συγγραφή των κειμένων και το δεύτερο για την δημιουργία των πινάκων αποτελεσμάτων. Βεβαίως, όπως τονίζεται και στο σχετικό κεφάλαιο, η αποκωδικοποίηση των δεδομένων GOCE έγινε με το λογισμικό GOCEPARSER. Τέλος, όπου χρειάστηκε, η

21 Εισαγωγή συνένωση αρχείων μορφής.txt, που προέπυπταν από του κώδικες, έγινε με το λογισμικό TXTcollector.

22 Εισαγωγή

23 Θεωρητικό Υπόβαθρο Κεφάλαιο 2 Θεωρητικό Υπόβαθρο 2.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια σύντομη αναφορά στο πεδίο έλξης της Γης και στα παράγωγα μεγέθη του που σχετίζονται με την αποστολή GOCE. Επιπλέον, περιγράφονται η βασικές αρχές της διαστημικής βαθμιδομετρίας (Satellite Gravity Gradiometry, SGG) και της διαδορυφορικής μέτρησης αποστάσεων (Satellite to Satellite Tracking, SST), που όπως αναφέρθηκε, είναι οι βασικές μεθοδολογίες μετρήσεων της συγκεκριμένης δορυφορικής αποστολής. 2.2. Το πεδίο έλξης της Γης Οι ελκτικές δυνάμεις οι οποίες αναπτύσσονται ανάμεσα στις μάζες είναι η κύρια πηγή του γήινου πεδίου βαρύτητας, ενώ ένα μικρό μέρος αυτού, περίπου 0.3%, οφείλεται στην φυγόκεντρη δύναμη που δημιουργείται από την περιστροφή της γης περί τον άξονα της. Το πεδίο των ελκτικών δυνάμεων F που δημιουργείται είναι ένα διανυσματικό πεδίο δυνάμεων και μπορεί να εκφραστεί ως κλίση μιας συνάρτησης δυναμικού Φ F = gradφ = Φ (2.1)

24 Θεωρητικό Υπόβαθρο Το δυναμικό έλξης (gravitational potential) είναι μια βαθμώτη συνάρτηση θέσης ή βαθμωτή σημειακή συνάρτηση (scalar point function) και για ένα τυχαίο σημείο υπολογίζεται από τη σχέση: V = GM l (2.2) όπου V είναι το δυναμικό έλξης, G η παγκόσμια σταθερά έλξης, με τιμή 6.673 x 10-11 m 3 kg -1 s - 2, l η απόσταση μεταξύ της μάζας και του επιθυμητού σημείου υπολογισμού και Μ η μάζα που δημιουργεί το δυναμικό. Σε μια σχετικά κοντινή απόσταση, η Γη δεν μπορεί να θεωρηθεί ως μια σημειακή μάζα για να απλοποιηθεί το πρόβλημα του υπολογισμού των ελκτικών δυνάμεων. Εάν θεωρηθεί ως μια πεπερασμένη τρισδιάστατη κατανομή μάζας, τότε το ελκτικό δυναμικό δίνεται από το ολοκλήρωμα για το σύνολο των μαζών της Γης V = G dm l γη = G ρdυ r r γη (2.3) Όπου dm είναι η στοιχειώδης μάζα, dυ ο αντίστοιχος στοιχειώδης όγκος και ρ=ρ(r ) η συνάρτηση της πυκνότητας. Η συνάρτηση του δυναμικού έλξης, για τον χώρο έξω από τις μάζες, αποτελεί λύση της διαφορικής εξίσωσης Laplace ΔV = 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V z 2 = 0 (2.4) και επομένως είναι αρμονική συνάρτηση και μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά. Η σειρά αυτή είναι ένα ανάπτυγμα άπειρων (θεωρητικά) όρων, καθώς η πυκνότητα της Γης δεν είναι γνωστή. Για το σκοπό αυτό είναι απαραίτητο να υπολογιστεί και το αντίστροφο της απόστασης l σε ανάπτυγμα απείρων όρων, καθώς και αυτό είναι αρμονική συνάρτηση στο χώρο εκτός των μαζών (Αραμπέλος & Τζιαβός, 2007). Το ανάπτυγμα του αντιστρόφου της απόστασης γίνεται με την βοήθεια πολυωνύμων Legendre. Η απόσταση l μπορεί να γραφεί ως l 2 = r 2 + r 2 2rr cos ψ (2.5)

25 Θεωρητικό Υπόβαθρο και χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, το αντίστροφο της απόστασης μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά 1 l = 1 2 [1 + (r r r ) 2 r 1/2 cos ψ] r = 1 n r (r r ) P n (cos ψ) n=0 (2.6) όπου είναι να πολυώνυμα Legendre βαθμού n και ψ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων r και r. Το πολυώνυμα Legendre ορίζονται μέσω της σχέσης d n P n (u) = 1 2 n n! du n (u2 1) n (2.7) Το δυναμικό έλξης μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά μέσω της σχέσης V(r, θ, λ) = GM r n (a r ) n=0 n (C nm cos mλ + S nm sin mλ) P nm (cos θ) (2.8) m=0 όπου GM το γινόμενο της παγκόσμιας σταθεράς έλξης με την μάζα της Γης, a ο μεγάλος η- μιάξονας του ελλειψοειδούς αναφοράς, r,θ,λ οι σφαιρικές συντεταγμένες, Pnm οι γενικευμένες συναρτήσεις Legendre και Cnm, Snm οι σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές. Οι γενικευμένες συναρτήσεις Legendre προκύπτουν από την γενική σχέση P nm (u) = 1 2 n n! (1 dn+m u2 m/2 ) du n+m (u2 1) n (2.9) Ενώ οι συντελεστές Cnm, Snm εισάγονται στο ανάπτυγμα του δυναμικού με την σχέση { C nm } = (2 δ m0 ) (n m)! S nm M (n + m)! (r R ) P nm (cos θ ) { cos mλ sin mλ } dm (2.10) γη

26 Θεωρητικό Υπόβαθρο Στην πράξη είναι καλύτερο να χρησιμοποιούνται οι πλήρως κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές (fully normalized spherical harmonics) επειδή παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιομορφία ως προς την τάξη μεγέθους τους. Οι πλήρως κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές ορίζονται από τις σχέσεις { C nm S nm (n m)! } = (2 δ m0 )(2n + 1)(n m) {C nm } S nm (2.11) Οι κανονικοποιημένες γενικευμένες συναρτήσεις του Legendre σε σχέση με τις μη κανονικοποιημένες, εμφανίζουν μικρότερες μεταβολές ως συνάρτηση του βαθμού n και τάξης m και ορίζονται ως P nm = (2 δ m0 )(2n + 1)(n m) (n + m)! P nm (2.12) 2.3. Συνιστώσες του πεδίου έλξης Από το ανάπτυγμα του ελκτικού δυναμικού, ορίζονται και τα παράγωγα μεγέθη του, η δύναμη έλξης και ο τανυστής των βαθμίδων του δυναμικού, παραγωγίζοντας την σχέση 2.8 ως προς τις γεωκεντρικές συντεταγμένες. Η δύναμη έλξης F, είναι η πρώτη παράγωγος του δυναμικού έλξης και ορίζεται ως F = V (r, θ, λ) = [ V r V θ V λ ] = [V r V θ V λ ] (2.13) Οι μερικές παράγωγοι ορίζονται από τις σχέσεις (Wang, 2013) V r = GM n+2 R 2 (n + 1) (R r ) n=0 n (C nm cos mλ + S nm sin mλ) P nm (cos θ) (2.14) m=0 V θ = GM R n+1 (R r ) n=0 n (C nm cos mλ + m=0 S nm sin mλ) P nm (cos θ) θ (2.15) V λ = GM R n+1 (R r ) n=0 n m( C nm sin mλ + S nm cos mλ)p nm (cos θ) (2.16) m=0

27 Θεωρητικό Υπόβαθρο Συνεχίζοντας την παραγώγιση των παραπάνω σχέσεων ως προς τις γεωκεντρικές συντεταγμένες, προκύπτουν οι δεύτερες παράγωγοι του δυναμικού έλξης (Wang, 2013) V rr = GM n+3 R 3 (n + 1)(n + 2) (R r ) (C nm cos mλ + S nm sin mλ) P nm (cos θ) (2.17) n=0 n m=0 V rθ = GM n+2 R 2 (n + 1) (R r ) n=0 n (C nm sin mλ + m=0 S nm cos mλ) sin θ P nm (cos θ) θ (2.18) V rλ = GM n+2 R 2 (n + 1) (R r ) n=0 V θθ = GM n+1 R (R r ) V θλ = GM R n=0 n n m(c nm sin mλ S nm cos mλ) P nm (cos θ) (2.19) m=0 m 2 (C nm cos mλ + m=0 cos θ P nm(cos θ) ) θ n+1 (R r ) n=0 n m(c nm sin mλ m=0 S nm sin mλ) (sin 2 θ 2 P nm (cos θ) θ 2 S nm cos mλ) sin θ P nm (cos θ) θ (2.20) (2.21) V λλ = GM R n+1 (R r ) n=0 n m 2 (C nm cos mλ + S nm sin mλ) P nm (cos θ) (2.22) m=0 Με τη βοήθεια των δευτέρων παραγώγων, ορίζεται ο πλήρης τανυστής των βαθμίδων του δυναμικού έλξης (Wang, 2013) V = ( V rr V θr V λr V rθ V θθ V λθ V rλ V θλ V λλ ) V rr 1 r (V θr V θr r ) 1 r sin θ (V λr V λ r ) 1 = r (V θr V θr r ) 1 r (V θθ r + V r) 1 ( r sin θ (V λr V λ r ) 1 r 2 sin θ V θr 1 r 2 sin θ V θr V λλ r 2 sin 2 θ + V r r V θ r 2 tan θ) (2.23) H μονάδα μέτρησης των βαθμίδων είναι 1/sec 2 (SI), ενώ συνηθέστερα χρησιμοποιείται το Εotvos (E), για το οποίο ισχύει 1 Eotvos=10-9 1/sec 2

28 Θεωρητικό Υπόβαθρο Τέλος, για τον μετασχηματισμό των βαθμίδων από το γεωκεντρικό σε ένα τοπικό καρτεσιανό (x, y, z) σύστημα αναφοράς στο σημείο υπολογισμού, μορφής North-West-Up (ο άξονας x είναι παράλληλος με τον γεωγραφικό βορρά, ο άξονας y κατευθύνεται προς την δύση και ο άξονας z είναι προέκταση της ακτινικής διεύθυνσης), χρησιμοποιούνται οι παρακάτω χρήσιμες σχέσεις (Τσούλης, 2012) : V xx = 1 r V r + 1 r 2 V θθ (2.24) V xz = 1 r 2 V θ 1 r V rθ (2.25) V zz = V rr (2.26) V xy = 1 r 2 sin θ (cot θ V λ + V θλ ) (2.27) V yz = 1 r sin θ (1 r V λ V rλ ) (2.28) V yy = 1 r V r + 1 r 2 cot θ V θ + 1 r 2 sin 2 θ V λλ (2.29) Και τον τανυστή των βαθμίδων να έχει την μορφή V xx V xy V xz V = ( V yx V yy V yz ) V zx V zy V zz (2.30)

29 Θεωρητικό Υπόβαθρο 2.4. Διαστημική βαθμιδομετρία Η μεθοδολογία της διαστημικής βαθμιδομετρίας, για να γίνει καλύτερα αντιληπτή θα παρουσιαστεί μέσα από το ακόλουθο παράδειγμα. Θεωρούμε πως βρισκόμαστε σε ένα σκάφος που βρίσκεται σε συνεχή τροχιά γύρω από την Γη. Όταν κάποιο σώμα βρίσκεται σε τροχιά γύρω από την Γη, εκτελεί ένα είδος ελεύθερης πτώσης. Επίσης, θεωρούμε ότι μέσα στο σκάφος υπάρχουν δυο πειραματικές μάζες ταυτόσημης σύνθεσης και μάζας, οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους με ένα ιδιαίτερα ευαίσθητο ελατήριο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση d. Οι δυο αυτές μάζες είναι προσανατολισμένες έτσι ώστε τα κέντρα τους και το κέντρο της Γης να αποτελούν συνευθειακά σημεία. Επίσης, ορίζεται ένα τοπικό σύστημα αναφοράς (x, y, z), με το άξονα z να ταυτίζεται με την ακτινική απόσταση από το κέντρο της Γης, ενώ οι άξονες x και y ορίζονται ο ένας κατά μήκος της τροχιάς και ο άλλος κάθετος σε αυτήν. Στο κέντρο βάρους S του συστήματος ελατήριο-μάζες ασκείται η βαρυτική επιτάχυνση (Τσούλης, 2012) V x a(s) = s V = ( V y ) V z (2.31) που ισοδυναμεί με την κλίση του δυναμικού του πεδίου βαρύτητας V με στοιχεία τις μερικές παραγώγους του δυναμικού ως προς τις συντεταγμένες. Το πραγματικό δυναμικό έλξης της Γης V, κάνοντας την υπόθεση ότι το βαρυτικό πεδίο του συνόλου των γήινων μαζών συμπεριφέρεται ως εκείνο μιας σημειακής μάζας Μ τοποθετημένης στο γεώκεντρο και για την παραπάνω διάταξη των πειραματικών μαζών, μπορεί να προσεγγιστεί μέσω της σχέσης V(S) = GM r s (2.32) Με την βοήθεια της σχέσης 2.32, η 2.31 γίνεται α(s) = GM r2 e z s (2.33) όπου ez ένα μοναδιαίο διάνυσμα με αρχή το σημείο S, διεύθυνση ίδια με την ακτινική απόσταση rs και αντίθετη αυτής που δείχνει προς το γεώκεντρο. Αντίστοιχα, για την επιτάχυνση της βαρύτητας στο σημείο Α, θα ισχύει η σχέση

30 Θεωρητικό Υπόβαθρο α(α) = GM 2 r e Α Α (2.34) όπου rα είναι η ακτινική απόσταση της μάζας στο σημείο Α σε σχέση με το γεώκεντρο και για την οποία ισχύει r A = r S + d 2 (2.35) Εάν αντικατασταθεί η σχέση 2.35 στην 2.34, αναπτύσσοντας τον παρονομαστή σε σειρά και κρατώντας μέχρι τους όρους δεύτερης τάξης, προκύπτει η προσεγγιστική σχέση α(α) ( GM r s 2 + GM d r3 s 2 ) e z (2.36) Με παρόμοιους συλλογισμούς μπορεί να προκύψει και η επιτάχυνση της βαρύτητας στο σημείο Β α(β) = GM (r S d 2 e z 2 ) (2.37) και α(β) ( GM r s 2 2GM d r3 s 2 ) e (2.38) z Από τις εξισώσεις 2.36 και 2.38 προκύπτει η διαφορά της επιτάχυνσης της βαρύτητας μεταξύ των σημείων Α και Β κατά την ακτινική συνιστώσα με μέτρο da z = 2GM r3 d s (2.39) Ενώ με τη παραπάνω σχέση μπορεί να υπολογιστεί η βαρυτική δύναμη f, η οποία αναπτύσσεται στο ελατήριο και προκαλεί την παραμόρφωση του, f = m GM 2d r3 s r S (2.40) όπου m η μάζα των πανομοιότυπων πειραματικών μαζών

31 Θεωρητικό Υπόβαθρο Οι παραπάνω σχέσεις καθορίζουν και την βασική αρχή της διαστημικής βαθμιδομετρίας, που είναι η δυνατότητα μέτρησης κάποιων από τις συνιστώσες του τανυστή δευτέρων παραγώγων του δυναμικού, χρησιμοποιώντας την αλληλεπίδραση δυο όμοιων μαζών που βρίσκονται σε διαρκή ελεύθερη πτώση, κάτω υπό την επίδραση του πεδίου βαρύτητας. Η μέτρηση των υπόλοιπων συνιστωσών προϋποθέτει και την κατάλληλη διάταξη τις διάταξης σε σχέση με το τοπικό σύστημα αναφοράς. Βεβαίως υπενθυμίζεται ότι το παραπάνω αποτελεί ένα θεωρητικό παράδειγμα κατανόησης της αρχής της διαστημικής βαθμιδομετρίας, καθώς οι διατάξεις και οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στην πραγματικότητα είναι αρκετά διαφορετικές και ιδιαίτερα πολύπλοκες. 2.5. Μέτρηση διαδορυφορικών αποστάσεων Η μέθοδος μέτρησης διαδορυφορικών αποστάσεων είναι άλλη μια μέθοδος δορυφορικής παρατήρησης κάποιου μεγέθους του πεδίου βαρύτητας που βασίζεται στην μελέτη της σχετικής κίνησης μαζών υπό την επίδραση του πεδίου βαρύτητας της Γης. Συγκεκριμένα, παρατηρούμενη ποσότητα είναι η σχετική κίνηση δυο ή και περισσότερων δορυφόρων, ό- πως αυτή εκφράζεται από την μεταβολή της θέσης του ενός ως προς το άλλον. Ανάλογα με το ύψος της τροχιάς των δορυφόρων που χρησιμοποιούνται, η μέθοδος διακρίνεται σε lowlow SST και high-low SST. Στην πρώτη περίπτωση οι δορυφόροι βρίσκονται σε χαμηλές παρόμοιες τροχιές (200-500km), ενώ στην δεύτερη ο ένας σε χαμηλή και ο άλλος σε υψηλή. Για την υλοποίηση τις διάταξης high-low και τον δορυφόρο σε υψηλή τροχιά, κατάλληλοι δορυφόροι είναι αυτοί των παγκόσμιων δορυφορικών συστημάτων πλοήγησης (περίπου 21000 km), πχ GPS, GLONASS. Σχήμα 2 : Βασική αρχή μέτρησης διαδορυφορικών αποστάσεων (ESA)

32 Θεωρητικό Υπόβαθρο

33 Η δορυφορική αποστολή GOCE Κεφάλαιο 3 Η δορυφορική αποστολή GOCE 3.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό αναφέρεται στη δορυφορική αποστολή GOCE. Αρχικά, παρουσιάζονται κάποια γενικά στοιχεία. Στη συνέχεια, αναλύονται η λειτουργία του βαθμιδομέτρου του δορυφόρου και η υλοποίηση της μεθόδου διαδορυφορικών αποστάσεων. Έπειτα, περιγράφονται τα προϊόντα της αποστολής και το κεφάλαιο κλείνει με τα εμπλεκόμενα συστήματα αναφοράς και τους σχετικούς μετασχηματισμούς συντεταγμένων. Σχήμα 3 : Καλλιτεχνική άποψη του δορυφόρου GOCE (ESA) 3.2. Γενικά στοιχεία Ο δορυφόρος GOCE (Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer) ήταν ο πρώτος του προγράμματος Living Planet της ESA (European Space Agency - Ευρωπαϊκής Υπηρεσίας Διαστήματος) και θεωρείται ως η πιο προηγμένη αποστολή εξερεύνησης του πεδίου

34 Η δορυφορική αποστολή GOCE Σχήμα 5 : Τελευταία θέαση του δορυφόρου, λίγο πριν την καταστροφή του (ESA) Σχήμα 4 : Το μέσο ύψος του δορυφόρου κατά τη διάρκεια της αποστολής (ESA) βαρύτητας της Γης. Εκτοξεύτηκε στις 17 Μαρτίου 2009 και διήρκεσε 55 μήνες, μέχρι και τις 11 Νοεμβρίου 2013. Ήδη η λειτουργία του είχε σταματήσει με την είσοδο του στην ατμόσφαιρα της Γης στις πρώτες μέρες του Νοεμβρίου. Ο χρόνος λειτουργίας του ξεπέρασε κατά πολύ τις προσδοκίες του χρόνου που είχε σχεδιαστεί (20 μήνες) καθώς η κατανάλωση καυσίμων ήταν πολύ μικρότερη από την αναμενόμενη. Ο σχεδιασμός του έγινε κυρίως για τον καθορισμό του στατικού τμήματος του βαρυτικού πεδίου της Γης και του γεωειδούς με τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια και χωρική ανάλυση, μέσω της μέτρησης βαθμίδων βαρύτητας. Για να επιτευχθεί αυτό, ο δορυφόρος έπρεπε να βρίσκεται όσο κοντύτερα γινόταν στη Γη και έτσι επιλέχθηκε μια τροχιά στα 250 km περίπου, που είναι και το χαμηλότερο ύψος που έχει τοποθετηθεί ποτέ τεχνητός δορυφόρος. Η τροχιά αυτή είναι ηλιοσύγχρονη, σχεδόν κυκλική (κλίση i=96.7 ο ) με την ίδια πλευρά μονίμως προσανατολισμένη με φορά προς τον ήλιο. Οι παρατηρήσεις και τα τελικά προϊόντα της αποστολής βρίσκουν εφαρμογή σε αρκετά ε- πιστημονικά πεδία, κυρίως στη γεωδαισία, στην ωκεανογραφία, στη μελέτη των παγετώνων και στη γεωφυσική. Για να πραγματοποιηθούν οι στόχοι της αποστολής, χρησιμοποιούνται δυο γενικές αρχές μέτρησης, που συμπληρώνουν η μια την άλλη : Η μέθοδος μέτρησης διαδορυφορικών αποστάσεων SST High - Low για τον καθορισμό της τροχιάς και τον προσδιορισμό των μεγάλων μηκών κύματος του πεδίου βαρύτητας Η δορυφορική βαθμιδομετρία Satellite Gravity Gradiometry (SGG) για τον προσδιορισμό των μεσαίων και μικρών μηκών κύματος. Οι δυο μέθοδοι επικαλύπτονται στο εύρος που κυμαίνεται μεταξύ 15 έως και 60 περίπου, κατά βαθμό και τάξη (αντίστοιχες χωρικές αναλύσεις 1300km έως 330km)

35 Η δορυφορική αποστολή GOCE Ο πίνακας 2 περιέχει τις μετρητικές διατάξεις, με τις οποίες υλοποιούνται οι παραπάνω μέθοδοι: Διάταξη Σκοπός λειτουργίας Βαθμιδόμετρο τριών αξόνων (Χ,Υ,Ζ) (Gravity Gradiometer) ΧΖ, ΥΖ) του τανυστή των βαθμίδων του δυ- Μέτρηση 6 συνιστωσών (ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ, ΧΥ, ναμικού και γωνιακών επιταχύνσεων του σκάφους Αστρικές κάμερες (Star Sensors) Μέτρηση με υψηλή ακρίβεια και ρυθμό τον προσανατολισμό του σκάφους Δέκτη GPS Προσδιορισμός της τροχιάς με ακρίβεια ε- κατοστού Ανακλαστήρες Laser Για τον έλεγχο της τροχιάς Προωθητήρες ιόντων ξένου (Ion xeon Έλεγχος της τροχιάς χωρίς την επίδραση thrusters) της τριβής (drag-free control) Μάγνητρα (Magneto-torquers) Πεδίο Εφαρμογής Γεωφυσική πυκνότητα λιθόσφαιρας και άνω μανδύα ηπειρωτική λιθόσφαιρα (ρήγματα, τεκτονικές κινήσεις κ.α) Έλεγχος των γωνιακών περιστροφών του σκάφους με τις μετρήσεις από τις αστρικές κάμερες και το βαθμιδόμετρο Πίνακας 1 : Φέρουσες διατάξεις και μηχανισμοί Γεωειδές (cm) Ακρίβεια Βαρύτητα (mgal) Χωρική Ανάλυση (km) (στο μισό μήκος κύματος) 1-2 100 1-2 20-500 σεισμοί 1 100 ωκεάνια λιθόσφαιρα και αλληλεπίδραση με την ασθενόσφαιρα 0.5-1 100-200 Ωκεανογραφία (μικρή κλίμακα) 1-2 100 Παγετώνες (πυρήνας, κατακόρυφες κινήσεις) 2 1-5 100-1000 Γεωδαισία χωροστάθμηση με GPS 1 100-1000 ενοποίηση συστημάτων υψών 1 100-20000 παγκοσμίως αδρανειακά συστήματα πλοήγησης 1-5 100-1000 τροχιές 1-5 100-1000 Μεταβολή στάθμης θαλασσών συνδέεται με πολλές από τις προηγούμενες εφαρμογές Πίνακας 2 : Πεδία εφαρμογής της δορυφορικής αποστολής GOCE

36 Η δορυφορική αποστολή GOCE Ένα από τα πιο βασικά στοιχεία της αποστολής ήταν η απαίτηση της υλοποίησης της τροχιάς μόνο από τις βαρυτικές επιδράσεις, χωρίς την παρουσία των υπολοίπων μη βαρυτικών και κυρίως χωρίς τις ατμοσφαιρικές τριβές. Λόγω του χαμηλού ύψους το δορυφόρου, οι α- τμοσφαιρικές πιέσεις ήταν τόσο έντονες που εάν δεν εξισορροπούνταν ο δορυφόρος θα καταστρεφόταν σε διάστημα μερικών μηνών. Η εξισορρόπηση των τριβών έγινε αρχικά με το αεροδυναμικό σχήμα του σκάφους και τα πτερύγια του, αλλά κυρίως με την χρήση των προωθητήρων ιόντων ξένου. Οι προωθητήρες αυτοί κρατούσαν τον δορυφόρο σε τροχιά αδρανειακή και χωρίς την επίδραση των τριβών (drag-free Orbit), τουλάχιστον όσο αυτό ήταν δυνατό και κυρίως κατά μήκος της τροχιάς. Επίσης, μείωναν στο ελάχιστο τις δονήσεις στο σκάφος, που θα προκαλούσαν προβλήματα στις μετρήσεις του και για αυτό προτιμήθηκαν εξαρχής σε σχέση με τους συμβατικούς κινητήρες πυραύλων. Σχήμα 7 : Απεικόνιση εσωτερικού του δορυφόρου (ESA) Σχήμα 6: Οι προωθητήρες ιόντων ξένου (ESA)

37 Η δορυφορική αποστολή GOCE Η βασικότερη μετρητική διάταξη είναι το τριαξονικό βαθμιδόμετρο, που υλοποιεί την μέθοδο της διαστημικής βαθμιδομετρίας για τα μεσαία και μικρά μήκη κύματος του πεδίου βαρύτητας και του οποίου η λειτουργία αναλύεται στο επόμενο κεφάλαιο. Εξίσου σημαντικές όμως είναι και οι υπόλοιπες διατάξεις που φέρει, που συμπληρώνουν τη λειτουργία του βαθμιδομέτρου. Αρχικά, ο δέκτης GPS, με τον οποίο προσδιορίζεται με ακρίβεια μερικών ε- κατοστών η τροχιά του δορυφόρου. Ο προσδιορισμός της τροχιάς γίνεται είτε αμιγώς γεωμετρικά (κινηματική τροχιά - kinematic orbit) είτε με την μέθοδο της ανηγμένης δυναμικής τροχιάς (reduced dynamic orbit). Επίσης, με τον δέκτη GPS υλοποιείται η μέθοδος μέτρησης διαδορυφορικών αποστάσεων, παρέχοντας πληροφορίες για τα μεγάλα μήκη κύματος που βρίσκονται έξω από το εύρος μέτρησης του βαθμιδομέτρου. Επιπλέον, σημαντικό ρόλο κατέχουν και οι αστρικές κάμερες (star trackers) χάρη στις οποίες γίνεται ο προσδιορισμός του προσανατολισμού του σκάφους στον αδρανειακό χώρο. Τέλος, οι ανακλαστήρες Laser χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο της τροχιάς του σκάφους από τους διάφορους σταθμούς ελέγχου στη Γη. Απ όλα τα παραπάνω, συμπεραίνεται ότι η αποστολή GOCE ήταν μια τεχνολογικά εξαιρετικά προηγμένη, πολύπλοκη και απαιτητική αποστολή που η επιτυχία της ή όχι εξαρτιόταν από την αρμονική συνύπαρξη πολλών και διαφορετικών πολύπλοκων διατάξεων και μηχανισμών. Σχήμα 8 : Το βαθμιδόμετρο του GOCE (ESA)

38 Η δορυφορική αποστολή GOCE 3.3. Το βαθμιδόμετρο Το βαθμιδόμετρο του GOCE αποτελείται από τρία ζευγάρια πανομοιότυπων επιταχυνσιομέτρων, προσαρμοσμένα σε τρεις βραχίονες, αυστηρά ορθογωνικούς μεταξύ τους. Η απόσταση μεταξύ του κάθε ζεύγους είναι 50 cm. Αυτή η διάταξη είναι εγκατεστημένη σε μια εξαιρετικά σταθερή κατασκευή. Η διαφορά μεταξύ των επιταχύνσεων του κάθε ζεύγους είναι η βασική αρχή μέτρησης του οργάνου. Οι τρεις βραχίονες υλοποιούν τους τρεις άξονες μέτρησης του βαθμιδομέτρου. Για τον λόγο αυτό, η κατασκευή είναι τοποθετημένη έτσι ώστε ο ένας βραχίονας να έχει την διεύθυνση της τροχιάς, ο άλλος είναι να κάθετος στην τροχιά και ο τρίτος να έχει περίπου την ακτινική διεύθυνση προς το κέντρο της Γης. Θεωρητικά, εφόσον τα επιταχυνσιόμετρα ήταν τέλεια και όμοια μεταξύ τους, οι μετρήσεις ανά τους τρεις άξονες θα είχαν και τη ίδια ακρίβεια. Στην πράξη όμως, η κατασκευή τους δεν ήταν αυστηρά πανομοιότυπη. Έτσι, το κάθε επιταχυνσιόμετρο διέθετε δυο άξονες μετρήσεων εξαιρετικά υψηλής ευαισθησίας και ακρίβειας (10-12 m/s 2 ) και έναν άξονα λιγότερης ευαισθησίας (10-10 m/s 2 ). Ακόμα με αυτό το πρόβλημα, η ακρίβεια του βαθμιδομέτρου για 4 στοιχεία του τανυστή των βαθμίδων (XX, YY, ZZ, XZ), στο εύρος μέτρησης του (ΜΒW Measurement BandWidth : 5mHz - 0.1Hz), είναι της τάξης των 1-3 me/hz 1/2. Επίσης, μπορεί να προσδιοριστεί με μεγάλη ακρίβεια η γωνιακή ταχύτητα ωy στον κάθετο στην τροχιά άξονα Υ, στον οποίο λαμβάνουν χώρα και οι μεγαλύτερες γωνιακές μεταβολές. Ο προσδιορισμός των γωνιακών ταχυτήτων ωx και ωz, περί των αξόνων X Z, γίνεται με χαμηλότερη ακρίβεια, αλλά επίσης μικρότερη είναι και η επίδραση τους λόγων των μικρών γωνιακών μεταβολών. Σχήμα 9 : Οι άξονες του βαθμιδομέτρου και των επιταχυνσιομέτρων (ESA)

39 Η δορυφορική αποστολή GOCE Το εύρος μέτρησης του βαθμιδομέτρου (ΜΒW Measurement BandWidth) είναι η περιοχή του φάσματος των μετρήσεων των βαθμίδων βαρύτητας κατά την οποία το σφάλμα του βαθμιδομέτρου παίρνει την μικρότερη τιμή και είναι σταθερό. Το εύρος αυτό είναι μεταξύ 5mHz και 0.1Hz, όπως φαίνεται και από την συνάρτηση πυκνότητας φάσματος (PSD - Power Spectral Density) του σφάλματος για την κάθε συνιστώσα. Εκτός αυτής της περιοχής οι μετρήσεις του βαθμιδομέτρου είναι αναξιόπιστες και δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ο θόρυβος των επιταχυνσιομέτρων, τα τροχιακά σφάλματα, τα σφάλματα του προσανατολισμού του δορυφόρου καθώς και τα σφάλματα κατά την επεξεργασία των βαθμίδων είναι οι κυριότεροι παράγοντες για την εισαγωγή των σφαλμάτων στις μετρήσεις, τα οποία έχουν διαφορετική τιμή για κάθε συχνότητα. Επίσης, οδηγούν σε συσχέτιση των παρατηρήσεων. Για να απομονωθούν μόνο οι συχνότητες υψηλής ακρίβειας, πρέπει οι μετρήσεις να φιλτραριστούν με τα κατάλληλα φίλτρα (βλ. κεφ. 4.3.2). Τέλος, από την συνάρτηση πυκνότητας φάσματος των σφαλμάτων των μετρήσεων, επιβεβαιώνεται και η χαμηλή ακρίβεια των δυο συνιστωσών (ΧΥ, ΥΖ) λόγω της ύπαρξης ενός άξονα μικρότερης ευαισθησίας σε κάθε επιταχυσιόμετρο. Σχήμα 10 : Η συνάρτηση πυκνότητας των σφαλμάτων για την κάθε συνιστώσα (ESA)

40 Η δορυφορική αποστολή GOCE Η μέτρηση του καθενός επιταχυνσιομέτρου, εάν δεν ληφθούν υπόψη τα όποια σφάλματα του (προσθετική σταθερά, σφάλματα κλίμακας, κακή ευθυγράμμιση των αξόνων κ.α), περιγράφεται από την βασική σχέση (Stummer, 2006) α i = ([V] [Ω 2 ] [Ω ])R i + D (3.1) όπου i=1,,6 το πλήθος των επιταχυνσιομέτρων, α η μετρημένη επιτάχυνση από το επιταχυνσιόμετρο, [V] ο τανυστής των βαθμίδων του δυναμικού έλξης, [Ω 2 ] ο τανυστής φυγόκεντρης επιτάχυνσης, [Ω ] ο τανυστής της γωνιακής επιτάχυνσης, D οι μη βαρυτικές επιδράσεις, R η απόσταση από το κέντρο μάζας του βαθμιδομέτρου Από τις 6 μετρημένες επιταχύνσεις σχηματίζονται 9 ημιδιαφορές και 9 ημιαθροίσματα, σύμφωνα με τους τρεις άξονες του βαθμιδομέτρου, της μορφής αντίστοιχα (Stummer, 2006) α d,ij,k = α i,k α j,k 2 (3.2) α c,ij,k = α i,k + α j,k 2 (3.3) όπου d η ημιδιαφορά, c το ημιάθροισμα, ij το ζεύγος των επιταχυνσιομέτρων (14, 25, 36 για τα ζεύγη 1-4, 2-5, 3-6 αντίστοιχα) και k ο άξονας της μέτρησης (Χ, Υ, Ζ). Οι ημιδιαφορές είναι απαραίτητες για να υπολογιστούν οι βαθμίδες του δυναμικού έλξης, ενώ από τα ημιαθροίσματα υπολογίζονται οι μη βαρυτικές επιδράσεις, οι οποίες χρησιμοποιούνται κατά τον υ- πολογισμό της δυναμικής τροχιάς του δορυφόρου. Από την 3.2, προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις από τις οποίες υπολογίζονται οι βαθμίδες του δυναμικού έλξης, απαλλαγμένες από την επίδραση των υπόλοιπων επιταχύνσεων, βαρυτικών και μη (Stummer, 2006). Το πράσινο χρώμα τα μεγέθη υψηλής ακρίβειας, με κόκκινο τα χαμηλής, λόγω του ενός αδύναμου άξονα μέτρησης V xx = 2α d,14,x L x ω y 2 ω z 2 (3.4) V yy = 2α d,25,y L y ω x 2 ω z 2 (3.5)

41 Η δορυφορική αποστολή GOCE V zz = 2α d,36,z L z ω x 2 ω y 2 (3.6) V xz = α d,14,z L x α d,36,x L z + ω x ω z (3.7) V xy = α d,14,y L x α d,25,x L y + ω x ω y (3.8) V yz = α d,25,z L y α d,36,y L z + ω z ω y (3.9) όπου Li(x,y,z) η απόσταση από το κέντρο μάζας του βαθμιδομέτρου και ωi(x, y, z) οι γωνιακές ταχύτητες ανά άξονα. Ο υπολογισμός τους γίνεται με συνδυασμό των μετρήσεων των αστρικών καμερών και των γωνιακών αντίστοιχων επιταχύνσεων ω i(x,y,z), που υπολογίζονται από τις μετρήσεις των επιταχυνσιομέτρων, σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις (Stummer, 2006) ω x = α d,36,z L z ω y = α d,14,z L y + α d,25,z L y + α d,36,x L z (3.10) (3.11) ω z = α d,14,z L x α d,25,z L y (3.12)

42 Η δορυφορική αποστολή GOCE 3.4. Η μέθοδος SST Όπως αναφέρθηκε, η μέθοδος SST είναι απαραίτητο συμπλήρωμα των μετρήσεων του βαθμιδομέτρου, καθώς χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των χαμηλών συχνοτήτων των βαθμίδων βαρύτητας. Ουσιαστικά, με την μέθοδο SST, γίνεται μια αναπαράσταση του πεδίου βαρύτητας μέσω της επίδρασής του στην τροχιά του δορυφόρου. Εφόσον ο δορυφόρος εκτελεί περίπου μια τροχιά χωρίς τριβές (drag free), τουλάχιστον κατά μήκος της και μέσα στο εύρος μέτρησης του βαθμιδομέτρου, οι επιταχύνσεις που καταγράφονται από το βαθμιδόμετρο είναι βαρυτικές. Απαραίτητη προϋπόθεση για την υλοποίηση της μεθόδου, είναι η γνώση της ακριβούς τροχιάς του δορυφόρου. Μόνο από τις μετρήσεις GPS, η ακρίβεια προσδιορισμού της τροχιάς είναι μερικά μέτρα. Γι αυτό χρησιμοποιούνται οι μετρήσεις SST, που είναι οι διαδορυφορικές αποστάσεις του GOCE από τους δορυφόρους GPS και GLONASS. Η τροχιά των δορυφόρων των δυο αυτών συστημάτων προσδιορισμού θέσης υπολογίζεται με πολύ υψηλή ακρίβεια στο επίγειο δίκτυο παρακολούθησης της λειτουργίας τους. Με τις μετρήσεις SST και τις εφημερίδες ακριβείας των δορυφόρων GPS και GLONASS, η τροχιά του GOCE παρακολουθείται με ακρίβεια της τάξης των μερικών εκατοστών, χωρίς διακοπές και στις τρεις διαστάσεις. Σχήμα 11 : Υλοποίηση μεθόδου SST από τον δορυφόρο GOCE και τους δορυφόρους GPS ( ESA)

43 Η δορυφορική αποστολή GOCE 3.5. Προϊόντα GOCE 3.5.1. Γενικά Η επεξεργασία των πρωτογενών δεδομένων του δορυφόρου για την δημιουργία των τελικών προϊόντων της δορυφορικής αποστολής, καθώς και η διανομή τους στους χρήστες, λαμβάνει χώρα στο τμήμα εδάφους της αποστολής, που αποτελείται από τρία κυρίως επιμέρους τμήματα : το τμήμα ελέγχου του δορυφόρου, το τμήμα επεξεργασίας και το τμήμα αρχειοθέτησης. Το τμήμα ελέγχου βρισκόταν στο Flight Operations Segment (FOS) του European Space Operations Centre (ESOC) της ESA, στο Darmstadt της Γερμανίας. Από εκεί, ελέγχονταν και παρακολουθούνταν η κατάσταση του δορυφόρου. Η διασύνδεση με τον δορυφόρο γινόταν μέσω των εγκαταστάσεων που βρίσκονταν στην Kiruna, στην Σουηδία, ενώ υπήρχαν και βοηθητικές εγκαταστάσεις στην Νορβηγία και στην Ανταρκτική. Τα πρωτογενή δεδομένα, αμέσως μετά την λήψη τους από τον σταθμό της Kiruna, αποστέλλονταν στο FOS και από εκεί στο Frascati της Ιταλίας, στο Payload Data Ground Segment (PDGS) στο κέντρο ESRIN της ESA. Εκεί γινόταν η βαθμονόμηση, η επικύρωση των δεδομένων καθώς και η παραγωγή των προϊόντων του επιπέδου 1b (Level-1b data products). Στην συνέχεια, τα προϊόντα 1b αποστέλλονταν στην High-level Processing Facility (HPF), όπου υπόκεινταν σε νέα επεξεργασία και παράγονταν τα τελικά προϊόντα επιπέδου 2 (Level-2). Η μονάδα επεξεργασίας HPF προέκυψε από την συνεργασία 10 ευρωπαϊκών πανεπιστημίων και κέντρων έρευνας, που είχαν απαραίτητο επιστημονικό υπόβαθρο και έργο σχετικά με την γεωδαισία, το πεδίο βαρύτητας και της γεωεπιστήμες γενικότερα, υπό την αιγίδα της ESA. Τελικά, τα προϊόντα επιπέδου 2, ήταν προσβάσιμα στους χρήστες μέσω της βάσης δεδομένων της ESA, αφού πρώτα είχαν αποσταλεί και αρχειοθετηθεί στο PDGS. Σχήμα 12 : Επίγειο τμήμα αποστολής (ESA)

44 Η δορυφορική αποστολή GOCE Τα προϊόντα της αποστολής GOCE, χωρίζονται σε τρεις βασικές κατηγορίες - επίπεδα, ανάλογα με το αν και τι είδους επεξεργασία έχουν υποστεί. Οι κατηγορίες αυτές, είναι : το επίπεδο 0, το επίπεδο 1b και το επίπεδο 2. Πιο συγκεκριμένα : Το Επίπεδο 0 αποτελείται από χρονοσειρές ανεπεξέργαστων δεδομένων που παράγονται από τα όργανα και από την πλατφόρμα και περιλαμβάνουν: δεδομένα από τον δορυφόρο, από τα όργανα και βοηθητικά δεδομένα (όπως οι τετραδικοί αριθμοί των star trackers, συχνότητας 2 Hz), δεδομένα από τα 6 επιταχυνσιόμετρα κατά μήκος των 3 μετρητικών αξόνων συχνότητας 1 Hz (ακριβέστερα στο 1 / 0,999360 Hz) και δεδομένα SST συχνότητας 1 Hz. Το επίπεδο 1b είναι τα αποτελέσματα από την επεξεργασία των δεδομένων επιπέδου 0, που λαμβάνει χώρα στο επίγειο σύστημα επεξεργασίας (PDGS). Κατά την επεξεργασία αυτή, εκτελείται βαθμονόμηση, διόρθωση και γεωεαναφορά των δεδομένων κατά μήκος της τροχιάς. Περιλαμβάνονται: βαθμίδες βαρύτητας στο GRF καθώς και οι πίνακες μετασχηματισμού τους στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, γραμμικές ε- πιταχύνσεις, γωνιακές ταχύτητες και επιταχύνσεις, μετρήσεις SSΤ, θέσεις και επανυπολογισμένες δορυφορικές τροχιές στο Επίγειο Πλαίσιο αναφοράς (EFRF) και τροχιακά δεδομένα (θέση, ταχύτητα, χρόνος). Τα Επίπεδο 2 αποτελείται από προϊόντα που παράγονται από την Μονάδα Επεξεργασίας Υψηλού Επιπέδου HPF και περιλαμβάνουν: Προ-επεξεργασμένες, εξωτερικά βαθμονομημένες και διορθωμένες βαθμίδες βαρύτητας τόσο στο GRF όσο και στο EFRF, ταχείες (rapid) και ακριβείς (precise) λύσεις δορυφορικών τροχιών, λύσεις πεδίου βαρύτητας συμπεριλαμβανομένων πινάκων μεταβλητοτήτων συμμεταβλητοτήτων και παράγωγα μεγέθη (ύψη γεωειδούς, ανωμαλίες βαρύτητας και κλίσεις γεωειδούς). Να σημειωθεί εδώ ότι υπάρχουν κυρίως δυο προσεγγίσεις μοντελοποίησης του πεδίου βαρύτητας σε σφαιρικές αρμονικές από την δορυφορική βαθμιδομετρία: η time-wise και η space-wise προσέγγιση. Στην πρώτη η εκτίμηση του βαρυτικού πεδίου βασίζεται στη λύση των εξισώσεων κίνησης με συνόρθωση ελαχίστων τετραγώνων όπου οι μετρήσεις έχουν την μορφή διακριτών χρονοσειρών. Στην δεύτερη η λύση γίνεται μέσω του γεωδαιτικού προβλήματος συνοριακών τιμών στην επιφάνεια της Γης, με τις μετρήσεις να θεωρούνται εξαρτημένες μόνο από τη θέση τους και να προβάλλονται σε σφαιρικούς καννάβους.

45 Η δορυφορική αποστολή GOCE 3.5.2. Τα προϊόντα EGG_NOM_2 και SST_PSO_2 Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας έγινε χρήση και επεξεργασία μόνο των προϊόντων EGG_NOM_2 και SST_PSO_2, που ανήκουν στο επίπεδο 2 (υποδεικνύεται από τον αριθμό 2 στην ονομασία τους). Για τον λόγο αυτό, στο παρόν υποκεφάλαιο θα γίνει μια λεπτομερέστερη παρουσίαση τους. Πριν από την παρουσίαση τους, αξίζει να σχολιαστεί η ονοματολογία των παραπάνω προϊόντων που έχει επιλεγεί για διευκόλυνση του χρήστη. Κάθε όνομα προϊόντος προκύπτει από τα ακόλουθα επιμέρους στοιχεία : MM_CCCC_TTTTTTTTTT_yyyymmddThhmmss_YYYYMMDDTHHMMSS_vvvv.XXX Π.χ. GO_CONS_EGG_NOM_2 20130504T000000_20130504T235959_0101.HDR όπου, Αρχικά ονόματος αποστολής (mission) : MM για την αποστολή GOCE, GO Τάξη (class) προϊόντος : CONS για τελικά CCCC προϊόντα Τύπος προϊόντος (file type) : EGG_NOM_2 TTTTTTTTTT και SST_PSO_2 vvvv Αριθμός έκδοσης (version number) Επέκταση αρχείου(file extension): HDR XXX για αρχεία επικεφαλίδας, DBL για αρχεία δεδομένων (βλ κεφ) Χρόνος (UTC) έναρξης μετρήσεων αρχείου, σε έτος (year), μήνα (month), ημέρα (day) yyyymmddthhmmss και ώρες (hours), λεπτά (minutes), δευτερόλεπτα (seconds) Χρόνος (UTC) έναρξης διακοπής αρχείου, σε έτος (year), μήνα (month), ημέρα (day) YYYYMMDDTHHMMSS και ώρες (hours), λεπτά (minutes), δευτερόλεπτα (seconds) Πίνακας 3 : Ονοματολογία αρχείων δεδομένων Προϊόντα EGG_NOM_2 Τα προϊόντα EGG_NOM_2 (Electrostatic Gravity Gradiometer_Nominal_2) είναι τα τελικά, προς χρήση αρχεία που προκύπτουν από τις μετρήσεις ρου βαθμιδομέτρου του δορυφόρου, δηλαδή οι βαθμίδες βαρύτητας στις 6 συνιστώσες, αναφερόμενες στο GRF, διορθωμένες και

46 Η δορυφορική αποστολή GOCE βαθμονομημένες. Τα προϊόντα αυτά χρησιμοποιούνται για την παραγωγή μοντέλων βαρύτητας με τις μεθόδους ανάλυσης του πεδίου βαρύτητας. Παρέχονται στους χρήστες από την διαδικτυακή βάση δεδομένων της ESA, σε συμπιεσμένα αρχεία, επέκτασης.tar, με το κάθε αρχείο να περιέχει (συνήθως) 15 ημερήσια αρχεία, επέκτασης.tgz. Από τα αρχεία αυτά και μετά από μια συγκεκριμένη διαδικασία (βλ. κεφ. 4.1), προκύπτουν δυο ASCII αρχεία, επεκτάσεων.sgg και.hed, που περιέχουν τις βαθμίδες βαρύτητας και οποιαδήποτε άλλη πληροφορία πρέπει να έχει ο χρήστης για να τις επεξεργαστεί. Πιο συγκεκριμένα, τα αρχεία.hed, είναι αρχεία επικεφαλίδας, που περιέχουν διάφορες χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με το κάθε ημερήσιο αρχείο, όπως τον χρόνο έναρξης και τέλους των μετρήσεων από τον δορυφόρο, σε χρόνο UTC και GPS, τα πρωτογενή δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν κ.α. Σχήμα 13 : Απόσπασμα αρχείου.hed Τα αρχεία.sgg, είναι τα βασικά αρχεία που περιέχουν τις βαθμίδες βαρύτητας στις 6 συνιστώσες, αναφερόμενες στο GRF. Επίσης, περιέχουν την εσωτερική ακρίβεια τους, τις διάφορες διορθώσεις τις οποίες έχουν υποστεί, τους τετραδικούς αριθμούς μετατροπής των βαθμίδων από το GRF στο IRF καθώς και κάποιους κωδικούς (flags) κατάστασης. Οι βαθμίδες δίνονται σε μορφή χρονοσειράς, διάρκειας μιας μέρας, συχνότητας 1Hz και χωρικής ανάλυσης, κατά μήκος της τροχιάς, περίπου 8 km.

47 Η δορυφορική αποστολή GOCE Τα αρχεία.sgg περιέχουν τα δεδομένα υπό μορφή στηλών, όπου κάθε στήλη αντιπροσωπεύει και μια παράμετρο. Συνολικά, περιέχουν 59 παραμέτρους, οπότε έχουν και 59 στήλες, σύμφωνα με το παρακάτω πίνακα : Αριθμός στήλης Παράμετρος Μονάδα μέτρησης 1 Εποχή μέτρησης (σε χρόνο GPS ) sec Βαθμίδες βαρύτητας ανά 2-7 συνιστώσα XX, YY, ZZ, XY, 1/sec 2 XZ, YZ 8-13 Μεταβλητότητα ανά συνιστώσα XX, YY, ZZ, XY, XZ, YZ 1/sec 2 14-19 Κωδικός (flag) κατάστασης μέτρησης ανά συνιστώσα XX, YY, ZZ, XY, XZ, YZ - Παλιρροϊκές διορθώσεις 20-43 (3 ων σωμάτων, στέρεας Γης, ωκεανών, πόλων), με την 1/sec 2 κάθε μια ανά συνιστώσα XX, YY, ZZ, XY, XZ, YZ 44-49 Μη - παλιρροϊκή διόρθωση ανά συνιστώσα XX, YY, ZZ, XY, XZ, YZ 1/sec 2 Διόρθωση από βαθμονόμηση 50-55 ανά συνιστώσα XX, YY, 1/sec 2 ZZ, XY, XZ, YZ 56-59 Τετραδικοί αριθμοί q1, q2, q3, q0 - Πίνακας 4 : Περιεχόμενα αρείων.sgg κατά στήλες Ο κωδικός κατάστασης της μέτρησης (flag) παίρνει τιμές από 0 μέχρι 6 και υποδεικνύει το βαθμό αξιοπιστίας της μέτρησης και το κατά πόσο έχει υποστεί διορθώσεις, σύμφωνα με τον πίνακα 5.

48 Η δορυφορική αποστολή GOCE 0 Πρωτογενής μέτρηση Πρωτογενής μέτρηση, διορθωμένη από παλιρροϊκές και μη - παλιρροϊκές επιδράσεις 1 Πρωτογενής μέτρηση, διορθωμένη από παλιρροϊκές, μη - παλιρροϊκές επιδράσεις και 2 βαθμονομημένη Μέτρηση ύποπτη για χονδροειδές σφάλμα 3 - έχει αντικατασταθεί κατά την επεξεργασία Μέτρηση ύποπτη για χονδροειδές σφάλμα 4 δεν έχει αντικατασταθεί κατά την επεξεργασία Κενό δεδομένων έχουν συμπληρωθεί 5 κατά την επεξεργασία Κενό δεδομένων δεν έχουν συμπληρωθεί 6 κατά την επεξεργασία Πίνακας 5 : Κωδικοί κατάστασης μέτρησης (flag) Σχήμα 14 : Απόσπασμα αρχείου.sgg Πρακτικά, οι μετρήσεις των κατηγοριών 1 και 2 έχουν ίδιες τιμές, επειδή, όπως φαίνεται και από τα αρχεία.sgg, η διόρθωση λόγω βαθμονόμησης είναι ίση με το μηδέν. Γι αυτό, δεν εμφανίζονται καθόλου βαθμίδες με κωδικό 2, παρά μόνο με τους υπόλοιπους κωδικούς. Για την παρούσα εργασία, χρησιμοποιήθηκαν μόνο οι βαθμίδες με τον κωδικό 1.

49 Η δορυφορική αποστολή GOCE Προϊόντα SST_PSO_2 Τα προϊόντα SST_PSO_2 (Satellite to Satellite Tracking_Precise Science Orbits_2), αναφέρονται στα δεδομένα της τροχιάς ακριβείας (POD, Precise Orbit Determination). Αποτελούνται από δυο βασικές κατηγορίες τροχιών, την κινηματική (kinematic) και την ανηγμένη-δυναμική (reduced dynamic) τροχιά του δορυφόρου. Ο υπολογισμός τους γίνεται από τα κέντρα επεξεργασίας με το λογισμικό Bernese GPS Software, χρησιμοποιώντας τις μετρήσεις από τους δέκτες GPS του δορυφόρου, δορυφορικές εφημερίδες ακριβείας και τις διορθώσεις των ρολογιών από την IGS. Παρέχονται στον χρήστη από την διαδικτυακή βάση δεδομένων της ESA, σε συμπιεσμένα αρχεία επέκτασης.tar, όπου το καθένα περιέχει 15 (συνήθως) ημερήσια αρχεία επέκτασης.tgz. Από τα αρχεία αυτά και μετά από μια συγκεκριμένα διαδικασία (βλ. κεφ. 4.1), προκύπτουν έξι αρχεία (πέντε ASCII και ένα PDF): 1. Αρχείο επέκτασης.qat (quaternions): περιέχει τους τετραδικούς αριθμούς για το μετασχηματισμό των βαθμίδων από το EFRF στο IRF. 2. Αρχείο επέκτασης.kin (kinematic) : περιέχει τις συντεταγμένες της κινηματικής τροχιάς 3. Αρχείο επέκτασης.dyn (dynamic) : περιέχει τις συντεταγμένες της ανηγμένης-δυναμικής τροχιάς 4. Αρχείο επέκτασης.hed (head) : αρχείο επικεφαλίδας που περιέχει διάφορες χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με το κάθε ημερήσιο αρχείο, όπως τον χρόνο έναρξης και τέλους των μετρήσεων από τον δορυφόρο, σε χρόνο UTC και GPS, τα πρωτογενή δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν. 5. Αρχείο επέκτασης.pdf : περιέχει πληροφορίες σχετικά με την ποιότητα των δυο λύσεων τροχιών 6. Αρχείο επέκτασης.cov (covariances) : περιέχει τον πίνακα μεταβλητοτήτων-συμμεταβλητοτήτων της λύσης της κινηματικής τροχιάς Στην παρούσα εργασία έγινε χρήση μόνο των αρχείων με τις επεκτάσεις.qat,.kin και.hed, τα οποία παρουσιάζονται στη συνέχεια αναλυτικότερα. Αρχικά, τα αρχεία επέκτασης.qat περιέχουν, ανά στήλες, τους τέσσερις τετραδικούς αριθμούς, για την μετατροπή των βαθμίδων βαρύτητας από το EFRF στο IRF, καθώς και τις α- ντίστοιχες εποχές μέτρησης των αστρικών καμερών. Επομένως, έχουν την μορφή πέντε στηλών, σύμφωνα με τον πίνακα : Αριθμός στήλης Παράμετρος Χρόνος GPS(seconds), που έχει παρέλθει από την εποχή αναφοράς 1 (είναι η 00:00:00 της κάθε ημέρας) 2-5 Τετραδικοί αριθμοί q1, q2, q3, q0 Πίνακας 6 : Περιεχόμενα αρχείων.qat κατά στήλες

50 Η δορυφορική αποστολή GOCE Σχήμα 15 : Απόσπασμα αρχείου.qat Τα αρχεία.hed, είναι αρχεία επικεφαλίδας, που περιέχουν διάφορες χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με το κάθε ημερήσιο αρχείο, όπως τον χρόνο έναρξης και τέλους των μετρήσεων από τον δορυφόρο, σε χρόνο UTC και GPS, τα πρωτογενή δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν κ.α.

51 Η δορυφορική αποστολή GOCE Σχήμα 16 : Απόσπασμα αρχείου.hed Τέλος, τα αρχεία.kin περιέχουν, με την μορφή στηλών επίσης, τις συντεταγμένες (X,Y,Z) στο Επίγειο Σύστημα Αναφοράς (EFRF) της κινηματικής τροχιάς, στην αντίστοιχη εποχή μέτρησης τους από των δέκτη GPS. Η συχνότητα των μετρήσεων είναι 1 Hz. Επίσης, εμπεριέχουν και την διόρθωση του ρολογιού του δέκτη. Διαθέτουν συνολικά 10 παραμέτρους και επομένως 10 στήλες, σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα : Αριθμός στήλης παράμετρος Μονάδα μέτρησης 1-6 Χρόνος GPS (έτος, μήνας, η- μέρα, ώρες, λεπτά, δευτερόλεπτα) - 7-9 Συντεταγμένες (Χ,Υ,Ζ) τροχιάς, στο EFRF Μέτρα (m) 10 Διόρθωση ρολογιού δέκτη Δευτερόλεπτα (sec) Πίνακας 7 : Περιεχόμενα αρχείων.kin ανά στήλες

52 Η δορυφορική αποστολή GOCE Σχήμα 17 : Απόσπασμα αρχείου.kin

53 Η δορυφορική αποστολή GOCE 3.6. Συστήματα αναφοράς Τοπικό Τροχιακό Σύστημα αναφοράς LORF (Local Orbital Reference Frame) Η αρχή του Τοπικού Τροχιακού Συστήματος αναφοράς (LORF) ορίζεται στο κέντρο μάζας του δορυφόρου, ο άξονας x είναι παράλληλος και έχει ίδια φορά με τη στιγμιαία κατεύθυνση του τροχιακού διανύσματος της ταχύτητας V, ο άξονας y είναι παράλληλος και έχει ίδια φορά με την στιγμιαία κατεύθυνση της τροχιακής στροφορμής Ν και ο άξονας z είναι παράλληλος και έχει την φορά του εξωτερικού γινομένου των V και N. Τα διανύσματα V και N είναι ορθογώνια εξ ορισμού και ισχύει Ν=R x N, όπου R είναι το διάνυσμα από το Γεώκεντρο στο κέντρο μάζας του δορυφόρου. Αδρανειακό σύστημα αναφοράς IRF (Inertial Reference Frame) Ως Αδρανειακό σύστημα αναφοράς (IRF) της αποστολής GOCE έχει οριστεί το J2000 Ισημερινό Σύστημα Αναφοράς (J2000 Equatorial Reference Frame -JERF). Το σύστημα αυτό ορίζεται ως εξής : έχει σαν αρχή είναι το κέντρο μάζας της Γης (Γεώκεντρο OJ2000), ο άξονας x (ΧJ2000) ορίζεται από την τομή του μέσου επίπεδο της εκλειπτικής με το μέσο επίπεδο του ισημερινού κατά την ημερομηνία της 01/01/2000 και δείχνοντας θετικά προς την εαρινή ισημερία και ο άξονας z (ΖJ2000) έχει την κατεύθυνση του μέσου ουράνιου πόλου την ημερομηνία 01/01/2000. Ο άξονας y (ΥJ2000) συμπληρώνει ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα αναφοράς. Επίγειο σύστημα αναφοράς EFRF (Earth Fixed Reference Frame) Το Επίγειο σύστημα αναφοράς (EFRF) είναι ένα χωρικό σύστημα αναφοράς που περιστρέφεται σύμφωνα με την ημερήσια κίνηση της Γης. Το EFRF είναι ένα ορθογώνιο, δεξιόστροφο σύστημα. Η αρχή του είναι στο κέντρο μάζας της Γης (Γεώκεντρο), ο προσανατολισμός του είναι ισημερινός (z άξονας είναι η κατεύθυνση του πόλου). Ο άξονας x ορίζεται στο επίπεδο του ισημερινού προς την κατεύθυνση του μεσημβρινού του Γκρήνουιτς. Η γωνία μεταξύ του άξονα x του αδρανειακού Σύστηματος αναφοράς (που ορίζεται από την εαρινή ισημερία) και του μεσημβρινού του Greenwich είναι ο χρόνος GAST. Σύστημα αναφοράς βαθμιδομέτρου GRF (Gradiometer Reference Frame) Το σύστημα αναφοράς του βαθμιδομέτρου (GRF) είναι το σύστημα συντεταγμένων στο ο- ποίο οι καταγράφονται οι συνιστώσες του τανυστή των βαθμίδων βαρύτητας του GOCE. Το GRF αντιπροσωπεύει το κοινό σύστημα αναφοράς του βαθμιδομέτρου τριών αξόνων, το ο- ποίο αποτελείται από τρία βαθμιδόμετρα ενός άξονα. Η τομή των αξόνων του κάθε βαθμιδομέτρου ενός άξονα είναι και η αρχή του GRF. Ο προσανατολισμός αυτού του συστήματος

54 Η δορυφορική αποστολή GOCE στο χώρο είναι περίπου ίδιος με το προσανατολισμό του LORF. Ο διαφορές τους είναι 2 ο για τους άξονες x και y και 3 ο για τον άξονα z. Τοπικό σύστημα αναφοράς LNOF (Local North Oriented Frame) Το Τοπικό Σύστημα Αναφοράς (LNOF) είναι ένα δεξιόστροφο πλαίσιο, με τον X άξονα να δείχνει τον Βορρά, τον άξονα Υ να δείχνει Δύση και τον Ζ άξονα το Ζενίθ. η αρχή του βρίσκεται στο ονομαστικό κέντρο μάζας του δορυφόρου ο άξονας Z ορίζεται ως το διάνυσμα από το Γεώκεντρο προς την αρχή του, δείχνοντας ακτινικά προς τα έξω ο άξονας Y είναι παράλληλος προς το κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο του γεωκεντρικού μεσημβρινού του κέντρου μάζας του δορυφόρου, δείχνοντας προς τα δυτικά, ο άξονας X είναι παράλληλος προς το κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο που ορίζεται από τους άλλους δυο άξονες. Σχήμα 18 : Συστήματα αναφοράς συντεταγμένων (ESA)

55 Η δορυφορική αποστολή GOCE 3.7. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων Ο μετασχηματισμός των βαθμίδων στα διάφορα συστήματα αναφοράς που αναφέρθηκαν είναι από την σημαντικότερα βήματα κατά την επεξεργασία τους, όπως θα φανεί και από τα επόμενα κεφάλαια. Ιδιαίτερα ενδιαφέρει ο μετασχηματισμός από το GRF, στο οποίο αναφέρονται οι μετρημένες βαθμίδες, στο LNOF, καθώς εκεί αναφέρονται οι βαθμίδες που προκύπτουν από τα γεωδυναμικά μοντέλα. Ο μετασχηματισμός αυτός πραγματοποιείται σε τρεις φάσεις βήματα. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός, από το LNOF στο GRF, πραγματοποιείται με τα ίδια βήματα αλλά με την αντίθετη σειρά. Τα βήματα αυτά, είναι : Μετασχηματισμός βαθμίδων από το GRF στο INF, χρησιμοποιώντας τους τετραδικούς αριθμούς από το αρχείο.sgg Μετασχηματισμός των βαθμίδων που προκύπτουν από το προηγούμενο βήμα, από το INF στο EFRF, χρησιμοποιώντας τους τετραδικούς αριθμούς από το αρχείο.qat Μετασχηματισμός των βαθμίδων που προκύπτουν από το προηγούμενο βήμα, από το EFRF στο LNOF Η βασική σχέση με την οποία πραγματοποιούνται οι μετασχηματισμοί είναι (Gruber et al., 2008): V a b = RV a R T (3.13) όπου V a b είναι οι μετασχηματισμένες βαθμίδες από το σύστημα αναφοράς α στο σύστημα αναφοράς b, R ο κατάλληλος πίνακας στροφής και Vα o τανυστής των βαθμίδων στο σύστημα αναφοράς α, με μορφή V xx V xy V xz V α = ( V yx V yy V yz ) V zx V zy V zz α (3.14) Για το μετασχηματισμό από το GRF στο INF, επειδή οι τετραδικοί αριθμοί (από το αρχείο.sgg) αναφέρονται στον αντίστροφο μετασχηματισμό, δηλαδή από το INF στο GRF, η σχέση 3.1 γίνεται V INF GRF = R T V GRF R (3.15)

56 Η δορυφορική αποστολή GOCE Ο πίνακα στροφής R ορίζεται, έχοντας ως ορίσματα του τετραδικούς αριθμούς, όπως παρακάτω q 2 0 + q 2 1 q 2 2 2 q 3 2(q 1 q 2 + q 3 q 0 ) 2(q 1 q 3 q 2 q 0 ) R = [ 2(q 1 q 2 q 3 q 0 ) q 2 0 q 2 1 +q 2 2 2 q 3 2(q 2 q 3 + q 1 q 0 ) ] (3.16) 2(q 1 q 3 + q 2 q 0 ) 2(q 2 q 3 q 1 q 0 ) q 2 0 q 2 1 q 2 2 2 +q 3 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός, από το INF στο GRF, πραγματοποιείται με την σχέση V GRF INF = RV INF R T (3.17) Το επόμενο βήμα είναι ο μετασχηματισμός από το INF στο EFRF, χρησιμοποιώντας τους τετραδικούς αριθμούς από τα αρχεία.qat. Επειδή και εδώ οι τετραδικοί αριθμοί αναφέρονται στον αντίστροφο μετασχηματισμό, η σχέση 3.1 γίνεται V EFRF INF = R T V INF R (3.18) με τον πίνακα R να υπολογίζεται σύμφωνα με την σχέση 3.5, όπως και στο προηγούμενο βήμα. Για τον αντίστροφο μετασχηματισμό, από το EFRF στο IRF εφαρμόζεται η σχέση V INF EFRF = RV EFRF R T (3.19) Το τελευταίο βήμα περιέχει τον μετασχηματισμό από το EFRF στο LNOF. Ο μετασχηματισμός αυτός δεν γίνεται με την βοήθεια τετραδικών αριθμών όπως στα προηγούμενα βήματα, αλλά με την χρήση του γεωδαιτικού πλάτους φ και γεωδαιτικού μήκους λ στην εποχή παρατήρησης της κάθε βαθμίδας. Η σχέση του μετασχηματισμού είναι V LNOF EFRF = RV EFRF R T (3.20) με τον πίνακα R να είναι: sin φ cos λ sin φ sin λ cos φ R = [ sin λ cos λ 0 ] cos φ cos λ cos φ sin λ sin φ (3.21)

57 Η δορυφορική αποστολή GOCE Ο αντίστροφος μετασχηματισμός, από το LNOF στο EFRF, υλοποιείται με την σχέση V EFRF LNOF = R T V LNOF R (3.22) Ο πίνακας στροφής R της σχέσης 3.9 αναφέρεται στην περίπτωση που το LNOF είναι της μορφής North-West-Up, όπως έχει οριστεί στην ενότητα 3.5. Σε περίπτωση που το LNOF που χρησιμοποιείται είναι της μορφής North-East-Up, ο πίνακας στροφής R παίρνει την μορφή sin φ cos λ sin φ sin λ cos φ R = [ sin λ cos λ 0 ] (3.23) cos φ cos λ cos φ sin λ sin φ

58 Η δορυφορική αποστολή GOCE

59 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Κεφάλαιο 4 Επεξεργασία προϊόντων GOCE 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται η μεθοδολογία επεξεργασίας των δεδομένων καθώς και τα αποτελέσματά της. Ξεκινά με την προεπεξεργασία των δεδομένων και συνεχίζει με μια επισκόπηση μιας ημέρας μετρήσεων. Έπειτα, αναλύεται η μεθοδολογία και τα φίλτρο που χρησιμοποιείται. Τέλος, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα, που είναι οι φιλτραρισμένες και απαλλαγμένες από τα σφάλματα βαθμίδες του δυναμκιού έλξης, συγκρίσεις με βαθμίδες από γεωδυναμικά μοντέλα και η διαδικασία παραγωγής χαρτών από αυτές. Στο σχήμα 19 παρουσιάζονται συνοπτικά τα επιμέρους βήματα της επεξεργασίας. Προεπεξεργασία δημιουργία κατάλληλων αρχείων δεδομένων Φιλτράρισμα χρονοσειρών Αποκοπή περιοχής ενδιαφέροντος Μετασχηματισμός GRF LNOF Σύγκριση με παγκόσμια γεωδυναμικά μοντέλα - αξιολόγηση Σχήμα 19 : Λογικό διάγραμμα μεθοδολογίας

60 Επεξεργασία προϊόντων GOCE 4.2. Προεπεργασία Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η απόκτηση των προϊόντων γίνεται από την διαδικτυακή βάση δεδομένων της ESA. Αφού επιλεχθούν τα επιθυμητά αρχεία, ξεκινάει το downloading. Τα αρχεία αυτά είναι συμπιεσμένα με τύπο επέκτασης.tar, μεγέθους περίπου 300 MB για τα EGG_NOM_2, 600 MB για τα SST_PSO_2 και συνήθως περιέχουν μετρήσεις 15 ημέρες (ημερήσια αρχεία). Μετά την αποσυμπίεση τους, που γίνεται με ένα απλό λογισμικό διαχείρισης συμπιεσμένων αρχείων (πχ WinRar), προκύπτουν για κάθε ημέρα δυο συμπιεσμένα αρχεία επέκτασης.tgz, ένα από το αρχείο του βαθμιδομέτρου και ένα από το αρχείο της κινηματικής τροχιάς. Στη συνέχεια, το κάθε ημερήσιο αρχείο πρέπει εκ νέου να αποσυμπιεστεί, για να προκύψουν 4 αρχεία για την κάθε ημέρα, δυο επέκτασης.dbl και δυο.hdr. Τα αρχεία.dbl έχουν μεγέθη περίπου 200 MB για τα προερχόμενα από τα EGG_NOM_2 και 450 MB για τα προερχόμενα από τα SST_PSO_2. Τα αρχεία.hdr έχουν μέγεθος μικρότερο από 1 MB. Τα αρχεία αυτά είναι κωδικοποιημένα σε γλώσσα προγραμματισμού XML και για να έρθουν σε επεξεργάσιμη μορφή πρέπει να περάσουν από μια διαδικασία αποκωδικοποίησης, που ονομάζεται parse. Η αποκωδικοποίηση αυτή, γίνεται με ειδικό λογισμικό, που παρέχεται από την ESA ανάλογα με το λειτουργικό σύστημα (Microsoft Windows, Unix) στο οποίο γίνεται η επεξεργασία των προϊόντων GOCE. Εδώ, όλη η επεξεργασία των δεδομένων έγινε σε λειτουργικό σύστημα Microsoft Windows και έτσι η αποκωδικοποίηση έγινε με το λογισμικό GOSEPASCER. Σχήμα 20 : Περιβάλλον λογισμικού GOCEPARSER Το λογισμικό GOSEPASCER δημιουργήθηκε από τον Dr. Kirco Arsov, του Finnish Geodetic Institute. Είναι γραμμένο σε γλώσσα προγραμματισμού C++ και δεν χρειάζεται καμία εγκατάσταση στο λειτουργικό σύστημα. Η λειτουργία του είναι επίσης απλή, καθώς το μόνο που χρειάζεται να κάνει ο χρήστης, είναι να επιλέξει τον τύπο του προϊόντος και να το φορτώσει στο λογισμικό. Η αποκωδικοποίηση για τα αρχεία.dbl είναι αρκετά χρονοβόρα (5 min και 7 min για κάθε ημερήσιο αρχείο EGG_NOM_2 και SST_PSO_2 αντίστοιχα), ενώ για τα αρχεία.hdr γίνεται αμέσως. Με το πέρας της διαδικασίας της αποκωδικοποίησης προκύπτουν τα

61 Επεξεργασία προϊόντων GOCE αρχεία, που περιγράφηκαν στο κεφ, 3.5.2 επεκτάσεων.sgg,.hed,.qat,.kin,.dyn,.hed,.cov και.pdf. α/α τύπος επέκταση Χρονικό διάστημα 1 EGG_NOM_2.sgg 2 EGG_NOM_2.hed 02/1/2012 3 SST_PSO_2.kin 30/10/2013 4 SST_PSO_2.qat 5 SST_PSO_2.hed Πίνακας 8 : Τύποι αρχεία που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία Τα αρχεία αυτά περιέχουν ένα μεγάλο πλήθος πληροφοριών σχετικά με την κάθε μέτρηση. Επίσης, ανάλογα και με την επεξεργασία που θα υποστεί το κάθε προϊόν, είναι απαραίτητος ο συνδυασμός κάποιων πληροφοριών ή στοιχείων, τα οποία μπορεί να βρίσκονται σε διαφορετικά αρχεία. Επομένως, πριν την κυρίως επεξεργασία πρέπει να προηγηθεί μια διαδικασία μορφοποίησης των αρχείων, αποκοπής των άχρηστων πληροφοριών (ώστε να μειωθεί όσο γίνεται ο ήδη μεγάλος όγκος των δεδομένων) και κάποιων απαραίτητων, λόγω της φύσης των δεδομένων, υπολογισμών. Όλη η παραπάνω διαδικασία έγινε με τους κατάλληλους κώδικες στο λογισμικό Matlab και περιγράφεται παρακάτω. Αρχικά, η πρώτη διεργασία είναι η μετατροπή των χρόνων που περιέχονται στα αρχεία της κινηματικής τροχιάς (.kin) και σε αυτών των τετραδικών αριθμούς (.qat) σε χρόνο GPS (ο χρόνος στα αρχεία.sgg είναι ήδη στην κλίμακα GPS και δεν χρειάζεται καμία παρέμβαση). Η μετατροπή γίνεται χρησιμοποιώντας τον χρόνο έναρξης των μετρήσεων του κάθε αρχείου, που περιέχεται στο αρχείο επικεφαλίδας (.hed), που συνοδεύει τα προϊόντα SST_PSO_2. Ο χρόνος αυτός παρέχεται τόσο στην κλίμακα GPS όσο και σε χρόνο UTC. Στη συνέχεια, για το κάθε τύπο αρχείου ακολουθείται διαφορετική διαδικασία : στα αρχεία των τετραδικών αριθμών (.qat), η πρώτη στήλη περιέχει τα ακέραια δευτερόλεπτα που έχουν παρέλθει από την εποχή αναφοράς. Επομένως, για να υπολογιστεί ο χρόνος GPS της στιγμής μέτρησης της αστρικής κάμερας, προστίθενται τα ακέραια δευτερόλεπτα στην εποχή έναρξης των μετρήσεων.. Στα αρχεία της κινηματικής τροχιάς (.kin), οι πρώτες 6 στήλες περιέχουν την εποχή των συντεταγμένων της τροχιάς σε χρόνο GPS, σε μορφή Gregorian (η μορφή Gregorian έχει την εξής διάταξη : έτος, μήνας, ημέρα, ώρες, λεπτά, δευτερόλεπτα). Για να μετατραπεί αυτός ο χρόνος σε δευτερόλεπτα, προστίθεται στον χρόνο GPS της εποχής έναρξης των μετρήσεων της κάθε ημέρας, σύμφωνα με τον τύπο : t GPS (sec) = (ώρες 3600 + λεπτά 60 + δευτερόλεπτα)(sec) GPS + t ώρα έναρξης μετρήσεων (sec) (4.1)

62 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Ολοκληρώνοντας τα παραπάνω βήματα των απλών υπολογισμών και παρατηρώντας τους υπολογισμένους χρόνους των αρχείων.kin,.qat και τους χρόνους των αρχείων των μετρήσεων του βαθμιδομέτρου(.sgg), προκύπτει το συμπέρασμα, ότι οι χρόνοι των μετρήσεων κάθε αρχείου είναι διαφορετικοί. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι επειδή ο δέκτης GPS καταγράφει μετρήσεις σε διαφορετικές εποχές σε σχέση με τις αστρικές κάμερες και σε σχέση με το βαθμιδόμετρο. Αυτό που είναι απαραίτητο, στα πλαίσια της επεξεργασίας που λαμβάνει χώρα στην παρούσα εργασία, είναι η γνώση της ακριβούς θέσης, συμπεριφοράς και προσανατολισμού του δορυφόρου σε κάθε εποχή μέτρησης του βαθμιδομέτρου. Ο υπολογισμός της ακριβούς θέσης του δορυφόρου στις εποχές μέτρησης του βαθμιδομέτρου γίνεται με παρεμβολή των εποχών αυτών στην χρονοσειρά των μετρήσεων της κινηματικής τροχιάς. Υπολογίζονται δηλαδή νέες συντεταγμένες Χ, Υ, Ζ ανάλογα με την ζητούμενη εποχή μέτρησης του βαθμιδομέτρου. Για την παρεμβολή αυτή δεν υπάρχει συγκεκριμένη μεθοδολογία. Στην εργασία αυτή, χρησιμοποιήθηκε η συνάρτηση του λογισμικού Matlab, spline.m (εφαρμόζει 3 η βαθμού πολυωνυμική παρεμβολή), για κάθε συντεταγμένη Χ, Υ, Ζ, με στοιχεία εισαγωγής τις συντεταγμένες, τις αντίστοιχες εποχές μέτρησης τους και τις εποχές μέτρησης του βαθμιδομέτρου, στις οποίες ζητούνται οι συντεταγμένες. Η βασική αρχή της παρεμβολής με splines είναι ο υπολογισμός διαφορετικού πολυωνύμου για κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού των δεδομένων. Θεωρούμε πως τα δεδομένα περιγράφονται από μια συνάρτηση y=f(x) και διαθέτουμε ένα πίνακα από διάφορα σημεία αυτής της συνάρτησης [xi, yi], για i=0, 1,, n. Το σύνολο των σημείων είναι n+1 και τα διαχωρίζουν n διαστήματα (intervals). H 3 ου βαθμού πολυωνυμική παρεμβολή είναι μια συνεχής καμπύλη που διαπερνά όλα τα σημεία, όμως προκύπτει από την συνένωση των πολυωνύμων που προκύπτουν για κάθε διάστημα της συνάρτησης. Το πολυώνυμο για κάθε διάστημα υπολογίζεται από τη βασική σχέση S i (x) = a i (x x i ) 3 + b i (x x i ) 2 + c i (x x i ) + d i για x [x i, x i+1 ] (4.2) όπου αi, bi, ci, di οι άγνωστοι πολυωνυμικοί συντελεστές. Καθώς υπάρχουν n διαστήματα και 4 συντελεστές για το καθένα συνολικά απαιτούνται 4n παράμετροι για να οριστεί η καμπύλη S(x). Επομένως πρέπει να οριστούν 4n ανεξάρτητες συνθήκες για επιλυθεί το σύστημα. Δυο συνθήκες για το κάθε διάστημα προκύπτουν, εφόσον η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, από την απαίτηση η καμπύλη να ταυτίζεται με τα σημεία του πίνακα για την αρχή και το τέλος κάθε διαστήματος, σύμφωνα με τις σχέσεις S i (x i ) = y i, S i (x i+1 ) = y i+1 (4.3)

63 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Τώρα απαιτούνται ακόμα 2n συνθήκες. Για να έχει η παρεμβολή όσο το δυνατόν μεγαλύτερη εξομάλυνση, ορίζουμε ως συνεχείς τις πρώτες και τις δεύτερες παραγώγους του κάθε πολυωνύμου S i 1 (x i ) = S i (x i ), S i 1 (x i ) = S i (x i ) (4.4) Οι παραπάνω σχέσεις εφαρμόζονται για i=1, 2,, n-1 και ορίζουν 2(n-1) συνθήκες. Επομένως, για την επίλυση της καμπύλης απαιτούνται άλλες δυο συνθήκες. Αυτές προκύπτουν κάνοντας κάποιες παραδοχές για τις ακραίες τιμές των αγνώστων παραμέτρων S 0 (x) και S n 1 (x). Για τις παραδοχές αυτές, υπάρχουν δυο μεθοδολογίες που χρησιμοποιούνται συνήθως : 1. Φυσική καμπύλη (natural spline), με S 0 (x 0 ) = S n 1 (x n ) = 0 2. Παραβολική καμπύλη (clamped spline), με S 0 (x 0 ) = f (x 0 ), S n 1 (x n ) = f (x n ) Ο υπολογισμός της συμπεριφοράς και του προσανατολισμού του δορυφόρου στις εποχές μέτρησης του βαθμιδομέτρου γίνεται με παρεμβολή των εποχών αυτών στην χρονοσειρά των τετραδικών αριθμών. Υπολογίζονται δηλαδή και εδώ νέοι τετραδικοί αριθμοί, ανάλογα με την ζητούμενη εποχή μέτρησης. Η παρεμβολή τετραδικών αριθμών είναι μια ιδιαίτερη διαδικασία και περιγράφεται αναλυτικά στο παράρτημα 2. Ας σημειωθεί ότι μόνο οι τετραδικοί αριθμοί του αρχείου.qat χρειάζονται παρεμβολή. Οι τετραδικοί αριθμοί του αρχείου των μετρήσεων του βαθμιδομέτρου (.sgg), αναφέρονται στις εποχές μέτρησης του βαθμιδομέτρου και δεν χρειάζονται καμία επεξεργασία. Το τελευταίο βήμα της προεπεξεργασίας αυτής είναι η μετατροπή των βαθμίδων από 1/s 2 σε μονάδα μέτρησης Eotvos και η μετατροπή των συντεταγμένων X, Y, Z της τροχιάς από το επίγειο καρτεσιανό σύστημα αναφοράς σε γεωδαιτικές φ, λ, h. Το ελλειψοειδές που χρησιμοποιήθηκε είναι το GRS80. Στους κώδικες που δημιουργήθηκαν, πέρα από τους παραπάνω υπολογισμούς, αποκόπτονται και κάποιες πληροφορίες και παράμετροι που δεν είναι χρήσιμες στην παρούσα ανάλυση. Τελικά, δημιουργείται ένα αρχείο που περιέχει όλα όσα χρειάζονται και έχει μορφή χρονοσειράς με 24 στήλες, σύμφωνα με τον πίνακα 9.

64 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Αριθμός στήλης Παράμετρος Μονάδα μέτρησης 1 Χρόνος GPS sec 2-4 Γεωδαιτικές συντεταγμένες φ, λ, h Δεκαδικές μοίρες, μέτρα 5-10 11-16 Βαθμίδες βαρύτητας ανά συνιστώσα XX, YY, ZZ, XY, XZ, YZ Eotvos Κωδικός (flag) κατάστασης μέτρησης ανά συνιστώσα XX, YY, ZZ, XY, XZ, YZ - 17-20 21-24 Τετραδικοί αριθμοί (από το IRF στο GRF) q1, q2, q3, q0 Τετραδικοί αριθμοί (από το EFRF στο IRF) q1, q2, q3, q0 Πίνακας 9 : Περιεχόμενα εξαγώγιμου αρχείου - - Ας σημειωθεί εδώ ότι μετά την δημιουργία ημερησίων αρχείων καλό είναι να ελέγχονται οι μετρήσεις για τυχόν χονδροειδή σφάλματα που μπορεί να έχουν προκύψει από μη σωστή λειτουργία κάποιου οργάνου ή από συμπλήρωση κάποιων μετρήσεων από τα κέντρα επεξεργασίας. Ο έλεγχος αυτός μπορεί να γίνει συγκρίνοντας τις μετρήσεις με κάποιες από γειτονικά χρονικά αρχεία μετρήσεων. Επίσης, ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο είναι το ημερολόγιο Σχήμα 21 : Ημερολόγιο συμβάντων μετρήσεων GOCE (ESA)

65 Επεξεργασία προϊόντων GOCE των μετρήσεων της αποστολής, που παρέχεται από την ESA. Εκεί, καταγράφεται για κάθε ημέρα η ποιότητα των μετρήσεων, το εάν έχουν ανιχνευτεί κάποια προβλήματα ή εάν είναι και εντελώς άχρηστα. Έτσι, ο χρήστης γνωρίζει εξ αρχής ποια ημερήσια αρχεία μετρήσεων μπορεί να χρησιμοποιήσει αλλά να ελέγχει μετρήσεις που είναι ύποπτες για χονδροειδή σφάλματα. Στο χρονικό διάστημα που επιλέχθηκε στην παρούσα εργασία, από τις 2 Ιανουαρίου του 2012 έως το πέρας της αποστολής στις 20 Οκτωβρίου 1013, τα συνολικά ημερήσια αρχεία είναι 660. Από αυτά, αφαιρέθηκαν όσα δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν, με την βοήθεια του ημερολογίου. Επίσης, μετά τον έλεγχο των ύποπτων για σφάλματα ημερών, αφαιρέθηκαν κάποιες ημέρες που ήταν επηρεασμένες από χονδροειδή σφάλματα. Τέλος, μετά και την επιλογή των αρχείων που αφορούσαν στην περιοχή μελέτης, έμειναν 377 ημερήσια αρχεία. Σχήμα 22 : Οι τροχιές από τα αρχεία μετρήσεων στην περιοχή μελέτης

66 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 23 : Τροχιακά ίχνη ημερησίων αρχείων στην περιοχή μελέτης

67 Επεξεργασία προϊόντων GOCE 4.3. Επισκόπηση προϊόντων Στην ενότητα αυτή, γίνεται μια πρώτη παρουσίαση των βαθμίδων των προϊόντων GOCE χωρίς να έχουν υποστεί ακόμη καμία επεξεργασία πλην τις διαδικασίας της ενότητας 4.1. Συγκεκριμένα, είναι τα ημερήσια αρχεία της 02/11/2012, που περιείχαν 86400 μετρήσεις από το βαθμιδόμετρο (EGG_NOM_2 20120102T000000_20120102T235959_0101.sgg) και 78895 μετρήσεις GPS (SST_PSO_2 20120101T235945_20120102T235944_0001.kin). Αρχικά, παρουσιάζονται οι τιμές της κάθε συνιστώσας σε σχέση με τα τροχιακά ίχνη. Στη συνέχεια, για να γίνει ένας χονδρικός έλεγχος της ποιότητας τους και η ύπαρξη τυχόν προβλημάτων στις μετρήσεις, συγκρίνονται με τις αντίστοιχες συνθετικές βαθμίδες, υπολογισμένες από ένα παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο (πίνακας 10 και σχήμα 30). Εδώ επιλέχθηκε το TIM-R5, μέγιστου βαθμού και τάξης 280, που η δημιουργία του βασίστηκε αποκλειστικά στις μετρήσεις του GOCE. Σχήμα 24 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vxx (μονάδα Eotvos)

68 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 26 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vyy (μονάδα Eotvos) Σχήμα 25 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vzz (μονάδα Eotvos)

69 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 28 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vxy (μονάδα Eotvos) Σχήμα 27 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vxz (μονάδα Eotvos)

70 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 29 : Τροχιακά ίχνη συνιστώσας Vyz (μονάδα Eotvos) Στατιστικά Vij GOCE vs Vij μοντέλου ΤΙΜR5 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min 537.0442-919.5450-226.1768-4315.3860-42.2323-31102.6068 max 540.6577-915.9423-219.3559-4310.0212-16.2153-31091.2780 mean 537.4146-919.2271-219.6700-4312.6691-29.1592-31097.1311 std 0.2421 0.2715 0.4667 0.9182 9.0925 2.5094 rms 537.4147 919.2272 219.6705 4312.6692 30.5440 31097.1312 Πίνακας 10 : Στατιστικά διαφορών παρατηρούμενων βαθμίδων με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5

71 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 30 : Διαφορές παρατηρούμενων βαθμίδων με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5 Από τον πίνακα 10 και το σχήμα 30 είναι εύκολα αντιληπτή η ύπαρξη συστηματικών αποκλίσεων (biases) των παρατηρούμενων από τις συνθετικές βαθμίδες. Οι αποκλίσεις αυτές, είναι της τάξης των εκατοντάδων Eotvos για τις 4 δυνατές συνιστώσες (ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ, ΧΖ 536, 920, 218, 101 Eotvos αντίστοιχα) και της τάξης των χιλιάδων για τις δυο αδύναμες (XY, YZ 4300, 31000 Eotvos αντίστοιχα). Βεβαίως η τεράστια απόκλιση για τις δυο αδύναμες συνιστώσες, οφείλεται η χαμηλή ακρίβεια με την οποία καταγράφονται από το βαθμιδόμετρο. Για να γίνει ακόμα καλύτερα η σύγκριση, αφαιρείται ο μέσος όρος της κάθε συνιστώσας, τόσο για τις πραγματικές όσο και για τις συνθετικές βαθμίδες και δημιουργούνται τα παρακάτω διαγράμματα.

72 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 32 : Διαφορά βαθμίδας Vxx του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας Σχήμα 31 : Διαφορά βαθμίδας Vyy του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας

73 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 34 : Διαφορά βαθμίδας Vzz του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας Σχήμα 33 : Διαφορά βαθμίδας Vxy του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας

74 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 35 : Διαφορά βαθμίδας Vxz του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας Σχήμα 36 : Διαφορά βαθμίδας Vyz του GOCE με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση του μέσου όρου της κάθε συνιστώσας

75 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Στατιστικά (Vij GOCE - mean(vij GOCE)) vs ( Vij μοντέλου - mean(vij μοντέλου)) Eotvos dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.3704-0.3179-6.5068-2.7169-13.0731-5.4757 max 3.2431 3.2849 0.3141 2.6479 12.9439 5.8531 mean 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 std 0.2421 0.2715 0.4667 0.9182 9.0925 2.5094 rms 0.2421 0.2715 0.4667 0.9182 9.0925 2.5094 Πίνακας 11 : Στατιστικά διαφορών παρατηρούμενων βαθμίδων με τις υπολογισμένες από το μοντέλο ΤΙΜR5, μετά την αφαίρεση των μέσων όρων της κάθε συνιστώσας Από τα παραπάνω σχήματα και τον πίνακα 11 μπορεί να συμπεράνει κανείς τα εξής : 1. Τα μεγάλα επίπεδα θορύβου στο σήμα των δυο αδύναμων συνιστωσών ΧΥ, ΥΖ 2. Τα μεγάλη συμφωνία του σήματος των 4 δυνατών και της συνιστώσας ΥΖ, παρόλο την εμφάνιση κάποιου σφάλματος κλίμακας 3. Την φθίνουσα τάση που παρουσιάζει το σήμα της συνιστώσας ΧΥ 4. Η μεγαλύτερη ταύτιση με τις μικρότερες διαφορές εμφανίζεται στις συνιστώσες ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ. Μάλιστα, την μικρότερη διαφορά εμφανίζει η συνιστώσα ΥΥ, γεγονός αναμενόμενο, καθώς η μέτρηση της δεν επηρεάζεται από την φυγόκεντρη επιτάχυνση γύρω από τον άξονα Υ (pitch) της τροχιάς (Visser, 2010) Τέλος, παρουσιάζονται τα φασματικά χαρακτηριστικά της κάθε συνιστώσας για τις πραγματικές και τις συνθετικές βαθμίδες, καθώς και οι μεταξύ τους διαφορές. Η παρουσίαση γίνεται με την βοήθεια του περιοδογράμματος ή της συνάρτησης πυκνότητας φάσματος (PSD) της κάθε συνιστώσας. Σχήμα 37 : Αριστερά : Συνάρτηση πυκνότητας φάσματος των βαθμίδων του GOCE, Δεξιά : Συνάρτηση πυκνότητας φάσματος των υπολογισμένων βαθμίδων από το μοντέλο ΤΙΜR5

76 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Το περιοδόγραμμα είναι η εκτίμηση της συνάρτησης πυκνότητας φάσματος ενός σήματος (PSD - Power Spectral Density) και είναι ένας τρόπος εμφάνισης της ισχύος ανά κάθε συχνότητα που περιέχεται σε ένα σήμα. Ας υποτεθεί ότι έχουμε ένα σήμα, στο οποίο έχουμε δειγματοληψία xn τιμών σε Ν διαφορετικές εποχές, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους κατά ένα χρονικό διάστημα Δt. Το περιοδόγραμμα είναι η εκτίμηση του φάσματος του παραπάνω σήματος και προκύπτει με χρήση του διακριτού μετασχηματισμού Fourier, δηλαδή N 1 S(f) = Δt N x ne i2πnf n=0 2, 1 2Δt < f 1 2Δt (4.5) Παρά την απλότητα του περιοδογράμματος, η μέθοδος είναι ανεπαρκής. Είναι ένας εκτιμητής ασυνεπής επειδή δεν συγκλίνει προς την πραγματική φασματική πυκνότητα καθώς το Ν τείνει στο άπειρο. Επίσης, παρουσιάζει πολύ υψηλή φασματική διαρροή. Για να λυθούν τα προβλήματα αυτά, έχουν προταθεί διάφορες μέθοδοι, όπως οι Barnett, Welch, Multitaper, άνάλυση με ελάχιστα τετράγωνα κ.α. Εδώ, για την δημιουργία των περιοδογραμμάτων χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος Welch (συνάρτηση pwelch.m του λογισμικού Matlab), η οποία μειώνει την φασματική διαρροή με κάποια συνάρτηση παράθυρο και είναι μια από της ευρύτερα διαδεδομένες μεθόδους στην φασματική ανάλυση σημάτων. Οι συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος που υπολογίζονται και εμφανίζονται στο σχήμα 38 έχουν την αναμενόμενη μορφή, με τις μεγαλύτερες διαφορές να εμφανίζονται στις 2 αδύναμες συνιστώσες. Η μορφή των διαφορών τις κάθε συνιστώσας, εμφανίζει πολύ μεγάλη συμφωνία με τις συναρτήσεις απόκρισης συχνότητας των σφαλμάτων των μετρήσεων τις κάθε συνιστώσας που παρουσιάστηκαν στο σχήμα 10.

77 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 38 : Συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος βαθμίδων GOCE και διαφορών βαθμίδων GOCE με υπολογισμένων από το μοντέλο ΤΙΜR5 για την κάθε συνιστώσα

78 Επεξεργασία προϊόντων GOCE 4.4. Μεθοδολογία επεξεργασίας - Φιλτράρισμα 4.4.1. Μεθοδολογία Για να αξιοποιηθούν στις διάφορες εφαρμογές οι βαθμίδες βαρύτητας της δορυφορικής α- ποστολής GOCE, είναι απαραίτητο να εκφραστούν σε κάποιο κατάλληλο σύστημα αναφοράς, όπως είναι το EFRF ή συνηθέστερα στο LNOF. Οι βαθμίδες που λαμβάνει ο χρήστης από τις προϊόντα EGG_NOM_2 αναφέρονται στο GRF, επομένως πρέπει να μετασχηματιστούν, σύμφωνα με την διαδικασία του κεφ. 3.6. Παρόλα αυτά, ο απευθείας μετασχηματισμός των βαθμίδων παρουσιάζει σοβαρά και σημαντικά προβλήματα, για δυο λόγους. Ο πρώτος είναι το γεγονός ότι οι δυο συνιστώσες (XY, YZ) είναι προσδιορισμένες με μικρότερη ακρίβεια από τις άλλες 4 (ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ, ΧΖ). Ο απευθείας μετασχηματισμός, ο οποίος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των 6 συνιστωσών, έχει ως αποτέλεσμα την εισχώρηση των σφαλμάτων των αδύναμων συνιστωσών στις υπόλοιπες και συνεπώς την υποβάθμιση της ακρίβειας τους (Muller, 2003). Ο δεύτερος λόγος, έχει να κάνει με το γεγονός ότι η ακρίβεια των βαθμίδων εξαρτάται και από την συχνότητα, καθώς την υψηλή τους ακρίβεια την διατηρούν μόνο μέσα στο εύρος μέτρησης του βαθμιδομέτρου (ΜΒW), μεταξύ 0.5mHz και 0.1Ηz, ενώ ο θόρυβος αυξάνεται για τις χαμηλότερες συχνότητες. Έτσι, υλοποιώντας έναν απευθείας μετασχηματισμό εισέρχονται μέσα στο MBW σφάλματα από τις χαμηλές συχνότητες, επιφέροντας περαιτέρω υποβάθμιση των μετασχηματισμένων βαθμίδων (Bouman, 2007). Για την επίλυση των δυο αυτών προβλημάτων, προτείνεται η παρακάτω μεθοδολογία (Fuchs & Bouman, 2011), έχοντας ως αρχικά δεδομένα τις χρονοσειρές των βαθμίδων (κεφ. 4.1) Αρχικά, οι δυο αδύναμες χαμηλής ακρίβειας συνιστώσες ΧΥ, ΥΖ, προκειμένου να μην μολύνουν τις υπόλοιπες 4 συνιστώσες, αντικαθίστανται πλήρως από αντίστοιχες συνθετικές καλύτερης ακρίβειας, δηλαδή υπολογισμένες από κάποιο παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο που έχει προκύψει μόνο από παρατηρήσεις του GOCE. Η διαδικασία αυτή είναι αρκετά χρονοβόρα, καθώς πρέπει να υπολογιστούν οι συνιστώσες των βαθμίδων για όλα τα σημεία της χρονοσειράς (περίπου 60000000 σημεία), ενώ στη συνέχεια, επειδή από τα λογισμικά οι βαθμίδες προκύπτουν στο LNOF, να μετασχηματιστούν στο GRF. Το γεωδυναμικό μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε εδώ είναι το TIMR5, μέγιστου βαθμού και τάξης 280, ενώ ο υπολογισμός έγινε μέχρι τον βαθμό και τάξη 270. Στη συνέχεια, όλες οι συνιστώσες των βαθμίδων πρέπει να απαλλαχθούν από τα σφάλματα και τον θόρυβο των χαμηλών συχνοτήτων. Αυτό γίνεται με αντικατάσταση των χαμηλών συχνοτήτων με αντίστοιχες συνθετικές, που προκύπτουν από κάποιο παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο, του οποίου όμως οι χαμηλές συχνότητες

79 Επεξεργασία προϊόντων GOCE είναι καλύτερης ακρίβειας και απαλλαγμένες από θόρυβο. Τέτοια είναι για παράδειγμα τα μοντέλα συνδυασμού παρατηρήσεων του GOCE με παρατηρήσεις της αποστολής GRACE, όπου οι χαμηλές συχνότητες (περίπου μέχρι βαθμό και τάξη180) προέρχονται από παρατηρήσεις GRACE, που είναι σημαντικά καλύτερης ακρίβειας στο συγκεκριμένο εύρος συχνοτήτων λόγω της μεγαλύτερης απόστασης της τροχιάς της από την Γη. Το γεωδυναμικό μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε εδώ είναι το GOGRA04S, μέγιστου βαθμού και τάξης 230. Η διαδικασία αυτή είναι ακόμα πιο χρονοβόρα από την προηγούμενη, καθώς πρέπει να υπολογιστούν και οι 6 συνιστώσες των βαθμίδων για όλα τα σημεία της χρονοσειράς και να μετασχηματιστούν επίσης από το LNOF στο GRF. Η αποκοπή των χαμηλών μόνο συχνοτήτων, συγκεκριμένα κάτω από 5mHz, γίνεται φιλτράροντας την χρονοσειρά με ένα χαμηλοπερατό φίλτρο(lowpass). Τέλος, απομένει η αποκοπή από τις πρωτογενείς βαθμίδες του GOCE μόνο των συχνοτήτων υψηλής ακρίβειας που βρίσκονται μέσα στο MBW (0.5mHz- 0.1Ηz). H επιλογή των επιθυμητών συχνοτήτων γίνεται φιλτράροντας την χρονοσειρά με ένα ζωνοπερατό φίλτρο (bandpass), με συχνότητες αποκοπής τα 5mHz και τα 0.05Ηz. Ό- πως είναι αντιληπτό, το άνω άκρο του φίλτρου (0.05 Hz) δεν συμπίπτει με το άνω άκρο του MBW (0.1Ηz). Ο λόγος της επιλογής της συχνότητας αποκοπής αυτής είναι το γεγονός ότι στις παρατηρήσεις του GOCE, μετά τα 0.05 Hz, ο λόγος του σήματος προς τον θόρυβο (SNR, Signal to Noise Ratio) είναι μικρότερος από την μονάδα (SNR<1) και έτσι η χρησιμοποίηση των περαιτέρω συχνοτήτων δεν προσφέρει τίποτε ουσιαστικό (Bouman et al, 2012). Η συχνότητα αυτή ισούται με τον σφαιρικό βαθμό ανάπτυξης περίπου 270, οποίος υπολογίζεται ως το γινόμενο της συχνότητας αποκοπής με τον κατά προσέγγιση χρόνο (σε δευτερόλεπτα) μιας τροχιακής περιστροφής, δηλαδή f 5400 (η ακριβής τιμή είναι 5383.18 ± 0.30 sec). Η αντίστοιχη χωρική ανάλυση υπολογίζεται ως 20000 km / L (L ο σφαιρικός αρμονικός βαθμός) και είναι περίπου 75 km. Σύμφωνα με την παραπάνω διαδικασία, μπορούν να σχηματιστούν οι πίνακες V ij = ( και GOCE V XX GOTIMR5 V YZ GOCE V ZX GOTIMR5 V XY GOCE V YY GOTIMR5 V ZY GOCE V XZ GOTIMR5 V YZ GOCE V ZZ ) (4.6) U XX U ij = ( GOGRA04S GOGRA04S U YZ GOGRA04S U ZX GOGRA04S U XY GOGRA04S U YY GOGRA04S U ZY GOGRA04S U XZ GOGRA04S U YZ GOGRA04S U ZZ ) (4.7) όπου i,j οι συντεταγμένες (x, y, z) στο LNOF, V ij οι φιλτραρισμένες με το ζωνοπερατό φίλτρο βαθμίδες, V i,j GOCE οι πρωτογενείς βαθμίδες του GOCE, φιλτραρισμένες με το ζωνοπερατό φίλτρο και V ij GOTIMR5 οι βαθμίδες από το μοντέλο GO_TIM_R5, φιλτραρισμένες με το ζωνοπερατό

80 Επεξεργασία προϊόντων GOCE GOGRA04S φίλτρο, U ij οι φιλτραρισμένες με το χαμηλοπερατό φίλτρο βαθμίδες και U XX οι βαθμίδες από το μοντέλο GOGRA04S, φιλτραρισμένες με το χαμηλοπερατό φίλτρο Ενώ ο τελικός τανυστής των βαθμίδων, φιλτραρισμένων και απαλλαγμένων από σφάλματα αδύναμων συνιστωσών και χαμηλών συχνοτήτων, προκύπτει από το άθροισμα των δυο παραπάνω πινάκων V ij = V ij + U ij (4.8) 4 συνιστώσες (ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ, ΧΖ) GOCE 2 συνιστώσες (ΧΥ, ΥΖ) από μοντέλο (GO_TIM_R5) 6 συνιστώσες (ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ, ΧΥ, ΧΖ, ΥΖ) από μοντέλο (GOGRA04S) Ζωνοπερατό φίλτρο 5 mhz 0.05 Hz Χαμηλοπερατό φίλτρο 5 mhz Χρονοσειρές με τις 6 (ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ, ΧΥ, ΧΖ, ΥΖ) φιλτραρισμένες συνιστώσες Σχήμα 39 : Διάγραμμα μεθοδολογίας φιλτραρίσματος Στο σχήμα 39 παρουσιάζεται συνοπτικά η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε, σε μορφή διαγράμματος. Τέλος, τα σχήματα 40 και 41 περιέχουν τις συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος για όλα τα στάδια του φιλτραρίσματος, για τις συνιστώσες ΧΧ και ΧΥ. Οι συνιστώσες ΥΥ, ΖΖ και ΧΖ έχουν παρόμοια χαρακτηριστικά με την συνιστώσα ΧΧ, για αυτό και δεν εμφανίζονται σε αντίστοιχα σχήματα. Η συνιστώσα ΥΖ αντίστοιχα ακολουθεί την μορφή της συνιστώσας ΧΥ.

81 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 41 : Συνάρτηση πυκνότητας φάσματος της συνιστώσας ΧΧ για : τις παρατηρούμενες βαθμίδες GOCE, του μοντέλου GOGRA04S, των φιλτραρισμένων βαθμίδων GOCE, των φιλτραρισμένων βαθμίδων του μοντέλου GOGRA04S και των τελικών φιλτραρισμένων βαθμίδων Σχήμα 40 : : Συνάρτηση πυκνότητας φάσματος της συνιστώσας XY για : τις παρατηρούμενες βαθμίδες GOCE, του μοντέλου GOGRA04S, των φιλτραρισμένων βαθμίδων GOCE, των β φιλτραρισμένων βαθμίδων του μοντέλου GOGRA04S και των τελικών φιλτραρισμένων βαθμίδων

82 Επεξεργασία προϊόντων GOCE 4.4.2. Φίλτρα Η επιλογή του βέλτιστου τύπου φίλτρου για τα δεδομένα του δορυφόρου GOCE είναι ένα θέμα που έχει αναπτυχθεί αρκετά στην βιβλιογραφία (πχ Schuh, 2010, Polgar et al, 2012, Brieden & Muller, 2011, Visser, 2010, Bouman et al, 2012, Yu & Wan, 2011), όπου προτείνονται διάφοροι τύποι φίλτρων, όπως FIR (Finitive Impulse Response πεπερασμένης απόκρισης σε ώθηση) και IIR (Infinitive Impulse Response άπειρης απόκρισης σε ώθηση) με πολύ καλά αποτελέσματα. Στην εργασία αυτή χρησιμοποιήθηκε το φίλτρο τύπου IIR-Butterworth που προτείνεται από τους Bouman et al (2012) και παρουσιάζεται στη συνέχεια. Το φίλτρο Butterworth είναι ένα από τα ευρέως χρησιμοποιούμενα IIR φίλτρα, μαζί με τα φίλτρα Chebyshev και τα ελλειπτικά. Γενικά ο σχεδιασμός των IIR φίλτρων γίνεται με κάποιες γνωστές συναρτήσεις απόκρισης συχνότητας. Στην περίπτωση του φίλτρου Butterworth, το μέτρο της απόκρισης της συχνότητας Η(ω) δίνεται από τη σχέση (Παπανικολάου, 2010) 1 H(ω) 2 = 1 + ( ω ω ) 2Ν c (4.9) όπου ωc η συχνότητα αποκοπής και Ν μια μεταβλητή που χαρακτηρίζει το μήκος του φίλτρου. α/α Μέθοδος σχεδίασης Διέλευση Συχνότητες περικοπής (Hz) 1 Bandpass 0.001 0.05 IIR - Butterwoth 2 Lowpass 0.001 Πίνακας 12 : Στοιχεία Φίλτρου Αριθμός συντελεστών Συχνότητα δεδομένων GOCE (Hz) 4 1 Πρακτικά, στην παρούσα εργασία, ο σχεδιασμός και η υλοποίηση του φίλτρου έγινε με την συνάρτηση butter.m του λογισμικού Matlab, σε συνδυασμό με την συνάρτηση filtfilt.m. Η συνάρτηση butter.m σχεδιάζει το φίλτρο, έχοντας ως στοιχεία εισόδου τον αριθμό των συντελεστών του φίλτρου (επιλογή του χρήστη), τον τύπο διέλευσης (πχ lowpass, highpass) και τις αντίστοιχες συχνότητες αποκοπής (Πίνακας 12). Ας σημειωθεί ότι στα φίλτρα IIR ο αριθμός των συντελεστών είναι μικρός (πχ 7), σε αντίθεση με τα φίλτρα FIR που ο αριθμός των συντελεστών είναι πολύ μεγαλύτερος (πχ 1000). Η συνάρτηση filtfilt.m υλοποιεί το φιλτράρισμα των δεδομένων, έχοντας ως στοιχεία εισόδου τις παραμέτρους του φίλτρου που έχουν υπολογιστεί από την συνάρτηση butter.m και τα δεδομένα που πρέπει να φιλτραριστούν. Είναι έτσι σχεδιασμένη ώστε να μειώνει σημαντικά ή και να απαλείφει το φαινόμενο

83 Επεξεργασία προϊόντων GOCE της παραμόρφωσης της φάσης του σήματος 1, από το οποίο υποφέρουν σε μεγάλο βαθμό τα φίλτρα IIR. Σχήμα 42 : Συνάρτηση απόκρισης παλμού φίλτρου 4.5. Σύγκριση με γεωδυναμικά μοντέλα Η αξιολόγηση των φιλτραρισμένων βαθμίδων (72259 τιμές για την κάθε συνιστώσα) γίνεται με την σύγκριση τους με τις αντίστοιχες συνθετικές, υπολογισμένες από κάποια γεωδυναμικά μοντέλα, σε κάθε σημείο της χρονοσειράς. Τα γεωδυναμικά μοντέλα που επιλέχθηκαν για την σύγκριση είναι το EGM2008 (μεγ. βαθμού και τάξης 2190), το EIGEN-6C4 (μεγ. βαθμού και τάξης 2190) και το TIM R5 (μεγ. βαθμού και τάξης 280). Ο υπολογισμός των συνθετικών βαθμίδων έγινε μέχρι τον βαθμό 270. Τέλος, η σύγκριση λαμβάνει χώρα τόσο στο GRF όσο και στο LNOF, για να μελετηθεί η ακρίβεια και η ποιότητα των μετασχηματισμών, ενώ παρουσιάζονται και τα στατιστικά των βαθμίδων στα δυο συστήματα αναφοράς. Στατιστικά Φιλτραρισμένες βαθμίδες στο GRF (Eotvos) ΧΧ ΥΥ ΖΖ ΧΥ ΧΖ ΥΖ min -1390.0146-1386.8477 2725.8887-1.2192-34.8829-25.8290 max -1363.8670-1361.9227 2776.7520 0.9911 15.0027 55.0833 mean -1374.9083-1372.4392 2747.3476-0.0869-3.5478 8.0081 std 7.4683 7.4342 14.8970 0.5763 12.9049 11.5468 rms 1374.9286 1372.4594 2747.3880 0.5828 13.3837 14.0519 Πίνακας 13 : Φιλτραρισμένες βαθμίδες στο GRF 1 Η παραμόρφωση της φάσης (phase distortion) συμβαίνει όταν συνάρτηση της φάσης του φίλτρου δεν μεταβάλλεται γραμμικά σε σχέση με τη συχνότητά του (μη γραμμική φάση) και έχει ως συνέπεια την μεταβολή της φάσης του σήματος (phase shift). Στην πλειονότητά τους τα φίλτρα IIR έχουν μη γραμμική φάση.

84 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σύγκριση στο GRF Οι παρακάτω πίνακες περιέχουν τα στατιστικά στοιχεία των διαφορών των φιλτραρισμένων βαθμίδων με τις συνθετικές από το κάθε μοντέλο, στο GRF. Όπως είναι εμφανές, έχουν δυο στήλες για την καθεμία από τις αδύναμες συνιστώσες ΧΥ και ΥΖ. Η δεύτερη στήλη περιέχει τις βαθμίδες που υπολογίστηκαν σύμφωνα με την διαδικασία που παρουσιάζεται στην ενότητα 4.3.1. Η πρώτη στήλη περιέχει βαθμίδες που υπολογίστηκαν με παρόμοια διαδικασία, με την διαφορά ότι, μέσα στα όρια του bandpass φίλτρου, χρησιμοποιήθηκαν οι πρωτογενείς βαθμίδες του GOCE και δεν αντικαταστάθηκαν από συνθετικές. Έτσι, θα φανεί η χαμηλή τους ακρίβεια σε σχέση με τις υπόλοιπες συνιστώσες. dχχ dυυ dζζ Vij GOCE vs Vij EGM2008 (Eotvos) dχυ (από GOCE) dχυ (από model) dχζ dυζ (από GOCE) dyz (από model) min -0.0536-0.0497-0.0322-0.5115-0.0049-0.0280-0.7591-0.0086 max 0.0159 0.0403 0.0520 0.5110 0.0043 0.0358 0.7544 0.0100 mean -0.0002 0.0001 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 std 0.0032 0.0033 0.0048 0.1161 0.0009 0.0046 0.1653 0.0020 rms 0.0032 0.0033 0.0048 0.1161 0.0009 0.0046 0.1653 0.0020 Πίνακας 14 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EGM2008 Στατιστικά Στατιστικά dχχ dυυ dζζ Vij GOCE vs Vij EIGEN-6C4 (Eotvos) dχυ dχυ (από (από dχζ GOCE) model) dυζ (από GOCE) dyz (από model) min -0.0543-0.0482-0.0265-0.5106-0.0010-0.0289-0.7593-0.0021 max 0.0149 0.0441 0.0546 0.5118 0.0010 0.0376 0.7524 0.0022 mean -0.0003-0.0001 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 std 0.0029 0.0028 0.0041 0.1161 0.0001 0.0043 0.1653 0.0004 rms 0.0030 0.0028 0.0041 0.1161 0.0001 0.0043 0.1653 0.0004 Πίνακας 16 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN-6C4 Στατιστικά dχχ dυυ dζζ Vij GOCE vs Vij TIMR5 (Eotvos) dχυ dχυ (από (από GOCE) model) dχζ dυζ (από GOCE) dyz (από model) min -0.0543-0.0487-0.0273-0.5106-0.0008-0.0290-0.7594-0.0016 max 0.0150 0.0441 0.0546 0.5118 0.0007 0.0374 0.7515 0.0018 mean -0.0003 0.0000 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 std 0.0030 0.0028 0.0041 0.1161 0.0001 0.0043 0.1653 0.0003 rms 0.0030 0.0028 0.0041 0.1161 0.0001 0.0043 0.1653 0.0003 Πίνακας 15 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο TIMR5

85 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Από τους πίνακες των στατιστικών των διαφορών, μπορούν να εξαχθούν τα ακόλουθα συμπεράσματα : 1. Η διαφορά στην ταύτιση των αδύναμων πρωτογενών συνιστωσών, σε σχέση με τις υπόλοιπες. Οι διαφορές στις αδύναμες συνιστώσες είναι της τάξεως των εκατοντάδων meotvos ενώ των υπολοίπων της τάξεως των δεκάδων meotvos. 2. Η μεγαλύτερη ταύτιση επιτυγχάνεται στις αδύναμες συνιστώσες που αντικαταστάθηκαν από το γεωδυναμικό μοντέλο, όπως και ήταν αναμενόμενο 3. Οι διαφορές είναι παρόμοιες σε όλα τα μοντέλα Σύγκριση στο LNOF Για κάθε σύγκριση με τα μοντέλα στο LNOF, παρουσιάζονται δυο πίνακες. Ο πρώτος πίνακας (1) εμφανίζει τα στατιστικά των διαφορών των φιλτραρισμένων βαθμίδων με τις συνθετικές, κρατώντας τις πρωτογενείς αδύναμες συνιστώσες ΧΥ και ΥΖ στο εύρος μέτρησης των βαθμιδομέτρου και μη αντικαθιστώντας τες με τις αντίστοιχες συνθετικές. Ο δεύτερος πίνακας (2), περιέχει τα στατιστικά των διαφορών των βαθμίδων που υπολογίστηκαν σύμφωνα με την διαδικασία της ενότητας 4.3.1, με αντικατάσταση των αδύναμων συνιστωσών με τις αντίστοιχες από το μοντέλο. Έτσι, μπορεί να μελετηθεί και η επίδραση που έχουν οι αδύναμες συνιστώσες στους μετασχηματισμούς. Παρακάτω, ακολουθούν οι πίνακες των στατιστικών διαφορών των φιλτραρισμένων βαθμίδων με τις αντίστοιχες συνθετικές των μοντέλων στο LNOF. GOCE vs EGM2008 Στατιστικά Vij GOCE vs Vij EGM2008 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.2052-0.2175-0.0312-0.4636-0.1652-0.7452 max 0.2142 0.2127 0.0521 0.4723 0.1452 0.7362 mean -0.0001-0.0001 0.0002 0.0000-0.0001 0.0004 std 0.0451 0.0451 0.0050 0.1070 0.0328 0.1621 rms 0.0451 0.0451 0.0050 0.1070 0.0328 0.1621 Πίνακας 17 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EGM2008 (1) Στατιστικά Vij GOCE vs Vij EGM2008 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0517-0.0484-0.0322-0.0120-0.0280-0.0106 max 0.0154 0.0369 0.0520 0.0101 0.0351 0.0107 mean -0.0002 0.0000 0.0002 0.0000-0.0001 0.0000 std 0.0031 0.0033 0.0048 0.0012 0.0045 0.0022 rms 0.0031 0.0033 0.0048 0.0012 0.0045 0.0022 Πίνακας 18 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EGM2008 (2)

86 Επεξεργασία προϊόντων GOCE GOCE vs EIGEN6C4 Στατιστικά Vij GOCE vs Vij EIGEN-6C4 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.2067-0.2179-0.0255-0.4642-0.1645-0.7454 max 0.2146 0.2091 0.0547 0.4720 0.1450 0.7344 mean -0.0001-0.0002 0.0003 0.0000-0.0001 0.0004 std 0.0451 0.0451 0.0043 0.1070 0.0328 0.1620 rms 0.0451 0.0451 0.0043 0.1070 0.0328 0.1620 Πίνακας 19 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN-6C4 (1) Στατιστικά Vij GOCE vs Vij EIGEN-6C4 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0522-0.0465-0.0265-0.0102-0.0284-0.0074 max 0.0143 0.0416 0.0545 0.0105 0.0369 0.0057 mean -0.0002-0.0001 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 std 0.0028 0.0027 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 rms 0.0028 0.0027 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 Πίνακας 20 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN-6C4 (2) GOCE vs TIMR5 Στατιστικά Vij GOCE vs Vij TIM R5 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.2065-0.2178-0.0263-0.4643-0.1647-0.7455 max 0.2146 0.2089 0.0547 0.4720 0.1451 0.7333 mean -0.0001-0.0002 0.0003 0.0000-0.0001 0.0004 std 0.0451 0.0451 0.0043 0.1070 0.0328 0.1620 rms 0.0451 0.0451 0.0043 0.1070 0.0328 0.1620 Πίνακας 21 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο TIM R5 (1) Στατιστικά Vij GOCE vs Vij TIM R5 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0521-0.0470-0.0273-0.0103-0.0284-0.0071 max 0.0144 0.0417 0.0545 0.0105 0.0367 0.0059 mean -0.0002 0.0000 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 std 0.0028 0.0027 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 rms 0.0029 0.0027 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 Πίνακας 22 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο TIM R5 (2)

87 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Από την μελέτη των παραπάνω πινάκων, μπορούν να προκύψουν τα εξής: 1. Οι διαφορές είναι παρόμοιες με όλα τα μοντέλα 2. Φαίνεται η μεγάλη επίδραση που έχουν αδύναμες συνιστώσες στις υπόλοιπες, οι ο- ποίες «μολύνονται» κατά τους μετασχηματισμούς. Ιδιαίτερα φαίνεται να επηρεάζονται οι συνιστώσες ΧΧ, ΥΥ και ΧΖ. Αντίθετα, η συνιστώσα ΖΖ διαφέρει ελάχιστα και δεν φαίνεται να μειώνεται η ακρίβεια της. 3. Χρησιμοποιώντας τις υπολογισμένες αδύναμες συνιστώσες, σύμφωνα με την μεθοδολογία που προτείνεται, η ταύτιση με τα μοντέλα παραμένει στην τάξη των δεκάδων meotvos, όπως και στο GRF. 4.6. Παραγωγή χαρτών Όπως έχει τονιστεί μέχρι τώρα, οι βαθμίδες έχουν την μορφή μιας χρονοσειράς για την κάθε συνιστώσα, με το χρόνο μέτρησής της να συνοδεύεται από την ακριβή θέση του δορυφόρου για την αντίστοιχο χρόνο. Εάν επιχειρήσουμε να οπτικοποιήσουμε σε έναν χάρτη τις βαθμίδες αυτές, θα λάβουμε τα παρακάτω σχήματα : Σχήμα 43 : Αριστερά : Συνιστώσα Vxx, Δεξιά : Συνιστώσα Vyy (μονάδα Eotvos)

88 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 45 : Αριστερά : Συνιστώσα Vzz, Δεξιά : Συνιστώσα Vxy (μονάδα Eotvos) Σχήμα 44 : Αριστερά : Συνιστώσα Vxz, Δεξιά : Συνιστώσα Vyz (μονάδα Eotvos) Παρατηρείται ότι οι συνιστώσες ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ απεικονίζονται ως πολύ θορυβώδη πεδία και δεν διακρίνεται κανένα μοτίβο. Αντίθετα, στις συνιστώσες ΧΥ, ΧΖ, ΥΖ διακρίνεται το μοτίβο του πεδίου της κάθε συνιστώσας με κάποιες μικρές διαταράξεις. Ο λόγος που τα πεδία, κυρίως των συνιστωσών ΧΧ, ΥΥ, ΖΖ έχουν αυτήν την ανομοιογενή μορφή, είναι το γεγονός ότι η κάθε μέτρηση, ακόμα και όταν αναφέρεται στο ίδιο γεωδαιτικό πλάτος και μήκος με κάποια άλλη, έχει διαφορετική τιμή καθώς αναφέρεται και σε διαφορετικό υψόμετρο. Όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά υψομέτρων τόσο μεγαλύτερη είναι και η διαφορά στην τιμή της μέτρησης. Επίσης, αυτό που εντείνει το πρόβλημα στις 3 πρώτες συνιστώσες είναι η μεγάλη τάξη μεγέθους των βαθμίδων ( 1350 Εotvos για τις ΧΧ, ΥΥ και 2700 για την ΖΖ, ενώ για την ΧΖ είναι 8 Εotvos και μικρότερη του 1 Εotvos για τις ΧΥ, ΥΖ). Έτσι, κατά την δημιουργία ενός χάρτη, οι μετρήσεις υπερκαλύπτουν η μια την άλλη και προκύπτει αυτό το ανομοιόμορφο αποτέλεσμα.

89 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Για να λυθούν αυτά τα προβλήματα και για να παραχθούν οι αντίστοιχοι χάρτες, πρέπει όλα τα δεδομένα να αναφέρονται σε ένα συγκεκριμένο υψόμετρο. Το υψόμετρο αυτό συνήθως είναι το μέσο υψόμετρο της τροχιάς και στην παρούσα περίπτωση έχει οριστεί στα 250 km. Για να γίνει η αναφορά αυτή υπάρχουν διάφοροι τρόποι, όπως οι μέθοδοι παρεμβολής (ως προς το υψόμετρο), υπολογισμός ενός μέσου όρου ανά τμήματος στον χάρτη με βήμα κάποιου γεωδαιτικού πλάτους/μήκους κ.α. Μια διαφορετική μεθοδολογία μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τις συνθετικές βαθμίδες από κάποιο παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο του GOCE για όλα τα σημεία της τροχιάς και για τα αντίστοιχα σημεία στο επιθυμητό ύψος (εδώ 250km) και υπολογίζοντας την διαφορά τους από τις πρωτογενείς παρατηρήσεις. Έ- τσι, προκύπτουν οι βαθμίδες, αναφερόμενες στο αντίστοιχο υψόμετρο και για την κάθε συνιστώσα σύμφωνα με την παρακάτω σχέση V ij (250) = V ij GOCE + (V ij model(250) V ij model ) (4.10) Οι βαθμίδες αυτές, αναφερόμενες πλέον στο υψόμετρο των 250 km, εξακολουθούν να έχουν την μορφή χρονοσειρών. Εδώ, όπως και στην προηγούμενη ενότητα, μπορεί να γίνει σύγκριση τους με τις αντίστοιχες, υπολογισμένες από παγκόσμια γεωδυναμικά μοντέλα. Από τους παρακάτω πίνακες, που περιέχουν τις διαφορές των συνιστωσών των βαθμίδων και τα στατιστικά τους στοιχεία, φαίνεται ότι διατηρούν τα στατιστικά τους χαρακτηριστικά με τις αρχικές χροσονειρές (βλ κεφ 4.4) ενώ έχουν και παρόμοια ταύτιση με τα γεωδυναμικά μοντέλα. Στατιστικά Vij GOCE vs Vij TIMR5 dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0447-0.0294-0.0218-0.0103-0.0284-0.0046 max 0.0144 0.0417 0.0500 0.0093 0.0254 0.0059 mean 0.0004 0.0001-0.0005 0.0000 0.0001 0.0000 std 0.0028 0.0026 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 rms 0.0028 0.0026 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 Πίνακας 23 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο TIMR5 Στατιστικά Vij GOCE vs Vij EGM2008 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0460-0.0312-0.0223-0.0116-0.0279-0.0085 max 0.0151 0.0379 0.0487 0.0082 0.0252 0.0079 mean 0.0004-0.0001-0.0003 0.0000 0.0001-0.0001 std 0.0030 0.0032 0.0047 0.0012 0.0045 0.0023 rms 0.0030 0.0032 0.0048 0.0012 0.0045 0.0023 Πίνακας 24 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EGM2008

90 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Στατιστικά Vij GOCE vs Vij EIGEN-6C4 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0446-0.0300-0.0213-0.0103-0.0285-0.0046 max 0.0143 0.0416 0.0499 0.0093 0.0252 0.0057 mean 0.0004 0.0000-0.0004 0.0000 0.0001 0.0000 std 0.0028 0.0026 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 rms 0.0028 0.0026 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 Πίνακας 25 : Στατιστικά διαφορών με βαθμίδες υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN-6C4 Στη συνέχεια, από τις υπολογισμένες βαθμίδες δημιουργούνται οι χάρτες με τα ρεαλιστικά πια πεδία των συνιστωσών των βαθμίδων, όπως παρουσιάζονται παρακάτω. Οι χάρτες έγιναν με τη χρήση της βιβλιοθήκης Μ_Map στο λογισμικό Matlab. Επίσης, σχεδιάζονται και οι αντίστοιχες διαφορές με το γεωδυναμικό μοντέλο EIGEN-6C4.

91 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 46 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vxx, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)

92 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 47 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vyy, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)

93 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 48 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vzz, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)

94 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 49 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vxy, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)

95 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 50 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vxz, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)

96 Επεξεργασία προϊόντων GOCE Σχήμα 51 : Πάνω : Πεδίο συνιστώσας Vyz, Κάτω : Διαφορές με μοντέλο TIMR5 (μονάδα Eotvos)

97 Προβολή σε μια μέση σφαίρα Κεφάλαιο 5 Προβολή σε μια μέση σφαίρα 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό δοκιμάζονται τα μέχρι τώρα επεξεργασμένα δεδομένα στην εφαρμογή της προβολής σε μια μέση σφαίρα. Η εφαρμογή αυτή είναι πολύ σημαντική, καθώς είναι το πρώτο στάδιο για την προς τα άνω ή προς τα κάτω επέκταση των βαθμίδων, με την βοήθεια των οποίων μπορούμε να «μεταφέρουμε» τις βαθμίδες σε διαφορετικό υψόμετρο, για παράδειγμα στην επιφάνεια της Γης ή σε ένα επιλεγμένο υψόμετρο από την επιφάνεια και να μελετήσουμε το εκεί βαρυτικό σήμα και τα χαρακτηριστικά του. Επίσης, μετά την προβολή σε μια μέση σφαίρα είμαστε σε θέση να δημιουργήσουμε καννάβους βαθμίδων στο ύψος της ακτίνας της σφαίρας. Αρχικά γίνεται παρουσίαση της μεθόδου και των αποτελεσμάτων της και η σύγκριση τους με συνθετικά μεγέθη υπολογισμένα από γεωδυναμικά μοντέλα. Έπειτα, περιγράφεται η μέθοδος κανναβοποίησης και οι χάρτες που προέκυψαν από τους καννάβους που υπολογίστηκαν. 5.2. Προβολή σε μέση σφαίρα Η προβολή των βαθμίδων βαρύτητας κατά μήκος μιας τροχιάς, όπως του GOCE, σε μια μέση σφαίρα σημαίνει μια αλλαγή κατά μήκος της ακτινικής διεύθυνσης r. Έτσι, υλοποιείται με την ανάπτυξη τους κατά σειρά Taylor ως προς την ακτινική διεύθυνση (Toth & Földvary, 2005) V ij σφαίρα (φ, λ, r σφαίρα ) = V obs ij (φ, λ, r) + V ij obs (φ, λ, r) dr + 1 2 V obs ij (φ, λ, r) r 2 r 2 dr 2 + (5.1)

98 Προβολή σε μια μέση σφαίρα Όπου i,j=x, y, z στο EFRF, Vi,j σφαίρα οι προβαλλόμενες βαθμίδες βαρύτητας, Vi,j obs οι πρωτογενείς παρατηρήσεις των βαθμίδων και dr=r σφαίρας -r Εφόσον η τροχιά έχει μικρές αποκλίσεις από μια κυκλική (dr 15 km), οι όροι δεύτερης και παραπάνω τάξης στην εξίσωση 5.1 μπορούν να παραληφθούν (Novak et all, 2014). Έτσι, μένουν μόνο οι δυο πρώτοι όροι και η εξίσωση παίρνει την μορφή μέση V σφαίρα ij = V GOCE ij + V ij model (5.2) Δr r όπου Vi,j μέση σφαίρα οι προβαλλόμενες βαθμίδες βαρύτητας, Vi,j GOCE οι πρωτογενείς βαθμίδες του GOCE, V ij model η πρώτη παράγωγος των βαθμίδων κατά την ακτινική διεύθυνση r και r Δr=r σφαίρας -r, η ακτινική διαφορά του σημείου της τροχιάς από την μέση σφαίρα 1 2 dr Δr 3 4 5 Ακτίνα r από γεώκεντρο Δr Ακτίνα μέσης σφαίρας Σχήμα 52 : Σχήμα υπολογισμού πρώτης παραγώγου δυναμικού Ο όρος πρώτης τάξης της εξίσωσης, περιέχει την πρώτη παράγωγο των βαθμίδων κατά την ακτινική διεύθυνση, για κάθε συνιστώσα των βαθμίδων βαρύτητας,. Η παράγωγος αυτή είναι ουσιαστικά ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της κάθε συνιστώσας από το τροχιακό επίπεδο στο επίπεδο της μέσης σφαίρας. Ο υπολογισμός της πρώτης παραγώγου γίνεται με τη βοήθεια κάποιου παγκόσμιου γεωδυναμικού μοντέλου και υπάρχουν δυο κυρίως μεθοδολογίες. Η πρώτη είναι η σύνθεση της πρώτης παραγώγου κατά την ακτινική διεύθυνση μέσω

99 Προβολή σε μια μέση σφαίρα της σφαιρικής αρμονικής σύνθεσης, εφόσον όμως είναι γνωστός κάποιος αναλυτικός τύπος υπολογισμού της (Toth & Földvary, 2005). Η δεύτερη είναι ο υπολογισμός της παραγώγου με κάποια αριθμητική μέθοδο (Novak et al., 2013) και είναι αυτή που υιοθετήθηκε στην παρούσα εργασία. Πιο συγκεκριμένα, υλοποιείται με ένα stencil 5 σημείων και τις συνθετικές βαθμίδες υπολογισμένες από ένα γεωδυναμικό μοντέλο (από μετρήσεις GOCE μόνο), σύμφωνα με το σχήμα 52. Ο στόχος είναι να προβληθούν οι βαθμίδες από το επίπεδο της τροχιάς στο επίπεδο μιας μέσης σφαίρας, επομένως από το σημείο 1 στο σημείο 5. Για να γίνει αυτό υπολογίζονται οι τιμές για τις 6 συνιστώσες των βαθμίδων από το γεωδυναμικό μοντέλο στα σημεία 1, 2, 3, 4 και 5, που βρίσκονται κατά μήκος της ακτινικής διεύθυνσης και ισαπέχουν μεταξύ κατά dr. Στη συνέχεια, υπολογίζεται αριθμητικά η πρώτη παράγωγος στο σημείο 3 (πράσινο), σύμφωνα με τον τύπο του stencil 5 σημείων V ij model (3) r = V ij model (1) + 8 V ij model (2) 8 V ij model (4) + V ij model (5) 12 dr (5.3) Τέλος, οι προβεβλημένες στην μέση σφαίρα βαθμίδες, προκύπτουν για την κάθε συνιστώσα αθροίζοντας τις πρωτογενείς συνιστώσες του GOCE με το γινόμενο της πρώτης παραγώγου με τις ακτινικές διαφορές Δr, σύμφωνα με τον τύπο 5.2. Το γεωδυναμικό μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε είναι το TIM-R5, σε ανάπτυξη μέχρι τον βαθμό και τάξη 270. Η μέση σφαίρα στην οποία προβλήθηκαν οι βαθμίδες, έχει ακτίνα r μέσης σφαίρας =6619.545472 km και είναι το μέσο υψόμετρο των βαθμίδων των δεδομένων μας. Εάν υποτεθεί ότι η Γη είναι μια σφαίρα με ακτίνα r γης =6371km, η μέση σφαίρα βρίσκεται σε υ- ψόμετρο h μέσης σφαίρας =249.55 km από την επιφάνεια της. Προκειμένου οι ακτινικές διαφορές να είναι μικρότερες από τα 15km (dr 15 km) ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί οι τύπος 5.2 και να μη ληφθούν υπόψη οι όροι μεγαλύτερης τάξης, επιλέχθηκαν για προβολή μόνο οι μετρήσεις των σημείων της τροχιάς που η ακτινική διαφορά τους από την μέση σφαίρα βρισκόταν μέσα σε αυτό το εύρος. Η επιλογή αυτή είχε ως συνέπεια την μείωση του αριθμού των μετρήσεων, από τις 72259 στις 51668. Τους πίνακες 26 και 27 παρουσιάζονται τα στατιστικά των βαθμίδων πριν και μετά την προβολή. Φαίνεται ότι η προβολή επιδρά περισσότερο στις συνιστώσες ΧΧ, ΥΥ και ΖΖ, με μεγάλη μεταβολή των ακραίων τιμών τους, κατά περίπου 10 Eotvos για τις ΧΧ,ΥΥ και 20 Εotvos για την ΖΖ. Επίσης, οι τυπικές αποκλίσεις τους εμφανίζουν τεράστια μείωση, από 5 σε 0.4 Eotvos για τις συνιστώσες ΧΧ, ΥΥ και από 10 σε 0.8 Eotvos για την ΖΖ. Αντίθετα, οι υπόλοιπες συνιστώσες ΧΥ, ΧΖ και YZ δεν φαίνεται να επηρεάζονται ιδιαίτερα και διατηρούν παρόμοια στατιστικά χαρακτηριστικά, με μικρής τάξης μεταβολές (της τάξης των δεκάδων meotvos).

100 Προβολή σε μια μέση σφαίρα Στατιστικά βαθμίδες χρονοσειράς (Eotvos) ΧΧ ΥΥ ΖΖ ΧΥ ΧΖ ΥΖ min -1384.4799-1381.8801 2728.1208-0.5957 6.5181-0.5280 max -1365.1566-1362.8550 2766.3639 0.2783 8.6354 0.8354 mean -1373.5691-1370.9758 2744.5448-0.0006 7.6905 0.0576 std 5.1979 5.1778 10.3711 0.1959 0.4955 0.2916 rms 1373.5789 1370.9855 2744.5644 0.1959 7.7065 0.2972 Πίνακας 26 : Στατιστικά πρωτογενών βαθμίδων πριν την προβολή Στατιστικά προβεβλημένες βαθμίδες στη μέση σφαίρα (h 250 km) (Eotvos) ΧΧ ΥΥ ΖΖ ΧΥ ΧΖ ΥΖ min -1375.7943-1373.2035 2745.2568-0.5271 6.5561-0.4524 max -1373.7225-1371.4451 2748.9418 0.2637 8.5724 0.7501 mean -1374.8917-1372.2944 2747.1861-0.0007 7.7009 0.0581 std 0.4412 0.4430 0.8267 0.1980 0.4984 0.2956 rms 1374.8918 1372.2945 2747.1862 0.1980 7.7170 0.3013 Πίνακας 27 : : Στατιστικά βαθμίδων μετά την προβολή Στη συνέχεια, στους πίνακες 28 και 29, παρουσιάζονται οι διαφορές των προβεβλημένων βαθμίδων με τις αντίστοιχες υπολογισμένες από τα γεωδυναμικά μοντέλα ΤΙΜ-R5 και EIGEN - 6C4 και τα στατιστικά τους. Υπάρχει ταύτιση των τιμών σε μεγάλο βαθμό, με τις μέγιστες διαφορές να είναι της τάξης των μερικών δεκάδων meotvos και εμφανίζονται στις συνιστώσες XX, YY, ZZ και ΧZ. Η μεγαλύτερη τυπική απόκλιση είναι 4mEotvos και βρίσκεται στις συνιστώσες ZZ και XZ. Οι συνιστώσες ΧΥ και ΥΖ εμφανίζουν και την μεγαλύτερη ταύτιση, γεγονός αναμενόμενο αφού προέρχονται από το γεωδυναμικό μοντέλο TIM-R5. Στατιστικά Vij προβεβλημένες vs Vij TIMR5 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0447-0.0294-0.0187-0.0103-0.0284-0.0046 max 0.0144 0.0416 0.0500 0.0093 0.0218 0.0059 mean 0.0004 0.0000-0.0005 0.0000 0.0001 0.0000 std 0.0028 0.0023 0.0040 0.0008 0.0043 0.0009 rms 0.0028 0.0023 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 Πίνακας 28 : Διαφορές προβεβλημένων με συνθετικές βαθμίδες από TIMR5

101 Προβολή σε μια μέση σφαίρα Στατιστικά Vij προβεβλημένες vs Vij EIGEN-6C4 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0446-0.0301-0.0193-0.0102-0.0285-0.0046 max 0.0144 0.0416 0.0499 0.0093 0.0218 0.0057 mean 0.0004 0.0000-0.0004 0.0000 0.0001 0.0000 std 0.0028 0.0023 0.0040 0.0008 0.0043 0.0009 rms 0.0028 0.0023 0.0041 0.0008 0.0043 0.0009 Πίνακας 29 : Διαφορές προβεβλημένων με συνθετικές βαθμίδες από EIGEN-6C4 Εκτός από τις διαφορές των προβεβλημένων βαθμίδων με τις αντίστοιχες συνθετικές μοντέλων, ένας άλλος τρόπος για να ελέγξουμε την ακρίβεια της προβολής και ιδιαίτερα του υπολογισμού των πρώτων παραγώγων είναι να ερευνήσουμε τον βαθμό προσαρμογής των παραγώγων με τα δεδομένα του μοντέλου. Ο βαθμός προσαρμογής ονομάζεται ονομαστική ακρίβεια (nominal accuracy) και υποδεικνύει πόσο ρεαλιστική είναι η πρώτη παράγωγος που υπολογίστηκε. Υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις συνθετικές βαθμίδες στην αρχική τροχιά και στην μέση σφαίρα, σύμφωνα με την σχέση (Novak et al., 2013) ε nom = V model i,j μέση σφαίρα (V model i,j τροχιά + Δr dv i,j model ) dr (5.4) Ο πίνακας 28 περιέχει τα στατιστικά των ονομαστικών ακριβειών για τις 6 συνιστώσες. Φαίνεται πως όλες είναι πολύ υψηλές, στην τάξη του 0.1 meotvos. Στατιστικά ονομαστική (nominal) ακρίβεια (meotvos) ΧΧ ΥΥ ΖΖ ΧΥ ΧΖ ΥΖ min -0.093-0.095-0.171-0.059-0.096-0.152 max 0.102 0.101 0.177 0.083 0.114 0.109 mean -0.003-0.004 0.007 0.000-0.001 0.000 std 0.018 0.018 0.033 0.009 0.016 0.016 rms 0.018 0.018 0.034 0.009 0.016 0.016 Πίνακας 30 : Στατιστικά στοιχεία ονομαστικών (nominal) ακριβειών

102 Προβολή σε μια μέση σφαίρα 5.3. Κανναβοποίηση προβεβλημένων βαθμίδων Οι βαθμίδες του δυναμικού, για να χρησιμοποιηθούν για γεωφυσικές εφαρμογές και κυρίως για την προς την άνω ή προς την κάτω επέκταση τους, είναι πιο βολικό και πιο εύχρηστο να βρίσκονται στην μορφή καννάβων και όχι χρονοσειρών (Bouman, et all, 2013). Από το προηγούμενο κεφάλαιο, έχουμε μια χρονοσειρά βαθμίδων που έχουν το ίδιο υψόμετρο, τα 249.55 km από τη γήινη σφαίρα, άλλα άτακτα κατανεμημένων κατά γεωδαιτικό μήκος και πλάτος. Για την κανναβοποίηση τέτοιων δεδομένων σε κανονικό κάνναβο έχουν προταθεί διάφοροι αλγόριθμοι, όπως οι surface (Wessel and Smith, 1999), kriging (Golden Software, 2002) και gridfit (Mathworks - D Errico, 2012). Στην εργασία αυτή χρησιμοποιήθηκε η τρίτη μέθοδος και εφαρμόστηκε στο λογισμικό Matlab. Η συνάρτηση gridfit, σύμφωνα με τον δημιουργό της, δεν είναι μια συνάρτηση παρεμβολής δεδομένων, αλλά προσαρμογής σε αυτά. Η βασική της σχέση είναι μια απλή συνάρτηση από δυο μεταβλητές f = z(x, y) (5.5) που αρχικά μετασχηματίζεται σε μορφή πινάκων, σύμφωνα με την σχέση y = Ax (5.6) και στη συνέχεια επιλύεται με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Επιπλέον επιλογές και περιορισμοί του χρήστη για την λύση εισάγονται ως δεσμεύσεις με ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής Bx = 0 (5.7) Ως τελική λύση επιλέγεται αυτή που ικανοποιεί το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων, σύμφωνα με τη σχέση Ax y 2 + λ Bx = minimum (5.8) Η συνάρτηση υποστηρίζει τρεις μεθόδους παρεμβολής : διγραμμική (bilinear), γραμμική (triangulation) και του πλησιέστερου γειτονικού σημείου (nearest). Επίσης, δίνει την δυνατότητα επιλογής του βαθμού εξομάλυνσης (smoothness) της εκτιμώμενης επιφανείας. Για τα δεδομένα της παρούσας εργασίας, χρησιμοποιήθηκε ως μέθοδος παρεμβολής η διγραμμική και τέθηκε ένας πολύ μικρός συντελεστής εξομάλυνσης (0.003), ώστε η επίδρασή της

103 Προβολή σε μια μέση σφαίρα να είναι όσο το δυνατόν μικρότερη (Novak et al., 2013). Για το βήμα του καννάβου, τόσο για το γεωδαιτικό μήκος όσο και για το πλάτος, επιλέχθηκε η τιμή των 10 arcmin (0.16666 μοίρες). Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι χάρτες που προκύπτουν από τους υπολογισμένους καννάβους για τις 6 συνιστώσες και τις διαφορές τους με τις αντίστοιχες υπολογισμένες από το γεωδυναμικά μοντέλα TIM-R5 και EIGEN-6C5. Οι διαφορές, όπως φαίνεται στους πίνακες, είναι πολύ μικρές, με μέγιστο rms τα 3mEotvos. Η μέγιστη διαφορά είναι 20 meotvos, και λαμβάνει χώρα στη συνιστώσα ΖΖ. Στατιστικά Vij καννάβου vs Vij TIMR5 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0199-0.0090-0.0176-0.0031-0.0125-0.0031 max 0.0095 0.0106 0.0199 0.0037 0.0117 0.0033 mean 0.0004 0.0001-0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 std 0.0022 0.0014 0.0029 0.0006 0.0026 0.0009 rms 0.0023 0.0014 0.0030 0.0006 0.0026 0.0009 Πίνακας 31 : Στατιστικά διαφορών βαθμίδων καννάβου με συνθετικές, υπολογισμένες από το μοντέλο TIMR5 Στατιστικά Vij καννάβου vs Vij EIGEN-6C4 (Eotvos) dχχ dυυ dζζ dχυ dχζ dυζ min -0.0198-0.0095-0.0170-0.0031-0.0126-0.0032 max 0.0094 0.0105 0.0198 0.0038 0.0116 0.0035 mean 0.0004 0.0000-0.0005 0.0000-0.0001 0.0000 std 0.0022 0.0014 0.0029 0.0006 0.0026 0.0008 rms 0.0023 0.0014 0.0030 0.0006 0.0026 0.0008 Πίνακας 32 : Στατιστικά διαφορών βαθμίδων καννάβου με συνθετικές, υπολογισμένες από το μοντέλο EIGEN6C4

104 Προβολή σε μια μέση σφαίρα Σχήμα 53 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΧΧ (Eotvos) Σχήμα 54 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΥΥ (Eotvos)

105 Προβολή σε μια μέση σφαίρα Σχήμα 55 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΖΖ (Eotvos) Σχήμα 56 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΧΥ (Eotvos)

106 Προβολή σε μια μέση σφαίρα Σχήμα 57 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΧΖ (Eotvos) Σχήμα 58 : Προβεβλημένη συνιστώσα ΥΖ (Eotvos)

107 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος Κεφάλαιο 6 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος 6.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια προσπάθεια σύνδεσης των μετρημένων από τον δορυφόρο βαθμίδων και για την ακρίβεια μόνο της ακτινικής συνιστώσας, με κάποια γεωλογικά στοιχεία από τον πλανήτη Γη, όπως είναι τα διάφορα στρώματα του φλοιού του. Η σύνδεση αυτή γίνεται χρησιμοποιώντας αναλυτικές μεθόδους υπολογισμού της ακτινικής συνιστώσας με βάση την πυκνότητα και το πάχος του κάθε στρώματος. Στην αρχή του κεφαλαίου, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση αυτών των στρωμάτων. Έπειτα, περιγράφονται οι αναλυτικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται και τελικά παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα των υπολογισμών. 6.2. Στοιχεία από την δομή της Γης Η Γη, εάν θεωρηθεί για λόγους απλοποίησης ότι έχει σφαιρικό σχήμα, αποτελείται από τρία διαφορετικά ομόκεντρα στρώματα, συνολικού πάχους 6371km περίπου, που διαφέρουν μεταξύ τους ως προς την σύσταση και την πυκνότητα. Τα στρώματα αυτά είναι ο φλοιός, ο μανδύας και ο πυρήνας, Φλοιός Ο φλοιός αποτελεί την εξωτερική στοιβάδα του γήινου σώματος. Εκτείνεται από την επιφάνεια της Γης μέχρι την ασυνέχεια Mohorovicic (Moho), τη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ φλοιού και μανδύα. Υπάρχουν δύο είδη φλοιού, ο ηπειρωτικός και ο ωκεάνιος που διαφοροποιούνται μεταξύ τους ως προς το πάχος και τη σύσταση τους. Το μέσο πάχος του ηπειρωτικού φλοιού είναι περίπου 30km, κάτω όμως από τις μεγάλες οροσειρές μπορεί να φτάσει έως τα 70km. Η μέση πυκνότητα του είναι 2700 kg m -3. Το μέσο πάχος του ωκεάνιου

108 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος φλοιού είναι 6km, με μέση πυκνότητα 3000 kg m -3. Η σύσταση του ωκεάνιου φλοιού είναι βασαλτική, όπου επικρατούν το πυρίτιο (Si) και το Μαγνήσιο (Mg), και του ηπειρωτικού φλοιού είναι γρανιτική, όπου επικρατούν το πυρίτιο (Si) και το Αργίλιο (Al), στο ανώτερο στρώμα και βασαλτική στο κατώτερο. Τα δύο αυτά στρώματα διαχωρίζονται από την ασυνέχεια Conrad. Μανδύας Ο μανδύας είναι το αμέσως επόμενο στρώμα και φτάνει μέχρι το βάθος των 2900km, έχοντας αβέβαιη σύσταση. Χωρίζεται σε τρεις ζώνες, τον ανώτερο, τον κατώτερο και την ζώνη μετάβασης που βρίσκεται μεταξύ τους και οροθετείται από δυο σεισμικές ασυνέχειες, με την πρώτη στα 410 km και την δεύτερη στα 660 km από την επιφάνεια της Γης. Ο ανώτερος μανδύας συνίσταται κυρίως από ενώσεις του πυριτίου με βαρέα μέταλλα. Ο κατώτερος μανδύας συγκροτείται από θειούχες και οξυγονούχες αλλά και πυριτικές ενώσεις του σιδήρου του μαγνησίου και άλλων βαρέων μετάλλων. Η ζώνη μετάβασης και αυτή χαρακτηρίζεται κυρίως από διάφορες πυριτικές ενώσεις. Οι μέσες πυκνότητες είναι 3350 kg m -3, 4870 kg m -3, 3860 kg m -3, για τον ανώτερο, τον κατώτερο μανδύα και τη ζώνη μετάβασης αντίστοιχα. Πυρήνας Ο πυρήνας διακρίνεται σε εξωτερικό, ο οποίος βρίσκεται υγρή/ρευστή κατάσταση και αποτελείται κυρίως από σίδηρο, οξυγόνο και πυρίτιο και σε εσωτερικό, που είναι σε στερεή κατάσταση και αποτελείται από νικέλιο και σίδηρο. Διαχωρίζεται από τον μανδύα με την ασυνέχεια Gutenberg. Στον εξωτερικό πυρήνα πιστεύεται ότι ο σίδηρος ενώνεται με το θείο σχηματίζοντας θειούχο σίδηρο, που είναι ένα ιδανικό μέσο για την παραγωγή του μαγνητικού πεδίου της Γης. Η μέση πυκνότητα του εξωτερικού πυρήνα είναι 11000 kg m -3, ενώ του ε- σωτερικού 12950 kg m -3.

109 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος ηπειρωτικός φλοιός Ασυνέχεια 410 km Ασυνέχεια 660 km Άνω μανδύας Ζώνη μετάβασης Ωκεάνιος φλοιός Ασυνέχεια Mohorovicic 5711 km Κάτω μανδύας 3485 km Εξωτερικός πυρήνας Εσωτερικός πυρήνας 1214 km 0 km Σχήμα 59 : Το απλοποιημένο μοντέλο της δομής ή του εσωτερικού του της Γης. Η γήινη σφαίρα αποτελείται από ομόκεντρα στρώματα διαφορετικού πάχους, σύστασης και πυκνότητας. Η μεγεθυσμένη τομή του εσωτερικού της Γης, αποκαλύπτει το λεπτό πάχος του φλοιού, το μανδύα και τον πυρήνα, που αποτελούνται από τρία επιμέρους τμήματα (ανώτερος και κατώτερος μανδύας, ζώνη μετάβασης - εξωτερικός και εσωτερικός πυρήνας).

110 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος 6.3. Αναλυτικές μέθοδοι Στην προσέγγιση αυτή, κάθε στρώμα της Γης θεωρείται ως ένα σφαιρικό κέλυφος πυκνότητας ρ και πεπερασμένου πάχους το οποίο είναι ορισμένο από δυο σφαίρες, μιας εξωτερικής ακτίνας α και μιας εσωτερικής ακτίνας b. Στην περίπτωση αυτή, το δυναμικό του κελύφους V out στο χώρο εκτός των μαζών ορίζεται από την σχέση (Τσούλης, 2013) V out = G 4πρ a 2 da = G 4 r p 3 b a πρ r p (α 3 b 3 ) = G M r p (0.1) Η πρώτη παράγωγος του δυναμικού για τα σημεία εκτός των μαζών, οδηγεί στην αντίστοιχη βαρυτική δύναμη F out F out = r p V out e r = V r out e r = ±G 4 3 πρ 1 r p 2 (α3 b 3 )e r = ±G M r p 2 e r (0.2) Ενώ συνεχίζοντας την παραγώγιση, προκύπτει η ακτινική συνιστώσα Vrr του τανυστή των βαθμίδων, για τον χώρο έξω απ τις μάζες V out rr = V out r r = G 8 p 3 πρ 1 r3 (α3 b 3 ) = G M (0.3) p r3 p ρ b α rp Σχήμα 60 : Σχήμα υπολογισμού ακτινικής συνιστώσας Vzz (Τσούλης, 2013)

111 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος Επομένως, χρησιμοποιώντας την σχέση 6.3 και γνωρίζοντας τα πάχη και την πυκνότητα των στρωμάτων, μπορεί να υπολογιστεί η ακτινική συνιστώσα Vrr σε οποιαδήποτε απόσταση στον χώρο έξω από τις μάζες που ορίζονται από τα σφαιρικά κελύφη. Στην περίπτωση μας, οι μάζες είναι η Γη και τα διάφορα στρώματα της και το ζητούμενο σημείο υπολογισμού της ακτινικής συνιστώσας είναι το ύψος της τροχιάς του GOCE και συγκεκριμένα για το ύψος της μέσης σφαίρας που έγινε η προβολή των δεδομένων του GOCE ( 250 km από τη γήινη σφαίρα, rp=6619.545472 km). Η σύγκριση της υπολογισμένης με την μετρημένη συνιστώσα θα δείξει αρχικά πόσο κοντά στην πραγματικότητα βρίσκεται αυτή η προσέγγιση, ενώ επιπλέον θα μπορεί να υπολογιστεί η συνεισφορά του κάθε στρώματος της Γης στο βαρυτικό σήμα που ανιχνεύει ο GOCE και η τυχόν σχέση της με τα χαρακτηριστικά του στρώματος (μάζα, πυκνότητα, πάχος, απόσταση από το σημείο υπολογισμού) 6.4. Υπολογισμοί Στην ενότητα αυτή, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που δόθηκαν προηγουμένως, υπολογίζονται οι ακτινικές συνιστώσες του τανυστή των βαθμίδων του δυναμικού έλξης του κάθε στρώματος της Γης, αλλά και ολόκληρης της Γήινης σφαίρας. Αρχικά, είναι απαραίτητα τα στοιχεία του κάθε στρώματος (μέσο πάχος, μέση πυκνότητα). Όλα αυτά, καθώς και το ποσοστό της μάζας του κάθε στρώματος σε σχέση με την Γη, παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα Στρώμα Μέσο πάχος (km) ποσοστό μάζας % μέση πυκνότητα (kg m -3 ) ηπειρωτικός φλοιός 30 0.3 2700.0 ωκεάνιος φλοιός 6 0.1 3000.0 ανώτερος μανδύας 380 10.3 3350.0 ζώνη μετάβασης 250 7.0 3860.0 κατώτερος μανδύας 2226 49.6 4870.0 εξωτερικός πυρήνας 2254 31.1 11000.0 εσωτερικός πυρήνας 1231 1.3 12950.0 Γη (όλα τα στρώματα) 6371 100 5515.0 Πίνακας 33 : Στοιχεία στρωμάτων της Γήινης σφαίρας Έτσι, θέτοντας τις κατάλληλες τιμές για το κάθε στρώμα στον τύπο 6.3, προκύπτουν για κάθε στρώμα οι ακτινικές συνιστώσες, που δίνονται στον πίνακα 34

112 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος Στρώμα Vr (Eotvos) Ποσοστό % Ποσοστό μάζας % ηπειρωτικός φλοιός 18.92 0.69 0.3 ωκεάνιος φλοιός 4.19 0.15 0.1 ανώτερος μανδύας 278.57 10.14 10.3 ζώνη μετάβασης 190.06 6.92 7.0 κατώτερος μανδύας 1351.04 49.19 49.6 εξωτερικός πυρήνας 859.41 31.29 31.1 εσωτερικός πυρήνας 44.65 1.63 1.3 Πίνακας 34 : Υπολογισμένες ακτινικές συνιστώσες ανά στρώμα Για την Γη συνολικά, η ακτινική συνιστώσα προκύπτει είτε αθροίζοντας τις συνιστώσες τους κάθε στρώματος είτε χρησιμοποιώντας τον τύπο 6.3 και θέτοντας μια μέση πυκνότητα ρ για ολόκληρη την Γη. Τα αποτελέσματα και με τους δυο τρόπους, παρουσιάζονται και συγκρίνονται με τις τιμές από τον κάνναβο στον παρακάτω πίνακα με ργης με άθροιση Vrp κάθε στρώματος Vr 2748.68 2746.85 Στατιστικά Vr σφαιρικού κελύφους vs Vr καννάβου (Eotvos) min -3.42-0.74 max 0.27 2.94 mean -1.49 1.19 std 0.83 0.83 rms 1.70 1.45 Πίνακας 35 : Διαφορές τιμών ακτινικών συνιστωσών Οι διαφορές των υπολογισμένων συνιστωσών με τις τιμές από τους κάνναβο είναι αρκετά μικρές, τις τάξεως των 1 με 3 Eotvos και αποδεικνύουν πόσο ρεαλιστική είναι η προσέγγιση που ακολουθήθηκε. Ελαφρώς καλύτερη προσέγγιση φαίνεται να προσφέρει ο υπολογισμός της ακτινικών συνιστωσών κάθε επιμέρους στρώματος και η μετέπειτα άθροιση τους, εμφανίζοντας συνολικά καλύτερη συμφωνία με τις τιμές από τους καννάβους σε σχέση με το υπολογισμό της συνολικής συνιστώσας της Γης με μια μέση πυκνότητα ργης. Η διαφορές της συνιστώσας αυτής της μεθόδου με τις τιμές από τον κάνναβο έχουν ελαφρώς μικρότερη μέση τιμή (1.19 αντί 1,49 Eotvos) και rms (1.45 αντί 1.70 Eotvos). Παρόλα αυτά, πρακτικά οι δυο μέθοδοι δεν διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τα αποτελέσματα ουσιαστικά, καθώς το επίπεδο της ταύτισής τους με τις βαθμίδες από τον κάνναβο είναι στην τάξη των μερικών Eotvos και όχι καλύτερη. Όσον αφορά τα επιμέρους στρώματα της Γης, φαίνεται, όπως αναμενόταν, ότι η τιμή της ακτινικής συνιστώσας επηρεάζεται κυρίως από την μάζα του στρώματος. Μάλιστα, τα ποσοστά της επίδρασης κάθε συνιστώσας είναι σχεδόν ίδια με τα ποσοστά επί της συνολικής μάζας της Γης. Δευτερεύοντες ρόλους διαδραματίζουν η ακτινική απόσταση του στρώματος από το σημείο υπολογισμού και η πυκνότητά του. Συγκεκριμένα, στα δυο είδη φλοιού, οι

113 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος τιμές του ποσοστού επίδρασης στην συνολική ακτινική συνιστώσα της Γης είναι μεγαλύτερες από το ποσοστό επί της συνολικής μάζας, επειδή τα δυο στρώματα βρίσκονται αρκετά κοντά στο σημείο υπολογισμού της ακτινικής συνιστώσας. Καθώς απομακρυνόμαστε από το σημείο υπολογισμού και αυξάνεται η ακτινική απόσταση, τα ποσοστά επίδρασης των ε- πόμενων στρωμάτων (ανώτερος μανδύας, ζώνη μετάβασης, κατώτερος μανδύας) είναι ελαφρώς μικρότερα από τα αντίστοιχα ποσοστά επί της μάζας της Γης. Τέλος, για τα κατώτερα στρώματα (εξωτερικός και εσωτερικός πυρήνας), τα ποσοστά επίδρασης είναι λίγο μεγαλύτερα από τα ποσοστά επί της μάζας. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό, παρόλο που έχει αυξηθεί η ακτινική απόσταση, είναι το γεγονός ότι οι τα στρώματα αυτά έχουν πολύ υψηλότερες πυκνότητες σε σχέση με τα προηγούμενα στρώματα. Παρατηρώντας τις τιμές των επιμέρους στρωμάτων και το ποσοστό που καταλαμβάνουν στην συνολική ακτινική συνιστώσα της Γης, γίνεται αντιληπτό ότι κυρίαρχη επίδραση, χάρη στην μεγάλη ποσότητα μάζας που διαθέτει, καταλαμβάνοντας το 50% στο βαρυτικό σήμα έχει ο κατώτερος μανδύας με τον εξωτερικο πυρήνα να ακολουθεί με 30% περίπου. Επομένως, τα μεγάλα μήκη κύματος του φασμάτος του βαρυτικού σήματος προέρχονται από την επίδραση αυτών των δυο στρωμάτων. Στην συνέχεια, σε μικρότερα μήκη κύματος βρίσκονται ο ανώτερος μανδύας και η ζώνη μετάβασης με 10% και 7% αντίστοιχα. Η χαμηλότερες επιδράσεις, στα μικρά μήκη κύματος και τις μεγάλες συχνότητες έχουν ο εσωτερικός πυρήνας και τα δυο είδη φλοιού. Ο φλοιός της Γης, παρόλο που βρίσκεται πλησιέστερα σε σχέση με τα άλλα στρώματα στο σημείο υπολογισμού, έχει πολύ λιγότερη μάζα σε σχέση με τα άλλα στρώματα και αυτό δικαιολογεί την χαμηλή του επίδραση. Επίσης, στη μικρή ποσότητα μάζας, αλλά και στη μακρινή απόσταση, οφείλεται η επίσης χαμηλή επίδραση του ε- σωτερικού πυρήνα. 2% 1% 0% 31% 10% 7% ηπειρωτικός φλοιός ωκεάνιος φλοιός ανώτερος μανδύας ζώνη μετάβασης κατώτερος μανδύας εξωτερικός πυρήνας 49% εσωτερικός πυρήνας Σχήμα 61 : Κατανομή σε δακτύλιο του ποσοστού συμμετοχής κάθε στρώματος στο βαθμιδομετρικό σήμα

114 Εφαρμογή γεωφυσικού ενδιαφέροντος

115 Συμπεράσματα Κεφάλαιο 7 Συμπεράσματα Ο κύριος στόχος της παρούσας εργασίας ήταν να μελετήσει, μέσα από την εφαρμογή της, τη διαδικασία της προεπεξεργασίας των πραγματικών δεδομένων των βαθμίδων της δορυφορικής αποστολής GOCE για τοπικές εφαρμογές, καθώς και των κρίσιμων σημείων που χρήζουν προσοχής. Η διαδικασία αυτή έχει παρουσιαστεί αναλυτικά και η ποιότητα της έχει αξιολογηθεί, μέσα από συγκρίσεις με προϊόντα ερευνητικών κέντρων. Σε αυτό κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα σημαντικότερα συμπεράσματα που προέκυψαν από τις αξιολογήσεις των δεδομένων αποστολής, των μεθόδων που χρησιμοποιήθηκαν, των δυο εφαρμογών στις οποίες έγινε χρήση των δεδομένων αλλά και γενικότερα την εμπειρία του γράφοντα στην επεξεργασία τους. Επίσης, δίνονται κάποιες ιδέες και προτάσεις για μελλοντική έρευνα και εργασία. Το πιο σημαντικό πρόβλημα που αντιμετωπίζει ένας χρήστης κατά την προεπεξεργασία των δεδομένων, είναι ο τεράστιος όγκος τους που απαιτεί μεγάλο αποθηκευτικό χώρο και δυνατούς υπολογιστικούς πόρους, ώστε να μην καθυστερεί η επεξεργασία τους από τα λογισμικά. Στην αρχική τους μορφή με την οποία παρέχονται από την ESA (.tar, περιέχουν συνήθως 15 μέρες μετρήσεων), τα EGG_NOM_2 έχουν μεγέθους περίπου 300 MB ενώ τα SST_PSO_2 περίπου 600 MB. Με τις διαδοχικές αποσυμπιέσεις και την αποκωδικοποίηση, δημιουργούνται και άλλα αρχεία παρόμοιου μεγέθους, Επομένως, πρέπει να υπάρχει πρόβλεψη από τον χρήση για επαρκή αποθηκευτικό χώρο, ανάλογα φυσικά και με το χρονικό διάστημα για το οποίο θα αποκτήσει τα δεδομένα. Ένα επίσης σημαντικό στοιχείο είναι ο έλεγχος για χονδροειδή σφάλματα στις μετρήσεις, κατά τα πρώτα στάδια της προεπεξεργασίας. Τα σφάλματα αυτά πρέπει να απομακρυνθούν πριν από το φιλτράρισμα των χρονοσειρών, διαφορετικά θα μολύνουν και τις γειτονικές μετρήσεις. Ο έλεγχος για χονδροειδή σφάλματα γίνεται με σύγκριση των πρωτογενών μετρήσεων με άλλα γειτονικά αρχεία και με βοηθητικό εργαλείο το ημερολόγιο των συμβάντων της αποστολής. Η μεθοδολογία που προτείνεται είναι η ενδεδειγμένη για την δημιουργία βαθμίδων για τοπικές εφαρμογές, καθώς έτσι οι μετρήσεις απαλλάσσονται από τα σφάλματα τόσο των α-

116 Συμπεράσματα δύναμων συνιστωσών όσο και από αυτά των μεγάλων μηκών κύματος. Θυμίζουμε ότι οι α- δύναμες συνιστώσες αντικαθίστανται από τις αντίστοιχες ενός παγκόσμιου γεωδυναμικού μοντέλου, που προέκυψε με μετρήσεις του GOCE και μόνο, ενώ και τα μεγάλα μήκη κύματος αντικαθίστανται από τα αντίστοιχα ενός παγκόσμιου γεωδυναμικού μοντέλου, που προέκυψε με μετρήσεις του GOCE και GRACE και έχει σημαντικά καλύτερη ακρίβεια στα μεγάλα μήκη κύματος σε σχέση με τις μετρήσεις του GOCE. Το Butterworth φίλτρο που επιλέχθηκε είναι μια καλή επιλογή, καθώς δεν παραμορφώνει το σήμα και απαιτεί πολύ λιγότερους συντελεστές σε σχέση με άλλα αντίστοιχα φίλτρα. Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι η πολύ χρονοβόρα διαδικασία τόσο του φιλτραρίσματος των αρχικών χρονοσειρών, αλλά κυρίως η δημιουργία συνθετικών βαθμίδων από τα δυο παγκόσμια γεωδυναμικά μοντέλα και η μετέπειτα σύνθεσή τους για τις τελικές επεξεργασμένες βαθμίδες. Η συγκρίσεις με τα διάφορα γεωδυναμικά μοντέλα απέδειξαν την πολύ καλή ποιότητα της μεθόδου, με διαφορές της τάξης των μερικών δεκάδων meotvos, τόσο στο GRF όσο και στο LNOF, το οποίο και μας ενδιαφέρει κυρίως. Η εισροή σφαλμάτων από τις αδύναμες συνιστώσες και η μόλυνση των υπολοίπων από αυτές καθιστά αδύνατη την χρησιμοποίηση των πρώτων και επιβάλλεται η αντικατάσταση τους από συνθετικές. Η προβολή σε μια μέση σφαίρα με τον υπολογισμό των πρώτων παραγώγων της ακτινικής συνιστώσας με την αριθμητική μέθοδο που παρουσιάστηκε, κρίνεται ικανοποιητική, καθώς παρόλο την απλή της μεθοδολογία, διατήρησε την υψηλή ταύτιση των βαθμίδων του GOCE με τις αντίστοιχες από τα γεωδαιτικά μοντέλα. Επίσης, οδήγησε στη δημιουργία καννάβου χωρικής ανάλυσης 10arcmin για την περιοχή μελέτης, με εξίσου μεγάλο βαθμό συμφωνίας με τις συνθετικές βαθμίδες, στην τάξη των 5 Eotvos. Κατά τον υπολογισμό της ακτινικής συνιστώσας των βαθμίδων για το κάθε στρώμα της Γης με τις αναλυτικές μεθόδους, προκύπτει ότι ο κατώτερος μανδύας έχει την ισχυρότερη επίδραση στο βαρυτικό σήμα (50%), λόγω της μεγάλης ποσότητας μάζας του, με τον εξωτερικό πυρήνα να ακολουθεί (30%). Ο φλοιός, αν και βρίσκεται πλησιέστερα στην δορυφορική τροχιά σε σχέση με τα άλλα, στρώματα, καταλαμβάνει μόλις το 0.7% λόγω της μικρής του μάζας. Επίσης, οι υπολογισμένες τιμές της ακτινικής συνιστώσας με τις μεθόδους αυτές, εμφανίζουν ικανοποιητική συμφωνία με τις τιμές του καννάβου (της τάξης από 1 έως 3 Εotvos), παρά το γεγονός ότι τόσο τα μεγέθη που χρησιμοποιήθηκαν (πυκνότητα, πάχη στρωμάτων) όσο και η θεώρηση της Γης σαν σύνολο ομόκεντρων σφαιρικών κελύφων είναι πολύ προσεγγιστικά. Συμπερασματικά, η λογική συνέχεια αυτής της εργασίας είναι η αξιοποίηση των τελικών της προϊόντων, των βαθμίδων του γήινου δυναμικού έλξης τόσο σε μορφή χρονοσειράς όσο και σε μορφή καννάβων, σε γεωφυσικές εφαρμογές, κυρίως με την προς τα κάτω επέκτασή τους στην επιφάνεια της Γης Η προς τα κάτω επέκταση θα συνεισφέρει στη μελέτη της γήινης λιθόσφαιρας σε πλήθος σημαντικών εφαρμογών (κίνηση λιθοσφαιρικών πλακών, α- νίχνευση υδρογονανθράκων στο υπέδαφος κ.α.). Βεβαίως, αν και θα ενισχύσει το προερχόμενο από τη Γη βαρυτικό σήμα που περιέχουν οι βαθμίδες, ταυτόχρονα θα ενισχύσει δρα-

117 Συμπεράσματα ματικά και τον περιεχόμενο θόρυβο. Επομένως, είναι σημαντική η εύρεση ενός τρόπου καθαρισμού των βαθμίδων από τον ανεπιθύμητο θόρυβο ή ενός τρόπου αξιοποίησης τους από το ύψος της μέσης σφαίρας, χωρίς να απαιτείται η προς τα κάτω επέκταση. Τέλος, ο συνδυασμός της προσέγγισης του απλού σφαιρικού κελύφους για τα στρώματα της Γήινης σφαίρας με πιο λεπτομερή παγκόσμια μοντέλα φλοιού και λιθόσφαιρας (όπως τα CRUST 1.0 και LITHO 1.0) μπορεί να οδηγήσει στην βελτίωση της μοντελοποίησης των δομών των στρωμάτων αυτών και στην καλύτερη κατανόηση της επίδρασής τους στο βαθμιδομετρικό και κατ επέκταση στο βαρυτικό σήμα.

118 Συμπεράσματα

119 Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Ξενόγλωσση Asboth P. (2014), GOCE gravity field using the SA approach, The 2nd Global Virtual Conference Bock H., Jaggi A., Svehla D., Beutler G., Hugentobler U, Visser P. (2007), Precise orbit determination for the GOCE satellite using GPS, Advances in Space Research, 39, 1638 1647 Bouman J. (2014), Satellite gravity data and global gravity models, Satellite seminar, Tromso Bouman J., Fuchs M., Brieden P. (2012), The Complete Gravity Gradient Tensor in GOCE Orbit Crossovers, AGU Bouman J., Ebbing J., Meekes S., Fattah R.A., Fuchs M., Gradmann S., Haagmans R., Lieb V., Schmidt M., Dettmering D., Bosch W. (2013) GOCE gravity gradient data for lithospheric modeling, International Journal of Applied Earth Observation and Geoinformation, 795 Bouman J., Fuchs M. (2011) Rotation of GOCE gravity gradients to local frames, Geophysical Journal International, 187, 743 753 Brieden P., Muller J. (2010), Quality Assessment of GOCE Gradients, Living planet symposium, Bergen, Norway Brieden P., Muller J. (2011), Current results of GOCE in-orbit validation via the cross-over approach, 4 th International GOCE User Workshop, Munich, Germany Gruber T., Abrikosov O., Hugentobler U. (2010), GOCE Standards, The European GOCE Gravity Consortium EGG-C Gruber T., Rummel R., Abrikosov O., Heels R. (2010), GOCE Level 2 Product Data Handbook, The European GOCE Gravity Consortium EGG-C Gruber T., Rummel R., Abrikosov O., Heels R. (2006), GOCE Level 1b Product Data Handbook, SERCO/DATAMAT Consortium Lieb V., Dettmering D., Schmit M., Bouman J., Fuchs M. (2013), Using the full tensor of GOCE gravity gradients for regional gravity field modelling, EGU General Assembly, Wien, Austria Novak P., Sebera J., Valko M., Baur O. (2012), On the downward continuation of gravitational gradients (GOCE-GDC project), GGHS, Venice, Italy

120 Βιβλιογραφία Novak P., Sebera J., Valko M., Sprlak M., Martinec Z., Sneeuw N., Roth M., Vermerseen B., Van der Wal W., Baur O., Tsoulis D. (2013), Towards a better understanding of the Earth s interior and geophysical exploration research, Final Report: AO/1-6367/10/NL/AF STSE GOCE+, University of West Bohemia, Pilsen, Czech Republic Panet I., Metivier G., Jamet O., Metivier L., Coulot D., De Viron O., Deleflie F. (2011) Apports de GOCE pour la modélisation régionale du champ de pesanteur Polgár, Z., Sujbert, L., Földváry, L., Asbóth, P., & Ádám, J. (2013). Filter design for GOCE gravity gradients. Geocarto International (28:1, 28-36) Rieser D., Pail R., Sharov A.I. (20), Refining regional gravity field solutions with GOCE gravity gradients for cryospheric investigations, ESA Living Planet Symposium, Bergen, Norway Schubert G., Turcotte D.L., Olson P. (2001), Mantle convection in the Earth and Planets - Part 1, Cambridge University Press, New York, USA Sebera J., Sprlak M., Novak P., Valko M. (2013), Comparing grids of observed GOCE gravitational gradients with modeled GOCE gravitational gradients, EGU General Assembly, Vienna, Austria Sebera J., Sprlak M., Novak P., Bezdek A. (2014), Iterative Spherical Downward Continuation Appliedto Magnetic and Gravitational Data from Satellite, Surveys in Geophysics, 35:941 958 Sebera J., Pitonak M., Novak P., Hamackova E. (2015), Comparative Study of the Spherical Downward Continuation, Surveys in Geophysics, DOI 10.1007/s10712-014-9312-0 Stummer C. (2006), Analyse der Gradiometergleichungen der GOCE Satellitenmission zur Schwerefeldbestimmung, Diplomarbeit, Institut für Astronomische und Physikalische Geodäsie, Technische Universität München Toth G., Foldvary L. (2005), Effect of geopotential model errors on the projection of GOCE gradiometer observables, Gravity, Geoid and Space Missions, Session 1, pp. 72-76 Tsoulis D., Ieronimaki Z., Kalampoukas G., Papanikolaou D., Papanikolaou T., Patlakis K., Vassiliadis I. (2011), Spectral analysis and interpretation of current satellite-only Earth gravity models by incorporating global terrain and crustal data, ESTEC Contract 22316/09/NL/CB Final Report, ESA Visser P.N.A.M. (2010), A glimpse at the GOCE satellite gravity gradient observations, Advances in Space Research, 47 (3), 393-401 Yi W., Rummel R., Gruber T.(2013), Gravity field contribution analysis of GOCE gravitational gradient components, Studia Geophysica et Geodaetica, 57, 174-202 Yi. W., Murbock M., Rummel RA., Gruber T. (2010), Performance analysis of GOCE gradiometer measurements, Institute of Astronomical and Physical Geodesy, Technical University Munich, Germany

121 Βιβλιογραφία Wang L.(2011), GOCE Gravity models and Gravity Gradient Assessment, Master Thesis, Universität Stuttgart, Germany Wan X.Y., Yu J.H., Zeng Y.Y. (2012), Frequency analysis and filtering processing of gravity gradient data from GOCE, Chinese Journal of Geophysics, Vol.55, No.5, pp: 530:538 Ελληνική Αραμπέλος Δ., Τζιαβός Η. (2007), Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη Βασιλειάδης Ι.Β. (2007), Τοπολογική ανάλυση παγκόσμιων ψηφιακών βάσεων δεδομένων για τη δομή και σύσταση του γήινου φλοιού, Μεταπτυχιακή εργασία, ΤΑΤΜ-ΑΠΘ, Θεσσαλονίκη, Μεταπτυχιακή εργασία, ΤΑΤΜ-ΑΠΘ, Θεσσαλονίκη Παπανικολάου Δ. (2010), Φασματική επεξεργασία και φιλτράρισμα χρονοσειρών γεωδαιτικού ενδιαφέροντος, Μεταπτυχιακή εργασία, ΤΑΤΜ-ΑΠΘ, Θεσσαλονίκη Παπανικολάου Δ.Δ., Παπανικολάου Θ.Δ. (2011), Προεπεξεργασία δεδομένων των δορυφορικών αποστολών GRACE και GOCE, ΤΑΤΜ-ΑΠΘ, Θεσσαλονίκη Παπανικολάου Θ.Δ. (2012), Μοντελοποίηση δυναμικών δορυφορικών τροχιών στο πλαίσιο σύγχρονων αποστολών της διαστημικής γεωδαισίας, Διδακτορική διατριβή, ΤΑΤΜ-ΑΠΘ, Θεσσαλονίκη Πιρετζίδης Δ. (2014), Μελέτη και επεξεργασία των δεδομένων της δορυφορικής αποστολής GOCE και προσέγγιση του πεδίου βαρύτητας της Γης σε περιφερειακή και παγκόσμια κλίμακα, Μεταπτυχιακή εργασία, ΤΑΤΜ-ΑΠΘ, Θεσσαλονίκη Τσούλης Δ. (2012), Δορυφορική γεωδαισία - Σύγχρονες διαστημικές εφαρμογές για την κατανόηση του δυναμικού συστήματος Γη, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη Τσούλης Δ. (2013), Εφαρμογές θεωρίας δυναμικού - Αναλυτικές, αριθμητικές και υβριδικές μέθοδοι στη μοντελοποίηση του βαρυτικού σήματος γνωστών κατανομών μάζας, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη

122 Βιβλιογραφία Πηγές Διαδικτύου European Space Agency - www.esa.int Ηλεκτρονική Βιβλιοθήκη - www.wikipedia.org Institute for Astronomical and Physical Geodesy - http://www.iapg.bgu.tum.de/ International Centre for Global Earth Models (ICGEM) - http://icgem.gfz-potsdam.de/icgem/ M_Map: A mapping package for Matlab - http://www2.ocgy.ubc.ca/~rich/map.html Mathworks Matlab - http://www.mathworks.com/ Department of Physics and Astronomy, The University of Utah - http://www.physics.utah.edu/

123 Παράρτημα 1 : Το λογισμικό Graflab Παράρτημα 1 : Το λογισμικό Graflab Το Graflab (GRavity Field LABaratory) είναι ένα λογισμικό σφαιρικής αρμονικής σύνθεσης, δημιουργημένο στο περιβάλλον του λογισμικού Matlab. Υλοποιήθηκε από τους Bucha B., Janak J. και παρουσιάστηκε το 2013. Ο σκοπός του είναι ο γρήγορος υπολογισμός 38 διαφόρων στοιχείων μεγεθών του γεωδυναμικού σε πάρα πολύ υψηλούς βαθμούς και τάξεις της σφαιρικής αρμονικής επέκτασης, της τάξεως των δεκάδων χιλιάδων ή και παραπάνω. Τα μεγέθη του γεωδυναμικού που μπορεί να υπολογίσει παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα Πραγματικό πεδίο V Vrr, Vθθ, Vλλ Vrθ, Vrλ, Vθλ Vxx, Vyy, Vzz *Vxy, *Vxz, *Vyz W g gsa Wrr Διαταρακτικό πεδίο T Trr, Tθθ, Tλλ Trθ, Trλ, Tθλ Txx, Tyy, Tzz *Txy, *Txz, *Tyz δg δgsa Δgsa Trr Γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πραγματικού πεδίου ξ η θ *Ν ζell *ζ όπου : V : ελκτικό δυναμικό W : βαρυτικό δυναμικό g : βαρύτητα T : διαταρακτικό δυναμικό δg : διαταραχή βαρύτητας Δg : ανωμαλία βαρύτητας ξ : συνιστώσα απόκλισης της κατακορύφου (Βορράς - Νότος) η : συνιστώσα απόκλισης της κατακορύφου (Ανατολή - Δύση) θ : απόκλιση της κατακορύφου Ν : υψόμετρο γεωειδούς ζell : γενικευμένη ανωμαλία ύψους ζ : ανωμαλία ύψους sa : σφαιρική προσέγγιση του αντίστοιχου μεγέθους r, θ, λ : σφαιρικές συντεταγμένες x, y, z : συνταταγμένες στο LNOF * : τα μεγέθη με την ένδειξη αυτή, έχουν κατά τον υπολογισμό τους ελάχιστο βαθμό nmin=2

124 Παράρτημα 1 : Το λογισμικό Graflab Το βασικότερο πρόβλημα για την δημιουργία ενός λογισμικού αρμονικής σύνθεσης σε υψηλούς βαθμούς, είναι ο τρόπος υπολογισμού των πλήρως κανονικοποιημένων συναρτήσεων Legendre P nm (cosθ). Για τους πολύ υψηλούς βαθμούς και τάξεις (πχ 2700), οι τιμές των συναρτήσεων κυμαίνονται σε τάξεις των χιλιάδων και γι αυτό ο υπολογισμός τους από τα λογισμικά χωλαίνει. Για να αντιμετωπιστούν αυτά τα προβλήματα, το Graflab χρησιμοποιεί τρεις τρόπους υπολογισμού των συναρτήσεων Legendre, ανάλογα με τον επιθυμητό βαθμό και τάξη : α) για βαθμούς και τάξεις μέχρι 1800 η μέθοδος standard forward column (Colombo, 1981; Holmes and Featherstone, 2002b), β) για βαθμούς και τάξεις μέχρι 2700 η μέθοδος modified forward column (Holmes and Featherstone, 2002b) και γ) για ακόμα μεγαλύτερους βαθμούς και τάξεις η μέθοδος extended-range arithmetic (Fukushima, 2012a). Το γραφικό περιβάλλον του προγράμματος, διακρίνεται σε τρια επιμέρους πλαίσια : το πλαίσιο επιλογής γεωδυναμικού μοντέλου και ελλειψοειδούς αναφοράς για τις συντεταγμένες. Εδώ εισάγεται το αρχείο (συνήθως επέκτασης.gfc, σύμφωνα με το πρότυπο της ICGEM) που περιέχει τους σφαιρικούς αρμονικούς όρους του γεωδυναμικού μοντέλου, επιλέγεται ο επιθυμητός βαθμός ανάπτυξης και το ελλειψοειδές αναφοράς στο οποίο αναφέρονται οι συντεταγμένες των σημείων υπολογισμού (WGS84 ή GRS80). Τέλος, πρέπει να εισαχθούν η τιμή της γεωκεντρικής βαρυτικής σταθεράς και η ακτίνα της σφαίρας του γεωδυναμικού μοντέλου. Το πλαίσιο επιλογής σημείων υπολογισμού. Το πρόγραμμα δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να δημιουργήσει ένα κάνναβο σημείων, να εισάγει αρχείο με τις συντεταγμένες τους ή, σε περίπτωση μεμονωμένου σημείου, να πληκτρολογήσει τις συνταταγμένες του στα αντίστοιχα πεδία. Οι συνταταγμένες μπορεί να είναι ελλειψοειδείς ή σφαιρικές. Το πλαίσιο επιλογής παραμέτρων υπολογισμού. Εδώ ο χρήστης επιλέγει ποια μεγέθη του γεωδυναμικού επιθυμεί να υπολογιστούν και την μορφή με την οποία θα εξαχθούν (πχ ASCII,.mat) Σχήμα 62 : Το περιβάλλον του λογισμικου Graflab