ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρµογές»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΝΑΝΟΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙ ΙΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρµογές» Προσοµοιώσεις Monte Carlo Κβαντικού Βαθµωτού Πεδίου στο Πλέγµα ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Σταθόπουλου Χρίστου Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Μάρτιος, 2016

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΝΑΝΟΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙ ΙΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρµογές» Προσοµοιώσεις Monte Carlo Κβαντικού Βαθµωτού Πεδίου στο Πλέγµα ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Σταθόπουλου Χρίστου Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή την 3η Μαρτίου 2016 (Υπογραφή) (Υπογραφή) (Υπογραφή)......... Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Νίκος Ηργες Γεώργιος Κουτσούµπας Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Μάρτιος, 2016

Ευχαριστίες Πρώτιστα, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή της διπλωµατικής µου εργασίας, κ. Κωνσταντίνο Αναγνωστόπουλο, για το ευχάριστο κλίµα, την υποστήριξη, και την πολύτιµη καθοδήγησή του, καθ όλη την διάρκεια της εργασίας µου. Επίσης, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τους καθηγητές του µεταπτυχιακού ΠΜΣ "Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρµογές", για την καλή τους διάθεση και την ευχάριστη µετάδοση γνώσεων στα µαθήµατα του µεταπτυχιακού. Πέρα από τα παραπάνω πρόσωπα, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου και τον αδερφό µου Κωνσταντίνο, για την υλική και ηθική υποστήριξη που µου παρείχαν, καθώς και την ϕίλη µου Ελένη, για την στήριξη και την υποµονή της, όσο καιρό εκπονούσα την παρούσα εργασία. Σας ευχαριστώ.

Περίληψη Οι ϑεωρίες πεδίου όπως αυτή της Κβαντικής Χρωµοδυναµικής σε πεπερασµένη ϐαρυονική πυκνότητα, είναι δύσκολο να προσοµοιωθούν µε την χρήση τυπικών µεθόδων Monte Carlo. Αυτό συµβαίνει λόγω της µιγαδικής δράσης που προκύπτει σε αυτές τις ϑεωρίες και της αντίστοιχης αδυναµίας ερµηνίας των ϐαρών στο ολοκλήρωµα δρόµου ως πιθανότητες (πρόβληµα του προσήµου). Στόχος της παρούσας διπλωµατικής είναι να εξετάσει το πρόβληµα του προσήµου και κατά την προσο- µοίωση µοντέλων µε µιγαδική δράση. Για τον σκοπό αυτό, ϐασιζόµενοι στον ϕορ- µαλισµό του ολοκληρώµατος δρόµου (Path Integral) της κβαντικής ϑεωρίας πεδίου, εξάγουµε ένα απλουστευµένο δοκιµαστικό µοντέλο, αυτό ενός ϱελατιβιστικού αερίου µποζονίων σε χηµικό δυναµικό, του οποίου η δράση είναι µιγαδική. Οµοια προβλή- µατα µε αυτά του αερίου µποζονίων σε χηµικό δυναµικό παρουσιάζονται και κατα την µελέτη της QCD. Για την µελέτη του µοντέλου αυτού εστιάζουµε σε τεχνικές προσοµοιώσεων Markov Chain Monte Carlo του κβαντικού πεδίου στο Πλέγµα. Πιο συγκεκριµένα, χρησιµοποιούµε τον αλγόριθµο του Metropolis και το µοντέλο στα- ϑερής ϕάσεως (Phase Quenched model) µε την τεχνική του re-weighting, ώστε να δώσουµε πιθανοτική ερµηνεία στο πραγµατικό τµήµα της µιγαδικής δράσης. Με τον τρόπο αυτό, υπολογίζουµε παρατηρήσιµες ποσότητες και εξάγουµε συµπεράσµατα για το διάγραµµα ϕάσεων του ϑεωρητικού µοντέλου σε διάφορες τιµές ϑερµοκρασίας και χηµικού δυναµικού. Οι εκτιµήσεις των παρατηρήσιµων ποσοτήτων υπολογίζονται αρχικά µε ϐάση το Phase Quenched model, ενώ στην συνέχεια στηριζόµενοι σε αυτές, επιχειρούµε να ανακατασκευάσουµε τις αντίστοιχες ποσότητες για την πλήρη ϑεωρία. Από την µελέτη αυτή γίνεται αντιληπτό το ϕαινόµενο Silver Blaze για µικρές τιµές χηµικού δυναµικού. Για µεγαλύτερες τιµές χηµικού δυναµικού, ο υπολογισ- µός δίνει παρατηρήσεις όµοιες µε του µοντέλου σταθερής ϕάσεως, πράγµα που καταδεικνύει αριθµητικά προβλήµατα σε αυτή την περιοχή. Τα αποτελέσµατα της µελέτης µας συγκρίνονται µε αντίστοιχα αποτελέσµατα σε ανάλογες δηµοσιεύσεις.

Abstract Field theories, such as Quantum Chromodynamics at finite temperature and baryon density, are difficult to treat with standard Monte Carlo methods. This is due to what is known as the complex action problem. The theory s action turns out to have a complex value. That suggests non-real weights in the path integral, which cannot have a probabilistic interpretation. This makes importance sampling and standard Lattice Monte Carlo methods not immediately applicable. The objective of this Master Thesis is the study of the sign problem on systems with complex action, and the respective problems that arise. Similar problems are confronted while studying Lattice-QCD. For this purpose, a simplistic toy model, that of a Relativistic Bose Gas in finite chemical potential, is studied. Consecutively, a Markov Chain Monte Carlo algorithm based on the Reweighting method, is utilized in order to simulate the Phase Quenched model, by assigning a probability interpretation on the real part of the action. Observables for the squared field amplitude and the average particle density are computed for several values of finite temperature and chemical potential based on the Phase Quenched theory. Then, the respective observables for the full theory are reconstructed based on the Phase Quenched model. A Silver Blaze behaviour is observed for small values of chemichal potential, whereas for larger values the calculation yields erroneous phase quenched results. Finally, the results are compared with similar work on respective publications.

Πίνακας Περιεχοµένων 1 Στατιστικές κατανοµές σωµατιδίων 3 2 Κλασική ϑεωρία ϐαθµωτού πεδίου 5 2.1 Λαγκρανζιανή περιγραφή πεδίου στον συνεχή χώρο.......... 5 2.2 Το ϑεώρηµα Noether........................... 6 2.2.1 Απειροστοί µετασχηµατισµοί................... 7 2.3 Λαγκρανζιανή ϐαθµωτού µιγαδικού πεδίου............... 8 3 H συνάρτηση επιµερισµού ως συναρτησιακό ολοκλήρωµα δρόµου 11 3.1 Πλάτη µετάβασης και συναρτησιακά ολοκληρώµατα δρόµου...... 11 3.2 Στατιστική κβαντικών ϐαθµωτών πεδίων................. 15 3.3 Υπολογισµός συνάρτησης επιµερισµού για το αέριο µποζονίων..... 17 3.4 ιακριτοποίηση του πεδίου στο Πλέγµα................. 21 4 Αλγόριθµοι Monte Carlo 25 4.1 ειγµατοληψία καταστάσεων....................... 25 4.1.1 Απλή δειγµατοληψία....................... 26 4.1.2 ειγµατοληψία µε κριτήριο σηµαντικότητας........... 26 4.2 Μαρκοβιανές διαδικασίες........................ 27 4.3 Συνθήκη λεπτοµερούς ισοζύγισης.................... 28 4.4 Αλγόριθµοι Markov Chain Monte Carlo................. 29 5 Προσοµοίωση µποζονικού αερίου σε χηµικό δυναµικό 31 5.1 Το σύστηµα µποζονικού αερίου και η µιγαδική δράση......... 31 5.1.1 Επαναπροσδιορισµός ϐαρών και το Phase Quenched model.. 32 5.2 Προσοµοίωση µε τον αλγόριθµο Metropolis............... 34 5.2.1 Παρατηρήσιµες ποσότητες.................... 38 5.2.2 Περίοδος ϑέρµανσης....................... 39 5.2.3 Αυτοσυσχετίσεις και χρόνοι αυτοσυσχέτισης........... 42 5.2.4 Στατιστικά σϕάλµατα....................... 45 1

5.2.5 Αποτελέσµατα προσοµοίωσης................... 47 5.3 Συµπεράσµατα.............................. 57 Παράρτηµα A Κώδικας Προσοµοίωσης σε C 62 2

Κεφάλαιο 1 Στατιστικές κατανοµές σωµατιδίων Στην παρούσα εργασία σκοπός είναι να µελετήσουµε ορισµένες ιδιότητες ενός συνόλου σωµατιδίων υπό συγκεκριµένες συνθήκες. Το σύνολο αυτό µπορεί να µελετηθεί ως µία στατιστική κατανοµή µε ϐάση υπάρχοντα µοντέλα στατιστικής ϕυσικής. Η στατιστική κατανοµή (statistical ensemble) αποτελεί µία πιθανοτική κατανοµή για την κατάσταση στην οποία µπορεί να ϐρεθεί ένα σύστηµα, το οποίο αποτελείται από έναν µεγάλο αριθµό πανοµοιότυπων αντικειµένων (στην περίπτωσή µας σωµατιδίων). Μια στατιστική κατανοµή είναι σε στατιστική ισορροπία αν η κατανοµή πιθανότητας των καταστάσεων δεν µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Στην στατιστική ϕυσική τρείς είναι οι κύριες στατιστικές κατανοµές σωµατιδίων που συναντώνται συνήθως. Η µικροκανονική κατανοµή (microcanonical ensemble) χρησιµοποιείται για να περιγράψει αποµονωµένα συστήµατα από ανταλλαγή ενέργειας ή σωµατιδίων µε το περιβάλλον. Εποµένως αναφέρεται σε συστήµατα µε σταθερή ενέργεια E, σταθερό αριθµό σωµατιδίων N, και σταθερό όγκο V. Η κανονική κατανοµή (canonical ensemble) χρησιµοποιείται σε συστήµατα, τα οποία µπορούν να ανταλλάσσουν ενέργεια µε το περιβάλλον, το οποίο είναι σε ϑερµοκρασία T, όµως ο αριθµός των σωµατιδίων και ο όγκος είναι σταθερά. Η µεγαλοκανονική κατανοµή χρησιµοποιείται για την µελέτη συστηµάτων, τα οποία µπορούν να ανταλλάσσουν µε το περιβάλλον τόσο ενέργεια όσο και σωµατίδια. Ετσι, σε αυτήν η ϑερµοκρασία T, ο όγκος V, και το χηµικό δυναµικό µ παραµένουν σταθερά. Στις παραπάνω κατανοµές, οι ποσότητες T 1 = β και µ µπορούν να γίνονται αντιληπτές ως πολλαπλασιαστές Lagrange, οι οποίοι καθορίζουν την µέση ενέργεια και τον µέσο αριθµό σωµατιδίων αντίστοιχα. Για την περιγραφή ενός κβαντικού συστήµατος, όπου σωµατίδια µπορούν να δηµιουργούνται και να καταστρέφονται, η κατάλληλη κατανοµή, είναι η µεγαλοκανονική κατανοµή. Κάνοντας χρήση αυτού του µοντέλου και µε ϐάση τους τύπους της στατιστικής ϕυσικής µπορούµε να υπολογίζουµε παρατηρήσιµες 3

ποσότητες που αφορούν το σύστηµά µας. Ετσι, στην συνέχεια ϑα χρησιµοποιήσουµε την µεγαλοκανονική κατανοµή. Στην στατιστική µηχανική σε κατάσταση ισορροπίας, το στοιχειώδες ϑερµοδυναµικό αντικείµενο είναι ο πίνακας πυκνότητας [ ( ˆρ = exp β Ĥ )] µ i ˆNi (1.1) i όπου Ĥ είναι ο Χαµιλτονιανός τελεστής και ˆNi οι τελεστές συνολικού αριθµού σωµατιδίων 1. Το αντικείµενο αυτό εκφράζει µια ποσότητα ανάλογη της πιθανότητας να ϐρεθεί το σύστηµα σε µια συγκεκριµένη κατάσταση του. Ο πίνακας πυκνότητας ˆρ χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της εκτιµώµενης τιµής µιας παρατηρήσιµης ποσότητας, η οποία αναπαρίσταται από έναν τελεστή Ô από τον τύπο O = Ô = TrÔˆρ Tr ˆρ όπου το Tr συµβολίζει το ίχνος 2 του τελεστή. Από τα παραπάνω, ορίζεται επίσης στην µεγαλοκανονική κατανοµή, η αντίστοιχη συνάρτηση επιµερισµού Z = Tr ˆρ = Z(V,T,µ 1,µ 2,...) (1.2) η οποία είναι και η πιο σηµαντική συνάρτηση όσον αφορά την ϑερµοδυναµική συµπεριφορά του συστήµατός µας. Από την συνάρτηση επιµερισµού µπορούν να προκύψουν όποιες ϑερµοδυναµικές ποσότητες µας ενδιαφέρουν. Ενδεικτικά κάποιες από αυτές είναι: (T ln(z)) P = (Πίεση) V (T ln(z)) N i = (Αϱιϑµός σωµατιδίων) µ i (T ln(z)) S = (Εντϱοπία) T E = PV +TS +µ i N i (Ενέϱγεια) 1 Στην συνέχεια όπου συναντώνται επαναλαµβανόµενοι δείκτες ϑα υπονοούν άθροιση. 2 Το ίχνος υπολογίζεται ως άθροισµα επί των ιδιοκαταστάσεων του τελεστή. 4

Κεφάλαιο 2 Κλασική ϑεωρία ϐαθµωτού πεδίου Αρχικά, κρίνουµε σκόπιµο να υπενθυµίσουµε τον τρόπο περιγραφής της δυναµικής ενός κλασικού πεδίου, µε ϐάση τον Λαγκρανζιανό ϕορµαλισµό[20, 6]. 2.1 Λαγκρανζιανή περιγραφή πεδίου στον συνεχή χώρο Με ϐάση τον Λαγκρανζιανό ϕορµαλισµό για την περιγραφή ενός συστήµατος, µπορούµε να περιγράψουµε ένα διακριτό πεδίο (σύστηµα) όπου το κάθε διακριτό σηµείο του χώρου i διαθέτει έναν αντίστοιχο ϐαθµό ελευθερίας q i (t) µε i = 1...n. Μπορούµε παρόλα αυτά, να τροποποιήσουµε τον υπάρχων ϕορµαλισµό για την περιγραφή συνεχών πεδίων στον χώρο. Ετσι, το σύνολο των ϐαθµών ελευθερίας του συνεχούς πεδίου, µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία συνάρτηση του χρόνου και του χώρου φ(x,t), η οποία προκύπτει στο όριο του συνεχούς q i (t) φ(x,t) για n, όπως ϕαίνεται στην εικόνα 2.1. Εικόνα 2.1: ιακριτό και συνεχές πεδίο στον χώρο. Είναι προφανές ότι µε τον συνεχή τρόπο περιγραφής υπάρχει απειρία ϐαθµών ελευθερίας στον περιγραφόµενο χώρο, µε κάθε απειροστό σηµείο x να έχει συγκεκριµένη µετατόπιση φ(x,t) σε δεδοµένο χρόνο t. Εχοντας πλέον έναν τρόπο περιγραφής για το συνεχές πεδίο, ϑα πρέπει στη συνέχεια να αντιστοιχήσουµε την Λαγκρανζιανή στο συνεχές της ανάλογο. Θεωρών- 5

τας ότι πλέον η συνολική ( Λαγκρανζιανή είναι το χωρικό ολοκλήρωµα µιας τοπικής ποσότηταςl = L φ, φ, φ ), η οποία εξαρτάται και από την παράγωγο τουφως προς x x, και ονοµάζεται Λαγκρανζιανή πυκνότητα. Ετσι, η L γίνεται στις τρείς διαστάσεις ˆ L = ( L φ, φ, φ ) d 3 x t και η αντίστοιχη ράση ˆ S[φ] = ˆ dt ( L φ, φ, φ ) d 3 x t Με ϐάση την αρχή της ελάχιστης ράσης από την κλασσική µηχανική για να ελαχιστοποιήται η S, απαιτούµε, η µεταβολή της να είναι δs = 0. Από την απαίτηση αυτή παίρνουµε τις εξισώσεις Euler - Lagrange L ( L ) φ ( φ ) ( L ) t φ = 0 Για σχετικιστικά πεδία, κάνοντας χρήση του διαφορικού τελεστή 1 µπορούµε να γράψουµε τις εξισώσεις Euler - Lagrange για το πεδίο σε συναλοίωτη µορφή 2.2 Το ϑεώρηµα Noether L ( L ) φ ν = 0 ( ν φ) Στην κλασική µηχανική, η οµοιογένεια και η ισοτροπικότητα του χώρου, καθώς και η οµοιογένεια ως προς τον χρόνο, σχετίζονται άµεσα µε τις αντίστοιχες αρχές διατήρησης της ορµής, της στροφορµής και της ενέργειας. Ο τρόπος µε τον οποίο ορισµένες συµµετρίες στην περιγραφή ϕυσικών συστηµάτων ή πεδίων σχετίζονται µε την διατήρηση αντίστοιχων ποσοτήτων, γίνεται εµφανής από την µελέτη του ϑεωρή- µατος Noether. Το ϑεώρηµα Noether µπορεί να διατυπωθεί συνοπτικά ως εξής. Αν ένα σύστηµα διακατέχεται από την ιδιότητα µίας συνεχούς συµ- µετρίας, τότε υπάρχουν συγκεκριµένες ποσότητες, των οποίων οι τιµές διατηρούνται µε την πάροδο του χρόνου. Οπου ως συµµετρία, ορίζουµε την δυνατότητα ενός συστήµατος να παραµένει αµετάβλητο κάτω από συγκεκριµένους µετασχηµατισµούς. 1 Οπου ν = ( t, ) ο διαφορικός τελεστής στις τέσσερις διαστάσεις. 6

Πιο συγκεκριµένα, µε ϐάση τον Λαγκρανζιανό ϕορµαλισµό που αναφέραµε στην προηγούµενη παράγραφο, ένα σύστηµα ή ένα πεδίο στην περίπτωσή µας, περιγράφεται πλήρως από την Λαγκρανζιανή του L = L(φ(x), µ φ(x))dx 3, ενώ η εξέλιξή του, προκύπτει από τις εξισώσεις κίνησης, ελαχιστοποιώντας την δράση S = Ldt. Ετσι, οι µετασχηµατισµοί ενός πεδίου φ(x) φ (x) οι οποίοι αφήνουν την δράση αµετάβλητη και κατά συνέπεια και τις εξισώσεις κίνησης αναλλοίωτες, αποτελούν συµµετρίες. Στην περίπτωση της Λαγκρανζιανής πυκνότητας, αυτό µας δίνει την ελευθερία µετασχηµατισµού της έως και έναν όρο ολικής τετρα-παραγώγου µίας ποσότητας J ν, µε L(x) L (x) = L(x)+ µ J ν (x) (2.1) αφού ˆ ν J ν (x)dx 4 = J ν (x)nda = 0 V S για µηδενικές επιφανειακές οριακές συνθήκες στο άπειρο. 2.2.1 Απειροστοί µετασχηµατισµοί Εστω ότι εφαρµόζουµε έναν απειροστό µετασχηµατισµό στο πεδίο της µορφής φ φ = φ+δφ και µε δl = L L δφ+ φ ( ν φ) δ( ν φ) (2.2) δ( ν φ) = ν φ ν φ = ν (φ φ) = ν (δφ) έχουµε επιπλέον ισχύει ότι δl = L L δφ+ φ ( ν φ) ν (δφ) ( ) ( ) L L L ( ν φ) ν (δφ) = ν ( ν φ) δφ ν δφ ( ν φ) άρα η µεταβολή της Λαγκρανζιανής τελικά γίνεται 7

[ ( L δl = 0 )] ( ) L L φ ν δφ+ ν ( ν φ) ( ν φ) δφ όπου, έχουµε ϑεωρήσει εξ αρχής ότι το αρχικό πεδίο φ(x) αποτελεί λύση των εξισώσεων Euler-Lagrange για την Λαγκρανζιανή L, εποµένως ο πρώτος όρος µηδενίζεται. ότι τότε Ετσι, συµπεραίνουµε ότι αν για την µεταβολή της L από τις (2.1) και (2.2) ισχύει και η ποσότητα είναι µία σταθερή ποσότητα στο χρόνο. ( ) L δl = ν ( ν φ) δφ = ν J ν (x) ( ) L ν ( ν φ) δφ J ν(x) = 0 j ν (x) = L ( ν φ) δφ J ν(x) 2.3 Λαγκρανζιανή ϐαθµωτού µιγαδικού πεδίου Εστω, η λαγκρανζιανή πυκνότητα για το µιγαδικό ϐαθµωτό πεδίο L = ν φ ν φ m 2 φ φ λ(φ φ) 2 (2.3) φ = (φ 1 +iφ 2 )/ 2, φ 1,φ 2 R (2.4) µάζας m και αλληλεπίδρασης µε τον εαυτό του µε συντελεστή λ. Για µετασχηµατισµό U(1) του πεδίου κατά ϕάση φ(x) φ (x) = e iα φ(x) φ (x) φ (x) = e iα φ (x) 8

µε a R σταθερά, η Λαγκρανζιανή γίνεται L(φ,φ, ν φ, ν φ ) = ( ν φ )( ν φ ) m 2 φ φ λ(φ φ ) 2 = ( ν (e iα φ ) )( ν (e iα φ) ) m 2 (e iα φ )(e iα φ) λ(e iα φ e iα φ) 2 = e iα e iα ( ν φ )( ν φ) e iα e iα m 2 φ φ λ(e iα e iα φ φ) 2 = ( ν φ )( ν φ) m 2 φ φ λ(φ φ ) 2 = L(φ,φ, ν φ, ν φ) (2.5) άρα η µεταβολή της, είναι δl = 0, και άρα έχει συµµετρία ϕάσης U(1). Για τον αντίστοιχο απειροστό µετασχηµατισµό φ(x) φ (x) (1+iα)φ(x) φ (x) φ (x) (1 iα)φ (x) έχουµε δφ = φ φ = iαφ δφ = φ φ = iαφ και η µεταβολή της L γίνεται δl = L L δφ+ φ ( ν φ) δ( νφ)+ L + L φ δφ ( ν φ ) δ( νφ ) = L L δφ+ φ ( ν φ) ν(δφ)+ L + L φ δφ ( ν φ ) ν(δφ ) [ ( L = 0 )] ( ) L L φ ν δφ+ ν ( ν φ) ( ν φ) δφ [ ( )] ( ) L L 0 L + φ ν δφ + ( ν φ ν ) ( ν φ ) δφ όµως, ισχύει ότι ( L L = ν δφ+ ( ν φ) ( ν φ ) δφ ) = ν ( L ( ν φ ) iαφ L ( ν φ) iαφ ) L ( ν φ) = ν φ, L ( ν φ ) = ν φ 9

άρα, λόγω της (2.5) έχουµε ( δl = ν ( ν φ)iαφ ( ν φ )iαφ ) ( = α ν iφ ν φ iφ ν φ ) = ν j ν = 0 όπου j ν = i(φ ν φ φ ν φ ) (2.6) προκύπτει η διατηρούµενη ποσότητα ϱεύµατος. Tο αντίστοιχο διατηρούµενο ϕορτίο υπολογίζεται ως ˆ ˆ Q = q N = d 3 xj 0 (x) = d 3 xi[φ 0 φ φ( 0 φ) ] (2.7) όπου q το ϕορτίο 2 του κάθε σωµάτιου και N ο συνολικός αριθµός σωµατίων. 2 Θεωρώντας ότι τα σωµατίδια έχουν ϕορτίο q ίσο µε την µονάδα, τότε η σχέση (2.7) µας δίνει τον συνολικό αριθµό σωµατίων. 10

Κεφάλαιο 3 H συνάρτηση επιµερισµού ως συναρτησιακό ολοκλήρωµα δρόµου Η πιο συνηθισµένη προσέγγιση για µή-ϱελατιβιστικά συστήµατα πολλών σωµατίων είναι η µέθοδος της δεύτερης κβάντωσης. Εναλλακτικά, υπάρχει η προσέγγιση των συναρτησιακών ολοκληρωµάτων δρόµου (Path Integrals), την οποία ϑα ακολουθήσουµε στην συνέχεια. Αρχικά, ϑα εξάγουµε την αναπαράσταση του ολοκληρώµατος δρόµου για την συνάρτηση επιµερισµού ενός ϱελατιβιστικού µποζονικού αερίου τα στοιχεία του οποίου αλληλεπιδρούν µεταξύ τους[21, 5]. 3.1 Πλάτη µετάβασης και συναρτησιακά ολοκληρώ- µατα δρόµου Εστω ˆφ(x,0) ο τελεστής πεδίου στην εικόνα Schrödinger, την στιγµή t = 0 και ˆπ(x,0) ο αντίστοιχος τελεστής συζυγούς ορµής του πεδίου, µε x = (x 1,x 2,x 3 ) το διάνυσµα ϑέσης στον 3-διάστατο χώρο. Για τους τελεστές ˆφ(x,0) και ˆπ(x,0) ισχύουν ˆφ(x, 0) φ = φ(x) φ (3.1) ˆπ(x, 0) π = π(x) π (3.2) όπου φ(x), π(x) οι ιδιοτιµές των αντίστοιχων ιδιοκαταστάσεων φ, π. Επίσης οι σχέσεις πληρότητας και ορθογωνιότητας 1 για τις ιδιοκαταστάσεις των δύο τελεστών είναι ˆ dφ(x) φ φ = 1 (3.3) 1 Στις εξισώσεις (3.5,3.6), η συνάρτηση δ του Dirac είναι επι της ουσίας συναρτησιακό καθώς το όρισµά της είναι και αυτό συνάρτηση. Μία επεξήγηση του συµβολισµού µπορεί να δοθεί ως εξής. Θεωρούµε ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστηµα συναρτήσεων w n (x), µε n ϑετικό ακέραιο. Ετσι, δύο 11

ˆ dπ(x) π π = 1 (3.4) 2π φ a φ b = x δ(φ a (x) φ b (x)) (3.5) π a π b = x δ(π a (x) π b (x)) (3.6) Οπως στην κβαντοµηχανική, µπορούµε να εργαστούµε στον χώρο των καταστάσεων ϑέσης ή στον χώρο των συζυγών καταστάσεων ορµής. Η µετάβαση από τον έναν χώρο στον άλλο γίνεται µέσω της σχέσης x p = e ipx (3.7) Γενικεύοντας από την κβαντοµηχανική, όπου έχουµε πεπερασµένους ϐαθµούς ελευθερίας, στο συνεχές πεδίο µε άπειρους ϐαθµούς ελευθερίας για N i=1 p ix i d3 xπ(x)φ(x), η αντίστοιχη σχέση στην ϑεωρία πεδίου γίνεται φ π = e i( d 3 xπ(x)φ(x)) (3.8) Για έναν µόνο κβαντικό ϐαθµό ελευθερίας το πλάτος µετάβασης από µία κατάσταση x a την χρονική στιγµή t f = 0, σε µία κατάσταση x b είναι x b e iht f x a όπου U(t) = e iht f ο τελεστής χρονικής εξέλιξης και H η χαµιλτονιανή του συστή- µατος. Το αντίστοιχο πλάτος µετάβασης από µία κατάσταση φ a σε µία κατάσταση φ b στην ϑεωρία πεδίου γίνεται φ b e iht f φ a (3.9) όπου U(t) = e iht f ο τελεστής χρονικής εξέλιξης και H η χαµιλτονιανή του συστή- µατος η οποία είναι το χωρικό ολοκλήρωµα της χαµιλτονιανής πυκνότητας H του οποιεσδήποτε συναρτήσεις a(x), b(x) µπορούν να γραφούν ως a(x) = a n w n (x), b(x) = b n w n (x) n=1 n=1 Τότε η συνάρτηση δ του Dirac ως συναρτησιακό γράφεται δ(a(x) b(x)) = δ(a n b n ) n=1 12

πεδίου φ µε ϐάση την σχέση ˆ H = d 3 xh(ˆπ, ˆφ) (3.10) Καθώς µας ενδιαφέρει η χρήση της σχέσης (3.9) στην στατιστική µηχανική, ϑέλουµε να υπολογίσουµε το πλάτος µετάβασης, όπου το πεδίο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση µετά από χρόνο t f. Για τον υπολογισµό του πλάτους αυτού, είναι ιδιαίτερα χρήσιµο να διαιρέσουµε το χρονικό διάστηµα (0,t f ) σε N τον αριθµό, ίσα µεταξύ τους, χρονικά ϐήµατα 2 διάρκειας το καθένα t = t f /N. Στην συνέχεια, ανάµεσα στους διαδοχικούς τελεστές εξέλιξης παρεµβάλλουµε εναλλάξ πλήρη σύνολα ιδιοκαταστάσεων των ϑέσεων και των ορµών, µε ϐάση τις εξισώσεις (3.5),(3.6) : φ a e iht f φ a = lim φ a e ih t e ih t...e ih t φ a N N = lim φ a e ih t φ a (3.11) N ˆ = lim N i=1 N ( dπ i dφ i /2π) i=1 φ a π N π N e ih t φ N φ N π N 1 π N 1 e ih t φ N 1... φ i+1 π i π i e ih t φ i φ i π i 1 π i 1 e ih t φ i 1... φ 2 π 1 π 1 e ih t φ 1 φ 1 φ a Επίσης ισχύει ότι φ 1 φ a = δ(φ 1 φ a ) (3.12) και φ i+1 π i = e i( d 3 xπ i (x)φ i+1 (x)) (3.13) Με δεδοµένο ότι για N, t 0 µπορούµε να αναπτύξουµε 3 τον όρο 2 Για τον τελεστή χρονικής εξέλιξης U = e ih(tc ta) ισχύει U(t c,t a ) = U(t c,t b )U(t b,t a ) για t a < t b < t c. ] 3 Γενικά, ισχύει ότι eâe ˆB = eâ+ ˆB+ 2![Â, 1 ˆB]+ 3!( 1 1 2[[Â, ˆB], ˆB]+ 2[Â,[Â, 1 ˆB]])+..., οπότε αν [Â, ˆB Â, ˆB έχουµε eâ+ ˆB eâe ˆB. 13

π i e ih t φ i κατά Taylor, κρατώντας όρους µέχρι 1ης τάξης π i e ih t φ i π i 1 ih t φ i = π i φ i (1 ih i t) = (1 ih i t)e ( i d 3 xπ i (x)φ i (x)) e ihi t e i d 3 xπ i (x)φ i (x) = e i d 3 x(π i (x)φ i (x)+h i t) (3.14) όπου ˆ H i = d 3 xh(π i (x),φ i (x)) Αντικαθιστώντας τις (3.12),(3.13),(3.14) στην (3.11) λαµβάνουµε την σχέση ˆ φ a e iht f φ a = lim N N ( dπ i dφ i /2π)δ(φ 1 φ a ) i=1 e i t N i=1 d3 x[h(π i,φ i ) (φ i+1 (x) φ i (x))π i (x)/ t] όπου φ N+1 = φ a = φ 1. Στο όριο του συνεχούς (N, t 0), η παραπάνω παράσταση γίνεται φ a e iht f φ a = ˆ [dπ] exp ˆ φ(x,tf )=φ a(x) { i φ(x,0)=φ a(x) ˆ tf ˆ 0 dt [dφ] (3.15) [ φ(x,t) d 3 x t ] π(x,t) H(π,φ) Η τελευταία σχέση µας δίνει το πλάτος µετάβασης του πεδίου από µία κατάσταση ξανά στον εαυτό της µετά από χρόνοt f ως ένα ολοκλήρωµα διαδροµής (Path Integral) στον χώρο των ϑέσεων και των ορµών. Με παρόµοιο τρόπο η παραπάνω σχέση για περισσότερα του ενός ϐαθµωτά πεδία M γίνεται exp { i ˆ tf 0 φ a e iht f φ a = ˆ dt d 3 x [ M m=1 M ˆ m=1 [dπ m ] ˆ φm(x,t f )=φ m,a(x) φ m(x,0)=φ m,a(x) [dφ m ] ] φ m (x,t) π m (x,t) H(π 1,...,π M,φ 1,...,φ M ) t 14

3.2 Στατιστική κβαντικών ϐαθµωτών πεδίων Ξεκινώντας από το ότι ϑέλουµε να µελετήσουµε συλλογή µποζονίων σε ϱελατιβιστική ϐάση, όπου ο αριθµός των σωµατιδίων δεν παραµένει σταθερός, αλλά µπορεί να µεταβάλλεται, η ενδεδειγµένη στατιστική κατανοµή είναι η Μεγαλοκανονική κατανοµή (µvt). Η συνάρτηση επιµερισµού µιας συλλογής όπως η παραπάνω, από την εξίσωση (1.2) γίνεται: [ ] Z = Tr e β(ĥ µ i ˆN i ) (3.16) = a a e β(ĥ µ i ˆN i ) a όπου β = 1/T µε T την ϑερµοκρασία, και µ το χηµικό δυναµικό της κατανοµής. To ίχνος (trace) του τελεστή e β(ĥ µ i ˆN i ) υπολογίζεται ως άθροισµα των ιδιοτιµών του επί όλων των ιδιοκαταστάσεων a του συστήµατος. Οι όροι σε αυτή την έκφραση είναι αρκετά όµοιοι µε την παράσταση (3.15) για το πλάτος µετάβασης φ a e iht f φ a του πεδίου. Ετσι, µπορούµε να εκφράσουµε την συνάρτηση επιµερισµού Z µε ϐάση ένα ολοκλήρωµα δρόµου επί των πεδίων και επί των συζυγών ορµών τους, από την σχέση (3.15). Για να υπολογίσουµε τον όρο φ a e β(ĥ µ i ˆN i ) φ a της εξίσωσης (3.16), τοποθετούµε στην έκφραση (3.15) ως χαµιλτονιανή πυκνότητα την H(π,φ) H =H(π,φ) µn (π,φ) για το κβαντικό σύστηµα και εξισώνουµε τον συντελεστή β της ϑερµοκρασίας µε β = it f έτσι, η (3.15) γίνεται φ a e β(h µn) φ a = { ˆ iβ ˆ exp i dt 0 ˆ [dπ] ˆ φ(x, iβ)=φa(x) φ(x,0)=φ a(x) [dφ] (3.17) [ ] φ(x,t) d 3 x π(x,t) H(π,φ)+µN (π,φ) t Για να µπορέσουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα, είναι χρήσιµο να πραγ- µατοποιήσουµε στην σχέση (3.15) έναν µετασχηµατισµό Wick[21]. Στον µετασχηµατισµό Wick ορίζουµε τον ϕανταστικό χρόνο ως τ = it 15

όπου i είναι η ϕανταστική µονάδα. Με αυτό τον ορισµό, ο πραγµατικός χρόνος t γράφεται πλέον ως t = iτ. Κάνοντας την παραπάνω αντικατάσταση µεταφερό- µαστε από τον πραγµατικό χωρόχρονο Minkowski (t, x), όπου η µετρική είναι της µορφής (+,,, ), στον Ευκλείδειο χωρόχρονο (x E,τ), όπου η µετρική γίνεται (+, +, +, +). Εποµένως, πλέον η χρονική συνιστώσα τ µπορεί να αντιµετωπίζεται µε τον ίδιο τρόπο, όπως οι υπόλοιπες χωρικές συνιστώσες x x E. Συνοπτικά, για να πραγµατοποιήσουµε τον µετασχηµατισµό Wick στη σχέση (3.17) πρέπει να µετασχηµατίσουµε ως εξής t = iτ t = i τ 2 = ( 2 τ + 2) d 4 x = idτd 3 x Με ϐάση τα παραπάνω η (3.17) γίνεται {ˆ β ˆ exp dτ 0 φ a e β(h µn) φ a = ˆ [dπ] ˆ φ(x,β)=φa(x) φ(x,0)=φ a(x) [dφ] (3.18) [ d 3 x i φ(x,τ) ] π(x,τ) H(π,φ)+µN (π,φ) τ όπου π, H, N είναι πλέον οι αντίστοιχες µετασχηµατισµένες κατά Wick ποσότητες από τον πραγµατικό στον Ευκλείδειο χωρόχρονο, ενώ χάριν συντοµίας έχουµε γράψει το πεδίο ως φ(x,τ) εννοώντας επί της ουσίας φ(x, iτ). Στο σηµείο αυτό είµαστε έτοιµοι να υπολογίσουµε την συνάρτηση επιµερισµού Z = a a e β(ĥ µ ˆN) a, η οποία προκύπτει ως άθροισµα επί όλων των καταστάσεων, των όρων (3.18). Οι όροι αυτοί, αν ϑεωρήσουµε ότι ο χρόνος τ εκτείνεται από το στο +, εφόσον µεταβαίνουν από µία κατάσταση, πάλι στην ίδια, αντιστοιχούν σε ολοκληρώµατα µε περιοδικές οριακές συνθήκες για χρονικό διάστηµα τ, ίσο µε τον συνελεστή ϑερµοκρασίας β του συστήµατος. Το άθροισµα των όρων αυτών στην συνάρτηση επιµερισµού Z, όσον αφορά το πεδίο, σηµαίνει ότι αθροίζουµε για όλες τις πιθανές οριακές διατάξεις του πεδίου φ a (x). Εποµένως, για την συνάρτηση επιµερισµού έχουµε Z = ˆ ˆ [dπ] [dφ] (3.19) periodic 16

{ˆ β ˆ exp dτ 0 [ d 3 x i φ(x,τ) ] π(x,τ) H(π,φ)+µN (π,φ) τ Με παρόµοια διαδικασία, η συνάρτηση επιµερισµού για περισσότερα του ενός ϐαθµωτά πραγµατικά πεδία φ m γίνεται Z = {ˆ β ˆ exp dτ 0 M ˆ m=1 d 3 x [ ˆ [dπ m ] [dφ m ] (3.20) periodic i M m=1 φ m τ π m H+µN 3.3 Υπολογισµός συνάρτησης επιµερισµού για το αέριο µποζονίων Για να περιγράψουµε ένα αέριο µποζονίων µε τους αντίστοιχους τελεστές σωµατιδίων N µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µιγαδικό ϐαθµωτό πεδίο της εξίσωσης (2.4) ] φ = (φ 1 +iφ 2 )/ 2, φ 1,φ 2 R το οποίο αναπαριστά µποζόνια ϑετικού ϕορτίου φ και αρνητικού ϕορτίου φ τα οποία αποτελούν τα µεν αντισωµατίδια των δε. Η Λαγκρανζιανή πυκνότητα της εξίσωσης (2.3) γίνεται L = 1 2 [ ( t φ 1 ) 2 +( t φ 2 ) 2 ( φ 1 ) 2 ( φ 2 ) 2 m 2 φ 2 1 m2 φ2] 2 1 4 λ( ) φ 2 2 1 +φ2 2 Πραγµατοποιώντας έναν µετασχηµατισµό Legendre έχουµε π 1 = L ( t φ 1 ) = tφ 1 π 2 = L ( t φ 2 ) = tφ 2 17

και η αντίστοιχη Χαµιλτονιανή πυκνότητα γίνεται H = M t φ m π m L m=1 = 1 [ ( t φ 1 ) 2 +( t φ 2 ) 2 +( φ 1 ) 2 +( φ 2 ) 2 +m 2 φ 2 1 2 +m2 φ2] 2 + 1 4 λ( ) φ 2 1 +φ 2 2 2 = 1 2 ( ) π 2 1 +π2 2 +U(φ1, φ 2 ) όπου U(φ 1, φ 2 ) = 1 2 είναι ο δυναµικός όρος της χαµιλτονιανής. [ ( φ1 ) 2 +( φ 2 ) 2 +m 2 φ 2 1 +m 2 φ2] 2 1 + 4 λ( ) φ 2 1 +φ 2 2 2 Ακόµη, η πυκνότητα του αριθµού σωµατιδίων N από την (2.7) γίνεται N = i[φ t φ φ( t φ) ] = φ 2 t φ 1 φ 1 t φ 2 Οι αντίστοιχες µετασχηµατισµένες ποσότητες π 1,π 2,H,N στον Ευκλείδειο χωρόχρονο µε ϐάση τον µετασχηµατισµό Wick, γίνονται π 1 = i τ φ 1 π 2 = i τ φ 2 Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην σχέση (3.20), η συνάρτηση επιµερισµού γίνεται H = 1 2 ( ) π 2 1 +π2 2 +U(φ1, φ 2 ) N = φ 2 π 1 φ 1 π 2 Z = ˆ ˆ [dπ 1 ][dπ 2 ] {ˆ β exp dτ 0 periodic ˆ d 3 x [dφ 1 ][dφ 2 ] (3.21) [ i φ 1 τ π 1 +i φ 2 τ π 2 1 ( π 2 2 1 +π2) 2 ] U(φ 1, φ 2 )+µ(φ 2 π 1 φ 1 π 2 ) (3.22) 18

Για να αποτιµήσουµε το παραπάνω ολοκλήρωµα µπορούµε να επιστρέψουµε στην διακριτοποιηµένη του µορφή: Z = lim N ( N j=1 ˆ + dπ 1,i dπ 2,i i=1 2π 2π { N ˆ [ 1 exp τ d 3 x 2 1 2 ˆ periodic dφ 1,i dφ 2,i ) ( (φ 1,j+1 φ 1,j ) (φ 2,j+1 φ 2,j ) iπ 1,j +iπ 2,j τ τ ] ( ) π 2 1 +π2 2 U(φ1, φ 2 )+µ(φ 2 π 1 φ 1 π 2 ) ) ( N ˆ + ˆ ) dπ 1,i dπ 2,i Z = lim dφ 1,i dφ 2,i N i=1 2π 2π periodic { N [ 1 exp a 3 2 (iπ 1,j(φ 1,j+1 φ 1,j )+iπ 2,j (φ 2,j+1 φ 2,j )) j=1 τ x [ 1 ]] ( ) π 2 2 1 +π2 2 U(φ1,j, φ 2,j )+µ(φ 2,j π 1 φ 1,j π 2 ) Τα ολοκληρώµατα των ορµών µπορούν να αποτιµηθούν άµεσα, καθώς αποτελούν γινόµενα Γκαουσιανών ολοκληρωµάτων 4. Χωρίζουµε τον χώρο των ϑέσεων όγκου V = L 3, σεm 3 µικρούς κύβους πλευράςa, µεm,a 0. Για λόγους ευκολίας και για να διασϕαλίσουµε ότι η συνάρτηση επιµερισµού Z παραµένει αδιάστατη, ορίζουµε π m,j = A m,j /(a 3 τ) 1/2 και ολοκληρώνουµε για A 1,j,A 2,j από έως. Για κάθε κύβο παίρνουµε + da 1,j 2π = 1 2π exp { ( 1/2[(φ1,j+1 da 2,j { exp 1 2π 2 A2 1,j 1 2 A2 a 2,j +i τ) 3 φ 1,j i τµφ 2,j )A 1,j +(φ 2,j+1 φ 2,j +i τµφ 1,j )A 2,j ] ( ) [(φ1,j+1 φ 1,j i τµφ 2,j ) 2 +(φ 2,j+1 φ 2,j +i τµφ 1,j ) 2] a 3 2 τ = 1 2π exp { ( ) [ ( ) 2 ( ) 2 τa 3 φ1,j+1 φ 1,j φ2,j+1 φ iµφ 2 τ 2,j + 2,j +iµφ τ 1,j ](3.23) Ετσι, τελικά έχουµε 4 + e ax2 +bx+c = π a e b 2 4a +c 19

Z = lim M,N exp { ( (2π) M3 N τ 1 2 N ˆ j=1 ˆ d 3 x periodic i=1 [ ( φ2,j+1 φ 2,j τ 1 2 ) N dφ 1,i dφ 2,i ( φ1,j+1 φ 1,j τ iµφ 2,j ) 2 +iµφ 1,j ) 2 U(φ 1,j, φ 2,j ) ] (3.24) Παίρνοντας το όριο του συνεχούς για M,N µε τ 0, προκύπτει Z = N ˆ periodic ( ˆ β ˆ [dφ 1 ][dφ 2 ]exp dτ 0 d 3 xl E ) (3.25) όπου η σταθερά N µπορεί να αγνοηθεί, αφού ο πολλαπλασιασµός της συνάρτησης επιµερισµού µε µια σταθερά δεν µεταβάλλει την ϑερµοδυναµική του συστήµατος, και L E, η Ευκλείδεια Λαγκρανζιανή πυκνότητα, η οποία δίνεται ως ( φ1 ) 2 + 1 ( φ2 ) 2 L E = 1 2 τ iµφ 2 2 τ +iµφ 1 + 1 [ ( φ1 ) 2 +( φ 2 ) 2 +m 2 φ 2 1 +m 2 φ 2 1 2 2] + 4 λ( φ 2 1 +φ 2 2 [ = 1 ( φ1 ) 2 ( ) ] 2 φ2 + +( φ 1 ) 2 +( φ 2 ) 2 2 τ τ + m2 µ 2 2 ( ) φ 2 1 +φ 2 φ 2 2 +µi (φ 1 τ φ 2 ) 2 ) φ 1 + 1 τ 4 λ( φ 2 1 +φ2) 2 2 (3.26) Χρησιµοποιώντας τα µιγαδικά πεδία φ και φ, η (3.26) µπορεί να γραφεί και ως L E = ( τ +µ)φ ( τ µ)φ+ i φ i φ+m 2 φ φ+λ(φ φ) 2 = ν φ ν φ+ ( m 2 µ 2) φ φ+µ(φ τ φ φ τ φ )+λ(φ φ) 2 (3.27) όπου ο δείκτης i εκτείνεται στις τρείς συντεταγµένες του χώρου (x 1,x 2,x 3 ), ενώ ο δείκτης ν εκτείνεται στις (x 1,x 2,x 3,τ) [5]. Αντίστοιχα, ορίζεται και η Ευκλείδεια δράση S E = ˆ β 0 ˆ dτ d 3 xl E (3.28) 20

Με ϐάση τις εξισώσεις (3.27), (3.28) η (3.25) γράφεται ˆ Z = Dφe S E[φ] periodic (3.29) όπου το Dφ periodic periodic [dφ 1][dφ 2 ] υπονοεί το συναρτησιακό ολοκλήρωµα επί όλων των πιθανών διατάξεων του µιγαδικού πεδίου φ. Το συναρτησιακό αυτό ολοκλήρωµα επι της ουσίας ορίζει ένα στατιστικό σύνολο διατάξεωνφ i του πεδίου φ, όπου οι αντίστοιχες πιθανότητες να ϐρεθεί το σύστηµα στην διάταξη φ i είναι 5 p φi = e S E[φ i ] Z (3.30) ενώ, Z = i e S E[φ i ] είναι η συνάρτηση επιµερισµού. Αυτό σηµαίνει πως γνωρίζοντας την στατιστική κατανοµή του συστήµατός µας µπορούµε µε υπολογιστικές µεθόδους να προσεγγίσουµε µακροσκοπικές παρατηρήσιµες ποσότητες O από τον αντίστοιχο γενικό τύπο O = DφO[φ]e S E [φ] Dφe S E [φ] {φ i O[φ i]e S E[φ i ] {φ i e S E[φ i ] (3.31) Η έκφραση (3.29) µε την Ευκλείδεια Λαγκρανζιανή της (3.26) δεν µπορεί να αποτιµηθεί αναλυτικά, παρά µόνο για την περίπτωση λ = 0, όπου το συναρτησιακό ολοκλήρωµα γίνεται Γκαουσιανό και µπορεί να υπολογισϑεί όµοια µε το ελεύθερο ϐαθµωτό πεδίο [21]. Στο σηµείο αυτό, παρατηρούµε από την (3.26) ότι ο γραµµικός όρος του χηµικού δυναµικού µ, προκύπτει ϕανταστικός, δίνοντάς µας τελικά µία µιγαδική δράση S E. Αυτό το χαρακτηριστικό επηρεάζει σηµαντικά την µελέτη του πεδίου µας τόσο µε αναλυτικές, όσο και µε υπολογιστικές µεθόδους, όπως ϑα δούµε στην συνέχεια. 3.4 ιακριτοποίηση του πεδίου στο Πλέγµα Για να πραγµατοποιήσουµε πρακτικούς υπολογισµούς αναµενόµενων ποσοτήτων σε ηλεκτρονικό υπολογιστή είναι χρήσιµο να διακριτοποιήσουµε το πεδίο µας στο Ευκλείδειο χωροχρονικό πλέγµα [23, 5]. Ετσι ξεκινάµε από την Ευκλείδεια δράση για το µιγαδικό µποζονικό πεδίο φ(x,τ), όπως προέκυψε από την παραπάνω ανάλυση ˆ S E = d 4 x [ ( ν φ )( ν φ)+ ( m 2 µ 2) φ φ+λ(φ φ) 2 +µ(φ 4 φ φ 4 φ ) ] (3.32) 5 Οπου S E [φ i ] συµβολίζουµε την υπολογιζόµενη δράση για µία διάταξη φ i του πεδίου. 21

Για την διακριτοποίηση του χωροχρόνου µπορούµε να αντικαταστήσουµε ως εξής x ν n ν a, n ν Z φ(x) φ(na) ˆ d 4 x a 4 x ενώ για την µερική παράγωγο µπορούµε να προσεγγίσουµε 6 ν φ(x) 1 a [φ(na+aˆν) φ(na)] = 1 a [φ x+aˆν φ x ] όπου ˆν είναι µοναδιαίο διάνυσµα κατά την ϑετική διεύθυνση ν. Εφαρµόζοντας µια ανακλιµάκωση των ποσοτήτων φ,m,µ στα φ = aφ, m = am, µ = aµ η δράση S E προκύπτει πλέον αδιάστατη. Εποµένως, µπορούµε πλέον να ορίσουµε ότι a 1. Στην συνέχεια, για λόγους ευκολίας στην γραφή ϑα χρησιµοποιούµε τις ποσότητεςφ,m,µ εννοώντας τις ανακλιµακωµένες ποσότητες φ, m, µ. Εφαρµόζοντας τα παραπάνω στην δράση (3.32) έχουµε ( ν φ )( ν φ) = 4 ν=1 ( ) φ x+ˆν φ x (φx+ˆν φ x ) 4 ( φ x+ˆν φ x+ˆν φ x+ˆν φ x φ x φ x+ˆν +φ x φ x) ν=1 φ 4 φ φ 4 φ φ x( φx+ˆ4 φ x) φx ( φ x+ˆν φ x = φ x φ x+ˆ4 φ x φ x φ x φ x+ˆν +φ xφ x = φ x φ x+ˆ4 φ xφ x+ˆ4 6 Για µια συνάρτηση f(x) το ανάπτυγµα Taylor δίνει ) Εποµένως, µπορούµε να προσεγγίσουµε f(x 0 +a) f(x 0 )+af (x 0 )+O(a 2 ) f (x 0 ) = f(x) x x=x 0 1 a [f(x 0 +a) f(x 0 )]+O(a) 22

Ετσι, αυτή γίνεται S E = x = x [ 4 ν=1 + x [ 4 + x ( φ x+ˆν φ x+ˆν φ x+ˆν φ x φ x φ x+ˆν +φ x φ ) ] x [ (m 2 µ 2) φ x φ x +λ(φ x φ x) 2 +µ ν=1 ( 2φ x φ x φ x+ˆν φ x φ x φ ) ] x+ˆν [ m 2 φ xφ x µ 2 φ xφ x +µ ( )] φ x φ x+ˆ4 φ xφ x+ˆ4 ( φ xφ φ x+ˆ4 xφ )+λ(φ xφ x+ˆ4 x ) 2] = [ 8φ x φ x +m 2 φ x φ x +λ(φ x φ x) 2] x + [ 4 µ 2 φ x φ ( ( ) x φ x+ˆν φ x +φ x φ x+ˆν) ] +µ φ x φ x+ˆ4 φ xφ x+ˆ4 x ν=1 = [ 8φ x φ x +m 2 φ x φ x +λ(φ x φ x) 2] x + [ 3 µ 2 φ x φ ( x φ x+ˆν φ x +φ x φ x+ˆν) x ν=1 ( ) ( ) ] φ φ x+ˆ4 x +φ x φ x+ˆ4 +µ φ x φ x+ˆ4 φ xφ x+ˆ4 23

Για µικρό a ισχύει 7 ότι φ x φ x 1 2 ( ) φ φ x+ˆ4 x +φ x φ x+ˆ4 οπότε, τελικά S E = [ 8φ x φ x +m 2 φ xφ x +λ(φ xφ x ) 2] x + [ ] 3 ( ) φ x+ˆν φ x +φ µ 2 xφ x+ˆν (1+µ+ 2 )φ xφ µ2 (1 µ+ x+ˆ4 2 )φ xφ x+ˆ4 x ν=1 [ 8φ x φ x +m 2 φ x φ x +λ(φ x φ x) 2] x + [ ] 3 ( φ x+ˆν φ x +φ x φ ) x+ˆν φx e µ φ x+ˆ4 φ x e µ φ x+ˆ4 x ν=1 = [ (8+m ) 4 2 φ x φ x +λ(φ x φ x) 2 ( ) ] φ x+ˆν e µδ ν,4 φ x +φ x e µδ ν,4 φ x+ˆν (3.33) x Εχοντας αναπτύξει πλέον έναν εύκολο τρόπο υπολογισµού της δράσης στον υπολογιστή, µπορούµε να προχωρήσουµε στην πραγµατοποίηση µεθόδων προσοµοίωσης MCMC. ν=1 7 Αναπτύσσοντας κατά Taylor τα φ x+ˆ4,φ x+ˆ4 έχουµε: φ x+ˆ4 φ x +a 4 φ x +O ( a 2) φ φ x+ˆ4 x +a 4 φ x +O ( a 2) Εποµένως, για µικρό a προσεγγιστικά ισχύει φ φ x+ˆ4 x +φ xφ x+ˆ4 2φ xφ x +O(a) 24

Κεφάλαιο 4 Αλγόριθµοι Monte Carlo Στην στατιστική ϕυσική ένα σύστηµα µπορεί να έχει πολύ µεγάλο αριθµό ϐαθµών ελευθερίας, όπως και αντίστοιχων πιθανών καταστάσεων που µπορεί να ϐρεθεί. Για τα περισσότερα ενδιαφέροντα συστήµατα είναι δύσκολος έως και αδύνατος ο αναλυτικός υπολογισµός της συνάρτησης επιµερισµού, η οποία εµπεριέχει και όλη τη στατιστική πληροφορία για το σύστηµα. Για τον λόγο αυτό, συχνά καταφεύγουµε σε αριθµητικούς υπολογισµούς. Αυτό κάνουν οι λεγόµενες µέθοδοι Monte Carlo [10]. Συγκεντρώνοντας ένα µικρό στατιστικό δείγµα κάποιων ενδεικτικών καταστάσεων του συστήµατος, µε κατάλληλα επιλεγµένη κατανοµή πιθανοτήτων µπορούµε να εκτιµήσουµε µε ακρίβεια χαρακτηριστικές ϑερµοδυναµικές του ποσότητες. 4.1 ειγµατοληψία καταστάσεων Εστω ένα κλασικό στατιστικό σύστηµα, όπου p φi p φi = e S[φ i] = e S[φ i] i e S[φ i] Z (4.1) είναι η πιθανότητα του συστήµατος να ϐρεθεί στην κατάσταση φ i, ϑεωρώντας πως η ποσότηταs R και µεz = i e S[φ i], την συνάρτηση επιµερισµού. Η αναµενόµενη τιµή µιας παρατηρήσιµης ποσότητας O είναι O = i p φi O i (4.2) Με στόχο να έχουµε µια προσέγγιση του µεγέθους O, κατασκευάζουµε ένα δείγµα M καταστάσεων {φ 1,φ 2,...,φ M του συστήµατος οι οποίες είναι στατιστικά κατανεµηµένες µε ϐάση µία πιθανοτική κατανοµή P φi. Εποµένως, ορίζουµε τον 25

εκτιµητή O M του O ως O M = M i=1 O φ i P 1 φ i e S[φ i] M i=1 P 1 φ i e S[φ i] (4.3) Στην παραπάνω εξίσωση για αρκετά µεγάλο δείγµα καταστάσεων το P φi είναι η πι- ϑανότητα να ϐρεθεί η κατάσταση φ i στο δείγµα µας. Τελικά περιµένουµε O = lim M O M ο στόχος µας είναι να ϐρούµε µια κατάλληλη κατανοµήp φi, ώστε ο εκτιµητής µας να συγκλίνει στην πραγµατική τιµή του O κατά το δυνατόν συντοµότερα (µε µικρότερο δείγµα καταστάσεων). 4.1.1 Απλή δειγµατοληψία Αν διαλέξουµε δείγµα µε P φi = σταϑεϱό, τότε η εξίσωση (4.3) γίνεται O M = M i=1 O φ i e S[φ i] M i=1 e S[φ i] Το πρόβληµα µε αυτή την επιλογή P φ είναι ότι υπάρχει χαµηλή επικάλυψη του δείγµατος µε τις καταστάσεις, οι οποίες συνεισϕέρουν σηµαντικά στον υπολογισµό του αθροίσµατος (4.2). Σε µία προσοµοίωση Monte Carlo το µέγεθος του δείγµατος καταστάσεων είναι ένα πολύ µικρό κλάσµα του συνόλου των πιθανών καταστάσεων. Εποµένως, η πιθανότητα να επιλεγούν οι καταστάσεις που συνεισϕέρουν σηµαντικά είναι πολύ µικρή. 4.1.2 ειγµατοληψία µε κριτήριο σηµαντικότητας Εναλλακτικά, από την απλή δειγµατοληψία µπορούµε να διαλέξουµε µια κατανοµή P φi για το δείγµα των καταστάσεων, όπου η πιθανότητα να επιλεγεί µια κατάσταση, η οποία ϑα συνεισφέρει σηµαντικά στον υπολογισµό του O ϑα είναι πολύ µεγαλύτερη. Αν επιλέξουµε ένα δείγµα µε δειγµατοληψία P φi = p i = e S[φ i] Z (4.4) το δείγµα µας ϑα δειγµατοληπτεί σε αυτή την περιοχή καταστάσεων. Στην περίπτωση 26

αυτή ο εκτιµητής (4.3) γίνεται O M = M i=1 O j i ( e S E [φ i ] ) 1 e S E [φ i ] M i=1 (e S E[φ i] ) 1 e S E[φ i ] = 1 M M O ji (4.5) i=1 Αυτός ο τρόπος δειγµατοληψίας ονοµάζεται δειγµατοληψία µε κριτήριο σηµαντικότητας (importance sampling) και είναι ο πιο συνηθισµένος τρόπος δειγµατοληψίας σε προσοµοιώσεις Monte Carlo. Το δείγµα, όπως ϕαίνεται από την εξίσωση (4.4) εξαρτάται από την ϑερµοκρασία β, αλλά και από το χηµικό δυναµικό µ. Για τον λόγο αυτό, σε περίπτωση αλλαγής της ϑερµοκρασίας ή του χηµικού δυναµικού, ϑα πρέπει να κάνουµε νέα δειγµατοληψία για την µέτρηση των νέων ποσοτήτων. Παρά ταύτα, η δυσκολία αυτή είναι συνήθως κατά πολύ µικρότερη από το πρόβληµα επικάλυψης που εµφανίζεται σε περίπτωση απλής δειγµατοληψίας. 4.2 Μαρκοβιανές διαδικασίες Το να δειγµατοληπτήσουµε µε ϐάση µια πιθανοτική κατανοµή P φ, δεν είναι δυνατό να γίνει απ ευθείας. Αν επιχειρήσουµε να κατασκευάσουµε ένα δείγµα P φ = e S[φ] Z επιλέγοντας τυχαία από οµοιόµορφη κατανοµή µια κατάσταση φ και απορρίπτοντας ή κρατώντας την κατάσταση αυτή στο δείγµα µε ϐάση πιθανότητα P φ, τότε έχουµε πολύ µικρή πιθανότητα να κρατήσουµε την κατάσταση φ στο δείγµα. Συνεπώς, ϑα καταλήξουµε πάλι να χρειαζόµαστε πάρα πολύ χρόνο για την κατασκευάσουµε το δείγµα καταστάσεων. Για να παρακάµψουµε αυτό το πρόβληµα ϑα χρησιµοποιήσουµε µια διαδικασία Markov για την κατασκευή του δείγµατος. Η διαδικασία Markov είναι µία στοχαστική διαδικασία, η οποία δεδοµένου ενός συστήµατος σε κατάσταση φ j, τοποθετεί το σύστηµα σε µία νέα κατάσταση φ k µε τέτοιο στοχαστικό τρόπο ώστε να ακολουθούν την Ϲητούµενη κατανοµή. Με τον τρόπο αυτό, τελικά δηµιουργείται µία αλυσίδα καταστάσεων φ 1 φ 2... φ M η οποία αποτελεί και το Ϲητούµενο δείγµα {φ i. Για τις πιθανότητες µετάβασης P(φ j φ k ) από την κατάσταση φ j στην κατάσταση φ k, ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: 1. Η δειγµατοληψία είναι ανεξάρτητη του χρόνου 2. Εξαρτώνται µόνο από τις καταστάσεις φ j, φ k και όχι από προηγούµενες ή επόµενες από αυτές. 27

3. Ισχύει ότι P(φ j φ k ) = 1 k 4. Για M το δείγµα {φ i, ακολουθεί την Ϲητούµενη κατανοµή πιθανότητας P φ. Κατά την µέθοδο Monte Carlo, κατασκευάζουµε το δείγµα µας από µία διαδικασία Markov, χρησιµοποιώντας δειγµατοληψία µε κριτήριο σηµαντικότητας µε τέτοιο τρόπο, ώστε να συγκλίνει γρήγορα η (4.5). Ενα άλλο σηµείο που δίνουµε προσοχή είναι η επιλογή της αρχικής κατάστασης φ 1. Σε περίπτωση που η αρχική κατάσταση της µαρκοβιανής αλυσίδας δεν είναι µια τυπική κατάσταση του συστήµατος, τότε µέχρι το σύστηµα να µεταβεί σε ϑερµοδυναµική ισορροπία χρειάζεται να περάσει πρώτα κάποιος χρόνος (thermalization time) για να πάρουµε ένα δείγµα αντιπροσωπευτικό της συγκεκριµένης ϑερµοκρασίας. Απαραίτητη προϋπόθεση για να πετύχουµε το δείγµα να ακολουθεί την Ϲητού- µενη κατανοµή είναι η διαδικασία Markov να ικανοποιεί το κριτήριο της εργοδικότητας. Αυτό σηµαίνει ότι από κάθε κατάσταση φ που επιλέγουµε, κάθε άλλη δυνατή κατάσταση είναι προσβάσιµη µέσω ενός πεπερασµένου αριθµού ϐηµάτων. Αν αυτή η συνθήκη δεν ικανοποιείται, τότε υπάρχουν περιοχές του χώρου καταστάσεων που δεν ϑα µπορούµε να δειγµατοληπτήσουµε, κι έτσι δεν ϑα µπορούµε να πετύχουµε την Ϲητούµενη κατανοµή. 4.3 Συνθήκη λεπτοµερούς ισοζύγισης Για να ϐρίσκεται το σύστηµα σε στατιστική ισορροπία στην κατανοµή p φ, πρέπει για τις πιθανότητες µετάβασης να ισχύει p φj P (φ j φ k ) = j k p φk P (φ k φ j ) Το παραπάνω σηµαίνει ότι ο ϱυθµός µε τον οποίο το σύστηµα µεταβαίνει από µία κατάστασηφ j στις υπόλοιπες καταστάσεις είναι ίσος µε τον ϱυθµό που µεταβαίνει από τις υπόλοιπες καταστάσεις στην κατάσταση φ j. Μία ικανή, αλλά όχι και αναγκαία συνθήκη για να καταλήξει το σύστηµα σε ισορροπία µετά από µια περίοδο εξισορ- ϱόπησης είναι η συνθήκη λεπτοµερούς ισοζύγισης (detailed balance condition) p φj P (φ j φ k ) = p φk P (φ k φ j ) (4.6) 28

Για την κατανοµή µας η συνθήκη (4.6) µας δίνει P (φ j φ k ) P (φ k φ j ) = p φ k p φj = e (S[φ k] S[φ j ]) (4.7) µπορεί να δειχθεί ότι αν οι πιθανότητες µετάβασης ικανοποιούν την παραπάνω συν- ϑήκη, η κατανοµή πιθανότητας σε κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος ϑα είναι η κατανοµή (4.1). 4.4 Αλγόριθµοι Markov Chain Monte Carlo Με ϐάση τα προηγούµενα µια διαδικασία προσοµοίωσης Monte Carlo µπορεί να συνοψιστεί στα επόµενα ϐήµατα: 1. Κατασκευάζουµε το λογισµικό που υλοποιεί κατάλληλα επιλεγµένες πι- ϑανότητες µετάβασης P (φ j φ k ), τέτοιες ώστε να ικανοποιούν την εξίσωση (4.7). 2. Επιλέγουµε κατάλληλη αρχική κατάσταση φ 1. 3. Αφήνουµε το σύστηµα να εξελιχθεί µέχρι να προσεγγίσουµε την κατανοµή p φi (4.1). 4. Συλλέγουµε δεδοµένα για τις παρατηρήσιµες ποσότητες O που µας ενδιαφέρουν και υπολογίζουµε τον εκτιµητή O M. 5. Σταµατάµε µόλις πετύχουµε την επιθυµητή ακρίβεια. Η εξίσωση (4.7) έχει πολλές λύσεις. Ποια από αυτές τις λύσεις ϑα επιλέξουµε, εξαρτάται από την αποδοτικότητά τους σε ένα συγκεκριµένο πρόβληµα. Ενδεικτικά, τέτοιες επιλογές µπορούν να είναι: P (φ j φ k ) = A e 1 2 (S[φ k] S[φ j ]) e (S[φ k] S[φ j ]) P (φ j φ k ) = A 1+e (S[φ k] S[φ j ]) e (S[φ k] S[φ j ]) S[φ k ] S[φ j ] > 0 P (φ j φ k ) = A 1 S[φ k ] S[φ j ] 0 (4.8) (4.9) (4.10) για καταστάσεις φ j φ k και P (φ j φ j ) = 1 k P (φ j φ k ) (4.11) 29

ενώ P(φ j φ k ) = 0 για οποιαδήποτε άλλη κατάσταση φ k. Για να µπορεί να ισχύει η (4.11) οι σταθερές A, πρέπει να επιλεγούν έτσι ώστε P (φ j φ k ) < 1 (4.12) k j η εξίσωση (4.12) µας δίνει αρκετή ελευθερία στο πως να επιλέξουµε τις πιθανότητες µετάβασης. Στις περισσότερες περιπτώσεις χωρίζουµε τις πιθανότητες µετάβασης σε δύο ανεξάρτητα µέρη P (φ j φ k ) = g(φ j φ k )A(φ j φ k ) (4.13) Η πιθανότηταg(φ j φ k ) είναι η πιθανότητα επιλογής της κατάστασηςφ k όταν το σύστηµα ϐρίσκεται στην κατάσταση φ j. Εποµένως, το πρώτο ϐήµα του αλγορίθµου είναι να επιλέξει µία κατάσταση k j µε πιθανότητα g(φ j φ k ). Το δεύτερο ϐήµα είναι να αποδεχθεί την µετάβαση στην επιλεχθείσα κατάσταση φ k µε πιθανότητα A(φ j φ k ) ή διαφορετικά να απορρίψει την µετάβαση παραµένοντας στην κατάσταση φ k. Οι πιθανότητες A(φ j φ k ) ονοµάζονται λόγοι αποδοχής (acceptance ratios). Είναι σηµαντικό σε έναν αλγόριθµο Markov Chain Monte Carlo να έχει σχετικά υψηλούς λόγους αποδοχής, όπως επίσης και κάθε νέα κατάσταση φ k να είναι κατά το δυνατόν στατιστικά ανεξάρτητη από τη προηγούµενη κατάσταση φ j. 30

Κεφάλαιο 5 Προσοµοίωση µποζονικού αερίου σε χηµικό δυναµικό Στο κεφάλαιο αυτό ϑα χρησιµοποιήσουµε ϐασικές µεθόδους Monte Carlo για την προσοµοίωση ενός στατιστικού συστήµατος µποζονίων που αλληλεπιδρούν µεταξύ τους, σε σταθερή ϑερµοκρασία T = 1/β και χηµικό δυναµικό µ. Το σύστηµα αυτό των σωµατιδίων περιγράφεται από ένα µιγαδικό πεδίο φ µε δυναµική που προσδιορίζεται από την λαγκρανζιανή (2.3) και το αντίστοιχο συναρτησιακό επιµερισµού (generating functional) της εξίσωσης (3.25). Ο αλγόριθµος που ϑα χρησιµοποιήσουµε είναι ένας από τους πιο διαδεδοµένους αλγόριθµους για προσοµοιώσεις Monte Carlo, αυτός του Metropolis [10]. Θα µελετήσουµε την εφαρµογή του αλγορίθ- µου µας, αναφερόµενοι στην περίοδο ϑέρµανσης του συστήµατος και την επίδραση των συσχετίσεων ανάµεσα σε διαδοχικές διατάξεις του πεδίου που κατασκευάζονται κατά την προσοµοίωση. Οι συσχετίσεις αυτές ποσοτικοποιούνται µε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και τη χρονική κλίµακα που ορίζεται από αυτήν, τον χρόνο αυτοσυσχέτισης. Το να ξεπεράσουµε το εµπόδιο της αυτοσυσχέτισης των διαδοχικών καταστάσεων ϑα είναι κρίσιµο σηµείο για την µελέτη του συστήµατός µας. Θα µελετήσουµε ακόµη τον καθορισµό των στατιστικών σϕαλµάτων για να αξιολογήσουµε την ακρίβεια των µετρήσεών µας. 5.1 Το σύστηµα µποζονικού αερίου και η µιγαδική δράση Το σύστηµα, που ϑέλουµε να προσοµοιώσουµε είναι αυτό που έχει προκύψει από την ανάλυση στο κεφάλαιο 3 και το οποίο περιγράφεται από την Ευκλείδεια Λαγκρανζιανή (3.27) και την αντίστοιχη δράση (3.28), η οποία όπως προαναφέραµε 31

προκύπτει µιγαδική. Θεωρίες πεδίου µε µιγαδική δράση είναι δύσκολο να προσεγγιστούν µε τυπικές µεθόδους Monte Carlo. Αυτό συµβαίνει διότι η υπο ολοκλήρωση ποσότητα e S E = e S E e iφ = e (R{S E+iI{S E ) στο ολοκλήρωµα δρόµου δεν είναι πραγµατικός αριθµός, και δεν µπορεί να ερµηνευθεί ως πιθανότητα της αντίστοιχης διάταξης του πεδίου. Εποµένως, οι υπολογιστικές µέθοδοι µε δειγµατοληψία κριτηρίου σηµαντικότητας δεν µπορούν να εφαρµοστούν απευθείας. Το πρόβληµα αυτό είναι γνωστό και ως πρόβληµα του προσήµου (sign problem) [1, 12, 5, 3, 4]. Στην διεθνή ϐιβλιογραφία έχουν προταθεί διάφορες υπολογιστικές µέθοδοι για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος της αναµενόµενης τιµής (3.31), για την περίπτωση όπου η δράση είναι µιγαδικός αριθµός. Μερικές από αυτές είναι: Επαναπροσδιορισµός των στατιστικών ϐαρών (re-weighting) [16, 17, 12], Μιγαδική δυναµική Langevin (Complex Langevin dynamics) [1, 3], Ανάπτυγµα σε σειρές Taylor [7, 19], ϕανταστικό χηµικό δυναµικό και αναλυτική συνέχεια [13, 14], χρήση κανονικής κατανοµής [15, 22] και µέθοδοι πυκνότητας καταστάσεων [9, 8]. Γενικά, αυτές οι µέθοδοι µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνο σε περιορισµένες περιοχές του διαγράµµατος των ϕάσεων (υψηλές ϑερµοκρασίες και µικρό χηµικό δυναµικό), κα- ϑώς πάσχουν από προβλήµατα επικάλυψης και περιορίζονται σε µικρούς όγκους πλέγµατος. 5.1.1 Επαναπροσδιορισµός ϐαρών και το Phase Quenched model Στην παρούσα εργασία ϑα µελετήσουµε το πρόβληµα µε την τεχνική του επαναπροσδιορισµού ϐαρών (Re-weighting) χρησιµοποιώντας το λεγόµενο Μοντέλο Σταθερής Φάσεως (Phase Quenched Model). Μέσω του τελευταίου, ϑα προσπαθήσουµε να ανακατασκευάσουµε το πλήρες µοντέλο. Στο Phase Quenched µοντέλο για να µπορέσουµε να εφαρµόσουµε µεθόδους Monte Carlo και δειγµατοληψία µε κριτήριο σηµαντικότητας, αγνοούµε το ϕανταστικό µέρος της δράσης S E και κρατάµε µόνο το πραγµατικό µέρος της R{S E. Κάνοντας αυτό, το ϕανταστικό τµήµα της δράσης µπορεί να µεταφερθεί ως µέρος της παρατηρήσιµης ποσότητας. Η (4.2) και (3.31) γίνεται O = = φ O φρ φ φ ρ φ = φ O φe (R{S E[φ]+iI{S E [φ]) φ φ e (R{S E[φ]+iI{S E [φ]) φ e (R{S E[φ]+iI{S E [φ]) ( Oφ e ii{s E[φ] ) e R{S E[φ] Κάνοντας δειγµατοληψία από µία κατανοµή M καταστάσεων, µε πυκνότητα πι- 32

ϑανότητας P φi = e R{S E[φ i ] Z ο εκτιµητής (4.3) µιας παρατηρήσιµης ποσότητας O γίνεται (5.1) O full = O M = = M i=1 O φ i P 1 φ i e S E[φ i ] M i=1 P 1 φ i e S E[φ i ] M i=1 O φ i e ii{s E[φ i ] M i=1 e ii{s E[φ i ] = = M i=1 OeR{S E[φ i ] e (R{S E[φ i ]+ii{s E [φ i ]) M i=1 er{s E[φ i ] e (R{S E[φ i ]+ii{s E [φ i ]) M i=1 O φ i e iθ φ M i i=1 M = O φ i e iθ φ i i=1 eiθ φ M i i=1 eiθ φ i = Oeiθ pq e iθ pq (5.2) όπου full συµβολίζουµε την αναµενόµενη τιµή µε ϐάση το αρχικό µιγαδικό ϐάρος, ενώ µε pq συµβολίζουµε τις αναµενόµενες τιµές µε ϐάση το πραγµατικό µόνο τµήµα του ϐάρους. Εποµένως, η (5.2) µας δίνει έναν τρόπο να ανακατασκευάσουµε τις µετρήσιµες ποσότητες για το αρχικό µοντέλο, µε ϐάση µια δειγµατοληψία, η οποία έχει στηριχθεί στο Phase Quenched µοντέλο. Η ποσότητα e iθ στις παραπάνω παραστάσεις για µεγάλες τιµές του µ, αλλά και του όγκου του πλέγµατος L 4, είναι µία ισχυρά ταλαντούµενη συνάρτηση. Για τον λόγο αυτό, οι αναµενόµενες τιµές, τόσο στον αριθµητή, όσο και στον παρονοµαστή της παράστασης (5.2) συγκλίνουν γρήγορα προς το µηδέν [12, 1, 3, 4, 5, 24, 2]. Το γεγονός αυτό δηµιουργεί πρόβληµα στον αξιόπιστο υπολογισµό της παρατηρήσιµης ποσότητας [12, 11]. Η σοβαρότητα του προβλήµατος µπορεί να ποσοτικοποιηθεί από την τιµήr { e iθ pq στον παρονοµαστή. Οσο γίνεται αρκετά µικρότερη της µονάδας, το πρόβληµα γίνεται σοβαρότερο. Επίσης, µπορεί να δειχθεί ότι e iθ pq exp( fv/t) όπουv ο όγκος του συστήµατος,t η ϑερµοκρασία, καιf η πυκνότητα της ελεύθερης ενέργειας. Ετσι, η µέθοδος ανακατασκευής του πλήρους µοντέλου, για µεγαλύτερες τιµές του µ αλλά και για µεγαλύτερους όγκους πλέγµατος V, απαιτεί εκθετικά µεγαλύτερο αριθµό υπολογισµών, ώστε να δώσει αξιόπιστο αποτέλεσµα. Η παραπάνω συµπεριφορά συνδέεται µε το λεγόµενο πρόβληµα επικάλυψης (Overlap Problem), όπου η συλλογή καταστάσεων του δείγµατος δεν προέρχεται από την Ϲητούµενη κατανοµή του µιγαδικού πίνακα πυκνότητας, αλλά από µία διαφορετική η οποία περιλαµβάνει µόνο το πραγµατικό τµήµα και όχι το ϕανταστικό. Παρά το πρόβληµα του προσήµου, υπάρχουν περιοχές για τις οποίες η µέθοδος λειτουργεί αποδοτικά και αποδίδει ουσιαστικά αποτελέσµατα, µη προσβάσιµα µε αναλυτικές µεθόδους. Στην συνέχεια, ϑα δούµε την εφαρµογή αυτής της µεθό- 33

δου και ϑα αξιολογήσουµε την χρήση της στο πρακτικό πρόβληµα του µποζονικού αερίου. 5.2 Προσοµοίωση µε τον αλγόριθµο Metropolis Ας ϑεωρήσουµε ένα διακριτό τετραγωνικό πλέγµα στις τέσσερις διαστάσεις του χωρόχρονου, µεlσηµεία σε κάθε πλευρά του, έτσι ώστε ο αριθµός των κορυφών του πλέγµατος να είναι N lat = L d µε d = 4. Επίσης, ϑεωρούµε τοροειδή τοπολογία στο πλέγµα µε περιοδικές οριακές συνθήκες. Αυτό σηµαίνει πως κάθε σηµείο (κορυφή) του πλέγµατος είναι ισότιµο µε κάθε άλλο, και το κάθε ένα από αυτά έχει 2d = 8 γειτονικά σηµεία. Κάθε πλεγµατική ϑέση καθορίζεται από τις αντίστοιχες συντεταγ- µένες της n = (n 1,n 2,n 3,n 4 ) στο πλέγµα µε n i N. Σε κάθε σηµείο του πλέγµατος έχουµε έναν µιγαδικό ϐαθµό ελευθερίας του πεδίου φ x = φ(an) = φ x,1 + φ x,2 i, ο οποίος επί της ουσίας αντιστοιχεί σε δύο πραγµατικούς ϐαθµούς ελευθερίας. Ετσι ορίζεται και η αντίστοιχη δράση του από την σχέση (3.33) ως ένα άθροισµα πάνω στο πλέγµα: S E = x [ (8+m 2 ) φ x φ x +λ(φ x φ x) 2 4 ( ) ] φ x+ˆν e µδ ν,4 φ x +φ x e µδ ν,4 φ x+ˆν ν=1 όπως και η αντίστοιχη συνάρτηση επιµερισµού (5.3) Z = φ i e S E[φ i ] Στόχος µας είναι να συλλέξουµε ένα δείγµα καταστάσεων µε ϐάση την κατανοµή του Phase Quenched µοντέλου (5.1). Αυτό ϑα το πετύχουµε κατασκευάζοντας µία διαδικασία Markov όπως εξηγήσαµε στην παράγραφο 4.2. Η δειγµατοληψία ϑα γίνεται µε κριτήριο σηµαντικότητας 4.1.2, και οι αναµενόµενες τιµές ϑα υπολογί- Ϲονται από τον τύπο (4.5). Σε κάθε ϐήµα η επόµενη κατάσταση δίνεται από τον τύπο (4.7), όπου για ένα αρκούντως µεγάλο δείγµα, αυτό συγκλίνει προσεγγιστικά στην Ϲητούµενη κατανοµή. Υποθέτοντας ότι το σύστηµα είναι στην κατάσταση j, η πιθανότητα να µεταβεί το σύστηµα στην κατάσταση k δίνεται από την (4.13) P (φ j φ k ) = g(φ j φ k )A(φ j φ k ) όπουg(φ j φ k ) η πιθανότητα επιλογής τηςφ k ως υποψήφιας επόµενης κατάστασης, και A(φ j φ k ) είναι ο λόγος αποδοχής της. Για το Phase Quenched µοντέλο η 34

συνθήκη λεπτοµερούς ισοζύγισης (4.7) της σειράς Markov γίνεται P (φ j φ k ) P (φ k φ j ) = p k p j = e R{S E[φ k ] S E [φ j ] (5.4) όπου φ j,φ k οι διατάξεις του πεδίου στις καταστάσεις j,k αντίστοιχα. Αν ισχύει η συνθήκη (5.4) τότε το δείγµα µας ϑα συγκλίνει στην κατανοµή p φ = e R{SE[φ] /Z. Για να είναι οι πιθανότητεςp (φ j φ k ) αρκετά µεγάλες (µεγαλύτερες του 50%), ώστε το σύστηµα να αλλάζει αρκετά συχνά κατάσταση, η µεταβολή στην δράση µεταξύ των δύο καταστάσεων ϑα πρέπει να είναι αρκούντως µικρή. Ενας τρόπος να το πετύχουµε αυτό, είναι να επιλέγουµε καταστάσεις στο πλέγµα, οι οποίες διαφέρουν στην τιµή του πεδίου για ένα µόνο σηµείο του πλέγµατος κατά φ j (an) φ k (an) = φ αρκετά µικρό. Αν το σηµείο του πλέγµατος που ϑα πραγµατοποιήσουµε την αλλαγή επιλέγεται από µία οµοιόµορφη κατανοµή στο πλέγµα, η πιθανότητα επιλογής της νέας κατάστασης φ k είναι g(φ j φ k ) = g(φ k φ j ) και ο αλγόριθµος προκύπτει εργοδικός. Στη συνέχεια, για να ισχύει η (5.4) για τους λόγους αποδοχής A(φ j φ k ) και A(φ k φ j ), πρέπει να ισχύει ότι A(φ j φ k ) A(φ k φ j ) = e R{S E[φ k ] S E [φ j ] Με ϐάση τον αλγόριθµο του Metropolis µία καλή επιλογή των λόγων αποδοχής A(φ j φ k ) είναι η e R{S E[φ k ] S E [φ j ] R{S E [φ k ] S E [φ j ] > 0 A(φ j φ k ) = 1 R{S E [φ k ] S E [φ j ] 0 (5.5) Σύµφωνα µε την (5.5) αν η επόµενη κατάσταση έχει χαµηλότερη δράση από την προηγούµενη, τότε η νέα κατάσταση γίνεται άµεσα αποδεκτή, διαφορετικά γίνεται αποδεκτή µε πιθανότητα µικρότερη της µονάδας. Ο υπολογισµός της διαφοράς S E = S E [φ k ] S E [φ j ] από την διαφορά φ = φ k (an) φ j (an), γίνεται από τον τύπο (5.3). Παρατηρούµε 35