Π. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π.. Μιγαδικοί αριθμοί Ένας μιγαδικός αριθμός z μπορεί να γραφεί είτε σε καρτεσιανή είτε σε πολική μορφή ως εξής: z = x + jy = ρ.e jθ (Π.) Στην (Π.): Η x + jy είναι η καρτεσιανή μορφή του μιγαδικού αριθμού z με τα x, y να είναι (αντίστοιχα) το πραγματικό και το φανταστικό του μέρος. Η ρ.e jθ είναι η πολική μορφή του μιγαδικού αριθμού z με τα ρ, θ να είναι (αντίστοιχα) το μέτρο και το όρισμα (φάση) του εν λόγω μιγαδικού αριθμού. Από το σχήμα που ακολουθεί, προκύπτει ότι σχύουν οι παρακάτω σχέσεις: x = ρ.cosθ y = ρ.sinθ (Π.2.α) ρ z = 2 2 y x y θ = arctan( ) (Π.2.β) x y ρ z θ x Με βάση τις (Π.) και (Π.2), προκύπτει ένας μιγαδικός αριθμός z μπορεί να γραφεί με τους εξής ισοδύναμους τρόπους: z = x + jy = ρ.e jθ = (ρ.cosθ) + j.(ρ.sinθ) = 2 2 x y e j.arctan(y/x) (Π.3) «Απομονώνοντας», από την (Π.3), την ισότητα ρ.e jθ = (ρ.cosθ) + j.(ρ.sinθ) = ρ(cosθ + j.sinθ) και απλοποιώντας τον παράγοντα ρ προκύπτει η ταυτότητα του Euler e jθ = cosθ + j.sinθ (Π.4) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.
Ο συζυγής z* ενός μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως z* = x jy (Π.5) Σε σχέση με τον αρχικό μιγαδικό αριθμό z, ο συζυγής συζυγής z* έχει ίδιο μέτρο και αντίθετο όρισμα (φάση). Πράγματι z* = 2 2 x (-y) = - y θ* = arctan( x 2 2 x y = z = ρ (Π.6.α) ) = arctan( x y ) = θ (Π.6.β) y z ρ z θ θ z* = z ρ x y z* Π.2. Τριγωνομετρία (βασικά στοιχεία) Π.2.. Ορισμοί Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί cosθ, sinθ ορίζονται με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σύμφωνα με το σχήμα αυτό: Το cosθ είναι η προβολή, στον οριζόντιο άξονα Ox, του διανύσματος που αντιστοιχεί στη γωνία θ. Το sinθ είναι η προβολή, στον κατακόρυφο άξονα Oy, του διανύσματος που αντιστοιχεί στη γωνία θ. Η γραφική παράσταση του μήκους των παραπάνω προβολών συναρτήσει της γωνίας θ, δίνει τις γνωστές «κυματοειδείς» παραστάσεις των cosθ, sinθ. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.2
Στον τριγωνομετρικό κύκλο, ο οριζόντιος και ο κατακόρυφος άξονας μπορούν να θεωρηθούν ως ο άξονας των πραγματικών και φανταστικών αριθμών αντίστοιχα. Στο πλαίσιο αυτό, που αντιστοιχεί στη γωνία θ μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει έναν μιγαδικό αριθμό ζ ο οποίος εκφράζεται ως ζ = cosθ + j.sinθ =.e jθ (Π.7) (σε καρτεσιανή και πολική μορφή, αντίστοιχα) αναπαράγοντας, ουσιαστικά, την ταυτότητα του Euler (Π.5). Το μέτρο ζ είναι πρoφανώς ζ = e jθ = 2 2 cos θ sin θ = (Π.8) Im(ζ) sinθ θ cosθ Re(ζ) cosθ 2π π 0 π 2π θ sinθ 2π π 0 π 2π θ Π..2. Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αθροίσματα και διαφορές γωνιών Διπλάσια γωνία Μπορεί να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες (που εμπλέκουν αθροίσματα και διαφορές γωνιών): cos(θφ) = cosθ.cosφ + sinθ.sinφ (Π.9.α) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.3
cos(θ+φ) = cosθ.cosφ sinθ.sinφ (Π.9.β) sin(θφ) = sinθ.cosφ + cosθ.sinφ sin(θ+φ) = sinθ.cosφ cosθ.sinφ (Π.0.α) (Π.0.β) Προσθέτοντας και αφαιρώντας τις (Π.9.α) και (Π.9.β) κατά μέλη, προκύπτουν (αντίστοιχα) οι παρακάτω σχέσεις: 2.cosθ.cosφ = cos(θφ) + cos(θ+φ) 2.sinθ.sinφ = cos(θφ) cos(θ+φ) (Π..α) (Π..β) Θέτοντας φ = θ στις σχέσεις (Π.9.α) και (Π.0.α), προκύπτουν οι σχέσεις cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ = 2.cos 2 θ = 2.sin 2 θ (Π.2) (όπου έγινε και χρήση της γνωστής ταυτότητας cos 2 θ + sin 2 θ = ) Από την (Π.2) προκύπτουν και οι (ισοδύναμες) σχέσεις 2.cos 2 θ = + cos(2θ) 2.sin 2 θ = cos(2θ) (Π.3.α) (Π.3.β) Χρησιμοποιώντας κατάλληλα τις σχέσεις (Π.9) και (Π.0) μπορούν να αποδειχθούν και οι παρακάτω σχέσεις: θ φ θ φ sinθ + sinφ = 2.sin cos 2 2 θ φ θ φ sinθ sinφ = 2.sin cos 2 2 θ φ θ φ cosθ + cosφ = 2.cos cos 2 2 θ φ φ θ cosθ cosφ = 2.sin sin 2 2 (Π.4) (Π.5) (Π.6) (Π.7) Ταυτότητες με το e jθ Ξεκινώντας από την ταυτότητα του Euler, e jθ = cosθ + j.sinθ (Π.4) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.4
προκύπτει ότι: e jθ = e j(θ) = cos(θ) + j.sin(θ) = cosθ j.sinθ (Π.8) όπου έγινε και χρήση των σχέσεων cos(θ) = cosθ και sin(θ) = sinθ. Προσθέτοντας και αφαιρώντας τις (Π.4) και (Π.8) κατά μέλη, προκύπτουν (αντίστοιχα) οι παρακάτω σχέσεις: (Π.4) + (Π.8) e jθ + e jθ = 2cosθ cosθ = 2 (e jθ + e jθ ) (Π.9) (Π.4) (Π.8) e jθ e jθ = 2j.sinθ sinθ = (e jθ e jθ ) (Π.20) 2j Π.3. Παραγώγιση και ολοκλήρωση συναρτήσεων Ορισμός παραγώγου df Η παράγωγος f (x) (σε τυχαίο σημείο x) μιας συνάρτησης f(x) ορίζεται όπως παρακάτω: dx df f (x) = lim(h) dx f(x h) f(x) h (Π.2) Βασικοί κανόνες παραγώγισης [cf(x)] = cf (x) (Π.22) [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) (Π.23) [f(x) g(x)] = f (x) g (x) (Π.24) [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) (Π.25) f(x) f' (x)g(x) f(x)g' (x) ' 2 g(x) g (x) (Π.26) [f(g(x)] = f (g(x))g (x) (Π.27) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.5
Παραγώγιση βασικών συναρτήσεων (c) = 0 (Π.28) (x α ) = αx α (Π.29) (sinx) = cosx (Π.30) (cosx) = sinx (Π.3) (e x ) = e x (Π.32) (lnx) = x (Π.33) Παράδειγμα: [ln(cosx)] = cosx (cosx)' cosx ( sinx) sinx cosx tanx όπου χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις (Π.27), (Π.33) και (Π.33). Βασικοί κανόνες ολοκλήρωσης f(x).d(αx) = α.f(x).dx (Π.24) cf(x).dx = c.f(x).dx (Π.35) [f(x) + g(x)]dx = f(x).dx + g(x).dx (Π.36) [f(x) g(x)]dx = f(x).dx g(x).dx (Π.37) f (x).g(x).dx = f(x).g(x) f (x).g (x).dx (Π.38) Ολοκλήρωση βασικών συναρτήσεων 2 x α x α dx = (α ) (Π.39) 3 α x dx = dx = ln x (Π.40) x sinx.dx = cosx (Π.4) Άμεση συνέπεια της (Π.29) είναι η σχέση (x) = 2 Στο δεύτερο (δεξί) μέλος των σχέσεων (Π39) (Π.4), πρέπει να προστεθεί και μία σταθερά c η οποία παραλείπεται για λόγους απλότητας. 3 Άμεση συνέπεια της (Π.39) είναι η σχέση dx = x. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.6
cosx.dx = sinx (Π.42) e x.dx = e x (Π.43) 4 Παράδειγμα: e αx.dx = α e αx.d(αx) = α e αx όπου χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις (Π.34) και (Π.43). Ταυτότητες με ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων (0,2π) sinθ.dθ = [cosθ] (0,2π) = 0 (Π.44) (0,2π) cosθ.dθ = [sinθ] (0,2π) = 0 (Π.45) (0,2π) e jθ dθ = (0,2π) cosθ.dθ +j. (0,2π) sinθ.dθ = 0 (Π.46) (0,2π) cos 2 θ = (0,2π) cos(2θ) dθ = (0,2π) dθ = (0,2π) 2 2 cos(2θ) θ dθ = + 0 = π 2 2 (Π.47) Θεωρώντας θ = 2π.f n t = 2π.nf 0 t όπου f n = nf 0 η συχνότητα της n-οστής αρμονικής και λαμβάνοντας υπόψη ότι η περιοχή ολοκλήρωσης [0, 2nπ] ως προς θ, αντιστοιχεί στην περιοχή ολοκλήρωσης [0, nτ] ως προς t, προκύπτει ότι: (0,Τ) sin(2π.nf 0 t).dt = [cos(2π.nf 0 t)] (0,Τ) = 0 (Π.48) (0,Τ) cos(2π.nf 0 t).dt = [sin(2π.nf 0 t)] (0,Τ) = 0 (Π.49) (0,Τ) e j2π.nf 0 t.dt = (0,Τ) cos(2π.nf 0 t).dt +j. (0,Τ) sin(2π.nf 0 t).dt = 0 (Π.50) Για mn (0,Τ) sin(2π.mf 0 t).sin(2π.nf 0 t).dt = (0,Τ) cos(2π.mf 0 t).cos(2π.nf 0 t).dt = (0,Τ) sin(2π.mf 0 t).cos(2π.nf 0 t).dt = 0 Για m=n n (0,Τ) A 2 cos 2 (2π.nf 0 t).dt = (0,Τ) A 2 2 (0,Τ) A 2 sin 2 (2π.nf 0 t).dt = (0,Τ) A 2 2 cos(2.2π.f t) A 2 T dt = 2 cos(2.2π.f t) A 2 T dt = 2 n (Π.52) (Π.5) (Π.53) 4 To γεγονός ότι η συνάρτηση f(x) = e x παραμένει «αναλλοίωτη» τόσο κατά την παραγώγιση όσο και κατά την ολοκλήρωση (σχέσεις Π.32 και Π.42) είναι ένας από τους λόγους της χρήσης εκθετικών συναρτήσεων στη μελέτη των σημάτων. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.7
(0,Τ) sin(2π.nf 0 t).cos(2π.nf 0 t).dt = 0 Για mn: (0,Τ) e j2π.mf 0 t e +j2π.nf 0 t.dt = 0 Για m=n: (0,Τ) e j2π.nf 0 t e +j2π.nf 0 t.dt = (0,Τ) dt = T (Π.54.α) (Π.54.β) Π.4. Ορισμένες ειδικές συναρτήσεις Π.4.. Η κρουστική συνάρτηση δ(x) H κρουστική συνάρτηση δ(x) ορίζεται όπως παρακάτω: δ(x) = 0, για x 0 έτσι ώστε (,+) δ(x).dx = 0 0 δ(x)dx = (Π.55) Οι παραπάνω σχέσεις δηλώνουν ότι η κρουστική συνάρτηση δ(x) έχει μηδενική τιμή εκτός αν x = 0 οπότε και λαμβάνει μια άπειρα μεγάλη τιμή, κατά τέτοιο, όμως, τρόπο, ώστε η επιφάνεια που περικλείει (όπως εκφράζεται από το ολοκλήρωμα δ(x).dx = δ(x)dx ) να είναι ίση με. 0 0 Γενίκευση του παραπάνω τύπου αποτελεί η εξίσωση δ(xα) = 0, για x α έτσι ώστε (,+) δ(xα).dx = α δ(x)dx = (Π.56) δ(x) δ(xα) 0 x 0 x=α x Δύο βασικές ιδιότητες της παραπάνω συνάρτησης είναι οι εξής: δ(x).f(x).dx = f(0) (Π.57) δ(xα).f(x).dx = f(α) (Π.58) Π.4.2. Η συνάρτηση δειγματοληψίας Sa(x) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.8
Η συνάρτηση δειγματοληψίας Sa(x) ορίζεται από τον τύπο: Sa(x) = sinx x (Π.59) Για την παραπάνω συνάρτηση ισχύουν τα εξής: Η μέγιστη τιμή Sa max προκύπτει για x=0. Συγκεκριμένα ισχύει ότι: Sa max = lim sinx x0 [ ] = limx0 x (sinx)' x' = lim x0 ( cosx ) = (Π.60) Η συνάρτηση μηδενίζεται για x=nπ (n0). Ισχύει δηλαδή ότι Sa(nπ) = 0 (n =, 2, ) (Π.6) Sa(x) 0 π 2π x Π.5. Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων Π.5.. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Η έννοια της τυχαίας μεταβλητής (εν προκειμένω της διακριτής τυχαίας μεταβλητής) μπορεί να γίνει κατανοητή με χρήση του παρακάτω παραδείγματος: Έστω ότι μια τάξη σπουδαστών παρουσίασε τα παρακάτω αποτελέσματα, κατά την εξέταση ενός μαθήματος: Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.9
Βαθμός Χ (πιθανές τιμές β i ) Αριθμός σπουδαστών με βαθμό β i Ποσοστό σπουδαστών με βαθμό β i Πιθανότητα λήψης βαθμού β i P(X=β i ) = P i 0 20 5% 0,05 9 20 5% 0,5 8 0 0% 0,00 7 0 0% 0,00 6 0 0% 0,00 5 60 30% 0,30 4 0 0% 0,00 3 0 0% 0,00 2 60 30% 0,30 40 20% 0,20 0 0 0% 0,00 ΣΥΝΟΛΟ 200 00%,00 Στον ανωτέρω πίνακα μπορούν να οριστούν: Η τυχαία μεταβλητή Χ: Είναι η μεταβλητή Χ που «αντιπροσωπεύει» τη βαθμολογία των σπουδαστών και η οποία λαμβάνει τιμές β i από έως 0, κάθε μία με το ποσοστό (ή, ισοδύναμα, την πιθανότητα P i ) που φαίνεται στον πίνακα. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x): Είναι η συνάρτηση f(x) της οποίας η τιμή f(β i ) είναι (εξ ορισμού) η πιθανότητα P i P(X=β i ) κάποιος σπουδαστής να έχει βαθμό β i (εναλλακτικά το ποσοστό των σπουδαστών που έχουν βαθμό β i ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) δίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 0,35 P i 0,30 0,25 0,20 0,5 0,0 0,05 0,00 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 βi Η μέση (ή αναμενόμενη) τιμή μ (ή Ε(Χ) ή <Χ>): Είναι η μέση βαθμολογία της τάξης και προκύπτει ως εξής: Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.0
μ = (020 + 920 + 0 + 0 + 560 + 0 + 0 + 260 + 40) / 200 = = (20/200) 0 + (20/200)9 + (60/200)5 + (60/200)2 + (40/200) = = (0,)0 + (0,) 9 + (0,3)5 + (0,3)2 + (0,2) = μ = ΣP i.β i = 4,20 Η τυπική απόκλιση σ: Είναι η «μέση απόσταση» των ατομικών βαθμών από τη μέση βαθμολογία μ = 4,20 και ουσιαστικά προσδιορίζει το βαθμό «ομοιογένειας» της τάξης ως προς τις επιδόσεις της στο υπόψη μάθημα. σ 2 = (0,)(04,20) 2 + (0,)(94,20) 2 + (0,3)(54,20) 2 + (0,3)(24,20) 2 + (0,2)(4,20) 2 σ 2 = ΣP i.(β i μ) 2 = 9,36 σ = 9, 36 = 3,06 Γενικά ισχύει ότι μ Ε(Χ) <Χ> = ΣP i β i (Π.62) σ = {ΣP i.(β i μ) 2 } /2 = {<(Χμ) 2 >} /2 (Π.63) Επισημαίνεται ότι, πολλές φορές, αντί για την τυπική απόκλιση σ, υπολογίζεται το τετράγωνό της σ 2. Προφανώς σ 2 = ΣP i.(β i μ) 2 = <(Χμ) 2 > (Π.64) Π.5.2. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Βασικοί ορισμοί Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ λαμβάνει τιμές μέσα από διαστήματα της μορφής (a, b) (στις περιπτώσεις που ενδιαφέρουν, το διάστημα αυτό είναι, συνήθως, το (,)). Επειδή τα διαστήματα αυτά είναι συνεχή, άρα περιλαμβάνουν άπειρο πλήθος τιμών, η πιθανότητα η Χ να λάβει μια συγκεκριμένη τιμή x είναι, προφανώς 0. Για το λόγο αυτόν, το ερώτημα «ποιά η πιθανότητα P(X=x) ;» είναι άνευ πρακτικής σημασίας, αντίθετα έχει νόημα το ερώτημα «ποιά η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ να λάβει τιμές από το απειροστό διάστημα (x, x+dx);» δηλαδή «ποιά η τιμή της P(x<X<x+dx);». Παράδειγμα: O θόρυβος n(t) (που εδώ αποτελεί μια συνεχή τυχαία μεταβλητή) μπορεί (θεωρητικά) να λάβει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα (-,). Η πιθανότητα ο θόρυβος να Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.
λάβει μια συγκεκριμένη τιμή (π.χ. 2 V) είναι 0. Ισχύει δηλαδή ότι P(n(t)=2V) = 0. Αντίθετα, υπάρχει κάποια πιθανότητα ο θόρυβος n(t) να λάβει τιμές από το στοιχειώδες διάστημα (2 V έως 2,00.. V), οπότε πρέπει να υπολογιστεί η τιμή της P(2 V < n(t) < 2,00.. V) Για την πραγματοποίηση των παραπάνω υπολογισμών, ορίζεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x), με βάση τις παρακάτω σχέσεις: P(x < X< x+dx) = f(x).dx P(α < X < β) = [α,β] f(x).dx (Π.65) Προφανώς, P( < Χ < ) = (,) f(x).dx = (Π.66) Ως γραφική παράσταση, η εκάστοτε τιμή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (π.χ. η τιμή f(ρ)) παρέχει μια ένδειξη σχετικά με το μέγεθος της πιθανότητας (σχετικά μεγάλη ή σχετικά μικρή) η τυχαία μεταβλητή Χ να λάβει τιμές γύρω από το απειροστό διάστημα γύρω από την τιμή x=ρ. Μετά από τα παραπάνω, η μέση τιμή μ και η τυπική απόκλιση σ της (συνεχούς) τυχαίας μεταβλητής Χ ορίζονται ως εξής: μ Ε(Χ) <Χ> = x.f(x).dx (Π.67) σ = {(xμ) 2.f(x).dx} /2 = {<(Χμ) 2 >} /2 (Π.68) Από την (Π.69), προκύπτει ότι το τετράγωνο σ 2 της τυπικής απόκλισης (που πολλές φορές χρησιμοποιείται αντί για την ίδια την τυπική απόκλιση) δίνεται από τον τύπο σ 2 = (xμ) 2.f(x).dx = <(Χμ) 2 > (Π.69) Σύγκριση των παραπάνω τύπων με τους αντίστοιχους για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές δείχνει ότι η ποσότητα P i που εμφανίζεται για τις τελευταίες έχει «αντικατασταθεί» (όπως αναμενόταν) από την ποσότητα f(x).dx. Αν η (συνεχής) τυχαία μεταβλητή Χ αντιπροσωπεύει τις εκάστοτε τιμές m ενός σήματος m(t), τότε f(x) f(m) οπότε μ Ε(m) <m(t)> = m.f(m).dx (Π.70) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.2
σ = [(mμ) 2.f(m).dx] /2 = [<(mμ) 2 >] /2 σ 2 = (mμ) 2.f(m).dx = <(mμ) 2 > (Π.7.α) (Π.7.β) Σχόλια Για την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση ενός σήματος m(t) μπορούν να χρησιμοποιηθούν και οι τύποι <m(t)> μ = T T m(t).dt σ = [<{m(t)μ} 2 >] /2 = [ T T {m(t)μ} 2.dt] /2 σ 2 = <{m(t)μ} 2 > = T T {m(t)μ} 2.dt (Π.72) (Π.73.α) (Π.73.β) Ωστόσο, επειδή οι παραπάνω τύποι (Π.72) και (Π.73) προϋποθέτουν την ύπαρξη ακριβούς χρονικής συνάρτησης m(t) για το υπό μελέτη σήμα, μπορούν να εφαρμοστούν μόνο για αιτιοκρατικά σήματα. Αντίθετα για στοχαστικά σήματα (π.χ. για το θόρυβο) τα οποία, από τη φύση τους, δεν έχουν επακριβώς προσδιορισμένη κυματομορφή και, ουσιαστικά, προσδιορίζονται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(m), χρησιμοποιούνται οι σχέσεις (Π.70) και (Π.7). Η ισοδυναμία των σχέσεων (Π.70)(Π.7) με τις σχέσεις (Π.72)(Π.73) προκύπτει από το γεγονός ότι, για ένα αιτιοκρατικό σήμα m(t), οι ποσότητες f(m).dm και dt/t εκφράζουν (και οι δύο) την πιθανότητα, το σήμα m(t) να έχει τιμή από m(t)=m έως m(t+dt) = m+dm. Κατανομές πιθανότητας η κανονική κατανομή Συνήθως, για μια τυχαία μεταβλητή, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) είναι γνωστή, οπότε λέγεται ότι είναι γνωστή η κατανομή πιθανότητας της υπόψη μεταβλητής στο διάστημα τιμών της (εδώ το (, )). Σε πολλές από τις τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές, οι τυχαίες μεταβλητές ακολουθούν την κανονική κατανομή πιθανότητας (ή κατανομή Gauss). H κατανομή αυτή έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο f(x) = q 2π.e (xr)2 /2q 2 όπου r, q γνωστές παράμετροι. (Π.74) Mπορεί να αποδειχθεί ότι: μ = x.f(x).dx = r (Π.75) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.3
σ 2 = (xμ) 2.f(x).dx = q 2 (Π.76) Δηλαδή, οι (γνωστές) παράμετροι r και q παρέχουν (απευθείας) τη μέση τιμή μ και την τυπική απόκλιση σ της κανονικής κατανομής. Για το λόγο αυτόν, η f(x) για την κανονική κατανομή γράφεται στη μορφή f(x) = σ 2π.e (xμ)2 /2σ 2 (Π.77) από την οποία προκύπτουν απευθείας, τόσο η μέση τιμή μ όσο και η τυπική απόκλιση σ. Από τη μελέτη της f(x) (βλέπε και γραφική παράσταση) προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα: Η f(x) μεγιστοποιείται για x=μ. Η μέγιστη τιμή είναι f max = f(μ) = σ 2π (Π.78) Σε απόσταση σ από τη μέση τιμή ισχύει ότι: f(σ) = σ 2π.e /2 = f max e /2 (Π.79) Με χρήση πινάκων ολοκλήρωσης, προκύπτει ότι P(μσ < x < μ+σ) = 68% P(μ2σ < x < μ+2σ) = 97% P(μ3σ < x < μ+3σ) = 99% (Π.80.α) (Π.80.β) (Π.80.γ) f(x) fmax = f(σ) σ 2π P(μ-σ <x< μ+σ) = 68% μσ μ+σ x Ο θόρυβος ως παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής με κανονική κατανομή Ο θόρυβος n(t) είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ=0 και τυπική απόκλιση σ για την οποία (λόγω του ότι μ=0) ισχύει ότι: Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.4
σ 2 = <n 2 (t)> = P (Π.8) όπου Ρ η μέση ισχύς του θορύβου. Θέτοντας μ=0 στην (Π.77), προκύπτει ότι: f(n) = σ.e n2 /2σ 2 (Π.82) 2π P(σ < n < σ) = 68% (Π.83.α) P(2σ < n < 2σ) = 97% (Π.83.β) P(3σ < n < 3σ) = 99% (Π.83.γ) f(n) f max = σ 2π P(σ < n < σ) = 68% σ μ=0 σ n Π.6. Η μονάδα db (decibel) και οι συναφείς μονάδες (dbm κλπ.) Η μονάδα db χρησιμοποιείται για να εκφράσει λόγους (κλάσματα) ομοειδών μεγεθών, αντιστοιχεί δηλαδή σε καθαρούς αριθμούς. Για την περίπτωση κλασμάτων ισχύος, ο ορισμός του db έχει ως εξής: P (σε db) = 0.log0 P P' P' (Π.84) P Αντιστρέφοντας τον παραπάνω ορισμό, προκύπτει ότι, αν η τιμή του λόγου σε db, P' παρασταθεί με ψ δηλαδή αν τότε P ψ = (σε db) = 0.log0 P P' P' (Π.85) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.5
P = 0 ψ/0 P' (Π.86) Παράδειγμα P Αν ψ = 3 db, να βρεθεί η τιμή του λόγου. P' Λύση κ = ψ db ψ/0 = 0,3 P = 0 ψ/0 = 0 0,3 = 2. P' Στον παρακάτω πίνακα, δίνονται αντιπροσωπευτικά παραδείγματα κλασμάτων ισχύος και οι αντίστοιχες τιμές τους σε db. P 0 3 0 2 0 2 4 8 0 00 000 P' 8 4 2 P (db) 30 20 0 9 6 3 0 3 6 9 0 20 30 P' Στον παραπάνω πίνακα μπορούν να γίνουν οι εξής επισημάνσεις: Διαδοχικός διπλασιασμός του λόγου P/P' (2 4 8 κλπ.) ισοδυναμεί με διαδοχικές αυξήσεις κατά 3 db (+3 db +6 db + 9 db κλπ. αντίστοιχα). Στα αντίστροφα κλάσματα (π.χ. /2, /00 κλπ.) οι τιμές σε db είναι οι αντίθετες από τις αντίστοιχες τιμές του παραπάνω πίνακα (3 db, 20 db κλπ.). P P Γενικά, για >, οι τιμές σε db είναι θετικές ενώ για <, είναι αρνητικές. P' P' Σε πολλές περιπτώσεις, στη θέση της ισχύος P' του παρονομαστή, χρησιμοποιείται μια συγκεκριμένη ισχύς αναφοράς P ref, η οποία θεωρείται αντιπροσωπευτική για την εκάστοτε κατηγορία εφαρμογών. Στις ινοοπτικές επικοινωνίες, μια συνήθης τιμή αναφοράς είναι η P ref = mw. Στην περίπτωση αυτή, οποιαδήποτε άλλη τιμή ισχύος εκφράζεται σε dbm (όπου το "m" δηλώνει db ως προς το mw). Συγκεκριμένα ισχύει ότι P P mw P ref (σε dbm) = P 0.log0 mw (Π.87) Αντιστρέφοντας τον παραπάνω ορισμό, προκύπτει ότι, αν η τιμή του λόγου P/mW (σε dbm), παρασταθεί με «η» δηλαδή αν η = P P mw P ref P (σε dbm) = 0.log 0 mw (Π.88) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.6
τότε P mw = 0 η/0 P = 0 η/0 mw (Π.89) Στον παρακάτω πίνακα, δίνονται αντιπροσωπευτικά παραδείγματα τιμών ισχύος σε υποπολλαπλάσια / πολλαπλάσια του mw καθώς και σε dbm. P (mw) μw 0μW 00μW mw 2mW 0mW 00mW W 2 W 0 W P (dbm) 30 20 0 0 3 0 20 30 33 40 Παράδειγμα Σε μια (ινοοπτική) επικοινωνιακή ζεύξη, ο πομπός εκπέμπει ισχύ P t = 2 mw ενώ το τηλεπικοινωνιακό μέσο (οπτικό καλώδιο) εισάγει απόσβεση α = 0,3 db/km. Αν το μήκος της ζεύξης είναι L = 50 km, να υπολογιστεί η ισχύς P r που λαμβάνεται από το δέκτη. Υπολογισμός P r σε dbm Συνολική απώλεια A = α.l = (0,3 db/km)x(50 km) = 5 db P t = 2 mw = 3 dbm P r (dbm) = P t (dbm) A(dB) = 3 dbm 5 db = 2 dbm = 0,064 mw. Υπολογισμός P r σε mw Aπώλεια α = 0,3 db/km σημαίνει μείωση της ισχύος στο 0 0,03 = 0,933 για κάθε km. Συνεπώς για L = 50 km, η συνολική μείωση είναι Α = 0,933 50 = 0,032 (= 0,5 ). P t = 2 mw P r (mw) = P t (mw).α = 0,064 mw (= 2 dbm). 22.5. Παραπομπές Άλγεβρα Β Λυκείου, 202: Ενότητες 3.3.2. Μαθηματικά (Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης) Γ Λυκείου, 203: Ενότητες 2.2.4 (Α μέρους), 2.2.3 (Β μέρους), 3.3.2 (Β μέρους). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Π.7