Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ( ) Σημειώσεις Μαθήματος Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος. Γεώργιος Παπαλάμπρου

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο (8.3.01.5) Σημειώσεις Μαθήματος 2015-2016 Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος Γεώργιος Παπαλάμπρου

2 Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο email: george.papalambrou@lme.ntua.gr http://www.lme.ntua.gr ενημέρωση: 17/12/2015 ΓΠ XƎL A TEX

Περιεχόμενα 1 Ελεγκτές PID και IMC 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Ελεγκτές PID............................. 5 1.2.1 Ελεγκτές P, I, PI, PID.................... 5 1.2.2 Ελεγκτές και ανατροφοδότηση................ 9 1.3 Ελεγκτές IMC............................ 11 1.3.1 Σχεδιασμός.......................... 12 1.3.2 IMC για Σύστημα Δεύτερης Τάξης............. 14 1.4 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών PID................ 19 1.4.1 Ρύθμιση Παραμέτρων: Μέθοδος Ziegler-Nichols....... 20 1.4.2 Ρύθμιση Παραμέτρων: Μέθοδος PID_IMC......... 23 1.5 Κριτήρια Σφάλματος......................... 25 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1 Ελεγκτές PID και IMC 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται σημαντικές μέθοδοι σχεδιασμού κλασσικών ελεγκτών όπως Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί-Διαφορικοί (PID) και ελεγκτές με εσωτερικό μοντέλο (IMC). Σημαντικό πρόβλημα αποτελεί η ρύθμιση παραμέτρων ενός ελεγκτή τύπου PID και έτσι παρουσιάζονται τρόποι ρύμισης με την μέθοδο των Ziegler-Nichols και ρύθμιση με παραμέτρους IMC. 1.2 Ελεγκτές PID 1.2.1 Ελεγκτές P, I, PI, PID Παρουσιάζονται οι πιο διαδεδομένοι ελεγκτές στην βιομηχανία: Ελεγκτές Αναλογικοί- Ολοκληρωτικοί-Διαφορικοί (PID). Αναπτύχθηκαν την δεκαετία του 1930, έχοντας στην αρχή πνευματικό τρόπο λειτουργίας. Αργότερα (1950) άρχισαν τα πρώτα ηλεκτρονικά συστήματα. Αρχές δεκαετίας 1960 εμφανίστηκε ο έλεγχος με Η/Υ στην βιομηχανία χημ. διεργασιών. Από την δεκαετία του 1980 τα ψηφιακά ηλεκτρονικά κυριαρχούν στις εφαρμογές. Θεωρείται ότι στην βιομηχανία χημ. διεργασιών οι ελεγκτές PID αποτελούν το 98% των περιπτώσεων [Astrom, Hagglund 1995]. Παρόλα αυτά, το 2000 αναφέρθηκε ότι το 80% των PID είναι κακορυθμισμένοι, 30% λειτουργούν σε manual mode και 25% εξακολουθούν να έχουν τις αρχικές ρυθμίσεις (default factory settings). Θα δούμε κάθε ένα τύπο ελέγχου χωριστά. Όμως στην πράξη σπάνια χρησιμοποιούνται με αυτόν τον τρόπο. Έτσι, συνηθίζονται οι τύποι PI, PD και PID. Η ρύθμιση παραμέτρων τους παραμένει πρωταρχικής σημασίας. Σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου με ελεγκτή G c (s) τύπου P, PI, PD φαίνεται γραφικά στην εικόνα 1.1. 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC reference r error e Σ G C (s) controller control output u G(s) system output y P controller PI controller K P K P (1 + 1 T I s ) P D controller K P (1 + T D s) P ID controller K P (1 + 1 T I s + T D s) PIDgeneric.ipe Σχήμα 1.1: Σύστημα κλειστού βρόχου με ελεγκτή P, PI, PD και σχετικές συναρτήσεις μεταφοράς τους Ελεγκτές Αναλογικοί (P) Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι Η συνάρτηση μεταφοράς είναι u(t) = K c e(t) (1.1) G c (s) = K c = constant (1.2) Ο αναλογικός ελεγκτής είναι κατευθυντής προσαρμοζόμενου κέρδους. Όταν το κέρδος K C αυξάνει, η ευαισθησία στις διαταραχές μειώνεται, αλλά συγχρόνως ελαττώνεται ο βαθμός ευστάθειας. Επομένως πρέπει να γίνεται χρήση περιορισμένων τιμών του κέρδους K C. Ο αναλογικός έλεγχος εγκατάστασης που δεν διαθέτει ελεύθερο ολοκληρωτή στη συνάρτηση μεταφοράς δεν είναι ικανός να μηδενίσει το σφάλμα μόνιμης κατάστασης. Ελεγκτές Ολοκληρωτικοί (I) Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι Η συνάρτηση μεταφοράς είναι t u(t) = K i e(t) dt (1.3) 0 G c (s) = K i s (1.4) όπου η K i είναι προσαρμοζόμενη σταθερά. Διπλασιασμός τιμής σφάλματος e(t) σημαίνει διπλασιασμό ρυθμού μεταβολής (κλίσης) του u.

1.2. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID 7 Η ολοκλήρωση που κάνει ο ελεγκτής και η ακόλουθη δράση του σήματος u στην έξοδο y συνεχίζεται μέχρι η τιμή της εξόδου φθάσει πολύ κοντά στην τιμή αναφοράς r μόνιμης κατάστασης. Έτσι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης οδηγείται στο μηδέν. Όμως ο Ι ελεγκτής μειώνει το βαθμό ευστάθειας του συστήματος, εφόσον αυξάνει η τάξη του όλου συστήματος. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PI) Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι Η συνάρτηση μεταφοράς είναι u(t) = K c e(t) + K c T i t 0 e(t) dt (1.5) G c (s) = K c (1 + 1 T i s ) (1.6) K c είναι το αναλογικό κέρδος και T i είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Οι σταθερές μπορούν να προσαρμόζονται. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.2. reference r error e Σ K p + T i s controller control output u G(s) system output y error 1 0 time u 2K c K c T i P I controller P controller time PI.ipe Σχήμα 1.2: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PI) Ελεγκτές PD Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι Η συνάρτηση μεταφοράς είναι u(t) = K c e(t) + K c T D de(t) dt (1.7) G c (s) = K c (1 + T D s) (1.8)

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC K c είναι το αναλογικό κέρδος και T D είναι ο χρόνος διαφόρισης. Οι σταθερές μπορούν να προσαρμόζονται. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.3. reference r control error output e u Σ K p + T D s P D controller G(s) system output y error 1 0 time u T D T i P D controller P controller time PD.ipe Σχήμα 1.3: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PD) Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί-Διαφορικοί (PID) Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι u(t) = K c e(t) + K c T D de(t) dt Η συνάρτηση μεταφοράς είναι + K c T i t 0 e(t) dt (1.9) G c (s) = K c (1 + 1 T i s + T D s) (1.10) όπου K c είναι το αναλογικό κέρδος, T D είναι ο χρόνος διαφόρισης και T i είναι ο χρόνος ολοκλήρωσης. Οι σταθερές μπορούν να προσαρμόζονται. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.3. O Ελεγκτής PID πρακτικά Προκύπτει ότι η δράση ελέγχου ενός PID είναι το άθροισμα τριών όρων που περιλαμβάνουν: το παρελθόν με την ολοκλήρωση του σφάλματος (παράγοντας I ), το παρόν (παράγοντας P) και το μέλλον με την προβολή του σφάλματος (παράγοντας D). Η δράση ελεγκτή PID παριστάνεται γραφικά όπως στην εικόνα 1.5.

1.2. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID 9 reference r error e Σ K P + T I s + T D s P ID controller control output u G(s) system output y error 1 0 time u P ID controller P D controller P controller time PID.ipe Σχήμα 1.4: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Σχήμα 1.5: Η δράση ελεγκτή PID στον χρόνο 1.2.2 Ελεγκτές και ανατροφοδότηση Περίπτωση με βηματική είσοδο: Έλεγχος P βελτιώνει την απόκριση και μειώνει το offset. Έλεγχος PI αφαιρεί το offset αλλά προκαλεί ταλάντωση. Έλεγχος PID μειώνει την απόκριση αλλά και την ταλάντωση. Διάφοροι ελεγκτές παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.6. Σχήμα 1.6: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος P: Αύξηση του κέρδους K C κάνει την απόκριση λιγώτερο αργή, αλλά για μεγάλες τιμές προκαλεί ταλάντωση ή και αστάθεια. Ελεγκτές Αναλογικοί παριστάνoνται

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC γραφικά όπως στην εικόνα 1.7. Σχήμα 1.7: Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος P Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος PI: Αύξηση του χρόνου κάνει τους PI, PID πιο αργούς (συντηρητικούς). Θεωρητικά μειώνει το offset. Όμως για μεγάλες τιμές η ελεγχόμενη μεταβλητή θα επιστρέφει αργά στην επιθυμητή τιμή. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.8. Σχήμα 1.8: Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος PI Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος PID: Για μικρές τιμές του T D, όταν αυξάνεται η απόκριση βελτιώνεται μειώνοντας τον χρόνο απόκρισης και την ταλάντωση. Για μεγάλες τιμές, υπάρχει ενίσχυση του θορύβου μέτρήσεων (παρεμβολών) και η απόκριση γίνεται ταλαντωτική. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.9. Σχήμα 1.9: Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος PID O Ελεγκτής PID στο MATLAB/Simulink υλοποιείται ως εξής (Σχήμα 1.10): Τρόπος 1: ως block PID (αριστερά), Τρόπος 2: ως άθροισμα των 3 όρων P +I+D.

1.3. ΕΛΕΓΚΤΕΣ IMC 11 Σχήμα 1.10: O Ελεγκτής PID στο MATLAB/Simulink 1.3 Ελεγκτές IMC Η μέθοδος Internal Model Control (IMC) αναπτύχθηκε από τους Morari, Garcia και Rivera (1982, 1986), [6]. Γίνεται η βασική υπόθεση για την ύπαρξη μοντέλου (Internal Model) που περιγράφει ικανοποιητικά την διεργασία και υπολογίζονται αναλυτικά εκφράσεις για τον ελεγκτή. Πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι λαμβάνεται υπόψη με συστηματικό τρόπο η αβεβαιότητα στο μοντέλο. Ως αβεβαιότητα (model uncertainty) θεωρούμε την διαφορά μεταξύ πραγματικής εγκατάστασης και μοντέλου. Δομικό διάγραμμα για ένα βρόχο ελέγχου με ελεγκτή τύπου IMC φαίνεται στο Σχήμα 1.11. Ο ελεγκτής IMC περιλαμβάνεται στην σκιασμένη περιοχή. r Controller Σ e Q u System P d Σ y Internal model ˆP ŷ Σ ˆd = y ŷ Σχήμα 1.11: Ελεγκτής Internal Model Control (IMC) Ως P θεωρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς της εγκατάστασης, ˆP το μοντέλο της εγκατάστασης, d την διαταραχή στην έξοδο y. Ο ελεγκτής Q υπολογίζει την τιμή της εντολής ελέγχου u. Στόχος του συστήματος ελέγχου είναι να κρατηθεί η έξοδος y κοντά στην αναφορά r. Θεωρούμε ότι η έξοδος y είναι γνωστή με ακρίβεια, δηλ. δεν υπάρχει θόρυβος και συνάρτηση μεταφοράς μετρητικής διάταξης.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Γίνεται χρήση του μοντέλου συστήματος ˆP και της εξόδου u του ελεγκτή για να υπολογισθεί η απόκριση του μοντέλου, ŷ. Το σήμα πίσω-ανατροφοδότησης είναι ˆd = y ŷ = (P ˆP )u + d (1.11) Στην περίπτωση που το μοντέλο είναι ακριβές (P = ˆP ) και δεν υπάρχει διαταραχή (d = 0), τότε η έξοδος του μοντέλου ŷ και η έξοδος της εγκατάστασης y είναι ίδιες και το σήμα ˆd είναι μηδέν. Έτσι το σύστημα είναι ανοιχτού βρόχου στην περίπτωση που δεν υπάρχει αβεβαιότητα μοντέλου και άγνωστες είσοδοι d. 1.3.1 Σχεδιασμός Ο ελεγκτής IMC σχεδιάζεται σε δύο βήματα. Βήμα 1: Το μοντέλο εγκατάστασης αναλύεται σε κατάλληλους παράγοντες ως ˆP = P + P (1.12) Ο παράγοντας P + περιλαμβάνει καθυστερήσεις (e θs ) και μηδενιστές στο δεξιό ημιεπίπεδο και δεν είναι αντιστρέψιμος. Ο παράγοντας P περιλαμβάνει συνάρτηση που μπορεί να αντιστραφεί. Στο βήμα αυτό επιτυγχάνεται η επίδοση με το κανονικό μοντέλο (Nominal Performance) περιγραφής του συστήματος. Βήμα 2: Υλοποιείται ο ελεγκτής Q(s) ως Q = 1 P f (1.13) όπου f είναι βαθυπερατό φίλτρο 1. Το φίλτρο έχει μορφή f(s) = 1 (λs + 1) n (1.14) Στο βήμα αυτό επιτυγχάνεται η επίδοση και η ευστάθεια με το μοντέλο που περιέχει αβεβαιότητα (Robust Performance, Robust Stability). 1 Βαθυπερατό φίλτρο (low pass filter) είναι φίλτρο (συνάρτηση μεταφοράς) που αποκόπτει υψηλές συχνότητες

1.3. ΕΛΕΓΚΤΕΣ IMC 13 Οι παράμετροι λ, n είναι επιλογή του μηχανικού και περιγράφονται ως εξής. Επιλογή του n: Λαμβάνεται έτσι ώστε για τον ελεγκτή Q(s) η τάξη πολυωνύμου παρονομαστή να είναι μεγαλύτερη ή ίση από την τάξη πολυωνύμου αριθμητή. Επιλογή του λ: Η επιλογή τιμή της παραμέτρου λ του φίλτρου είναι σημαντική εφόσον επηρεάζει την ταχύτητα απόκρισης του συστήματος κλειστού βρόχου. Γενικά αυξάνοντας το λ παράγεται συντηρητικός ελεγκτής εφόσον αυξάνει το K c και μειώνεται το T i. Για σύστημα FOPTD, προτείνονται εναλλακτικά οι εξής περιπτώσεις για το λ: λ/θ > 0.8 και λ > 0.1τ τ > λ > θ λ = θ Παρατήρηση: Εφαρμόζοντας ελεγκτή IMC σε συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης με καθυστέρηση, προκύπτουν ελεγκτές με δομή όμοια με αυτή των ελεγκτών PI, PID, με αναλυτικές εκφράσεις των τριών παραμέτρων. Χρησιμοποιώντας τις αναλυτικές εκφράσεις των παραμέτρων, γίνεται ρύθμιση των παραμέτρων των ελεγκτών PI, PID, όπως θα παρουσιαστεί παρακάτω. Εναλλακτική παράσταση κλασσικού ελέγχου Ο συνδιασμός των Q, ˆP που αποτελούν μέρος του συστήματος ελέγχου σε ένα στοιχείο C, δίνει κλασσικό σύστημα ελέγχου με ανατροφοδότηση, όπου Q C(s) = 1 ˆP Q (1.15) όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.12. Οι αλλαγές δεν επηρεάζουν τα σήματα u, y. Σχήμα 1.12: Εναλλακτική παράσταση κλασσικού ελέγχου

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC 1.3.2 IMC για Σύστημα Δεύτερης Τάξης Εφαρμόζεται ελεγκτής IMC σε σύστημα δεύτερης τάξης με καθυστέρηση. Το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς P (s) = e 2s s 2 + 2s + 1 (1.16) Σχετικά με την έννοια καθυστέρησης βλέπε το ένθετο Καθυστερήσεις. Καθυστερήσεις Η ύπαρξη καθυστέρησης συναντάται συχνά στις διεργασίες, όπου η μέτρηση της μεταβλητής εξόδου φτάνει καθυστερημένα στο σύστημα επεξεργασίας/ελέγχου. Λόγοι καθυστέρησης συνήθως είναι η απόκριση του αισθητήρα ή/και η τοποθεσία του κατάντι από το μέγεθος που μετράει. Σε ότι αφορά την μαθηματική απεικόνηση της καθυστέρησης, αυτή περιλαμβάνεται στην διαφορική εξίσωση ως t t d, με t d την καθυστέρηση, οπότε και σε συναρτήσεις μεταφοράς με τον μετασχηματισμό Laplace παριστάνεται ως e t ds. Ο ελεγκτής IMC θα έχει τη μορφή Q(s) = 1 P f = (s 2 1 + 2s + 1) (2s + 1) 2 (1.17) με φίλτρο f δεύτερης τάξης (n = 2) εφόσον είναι τάξης 2 το πολυώνυμο 1 P και με παράμετρο φίλτρου λ = θ = 2. Στο σύστημα κλειστού βρόχου με ελεγκτή τύπου IMC δίνεται μοναδιαία βηματική είσοδος σε t = 1 sec. και διαταραχή με μορφή μοναδιαίας βηματικής εισόδου σε t = 40 sec. Οι αποκρίσεις φαίνονται στο Σχήμα 1.13. Σχήμα 1.13: Ελεγκτής IMC σε σύστημα δεύτερης τάξης με καθυστέρηση

1.3. ΕΛΕΓΚΤΕΣ IMC 15 Στο ίδιο διάγραμμα φαίνεται επίσης η απόκριση του συστήματος σε λειτουργία ανοιχτού βρόχου (Y ol ). Στον ανοιχτό βρόχο το σύστημα έχει πιο γρήγορη αρχική απόκριση, όμως η διαταραχή παραμένει στο τελικό αποτέλεσμα. Με την εφαρμογή του συγκεκριμένου ελεγκτή, το σύστημα αντιμετωπίζει με επιτυχία τη διαταραχή αλλά έχει πιο αργή απόκριση στην αρχή. Παράδειγμα 1.3.1 Σχεδιασμός ελεγκτή IMC εναλλάκτη Εξετάζεται σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας νερού σε εναλλάκτη αντιρροής (heat exchanger), με ατμό, όπως στο Σχήμα 1.14. Η παροχή ατμού γίνεται μέσω ρυθμιστικής αναλογικής βαλβίδας και η θερμοκρασία του εξερχόμενου νερού μετριέται με αισθητήριο θερμοκρασίας. Ο Η/Υ ελέγχου μεταβάλει τη θέση της ρυθμιστικής βαλβίδας ώστε να διατηρεί το εξερχόμενο νερό την θερμοκασία του στην τιμή αναφοράς. Στο Σχήμα 1.15 φαίνεται η απόκριση συστήματος ανοιχτού βρόχου σε μοναδιαία βηματική είσοδο, όπως μετρήθηκε πειραματικά. Ζητείται: α) να σχεδιαστεί ελεγκτής IMC για έλεγχο της θερμοκρασίας, β) να συγκριθούν ελεγκτές IMC, PID_IMC, classical. Control computer e Σ T ref A/D Controller D/A Measurement Steam Out Heat Exchanger Water In Sensor Water Out u System Valve Steam In Actuator Σχήμα 1.14: Σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας νερού εναλλάκτη Λύση Θα γίνουν οι ακόλουθες ενέργειες: Για τον υπολογισμό και τη λειτουργία ενός ελεγκτή IMC, απαιτείται η ύπαρξη κατάλληλου μοντέλου της διεργασίας. Έτσι κατ αρχήν θα εκτιμηθεί το μοντέλο του συστήματος. Κατόπιν θα υπολογιστούν οι παράμετροι ελεγκτή IMC και θα υλοποιηθεί η διάταξη ελέγχου. Τέλος, για σύγκριση θα υπολογιστεί επίσης κλασσικός ελεγκτής. Η επίδοση των ελεγκτών θα αξιολογηθεί με εισαγωγή αλλαγών στις τιμές αναφοράς καθώς και στην εξωτερική διέγερση. Η διατύπωση μοντέλου μιας διεργασίας από την πειραματική καμπύλη απόκρισης είναι γνωστή ως μέθοδος καμπύλης απόκρισης (process reaction curve method). Παρατηρώντας την πειραματική καμπύλη απόκρισης του συστήματος θεωρούμε ότι το σύστημα περιγράφεται επαρκώς από συνάρτηση μεταφοράς P πρώτης τάξης με

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.15: Απόκριση συστήματος ανοιχτού βρόχου εναλλάκτη καθυστέρηση (First Order Plus Time Delay-FOPTD), με μορφή P (s) = y(s) u(s) = K e θs τ s + 1 (1.18) Οι παράμετροι K, θ, τ προσδιορίζονται με γραφικό τρόπο. Το κέρδος Κ στην μόνιμη κατάσταση υπολογίζεται ως K = Y u = 3.5 0 = 3.5 (1.19) 1 0 Η καθυστέρηση ευρίσκεται απο την καμπύλη ως θ = 3 sec. Η σταθερά χρόνου τ αντιστοιχεί σε απόκριση ίση με το 63.2% της τελικής τιμής στην μόνιμη κατάσταση, δηλ. y 63.2 = 0.632 3.5 = 2.212. Έτσι τ = 13 3 = 10 sec. Ο χρόνος για να φτάσει το σύστημα στην μόνιμη κατάσταση αντιστοιχεί σε περίπου 4τ. Το σύστημα τελικά προκύπτει ως P = 3.5 e 3s 10 s + 1 (1.20) Τώρα προχωρούμε στον υπολογισμό ελεγκτή IMC. Ο ελεγκτής IMC προκύπτει ως Q(s) = ˆP 1 f = 10s + 1 1 (1.21) 3.5 2s + 1 όπου η παράμετρος του φίλτρου είναι λ = 2, για n = 1. Στο Σχήμα 1.16 φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε βηματική είσοδο αναφοράς στην θερμοκρασία, από 40 0 C σε 35 0 C. Παράμετρος είναι το τ c. Στο Σχήμα 1.17 φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία με σταθερή είσοδο αναφοράς στους 35 0 C. Παράμετρος είναι το τ c.

1.3. ΕΛΕΓΚΤΕΣ IMC 17 Σχήμα 1.16: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε βηματική είσοδο αναφοράς στην θερμοκρασία Τέλος στο Σχήμα 1.18 φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία με σταθερή είσοδο αναφοράς στους 35 0 C, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC. Για να υπολογιστεί ένας ισοδύναμος κλασσικός ελεγκτής C γίνονται τα ακόλουθα. Ο συνδιασμός των Q, ˆP που αποτελούν μέρος του συστήματος ελέγχου σε ένα στοιχείο C, δίνει κλασσικό σύστημα ελέγχου με ανατροφοδότηση, όπου C(s) = Q 1 ˆP, Σχήμα Q 1.12. Πρώτα αντικαθιστούμε τον παράγοντα καθυστέρησης e θs με κατάλληλη συνάρτηση μεταφοράς (βλέπε ένθετο Προσέγγιση Pade ). Προσέγγιση Pade Για να υπάρχει σε συνάρτηση μεταφοράς που περιέχει παράγοντα καθυστέρησης δυνατότητα εκτέλεσης πράξεων, πρέπει να εξαλειφθεί ο παράγοντας αυτός, ως ακολούθως. Αντικαθιστούμε τον παράγοντα καθυστέρησης e θs με το ανάπτυγμα του σε σειρά Taylor, κρατώντας μόνο τον όρο 1ης τάξης e θs 1 θ 2 s 1 + θ 2 s (1.22) Η προσέγγιση της εξ. 1.22 είναι γνωστή ως προσέγγιση παράγοντα καθυστέρησης e θs με παράγοντα Pade 1ης τάξης. Στην περίπτωση του εναλλάκτη, η παραπάνω προσέγγιση Pade δίνει e θs 1 θ 2 s 1 + θ 2 s = 1 3 2 s 1 + 3 2 s (1.23)

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.17: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία Σχήμα 1.18: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC Έτσι η συνάρτηση του συστήματος P γίνεται P (s) = 3.5 10s + 1 1 3 2 s 1 + 3 2 s (1.24) Κατόπιν υπολογίζεται ο κλασσικός ελεγκτής ως C = Q 1 P Q = 15s2 + 11.5s + 1 10.5s 2 + 17.5s (1.25) Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε αλλαγή στην είσοδο αναφοράς, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC, classic φαίνεται στο Σχήμα 1.19. Όπως διαπιστώνεται, οι αποκρίσεις των IMC, classic είναι παρόμοιες.

1.4. ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ PID 19 Σχήμα 1.19: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε αλλαγή στην είσοδο αναφοράς, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC, classic 1.4 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών PID Ο προσδιορισμός τιμών παραμέτρων ελεγκτών PID είναι από τα πιο σημαντικά προβλήματα στην πράξη. Το Σχήμα 1.20 παρουσιάζει την απόκριση συστήματος πρώτης τάξης με καθυστέρηση (First Order Plus Time Delay-FOPTD): G = Ke θs τs+1, για διάφορες τιμές παραμέτρων ελεγκτή PID, [1]. Σχήμα 1.20: Απόκριση συστήματος πρώτης τάξης με καθυστέρηση (FOPTD) για διάφορες τιμές παραμέτρων ελεγκτή PID, [1] Οι ρυθμίσεις παραμέτρων ελεγκτών PID μπορούν να γίνουν με διάφορους τρόπους όπως: 1. Απευθείας σύνθεση (Direct Synthesis-DS), λαμβάνοντας υπόψη τις επιθυμητές προδιαγραφές του τελικού συστήματος 2. Μέθοδος Internal Model Control (PID_IMC), για ελεγκτές τύπου PI, PID

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC 3. Πειραματικές μεθόδους, μετά την εγκατάσταση του ελεγκτή στο σύστημα. Είναι ιδιαίτερο πρόβλημα στην περίπτωση που δεν υπάρχει λεπτομερές μοντέλο εγκατάστασης. Τότε χρησιμοποιούνται πειραματικές μέθοδοι για την αρχική εκτίμηση παραμέτρων κατευθυντή. Τέτοιοι μέθοδοι είναι των Ziegler- Nichols (Z-N), Cohen-Coon (C-C), καθώς και auto-relay 4. Μέθοδος απόκρισης συχνότητας (frequency response) 5. Ρύθμιση σε πραγματικό χρόνο, μετά την εγκατάσταση του συστήματος και κατά τη λειτουργία του (self-tuning/adaptive control) Στα πλαίσια του κεφαλαίου αυτού, εξετάζονται στην συνέχεια οι μεθοδολογίες Ziegler-Nichols και PID_IMC. 1.4.1 Ρύθμιση Παραμέτρων: Μέθοδος Ziegler-Nichols Η μέθοδος ρύθμισης παραμέτρων ελεγκτών των Ziegler-Nichols (1942), είναι απλή αλλά πολύ επιτυχημένη. Θεωρούμε σύστημα κλειστού βρόχου, με άγνωστο μοντέλο εγκατάστασης, με μοναδιαία ανατροφοδότηση. Η συνάρτηση μεταφοράς του κατευθυντή είναι G c (s) = K C (1 + T D s + 1 T I s ) (1.26) Ζητάμε αρχικό σύνολο τιμών για τα K C, T D και T I. Υπάρχουν δύο μέθοδοι, για εγκαταστάσεις με νωθρή απόκριση (Μέθοδος 1) και για εγκαταστάσεις που μπορεί να εμφανίζουν φαινόμενα συντονισμού (Μέθοδος 2). Μέθοδος 1η: Για εγκαταστάσεις με νωθρή απόκριση, σε ανοιχτό βρόχο, με < 25% υπερακόντιση Απομονώνουμε την εγκατάσταση και δίνουμε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας Καταγράφουμε την απόκριση της εξόδου Στη μέθοδο αυτή η δυναμική κατάσταση της εξόδου περιγράφεται απο τις παραμέτρους R, L. Παράμετρος R: μέγιστη κλίση εφαπτομένης. Παράμετρος L: ο χρόνος που προκύπτει απο την τομή της εφαπτομένης με τον άξονα του χρόνου. Η μέθοδος 1 Ζ-Ν γραφικά φαίνεται στο Σχήμα 1.21. Οι Ziegler-Nichols προτείνουν τις τιμές ελεγκτών, όπως στον Πίνακα Ζ-Ν 1. Πίνακας Z-N 1 Για P έλεγχο: Για P I έλεγχο: K c = 1 RL (1.27) K c = 0.9 RL, T i = 3.3 L (1.28)

1.4. ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ PID 21 output y u time u G P y 1 R L time Σχήμα 1.21: Μέθοδος 1 Ζ-Ν Για P ID έλεγχο: K c = 1.2 RL, T i = 2 L, T D = 0.5 L (1.29) Μέθοδος 2η: Για εγκαταστάσεις που εμφανίζουν φαινόμενα συντονισμού Τοποθετούμε στοιχείο αναλογικού κατευθυντή τύπου P με κέρδος K c μπροστά από την εγκατάσταση και κλείνουμε το βρόχο Εφαρμόζουμε μικρή βηματική αλλαγή και αυξάνουμε σταδιακά το κέρδος K c μέχρι να αποκτήσει η έξοδος διαρκή ταλάντωση (continuous cycling) Καταγράφουμε την τιμή του κέρδους K c = K u στο όριο της ευστάθειας καθώς και την περίοδο της ταλάντωσης P u. Η μέθοδος 2 Ζ-Ν γραφικά φαίνεται στο Σχήμα 1.22. u output y time r K C u G P y time P u Σχήμα 1.22: Μέθοδος 2 Ζ-Ν Οι Ziegler-Nichols προτείνουν τις τιμές ελεγκτών, όπως στον Πίνακα Ζ-Ν 2. Πίνακας Z-N 2 Για P έλεγχο: K c = 0.5K u (1.30)

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Για P I έλεγχο: K c = 0.45K u, T i = 0.83 P u (1.31) Για P ID έλεγχο: K c = 0.6K u, T i = 0.5 P u, T D = 0.125 P u (1.32) Παράδειγμα 1.4.1 Μέθοδος 2 των Ziegler-Nichols 2 e Θεωρούμε σύστημα με G = s (10s+1)(5s+1). Ζητάμε τις τιμές ελεγκτών PI και PID, με μέθοδο Z-N. Το σύστημα κλειστού βρόχου φτιάχνεται στο Simulink, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.23. Στον ελεγκτή PID θέτουμε I = 0, D = 0. Ξεκινάμε με τιμή κέρδους P = 6, για unit step input (0 1). Καταγράφουμε τις τιμές εξόδου και περιόδου ταλάντωσης. Το όριο της ευστάθειας βρίσκεται για τιμή κέρδους K c = K u = 7.6. Η περίοδος της ταλάντωσης P u είναι 12 sec. Οι αποκρίσεις εξόδου για τιμές K c = 6, 7, 8, φαίνονται στο Σχήμα 1.24. Σχήμα 1.23: Σύστημα κλειστού βρόχου για Z-N Σύμφωνα με τον πίνακα Z-N 2, έχουμε για P I έλεγχο: K c = 0.45K u = 0.45 8 = 3.42, T i = 0.83 P u = 0.83 12 = 10 (1.33) Για P ID έλεγχο αντίστοιχα έχουμε: K c = 0.6K u = 4.6, T i = 0.5 P u = 6, T D = 0.125 P u = 1.5 (1.34) Για την υλοποίηση στο MATLAB οι τιμές των ελεγκτών γίνονται P I : K C (1 + 1 3.42 T I s ) = 3.42 + 10s P = 3.42, I = 0.342 (στο block PID) P ID : K C (1 + 1 T I s + T Ds) = 4.6 + 4.6 6s + 4.6 1.5 P = 4.6, I = 0.8, D = 6.9 Οι αποκρίσεις κλειστού βρόχου για τους PI, PID μετά τις ρυθμίσεις κατα Ζ-Ν φαίνονται στο Σχήμα 1.24. O ελεγκτής PID υπερτερεί εφόσον η συμπεριφορά του συστηματος είναι λιγότερο ταλαντωτική σε σχέση με τον PI.

1.4. ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ PID 23 Σχήμα 1.24: (α)αποκρίσεις συστήματος για τις διάφορες τιμές Κ, (β) Αποκρίσεις κλειστού βρόχου μετά τις ρυθμίσεις κατα Ζ-Ν. 1.4.2 Ρύθμιση Παραμέτρων: Μέθοδος PID_IMC Με τη μέθοδο ρύθμισης PI, PID κατά IMC προκύπτουν παράμετροι για ελεγκτές PI, PID για διάφορες συναρτήσεις μεταφοράς συστημάτων. Οι πίνακες στα Σχήματα 1.25, 1.26 δείχνουν τις διάφορες τιμές παραμέτρων ελεγκτών PI, PID με βάση τον ελεγκτή τύπου IMC. Το σύστημα περιγράφεται με το μοντέλο (Model), για περιπτώσεις (Cases) Α-Η και Ι-Ο. Έχει εκλεγεί φίλτρο τάξης n = 1. Η σταθερά χρόνου του φίλτρου τ c είναι παράμετρος σχεδιασμού. Σχήμα 1.25: Τιμές παραμέτρων ελεγκτών PI, PID με βάση τον ελεγκτή τύπου IMC, Μέρος 1ο, περιπτώσεις Α-Η Παράδειγμα 1.4.2 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών PID_IMC Δίνεται σύστημα αποθήκευσης υγρού που περιγράφεται ως σύστημα ολοκληρωτή

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.26: Τιμές παραμέτρων ελεγκτών PI, PID με βάση τον ελεγκτή τύπου IMC, Μέρος 2ο, περιπτώσεις Ι-Ο με καθυστέρηση G(s) = Ke θs (1.35) s όπου K το κέρδος και θ η καθυστέρηση. Οι τιμές των παραμέτρων είναι: K = 0.2, θ = 7.4 sec, με τιμή παραμέτρου του φίλτρου IMC τ c = 8 και τ c = 15. Ζητείται: 1. Να υπολογιστούν οι ελεγκτές τύπου PI_IMC, PID_IMC, με ρύθμιση παραμέτρων IMC. 2. Να γίνει προσομείωση των ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC σε μοναδιαία βηματική αλλαγή α) σημείου αναφοράς και β) διαταραχής, εάν θεωρήσουμε ότι G d = G. Το σύστημα και η διαταραχή σε ανοικτό βρόχο στο Simulink φαίνονται στο Σχήμα 1.27. Η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή P ID είναι G c (s) = K C (1 + 1 τ i s + τ D s) (1.36) Για τον υπολογισμό παραμέτρων ελεγκτών χρησιμοποιείται ο πίνακας 2. Έτσι για τους PI_IMC, PID_IMC επιλέγονται αντίστοιχα οι περιπτώσεις Μ, Ν. Η περίπτωση Μ δίνει για τον PI_IMC τις τιμές K c = 2τ c+θ (τ c +θ) 2, τ i = 2τ c + θ. Έτσι για τ c = 8 έχουμε K C = 0.493, τ i = 23.4 και για τ c = 15 έχουμε K p = 0.373, τ I = 37.4. Η περίπτωση Ν δίνει για τον P ID IMC τις τιμές K C = 2τ c+θ (τ c +θ/2) 2, τ i = 2τ c + θ, τ D = τcθ+θ2 /4 2τ c +θ. Έτσι για τ c = 8 έχουμε K C = 0.857, τ I = 23.4, τ D = 3.12 και για τ c = 15 έχουμε K C = 0.535, τ I = 37.4, τ D = 3.33.

1.5. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ 25 Σχήμα 1.27: Το σύστημα και η διαταραχή σε ανοικτό βρόχο Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι αποκρίσεις ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC για τ C = 8. Δίνεται μοναδιαία βηματική αλλαγή α) σημείου αναφοράς σε χρόνο t = 0 και β) διαταραχής σε χρόνο t = 150s, θεωρώντας G d = G, στο Σχήμα 1.28. Αποκρίσεις ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC για τ C = 15 παρουσιάζονται στο Σχήμα 1.29. Σχήμα 1.28: Αποκρίσεις ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC για τ C = 8 Σχήμα 1.29: Αποκρίσεις ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC για τ C = 15 Παρατηρούμε ότι ο ελεγκτής με τ c = 15 δίνει πιό αργή και λιγώτερο ταλαντωτική απόκριση. Επίσης η υπερακόντιση είναι μικρότερη για αλλαγή στο σημείο αναφοράς και η μέγιστη απόκλιση είναι μεγαλύτερη μετά την διαταραχή. Ο ελεγκτής PID_IMC έχει καλύτερη απόκριση στη διαταραχή, εφόσον είναι μικρότερη η μέγιστη απόκλιση. Επιπλέον, ο ελεγκτής PID_IMC έχει μικρό χρόνο αποκατάστασης για τ c = 8, έχοντας έτσι την καλύτερη απόδοση από τους 5 ελεγκτές που συγκρίθηκαν. Ο PID_IMC στο Simulink φαίνεται στο Σχήμα 1.30. 1.5 Κριτήρια Σφάλματος Τα κριτήρια σφάλματος (ISE, IAE, ITAE) επιτρέπουν τη ρύθμιση παραμέτρων ενός ελεγκτή. Θεωρούν τη ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος του σφάλματος

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.30: Ο ελεγκτής PID_IMC στο Simulink μέχρι να λάβει η διεργασία την επιθυμητή τιμή αναφοράς. Σε αντίθεση με τα κριτήρια που λαμβάνουν υπόψη μεμονωμένα χαρακτηριστικά της δυναμικής απόκρισης (όπως ο χρόνος ανύψωσης ή ο χρόνος αποκατάστασης) τα κρίτηρια της κατηγορίας σφάλματος εξετάζουν όλη την διάρκεια απόκρισης της διεργασίας. Ολοκλήρωμα τετραγωνικού σφάλματος (Integral of square error-ise), όπου ISE = 0 e 2 (t) dt (1.37) Ολοκλήρωμα απόλυτης τιμής σφάλματος (Integral of absolute error-iae), όπου IAE = 0 e(t) dt (1.38) Ολοκλήρωμα γινομένου του χρόνου επί της απόλυτης τιμής σφάλματος (Integral of time-weighted absolute error-itae), όπου IT AE = 0 t e(t) dt (1.39) Ως σφάλμα θεωρούμε τη διαφορά της απόκρισης από την τιμή αναφοράς, e = y sp y. Η επιλογή του κριτηρίου εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του συστήματος που θα ελεχθεί. Προτείνονται τα εξής. Σε περίπτωση που είναι επιθυμητό να μειωθούν μεγάλα σφάλματα, το ISE είναι πιο κατάλληλο από το IAE, εφόσον τα σφάλματα υψώνονται στο τετράγωνο και έτσι επηρεάζουν σημαντικά την τιμή του ολοκληρώματος. Στην περίπτωση μικρών σφαλμάτων, το IAE είναι πιο κατάλληλο από το ISE, εφόσον υψώνοντας στο τετράγωνο έναν αριθμό μικρότερο της μονάδας, αυτός γίνεται ακόμη μικρότερος. Τέλος στην περίπτωση που τα σφάλματα εμφανίζονται για μεγάλο χρονικό διάστημα, το κριτήριο του ITAE είναι το πιο κατάλληλο, εφόσον ο μέγαλος χρόνος t ενισχύει ακόμη και μικρές τιμές σφαλμάτων στο ολοκλήρωμα.

Βιβλιογραφία [1] Seborg, Edgar, Mellichamp, Process Dynamics and Control, 2nd Edition, Willey, 1989. [2] Κρικέλης Ν., Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Συμμετρία, 2000. [3] Franklin, G., Powel, D., Enami-Naeimi, A., Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley Longman, 5th edition, 2005. [4] Dorf, R., Bishop, R., Modern Control Systems, Prentice-Hall, 2001. [5] Ogata, K., Modern Control Engineering (3rd Edition), Prentice Hall, 1997. [6] Morari, M., Zafiriou, E., Robust Process Control, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989. [7] Bequette, W., Process Control: Modeling, Design and Simulation, Prentice Hall, 2003. [8] Wikipedia, PID, 10/2010. 27