Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών

Κεφάλαιο 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις Έστω (G, ) μια ομάδα και A ένα μη κενό σύνολο Ορισμός 111 Κάθε απεικόνιση ϕ : G A A, (g, a) gϕa που ικανοποιεί τα: (αʹ) g 1, g 2 G, a A, (g 1 g 2 )ϕa = g 1 ϕ(g 2 ϕa), και (βʹ) a A, e G ϕa = a (όπου e G το ουδέτερο στοιχείο τής G) ονομάζεται μια δράση τής ομάδας G επί τού συνόλου A Παραδείγματα 111 Θεωρούμε τη διεδρική ομάδα D 4 = ρ, s : ρ 4 = Id, s 2 = Id, ρs = sρ 1, ( βλ Παρατηρήσεις ) 001, (Φυλλάδιο Ασκήσεων 1, Θεωρία Ομάδων 14-02-2013), όπου 1 2 3 4 ρ = η στροφή κατά γωνία π/4 γύρω από τον άξονα που είναι κάθετος στο 2 3 4 1 επίπεδο τού τετραγώνου( με φορά αυτήν ) που ακολουθούν κατά την κίνησή τους οι δείκτες 1 2 3 4 τού ρολογιού και s = η ανάκλαση ως προς τον άξονα συμμετρίας που 1 4 3 2 διέρχεται από τις κορυφες 1 και 3 Έστω K = {1, 2, 3, 4} το σύνολο των κορυφών τού τετραγώνου τού Σχήματος 11 Ορίζουμε την απεικόνιση ϕ : D 4 K K ως ακολούθως µ, ν Z, κ K, (s µ ρ ν )ϕκ = s µ (ρ ν (κ)) Αποδεικνύεται άμεσα ότι η D 4 δρα επί τού συνόλου K = {1, 2, 3, 4} των κορυφών τού τετραγώνου (βλ επόμενο Σχήμα 11) Έστω = {δ 1 = {1, 3}, δ 2 = {2, 4}} το σύνολο των διαγωνίων τού τετραγώνου και ψ η απεικόνιση ψ : D 4, 3

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 4 3 O 1 2 Σχήμα 11: Τετράγωνο που ορίζεται ως µ, ν Z, ρψδ 1 = δ 2, ρψδ 2 = δ 1, sψδ 1 = δ 1, sψδ 2 = δ 2, κατόπιν µ Z, ρ µ ψδ 1 = ρ µ 1 (δ 2 ), ρ µ ψδ 2 = ρ µ 1 (δ 1 ), s µ ψδ 1 = δ 1, s µ ψδ 2 = δ 2 και τέλος µ, ν Z, δ, (s µ ρ ν )ψδ = s µ (ρ ν (δ)) Αποδεικνύεται και πάλι ότι η D 4 δρα επί τού συνόλου Αντίθετα, θεωρώντας το σύνολο L = {l 1 = {1, 2}, l 2 = {3, 4}} παρατηρούμε ότι η απεικόνιση που επάγεται από τη δράση τής D 4 επί τού συνόλου των κορυφών K δεν ορίζει μια δράση επί τού L, αφού η πλευρά ρ(l 1 ) = {ρ(1), ρ(2)} = {4, 1} δεν ανήκει στο σύνολο L Έστω A ένα μη κενό σύνολο και (S A, ) η συμμετρική ομάδα τού A, δηλαδή η ομάδα που απαρτίζεται από τις «1 1» και «επί» απεικονίσεις από το A στο A Ν Μαρμαρίδης 4

11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις Πρόταση 111 Αν ϕ : G A G είναι μια δράση τής ομάδας G επί τού A, τότε η αντιστοιχία X(ϕ) : G S A, g X(ϕ)(g) : A A a [X(ϕ)(g)](a) := gϕa είναι ένας ομομορφισμός ομάδων Αν χ : G S A είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, τότε η απεικόνιση Φ(χ) : G A A, (g, a) gφ(χ)a := χ(g)(a) είναι μια δράση τής G επί τού A Επιπλέον, Φ(X(ϕ)) = ϕ, X(Φ(χ)) = χ Γι αυτό υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ τού συνόλου των δράσεων μιας ομάδας G επί ενός συνόλου A και τού συνόλου των ομομορφισμών Hom(G, S A ) από την ομάδα G στη συμμετρική ομάδα S A Ορισμός 112 Κάθε ομομορφισμός από μια ομάδα G σε μια ομάδα συμμετρίας S A ενός συνόλου A ονομάζεται μια μετατακτική αναπαράσταση τής G Παρατηρήσεις 111 Το γεγονός ότι μια δράση χορηγεί έναν ομομορφισμό και αντιστρόφως βοηθά πολύ στον προσδιορισμό όλων των δράσεων μιας ομάδας επί ενός συνόλου Για παράδειγμα, αν η ομάδα G είναι η Z 13 και A είναι ένα σύνολο με οκτώ στοιχεία, τότε η μόνη δράση τής Z 13 που ορίζεται επί τού A είναι η τετριμμένη, δηλαδή η ϕ : Z 13 A A, [z]ϕa a, [z] Z 13, a A, αφού οποιαδήποτε δράση χορηγεί έναν ομομορφισμό Z 13 S A και επειδή ο μόνος ομομορφισμός που υπάρχει από την Z 13 στην S A είναι ο τετριμμένος, αφού το 13 8! Ορισμός 113 Πυρήνας μιας δράσης ϕ : G A G είναι το υποσύνολο K ϕ := {g G gϕa = a, a A} Λήμμα 111 Ο πυρήνας K ϕ μιας δράσης ϕ : G A G συμπίπτει με τον πυρήνα KerX(ϕ) τού επαγόμενου ομομορφισμού X(ϕ) : G S A και συνεπώς είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Ορισμός 114 Μια δράση ϕ : G A G ονομάζεται πιστή, αν ο πυρήνας της είναι η τετριμμένη υποομάδα K ϕ = {e G } 5 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Στην περίπτωση αυτή, η ομάδα G, που δρα επί του A, μπορεί να θεωρηθεί υποομάδα τής συμμετρικής ομάδας S A, αφού K ϕ = KerX(ϕ) Προσέξτε, ότι οποιαδήποτε δράση ϕ : G A G χορηγεί μια πιστή δράση τής πηλικοομάδας G/K ϕ επί τού A, ως ακολούθως ϕ : G/K ϕ A G, (gk ϕ, a) (gk ϕ )ϕa := gϕa Προτείνουμε να ελέγξει μόνος του ο αναγνώστης, πρώτα ότι η ϕ είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση και κατόπιν ότι ορίζει μια δράση τής G/K ϕ επί τού A 12 Τροχιές και Σταθερωτές Έστω ότι ϕ : G A G μια δράση τής G επί τού A και η σχέση R ϕ A A επί τού A, η οποία ορίζεται ως εξής: Αν a, A, (a, b) R ϕ g G : gϕa = b Λήμμα 121 Το R ϕ A A είναι μια σχέση ισοδυναμίας επί τού A Απόδειξη Πράγματι, (αʹ) a A, το (a, a) R ϕ, αφού e G ϕa = a (βʹ) Αν (a, b) R ϕ, τότε g G με b = gϕa Συνεπώς, g 1 ϕb = a και (b, a) R ϕ (γʹ) Αν (a, b) R ϕ και (b, c) R ϕ, τότε g 1, g 2 G με b = g 1 ϕa και c = g 2 ϕb Επομένως, c = g 2 ϕ(g 1 ϕa) = (g 2 g 1 )ϕa και γι αυτό (a, c) R ϕ Έστω ότι ϕ : G A G είναι μια δράση τής G επί τού A, ότι R ϕ είναι η αντίστοιχη σχέση ισοδυναμίας και ότι a είναι ένα στοιχείο τού A Ορισμός 121 Ονομάζουμε τροχιά τού στοιχείου a A την κλάση ισοδυναμίας [a] Rϕ τού a ως προς τη σχέση R ϕ Προφανώς, [a] Rϕ = {gϕa g G} Θα συμβολίζουμε την κλάση [a] Rϕ ως Gϕa Επιπλέον, αν a A Ορισμός 122 Ονομάζουμε σταθερωτή τού στοιχείου a A το υποσύνολο G a = {g G gϕa = a} Ν Μαρμαρίδης 6

12 Τροχιές και Σταθερωτές Προσέξτε ότι επειδή η R ϕ είναι σχέση ισοδυναμίας, το σύνολο A διαμερίζεται στις τροχιές του Gϕa, δηλαδή A = a A Gϕa και αν, a, b A με Gϕa Gϕb, τότε Gϕa = Gϕb Ορισμός 123 Η G δρα μεταβατικώς επί τού συνόλου A αν, υπάρχει μόνο μια τροχιά Συνεπώς αν, η G δρα μεταβατικώς επί τού A και α, β είναι οποιαδήποτε στοιχεία τού A, τότε g G με gϕα = β Λήμμα 122 (α ) Ο σταθερωτής G a είναι μια υποομάδα τής G (β ) Αν a και b είναι δυο στοιχεία τού A, τα οποία ανήκουν στην ίδια τροχιά, τότε οι αντίστοιχοι σταθερωτές τους G a και G b είναι συζυγείς υποομάδες τής G (Υπενθυμίζουμε ότι αν, K και L είναι δύο υποομάδες μιας ομάδας G, τότε η L ονομάζεται συζυγής τής K, αν υπάρχει h G με L = hkh 1 Επειδή τότε και K = h 1 Lh, έπεται ότι η K είναι επίσης συζυγής τής L Συζυγείς υποομάδες μιας ομάδας έχουν πάντοτε το ίδιο πλήθος στοιχείων, αφού για κάθε h G, η απεικόνιση s h : G G, g hgh 1 είναι ένας (εσωτερικός) αυτομορφισμός τής G Γι αυτό, ο s h χορηγεί μια αμφινομονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ οποιουδήποτε υποσυνόλου T τής G και τής εικόνας του hth 1 ) Απόδειξη (α ) Το σύνολο G a δεν είναι κενό, αφού e G G a Επιπλέον, αν g 1, g 2 G a, τότε g 1 ϕa = a, g 2 ϕa = a και συνεπώς g2 1 ϕa = a (g 1 g 1 2 )ϕa = g 1 ϕ(g 1 2 ϕa) = g 1 ϕa = a Ώστε, το G a είναι μια υποομάδα τής G (β ) Αφού τα a, b ανήκουν στη ίδια τροχιά, υπάρχει κάποιο h G με hϕa = b Αφήνουμε τον αναγνώστη να αποδείξει ως άσκηση ότι G b = hg a h 1 Θεώρημα 121 Έστω ότι ϕ : G A G είναι μια δράση τής G επί τού A και ότι G a είναι ο σταθερωτής ενός στοιχείου a A Υπάρχει μια «1 1» και «επί» απεικόνιση μεταξύ τού συνόλου G/G a = {gg a g G} των αριστερών πλευρικών κλάσων τής G ως προς G a και της τροχιάς Gϕa Απόδειξη Θεωρούμε την αντιστοιχία G/G a Gϕa, gg a gϕa 7 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Η συγκεκριμένη αντιστοιχία είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση, δηλαδή ανεξάρτητη από την επιλογή τού αντιπροσώπου g τής πλευρικής κλάσης gg a Πράγματι αν, g 1 G a = g 2 G a, τότε g 1 2 g 1 G a Συνεπώς, (g 1 2 g 1 )ϕa = a g 2 ϕ[(g 1 2 g 1 )ϕa] = g 2 ϕa ((g 2 g 1 2 )g 1 )ϕa = g 2 ϕa g 1 ϕa = g 2 ϕa Η απεικόνιση είναι «1 1» αφού από g 1 ϕa = g 2 ϕa, έπεται (g 1 2 g 1)ϕa = a Επομένως, g 1 2 g 1 G a και γι αυτό g 1 G a = g 2 G a Τέλος, η απεικόνιση είναι «επί», αφού το στοιχείο gϕa τής τροχιάς Gϕa είναι εικόνα τής αριστερής πλευρικής κλάσης gg a 121 Το Θεώρημα Burnside Αν g G, τότε συμβολίζουμε με A g το υποσύνολο τού A που αποτελείται από τα στοιχεία τού a A που παραμένουν σταθερά κάτω απο τη ϕ-δράση τού g G, δηλαδή A g = {a A gϕa = a} Θεώρημα 122 (Burnside) Έστω ότι ϕ : G A G είναι δράση μιας πεπερασμένης ομάδας G επί ενός πεπερασμένου συνόλου A Το πλήθος k των τροχιών στις οποίες διαμερίζεται το σύνολο A ισούται με k := 1 A g [G : 1] g G Απόδειξη Θα υπολογίσουμε με δύο διαφορετικούς τρόπους το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου L = {(g, a) G A gϕa = a} Για κάθε g G, θεωρούμε το σύνολο των στοιχείων a A που παραμένουν αναλλοίωτα από τη ϕ-δράση τού g, δηλαδή θεωρούμε το σύνολο A g Συνεπώς, L = g G A g (*) Για κάθε a A, θεωρούμε τον σταθερωτή τού a, δηλαδή την υποομάδα G a = {g G gϕa = a} Επομένως, L = a A[G a : 1] Αν το πλήθος των τροχιών ισούται με k, τότε το A διαμερίζεται στις k διαφορετικές τροχιές Gϕa 1, Gϕa 2,, Gϕa k και γι αυτό L = a A[G a : 1] = k i=1 a Gϕa i [G a : 1] (**) Ν Μαρμαρίδης 8

12 Τροχιές και Σταθερωτές Από το Λήμμα 122 γνωρίζουμε ότι όλοι οι σταθερωτές που αντιστοιχούν στα στοιχεία a τής τροχιάς Gϕa i έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, δηλαδή a Gϕa i, [G a : 1] = [G ai : 1] Από το Θεώρημα 121 γνωρίζουμε ότι το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς Gϕa i ισούται με τον δείκτη [G:1] [G ai :1] Συνεπώς, η σχέση (**) γίνεται L = a A[G a : 1] = k i=1 a Gϕa i [G a : 1] = k i=1 [G : 1] [G ai : 1] [G a i : 1] = k[g : 1] (***) Από τις σχέσεις (***) και (*) προκύπτει ότι k[g : 1] = g G A g = k = 1 A g [G : 1] g G Εφαρμογη 121 Θεωρούμε ένα τετράγωνο τού οποίου κάθε πλευρά τη χρωματίζουμε κόκκινη ή μπλέ Δύο τέτοια χρωματισμένα τετράγωνα λέμε ότι δεν διαφέρουν ουσιαστικώς, αν είτε περιστρέφοντας είτε αναποδογυρίζοντας το ένα από αυτά προκύπτει το άλλο χρωματισμένο τετράγωνο, βλ Σχήμα 12 4 3 4 3 1 2 4 1 3 2 1 2 Αρχικό τετράγωνο Από το αρχικό κατόπιν Από το αρχικό κατόπιν στροφής κατά π/4 από κατοπτρισμού ως προς αριστερά προς τα δεξιά τον άξονα 4 2 Σχήμα 12: Τα ανωτέρω τρία χρωματισμένα τετράγωνα δεν διαφέρουν ουσιαστικώς Θα υπολογίσουμε το πλήθος των ουσιαστικώς διαφορετικών τετραγώνων εφαρμόζοντας το Θεώρημα Burnside Έστω το σύνολο των χρωματισμένων τετραγώνων Το A αποτελείται από 2 4 στοιχεία, αφού κάθε πλευρά τού τετραγώνου μπορεί να χρωματιστεί κόκκινη ή μπλέ 9 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Στο A δρα η διεδρική ομάδα D 4, αφού αυτή ακριβώς η ομάδα περιστρέφει η αναποδογυρίζει το τετράγωνο και το πλήθος των χρωματισμένων τετραγώνων που διαφέρουν ουσιαστικά συμπίπτει με το πλήθος k των τροχιών τού A κάτω από την δράση τής D 4 Η D 4 αποτελείται από τα στοιχεία: ( ) 1 2 3 4 Id =, ρ = 1 2 3 4 ρ 2 = ( 1 2 3 4 2 3 4 1 ( ) 1 2 3 4 στροφή κατά π/2, ρ 3 = 3 4 1 2 ) στροφή κατά π/4 από αριστερά προς τα δεξιά, ( ) 1 2 3 4 στροφή κατά 3π/4, 4 1 2 3 ( ) 1 2 3 4 σ = ανάκλαση ως προς τον άξονα 4 2, 3 2 1 4 ( ) 1 2 3 4 τ = ανάκλαση ως προς τον άξονα 3 1, 1 4 3 2 µ = ν = ( 1 2 3 ) 4 2 1 4 3 ( 1 2 3 ) 4 4 3 2 1 ανάκλαση ως προς τον άξονα διερχόμενο από τα μέσα των 3 4 και 2 1, ανάκλαση ως προς τον άξονα διερχόμενο από τα μέσα των 1 4 και 2 3 Για κάθε g D 4, θα υπολογίσουμε το πληθος A g των στοιχείων τού A g (αʹ) Προφανώς, A Id = 2 4, αφού κάθε στοιχείο τού A παραμένει αναλλοίωτο από το ταυτοτικό στοιχείο τής D 4 (βʹ) Το A ρ ισούται με 2, αφού για να ανήκει ένα στοιχείο τού A στο A ρ θα πρέπει όλες οι πλευρές του να έχουν το ίδιο χρώμα, αφού διαφορετικά τουλάχιστον μια πλευρά θα απεικονιζόταν σε μια πλευρά διαφορετικού χρώματος Επειδή διαθέτουμε δύο χρώματα, έχουμε A ρ = 2 (γʹ) Το A ρ2 ισούται με 4 Εδώ ένα στοιχείο τού A ανήκει στο A ρ2 ακριβώς τότε, όταν οι απέναντι πλευρές του τετραγώνου έχουν το ίδιο χρώμα, αφού κατά την περιστροφή κατά π/2 απεικονίζεται κάθε πλευρά στην απέναντί της Συνεπώς υπάρχουν δύο επιλογές χρώματος για τη μία πλευρά (ας πούμε την 1 4) και δύο για μια γειτονική της (ας πούμε την 1 2) (δʹ) Το A ρ3 ισούται με 2 Η επιχειρηματολογία είναι αντίστοιχη τής περίπτωσης A ρ (εʹ) Το A σ ισούται με 2 2 Εδώ, για να ανήκει ένα χρωματισμένο τετράγωνο στο A σ, οφείλουν οι πλευρές 1 4 και 3 4 να έχουν το ίδιο χρώμα καθώς επίσης και οι πλευρές 2 3 και 1 2 Ν Μαρμαρίδης 10

13 Δράση Ομάδας επί Υποσυνόλων και Πλευρικών Κλάσεων (στʹ) Το A τ ισούται με 2 2 Η επιχειρηματολογία είναι αντίστοιχη τής περίπτωσης A σ (ζʹ) Το A µ ισούται με 2 3 Εδώ παρατηρούμε ότι οι πλευρές 3 4 και 1 2 απεικονίζονται μέσω τού µ στον εαυτό τους, ενώ οι πλευρές 1 4 και 2 3 εναλλάσσονται Συνεπώς, οι τελευταίες οφείλουν να έχουν το ίδιο χρώμα Γι αυτό έχουμε δύο επιλογές χρώματος για την πλευρά 3 4, δύο επιλογές χρώματος για την πλευρά 1 2 και δύο επιλογές χρώματος (ας πούμε) για την πλευρά 1 4 Το χρώμα τής πλευράς 2 3 οφείλει να είναι το ίδιο με το χρώμα τής πλευράς 1 4 (ηʹ) Το A ν ισούται με 2 3 Η επιχειρηματολογία είναι αντίστοιχη τής περίπτωσης A µ Τώρα εφαρμόζοντας το Θεώρημα Burnside παίρνουμε k = 1 { } A Id + A ρ + A ρ2 + A ρ3 + A σ + A τ + A µ + A ν = [D 4 : 1] 1 { 2 4 + 2 + 4 + 2 + 2 2 + 2 2 + 2 3 + 2 3} = 6 8 Ώστε υπάρχουν έξι ουσιαστικώς διαφορετικά χρωματισμένα τετράγωνα 13 Δράση Ομάδας επί Υποσυνόλων και Πλευρικών Κλάσεων 131 Αριστερή Δράση Θεωρούμε μια ομάδα (G, ) και την απεικόνιση l : G G G, (g, α) glα := g α Μπορεί πολύ εύκολα να επαληθευθεί ότι η l συνιστά μια δράση τής G επί τού εαυτού της, αφού κατ ουσίαν η επαλήθευση βασίζεται στα αξιώματα που διέπουν την πράξη τής ομάδας Από εδώ και στο εξής θα σημειώνουμε με gα το αποτέλεσμα g α τής πράξης στα g, α G 132 Δράση στις αριστερές πλευρικές Κλάσεις Έστω ότι H G είναι μια υποομάδα τής G και G/H = {αh α G} το σύνολο των αριστερών πλευρικών κλάσεων τής H στην G Παρατηρούμε ότι η αντιστοιχία π H : G G/H G/H, (g, αh) gπ H αh := gαh είναι ανεξάρτητη από την επιλογή τού αντιπροσώπου α τής πλευρικής κλάσης αh και συνεπώς είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση Πράγματι, g, α 1, α 2 G, α 1 H = α 2 H gα 1 H = gα 2 H (γιατί;) 11 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Επιπλέον, g 1, g 2 G, αh G/H, (g 1 g 2 )π H αh = (g 1 g 2 )αh = g 1 (g 2 αh) = g 1 π H (g 2 π H αh), αh G/H, e G π H αh = (e G α)h = αh, (e G το ουδέτερο τής G) Παρατήρηση 131 Επιλέγοντας ως H την τετριμμένη υποομάδα {e G }, διαπιστώνουμε ότι η δράση π H συμπίπτει κατ ουσίαν με τη δράση l, αφού α G, οι πλευρικές κλάσεις αh συμπίπτουν με τα μονοσύνολα {α} Θεώρημα 131 (α ) Η δράση π H : G G/H G/H είναι μεταβατική (β ) Ο σταθερωτής G eh τής αριστερής πλευρικής κλάσης eh ισούται με H (γ ) Ο πυρήνας τής δράσης π H ισούται με την υποομάδα α G αhα 1, η οποία είναι η μεγαλύτερη (ως προς τη σχέση υποσυνόλου ) ορθόθετη (κανονική) υποομάδα τής G που περιέχεται στην H Απόδειξη (α ) Αν αh, βh G/H, τότε επιλέγοντας g = βα 1 G έχουμε gαh = βh, δηλαδή gπ H αh = βh και συνεπώς η π H είναι μια μεταβατική δράση (β ) g G eh gπ H eh = eh geh = eh g eh = H (γ ) Υπενθυμίζουμε ότι ο πυρήνας τής δράσης π H ισούται με τον πυρήνα τού επαγόμενου ομομορφισμού χ(π H ) : G S G/H Έχουμε: Kerχ(π H ) = {g G gαh = αh, αh G/H} = {g G α 1 gαh = H, α G} = {g G α 1 gα H, α G} Επειδή α 1 gα H g αhα 1, έπεται ότι Kerχ(π H ) = {g G α 1 gα H, α G} = α G αhα 1 Προφανώς, η τομή α G αhα 1 H και αφού ισούται με τον Kerχ(π H ) είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Αν N H είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G που περιέχεται στην H, τότε α G, α 1 Nα = N H Συνεπώς, α G, N αhα 1 και επομένως N α G αhα 1 Πόρισμα 131 (Cayley) Κάθε ομάδα (G, ) είναι ισόμορφη με μια υποομάδα τής συμμετρικής ομάδας (S G, ) Απόδειξη Θεωρούμε την τετριμμένη υποομάδα H = {e G } τής G και τον επαγόμενο ομομορφισμό ομάδων χ(π {eg}) : G S G/{eG} Ν Μαρμαρίδης 12

13 Δράση Ομάδας επί Υποσυνόλων και Πλευρικών Κλάσεων Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, ο πυρήνας Kerχ(π {eg }) ισούται με α{e G }α 1 = {e G } α G αhα 1 = α G Επομένως, ο χ(π {eg }) είναι ένας μονομορφισμός ομάδων και γι αυτό η G είναι ισόμορφη με μια υποομάδα τής S G/{eG} Αλλά η S G/{eG} μπορεί να ταυτιστεί με την S G, αφού όπως έχουμε ήδη πει, το σύνολο των αριστερών πλευρικών κλάσεων τής {e G } στην G, δηλαδή το G/{e G } = {α{e G } α G} μπορεί να ταυτιστεί με το σύνολο G = {α G} των στοιχείων τής G Πόρισμα 132 Αν (G, ) είναι μια ομάδα με πεπερασμένη τάξη και αν υπάρχει μια υποομάδα της H G με δείκτη [G : H] = p τον μικρότερο πρώτο αριθμό που διαιρεί την τάξη τής G, τότε η H είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Απόδειξη Θεωρούμε τη δράση π H : G G/H G/H και τον επαγόμενο ομορφισμό ομάδων χ(π H ) : G S G/H Επειδή Kerχ(π H ) H G έχουμε [G : Kerχ(π H )] = [G : H][H : Kerχ(π H )] = p[h : Kerχ(π H )] (*) Η πηλικοομάδα G/Kerχ(π H ) είναι ισόμορφη με μια υποομάδα τής S G/H και αφού το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου G/H ισούται με [G : H] = p, η τάξη τής S G/H ισούται με p! Σύμφωνα με το Θεώρημα Lagrange, η τάξη τής G/Kerχ(π H ), που ισούται με [G : Kerχ(π H )] είναι ένας διαιρέτης τής τάξης p! τής S G/H Λαμβάνοντας υπ όψιν την ( ) συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός [H : Kerχ(π H )] διαιρεί το (p 1)! Αν όμως ο αριθμός [H : Kerχ(π H )] είναι 1, τότε οποιοσδήποτε πρώτος διαιρέτης q τού συγκεκριμένου αριθμού είναι και διαιρέτης τού (p 1)! και γι αυτό κάθε τέτοιος πρώτος διαιρέτης q είναι μικρότερος από τον πρώτο αριθμό p Αλλά κάθε τέτοιος πρώτος q είναι και διαιρέτης τής τάξης [G : 1] τής G, αφού [G : 1] = [G : H][H : Kerχ(π H )][Kerχ(π H ) : 1] Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης τής [G : 1] είναι ο p Επομένως, [H : Kerχ(π H )] = 1 και συνεπώς η H = Kerχ(π H ) είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Ως τελευταία εφαρμογή τής θεωρίας που αναπτύξαμε μέχρι τώρα παρουσιάζουμε την ακόλουθη πολύ γνωστή πρόταση: Πρόταση 131 Έστω ότι (G, ) είναι μια πεπερασμένη ομάδα και H, K G δύο υποομάδες τής G Το πλήθος HK των στοιχείων τού συνόλου HK = {hk h H, k K} ισούται με HK = [H : 1][K : 1] [H K : 1] 13 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Απόδειξη Θεωρούμε το σύνολο G/K = {gk g G} των αριστερών πλευρικών κλάσεων τής K στην G Η απεικόνιση ϕ : H G/K G/K, (h, gk) hϕgk := hgk είναι μια δράση τής H επί τού συνόλου G/K Το σύνολο HK ισούται με την ένωση h H hk Παρατηρούμε ότι τα σύνολα hk, h H είναι ακριβώς τα στοιχεία τής τροχιάς O H (K) τού στοιχείου ek = K G/K κάτω από τη ϕ δράση τής H Επειδή η τροχιά O H (K) περιέχεται στο σύνολο G/K το οποίο είναι πεπερασμένο, έπεται ότι και η τροχιά O H (K) αποτελείται από πεπερασμένο το πλήθος στοιχεία, ας πούμε ότι O H (K) = {h 1 K, h 2 K,, h l K} Συνεπώς, HK = h H hk = l h i K, όπου l το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς O H (K) i=1 Παρατηρούμε ότι αν, i j, τότε h i K h j K =, αφού πρόκειται για αριστερές πλευρικές κλάσεις τής K στην G Επιπλέον, επειδή το πλήθος των στοιχείων οποιασδήποτε αριστερής πλευρικής κλάσης hk ισούται με [K : 1], έπεται ότι l l HK = h i K = h i K = l[k : 1] (*) i=1 Αλλά το πλήθος l των στοιχείων τής τροχιάς O H (K) ισούται με τον δείκτη [H : H ek ], όπου H ek = {h H hek = ek} είναι ο σταθερωτής τής κλάσης ek κάτω από τη ϕ δράση τής H Τώρα, H ek = {h H hek = ek} = {h H h K} = H K και έτσι από τη σχέση (*) έπεται [H : 1][K : 1] HK = [H : H ek ][K : 1] = [H : H K][K : 1] = [H K : 1] i=1 133 Το Θεώρημα Cauchy Έστω ότι ϕ : G A A είναι δράση μιας ομάδας G επί ενός συνόλου A Το σύνολο των στοιχείων τού A που παραμένουν σταθερά από τη δράση ϕ τής G, δηλαδή το {α A gϕa = a, g G}, το ονομάζουμε σύνολο των ϕ-σταθερών στοιχείων τού A και το συμβολίζουμε με Fix ϕ (A) Έστω A (αντιστοίχως Fix ϕ (A) ) το πλήθος των στοιχείων τού A (αντιστοίχως τού Fix ϕ (A)) Λήμμα 131 Έστω ότι ϕ : G A A είναι δράση μιας ομάδας (G, ) επί ενός πεπερασμένου συνόλου A Αν η τάξη τής G είναι p n, όπου ο p είναι ένας πρώτος αριθμός και ο n είναι ένας φυσικός, τότε ο p διαιρεί τη διαφορά A Fix ϕ (A) Ν Μαρμαρίδης 14

13 Δράση Ομάδας επί Υποσυνόλων και Πλευρικών Κλάσεων Απόδειξη Το A διαμερίζεται μέσω τής δράσης ϕ σε ένα πεπερασμένο πλήθος r τροχιών O i, 1 i r, αφού A < Έτσι έχουμε: A = O 1 O 2 O l O l+1 O r, όπου το πλήθος O i των στοιχείων τής O i, 1 i l ισούται με 1 και το πλήθος O i των στοιχείων τής O i, l + 1 i r είναι ίσο ή μεγαλύτερο τού 2 Το σύνολο Fix ϕ (A) των ϕ-σταθερών στοιχείων τού A ισούται με O 1 O 2 O l και γι αυτό Fix ϕ (A) = l Διαπιστώνουμε ότι ο πρώτος p διαιρεί τον αριθμό O i, όταν αυτός είναι 2, αφού O i = [G : G ai ], όπου a i είναι οποιοδήποτε στοιχείο τής τροχιάς O i Ώστε ο p διαιρεί τον O i, i, l + 1 i r Συνεπώς, A = r O i = i=1 l r O i + O i = Fix ϕ (A) +κp i=1 i=l+1 Επομένως, ο p διαιρεί την διαφορά A Fix ϕ (A) Θεώρημα 132 (Cauchy) Έστω (G, ) μια ομάδα τάξης [G : 1] = n N και p ένας πρώτος διαιρέτης τού n Τότε υπάρχει ένα στοιχείο g G με τάξη p Απόδειξη Είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι υπάρχει κάποιο g e G με g p = e G, αφού τότε η τάξη τού g είναι ένας διαιρέτης τού p και επειδή ο p είναι πρώτος και g e G έχουμε ότι η τάξη τού g είναι p Σχηματίζουμε το σύνολο A = {(g 1, g 2,, g p ) g i G, i, 1 i p με g 1 g 2 g p = e G } Το πλήθος A των στοιχείων τού A ισούται με [G : 1] (p 1), αφού τα g 1, g 2,, g p 1 μπορεί να είναι οποιαδήποτε στοιχεία τής G, ενώ το g p είναι μοναδικώς καθορισμένο από τα g 1, g 2,, g p 1, αφού g p = (g 1 g 2 g p 1 ) 1 Επειδή ο p διαιρεί τον n έχουμε n = κp και συνεπώς Παρατηρούμε ότι αν, A = [G : 1] (p 1) = κ (p 1) p (p 1) (*) g 1 g 2 g i g i+1 g p = e G, τότε g i+1 g i+2 g p = (g 1, g 2 g i ) 1, και γι αυτό (g i+1 g i+2 g p )(g 1 g 2 g i ) = e G Συνεπώς αν, η p άδα (g 1, g 2,, g p ) ανήκει στο A, τότε και οποιαδήποτε άλλη p άδα (g i+1, g i+2,, g p, g 1, g 2,, g i ), η οποία προκύπτει από την πρώτη κατόπιν κυκλικής εναλλαγής των συνιστωσών της, ανήκει επίσης στο A 15 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Θεωρούμε την αβελιανή ομάδα (Z p, +) και ορίζουμε την απεικόνιση ϕ : Z p A A, ([i], (g 1, g 2,, g p )) (g (i+1)modp, g (i+2)modp,, g (i+p)modp ), όπου οι δείκτες (i+1)modp, (i+2)modp,, (i+p)modp διατρέχουν τους αντιπροσώπους j των κλάσεων modp με j μεταξύ των αριθμών 1 και p Η απεικόνιση ϕ είναι μια δράση τής ομάδας Z p επί τού συνόλου A Παρατηρούμε ότι ένα στοιχείο (g 1, g 2,, g p ) A ανήκει στο σύνολο Fix ϕ (A) των ϕ σταθερών στοιχείων τού A, αν και μόνο αν, [1]ϕ(g 1, g 2,, g p 1, g p ) = (g 1, g 2,, g p 1, g p ) (g (1+1)modp, g (1+2)modp,, g (1+(p 1))modp, g (1+p)modp ) = (g 1, g 2,, g p ) (g 2, g 3,, g p, g 1 ) = (g 1, g 2,, g p ) g 1 = g 2 = g 3 = = g p Συνεπώς, τα στοιχεία τού συνόλου Fix ϕ (A) συμπίπτουν με τις p άδες (g, g,, g), όπου g G με g p = e G Το πλήθος Fix ϕ (A) τού Fix ϕ (A) είναι 1, αφού η p άδα (e G, e G,, e G ) ανήκει στο Fix ϕ (A) Σύμφωνα με το προηγούμενο λήμμα, η τάξη p τής Z p διαιρεί τη διαφορά A Fix ϕ (A) και επειδή, λόγω τής ( ), η τάξη τού A είναι πολλαπλάσιο τού p, έπεται ότι ο p διαιρεί τον αριθμό Fix ϕ (A) 1 Επομένως, Fix ϕ (A) p 2 και γι αυτό υπάρχει ένα στοιχείο (g, g,, g) Fix ϕ (A) A με g e G Ώστε, g p = e G με g e G Προφανώς, το g έχει τάξη p 14 Συζυγία Θεωρούμε τώρα μία ακόμα δράση μιας ομάδας επί τού εαυτού της, η οποία όπως θα δούμε σύντομα θα χορηγήσει πολλά και ουσιαστικά αποτελέσματα στη Θεωρία Ομάδων Η απεικόνιση σ : G G G, (g, α) gσα := gαg 1 ορίζει μια δράση τής G επί του εαυτού της, αφού g 1, g 2, α G : (g 1 g 2 )σα = (g 1 g 2 )α(g 1 g 2 ) 1 = g 1 (g 2 αg 1 2 )g 1 1 = g 1 σ(g 2 σα) και α G : e G σα = e G α(e G ) 1 = α Ορισμός 141 Η δράση σ : G G G, (g, α) gσα := gαg 1 ονομάζεται δράση συζυγίας επί των στοιχείων τής G Στη συγκεκριμένη περίπτωση οι τροχιές στις οποίες διαμερίζεται η G μέσω τής δράσης συζυγίας σ ονομάζονται κλάσεις συζυγίας Δύο στοιχεία α, β G ανήκουν στην ίδια κλάση, αν και μόνο αν, g G με gαg 1 = β Στοιχεία που ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας ονομάζονται συζυγή στοιχεία Η κλάση συζυγίας τού στοιχείου α G είναι το σύνολο K α = {gαg 1 g G} Αν η G είναι μια πεπερασμένη ομάδα, τότε το πλήθος των κλάσεων συζυγίας είναι επίσης πεπερασμένο, αφού η κλάσεις συζυγίας αποτελούν μια διαμέριση τής G Ν Μαρμαρίδης 16

14 Συζυγία Παρατηρήσεις 141 (αʹ) Αν η G είναι μια αβελιανή ομάδα, τότε η δράση τής συζυγίας είναι τετριμμένη, αφού g, α G είναι gσα = gαg 1 = gg 1 α = e G α = α (βʹ) Αν [G : 1] > 1, τότε η δράση τής συζυγίας δεν είναι μεταβατική, αφού η κλάση συζυγίας K eg τού ουδέτερου στοιχείου e G τής G είναι το μονοσύνολο K eg = {e G } (γʹ) Γενικώς, η κλάση συζυγίας K α ενός στοιχείου α G είναι μονοσύνολο (και τότε βέβαια αποτελείται μόνο από το στοιχείο α) αν, και μόνο αν, το α ανήκει στο κέντρο τής ομάδας Z(G) = {α G αg = gα, g G} (δʹ) Κάθε στοιχείο β G που ανήκει στην κλάση συζυγίας K α τού α G έχει την ίδια τάξη με το α, αφού g G, η απεικόνιση ϕ g : G G, α gαg 1 είναι ένας αυτομορφισμός τής G Παραδείγματα 141 Οι κλάσεις συζυγίας τής συμμετρικής ομάδας (S 3, ) είναι οι: K Id3 = {Id 3 }, K (12) = {(12), (13), (23)} και K (123) = {(123), (132)} Υπενθυμίζουμε ότι δύο κύκλοι τής (S n, ) με το ίδιο μήκος είναι πάντοτε συζυγείς Πράγματι, αν c 1 = (i 1 i 2 i l ) και c 2 = (j 1 j 2 j l ), τότε για κάθε τ S n με τ(i r ) = j r, r, 1 r l είναι τc 1 τ 1 = τ(i 1 i 2 i l )τ 1 = (τ(i 1 )τ(i 2 ) τ(i l )) = (j 1 j 2 j l ) = c 2 141 Επεκτείνοντας τη Δράση Συζυγίας Η δράση τής συζυγίας πάνω στο σύνολο των στοιχείων τής ομάδας G επεκτείνεται σε μια δράση σ επί τού συνόλου P (G) όλων των μη κενών υποσυνόλων τής G: σ : G P (G) P (G), (g, A) g σa := gag 1 Αν η G είναι μια πεπερασμένη ομάδα, τότε το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς O A τού A G ισούται με τον δείκτη [G : G A ], όπου G A = {g G gag 1 } είναι ο σταθερωτής τού συνόλου A Όταν το A είναι ένα μονοσύνολο, ας πούμε A = {α}, τότε ο σταθερωτής G {α} ονομάζεται ο κεντρωτής τού στοιχείου α και συμβολίζεται με C G (α) Ώστε, C G (α) = {g G gαg 1 = α} = {g G gα = αg} Όταν η G είναι μια πεπερασμένη ομάδα, τότε το πλήθος των συζυγών στοιχείων τού α, δηλαδή το πλήθος των στοιχέιων τής κλάσης συζυγίας K α ισούται με [G : C G (α)] Προφανώς, για το κέντρο Z(G) μιας ομάδας G έχουμε: Z(G) = α G C G (α) 17 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Όταν το H G είναι μια υποομάδα τής G, τότε ο σταθερωτής G H τού H ονομάζεται ο ορθοθέτης ή κανονικοποιητής ή ορθοθέτρια υποομάδα τής H και συμβολίζεται με N G (H) Συνεπώς, N G (H) = {g G ghg 1 = H} Παρατήρηση 141 Αν H G είναι μια υποομάδα τής G, τότε ο σταθερωτής N G (H) τής G είναι η μεγαλύτερη (ως προς τη σχέση υποσυνόλου ) υποομάδα τής G εντός τής οποίας η H είναι ορθόθετη, δηλαδή H N G (H) Μια υποομάδα H τής G είναι ορθόθετη αν, και μόνο αν, N G (H) = G 142 Η Εξίσωση των Κλάσεων Θεώρημα 141 Αν, G είναι μια ομάδα με πεπερασμένη τάξη [G : 1] < και αν, α 1, α 2,, α l είναι οι αντιπρόσωποι από τις διαφορετικές κλάσεις συζυγίας που έχουν περισσότερα τού ενός στοιχεία, τότε [G : 1] = [Z(G) : 1] + l [G : C G (α j )] j=1 Απόδειξη Θεωρούμε τη διαμέριση τής G στις κλάσεις συζυγίας: G = Z 1 Z 2 Z t K 1 K 2 K l, (*) όπου Z i, 1 i t είναι οι κλάσεις συζυγίας που καθεμιά τους αποτελείται από ακριβώς ένα στοιχείο και K j, 1 j l είναι οι κλάσεις που καθεμιά τους αποτελείται από περισσότερα τού ενός στοιχεία Όπως ήδη έχουμε πει, η κλάση συζυγίας ενός στοιχείου α G αποτελείται μόνο από το α αν, και μόνο αν, το α ανήκει στο κέντρο Z(G) τής G Γι αυτό το πλήθος t των κλάσεων συζυγίας με ένα στοιχείο ισούται με την τάξη [Z(G) : 1] τού κέντρου Επιπλέον, το πλήθος των στοιχείων τής K j, 1 j l ισούται με τον δείκτη [G : C G (α j )], όπου α j είναι οποιοδήποτε στοιχείο τής κλάσης K j Γι αυτό από την (*) προκύπτει η [G : 1] = [Z(G) : 1] + l [G : C G (α j )] j=1 Η ανωτέρω ισότητα αυτή ονομάζεται η Εξίσωση των Κλάσεων Παραδείγματα 142 (αʹ) Αν η G είναι μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα, τότε η ισότητα των κλάσεων χορηγεί την ισότητα [G : 1] = [Z(G) : 1], που προφανώς είναι αλήθές, αφού G = Z(G) Ν Μαρμαρίδης 18

14 Συζυγία (βʹ) Θα αποδείξουμε κάθε ομάδα με 15 στοιχεία είναι αβελιανή Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια ομάδα G με 15 στοιχεία που δεν είναι αβελιανή Χρησιμοποιώντας την Εξίσωση των Κλάσεών της που θα την προσδιορίσουμε θα καταλήξουμε σε άτοπο Πρώτα παρατηρούμε ότι η τάξη [Z(G) : 1] τού κέντρου της οφείλει να είναι ή 1 ή 3 ή 5 ή 15 ως διαιρέτης τού 15 Αφού η G δεν είναι αβελιανή, το [Z(G) : 1] 15 Επίσης, [Z(G) : 1] 5 (αντιστοίχως 3), αφού τότε η πηλικοομάδα G/Z(G) είναι κυκλική, ως έχουσα τάξη 3 (αντιστοίχως 5) και τότε η G θα ήταν μια αβελιανή ομάδα Επομένως, [Z(G) : 1] = 1 Από το Θεώρημα Cauchy γνωρίζουμε ότι η G διαθέτει τουλάχιστον ένα στοιχείο α με τάξη (α) = 3 και ένα β G με τάξη (β) = 3 Η κυκλική υποομάδα α περιέχεται στον κεντρωτή C G (α) Συνεπώς, ο αριθμός 3 [C G (α) : 1] και επειδή C G (α) < G, αφού αν ίσχυε η ισότητα, τότε το α θα ανήκε στο Z(G), συμπεραίνουμε ότι [C G (α) : 1] = 3 και η κλάση συζυγίας K α τού α αποτελείται από [G : C G (α)] = 5 στοιχεία Αποδεικνύεται με ανάλογο τρόπο ότι β = C G (β) και η κλάση συζυγίας K α τού β αποτελείται από [G : C G (β)] = 3 στοιχεία Αφού η G δεν είναι αβελιανή, κάθε στοιχείο e G τής G έχει τάξη 3 ή 5 και έτσι 15 = [Z(G) : 1]+ K α + K β + το πλήθος των στοιχείων κάποιων επιπλέον κλάσεων συζυγίας K = 1 + 5 + 3 + το πλήθος των στοιχείων κάποιων επιπλέον κλάσεων συζυγίας K Προφανώς, το πλήθος των στοιχείων οποιασδήποτε επιπλέον κλάσης συζυγίας K πρέπει να ισούται με 3, αφού αν κάποια K διέθετε 5 στοιχεία, τότε η ισότητα 15 = 1 + 5 + 3 + 5 + l i=1 x i δεν μπορεί να συμπληρωθεί με κατάλληλα x i = 3 ή 5 ώστε να δώσει το 15 Γι αυτό η μοναδική περίπτωση είναι Επομένως, η G έχει διαμεριστεί στην 15 = 1 + 5 + 3 + 3 + 3 (αʹ) κλάση συζυγίας με ένα στοιχείο, την Z(G), (βʹ) στην κλάση K α η οποία αποτελείται από 5 στοιχεία τάξης ίσης με την τάξη τού α, δηλαδή τάξης 3, (γʹ) στην κλάση K β η οποία αποτελείται από 3 στοιχεία τάξης ίσης με την τάξη τού β, δηλαδή τάξης 5 19 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου (δʹ) και σε άλλες δύο κλάσεις K γ, K δ που καθεμιά τους αποτελείται από 3 στοιχεία τάξης 5, επειδή ο κεντρωτής C G (γ) (αντιστοίχως C G (δ)) έχει τάξη 5 και {e G } < γ C G (γ) (αντιστοίχως {e G } < δ C G (δ)) Συνεπώς, η G διαθέτει 5 στοιχεία τάξης 3 και 9 στοιχεία τάξης 5 Τα στοιχεία τάξης 5 είναι διαμοιρασμένα σε υποομάδες τής G τάξης 5, που ανά δύο έχουν ως τομή μόνο το ουδέτερο στοιχείο, αφού πρόκειται για κυκλικές υποομάδες με τάξη πρώτο αριθμό Αλλά, αν H 1, H 2 είναι δύο από αυτές, τότε οι H 1 και H 2 περιέχουν ακριβώς 8 διαφορετικά στοιχεία τάξης 5 Έτσι όμως μένει ένα επιπλέον στοιχείο τ τάξης 5 το οποίο δεν ανήκει ούτε στην H 1 ούτε στην H 2 με τ H 1 = e G και τ H 2 = e G Αλλά τώρα η τ δίνει ακόμα τέσσερα στοιχεία (μαζί με το τ) τάξης 5 Έτσι συνολικά έχουμε τουλάχιστον 12 στοιχεία τάξης 5, πράγμα άτοπο Επομένως, η G είναι αβελιανή ομάδα (γʹ) Θα υπολογίσουμε τις κλάσεις συζυγίας τής ομάδας τετρανίων Q 8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, με ( 1) 2 = 1, i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1 και όπου το 1 είναι το ταυτοτικό στοιχείο τής Q 8 και το 1 μετατίθεται με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο Το κέντρο Z(Q 8 ) τής Q 8 ισούται με {1, 1} Συνεπώς έχουμε ακριβώς δύο κλάσεις συζυγίας τις K 1, K 1 που καθεμιά τους έχει μόνο ένα στοιχείο Παρατηρούμε ότι [D 4 : H i ] = 2, i = 1, 2, 3 και g H 1 H 2 H 3 \Z()επειδή η i περιέχεται στον κεντρωτή C Q8 (i) τού i και C Q8 (i) Q 8, αφού i / Z(Q 8 ), η σχέση 2 = [Q 8 : i ] = [Q 8 : C Q8 (i)][c Q8 (i) : i ] δίνει C Q8 (i) = i Επομένως, το πλήθος των στοιχείων τής K i ισούται με τον δείκτη [Q 8 : i ] = 2 και K i = {i, i}, αφού jij 1 = ji( j) = ( 1)jij = ( 1)jk = i Παρομοίως προκύπτει K j = {j, j} και K k = {k, k} (δʹ) Τέλος, θα υπολογίσουμε τις κλάσεις συζυγίας τής διεδρικής ομάδας D 4 = {σ, α σ 2 = Id, α 4 = Id, ασ = σα 3 } Το κέντρο Z(D 4 ) τής D 4 ισούται με {Id, α 2 } Συνεπώς έχουμε ακριβώς δύο κλάσεις συζυγίας τις K Id, K α 2 που καθεμιά τους έχει μόνο ένα στοιχείο Θεωρούμε τις υποομάδες H 1 = {Id, α, α 2, α 3 }, H 2 = {Id, σ, α 2, σα} και H 3 = {Id, σ, α 3, σα 3 } Παρατηρούμε ότι g H i \ Z(D 4 ), i = 1, 2, 3 η υποομάδα H i περιέχεται στον κεντρωτή C D4 (g), ο οποίος είναι γνήσια υποομάδα τής D 4, αφού g / Z(D 4 ) Επειδή ο δείκτης [D 4 : H i ] = 2, i = 1, 2, 3, έχουμε H i = C D4 (g), g H i \ Z(G), i = 1, 2, 3 και γι αυτό η κλάση συζυγίας κάθε g H 1 H 2 H 3 \ Z(G) αποτελείται από ακριβώς δύο στοιχεία Έχουμε K α = {α, α 3 }, K σ = {σ, σα 2 }, K σα = {σα, σα 3 } Ν Μαρμαρίδης 20

14 Συζυγία Θεώρημα 142 Κάθε ομάδα (G, ) τάξης p α, α 1, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός, έχει μη τετριμμένο κέντρο Απόδειξη Από την εξίσωση κλάσεων γνωρίζουμε ότι [G : 1] = [Z(G) : 1] + l [G : C G (α j )], όπου τα α j, j = 1,, l είναι οι αντιπρόσωποι των κλάσεων με περισσότερα τού ενός στοιχεία Ο πρώτος αριθμός p διαιρεί την τάξη [G : 1] τής G καθώς και κάθε δείκτη [G : C G (α j )], αφού [G : C G (α j )] 2 Επομένως, ο p διαιρεί την τάξη [Z(G) : 1] τού κέντρου τής G και γι αυτό [Z(G) : 1] p 2 j=1 Θεώρημα 143 Κάθε ομάδα (G, ) τάξης p 2, όπου ο p είναι πρώτος αριθμός, είναι αβελιανή και μάλιστα ισόμορφη ή με την Z p 2 ή με την Z p Z p Απόδειξη Το κέντρο Z(G) τής G είναι μη τετριμμένο και γι αυτό [Z(G) : 1] = p 2 ή [Z(G) : 1] = p Στην πρώτη περίπτωση η G είναι αβελιανή, αφού G = Z(G) και στη δεύτερη περίπτωση η G είναι και πάλι αβελιανή, αφού η πηλικοομάδα G/Z(G) είναι κυκλική ως έχουσα τάξη τον πρώτο αριθμό p Ώστε η G είναι σε κάθε περίπτωση αβελιανή Αν η G διαθέτει ένα στοιχείο τάξης p 2, τότε G = Z p 2 Διαφορετικά κάθε στοιχείο τής G, που δεν είναι το ουδέτερο, έχει τάξη p Θεωρούμε ένα τέτοιο στοιχείο x G, x e G και ένα ακόμα στοιχείο y G \ x Αμφότερα τα x, y έχουν τάξη p και x y = {e G }, αφού η τάξη [ x y : 1] είναι, ως διαιρέτης τής τάξης [ x : 1], ή 1 ή p Αλλά αν, [ x y : 1] = p, τότε y x, πράγμα άτοπο Θεωρούμε την απεικόνιση ψ : x y G, (x i, y j ) ψ((x i, y j )) := x i y j Η ψ είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, αφού Επιπλέον, Kerψ = {(e G, e G )}, αφού ψ((x i 1, y j 1 )(x i 2, y j 2 )) = ψ((x i 1 x i 2, y j 1 y j 2 )) = x i1 x i2 y j1 y j2 = x i1 y j1 x i2 y j2 = ψ((x i1, y j1 ))ψ((x i2, y j2 )) ψ((x i, y j )) = e G x i y j = e G x i = y j x i = y j x y = {e G } x i = y j = e G (x i, y j ) = (e G, e G ) Συνεπώς, ο ψ είναι μονομορφισμός και επομένως ισομορφισμός, αφού [ x y : 1] = p 2 = [G : 1] Αλλά x = Z p και y = Z p Επομένως, G = Z p Z p 21 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Ποια είναι η Πιθανότητα δύο Στοιχεία μιας Ομάδας να μετατίθενται; Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα τάξης [G : 1] < και g, α δύο οποιαδήποτε στοιχεία της, όχι απαραιτήτως διαφορετικά Θα εξετάσουμε ποιες τιμές μπορεί να λάβει η πιθανότητα Pr(G) ώστε gα = αg Αν η G είναι μια αβελιανή ομάδα, τότε Pr(G) = 1, αφού (g, α) G G είναι gα = αg Θεωρούμε το σύνολο τότε, L = {(g, α) G G gα = αg}, Pr(G) = L G G = L [G : 1] 2, όπου με S συμβολίζουμε, ως συνήθως, το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου S Θεώρημα 144 Αν (G, ) είναι μια ομάδα τάξης [G : 1] <, τότε Pr(G) = r, όπου r είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας τής G [G : 1] Επιπλέον, αν η G δεν είναι αβελιανή, τότε Pr(G) 5 8 Απόδειξη Παρατηρούμε ότι L = g G L g, όπου L g = {(g, α) α G, gα = αg} Τα σύνολα L g, g G χορηγούν μια διαμέριση τού L, αφού αν L g L h, τότε (x, y) L g L h και τότε g = x = h Επομένως, L g = L h Έτσι έχουμε L = L g g G Αλλά, g G το πλήθος L g ισούται με το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου G g = {α G gαg 1 = α}, αφού η απεικόνιση είναι «1 1» και «επί», επειδή L g G g, (g, α) α (g, α) L g gα = αg gαg 1 = α α G g Επομένως, L = g G L g = g G G g (*) Ν Μαρμαρίδης 22

14 Συζυγία Όμως για κάθε g G, το G g = {α G gαg 1 = α} είναι το σύνολο των στοιχείων τής G που μένουν σταθερά από το g ως προς τη δράση τής συζυγίας G G G, (g, α) gαg 1 και από τον τύπο τού Burnside, βλ Θεώρημα 122, έχουμε ότι το πλήθος r των κλάσεων συζυγίας ισούται με r = 1 G g (**) [G : 1] g G Από τις (*) και (**) έπεται [G : 1]r = L και συνεπώς Pr(G) = L [G : 1]r = [G : 1] 2 [G : 1] 2 = r [G : 1] Θα αποδείξουμε τώρα ότι αν, η G δεν είναι αβελιανή, τότε το 5/8 είναι το ελάχιστο άνω φράγμα για την πιθανότητα Pr(G) Θεωρούμε τη διαμέριση τής G στις κλάσεις συζυγίας της: G = Z 1 Z 2 Z t K 1 K 2 K l, όπου οι Z i, 1 i t είναι οι κλάσεις συζυγίας με ένα στοιχείο και K j, 1 j l οι κλάσεις συζυγίας με τουλάχιστον δύο στοιχεία Η ένωση Z 1 Z 2 Z t ισούται με το κέντρο Z(G) τής G και γι αυτό [Z(G) : 1] = t Από την Εξίσωση των Κλάσεων παίρνουμε [G : 1] = [Z(G) : 1)] + l K j [Z(G) : 1)] + 2l, j=1 επειδή K j 2 Συνεπώς, [G : 1] [Z(G) : 1] l 2 Επομένως, για το πλήθος r των κλάσεων συζυγίας έχουμε ότι r = [Z(G) : 1] + l [Z(G) : 1] + [G : 1] [Z(G) : 1] 2 = [G : 1] + [Z(G) : 1] 2 Όμως, αφού η G δεν είναι αβελιανή, πρέπει να ισχύει [Z(G) : 1] [G : 1]/4 Αφού διαφορετικά, δηλαδή αν, [Z(G) : 1] > [G : 1]/4, τότε 4 > ([G : 1]/[Z(G) : 1]) = [G/Z(G) : 1] και τότε η G/Z(G) είναι κυκλική, που συνεπάγει ότι η G είναι αβελιανή Έτσι διαπιστώνουμε ότι για το πλήθος r των κλάσεων συζυγίας έχουμε Επομένως, r = [Z(G) : 1] + l [G : 1] + [Z(G) : 1] 2 [G : 1] 2 + [G : 1]/4 2 = 5 [G : 1] 8 Pr(G) = r 5 [G : 1] 8 [G : 1] = 5 [G : 1] 8 23 Ν Μαρμαρίδης

1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Παρατηρήσεις 142 Ο αριθμός 5/8 είναι όντως το ελάχιστο άνω φράγμα στην περίπτωση των μη αβελιανών ομάδων Για παράδειγμα, αν η ομάδα G είναι η διεδρική ομάδα D 4 ή η ομάδα των τετρανίων Q 8, τότε Pr(G) = 5/8, αφού και στις δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις, το πλήθος των κλάσεων συζυγίας ισούται με 5 και το πλήθος των στοιχείων των ομάδων ισούται με 8 Ν Μαρμαρίδης 24

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης «Θεωρία Ομάδων» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourseuoigr/course/viewphp?id=1250 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/