Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ 860) Τυχαίες μεταβλητές-βασικές καταομές Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 181) Ο στατιστικός ορισμός της πιθαότητας (Richard von Mises, 1919) Ο αξιωματικός ορισμός της πιθαότητας (Kolmogorov, 1933) Άλλες ιδιότητες της πιθαότητας (προκύπτου από τα τρία αξιώματα) Τυχαία μεταβλητή Χ, στο δειγματικό χώρο Ω Α ο Ω είαι πεπερασμέος και όλα τα απλά εδεχόμεά του είαι ισοπίθαα, τότε N( πλήθος στοιχείω του Α P( = = N( Ω) πλήθος στοιχείω του Ω A P( = lim, όπου A ο αριθμός εμφαίσεω του εδεχομέου Α + σε επααλήψεις του πειράματος 1 P( 0, εδεχόμεο Α του Ω P( Ω) = 1 3 P( A1 A ) A1 ) + P( A ) +, για A 1, A, K, A ξέα αά δύο εδεχόμεα (α) P ( ) = 0 (β) P A A A ) A ) + P( A ) + + P( A ) ( 1 1 A 1, A, K, A ξέα αά δύο εδεχόμεα a 1, a, P ( { a1 }) + P({ a}) + για A =, τότε, (δ) P ( 1 (ε) P( A ) = 1 P( (στ) P( AB ) P( AB) (ζ) P( A B) + P( B) P( AB) Μια πραγματική συάρτηση που ατιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ τέτοια ώστε για κάθε διάστημα πραγματικώ αριθμώ I, το σύολο (γ) Α { } { ω Ω : X ( ω) I} α είαι εδεχόμεο του Ω Συάρτηση καταομής F τυχαίας μεταβλητής Χ Ιδιότητες της συάρτησης καταομής F Διακριτή τυχαία μεταβλητή Συάρτηση πιθαότητας f διακριτής τμ X με σύολο τιμώ R X Ιδιότητες της συάρτησης πιθαότητας f μιας διακριτής τμ Χ με R X = x, x, K, x, } { 1 K Το σύολο τιμώ μιας τυχαίας μεταβλητής Χ συμβολίζεται με Η πραγματική συάρτηση με τύπο F( x) X x), < x < + α) 0 F ( x) 1, για κάθε x R β) Είαι αύξουσα συάρτηση στο R γ) lim F( x) = 1 και lim F( x) = 0 x + x δ) Είαι δεξιά συεχής Το σύολο τιμώ της είαι πεπερασμέο ή αριθμησίμως άπειρο f : R [0,1] με 0, για κάθε x RX f ( x) = P( X = x), για κάθε x RX α) f ( x) = 0, για κάθε x RX β) f ( x i ) 0, για κάθε i = 1,, K γ) f x ) + f ( x ) + K + f ( x ) + K 1 ( 1 = R X Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)
Πιθαότητα υποσυόλου Α του R X = x, x, K, x, } { 1 K Συεχής τμ και συάρτηση πυκότητας f συεχούς τμ Ιδιότητες της συάρτησης πυκότητας f συεχούς τμ Υπολογισμός πιθαοτήτω για συεχείς τμ Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η καοική καταομή με παραμέτρους μ και σ P( X = i: xi A f ( x ) Μια τμ Χ λέγεται συεχής α υπάρχει μια μη αρητική πραγματική συάρτηση f τέτοια ώστε P ( X = f ( x) dx A για κάθε (μετρήσιμο) υποσύολο Α τω πραγματικώ Η συάρτηση f οομάζεται συάρτηση πυκότητας της Χ α) f ( x) 0, για κάθε x (, + ) β) + f ( x) dx = 1 P ( α < X < β ) α X < β ) α < X β ) α X β ) = β = f ( x) dx = F ( β ) F( α ) α P ( X = x) = 0 για κάθε x (, + ) Είαι η καταομή της τυχαίας μεταβλητής, έστω Χ, που εκφράζει το αριθμό τω επιτυχιώ σε αεξάρτητες δοκιμές Bernoulli με ίδια πιθαότητα επιτυχίας p Συμβολίζεται με B(, p) και έχει συάρτηση πιθαότητας x x f ( x) X = x) = p (1 p), x x = 0,1,,, μέση τιμή μ = E( X ) = p διακύμαση σ = Var( X ) = p(1 p) πιο πιθαή τιμή x = [( + 1) ] ότα ( +1) p δε είαι ακέραιος ή 0 p 0 ( + 1 x = ) p και x 0 = ( + 1) p 1 ότα ( +1) p είαι ακέραιος Συμβολίζεται με N ( μ, σ ) Έστω Χ τμ με X ~ N( μ, σ ) Η Χ έχει συάρτηση πυκότητας ( x μ ) 1 σ ( ) f x = e σ π, < x < +, < μ < +, σ > 0 μέση τιμή E (X ) = μ διακύμαση Var ( X ) = σ i Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos)
Η τυποποιημέη καοική καταομή Είαι η καοική καταομή με μέση τιμή μ = 0 και διακύμαση σ = 1 Συμβολίζεται με Ζ, δηλαδή, Z ~ N(0,1) Η συάρτηση πυκότητάς της συμβολίζεται με ϕ (z) και δίεται από το τύπο z 1 ϕ ( z) = e, < z < + π και η συάρτηση καταομής της συμβολίζεται με Φ (z) και δίεται από το τύπο t 1 z ( e Φ z) Z z) = dt, < z < + π α) Τυποποιημέη καοική Z ~ N(0,1) : P ( Z z) = Φ( z) και P ( Z z) = Φ( z) = 1 Φ( z) Υπολογισμός πιθαοτήτω καοικής τμ Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Προσέγγιση της Διωυμικής καταομής από τη Καοική (Θεώρημα De Moivre-Laplace) (δίοται από το πίακα της τυποποιημέης καοικής) P ( α Z β ) = Φ( β ) Φ( α) P ( Z > a) = 1 P( Z α) = 1 Φ( α) P ( α Z α ) = Φ( α ) 1 β) Καοική με X ~ N( μ, σ ) Α X ~ N( μ, σ ) τότε X μ Z = ~ N (0,1) σ β μ α μ P ( α X β ) = Φ Φ σ σ β μ P (X β ) = Φ σ α μ P (X α) = 1 Φ σ Α X 1, X, K, X αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθού τη ίδια καταομή με E ( X i ) = μ και Var ( X i ) = σ, τότε για μεγάλα, κατά προσέγγιση, ή ισοδύαμα S X = i= 1 X i ~ N( μ, σ ) = X ~ N ( μ, σ ) i= 1 i Η προσέγγιση είαι ικαοποιητική α 30 Α X ~ B(, p) τότε για μεγάλα, κατά προσέγγιση, X ~ N ( p, p(1 p)) Η προσέγγιση είαι ικαοποιητική α p 5 και ( 1 p) 5 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 3
Προβλήματα και Ασκήσεις 1 Έχει διαπιστωθεί ότι το 30% τω ζώω που κατά το εμβολιασμό εκτίθεται σε μολυσμέη βελόα από ηπατίτιδα Β, ααπτύσσει ηπατίτιδα Β Επιλέγουμε τυχαία 5 ζώα από έα πληθυσμό ζώω που έχου εμβολιασθεί με μολυσμέη βελόα α) Ποια είαι πιθαότητα από τα 5 ζώα α βρεθού άρρωστα από ηπατίτιδα Β i) ακριβώς ii) το πολύ 1 iii) τουλάχιστο 3 β) Πόσα ζώα (από τα 5) ααμέεται α βρεθού άρρωστα από ηπατίτιδα Β Σε έα πληθυσμό της μύγας Drosophila melanogaster το 5% είαι μαύρες λόγω κάποιας μετάλλαξης, εώ το υπόλοιπο 75% έχου το φυσιολογικό τους γκρι χρώμα (Ι) Από 7 μύγες που παγιδεύσαμε τυχαία από αυτό το πληθυσμό α) πόσες ααμέεται α είαι μαύρες β) ποια είαι η πιθαότητα α βρεθού α είαι μαύρες i) όλες ii) καμία iii) τουλάχιστο μια iv) λιγότερες από 7 v) ακριβώς 3 vi) λιγότερες από 3 vii) τουλάχιστο 3 viii) το πολύ 3 γ) πόσες μύγες είαι πιο πιθαό α βρεθού α είαι μαύρες (ΙΙ) Από 0 μύγες που παγιδεύσαμε τυχαία από αυτό το πληθυσμό πόσες ααμέεται α είαι μαύρες; 3 Από τους σπόρους πιπεριάς συγκεκριμέου είδους βλαστάει μόο το 80% Από μια συσκευασία 10 τέτοιω σπόρω α) πόσοι ααμέεται α βλαστήσου β) ποια είαι η πιθαότητα α βλαστήσει i) τουλάχιστο έας ii) όλοι iii) τουλάχιστο οκτώ γ) πόσοι είαι πιο πιθαό α βλαστήσου 4 Έχει παρατηρηθεί ότι από τα άτομα που κάου κράτηση για α ταξιδέψου με συγκεκριμέη αεροπορική εταιρεία, έα ποσοστό 5% δε εμφαίζεται για α ταξιδέψει Α σε μια πτήση που γίεται με έα αεροσκάφος 40 θέσεω η εταιρεία κάει κράτηση για 43 άτομα, ποια είαι η πιθαότητα α ταξιδέψου όλα τα άτομα που θα εμφαισθού για α ταξιδέψου (από τα 43 που έχου κάει κράτηση) 5 Το δίκτυο oμβρίω μιας αγροτικής περιοχής δε μπορεί α αταποκριθεί σε δυσμεείς καιρικές συθήκες που εμφαίζοται στη περιοχή κατά μέσο όρο μια φορά στα 5 χρόια Να υπολογισθεί η πιθαότητα από πέτε χροιές α πλημμυρίσει η περιοχή α) το πολύ δύο χροιές β) τουλάχιστο τρεις χροιές α ήδη έχει πλημμυρίσει τουλάχιστο μια χροιά 6 Έα σύστημα το οποίο αποτελείται από 6 εξαρτήματα λειτουργεί α τουλάχιστο 4 από τα εξαρτήματά του λειτουργού Α η πιθαότητα λειτουργίας (η αξιοπιστία) κάθε εξαρτήματος είαι 09 α βρεθεί α) η πιθαότητα λειτουργίας (η αξιοπιστία) του συστήματος β) η πιθαότητα α υποστού βλάβη τουλάχιστο τρία εξαρτήματα δεδομέου ότι έχου υποστεί βλάβη τουλάχιστο δύο (Θεωρείστε ότι τα εξαρτήματα του συστήματος λειτουργού αεξάρτητα το έα από το άλλο) 7 Έα σύστημα αποτελείται από n εξαρτήματα τύπου Ε1 και m εξαρτήματα τύπου Ε που λειτουργού αεξάρτητα το έα από το άλλο Η πιθαότητα λειτουργίας κάθε εξαρτήματος τύπου Ε1 είαι p 1 και κάθε εξαρτήματος τύπου Ε είαι p και το σύστημα λειτουργεί α λειτουργού συγχρόως τουλάχιστο 3 εξαρτήματα τύπου Ε1 και τουλάχιστο δύο εξαρτήματα τύπου Ε Να βρεθεί η αξιοπιστία (η πιθαότητα λειτουργίας) του συστήματος Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 4
8 Οι σπόροι του μπιζελιού Pisum sativum είαι πράσιοι ή κίτριοι Μια συγκεκριμέη διασταύρωση δίει σπόρους σε ααλογία 3 κίτριοι:1 πράσιο Α από τους σπόρους που προέκυψα από μια τέτοια διασταύρωση επιλέξουμε τυχαία τέσσερις, ποια είαι η πιθαότητα α βρούμε (α) τρεις κίτριους και έα πράσιο (β) και τους τέσσερις πράσιους (γ) και τους τέσσερις του ιδίου χρώματος 9 Έχει παρατηρηθεί ότι η πιθαότητα α συμβεί σοβαρό ατύχημα με γεωργικό μηχάημα σε μια μεγάλη αγροτική περιοχή είαι 00001 Α κατά τη διάρκεια μιας εργάσιμης ημέρας στη περιοχή αυτή χρησιμοποιούται 1000 γεωργικά μηχαήματα, ποια είαι η πιθαότητα α συμβού τουλάχιστο δύο ατυχήματα; (Για τη επιλογή της καταομής που θα χρησιμοποιήσετε παρατηρείστε ότι ο αριθμός το επααλήψεω είαι πολύ μεγάλος και η πιθαότητα «επιτυχίας» πολύ μικρή) 10 Σε έα πληθυσμό (ας πούμε γυαίκες ηλικίας 0 30 ετώ σε μια πόλη), η μέση συστολική πίεση είαι 10mmHg, με τυπική απόκλιση 0mmHg και ο πληθυσμός (τω πιέσεω) ακολουθεί καοική καταομή α) Τι ποσοστό του πληθυσμού έχει πίεση i) μεταξύ 110 και 15mmHg ii) μεγαλύτερη από 135mmHg iii) μικρότερη από 135mmHg β) Ποια είαι εκείη η τιμή της πίεσης μεγαλύτερη από τη οποία έχει i) μόο το 1% του πληθυσμού ii) το 95% του πληθυσμού γ) Η συστολική πίεση εός ατόμου κρίεται ως φυσιολογική α βρίσκεται σε εκείο το συμμετρικό διάστημα γύρω από το μέσο που περιέχει το 95% τω πιέσεω του πληθυσμού Να βρεθεί εκείη η τιμή πίεσης πάω από τη οποία έα άτομο κρίεται ως υπερτασικό Να βρεθεί επίσης εκείη η τιμή της πίεσης κάτω από τη οποία έα άτομο κρίεται ως υποτασικό δ) Να χωρίσετε το διάστημα (, + ) σε 4 διαστήματα καθέα από τα οποία α περιέχει το ίδιο ποσοστό πιέσεω, δηλαδή, σε 4 ισοπίθαα διαστήματα Ομοίως, ο χωρισμός α γίει σε 5 ισοπίθαα διαστήματα ε) Α στη πόλη αυτή οι γυαίκες ηλικίας 0 30 ετώ είαι 5000, πόσες από αυτές τις γυαίκες ααμέεται α έχου συστολική πίεση μεγαλύτερη από 135mmHg 11 Σε έα πείραμα μετρήθηκε η αύξηση (σε χροικό διάστημα δύο εβδομάδω) του ύψους φυτώ ηλιόσπορου και βρέθηκε ότι ακολουθεί καοική καταομή με μέση τιμή 318cm και τυπική απόκλιση 053cm α) Α επιλέξουμε στη τύχη έα από τα φυτά, ποια η πιθαότητα α έχει αυξηθεί το ύψος του i) περισσότερο από 4cm ii) λιγότερο από 3cm iii) τουλάχιστο 5 και όχι περισσότερο από 35cm β) Α επιλέξουμε τρία από τα φυτά στη τύχη i) ποια η πιθαότητα α βρούμε τουλάχιστο έα με αύξηση ύψους λιγότερο από 3cm ii) ποια η πιθαότητα η μέση αύξηση του ύψους τους α είαι τουλάχιστο 5 και όχι περισσότερο από 35cm γ) Πώς συγκρίετε τις πιθαότητες που υπολογίσατε στα ερωτήματα (α-iii) και (β-ii) 1 Έας μεγάλος πειραματικός αγρός χωρίστηκε σε πολλά αγροτεμάχια (x30m το καθέα) και σπάρθηκε με σιτάρι συγκεκριμέης ποικιλίας Μετρήθηκε η παραγωγή αά αγροτεμάχιο (σε Kg) και βρέθηκε ότι ακολουθεί καοική καταομή με μέση τιμή 399Kg και τυπική απόκλιση 3Kg α) Τι ποσοστό τω αγροτεμαχίω έδωσε παραγωγή i) περισσότερο από 45Kg ii) τουλάχιστο 36Kg iii) μεταξύ 395 και 405Kg β) Ποια είαι η πιθαότητα η συολική παραγωγή 5 αγροτεμαχίω που επιλέξαμε τυχαία α είαι μεγαλύτερη από 0Kg Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 5
13 Σε έα κλασικό πείραμα που έγιε για α διαχωριστού γεετικοί από περιβαλλοτικούς παράγοτες, μετρήθηκα τα βάρη 5494 σπόρω φασολιού (phaseolus vulgaris) και βρέθηκε ότι αυτά ακολουθού μια καοική καταομή με μέση τιμή 504mg και διακύμαση 90809mg α) Τι ποσοστό αυτώ τω σπόρω έχου βάρη μεταξύ 400 και 550mg β) Βρείτε εκείο το βάρος, μεγαλύτερο από το οποίο έχει i) μόο το 1% τω σπόρω ii) το 99% τω σπόρω γ) Βρείτε το 3 ο τεταρτημόριο της καταομής τω βαρώ 14 Έχει διαπιστωθεί ότι από τα δέδρα εός συγκεκριμέου είδους μιας μεγάλης περιοχής, ποσοστό % προσβάλλεται κάθε χρόο από μια συγκεκριμέη ασθέεια (η οποία τις περισσότερες φορές τελικά ατιμετωπίζεται) α) Α έας γεωπόος εξετάσει έα τυχαίο δείγμα 10 δέδρω από τη περιοχή, ποια η πιθαότητα στα 10 αυτά δέδρα α υπάρχου i) ακριβώς δέδρα που έχου προσβληθεί ii) τουλάχιστο δέδρα που έχου προσβληθεί β) Α ο γεωπόος εξετάσει έα τυχαίο δείγμα 300 δέδρω από τη περιοχή, ποια η πιθαότητα α βρει i) μεταξύ τριώ και οκτώ δέδρω α έχου προσβληθεί ii) τουλάχιστο 15 δέδρα α έχου προσβληθεί γ) Α ότως βρει 15 στα 300 δέδρα α έχου προσβληθεί, υπάρχει λόγος αησυχίας ότι το ποσοστό τω δέδρω που έχου προσβληθεί παρουσιάζει αύξηση; 15 Από τη συολική παραγωγή εός παραγωγού καρπουζιώ, πρώτης ποιότητας είαι το 80% τω καρπουζιώ Σε μια τυχαία παρτίδα (φορτίο) 500 καρπουζιώ από τη συγκεκριμέη παραγωγή, ποια είαι η πιθαότητα τα πρώτης ποιότητας καρπούζια α είαι μεταξύ 75% και 8% 16 Η ποσότητα ικοτίης που περιέχεται σε έα τσιγάρο συγκεκριμέης μάρκας είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 08mg και τυπική απόκλιση 01mg Α έα άτομο καπίζει 100 τσιγάρα τη εβδομάδα ποια είαι η πιθαότητα η συολική ποσότητα ικοτίης στη οποία θα εκτεθεί α είαι τουλάχιστο 8mg 17 Κατά τη παραγωγή εός πακέτου φυτοφαρμάκου έχει βρεθεί ότι η ποσότητα ξέω προσμίξεω που υπάρχει στο πακέτο είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 4 gr και τυπική απόκλιση 15gr Α πάρουμε δείγμα 50 τέτοιω πακέτω, ποια είαι η πιθαότητα η μέση ποσότητα ξέω προσμίξεω (στα 50 πακέτα) α βρίσκεται μεταξύ 35gr και 38gr 18 Στο πλαίσιο εός πειράματος, έας μεγάλος αριθμός πειραματικώ αγρώ σπάρθηκα με σιτάρι συγκεκριμέης ποικιλίας Κάθε πειραματικός αγρός είχε χωρισθεί σε 100 αγροτεμάχια (x30m το καθέα) Η μέση παραγωγή αά αγροτεμάχιο βρέθηκε 399Kg με τυπική απόκλιση 3Kg α) Ποια είαι η πιθαότητα έας τυχαία επιλεγμέος πειραματικός αγρός α έδωσε μέση παραγωγή αά αγροτεμάχιο i) περισσότερο από 45Kg ii) τουλάχιστο 36Kg iii) μεταξύ 395 και 405Kg β) Να εκφράσετε τις πιθαότητες που ζητούται στο ερώτημα (α) ως ποσοστά 19 Ο χρόος ζωής μιας λυχίας ορισμέου τύπου είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 185 ώρες και τυπική απόκλιση 150 ώρες Παίρουμε έα τυχαίο δείγμα 100 λυχιώ αυτού του τύπου Να βρεθεί η πιθαότητα ο μέσος χρόος ζωής τω 100 λυχιώ του δείγματος α είαι μεγαλύτερος από 1300 ώρες 0 Σε μια αθοκομική μοάδα έχει συγκετρωθεί έας μεγάλος αριθμός σπόρω τουλίπας σε ααλογία, ως προς το χρώμα τω λουλουδιώ που θα παράγου, Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 6
κόκκια: λευκά:1 κίτριο Μια αυτόματη μηχαή συσκευασίας αακατεύει πολύ καλά τους σπόρους και τους συσκευάζει σε σακουλάκια τω 100 σπόρω (περίπου) Επιλέγουμε τυχαία έα σακουλάκι Ποια είαι η πιθαότητα α περιέχει α) το πολύ 50 σπόρους που παράγου λευκά λουλούδια β) τουλάχιστο 65 σπόρους που δε παράγου λευκά λουλούδια 1 Η εθική επιτροπή για τη ασφάλεια και τη υγιειή της εργασίας ολοκλήρωσε μια μελέτη για το επίπεδο διοξίης TCDD στο οποίο εκτίθεται οι εργαζόμεοι σε μια βιομηχαική περιοχή Η μελέτη έδειξε ότι το επίπεδο διοξίης είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ = 93 ppt και τυπική απόκλιση σ = 847 ppt Παίρουμε έα τυχαίο δείγμα 50 εργαζομέω από τη περιοχή α) Α το συμπέρασμα της μελέτης είαι σωστό, ποια είαι η πιθαότητα το μέσο επίπεδο διοξίης που δέχοται οι 50 εργαζόμεοι α ξεπερά τα 600 ppt β) Α βρεθεί ότι το μέσο επίπεδο διοξίης που δέχοται οι 50 εργαζόμεοι του δείγματος είαι 65 ppt και το συμπέρασμα της μελέτης είαι σωστό, πώς μπορεί α ερμηευθεί η τιμή 65 ppt που παρατηρήθηκε στο δείγμα; Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται σε έα πορτοκάλι μεσαίου μεγέθους είαι καοική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ = 550 mg και τυπική απόκλιση σ = 0mg α) Ποια είαι η πιθαότητα έα τυχαία επιλεγμέο πορτοκάλι μεσαίου μεγέθους α περιέχει τουλάχιστο 510mg κάλιο; β) Ποια είαι η πιθαότητα τουλάχιστο έα από τρία τυχαία επιλεγμέα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους α περιέχει τουλάχιστο 510mg κάλιο; γ) Σε έα διαιτολόγιο ετάσσουμε τέσσερα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους ημερησίως και έστω Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη συολική ποσότητα καλίου που περιέχεται σε αυτά i) Ποια είαι η καταομή της τυχαίας μεταβλητής Υ; ii) Ποια είαι η πιθαότητα η συολική ποσότητα καλίου που περιέχεται σε τέσσερα τυχαία επιλεγμέα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους α είαι τουλάχιστο 10mg και το πολύ 80mg; Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 7
Τιμές τω πιθαοτήτω Φ( z) Z z) της N (0,1) Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 8