Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση
2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση Διεγερσιμότητα και Παρατηρησιμότητα Ιδιομορφών Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης Τάξης
Η βασική ιδέα Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση
ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ Έστω το Π.Α.Σ. σε σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση Μ q + K q = G f q(0) = q 0 q(0) = q 0 q Συνολική λύση: q t = q h t + q p t Το σύστημα έχει Ν ιδιοανύσματα i φ και ιδιοτιμές i ω, τα οποία ορίζουν μια βάση του διανυσματικού χωρου Ν-διάστατου χώρου R Ν To Ν Ν μητρώο ιδιοανυσμάτων Φ είναι μια βάση του R Ν Φ = 1 φ Ν φ
Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός q = Φ η Φ = 1 φ Ν φ είναι το μητρώο ιδιοανυσμάτων (ο πίνακας του οποίου η i- ιοστή στήλη είναι το i-ιοστό ιδιοάνυσμα i φ) η t = η 1 η N Τ είναι το διάνυσμα των αποκρίσεων των ιδιομορφών Η σχέση αυτή γράφεται και ως q = Φ η = Ν i=1 { i φ η i } Δηλαδή η απόκριση q εκφράζεται σαν μια επαλληλία των Ν ιδιοανυσμάτων. Οι μεταβλητή η i εκφράζει την συνεισφορά του i-ιοστού ιδιοανύσματος στην απόκριση q
Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Οι μεταβλητές η αρκούν για την περιγραφή της απόκρισης q των Β.Ε. του συστήματος ως: q = Φ η Μέσω του ιδιοανυσματικού μετασχηματισμού, οι Ν πεπλεγμένες ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς q Μ q + K q = G f θα μετασχηματιστούν σε Ν ανεξάρτητες ΣΔΕ 2 ης τάξης, κάθε μια από τις οποίες περιγράφει την δυναμική μιας από τις η i.
Αποσύζευξη Δυναμικών Εξισώσεων 1. Αντικαθιστούμε τον ιδιοανυσματικό μ/χ στο σύστημα ΣΔΕ M Φ η + K Φ η = G f 2. Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά με Φ Τ Φ Τ M Φ η + Φ Τ K Φ η = Φ Τ G f t 3. Λόγω των ιδιοτήτων των ιδιοανυσμάτων Φ Τ M Φ = diag μ ii Φ Τ K Φ = diag(κ ii ) Οι δυναμικές εξισώσεις ως προς τις μεταβλητές η t γίνονται η + diag( i ω 2 ) η = diag μ 1 ii Φ Τ G f t κ ii μ ii = i ω 2
Δυναμικές Εξισώσεις ως προς τις Μεταβλητές η t Οι δυναμικές εξισώσεις ως προς τις μεταβλητές η t είναι: η + diag( i ω 2 ) η = diag μ 1 ii Φ Τ G f t Ή ισοδύναμα Ν αποσυμπλεγμένες ΣΔΕ 2 ης τάξης η 1 + 1 ω 2 η 1 = 1 γ f t η Ν + Ν ω 2 η N = Ν γ f t Όπου i γ = i φ T G μ ii = i φ T G i φ T Μ Κάθε δυναμική εξίσωση 2 ης τάξης μπορεί να λυθεί αναλυτικά και να υπολογιστεί η απόκριση η i i φ
Αρχικές Συνθήκες ως προς τις Μεταβλητές η t Οι αρχικές συνθήκες υπολογίζονται ως q 0 = Φ η 0 η 0 = Φ 1 q 0 q 0 = Φ η 0 η 0 = Φ 1 q 0 Στην περίπτωση που i) το σύστημα δεν έχει επαναλαμβανόμενες ιδιοτιμές, ii) το σύστημα δεν έχει κίνηση στερεού σώματος, και ii) τα ιδιοανύσματα έχουν κανονικοποιηθεί ώστε να έχουν μοναδιαίο μέτρο τότε Φ 1 = Φ Τ. Σε αυτή τη περίπτωση, οι Α.Σ. για την i-ιοστή μεταβλητή η i t είναι: η i 0 = i φ T q 0 η i 0 = i φ T q 0
Επίλυση Συστημάτων Ν Β.Ε. Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού To ΠΑΣ για το σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης μετασχηματίζεται σε Ν ΠΑΣ ΣΔΕ 2 ης τάξης υπολογίζονται η i t υπολογίζεται η απόκριση των Β.Ε. από την σχέση του ιδιοανυσματικού μ/χ q = Φ η η 1 + 1 ω 2 η 1 = 1 γ f t η 1 0, η 1 0 η 1 M q + K q = G f q 0 = q 0, q 0 = q 0 η 2 + 2 ω 2 η 2 = 2 γ f t η 2 0, η 2 0 η 2 q = Φ η η Ν + Ν ω 2 η Ν = Ν γ f t η Ν 0, η Ν 0 η Ν
Επίλυση Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού Συνήθως, η απόκριση ενός συστήματος Ν Β.Ε. καθορίζεται από την απόκριση ενός περιορισμένου αριθμού N r ιδιοανυσμάτων Συνήθως τα πρώτα ιδιοανύσματα (χαμηλότερες ιδιοσυχνότητες) καθορίζουν την απόκριση σε μεγάλο βαθμό q = Φ η = Ν i=1 { i φ η i } N r { i φ η i } Ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα του υπολογισμού της απόκρισης q t μέσω ιδιοανυσματικού μ/χ είναι ότι η q t προκύπτει από την επίλυση ενός περιορισμένου αριθμού ΣΔΕ 2 ης τάξης για τα η i αντί για την επίλυση του πολύπλοκου και μεγάλου συστήματος Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης i=1
Επίλυση Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού Συνήθως, η απόκριση καθορίζεται από την απόκριση ενός περιορισμένου αριθμού N r ιδιοανυσμάτων Οι χαμηλές ιδιοσυχνότητες/ιδιοανύσματα καθορίζουν την απόκριση σε μεγάλο βαθμό q = Φ η = Ν i=1 { i φ η i } N r { i φ η i } Ακόμα και σε μοντέλα πολύπλοκων κατασκευών μπορεί να περιέχουν 10 3-10 7 Β.Ε., η απόκριση q t σε συστήματα πολλών Β.Ε. προκύπτει συνήθως από την επίλυση ενός περιορισμένου αριθμού συστημάτων 1 Β.Ε. η i i=1
Ανεξαρτησία Ιδιομορφών Σε ένα σύστημα (χωρίς κίνηση στερεού σώματος) αν η αρχική συνθήκη είναι πολλαπλάσια ενός ιδιοανύσματος j φ: q 0 = κ j φ, q 0 = 0 Τότε οι αντίστοιχες αρχικές συνθήκες για τα η i t είναι: η i 0 = i φ T q 0 = i φ T κ j φ = κ, i = j 0, i j η i 0 = i φ T q 0 = 0 Οπότε (επειδή f t = 0) μόνο η απόκριση του j-ιοστού ιδιοανύσματος είναι μη μηδενική η i t = 0, i = j 0, i j Οπότε η απόκριση q t θα αποτελείται από μόνο την απόκριση του ιδιοάνυσματος j: q t = j φ η j t
Πως επιδράμε και παρατηρούμε ιδιομορφές Διεγερσιμότητα και Παρατηρησιμότητα Ιδιομορφών
Διεγερσιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής Η επίλυση του παρακάτω ΠΑΣ δίνει την απόκριση η i t της συνεισφοράς της i-ιοστής ιδιομορφής στην απόκριση q η i + i ω 2 η i = i γ f t η i 0, η i 0 Το i γ περιγράφει πόσο έντονα η f t θα διεγείρει το ιδιοάνυσμα i. i γ = i φ T G μ ii = i φ T G i φ T Μ i φ
Διεγερσιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής Μια διέγερση f t : Θα διεγείρει σημαντικά την i-ιοστή ιδιομορφή η i t όταν τα στοιχεία του i φ στις θέσεις που ασκείται η f t (τα στοιχεία όπου το διάνυσμα G έχει μη μηδενικά στοιχεία) είναι σημαντικά Θα διεγείρει λίγο το η i t όταν τα στοιχεία του i φ στις θέσεις που ασκείται η f t τείνουν στο 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4 1 μηδέν -0.5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.5 Έχει σημασία που θα ασκηθεί μια δύναμη f t σε μια κατασκευή (όσο αφορά τις ταλαντώσεις που θα προκαλέσει) 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17
Παρατηρησιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής Η απόκριση των Β.Ε. είναι : q t = Φ η t = Ν i=1 Η απόκριση του j-οστού Β.Ε. q j t είναι : q j t = j-ιοστό στοιχείο του i-ιοστού ιδιοανύσματος i φ Ν i=1 i φ j η i t i φ η i t Απόκριση i-ιοστής ιδιομορφής Έστω ότι μετριέται η απόκριση q j t.. Μπορεί η μέτρηση της q j t να δώσει πληροφορία σχετικά με την απόκριση της i-ιοστής ιδιομορφής η i t?
Παρατηρησιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής H απόκριση q j t σε κάποιο σημείο της κατασκευής: Επιρεάζεται σημαντικά από την απόκριση η i t του i-ιοστού ιδιοανύσματος όταν i φ j είναι μεγάλο Δεν επιρεάζεται σημαντικά από την απόκριση η i t του i-ιοστού ιδιοανύσματος όταν i φ j είναι μικρό Σε κάθε σημείο μιας κατασκευής τα διάφορα ιδιοανύσματα έχουν διαφορετική συνεισφορά στην απόκριση q j t
Παρατηρησιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής Έστω ότι: η απόκριση περιέχει μόνο 2 ιδιοτιμές μετράμε κραδασμούς στα σημεία Α, Β, Γ η i t q i q i 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5 q 1 q 2 0 2 4 6 8 10 time [sec] 0.6 q A 0.4 q B 0.2 0-0.2-0.4-0.6 η 1 t η 2 t q C -0.8 0 2 4 6 8 10 time [sec] 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 Α Β Γ 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Η βασική ιδέα Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση
ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ με Απόσβεση Έστω το Π.Α.Σ. σε σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση Μ q + C q + K q = G f q(0) = q 0 q(0) = q 0 q Σε συστήματα με «λίγη απόσβεση» (π.χ. κατασκευές) Θεωρείται ότι οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι προσεγγιστικά ίδιες με αυτές του αντίστοιχου συστήματος χωρίς απόσβεση Ο πειραματικός ή υπολογιστικός υπολογισμός του C είναι δύσκολος
Προβλήματα λόγω Παρουσίας Απόσβεσης Είναι επιθυμητό να καταλήξουμε σε αποσυζευγμένες ΣΔΕ για τις η i t Εφαρμόζοντας το ιδιοανυσματικό μ/χ στις ΣΔΕ με απόσβεση Φ Τ M Φ η + Φ Τ C Φ η + Φ Τ K Φ η = Φ Τ G f t diag μ ii η + Φ Τ C Φ η + diag κ ii η = Φ Τ G f t Για τυχαία μητρώα C η αποσύζευξη αποτυγχάνει διότι το μητρώο Φ Τ C Φ (το Φ περιέχει τα ιδιοανύσματα του συστήματος χωρίς απόσβεση) δεν είναι αναγκαστικά διαγώνιο Χρησιμοποιούμε δύο προσεγγιστικές μεθόδους για την περιγραφή της απόσβεσης ώστε το μητρώο Φ Τ C Φ να είναι διαγώνιο Μέθοδος Rayleigh Μέθοδος Caughey (modal damping)
Μέθοδος Rayleigh Το μητρώο απόσβεσης προσεγγίζεται ως C = β 1 M + β 2 K Όπου β 1, β 2 είναι αριθμητικοί συντελεστές Το μητρώο αυτό διαγωνοποιείται ως: Φ Τ C Φ = β 1 diag μ ii + β 2 diag κ ii Οπότε μετά τον ιδιοανυσματικό μετασχηματισμό, ο λόγος απόσβεσης i ζ για το i- ιοστό ιδιοάνυσμα υπολογίζεται ως: 2 i ζ i ω = β 1 μ ii + β 2 κ ii i ζ = β 1 μ ii + β 2 κ ii 2 i ω Με αυτή τη μέθοδο μπορούν να επιλεγούν ανεξάρτητα οι λόγοι απόσβεσης για 2 ιδιοανύσματα (μέσω των β 1, β 2 )
Μέθοδος Caughey (Modal Damping) Για κάθε μια από τις Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης που προκύπτουν από ιδιοανυσματικό μ/χ για την απόκριση της η i t θεωρείται ένας προσεγγιστικός λόγος απόσβεσης i ζ Η ακριβής μορφή του μητρώου C δεν έχει σημασία Στην πράξη χρειάζεται να εκτιμηθούν τα i ζ μόνο για τα N r πρώτα ιδιοανύσματα που συμπεριλαμβάνονται στην ανάλυση Η απόκριση της i-ιοστής ιδιομορφής προκύπτει λύνοντας το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών συνθηκών η i + 2 i ζ i ω η i + i ω 2 η i = i γ f t η i 0, η i 0
Μέθοδος Caughey (Modal Damping) To ΠΑΣ για το σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης μετασχηματίζεται σε Ν R ΠΑΣ ΣΔΕ 2 ης τάξης υπολογίζονται η i t για i = 1,, N R υπολογίζεται η απόκριση των Β.Ε. από την σχέση του ιδιοανυσματικού μ/χ q = Φ η η 1 + 2 1 ζ 1 ω η 1 + 1 ω 2 η 1 = 1 γ f t η 1 0, η 1 0 η 1 M q + C q 0 = q 0, q + K q = G f q 0 = q 0 η 2 + 2 2 ζ 2 ω η 2 + 2 ω 2 η 2 = 2 γ f t η 2 0, η 2 0 η 2 q η ΝR + 2 Ν R ζ Ν R ω η ΝR + Ν R ω 2 η ΝR = Ν R γ f t η ΝR 0, η ΝR 0 η Ν
Μέθοδος Caughey (Modal Damping) Χωρίς απόσβεση Με απόσβεση Α Β Γ 1.5 1 q 1 q 2 1.5 1 q 1 q 2 1 q i q i 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 2 4 6 8 10 time [sec] 1.5 q A 1 q B q C 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 2 4 6 8 10 time [sec] q i q i 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 2 4 6 8 10 time [sec] 1.5 q A q 1 B q C 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 2 4 6 8 10 time [sec] 1 ω=4 rad/sec, 2 ω=11 rad/sec 1 ω=4 rad/sec, 2 ω=11 rad/sec, 1 ζ=0.05, 2 ζ=0.02 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10