Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση

Σχετικά έγγραφα
Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιομορφές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς

Δυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων

ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9.

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8.

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ

Πολυβάθμια Συστήματα ( ) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων

ΠΠΜ 320: Δυναμική Ανάλυση των Κατασκευών

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Δυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων. Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ

Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 1. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Αντισεισμική Τεχνολογία Ι. Σεισμική Απόκριση Πολυβαθμιών Συστημάτων. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Δυναμική εργαλειομηχανών

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Η λύση του προβλήματος των ιδιοτιμών και ιδιομορφών είναι εύκολη μόνο σε περιπτώσεις συστημάτων λίγων Β.Ε. Μέθοδος Rayleigh

Κεφάλαιο 14: Στατική μη-γραμμική Ανάλυση (Pushover Analysis) Πολυωρόφων

Διανύσµατα στο επίπεδο

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Υπολογισμός της σεισμικής δυναμικής ή μη-γραμμικής απόκρισης των κατασκευών.

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Κατασκευών ΙΙ

9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον.

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Transcript:

Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση

2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση Διεγερσιμότητα και Παρατηρησιμότητα Ιδιομορφών Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης Τάξης

Η βασική ιδέα Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση

ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ Έστω το Π.Α.Σ. σε σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση Μ q + K q = G f q(0) = q 0 q(0) = q 0 q Συνολική λύση: q t = q h t + q p t Το σύστημα έχει Ν ιδιοανύσματα i φ και ιδιοτιμές i ω, τα οποία ορίζουν μια βάση του διανυσματικού χωρου Ν-διάστατου χώρου R Ν To Ν Ν μητρώο ιδιοανυσμάτων Φ είναι μια βάση του R Ν Φ = 1 φ Ν φ

Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός q = Φ η Φ = 1 φ Ν φ είναι το μητρώο ιδιοανυσμάτων (ο πίνακας του οποίου η i- ιοστή στήλη είναι το i-ιοστό ιδιοάνυσμα i φ) η t = η 1 η N Τ είναι το διάνυσμα των αποκρίσεων των ιδιομορφών Η σχέση αυτή γράφεται και ως q = Φ η = Ν i=1 { i φ η i } Δηλαδή η απόκριση q εκφράζεται σαν μια επαλληλία των Ν ιδιοανυσμάτων. Οι μεταβλητή η i εκφράζει την συνεισφορά του i-ιοστού ιδιοανύσματος στην απόκριση q

Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Οι μεταβλητές η αρκούν για την περιγραφή της απόκρισης q των Β.Ε. του συστήματος ως: q = Φ η Μέσω του ιδιοανυσματικού μετασχηματισμού, οι Ν πεπλεγμένες ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς q Μ q + K q = G f θα μετασχηματιστούν σε Ν ανεξάρτητες ΣΔΕ 2 ης τάξης, κάθε μια από τις οποίες περιγράφει την δυναμική μιας από τις η i.

Αποσύζευξη Δυναμικών Εξισώσεων 1. Αντικαθιστούμε τον ιδιοανυσματικό μ/χ στο σύστημα ΣΔΕ M Φ η + K Φ η = G f 2. Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά με Φ Τ Φ Τ M Φ η + Φ Τ K Φ η = Φ Τ G f t 3. Λόγω των ιδιοτήτων των ιδιοανυσμάτων Φ Τ M Φ = diag μ ii Φ Τ K Φ = diag(κ ii ) Οι δυναμικές εξισώσεις ως προς τις μεταβλητές η t γίνονται η + diag( i ω 2 ) η = diag μ 1 ii Φ Τ G f t κ ii μ ii = i ω 2

Δυναμικές Εξισώσεις ως προς τις Μεταβλητές η t Οι δυναμικές εξισώσεις ως προς τις μεταβλητές η t είναι: η + diag( i ω 2 ) η = diag μ 1 ii Φ Τ G f t Ή ισοδύναμα Ν αποσυμπλεγμένες ΣΔΕ 2 ης τάξης η 1 + 1 ω 2 η 1 = 1 γ f t η Ν + Ν ω 2 η N = Ν γ f t Όπου i γ = i φ T G μ ii = i φ T G i φ T Μ Κάθε δυναμική εξίσωση 2 ης τάξης μπορεί να λυθεί αναλυτικά και να υπολογιστεί η απόκριση η i i φ

Αρχικές Συνθήκες ως προς τις Μεταβλητές η t Οι αρχικές συνθήκες υπολογίζονται ως q 0 = Φ η 0 η 0 = Φ 1 q 0 q 0 = Φ η 0 η 0 = Φ 1 q 0 Στην περίπτωση που i) το σύστημα δεν έχει επαναλαμβανόμενες ιδιοτιμές, ii) το σύστημα δεν έχει κίνηση στερεού σώματος, και ii) τα ιδιοανύσματα έχουν κανονικοποιηθεί ώστε να έχουν μοναδιαίο μέτρο τότε Φ 1 = Φ Τ. Σε αυτή τη περίπτωση, οι Α.Σ. για την i-ιοστή μεταβλητή η i t είναι: η i 0 = i φ T q 0 η i 0 = i φ T q 0

Επίλυση Συστημάτων Ν Β.Ε. Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού To ΠΑΣ για το σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης μετασχηματίζεται σε Ν ΠΑΣ ΣΔΕ 2 ης τάξης υπολογίζονται η i t υπολογίζεται η απόκριση των Β.Ε. από την σχέση του ιδιοανυσματικού μ/χ q = Φ η η 1 + 1 ω 2 η 1 = 1 γ f t η 1 0, η 1 0 η 1 M q + K q = G f q 0 = q 0, q 0 = q 0 η 2 + 2 ω 2 η 2 = 2 γ f t η 2 0, η 2 0 η 2 q = Φ η η Ν + Ν ω 2 η Ν = Ν γ f t η Ν 0, η Ν 0 η Ν

Επίλυση Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού Συνήθως, η απόκριση ενός συστήματος Ν Β.Ε. καθορίζεται από την απόκριση ενός περιορισμένου αριθμού N r ιδιοανυσμάτων Συνήθως τα πρώτα ιδιοανύσματα (χαμηλότερες ιδιοσυχνότητες) καθορίζουν την απόκριση σε μεγάλο βαθμό q = Φ η = Ν i=1 { i φ η i } N r { i φ η i } Ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα του υπολογισμού της απόκρισης q t μέσω ιδιοανυσματικού μ/χ είναι ότι η q t προκύπτει από την επίλυση ενός περιορισμένου αριθμού ΣΔΕ 2 ης τάξης για τα η i αντί για την επίλυση του πολύπλοκου και μεγάλου συστήματος Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης i=1

Επίλυση Μέσω Ιδιοανυσματικού Μετασχηματισμού Συνήθως, η απόκριση καθορίζεται από την απόκριση ενός περιορισμένου αριθμού N r ιδιοανυσμάτων Οι χαμηλές ιδιοσυχνότητες/ιδιοανύσματα καθορίζουν την απόκριση σε μεγάλο βαθμό q = Φ η = Ν i=1 { i φ η i } N r { i φ η i } Ακόμα και σε μοντέλα πολύπλοκων κατασκευών μπορεί να περιέχουν 10 3-10 7 Β.Ε., η απόκριση q t σε συστήματα πολλών Β.Ε. προκύπτει συνήθως από την επίλυση ενός περιορισμένου αριθμού συστημάτων 1 Β.Ε. η i i=1

Ανεξαρτησία Ιδιομορφών Σε ένα σύστημα (χωρίς κίνηση στερεού σώματος) αν η αρχική συνθήκη είναι πολλαπλάσια ενός ιδιοανύσματος j φ: q 0 = κ j φ, q 0 = 0 Τότε οι αντίστοιχες αρχικές συνθήκες για τα η i t είναι: η i 0 = i φ T q 0 = i φ T κ j φ = κ, i = j 0, i j η i 0 = i φ T q 0 = 0 Οπότε (επειδή f t = 0) μόνο η απόκριση του j-ιοστού ιδιοανύσματος είναι μη μηδενική η i t = 0, i = j 0, i j Οπότε η απόκριση q t θα αποτελείται από μόνο την απόκριση του ιδιοάνυσματος j: q t = j φ η j t

Πως επιδράμε και παρατηρούμε ιδιομορφές Διεγερσιμότητα και Παρατηρησιμότητα Ιδιομορφών

Διεγερσιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής Η επίλυση του παρακάτω ΠΑΣ δίνει την απόκριση η i t της συνεισφοράς της i-ιοστής ιδιομορφής στην απόκριση q η i + i ω 2 η i = i γ f t η i 0, η i 0 Το i γ περιγράφει πόσο έντονα η f t θα διεγείρει το ιδιοάνυσμα i. i γ = i φ T G μ ii = i φ T G i φ T Μ i φ

Διεγερσιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής Μια διέγερση f t : Θα διεγείρει σημαντικά την i-ιοστή ιδιομορφή η i t όταν τα στοιχεία του i φ στις θέσεις που ασκείται η f t (τα στοιχεία όπου το διάνυσμα G έχει μη μηδενικά στοιχεία) είναι σημαντικά Θα διεγείρει λίγο το η i t όταν τα στοιχεία του i φ στις θέσεις που ασκείται η f t τείνουν στο 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4 1 μηδέν -0.5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.5 Έχει σημασία που θα ασκηθεί μια δύναμη f t σε μια κατασκευή (όσο αφορά τις ταλαντώσεις που θα προκαλέσει) 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17

Παρατηρησιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής Η απόκριση των Β.Ε. είναι : q t = Φ η t = Ν i=1 Η απόκριση του j-οστού Β.Ε. q j t είναι : q j t = j-ιοστό στοιχείο του i-ιοστού ιδιοανύσματος i φ Ν i=1 i φ j η i t i φ η i t Απόκριση i-ιοστής ιδιομορφής Έστω ότι μετριέται η απόκριση q j t.. Μπορεί η μέτρηση της q j t να δώσει πληροφορία σχετικά με την απόκριση της i-ιοστής ιδιομορφής η i t?

Παρατηρησιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής H απόκριση q j t σε κάποιο σημείο της κατασκευής: Επιρεάζεται σημαντικά από την απόκριση η i t του i-ιοστού ιδιοανύσματος όταν i φ j είναι μεγάλο Δεν επιρεάζεται σημαντικά από την απόκριση η i t του i-ιοστού ιδιοανύσματος όταν i φ j είναι μικρό Σε κάθε σημείο μιας κατασκευής τα διάφορα ιδιοανύσματα έχουν διαφορετική συνεισφορά στην απόκριση q j t

Παρατηρησιμότητα i-ιοστής Ιδιομορφής Έστω ότι: η απόκριση περιέχει μόνο 2 ιδιοτιμές μετράμε κραδασμούς στα σημεία Α, Β, Γ η i t q i q i 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5 q 1 q 2 0 2 4 6 8 10 time [sec] 0.6 q A 0.4 q B 0.2 0-0.2-0.4-0.6 η 1 t η 2 t q C -0.8 0 2 4 6 8 10 time [sec] 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 Α Β Γ 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Η βασική ιδέα Ιδιοανυσματική Ανάλυση σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση

ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ με Απόσβεση Έστω το Π.Α.Σ. σε σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση Μ q + C q + K q = G f q(0) = q 0 q(0) = q 0 q Σε συστήματα με «λίγη απόσβεση» (π.χ. κατασκευές) Θεωρείται ότι οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι προσεγγιστικά ίδιες με αυτές του αντίστοιχου συστήματος χωρίς απόσβεση Ο πειραματικός ή υπολογιστικός υπολογισμός του C είναι δύσκολος

Προβλήματα λόγω Παρουσίας Απόσβεσης Είναι επιθυμητό να καταλήξουμε σε αποσυζευγμένες ΣΔΕ για τις η i t Εφαρμόζοντας το ιδιοανυσματικό μ/χ στις ΣΔΕ με απόσβεση Φ Τ M Φ η + Φ Τ C Φ η + Φ Τ K Φ η = Φ Τ G f t diag μ ii η + Φ Τ C Φ η + diag κ ii η = Φ Τ G f t Για τυχαία μητρώα C η αποσύζευξη αποτυγχάνει διότι το μητρώο Φ Τ C Φ (το Φ περιέχει τα ιδιοανύσματα του συστήματος χωρίς απόσβεση) δεν είναι αναγκαστικά διαγώνιο Χρησιμοποιούμε δύο προσεγγιστικές μεθόδους για την περιγραφή της απόσβεσης ώστε το μητρώο Φ Τ C Φ να είναι διαγώνιο Μέθοδος Rayleigh Μέθοδος Caughey (modal damping)

Μέθοδος Rayleigh Το μητρώο απόσβεσης προσεγγίζεται ως C = β 1 M + β 2 K Όπου β 1, β 2 είναι αριθμητικοί συντελεστές Το μητρώο αυτό διαγωνοποιείται ως: Φ Τ C Φ = β 1 diag μ ii + β 2 diag κ ii Οπότε μετά τον ιδιοανυσματικό μετασχηματισμό, ο λόγος απόσβεσης i ζ για το i- ιοστό ιδιοάνυσμα υπολογίζεται ως: 2 i ζ i ω = β 1 μ ii + β 2 κ ii i ζ = β 1 μ ii + β 2 κ ii 2 i ω Με αυτή τη μέθοδο μπορούν να επιλεγούν ανεξάρτητα οι λόγοι απόσβεσης για 2 ιδιοανύσματα (μέσω των β 1, β 2 )

Μέθοδος Caughey (Modal Damping) Για κάθε μια από τις Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης που προκύπτουν από ιδιοανυσματικό μ/χ για την απόκριση της η i t θεωρείται ένας προσεγγιστικός λόγος απόσβεσης i ζ Η ακριβής μορφή του μητρώου C δεν έχει σημασία Στην πράξη χρειάζεται να εκτιμηθούν τα i ζ μόνο για τα N r πρώτα ιδιοανύσματα που συμπεριλαμβάνονται στην ανάλυση Η απόκριση της i-ιοστής ιδιομορφής προκύπτει λύνοντας το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών συνθηκών η i + 2 i ζ i ω η i + i ω 2 η i = i γ f t η i 0, η i 0

Μέθοδος Caughey (Modal Damping) To ΠΑΣ για το σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης μετασχηματίζεται σε Ν R ΠΑΣ ΣΔΕ 2 ης τάξης υπολογίζονται η i t για i = 1,, N R υπολογίζεται η απόκριση των Β.Ε. από την σχέση του ιδιοανυσματικού μ/χ q = Φ η η 1 + 2 1 ζ 1 ω η 1 + 1 ω 2 η 1 = 1 γ f t η 1 0, η 1 0 η 1 M q + C q 0 = q 0, q + K q = G f q 0 = q 0 η 2 + 2 2 ζ 2 ω η 2 + 2 ω 2 η 2 = 2 γ f t η 2 0, η 2 0 η 2 q η ΝR + 2 Ν R ζ Ν R ω η ΝR + Ν R ω 2 η ΝR = Ν R γ f t η ΝR 0, η ΝR 0 η Ν

Μέθοδος Caughey (Modal Damping) Χωρίς απόσβεση Με απόσβεση Α Β Γ 1.5 1 q 1 q 2 1.5 1 q 1 q 2 1 q i q i 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 2 4 6 8 10 time [sec] 1.5 q A 1 q B q C 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 2 4 6 8 10 time [sec] q i q i 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 2 4 6 8 10 time [sec] 1.5 q A q 1 B q C 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 2 4 6 8 10 time [sec] 1 ω=4 rad/sec, 2 ω=11 rad/sec 1 ω=4 rad/sec, 2 ω=11 rad/sec, 1 ζ=0.05, 2 ζ=0.02 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10