HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/02/2017 Προτασιακός Λογισµός Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 2/9/2017 1 1 2/9/2017 3 3 Προηγούµενη φορά ιαδικαστικά θέµατα ΗΥ118 Εισαγωγή στα ιακριτά Μαθηµατικά Εισαγωγή στο ΗΥ118 Επισκόπηση ερευνητικών ενδιαφερόντων Θυµίζω: http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118.html http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118diary.html Username: cs118 Password: _dm17_ Βάσεις της Μαθηµατικής Λογικής Η Μαθηµατική Λογική είναι ένα εργαλείο που µας βοηθά να χειριστούµεσύνθετες προτάσεις. Περιλαµβάνει: Μία τυπική γλώσσαγια να τις εκφράζουµε. Μία µεθοδολογίαγια να αποφασίζουµε σχετικά µε το αν είναι αληθείς ή ψευδείς. Αποτελεί το θεµέλιο της έκφρασης τυπικών αποδείξεων σε όλους τους κλάδους των µαθηµατικών! 2/9/2017 2 2 2/9/2017 4 4 1

Θα µιλήσουµε για δύο συστήµατα λογικής: 1. Προτασιακός λογισµός 2. Κατηγορηµατικός λογισµός (επεκτείνει τον 1. ) Πολλοί άλλοι λογισµοί υπάρχουν, αλλά µοιάζουν µε τους δύο παραπάνω Προτάσεις Μία πρόταση είναι απλά µίαδήλωση µε κάποια οριστική σηµασία και η οποία µπορεί να είναι είτεαληθής (T) είτεψευδής (F) εν είναι ποτέ και τα δύο, ούτεκάπου ανάµεσα Ωστόσο, η τιµή αληθείας της δεν είναι απαραίτητο να µας είναι γνωστή 2/9/2017 5 5 2/9/2017 7 7 Προτασιακός λογισµός Παραδείγµατα προτάσεων ΟΠροτασιακός λογισµός είναι η λογική των σύνθετων προτάσεων οι οποίες δηµιουργούνται από απλούστερες, χρησιµοποιώντας λογικές πράξεις. Μερικές άµεσες εφαρµογές στους υπολογιστές: Σχεδιασµός ψηφιακών κυκλωµάτων. Έκφραση συνθηκών σε προγράµµατα. Ερωτήσεις σε βάσεις δεδοµένων και µηχανές αναζήτησης. George Boole (1815-1864) Χρύσιππος 2/9/2017 6 (280 206π.Χ.) 6 Μου αρέσει η rock µουσική Ο γάιδαρος πετάει Εχθές έβρεξε στη Νέα Υόρκη Η Αθήνα είναι η πρωτεύουσα της Ελλάδας, και 1 + 4 = 2.7 2x 2 = x 2 + x 2 Αλλά οι ακόλουθες ΕΝ ΕΙΝΑΙ προτάσεις: Ποιός είναι εκεί; (ερωτηµατική) Φέρε µου ένα ποτήρι νερό (προστακτική) x := x+1 (προστακτική) 1 + 2 (ένας αριθµητικός όρος) 2/9/2017 8 8 2

Προτάσεις στον προτασιακό λογισµό Τελεστές Ατοµικές: p, q, r, (πχ p = Ονοµάζοµαι Αντώνης Αργυρός ) Σύνθετες: χτίζονται από τις ατοµικές προτάσεις χρησιµοποιώντας λογικούς τελεστές (π.χ., Ονοµάζοµαι Αντώνης Αργυρός ΚΑΙ είµαι σαράντα εννέα ετών ) 2/9/2017 9 9 Έναςτελεστής συνδυάζει n το πλήθος εκφράσεις σε µία µεγαλύτερη έκφραση π.χ., + στις αριθµητικές εκφράσεις Οι µοναδιαίοι τελεστές έχουν 1 όρισµα (π.χ., 3) Οι δυαδικοί τελεστές έχουν 2 ορίσµατα (π.χ., 3+4) Οι προτασιακοί τελεστές (Boolean operators) συνδέουν ένα πλήθος λογικών προτάσεων και όχι αριθµητικές εκφράσεις. 2/9/2017 11 11 Προτάσεις στον προτασιακό λογισµό Η λογική προσφέρει ορισµούςγι αυτούς τους τελεστές Εποµένως, καθορίζει το νόηµα των σύνθετων προτάσεων που δηµιουργούνται µε τη χρήση των τελεστών. Μερικοί προτασιακοί τελεστές Ονοµα Συντοµ. Τύπος Σύµβολο Άρνηση NOT Μον. Σύζευξη (ΚΑΙ) AND υαδ. ιάζευξη (Ή) OR υαδ. Αποκλειστική διάζευξη XOR υαδ. «αν... τότε...» IMPLIES υαδ. «αν και µόνο αν» IFF υαδ. 2/9/2017 10 10 2/9/2017 12 12 3

Λογική άρνηση Ο µοναδιαίος τελεστής άρνησης (NOT) µετασχηµατίζει µία πρόταση στην άρνησή της. Π.χ. Εάν p = Είµαι κοντός. τότε p = εν είµαι κοντός. Οπίνακας αληθείαςγια την NOT: p p T : True; F : False : σηµαίνει ορίζεται ως Όρισµα T F F T Αποτέλεσµα Ορισµός της λογικής σύζευξης µέσω πίνακα αληθείας Στήλες ορισµάτων Αποτέλεσµα p q p q F F F F T F T F F T T T 2/9/2017 13 13 2/9/2017 15 15 Λογική σύζευξη Ο δυαδικός τελεστής σύζευξης (AND) Π.χ.Έστω p= Έφαγα µπριζόλα για µεσηµεριανό. q= Έφαγα σαλάτα για βραδυνό Τότε p q= Έφαγα µπριζόλα για µεσηµεριανό και έφαγα σαλάτα για βραδυνό. 2/9/2017 14 14 Λογική διάζευξη Ο δυαδικός τελεστής διάζευξης (OR). p= Το αυτοκίνητό µου έχει χαλασµένη µηχανή. q= Το αυτοκίνητό µου δεν έχει βενζίνη. p q= Το αυτοκίνητό µου έχει χαλασµένη µηχανή ή το αυτοκίνητό µου δεν έχει βενζίνη. Εννοώντας και/ή στα ελληνικά. 2/9/2017 16 16 4

Πίνακας αλήθειας της διάζευξης Ταυτολογίες Η p qεννοεί ότι η pείναι αληθής, ή η qείναι αληθής ή και τα δύο. Οι τελεστές και µαζί, είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας p q p q F F F T F T T T T ιαφορά µε την AND Μίαταυτολογίαείναι µία σύνθετη πρόταση η οποία είναι αληθήςανεξάρτητα από τις τιµές αληθείας των ατοµικών προτάσεων. Π.χ. p ( p) Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας; 2/9/2017 17 17 2/9/2017 19 19 Μερικές βασικές ιδέες: Ταυτολογίες ιαφορετικοί τύποι προτάσεων Συνειδητοποίηση ότι κάποιες προτάσεις έχουν διαφορετική εµφάνιση αλλά εκφράζουν την ίδια πληροφορία p ( p) p p p ( p) T F T Κάθε γραµµή του πίνακα αληθείας δίνει T. 2/9/2017 18 18 2/9/2017 20 20 5

Αντιφάσεις Μία αντίφαση είναι µία σύνθετη πρόταση που είναι ψευδήςανεξάρτητα από τις τιµές αληθείας των ατοµικών προτάσεων. Π.χ., p ( p) Τι αποµένει πέραν των ταυτολογιών και των αντιφάσεων Προφανώς, υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι ούτε ταυτολογίες ούτε αντιφάσεις...κάποιες γραµµές του πίνακα αληθείας δίνουν T, άλλες δίνουν F Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας; 2/9/2017 21 21 2/9/2017 23 23 Αντιφάσεις Λογική ισοδυναµία προτάσεων p ( p) p p p ( p) F T F T F F ύο συντακτικά διαφορετικέςσύνθετες προτάσεις µπορεί να είναι σηµασιολογικά ταυτόσηµες (δηλ., να έχουν το ίδιο νόηµα). Τέτοιες προτάσεις τις ονοµάζουµελογικά ισοδύναµες. Κάθε γραµµή του πίνακα αληθείας δίνει F 2/9/2017 22 22 2/9/2017 24 24 6

Λογική ισοδυναµία προτάσεων ύο σύνθετες προτάσεις p και qείναιλογικά ισοδύναµες, και το συµβολίζουµε µε p q: Αν και µόνο αν οποιαδήποτε εκχώρηση τιµών στις επιµέρους προτάσεις που απαρτίζουν τις p και q καταλήγει σε ταυτολογία δηλαδή αν και µόνο αν οι p και q έχουν τις ίδιες τιµές αληθείας σε όλες τις γραµµές των πινάκων αληθείας τους Η λογική ως «στενογραφία» της φυσικής γλώσσας Έστω p = Είµαι έξυπνος, q = Είµαι καλός, r = Είµαι όµορφος p = εν είµαι έξυπνος. r p = Είµαι όµορφος και δεν είµαι έξυπνος. r p q = εν είµαι όµορφος, ή είµαι καλός, ή είµαι έξυπνος 2/9/2017 25 25 2/9/2017 27 27 Απόδειξη ισοδυναµίας µέσω των πινάκων αληθείας Π.χ.: Αποδείξτε ότι p q ( p q). p q p q p q p q ( p q) F F T F T F F T T F T F T F T T T T F F F T 2/9/2017 26 26 «Φωλιασµένες» λογικές προτάσεις Χρήση παρενθέσεων για την οµαδοποήση υποεκφράσεων: Είµαι έξυπνος και είµαι καλός ή είµαι όµορφος Έίµαι έξυπνος και είµαι καλός ή είµαι όµορφος p q r Η πρόταση p (q r) σηµαίνει: Είµαι έξυπνος,... και είµαι καλός ήόµορφος Η πρόταση (p q) r σηµαίνει: Είµαι έξυπνος και καλός,...ή είµαι όµορφος Οι παραπάνω δύο προτάσεις έχουν διαφορετικό νόηµα! Εποµένως, η p q r είναι διφορούµενη! 2/9/2017 28 28 7

p (q r) σε σχέση µε την p (q r) p q r F F F F F T F T F T F F T F T T T F T T T p (q r) (p q) r Συµβάσεις σε σχέση µε την προτεραιότητα των τελεστών Κατά σύµβαση, ο τελεστής έχει προτεραιότητα έναντι των τελεστών και. Η f g σηµαίνει ( f) g, και όχι (f g) Κατά σύµβαση, ο τελεστής έχει προτεραιότητα έναντι του τελεστή. Η f g h σηµαίνει (f g) h, και όχι f (g h) Όπου χρειάζεται να επιβάλουµε την προτεραιότητα που επιθυµούµε, το κάνουµε χρησιµοποιώντας παρενθέσεις 2/9/2017 29 29 2/9/2017 31 31 p (q r) σε σχέση µε την p (q r) p q r p (q r) (p q) r F F F F F F F T F T F T F F F F T T F F F F T T T T T T T T T Ερώτηµα Μπορούµε να γράψουµε p 1 p 2 p 3 χωρίς ασάφεια; 2/9/2017 30 30 2/9/2017 32 32 8

Απάντηση Εάν οι προτάσεις (p 1 p 2 ) p 3 και p 1 (p 2 p 3 )είναι ισοδύναµες, τότε ναι! Πρέπει δηλαδή να δούµε κατά πόσον ισχύει (p 1 p 2 ) p 3 p 1 (p 2 p 3 ) Πως µπορούµε να το αποδείξουµε αυτό; Ερώτηµα Ισχύει ότι (p 1 p 2 ) p 3 = p 1 ( p 2 p 3 ); Η ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΝ ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ (δεν έχουµε ορίσει την ισότητα προτάσεων µόνο τη λογική ισοδυναµία! ) Αυτό που όντως ισχύει είναι ότι (p 1 p 2 ) p 3 p 1 ( p 2 p 3 ) 2/9/2017 33 33 2/9/2017 35 35 Μπορούµε να γράψουµε p 1 p 2 p 3 χωρίς ασάφεια;;; p 1 p 2 p 3 (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) p 3 (p 2 p 3 ) p 1 (p 2 p 3 ) F F F F F F F F F T F F F F F T F F F F F F F T F T F F F F F F T F T F F F F T T F T F F F T T T T T T T Ερώτηµα 1. Θεωρείστε τη σύζευξη p 1 p 2 p n, nτο πλήθος προτάσεων. Πόσες γραµµές έχει ο πίνακας αληθείας της; 2x2x2x x2 (nπαράγοντες) Εποµένως,το πλήθος των γραµµών του πίνακα αληθείας είναι 2 n όπου nτο πλήθος των προτάσεων 2/9/2017 34 34 2/9/2017 36 36 9

Ας εισάγουµε κάποιους ακόµα τελεστές Αποκλειστική διάζευξη (XOR, σύµβολο ) «εάν... τότε» (IMPLIES, σύµβολο ) «αν και µόνο αν» (IFF, σύµβολο ) Πίνακας αληθείας αποκλειστικής διάζευξης Η p qείναι αληθής όποτε µόνο µία από τις p, qείναι αληθής, αλλά όχι και οι δύο! Αποκλειστική διάζευξη, επειδή αποκλείει το ενδεχόµενο και το pκαι το qνα είναι αληθή. Οι τελεστές και µαζί, ΕΝ είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας p q p q F F F T F T T T F ιαφορά από τον OR. 2/9/2017 37 37 2/9/2017 39 39 Η αποκλειστική διάζευξη υαδικός τελεστής αποκλειστικής διάζευξης (XOR). p = Θα πάρω 10 σε αυτό το µάθηµα q = Θα παρατήσω αυτό το µάθηµα p q = Ή θα πάρω 10 σε αυτό το µάθηµα ή θα παρατήσω αυτό το µάθηµα (...αλλά όχι και τα δύο!) 2/9/2017 38 38 Η φυσική γλώσσα είναι διφορούµενη... Το Ελληνικό ή µπορεί να είναι διφορούµενο p q p "ή" q F F F T F T T T? Χρειαζόµαστε τα συµφραζόµενα για γνωρίζουµε εάν προκειται για την OR ή την XOR! 2/9/2017 40 40 10

Η φυσική γλώσσα είναι διφορούµενη... Χρειαζόµαστε τα συµφραζόµενα για γνωρίζουµε εάν σε µία πρόταση το ακριβές νόηµα αποδίδεται από την OR ή την XOR! p = Μου αρέσουν τα θρίλερ q = Μου αρέσει η επιστηµονική φαντασία r= Μου αρέσουν τα θρίλερ ή η επιστηµονική φαντασία r p q...ή... r p q; Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων 2. Ας υποθέσουµε ότι η p q είναι αληθής. Προκύπτει από αυτό ότι και η p q είναι αληθής; ΝΑΙ: Ελέγξτε τις δύο περιπτώσεις που κάνουν την p qαληθή: a) p=t, q=f (η p q είναι Τ) b) p=f, q=t (η p q είναι Τ) 2/9/2017 41 41 2/9/2017 43 43 Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων 1. Ας υποθέσουµε ότι η p q είναι αληθής. Προκύπτει από αυτό ότι και η p qείναι αληθής; OXI: δέστε τι συµβαίνει για p=t, q=t Ο τελεστής «εάν...τότε» υπόθεση συµπέρασµα Η πρόταση p q σηµαίνει εάν pτότε q. Π.χ.,.έστω p = Μελετώ πολύ q = Θα πάρω καλό βαθµό. p q = Εάν µελετώ πολύ, τότε θα πάρω καλό βαθµό. 2/9/2017 42 42 2/9/2017 44 44 11

Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» Γιατί αυτά µοιάζουν «λάθος»; Η p q είναι ψευδήςµόνο όταν p -αληθήςαλλά q ψευδής µε άλλα λόγια η p q είναι ψευδής µόνοόταν µία αληθής υπόθεση οδηγεί σε ένα ψευδές συµπέρασµα Η p q δεν λέει ότι η pείναι η αιτίατης q! Η p q δεν απαιτείηpή η qνα είναι αληθής! Π.χ.: Η πρόταση (1=0) ο γάιδαρος πετάει είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T Το µόνο False Θυµηθείτε Εάν [µελετώ πολύ] τότε [θα πάρω καλό βαθµό] Στην καθοµιλουµένη, υπάρχει µία σχέση αιτίας αποτελέσµατος µεταξύ των δύο προτάσεων. Ο τελεστής όµως, δεν δηλώνει τέτοιου είδους σχέση! 2/9/2017 45 45 2/9/2017 47 47 «εάν...τότε» µεταξύ προτάσεων Εάναυτό το µάθηµα είναι το ΗΥ118, τότεο ήλιος ανέτειλε σήµερα το πρωί. True ή False; Εάνη Παρασκευή είναι µέρα της εβδοµάδας, τότεείµαι πιγκουίνος. True or False ; Εάν 1+1=6, τότε διδάσκω ιακριτά Μαθηµατικά. True or False ; Εάντο φεγγάρι είναι από τυρί, τότε είµαι πλουσιότερος από τον Bill Gates. True or False ; Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» Ας υποθεσουµε ότι η q είναι T. Τί ξέρουµε για την αλήθεια της p q ; Είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T 2/9/2017 46 46 2/9/2017 48 48 12

Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» Θυµηθείτε Ας υποθεσουµε ότι η p είναι F. Τι ξέρουµε για την αλήθεια της p q; Είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T Προηγουµένως είδαµε ότι αν η p qείναι αληθής τότε προκύπτει ότι και η p qείναι αληθής. Αυτό µπορούµε να το γράψουµε αυτό ως: p q p q Η παραπάνω πρόταση είναι ταυτολογία: ο,τιτιµές αληθείας και να έχουν οι p,q, η σύνθετη πρόταση είναι αληθής 2/9/2017 49 49 2/9/2017 51 51 «εάν...τότε» Αποδείξτε ότι (p q) ( p q) p q p q p p q F T T T T F F F F T T T F T Ελληνικές εκφράσεις που δηλώνουν p q Εάν pτότε q Η p συνεπάγεται την q Εάν p, q Όποτε p, q Οποτεδήποτε p, q qεάν p q οποτεδήποτε p q προκύπτει από p H pαρκεί για να ισχύει η q Μια αναγκαία συνθήκη για την pείναι η q Η q είναι αναγκαία για την p Μια επαρκής συνθήκη για την qείναι η p 2/9/2017 50 50 2/9/2017 52 52 13