ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός 1
Αγωγή Χρονικά µεταβαλλόµενη κατάσταση Κεφάλαιο 4
Ορισµός του προβλήµατος Σε πολλές τεχνικές εφαρµογές απαιτείται ο υπολογισµός της θερµικής αγωγής σε χρονικά µεταβαλλόµενες συνθήκες Θέρµανσηήψύξησώµατος, λόγω αλλαγής οριακών συνθηκών Μεταλλουργία - Θερµικές κατεργασίες µετάλλων (χύτευση, βαφή, ανόπτηση) Εκκίνηση ή τερµατισµός λειτουργίας κινητήρων Περιοδικά µεταβαλλόµενο θερµοκρασιακό πεδίο Κύλινδρος κινητήρα εσωτερικής καύσης (περίοδος 10 - ~ 10-1 s) Εσωτερικό σπιτιού στη διάρκεια του 4ώρου (περίοδος 10 5 s) 3
Ορισµός του προβλήµατος εδοµένα Γεωµετρικά χαρακτηριστικά και θερµοφυσικές ιδιότητες του σώµατος (λ, ρ, c) Αρχικές και οριακές συνθήκες Αρχική θερµοκρασία Συντελεστής συναγωγής Ζητούµενα Θερµοκρασία του σώµατος µετά από ορισµένο χρόνο Στο κέντρο Στην επιφάνεια Μέση θερµοκρασία Χρόνος που απαιτείται για να φτάσει το σώµα σε συγκεκριµένη θερµοκρασία 4
Φυσικές παράµετροι Συντελεστής θερµικής διαχυτότητας ιαφορική εξίσωση του θερµοκρασιακού πεδίου ϑ α + x Συντελεστής θερµικής διαχυτότητας α [m /s]. ϑ + y ϑ = z Παίζει πολύ σηµαντικό ρόλο στην αγωγή σε χρονικά µεταβαλλόµενες συνθήκες Εκφράζει το λόγο α ~ ϑ, T α = λ c ρ Ικανότητα σώµατος να µεταφέρει θερµότητα Ικανότητα σώµατος να αποθηκεύει θερµότητα Προσοχή: Να µη γίνεται σύγχυση ανάµεσα Στοσυντελεστήθερµικής διαχυτότητας [m /s] Καιτοσυντελεστήσυναγωγής [W/m K] α a 5
Αδιάστατα µεγέθη Ο λόγος χρήσης αδιάστατων µεγεθών Η αναλυτική επίλυση της µετάδοσης θερµότητας σε χρονικά µεταβαλλόµενες συνθήκες απαιτεί πολύπλοκους µαθηµατικούς χειρισµούς Είναι δύσκολο και χρονοβόρο να λύνουµε κάθε περίπτωση από την αρχή Για όµοιες γεωµετρίες (π.χ. κυλίνδρους) υπάρχουν στη βιβλιογραφία έτοιµες λύσεις σε µορφή διαγραµµάτων ή πινάκων Οι λύσεις αυτές εκφράζονται ως συνάρτηση αδιάστατων µεγεθών, τα οποία υπολογίζονται από τα γεωµετρικά και φυσικά χαρακτηριστικά και τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος Μεθοδολογία επίλυσης ασκήσεων Υπολογίζουµε τιςτιµές των αδιάστατων µεγεθών µε βάσηταδεδοµένα του προβλήµατος Αναζητούµε σταδιαγράµµατα τη λύση που αντιστοιχεί στις τιµές αυτές 6
Αδιάστατα µεγέθη Αριθµός Biot Αριθµός Biot [-]: Bi = ax λ Εκφράζει το λόγο της θερµικής αντίστασης αγωγής µέσα στο σώµα προςτηθερµική αντίσταση συναγωγής X 1 Rα R α =, Rσ =, Bi = = λ a R Καθορίζει τη µορφή της κατανοµής θερµοκρασίας µέσα στο σώµα Μικρός αριθµός Bi: οµοιόµορφη κατανοµή θερµοκρασίας στο στερεό ax λ Μεγάλος αριθµός Bi: ανοµοιόµορφη κατανοµή θερµοκρασίας στο στερεό σ 7
Αδιάστατα µεγέθη Αριθµός Biot Μικρός αριθµός Bi: οµοιόµορφη κατανοµή θερµοκρασίας στο στερεό µεγάλη διαφορά θερµοκρασίας ανάµεσα στην επιφάνεια του στερεού και στο ρευστό Μεγάλος αριθµός Bi: ανοµοιόµορφη κατανοµή θερµοκρασίας στο στερεό µικρή διαφορά θερµοκρασίας ανάµεσα στην επιφάνεια του στερεού και στο ρευστό 8
Αδιάστατα µεγέθη Αριθµός Fourier Αριθµός Fourier [-]: Αδιάστατος χρόνος τ = Fo α t = X 9
Χαρακτηριστικά µεγέθη Θερµική σταθερά τ t [s]: Μέγεθος που χαρακτηρίζει πόσο γρήγορα αντιδρά το στερεό στις µεταβολές της θερµοκρασίας του περιβάλλοντος Ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται µέχρι η µέση θερµοκρασία του σώµατος να φτάσει την τιµή Χαρακτηριστικό µήκος Χ [m] Πλάκα: s/ ϑ ϑ ϑ ϑ i = 0.368 Κύλινδρος, σφαίρα: R 1 τ t = ρ aa ( Vc) 10
Η άπειρη επίπεδη πλάκα Ανηγµένη θερµοκρασία της επιφάνειας της πλάκας ϑ ϑ ϑ... 0 θερµοκρασία στην 0 Θ0 = ϑ... ϑa ϑ ϑ... Α επιφάνεια πλάκας θερµοκρασία περιβάλλοντος αρχική θερµοκρασία πλάκας Bi=αΧ/λ 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 11
Υπολογισµός θερµοκρασιών 1. Υπολογίζουµε τοναριθµό Fo και βρίσκουµε σεποιακαµπύλη αντιστοιχεί (π.χ. Fo= 1). Υπολογίζουµε τοναριθµό Bi και βρίσκουµε σεποιοσηµείο του οριζόντιου άξονα αντιστοιχεί (π.χ. Bi=0.1) 3. Βρίσκουµε τηντιµή τηςανηγµένης θερµοκρασίας από το διάγραµµα 4. Υπολογίζουµε τηνπραγµατική θερµοκρασία από την εξίσωση που συνδέει την πραγµατική µε την ανηγµένη Θ 0 ϑ0 ϑ = ϑ ϑ A Bi=αΧ/λ 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 1
Υπολογισµός χρόνου 1. Υπολογίζουµε τοναριθµό Bi και βρίσκουµε σεποιοσηµείο του οριζόντιου άξονα αντιστοιχεί (π.χ. Bi=0.1). Υπολογίζουµε την ανηγµένη θερµοκρασία και βρίσκουµε σεποιατιµή του κατακόρυφου άξονα αντιστοιχεί (π.χ. Θ=0.6) 3. Βρίσκουµε την τιµή του αριθµού Fo από το διάγραµµα (π.χ. Fo=5) 4. Υπολογίζουµε τo χρόνο από την εξίσωση που συνδέει το χρόνο µε τοναριθµό Fo (Fo=αt/X ) Θ 0 ϑ0 ϑ = ϑ ϑ A Bi=αΧ/λ 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 13
Η άπειρη επίπεδη πλάκα Ανηγµένη θερµοκρασία του µέσου της πλάκας ϑ ϑ ϑm... m Θm = ϑ... ϑa ϑ ϑ... Α θερµοκρασία στο µέσο πλάκας θερµοκρασία περιβάλλοντος αρχική θερµοκρασία πλάκας Bi=αΧ/λ 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 14
Η άπειρη επίπεδη πλάκα Ανηγµένη µέση θερµοκρασία της πλάκας ϑ... ϑ ϑ Θ = ϑ... ϑa ϑ ϑ Α µέση θερµοκρασία πλάκας θερµοκρασία περιβάλλοντος... αρχική θερµοκρασία πλάκας 15