ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη ηελ παξάγσγό ηεο. (Μον.10) Β. Να θπθιώζεηε ην (Σ) ή ην (Λ) ζηηο εξσηήζεηο: 1. Γηα θάζε ζπλάξηεζε f ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f απνηειείηαη από ηα ηκήκαηα ηεο C f, πνπ βξίζθνληαη πάλσ από ηνλ άμνλα θαη από ηα ζπκκεηξηθά, σο πξνο ηνλ άμνλα, ησλ ηκεκάησλ ηεο C f,πνπ βξίζθνληαη θάησ από ηνλ άμνλα. Σ Λ. Αλ ε γξαθηθή παξάζηαζε C f ζπλάξηεζεο f θόβεηαη ζ έλα ζεκείν, ηόηε ε f δελ είλαη ζπλερήο ζ απηό. Σ Λ. Αλ ππάξρνπλ ηα όξηα ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g ζην, ηόηε ηζρύεη: f g, γηα θάζε ζπλάξηεζε g. Σ Λ f g 4. Αλ ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζπλερήο ζην [α, β] θαη f(α)f(β)>0 ηόηε ε εμίζσζε f()=0 δελ έρεη θακία ξίδα ζην (α, β). Σ Λ. Αλ κία ζπλάξηεζε δελ είλαη ζπλερήο ζ έλα ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ηόηε δελ είλαη θαη παξαγσγίζηκε. Γ. Να θπθιώζεηε ηε ζσζηή απάληεζε: f θαη ηόηε ην όξην 1. Αλ f f α. β. είλαη: 4 γ. δ. ε. 8 Σ Λ (Μον.) 1 Τρίκαλα ηηλ.-fa(410-67)
4. Τν είλαη ίζν κε: 4 6 α) 0 β) 1 γ) δ) ε) 4. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f:, ηέηνηα ώζηε γηα θάζε ηζρύεη: f f. Η f έρεη ζίγνπξα ειάρηζηε θαη κέγηζηε ηηκή ζην δηάζηεκα [-,] όηαλ: 1 1 α. f0 β. f0 γ. f0 δ. f0 ε. f 0 0 4. Η επζεία ε: y 16 εθάπηεηαη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ζην ζεκείν Α(-1,-4). Τν άζξνηζκα α+β+γ είλαη ίζν κε: α. β. γ.4 δ. ε.6 1.Η ζπλάξηεζε f: είλαη αληηζηξέςηκε κε Τν (ff) () είλαη: α.-1 β.0 γ. 1 δ.1 ε. f 1. (Μον.10) Εήηημα ο : Α. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f, <0, 1, 0 i) Γηα πνηέο ηηκέο ηνπ α ε f είλαη ζπλερήο ζην =0;. ii) Γηα πνηέο ηηκέο ηνπ α είλαη παξαγσγίζηκε ζην =0; Β. Να βξείηε ηελ παξάγσγν ησλ ζπλαξηήζεσλ. i) f ii) f iii) f e (Μον.10) (Μον.1) Τρίκαλα ηηλ.-fa(410-67)
Εήηημα ο : A.i) Αλ g παξαγσγίζηκε ζην =0 θαη ηζρύεη g 0 1 4 g g g γηα θάζε, λα δείμεηε g0 0. (Μον.7) όηη, αλ γλσξίδεηε όηη ii) Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο C g ζην ζεκείν Μ(0, g(0)) 1 f έρεη εθαπηόκελεο παξάιιειεο ζηελ εθαπηνκέλε ηνπ ii) εξσηήκαηνο. iii) Να εμεηάζεηε αλ ε C f ηεο Β. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν f z z, (Μον.) (Μον.), z *. i) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ f. (Μον.) ii) Να βξείηε ην ζύλνιν ησλ ηηκώλ ηεο f. (Μον.) iii) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε f()=0 έρεη αθξηβώο κία ξίδα ζην δηάζηεκα Γ=(0, z ). (Μον.) f z iv) Αλ 0 ησλ εηθόλσλ ηνπ z. 1, λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν Εήηημα 4 ο : Α. Γίλεηαη ε ζπλερήο ην ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη: f 1. 1 1 i) Να απνδείμεηε όηη ε C f πεξλάεη από ην ζεκείν Μ(1,1). f 1 ii) Να βξείηε ην 1 1 Β. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f : R R f z i 1, κε ηύπν θαη γηα θάζε, όπνπ z κηγαδηθόο κε z Να δείμεηε όηη: i) f Im z 4 1, γηα θάζε. ii) Η f είλαη ζπλερήο ζην R. 0, iii) Υπάξρεη ώζηε Im z. (Μον.4) (Μον.10) f 6. (Μον.1) 0 ΚΑΛΖ ΔΠΗΤΥΦΗΑ Τρίκαλα ηηλ.-fa(410-67)
ΑΠΑΝΤΖΣΔΗΣ (Δνδεικηικές) Εήηημα 1 ο : A. H f έρεη Π.Ο. ην Α=[0,+). Αλ >0, >0 ηόηε f f 1 1 f f 0 1 Αλ =0 ηόηε 0 0 0 0 1 Η f ινηπόλ είλαη παξαγσγίζηκε ζην (0,+) θαη Β. 1Σ, Λ, Λ, 4Λ, Σ. Γ. 1γ, β, ε, 4ε, β. Εήηημα ο : Α.i) Η f είλαη ζπλερήο ζην =0 αλ f f 0 Δίλαη: 0. f, f 1 1 0 0 0 0 f 0 0 0 1 1. Πξέπεη ινηπόλ α =1 δει, α=1ή α=-1. θαη ii) Αλ α=1 ηόηε f 1, 0 1, 0 θαη 11 f f 0 1 1, 0 0 0 0 1 f f 0 1 1 1 0 0 0 0 Η f ινηπόλ-αλ α=1- είλαη παξαγσγίζηκε ζην =0. 4 Τρίκαλα ηηλ.-fa(410-67)
Αλ α=-1 ηόηε f 1, 0 θαη 1, 0 0 0 0 11 1 f 1, 11 1 f 1. 0 0 0 Οπόηε, γηα α=-1 ε f δελ είλαη παξαγσγίζηκε ζην =0. Β.i) Η f έρεη Α= ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε κε f ln ln ii) Η f έρεη Α= θαη παξάγσγν ζ απηό f [ ]. iii) H Εήηημα ο : f e κε A= έρεη παξάγσγν f e e e e e e e Α.i) Η ηζόηεηα 4 g g g (1) γηα =0 γίλεηαη g 0 0 g 0 0. Δπεηδή ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην =0 είλαη θαη ζπλερήο ζ απηό, άξα g 0. 0 Απ ηελ (1), αλ 0, δηαηξώληαο κε έρνπκε: Τρίκαλα ηηλ.-fa(410-67)
g g g g g0 g g0 g g0 0 0 0 Καη επεηδή ε g παξαγσγίδεηαη ζην =0, παίξλνληαο όξηα έρνπκε g 0 g 0 g 0 0 () Αλ g 0 ε () γξάθεηαη 0 θαη κε ηε βνήζεηα ηνπ ζρήκαηνο Hrner γξάθεηαη: 4 4 1 0 1 0 ή 0 ά ι=1 δει. g 0 1. () Η () δελ κεδελίδεηαη γηαηί ii) Η δεηνύκελε εμίζσζε είλαη : y g 0 g 0 0 y 0 1 δει. ε : y = g' 0 0. 1 iii) Δίλαη f. Οη εθαπηόκελεο ηεο C f πνπ είλαη παξάιιειεο ζηελ ε:y= ζα έρνπλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο 1 άξα πξέπεη f 1 δει =1 άξα =1 ή 1. Η C f ινηπόλ έρεη δύν παξάιιειεο εθαπηόκελεο ζηελ ε, ζηα ζεκεία Κ(1,f(1)) θαη Λ(-1,f(-1)). Β.i) Δίλαη 4 f z z 10 z 0 άξα ε f είλαη ζην Α=. ii) Δίλαη : f z z θαη f. Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην Α, σο πνιπσλπκηθή, έρεη ζύλνιν ηηκώλ f A. 4 iii) Δίλαη f 0 z 0, f z z z z z z 0 άξα f 0f z 0, θαη από ην Θ.Β. πξνθύπηεη όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλαο Γ ώζηε f 0. Δπεηδή ε f είλαη ην είλαη κνλαδηθό. 6 Τρίκαλα ηηλ.-fa(410-67)
f z z z z iv) Δίλαη 0 0 z z z 0 z z. 0 0 0 1 Άξα z 1, νπόηε ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ηνπ z είλαη ν κνλαδηαηόο θύθινο. Εήηημα 4 ο : Α.i) Θέηνπκε f 1 1 g νπόηε f 1 g 1 (1).Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην, είλαη θαη ζην =1 νπόηε f 1 f 1 g 10 1 0 1 1 1 f 1 1, ε C f δηέξρεηαη απ ην Μ(1,1). Αθνύ 1 f 0 θνληά ζην =1. Έηζη: ii) Δίλαη f f 1 1 1 0 άξα θαη f 1 f 1 f 1 1 1 1 1 1 1 1 g 1 1 1 1 g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 4 4 4 4 7 Τρίκαλα ηηλ.-fa(410-67)
Β.i) Δίλαη z i z i z i zz zi zi z z z i Im z i i Im z 4 Άξα f z i 1 Im z 4 1, γηαηί Imz. Im z 414 4Im z 16 4 Im z 4 0 αθνύ ii) Η Im z 4 είλαη ζπλερήο ζην, άξα θαη ε Im z 4, άξα θαη ε f. iii) Δίλαη: f 0 z 0i 1 z 1 1 θαη f z i 1 z i 1 1 7 δει f 7 Αθνύ f 0 θαη f 7 είλαη f 0 f. Η f είλαη ζπλερήο ζην [0,], ην 6 είλαη ελδηάκεζε ηηκή ησλ f(0) θαη f(), άξα ππάξρεη (0,) ώζηε f( )=6. 8 Τρίκαλα ηηλ.-fa(410-67)