Λύσεις διαγωνίσματος 5 Θέμα Α Α γ, Α γ, Α β, Α4 α, Α5 α Σ, β Λ, γ Λ, δ Σ, ε Λ Θέμα Β Β. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Στην η περίπτωση αφού το συσσωμάτωμα μετά την κρούση παραμένει ακίνητο τα σώματα πριν την κρούση θα έχουν αντίθετες ορμές p p άρα κατά μέτρο ίσες p p p. Έχοντας ίσες μάζες θα έχουν και ίσα μέτρα ταχυτήτων η περίπτωση η περίπτωση υ υ υ κ = υ υ υ κ. Η απώλεια ενέργειας στην κρούση είναι: Q K, K, ά Q Q Στην η περίπτωση από την ΑΔΟ έχουμε: p p p p p p p p p p ά Η απώλεια ενέργειας στην κρούση είναι: p p p p p p p p p Q K, K, ά p p p Q Q Q Q Q Q Q Β. Σωστή απάντηση είναι η (α). Το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος A και γωνιακή συχνότητα. Εφαρμόζοντας ΑΔΟ έχουμε: p p p p ά 4 4 Το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση εκτελεί ταλάντωση. Εφαρμόζοντας ΑΔΕΤ αμέσως μετά την κρούση έχουμε: 4 o E K U A A 4A A 6 4 4A A A 6 A 6 A 6 A o o o o 6 /5
Λύσεις διαγωνίσματος 5 Β. Σωστή απάντηση είναι η (β). Στη σφαίρα Σ μεταβιβάζεται το 5% της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ άρα ισχύει: 5 K 5% K K K K K 4 p p p p p p 4 4 p p p p Αφού η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ αμέσως μετά την κρούση θα είναι: 75 p p p K 75% K K K K K p 4 4 4 p p p 4 p 4 Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ έχουμε: p p p p p p p p pp,, ά αντικαθιστώντας τις,,, 4έχουμε p p p p p p p p 4 4 4 p πριν φ μετά Θέμα Γ Γ. Το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με D και πλάτος A d. Για τη μετακίνησή του από την ακραία θέση στη θέση ισορροπίας του κάνει χρόνο t T 4 4 t s t s Γ. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ λίγο πριν την κρούση είναι η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης που εκτελεί, δηλαδή A A s s ax U βαρ = υ ΘΙ Α ακραία Γ. Για το σώμα Σ εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ από την κατακόρυφη θέση στην οριζόντια θέση όπου και ακινητοποιείται στιγμιαία. Έχουμε: E, E, U K U K /5
Λύσεις διαγωνίσματος 5 4 s Γ4. Εφαρμόζοντας ΑΔΟ υπολογίζουμε την ταχύτητα του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση. Έχουμε: p p p p p p p p,, ά 8 s s Η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση είναι: K, K 5J Η κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση είναι: K, ά K K J 6J K, ά 8J Η κρούση είναι ανελαστική αφού K, K, ά. Γ5. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ που μεταβιβάστηκε στη σφαίρα Σ κατά K 6 την κρούση είναι % % % % K Θέμα Δ Δ. α) Στη θέση ισορροπίας του συστήματος ΘΙ () ισχύει: F y F F w F και, Σε μια τυχαία θέση κάτω από τη ΘΙ () ισχύει: F y w F F y y F y y άρα είναι της μορφής F y Dy με D N /5
Λύσεις διαγωνίσματος 5 β) Ο δίσκος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y A t και γωνιακή συχνότητα D 5 rad. Αφού μετακινείται προς τα κάτω κατά d, s και αφήνεται ελεύθερος το πλάτος είναι A d,. Επειδή τα θετικά του άξονα της ταλάντωσης είναι κάτω ο δίσκος τη χρονική στιγμή t θα βρίσκεται στη θέση y A άρα η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι: y A A t A rad Η εξίσωση απομάκρυνσης θα είναι: y, 5 t S. I. γ) Όταν η δύναμη του κάθε ελατηρίου έχει μέτρο 5N ισχύει: F y 5 5 y y, δηλαδή το σώμα απέχει από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, οπότε βρίσκεται στην άνω ακραία θέση A, y. Άρα η ζητούμενη χρονική στιγμή είναι πότε για πρώτη φορά ο δίσκος θα βρεθεί στην πάνω ακραία θέση. T Αυτό θα συμβεί τη χρονική στιγμή t s t s D Δ. Μετά την τοποθέτηση του σώματος πάνω στο δίσκο το σύστημα εκτελεί νέα ταλάντωση με πλάτος A γύρω από νέα θέση ισορροπίας ΘΙ () με νέα γωνιακή συχνότητα: D 5 rad 5 rad s s Στη ΘΙ () ισχύει: F F F w F y,,4 Επειδή το σύστημα ορθογώνιος δίσκος σώμα Σ ξεκινά να εκτελεί τη νέα ταλάντωσή του από την πάνω ακραία θέση το πλάτος της ταλάντωσης είναι A A. Το σώμα Σ στη, διάρκεια της ταλάντωσης του συστήματος δέχεται τη δύναμη επαφής F από το δίσκο και το βάρος του w. Σε μια τυχαία θετική απομάκρυνση κάτω από τη ΘΙ () για τις δυνάμεις που δέχεται ισχύει: F a w F a F y F y με A y A με, y,. Όπως προκύπτει από την τελευταία σχέση δηλαδή F 5 y S. I. το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο της δύναμης που δέχεται το σώμα από το δίσκο προκύπτει όταν αυτό βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης. Δηλαδή: y, Fax 5, N Fax 5N για y, Fin 5, N Fin 5N για Fin 5N Fin άρα ο λόγος είναι F 5N F 7 ax ax 4/5
Λύσεις διαγωνίσματος 5 Δ. Εφαρμόζοντας ΑΔΟ στην άνω ακραία θέση έχουμε: p p ά p p p p s Το σύστημα ορθογώνιος δίσκος συσσωμάτωμα δύο ελατήρια εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από τη ΘΙ () με πλάτος A και γωνιακή συχνότητα: D 5 rad rad s s 5 F F F w F Στη ΘΙ () ισχύει: y,5 Εφαρμόζοντας ΑΔΕΤ αμέσως μετά την κρούση έχουμε: E K U DA Dy A y A y όπου y A y, 4 D D 5 6 6 A 4 A,6 Το συσσωμάτωμα καθώς ταλαντώνεται δέχεται τη δύναμη F από το δίσκο και το βάρος του w,. Πρώτη φορά το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται στιγμιαία στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης. Για να βρούμε τη θέση που ακινητοποιείται για δεύτερη φορά εξετάζουμε αν το συσσωμάτωμα καθώς ταλαντώνεται χάνει την επαφή του από το δίσκο. Για την ταλάντωση του συσσωματώματος σε μια τυχαία θετική απομάκρυνση κάτω από τη ΘΙ () έχουμε: F a w F a F y, F y, F y y y,5 Όταν χαθεί η επαφή δηλαδή το συσσωμάτωμα χάνει επαφή στη θέση φυσικού μήκους. Συγκρίνοντας το πλάτος ταλάντωσης A,6 με την απόσταση,5 προκύπτει ότι A A y άρα το συσσωμάτωμα στη θέση φυσικού χάνει την επαφή του με το δίσκο. Στη θέση φυσικού μήκους το σύστημα έχει ταχύτητα η οποία υπολογίζεται από την ΑΔΕΤ: D E K U DA Dy A y A y 6 5 A y s s 5 s Από το φυσικό μήκος και μετά το συσσωμάτωμα εκτελεί κατακόρυφη βολή προς τα πάνω μέχρι να ακινητοποιηθεί στιγμιαία για δεύτερη φορά μετά την κρούση. Εφαρμόζοντας ΘΜΚΕ από το φυσικό μήκος και μέχρι να σταματήσει στιγμιαία έχουμε: K 5 K Ww h h h, Άρα η θέση της κρούσης απέχει από τη θέση που το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται για δεύτερη φορά απόσταση x h y,,5, 4 x, 5/5