Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1
Λογική Αποσαφήνιση και τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης Η μαθηματική λογική είναι η συστηματική μελέτη των έγκυρων ισχυρισμών (valid arguments) με χρήση εννοιών από τα μαθηματικά. Ένας ισχυρισμός (argument) αποτελείται από συγκεκριμένες δηλώσεις (ή προτάσεις), τις υποθέσεις (premises), από τις οποίες παράγονται άλλες δηλώσεις, τα συμπεράσματα (conclusions). Συμβολική λογική: επιτρέπει τη μελέτη των ισχυρισμών ανεξάρτητα από το πεδίο στο οποίο αναφέρονται 2
Σύνταξη και Σημασιολογία Απαιτείται ο ορισμός της σύνταξης (syntax) και της σημασιολογίας (semantics). Η σύνταξη καθορίζει τις επιτρεπτές ακολουθίες συμβόλων. Η σημασιολογία καθορίζει τις μεταξύ τους σχέσεις. Η ερμηνεία Αντιστοιχεί τα σύμβολα της γλώσσας στις οντότητες του κόσμου που αναπαρίστανται. Επιτρέπει την απόδοση λογικών τιμών στις προτάσεις της γλώσσας (αληθείς ή ψευδείς). 3
Προτασιακή Λογική Στην προτασιακή λογική, κάθε γεγονός του πραγματικού κόσμου αναπαρίσταται με μια λογική πρόταση η πρόταση χαρακτηρίζεται είτε ως αληθής (true T), ή ως ψευδής (false F). Οι λογικές προτάσεις λέγονται άτομα (atoms) και αναπαριστώνται με λατινικούς χαρακτήρες. Συνδυάζονται με τη χρήση λογικών συμβόλων ή συνδετικών (connectives). Τρία σημεία στίξης Παρενθέσεις ( και ) Κόμμα, Ορθά δομημένοι τύποι (well formed formulae) 4
Παράδειγμα 1 η πρόταση: «επιδιώκω την ειρήνη» 2 η πρόταση: «αποφεύγω τον πόλεμο» 3 η πρόταση: «εάν επιδιώκω την ειρήνη, τότε αποφεύγω τον πόλεμο» P: «επιδιώκω την ειρήνη» Q: «αποφεύγω τον πόλεμο» 3 η πρόταση: P Q 5
Σημασιολογία της Προτασιακής Λογικής Αντιστοιχεί μια τιμή αληθείας (αληθές T ή ψευδές F) σε έναν τύπο, βασισμένη σε μια ερμηνεία της γλώσσας. Μια ερμηνεία (interpretation) αντιστοιχεί τιμές αληθείας στα άτομα επεκτείνει σε σύνθετους τύπους με χρήση ενός πίνακα αληθείας (truth table) Έστω η ερμηνεία Ι = {Ι{P}=T, I(Q)=T} Σύμφωνα με την παραπάνω ερμηνεία και τον πίνακα αληθείας ο τύπος P Q είναι αληθής (ικανοποιείται από την ερμηνεία, η ερμηνεία είναι μοντέλο του τύπου). 6
Ενδιαφέρουσες Περιπτώσεις Τύπων Ταυτολογία (tautology): τύπος αληθής κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία π.χ. P P Αν ο τύπος F είναι ταυτολογία, γράφεται F Αντίφαση (contradiction): ψευδής κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία P P Ένας τύπος P συνεπάγεται λογικά (implication) από τον τύπο Q αν κάθε μοντέλο του Q είναι επίσης και μοντέλο του P. Συμβολίζεται ως Q P Δύο τύποι P και Q ονομάζονται ισοδύναμοι (equivalent) εάν οι πίνακες αληθείας τους είναι ίδιοι κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία. Συμβολίζεται ως P Q Οι παραπάνω ορισμοί επεκτείνονται και σε σύνολα τύπων. 7
Σημαντική διαφορά Διαφορά μεταξύ λογικής ισοδυναμίας ( ) και συνδετικού ισοδυναμίας ( ) Η λογική ισοδυναμία αφορά τη σημασιολογία των υπό εξέταση προτάσεων. Το συνδετικό της ισοδυναμίας αποτελεί μέρος της σύνταξης της γλώσσας Το ίδιο ισχύει για τη λογική συνεπαγωγή ( ) και το συνδετικό συνεπαγωγής ( ) Παράδειγμα: P: «επιδιώκω την ειρήνη» Q: «αποφεύγω τον πόλεμο» P Q: «εάν επιδιώκω την ειρήνη, τότε αποφεύγω τον πόλεμο» Έστω η ερμηνεία Ι = {Ι{P}=T, I(Q)=T}. Τότε ο τελευταίος τύπος είναι αληθής. Αντίθετα, η δήλωση P Q P Q, δηλώνει ότι κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί τον τύπο P Q, ικανοποιεί επίσης και τον τύπο P Q. 8
Λογικές Ισοδυναμίες Υπάρχει μια σειρά ισοδυναμιών που χρησιμοποιούνται για τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμή της. Οι ισοδυναμίες είναι αληθείς κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία. 9
Κανονικές μορφές Κανονικές μορφές: μορφές των τύπων της λογικής που ακολουθούν μια συγκεκριμένη δομή και στις οποίες δεν εμφανίζονται καθόλου κάποια συνδετικά. Κάθε τύπος μπορεί να μετατραπεί σε μια κανονική μορφή χρησιμοποιώντας τις λογικές ισοδυναμίες την κατάλληλη ομαδοποίηση των ατόμων μέσω επιμερισμού Οι κανονικές μορφές είναι χρήσιμες για την εύρεση της λογικής τιμής μιας πολύπλοκης έκφρασης την εξαγωγή νέας γνώσης 10
Διαζευκτική και Συζευκτική Μορφή Διαζευκτική μορφή: διαζεύξεις λεκτικών και συζεύξεων Συζευκτική μορφή: συζεύσεις λεκτικών και διαζεύξεων 11
Παράδειγμα κανονικής μορφής Σε συμβολική μορφή: P (P Q) Σε κανονική διαζευκτική μορφή: (P P) (P Q) Καθίσταται ευκολότερο να βρεθεί η λογική τιμή του παραπάνω τύπου. Ψευδής για την ερμηνεία Ι = {Ι{P}=T, I(Q)=F} Αληθής για την ερμηνεία Ι = {Ι{P}=T, I(Q)=T} 12
Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Δεδομένου ενός συνόλου S καλά σχηματισμένων τύπων, η εξαγωγή συμπερασμάτων αφορά: είτε τη δημιουργία όλων των τύπων που λογικά συνεπάγονται από το S είτε το να διαπιστωθεί αν ένας τύπος P συνεπάγεται λογικά από το S. Υλοποίηση: Πίνακες αληθείας Λογική απόδειξη 13
Πίνακες Αληθείας Οι πίνακες αληθείας υπολογίζουν τη λογική τιμή ενός τύπου. Ένας πίνακας αληθείας αποτελείται από 2 Ν γραμμές όπου Ν είναι το πλήθος των ατόμων που περιέχονται στον τύπο. Αποτελεί την απλούστερη μέθοδο εξαγωγής συμπερασμάτων, αλλά οι πίνακες αληθείας που προκύπτουν συνήθως είναι απαγορευτικά μεγάλοι 14
Λογική Απόδειξη Μια απόδειξη (proof) είναι μια σειρά από βήματα Κάθε βήμα είναι η εφαρμογή ενός κανόνα συμπερασμού (inference rule). Απώτερος σκοπός είναι η παραγωγή της αποδεικτέας πρότασης ή η κατάληξη σε άτοπο. Το γεγονός ότι ένας τύπος P μπορεί να αποδειχθεί από ένα αρχικό σύνολο τύπων S βάσει ενός συνόλου κανόνων συμπερασμού Δ συμβολίζεται ως S Δ P. Η χρήση των κανόνων συμπερασμού εξασφαλίζει την ορθότητα των συμπερασμάτων. 15
Κανόνες Συμπερασμού Οι κανόνες συμπερασμού εφαρμόζονται στο αρχικό σύνολο προτάσεων μέχρι να παραχθεί η προς απόδειξη πρόταση. Οι κανόνες συμπερασμού γράφονται συνήθως σαν «κλάσματα», π.χ. ο κανόνας απαλοιφής σύζευξης» 16
Modus Ponens «Τρόπος του θέτειν»: εάν είναι γνωστή η αλήθεια των προτάσεων P και P Q μπορούμε να συνάγουμε ότι η πρόταση Q είναι αληθής. Παράδειγμα: P: «Ο Νίκος είναι προγραμματιστής» P Q: Εάν «Ο Νίκος είναι προγραμματιστής», τότε «Ο Νίκος έχει υπολογιστή». Συμπέρασμα: Q: «Ο Νίκος έχει υπολογιστή» 17
Διαδικασία Απόδειξης Μια διαδικασία απόδειξης (proof procedure) αποτελείται από: ένα σύνολο κανόνων συμπερασμού Δ έναν αλγόριθμο εφαρμογής τους Μια αποδεικτική διαδικασία ονομάζεται ορθή (sound) όταν όλα τα συμπεράσματα που εξάγονται αποτελούν και λογικές συνεπαγωγές του αρχικού συνόλου των τύπων. Μια αποδεικτική διαδικασία ονομάζεται πλήρης (complete) όταν για κάθε τύπο P ο οποίος λογικά συνεπάγεται από ένα σύνολο τύπων S, μπορεί να κατασκευάσει μια απόδειξη. 18
Αυτοματοποίηση της Διαδικασίας Απόδειξης Αυτό που ενδιαφέρει την ΤΝ είναι η αυτοματοποίηση της εξαγωγής συμπερασμάτων από μία βάση γνώσης εκφρασμένη στη γλώσσα της λογικής. Η εύρεση απόδειξης μπορεί να θεωρηθεί ως πρόβλημα αναζήτησης όπου: Οι καταστάσεις αποτελούνται από τις προτάσεις που θεωρούνται αληθείς (είτε από αρχική γνώση είτε ως παραγόμενα συμπεράσματα) Οι κανόνες συμπερασμού αποτελούν τους τελεστές μετάβασης από μία κατάσταση στην επόμενη. Η αυτοματοποίηση πρέπει να είναι ορθή, πλήρης αλλά και αποδοτική (efficient). 19
Αρχή της Ανάλυσης Μια διαδικασία ικανή για την αυτοματοποίηση της εξαγωγής συμπερασμάτων βασίζεται στην αρχή της ανάλυσης (resolution). P και P: συμπληρωματικά ζεύγη (complimentary pairs) R Q: αναλυθέν (resolvent) Οι προτάσεις θα πρέπει να είναι εκφρασμένες σαν ένα σύνολο διαζεύξεων. Πρόταση (clause): κάθε διάζευξη αποτελείται από άτομα ή αρνήσεις ατόμων Απαιτείται η μετατροπή όλων των προτάσεων στην συζευκτική μορφή της λογικής Επιτυγχάνεται με τη χρήση ισοδυναμιών 20
Έστω οι προτάσεις: Παράδειγμα Ανάλυσης (1/3) Σε συμβολική μορφή: Με απαλοιφή του συνδετικού της συνεπαγωγής: 21
Παράδειγμα Ανάλυσης (2/3) Συνήθως χρησιμοποιείται σύνολο προτάσεων χωρίς το συνδετικό σύζευξης: Εφαρμογή της αρχής της ανάλυσης για τις προτάσεις (1) και (2): Εφαρμογή της αρχής της ανάλυσης για τις προτάσεις (3) και (4): 22
Παράδειγμα Ανάλυσης (3/3) 23
Ορθότητα και Πληρότητα της Ανάλυσης Μια διαδικασία που βασίζεται μόνο στην αρχή της ανάλυσης είναι ορθή. Ο κανόνας της ανάλυσης σε συνδυασμό με την «εις άτοπον απαγωγή» (refutation ή proof by contradiction) είναι πλήρης. Για να αποδειχθεί μια πρόταση αληθής: Εισάγεται η άρνησή της Επιχειρείται η κατάληξη σε άτοπο με την εφαρμογή της ανάλυσης Το άτοπο εκφράζεται με την κενή πρόταση που συμβολίζεται ως εξάγεται ως και Ο κανόνας της ανάλυσης δεν μπορεί να εξάγει με απευθείας απόδειξη όλους τους δυνατούς τύπους που λογικά συνεπάγονται από την αρχική γνώση. 24
Προτασιακή Λογική - Σχόλια Απαιτείται μόνο ένας κανόνας συμπερασμού για την ορθή απόδειξη οποιασδήποτε πρότασης. Πλεονεκτήματα: Απλότητα στη σύνταξη Μπορεί να καταλήξει πάντα σε συμπέρασμα (καταληκτική decidable) Μειονεκτήματα: Έλλειψη γενικότητας Υπονοεί ότι ο κόσμος αποτελείται μόνο από γεγονότα τα οποία είναι αληθή ή ψευδή Καμία δυνατότητα διαχωρισμού και προσπέλασης των οντοτήτων του κόσμου. «οι τίγρεις είναι σαρκοβόρα» και «ο τζίμης είναι τίγρης» Δεν υπάρχει διαχωρισμός μεταξύ αντικειμένων (τίγρεις) και ιδιοτήτων (σαρκοβόρα) Δεν υπάρχει δυνατότητα προσπέλασης αυτών για δημιουργία νέας γνώσης (π.χ. «ο τζίμης είναι σαρκοβόρο») 25
Κατηγορηματική Λογική Επέκταση της Προτασιακής Λογικής Ο κόσμος περιγράφεται σαν σύνολο αντικειμένων, ιδιοτήτων και σχέσεων Αντιμετωπίζεται το πρόβλημα της μη προσπελασιμότητας των στοιχείων των γεγονότων της προτασιακής λογικής. «ο τζίμης είναι τίγρης» : τίγρης(τζίμης) Ύπαρξη μεταβλητών, αυξάνεται η εκφραστική ικανότητα. Εισάγονται: Όροι (terms) Κατηγορήματα (predicates) Ποσοδείκτες (quantifiers) 26
Αλφάβητο Κατηγορηματικής Λογικής Σταθερές: a, b, c, a_1, κτλ. Συναρτησιακά σύμβολα: f, g, father-of, κτλ. Τάξη (arity), ορίσματα (arguments). Μεταβλητές: Χ, Υ, Man, κτλ. Σύμβολα κατηγορημάτων p, q, color, κτλ. Συνδετικά: όμοια με της προτασιακής λογικής Ποσοδείκτες: Υπαρξιακός ποσοδείκτης (existential quantifier): Καθολικός ποσοδείκτης (universal quantifier): Σύμβολα στίξης: ( ), Σύμβολα αληθείας: t (αληθές), f (ψευδές). 27
Όροι και Ατομικοί Τύποι Ένας όρος (term) μπορεί να είναι: μια σταθερά μια μεταβλητή ένας συναρτησιακός όρος της μορφής f(t 1, t 2,, t n ) όπου f είναι ένα συναρτησιακό σύμβολο τάξης n και τα ορίσματα t 1, t 2,, t n είναι επίσης όροι. father_of(nick), father_of(father_of(nick)) works(john, profession(teacher)) Ένας ατομικός τύπος (atomic formula) έχει τη μορφή p(a 1, a 2,, a n ) όπου το p είναι ένα κατηγόρημα τάξης n και τα a 1, a 2,, a n ορίσματα. Κάθε όρισμα είναι ένας όρος. 28
Ορθά Δομημένοι Τύποι Η σύνδεση προτάσεων για τη δημιουργία ορθά δομημένων τύπων γίνεται με τη χρήση συνδετικών και ποσοδεικτών. Χ whale(x) mammal(x) Για την επεξήγηση του τύπου και την απόδοση λογικής τιμής απαιτείται ο ορισμός της σημασιολογίας. 29
Σημασιολογία Κατηγορηματικής Λογικής Αφηρημένος κόσμος (abstract world) ή πεδίο ορισμού (domain). Αποτελείται από αντικείμενα και σχέσεις (η ιδιότητα θεωρείται μοναδιαία σχέση) Μια ερμηνεία αντιστοιχεί τους όρους και ατομικούς τύπους της λογικής στα αντικείμενα και σχέσεις του κόσμου. Η απεικόνιση των όρων σε αντικείμενα ονομάζεται ανάθεση όρων (term assignment). Οι σταθερές αντιστοιχούνται στα αντικείμενα του κόσμου. Οι συναρτησιακοί όροι αναφέρονται σε αντικείμενα, στα οποία δεν δίνουμε ένα συγκεκριμένο όνομα αλλά χρησιμοποιούμε μια περίφραση για να αναφερθούμε σε αυτά. Ένας ατομικός τύπος απεικονίζει μια σχέση ανάμεσα σε μια διατεταγμένη πλειάδα (tuple) αντικειμένων. Μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. 30
Μεταβλητές και Ποσοτικοποίηση Στην κατηγορηματική λογική πρώτης τάξης (first-order predicate logic), οι μεταβλητές αναφέρονται μόνο σε αντικείμενα και όχι σε συναρτησιακά σύμβολα ή κατηγορήματα. άνθρωπος(χ) θνητός(χ) άνθρωπος(χ) μαθηματικός(χ) Η αποσαφήνιση της σημασίας των παραπάνω εκφράσεων απαιτεί χρήση ποσοδεικτών. Υπαρξιακός ποσοδείκτης ( Χ)(φ(Χ)): υπάρχει Χ, τέτοιο ώστε ο τύπος φ(χ) να είναι αληθής Καθολικός ποσοδείκτης ( Χ)(φ(Χ)): για κάθε Χ, ο φ(χ) είναι αληθής ( X)(άνθρωπος(Χ) θνητός(χ)) ( X)(άνθρωπος(Χ) μαθηματικός(χ)) 31
Αντικατάσταση και Ενοποίηση Η αντικατάσταση (substitution) αφορά την αντικατάσταση των μεταβλητών από κάποιους όρους. Παριστάνεται ως {X i /t i }, όπου X i η μεταβλητή και t i ο όρος. Παράδειγμα: η αντικατάσταση {X/φάλαινα} στον τύπο είναι(χ, θηλαστικό) θα δώσει τον τύπο είναι(φάλαινα, θηλαστικό). Ενοποίηση (unification) είναι η διαδικασία κατά την οποία δύο εκφράσεις γίνονται συντακτικά όμοιες με τη χρήση αντικαταστάσεων Παράδειγμα: οι εκφράσεις είναι(λιοντάρι, θηλαστικό, Χ) και είναι(λιοντάρι, Υ, σαρκοβόρο), ενοποιούνται με την αντικατάσταση θ={χ/σαρκοβόρο, Υ/θηλαστικό}. 33
Ενοποιητής Για δύο εκφράσεις φ 1 και φ 2, ο ενοποιητής (unifier) τους είναι μια αντικατάσταση θ τέτοια ώστε η έκφραση φ 1 θ να είναι συντακτικά όμοια με την φ 2 θ (ενοποιήσιμες εκφράσεις). Ο γενικότερος ενοποιητής (most general unifier mgu) είναι εκείνος που ενοποιεί τις εκφράσεις με τις λιγότερες δυνατές αντικαταστάσεις. Αλγόριθμος (κανόνες) εύρεσης γενικότερου ενοποιητή: 1. Δύο σταθερές ενοποιούνται αν και μόνο αν είναι ίδιες. 2. Μια μεταβλητή ενοποιείται με οποιονδήποτε όρο, εισάγοντας μια νέα αντικατάσταση στον γενικότερο ενοποιητή. 3. Δύο συναρτησιακοί όροι ενοποιούνται αν έχουν το ίδιο συναρτησιακό σύμβολο και αν το κάθε όρισμα του πρώτου μπορεί να ενοποιηθεί με το αντίστοιχο σε θέση όρισμα του δευτέρου. 4. Δύο ατομικοί τύποι ενοποιούνται αν έχουν το ίδιο κατηγόρημα, την ίδια τάξη (αριθμό ορισμάτων) και αν κάθε όρισμα του πρώτου μπορεί να ενοποιηθεί με το αντίστοιχο σε θέση όρισμα του δεύτερου. 34
Αλγόριθμος εύρεσης mgu - Σχόλια Αναδρομικός αλγόριθμος Αποδοτικός Μη ορθός Περιπτώσεις όπου η προς ενοποίηση μεταβλητή εμφανίζεται στον ίδιο τον όρο με τον οποίον θα ενοποιηθεί Χ=profession(X) Τότε Χ=profession(profession(profession( ))). Το πρόβλημα αναφέρεται σαν έλεγχος εμφάνισης (occurs check) και η λύση του απαιτεί αλγορίθμους με μεγάλο υπολογιστικό κόστος. 35
Παράδειγμα Αναπαράστασης Γνώσης Γνώση για τα χαρακτηριστικά διαφόρων ειδών ζώων: Κάθε ζώο το οποίο έχει τρίχωμα ή παράγει γάλα είναι θηλαστικό. Χ (έχει(χ,τρίχωμα) παράγει(χ,γάλα)) είναι(χ,θηλαστικό) Κάθε ζώο που έχει φτερά και γεννάει αυγά είναι πουλί. Χ (έχει(χ,φτερά) γεννάει(χ,αυγά)) είναι(χ,πουλί) Κάθε πουλί το οποίο δεν πετά και κολυμπά είναι πιγκουίνος. Χ (είναι(χ,πουλί) ( πετά(χ)) κολυμπά(χ) είναι(χ, πιγκουίνος) 38
Από την προτασιακή λογική Ισοδυναμίες (1/2) 39
Σχετικές με τους ποσοδείκτες Ισοδυναμίες (2/2) 40
Προσημασμένη Συζευκτική Κανονική Μορφή Εφόσον υπάρχουν τύποι που είναι ανόμοιοι συντακτικά αλλά λογικά ισοδύναμοι, η αναγωγή τους σε μια περιορισμένη κανονική μορφή είναι χρήσιμη για συγκρίσεις μεταξύ τους αποδεικτικές διαδικασίες. Προσημασμένη συζευκτική κανονική μορφή (prenex conjunctive normal form) Τα βασικά δομικά στοιχεία είναι: Λεκτικά (literals): ατομικός τύπος ή άρνηση ατομικού τύπου Προτάσεις (clauses): πεπερασμένη διάζευξη κανενός ή περισσοτέρων λεκτικών Κενή πρόταση: διάζευξη μηδέν λεκτικών στοιχείων Ένας τύπος (formula) αποτελείται από μία σύζευξη προτάσεων προσημασμένη από ποσοδείκτες. 41
Αναγωγή σε κανονική μορφή Οποιοσδήποτε τύπος της κατηγορηματικής λογικής μπορεί να αναχθεί σε ένα ισοδύναμο τύπο της προσημασμένης συζευκτικής κανονικής μορφής Η διαδικασία περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: 1. Απαλοιφή συνδετικών ισοδυναμίας και συνεπαγωγής (6, 7) 2. Μετονομασία των μεταβλητών έτσι ώστε δύο μεταβλητές που ποσοτικοποιούνται από διαφορετικούς ποσοδείκτες να μην έχουν το ίδιο όνομα (14, 15) 3. Μετατροπή των τύπων έτσι ώστε το συνδετικό της άρνησης να εφαρμόζεται μόνο σε ατομικούς τύπους (1, 2, 3, 8, 9) 4. Μεταφορά των ποσοδεικτών με αναδρομική εφαρμογή των 10-13 5. Εφαρμογή των ισοδυναμιών επιμεριμού ως προς τη σύζευξη και διάζευξη έτσι ώστε ο τελικός τύπος να αποτελείται από συζεύξεις προτάσεων (4, 5) 42
Παράδειγμα αναγωγής Απαλοιφή του συνδετικού της ισοδυναμίας (6) Επειδή η μεταβλητή Υ εμφανίζεται ποσοτικοποιημένη από δύο διαφορετικούς ποσοδείκτες, η δεύτερη εμφάνιση μετονομάζεται σε Z. Εφαρμογή των ισοδυναμιών DeMorgan και 9 (άρνηση μόνο σε τύπους). Εφαρμογή των ισοδυναμιών 10 και 12 (ομαδοποίηση των λεκτικών). 43
Μορφή Kowalski Όλες οι προτάσεις εκφράζονται σαν λογικές ισοδυναμίες της μορφής q 1, q 2,, q n r 1, r 2,, r m Οι ατομικοί τύποι r i είναι σε διάζευξη ενώ οι q j σε σύζευξη Τα r i αποτελούν τα συμπεράσματα της πρότασης, ενώ τα q j τις προϋποθέσεις της. Δεν περιέχονται αρνήσεις ατομικών τύπων. Περισσότερο αναγνώσιμη μορφή 47
Παράδειγμα μετατροπής σε μορφή Kowalski Έστω η πρόταση Συγκέντρωση όλων των ατομικών τύπων σε άρνηση στο αριστερό μέρος της πρότασης, με εφαρμογή της ισοδυναμίας Εφαρμογή του νόμου DeMorgan Εφαρμογή της ισοδυναμίας Αντικατάσταση των συμβόλων της σύζευξης και της διάζευξης με το σύμβολο,. 48
Παράδειγμα μορφής Kowalski 49
Περιπτώσεις προτάσεων Kowalski q 1, q 2,, q n r 1, r 2,, r m Αν m>0 και n>0, τότε η πρόταση ερμηνεύεται σαν «ισχύει r 1 ή r 2 ή ή r n εάν q 1 και q 2 και και q n» (κανόνας) Προτάσεις Horn (Horn clauses): επιτρέπεται μόνο ένας ατομικός τύπος στο συμπέρασμα Αν m=0, τότε οι υποθέσεις καταλήγουν σε αναληθές συμπέρασμα (στόχος, ερώτηση) An n=0, τότε αναπαριστάται μια πρόταση χωρίς υπόθεση (γεγονότα) Αν m=n=0, τότε αναπαρίσταται μια πρόταση πάντα αναληθής και συμβολίζεται με την κενή πρόταση 50
Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Ο βασικός μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων στην κατηγορηματική λογική είναι η απόδειξη. 51
Η αρχή της ανάλυσης στη κατηγορηματική λογική Η αρχή της ανάλυσης (resolution principle) είναι ο μοναδικός κανόνας που απαιτείται για την εξαγωγή όλων των σωστών συμπερασμάτων σε μια αποδεικτική διαδικασία που χρησιμοποιεί τη μέθοδο της «εις άτοπο απαγωγής» (refutation). Η διαδικασία απόδειξης είναι ορθή και πλήρης Στην απλή περίπτωση περιλαμβάνει προτάσεις οι οποίες περιέχουν το πολύ δύο λεκτικά. Τα λεκτικά q και q ονομάζονται συμπληρωματικά ζεύγη. Οι αντικαταστάσεις μεταβλητών που προκύπτουν εφαρμόζονται στο αναλυθέν. 53
Διαδικασία απόδειξης Η διαδικασία απόδειξης περιλαμβάνει Εισαγωγή της άρνησης της προς απόδειξη πρότασης στο αρχικό σύνολο προτάσεων Εφαρμογή του κανόνα της ανάλυσης μέχρι το σύστημα να εξάγει την κενή πρόταση (άτοπο) Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να διερευνήσουμε αν το έμβολο μιας μηχανής χρειάζεται αντικατάσταση. Εισάγεται η άρνηση της πρότασης αντικατάσταση(έμβολο) και εφαρμόζεται διαδοχικά ο κανόνας της ανάλυσης 54
Εφαρμογή ανάλυσης 55
Ανάλυση για Kowalski Εναλλακτική διατύπωση του κανόνα της ανάλυσης για τη μορφή Kowalski Η διαδικασία είναι περισσότερο κατανοητή. Το προηγούμενο παράδειγμα γράφεται Η άρνηση της προς απόδειξη πρότασης σε μορφή Kowalski αναπαρίσταται ως αντικατάσταση(έμβολο) 56
Εφαρμογή ανάλυσης (Kowalski) 57
Εναλλακτική εφαρμογή ανάλυσης (Kowalski)! Οι αποδείξεις δεν είναι μοναδικές 58
Η απόδειξη ως πρόβλημα αναζήτησης Η εύρεση απόδειξης μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν ένα πρόβλημα αναζήτησης με μοναδικό τελεστή μετάβασης τον κανόνα της ανάλυσης. Αναζήτηση κατά πλάτος (breadth-first) Παράγει τις συντομότερες αποδείξεις Μεγάλη αύξηση αριθμού κόμβων Εμφανίζεται συνδυαστική έκρηξη που αντιμετωπίζεται με τεχνικές όπως η γραμμική ανάλυση Η αρχή της ανάλυσης είναι η βάση για τη δημιουργία του λογικού προγραμματισμού: Prolog Χρησιμοποιούνται προτάσεις Horn και SLD-ανάλυση 59
Κατηγορηματική Λογική - Σχόλια Πλεονεκτήματα: Αντιστοιχία με φυσική γλώσσα Ικανοποιητική έκφραση ποσοτικοποίησης Ικανότητα να συλλάβει τη γενικότητα Μειονεκτήματα: Αδυναμία έκφρασης ασάφειας (οι προτάσεις είναι μόνο αληθείς ή ψευδείς) Αθροιστικότητα των αποτελεσμάτων (τα συμπεράσματα προστίθενται χωρίς δυνατότητα αναθεώρησης) 60
Ενδεικτική Βιβλιογραφία Ενότητες 9.1 και 9.2 του βιβλίου «Τεχνητή Νοημοσύνη», Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας και Η. Σακελλαρίου. 61