ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΛΟΡΕΝΤΖΙΑΔΗΣ 2 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΤΜΗΜΑΤΑ: (Α - Λ) ΚΑΙ (Μ - Ω) ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σημειώσεις Υπολογισμοί Πιθανοτήτων 1. ΛΟΤΤΟ Επιλέγουμε 6 αριθμούς από το 1-49. Δεν υπάρχει επαναληψιμότητα (ο κάθε αριθμός επιλέγεται μια μόνο φορά) Η σειρά επιλογής (διάταξη) της εξάδας των αριθμών που επιλέγονται δεν παίζει κάποιο ρόλο. Συνεπώς η εξάδα αποτελεί ένα συνδυασμό των αριθμών από 1-49. Πιθανότητα να κερδίσει κάποιος έχοντας επιλέξει μια εξάδα αριθμών Ο αριθμός των συνδυασμών που μπορεί να επιλεγεί η νικητήρια εξάδα είναι 49 6 = 49! 43! 6! = 49. 48. 47. 46. 45. 44 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 13.983.816 Άρα η πιθανότητα νίκης είναι p = 1/(13.983.816)=7,15. 10-8
ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 2 Σημείωση: Το ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να το έχουμε και διαφορετικά Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α 1 : ο πρώτος νικητήριος αριθμός έχει επιλεγεί από εμάς Α 2 : ο δεύτερος νικητήριος αριθμός έχει επιλεγεί από εμάς Α 3 : ο τρίτος νικητήριος αριθμός έχει επιλεγεί από εμάς Α 4 : ο τέταρτος νικητήριος αριθμός έχει επιλεγεί από εμάς Α 5 : ο πέμπτος νικητήριος αριθμός έχει επιλεγεί από εμάς Α 6 : ο έκτος νικητήριος αριθμός έχει επιλεγεί από εμάς Η ζητούμενη πιθανότητα είναι p = Pr(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 ) = κανόνας γινομένου = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A 4 A 1 A 2 A 3 ) P (A 6 A1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) = 6 49 5 48 4 47 3 46 2 45 1 44
ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 3 2. ΤΖΟΚΕΡ Εδώ επιλέγουμε 5 αριθμούς από το 1-45, και 1 αριθμό (τζόκερ) από το 1-20 Κερδίζει όποιος έχει επιλέξει τη νικητήρια πεντάδα της κλήρωσης και τον τζόκερ της κλήρωσης. α) Πιθανότητα να κερδίσει κάποιος στο τζόκερ o Πιθανότητα να βρει κανείς τον αριθμό τζόκερ: 1/20 o Πιθανότητα για να βρει κανείς τη νικητήρια πεντάδα αριθμών Δεν υπάρχει επαναληψιμότητα (ο κάθε αριθμός επιλέγεται μια μόνο φορά) Η σειρά επιλογής (διάταξη) της πεντάδας των αριθμών που επιλέγονται δεν παίζει κάποιο ρόλο. Συνεπώς η πεντάδα αποτελεί ένα συνδυασμό των αριθμών από 1-45. Ο αριθμός των συνδυασμών που σχηματίζονται από το 1-45 είναι ως εξής: 45 = 45! 40! 5! = 45. 44. 43. 42. 41 5. 4. 3. 2. 1 = 1.221.759 Άρα η πιθανότητα νίκης είναι p = 1 1 20 1.221.759 = 1 24.435.180 = 4,092 10-8 β) Πιθανότητα να πετύχει κανείς το τζόκερ και 4 από τους 5 νικητήριους αριθμούς o Πιθανότητα να βρει κανείς τον αριθμό τζόκερ: 1/20 o Πιθανότητα να βρούμε 4 νικητήριους αριθμούς (και ένα μη νικητήριο): Με τη κλήρωση επιλέγεται ένας νικητήριος συνδυασμός πεντάδας αριθμών από όλους τους συνδυασμούς. Αυτό γίνεται είναι όπως είδαμε με 45 τρόπους.
ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 4 Εάν είναι γνωστή η πεντάδα των νικητήριων αριθμών, οι τρόποι που μπορεί κανείς να βρει 4 νικητήριους αριθμούς είναι οι εξής: Από τους 5 νικητήριους αριθμούς επιλέγουμε 4 αριθμούς Για την 5 η επιλογή μας παίρνουμε ένα από τους μη νικητήριους αριθμούς δηλαδή επιλέγουμε 1 αριθμό από τους 40 μη νικητήριους αριθμούς Άρα οι τρόποι που μπορούμε από την πεντάδα νικητήριων αριθμών να έχουμε 4 νικητήριους (και ένα μη νικητήριο αριθμό) είναι 4 40 1 = 5! 40! 4! 1! 39! 1! = 5. 40 = 200 Ώστε η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Πιθανότητα 4 νικητήριοι αριθμοί και 1 μη νικητήριος = 4 40 1 200 45 = 24.435.180 = 8,18492 10-6 Συνεπώς, έχουμε Πιθανότητα τζόκερ και 4 νικητήριοι αριθμοί και 1 μη νικητήριος = = 1 200 20 24.435.180 = 1 2.443.518 *** Σημείωση: Η πιθανότητα να βρούμε 4 νικητήριους και ένα μη νικητήριο αριθμό μπορεί να υπολογιστεί και ως εξής: Υπάρχουν 5 νικητήριοι αριθμοί. Θεωρούμε 4 από αυτούς. Αυτό γίνεται με 5 4 = 5 διαφορετικούς τρόπους. Α1 : ο πρώτος νικητήριος αριθμός που θεωρούμε έχει ήδη επιλεγεί από εμάς Α 2 : ο δεύτερος νικητήριος αριθμός που θεωρούμε έχει ήδη επιλεγεί από εμάς Α3 : ο τρίτος νικητήριος αριθμός που θεωρούμε έχει ήδη επιλεγεί από εμάς Α4 : ο τέταρτος νικητήριος αριθμός που θεωρούμε έχει επιλεγεί από εμάς Α5 : ο πέμπτος αριθμός είναι μη νικητήριος και έχει επιλεγεί από εμάς Η ζητούμενη πιθανότητα είναι (1/5) Pr(A1 A2 A3 A4 A5) = κανόνας γινομένου = (1/5) P(A1) P(A2 A1) P(A3 A1 A2) P(A4 A1 A2 A3) P (A5 A1 A2 A3 A4) = 5 4 3 2 40 = (1/5) 45 44 43 42 45 = 8,18492 10-6
ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 5 Γενίκευση Η πιθανότητα να βρούμε κ νικητήριους αριθμούς και 5-κ μη νικητήριους αριθμούς και τον αριθμό τζόκερ o Πιθανότητα να βρει κανείς τον αριθμό τζόκερ: 1/20 o Πιθανότητα να βρούμε κ νικητήριους αριθμούς (και 5-κ μη νικητήριους): Υπάρχουν 5 νικητήριοι αριθμοί και επιλέγω κ από αυτούς (συνδυασμοί) Υπάρχουν 40 μη νικητήριοι αριθμοί και επιλέγω 5-κ από αυτούς (συνδυασμοί) Συνολικά οι δυνατοί νικητήριοι αριθμοί είναι όσοι οι συνδυασμοί 5 αριθμών από 45. Ώστε η πιθανότητα είναι: κ 40 5-κ 45 Η ζητούμενη πιθανότητα να έχω το τζόκερ και κ νικητήριους αριθμούς και 5-κ μη νικητήριους αριθμούς είναι 1 κ 40 5-κ 20 45
ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 6 Υπεργεωμετρική κατανομή Περιγραφή: Ένας πληθυσμός έχει μέγεθος Ν και αποτελείται από δύο ομάδες: Ομάδα Ι με μέγεθος Α Ομάδα ΙΙ με μέγεθος Ν Α Επιλέγω ένα δείγμα n μονάδων. Ποια είναι η πιθανότητα στο δείγμα να έχω κ μονάδες από την ομάδα Ι και τις υπόλοιπες n-κ μονάδες από την ομάδα ΙΙ; Στο παράδειγμα του τζόκερ είχαμε Ν =45 αριθμοί, Α =5 νικητήριοι, Ν-Α = 40 μη νικητήριοι. Λαμβάνουμε (επιλέγουμε) n = 5 αριθμούς. Ποια η πιθανότητα να έχουμε κ νικητήριους; Η απάντηση είναι: Pr(κ μονάδες από την ομάδα Ι και τις υπόλοιπες n-κ μονάδες από την ομάδα ΙΙ) = A = κ N-A n-κ N n