Ανισόττες - Ανισώσεις µε έναν άγνωστ Έναςαριθµςαλγεται ό έ µεγαλύτερςενςαριθµ ό ύβ όταν διαφράτυς α βεναι ί θετικός αριθµός. λαδήισχει ύ α> β α β> Έναςαριθµςαλγεται ό έ µικρότερςενόςαριθµύβ όταν διαφράτυς α βεναι ί αρντικός αριθµός. λαδήισχει ύ α< β α β< Κάθε θετικός αριθµός εναι ί µεγαλύτερςτυµδενός. Α ν α θετικόςτότε α> Κάθε αρντικός αριθµός εναι ί µικρότερςτυµδενς ό. Α νααρντικςτ ό ότε α< Α ν άµεσασεδ ύ ετερόσµυςαριθµςµεγαλτερς ύ ύ εναι ί θετικός αριθµός. Α να> καιβ< τότε α> β T γινόµενδαριθµ ύ ώνεναι ί θετικό ανκαιµνανιαριθµ ό ίεναι ί µόσµι. Ανα β> τότε αβµσµι, ό. T γινόµενδαριθµ ύ ώνεναι ί αρντικό ανκαιµνανιαριθµ ό ίεναι ί ετερόσµι. Ανα β< τότε αβετερσµι, ό. Ζωδόχυ Πγής 8 Σαλαμίνα Μαθματικός Τλ 14651576-7 /146445 1
x x + 1 x + Θετικός Αριθµός ή Αφύ ό x τ τε x x x x Θετικός Αριθµός( ή ) Θετικός Αριθµός ή ή + 4 8 8 Αφύ + 4 x x x x x κ ( x ( x ) ) x Θετικός Αριθµός( ή ) = ή + κ 34 17 κ κ κ κ x τ τε x x Θετικός Αριθµός( ή ) x Θετικός Αριθµός( ή ) Επίσς ό + **** Τ τετράγων ενός Φυσικύ ή Ακέραιυ αριθµύ είναι πάντα µεγαλύτερ ή ίσ από τν ίδι τν αριθµό. ( Ισόττα έχυµε µόν όταν αριθµός είναι τ µδέν = ) λαδή x x x x Π. χ 4 = 16> 4, 3 = 9> 3 x κ κ x x x 1 Να βρεθύν ι κινές λύσεις (ή πυ συναλθεύυν) τς ανίσωσς 5 x 3< 1 Λύνυµε κάθε ανίσωσ χωριστά 5 x 3 και x 3< 1 x και x< Βρίσκυµε τις κινές λύσεις στν ευθεία των αριθµών Βήµα 1 Τπθετ ύ µετυςαριθµύ ςστνευθεααρχζνταςαπ ί ί ό τµδν έ. ( ) ( ) ( > ) ( < ) Στυς αριθµύς µε σύµβλ ή βάζυµε τελεία(δείχνντας ότι τν δέχεται τν τιµή) Στυς αριθµύς µε σύµβλ ή βάζυµε κυκλάκι(δείχνντας ότι δεν τν δέχεται τν τιµή) Βήµα Σχεδιάζυµε τις γραµµές πυ µας δείχνυν τι τιµές παίρνει τ x σε κάθε περίπτωσ x Μεγαλύτερες τιµ ές ή ίσ από τ, δλαδή,..., 1,...,.5,...,,...,1,... + x< Μικρότερες τιµές από τ, δλαδή 1.999,...,1.5,...,,..., 1,..., Βήµα 3 Βρίσκυµε τ κινό πεδί πυ σχµατίζεται από τ Βήµα. Βήµα 4 Οι κινές λύσεις θα είναι τς µρjής x< Ζωδόχυ Πγής 8 Σαλαμίνα Μαθματικός Τλ 14651576-7 /146445
Ένα κλάσµα είναι θετικό όταν αριθµτής και παρνµαστής είναι µόσµι δλαδή έχυν τ ίδι πρόσµ. 3 3 4 πχ. = >, > 5 3 Ένα κλάσµα είναι αρντικό όταν αριθµτής και παρνµαστής είναι ετερόσµι δλαδή έχυν αντίθετ πρόσµ. 3 1 4 πχ. = <, = < 6 1 5 6 7 Να λυθύν ι ανισώσεις >, >, <, < x+ 5 3x 7 3x 9 x 18 1 > άρα πρέπει x+ 5> x> 5 x+ 5 5 7 > άρα πρέπει 3x 7< x< 3x 7 3 6 < άρα πρέπει 3x 9> x> 3 3x 9 7 < άρα πρέπει x 18< x< 9 x 18 4 Τ Γινόµεν δύ παραγόντων(ή αριθµών) είναι Θετικό Και ι παράγντες (ή αριθµί ) είναι µόσµι. ( x )( x ) λαδή 3 + 5>, 1 Περίπτωσ x 3> και x+ 5> x> 3 καιx> 5 x> 3 ι κινές λύσεις Περίπ τωσ x 3< και x+ 5< x< 3 καιx< 5 x< 5 ι κινές λύσεις Αρντικό Και ι παράγντες (ή αριθµί ) είναι ετερόσµι. ( x )( x ) λαδή 7 + 8<, Άρα 1 Περίπτωσ x 7< και x+ 8> x< 7 και x> 8 8< x< 7 ι κινές λύσεις Περίπτωσ x 7> και x+ 8< x> 7 και x< 8 Αδύνατ Η δεύτερ περίπτωσ απρίπτεται διότι δεν υπάρχει αρντικός αριθµός µεγαλύτερς τυ 7 Ζωδόχυ Πγής 8 Σαλαμίνα Μαθματικός Τλ 14651576-7 /146445 3
Αν και στα δύ µέλ µιας ανισόττας πρσθέσυµε ή αφαιρέσυµε τν ίδι αριθµό τότε πρκύπτει ανισόττα τς ίδιας φράς. ( 6 > 1) Αν α> β, τότε α+ γ> β+ γ 8> 5 8+ 3> 5+ 3 11> 8 Αν α> β, τότε α γ> β γ 8> 5 8 6> 5 Αν και στα δύ µέλ µιας ανισόττας πλλαπλασιάσυµε ή διαιρέσυµε µε τν ίδι θετικό αριθµό τότε πρκύπτει ανισόττα τς ίδιας φράς. Αν α> βκαιγ> τότε α γ> β γ 9> 6 9 1,1> 6 1,1 9,9> 6,6 α β 4 Αν α> βκαιγ> τότε > 4> >,4>, γ γ 1 1 Αν και στα δύ µέλ µιας ανισόττας πλλαπλασιάσυµε ή διαιρέσυµε µε τν ίδι αρντικό αριθµό τότε πρκύπτει ανισόττα τς αντίθετς φράς. Αν α βκαιγ< τότε α γ< β γ 6> 4 6 1< 4 1 6< 4 > α β 9 3 Αν α> βκαιγ< τότε < 9 3 4,5 1,5 γ γ > < < ( ) ( ) Αν πρσθέσυµε ανισώσεις µε τν ίδια φρά τότε πρκύπτει ανίσωσ µε τν ίδια φρά. Αν α> β 4 > τότε α γ β δ τότε 4 3 1 1 8 + > + > > και γ> δ 3 1 > ισχύει α> β 4> 3 τ ό τε α γ 4 1 > > β> γ 3 1 > Η παραπάνω ιδιόττα νµάζεται ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ Αν πλλαπλασιάσυµε κατά µέλ δύ ή περισσότερες ανισόττες µε τν ίδια φρά πρκύπτει ανισόττα τς ίδιας φράς Αν α,β,γ,δ αριθµί θετικί τότε ισχύει α> β α γ > β δ γ> δ Ζωδόχυ Πγής 8 Σαλαμίνα Μαθματικός Τλ 14651576-7 /146445 4
Ισχύει πάντα ή ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!!! α ν α α. 1 = > α Α ν α + β + γ + + =... κ τότε α = και β = και γ = και... κ = Αν x,y µόσµι αριθµί τότε 1 1 5 7 1 1 < > 5 7 Α ν x< y > x y 1 1 4 < 3 > 4 3 Αν x, y ετερόσµι αριθµίτότε 1 1 1 1 Α ν x< y < 5< 7 < x y 5 7 Έστω θετικός αριθµόςαµεα> 1. Τότε α> 1> α> α τότε < α< α< α ή α > α> α> α > 1 α > α 1 1 Έστω θετικός αριθµόςαµ ε < α< 1. Τότε < α< 1 α< α τότε < α < α< α< > > > α < 1 α < α 1 ή α α α 1 Ζωδόχυ Πγής 8 Σαλαμίνα Μαθματικός Τλ 14651576-7 /146445 5