Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αποδείξεις στη σχεσιακή λογική Page 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Λογική Συνέπεια Λογική Συνεπαγωγή Page 3 Από ένα σύνολο υποθέσεων συνεπάγεται λογικά ένα συμπέρασμα αν και μόνο αν κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί τις υποθέσεις ικανοποιεί και το συμπέρασμα. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Τυπική Απόδειξη Page 4 Μια τυπική απόδειξη του φ από το Δ είναι μια ακολουθία προτάσεων που τερματίζει στο φ. Κάθε στοιχείο της ακολουθίας αυτής είναι είτε 1. Υπόθεση 2. στιγμιότυπο αξιωματικού σχήματος 3. αποτέλεσμα της εφαρμογής ενός κανόνα συμπερασμού σε προηγούμενα στοιχεία της ακολουθίας. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Γνωστοί κανόνες συμπερασμού Page 5 Μodus Ponens (MP) φ ψ φ Ψ Equivalence Elimination (EE) φ ψ φ ψ ψ φ Modus Tolens (MT) φ ψ ψ φ Double Negation (DN) φ φ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ιδέα για Καθολική Αντικατάσταση Page 6 Χ. φ φ [Χ ο ] Αυτό δεν είναι απολύτως σωστό ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παραδείγματα Page 7 Υ. μισει(γιαννα, Υ) μισει(γιαννα, νικος) Υ νικος μισει(γιαννα, μητερα(νικος)) Υ μητέρα(νικος) μισει(γιαννα, Υ) Υ Υ μισει(γιαννα, Ζ) Υ Ζ Χ. Υ. μισει(χ,υ) Υ. μισει(γιαννα,υ) Υ γιαννα Υ. μισει(υ,υ) Χ Υ Λάθος! Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ακαταλληλότητα Page 8 Ένας όρος ο είναι ακατάλληλος για μια μεταβλητή Χ στη φ αν και μόνο αν ο όρος αυτός περιέχει μεταβλητή Υ και υπάρχει ελεύθερη εμφάνιση της Χ στη φ που βρίσκεται στην εμβέλεια του ποσοδείκτη της Υ. μητερα(υ) είναι ακατάλληλος όρος για την Χ στην Υ. μισει(χ,υ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Δυνατότητα Αντικατάστασης Page 9 Ένας όρος είναι δυνατόν να αντικαταστήσει μια μεταβλητή Χ σε μια έκφραση φ αν δεν είναι ακατάλληλος για τη Χ στη φ. Μερικά κείμενα λένε «Χ είναι ελεύθερη για τη Υ στη φ». μητερα(γ) είναι ελεύθερη για την Υ στη μισει(γ, Υ) μητερα(χ) είναι ελεύθερη για την Υ στη μισει(γ, Υ) μητερα(χ) είναι ελεύθερη για την Υ στη Ζ. μισει(ζ, Υ) μητερα(χ) δεν είναι ελεύθερη για την Υ στη Χ. μισει(χ, Υ) μητερα(χ) είναι ελεύθερη για την Υ στη ( Χ. Υ. αγαπάει(χ,υ) Ζ. μισει(ζ, Υ)) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Καθολική Αντικατάσταση Page 10 Χ. φ φ [Χ ο ] όπου ο είναι ελεύθερος για τη Χ στη φ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Υπαρξιακή αντικατάσταση Ι Page 11 Χ.φ -- φ[χ σ] όπου φ δεν περιέχει ελεύθερες μεταβλητές και σ είναι μια νέα σταθερά οντότητας Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παραδείγματα Υ. π(υ) π(σ) Page 12 Υ. Υ*Υ=0 1*1=0 Λάθος! (δηλαδή, όταν λέμε νέα, αυθαίρετη σταθερά δεν εννοούμε οποιαδήποτε που μπορεί να καθιστά την έκφραση ψευδή) Υ. Υ*Υ=Χ σ*σ=χ Λάθος! σ*σ=4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Υπαρξιακή Αντικατάσταση ΙΙ Page 13 Χ.φ φ[χ f(ο1,..., ον)] όπου οι όροι ο1,..., ον είναι ελεύθεροι στη φ όπου f είναι μια νέα συναρτησιακή σταθερά. (αυτή είναι η περίπτωση Skolemization με την ύπαρξη ελέυθερων μεταβλητών, με την ύπαρξη καθολικά προσδιορισμένων μεταβλητών) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παραδείγματα Υ. Υ*Υ=Χ f(χ)*f(χ)=χ f(4)*f(4)=4 f(6)*f(6)=6 Page 14 sqrt(x) * sqrt(x) = X log(x) * log(x) = X Λάθος! ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Τυπικές Αποδείξεις Page 15 Μια τυπική απόδειξη του φ από ένα σύνολο Δ είναι μια ακολουθία προτάσεων που τερματίζει στη φ. Κάθε στοιχείο της ακολουθία αυτής μπορεί να είναι 1. υπόθεση (μέλος του Δ) 2. στιγμιότυπο ενός αξιωματικού σχήματος 3. το αποτέλεσμα της εφαρμογής ενός κανόνα συμπερασμού σε προηγούμενα στοιχεία της ακολουθίας Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Όλοι αγαπούν όλους. Όλοι αγαπούν κάποιον που τους αγαπάει όλους. Να αποδειχθεί ότι ο Νίκος αγαπάει τη Γιάννα. Page 16 1. Χ. Υ. αγαπάει(χ,υ) Υπόθεση 2. Ζ. Α. Β. (αγαπάει(α,β) αγαπάει(ζ,α)) Υπόθεση 3. Χ.αγαπάει(Χ, f(χ)) ΥΑ 1 4. αγαπάει(γιαννα, f(γιαννα)) ΚΑ 3 5. Α. Β. (αγαπάει(α,β) αγαπάει(νικος,α)) ΚΑ 2 6. Β. (αγαπάει(γιαννα,β) αγαπάει(νικος,γιαννα)) ΚΑ 5 7. Β. (αγαπάει(γιαννα,f(γιαννα) αγαπάει(νικος,γιαννα)) ΚΑ 6 8. αγαπάει(νικος, γιαννα) ΜΡ (7,4) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Κεραυνός και Ξενοφών Page 17 Κάθε άλογο μπορεί να ξεπεράσει κάθε σκύλο. Κάποια λαγωνικά μπορούν να ξεπεράσουν κάθε λαγό. Ο Κεραυνός είναι άλογο. Ο Ξενοφών είναι λαγός. Μπορεί ο Κεραυνός να ξεπεράσει τον Ξενοφών; Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πρότυπα Αξιωματικά Σχήματα Page 18 ΙΙ: φ (ψ φ) ID: (φ (ψ χ)) ((φ ψ) ( φ χ)) CR: ( ψ φ) (( ψ φ) ψ) (ψ φ) (( ψ φ) ψ) EQ: ( φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ) (ψ φ) ( φ ψ) ((ψ φ) (φ ψ)) OQ: (φ ψ) ( φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Πρότυπα Αξιωματικά Σχήματα (συνέχεια ) Page 19 UD: X (φ ψ) ( X φ X ψ) UG: φ Χ.φ Όπου η Χ είναι ελεύθερη στη φ UI: Χ.φ φ[χ ο] Όπου ο είναι ελεύθερη για τη Χ στη φ ED: Χ. φ Χ. φ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αποδειξιμότητα Page 20 Μια πρόταση φ είναι αποδείξιμη από ένα σύνολο προτάσεων Δ (Δ - φ) αν και μόνο αν υπάρχει πεπερασμένη απόδειξη της φ από το Δ με τη χρήση του Modus Ponens και τα αξιωματικά σχήματα. Θεώρημα Ορθότητας: Αν η φ είναι αποδείξιμη από το Δ, τότε από το Δ συνεπάγεται λογικά η φ Θεώρημα πληρότητας. Αν από το Δ συνεπάγεται λογικά η φ, τότε η φ είναι αποδείξιμη από το Δ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Αποφασισιμότητα Page 21 Μια κατηγορία ερωτήσεων είναι αποφασίσιμη αν και μόνο αν υπάρχει διαδικασία τέτοια ώστε όταν, δεδομένης μιας ερώτησης από την κλάση αυτή, η διαδικασία τερματίζει με «ναι» αν η απάντηση είναι θετική ή «οχι» αν η απάντηση είναι αρνητική. Παράδειγμα: Για κάθε φυσικό αριθμό Ν, αποφασίστε αν είναι πρώτος. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ημι- Αποφασισιμότητα Page 22 Μια κατηγορία ερωτήσεων είναι ημι-αποφασίσιμη αν και μόνο αν υπάρχει διαδικασία τέτοια ώστε όταν, δεδομένης μιας ερώτησηςαπό την κλάση αυτή, η διαδικασία τερματίζει με «ναι» αν η απάντηση είναι θετική. Αν μια κλάση είναι αποφασίσιμη, τότε προφανώς είναι ημιαποφασίσιμη. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Η αποφασισιμότητα δεν αποδείχθηκε Page 23 Σημειώστε ότι δεν έχουμε δείξει ότι η λογική συνεπαγωγή για τη σχεσιακή λογική είναι αποφασίσιμη. Πραγματικά, η αποδεικτική διαδικασία μπορεί να μη σταματήσει: π(χ) π(f(χ)) π(f(f(α))) π(f(β))? Η άρνηση του συμπεράσματος μπορεί να μη βοηθάει επίσης π(χ) π(f(χ)) π(f(f(α))) π(f(β))? Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 24 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Συμπεράσματα Page 25 Η λογική συνεπαπαγωγή στη σχεσιακή λογική είναι ημιαποφασίσιμη Η λογική συνεπαπαγωγή στη σχεσιακή λογική είναι μηαποφασίσιμη Γεώργιος Βούρος