2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των και. (α) ( x, ) = x +. (β) ( x, ) max ( x, ) = και (γ) x, = x +, <+ Το γεγονός ότι οι παραπάνω τύποι ορίζουν νόρμες στον διανυσματικό χώρο έπεται εύκολα στις περιπτώσεις (α) και (β) και με την βοήθεια της ανισότητας Miowsi για τον 2 2 R ( ή C ) στην περίπτωση (γ), αν >. Παρατηρούμε ότι: ) Οι παραπάνω νόρμες είναι μεταξύ τους ισοδύναμες. Πράγματι, έστω <+, τότε ( x, ) ( x, ) 0. Αν =, τότε ( x, ) ( x, ) x x + 0 x x 0 και ( x x ) max, 0 x x 0 και 0. Παρατηρούμε ότι οι, επάγουν την τοπολογία γινόμενο στον χώρο. 2) Αν οι (, ) και (, ) είναι χώροι Baach τότε ο με την ( ) είναι επίσης χώρος Baach. Πράγματι, έστω ως προς την m N 0 νόρμα. Αν ε > 0 τότε υπάρχει N 0 N ώστε > ( x, ) ( xm, m) = x xm + m < ε. Συνεπώς, αν > m N0 τότε x xm < ε και m ε νόρμα x,,, ακολουθία Cauch <, δηλαδή οι ( x ) και ( ) είναι ακολουθίες Cauch στους και αντίστοιχα, άρα συγκλίνουσες, έστω x και. Είναι τότε σαφές από την προηγούμενη παρατήρηση ότι ( x, ) x, Ο χώρος. με την νόρμα ( ) συμβολίζεται με ( γενικεύονται με τον προφανή τρόπο και για μια πεπερασμένη ακολουθία (, ),..., (, ) χώρων με νόρμα και ο χώρος... με την ) x. Τα παραπάνω νόρμα
2 ονομάζεται το ευθύ άθροισμα των χώρων,..., στην ή με (... ) =. και συμβολίζεται με Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες έννοιες από την Γραμμική Άλγεβρα. Ένας διανυσματικός χώρος λέγεται ότι είναι το αλγεβρικό ευθύ άθροισμα των υποχώρων και αν = { 0} και + =. Ισοδύναμα αν κάθε x γράφεται μοναδικά ως x= + z με και z στον και αυτό το δηλώνουμε γράφοντας. Οι και λέγονται τότε αλγεβρικά συμπληρωματικοί =. Αν ο είναι ( διανυσματικός ) υποχώρος του, μια γραμμική απεικόνιση P : λέγεται προβολή του επί του, αν P P, = και P( ) =,. Δηλαδή, αν = και P P( x) = P x x. Παρατηρούμε ότι αν θέσωμε = KerP τότε θα έχομε, =. Αντίστροφα, έστω ότι για ένα διανυσματικό χώρο και για τους υποχώρους του και ισχύει ότι =, δηλαδή ο είναι το αλγεβρικό ευθύ άθροισμα των και. Έπεται τότε εύκολα ότι οι απεικονίσεις P : και P : 2 ώστε P ( x ) = x και P2 x = x2, όπου x και x= x + x2 με x και x2 είναι προβολές του στους και αντίστοιχα, ώστε KerP = και KerP2 =. Σημειώνουμε ότι, αν ο είναι διανυσματικός χώρος και ο διανυσματικός υποχώρος του τότε υπάρχει διανυσματικός υποχώρος του ώστε =.( Ο δεν είναι βέβαια μοναδικός ). Για να το αποδείξετε θεωρείστε μια βάση Hamel του και επεκτείνετέ την με το Λήμμα του or σε μια βάση Hamel του. Εμείς ενδιαφερόμαστε βέβαια για χώρους με νόρμα (, ) P :. Πρόταση 2. Έστω (, ) χώρος με νόρμα και P : και για φραγμένες προβολές προβολή με P = και = KerP, άρα =. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Η P είναι φραγμένη προβολή. (ιι) Η «φυσιολογική» απεικόνιση, Φ :(, ) x x+ είναι ομοιομορφισμός. Απόδειξη Παρατηρούμε ότι η Φ είναι γραμμική και βέβαια επί του ( αλγεβρικός ισομορφισμός ). Επίσης η Φ είναι συνεχής αφού είναι ο περιορισμός της πρόσθεσης + : στον υποχώρο του.(ο θεωρείται βεβαίως με την τοπολογία γινόμενο, η οποία όπως είδαμε επάγεται από τις νόρμες ).
3 (ι) (ιι) Εφόσον η προβολή P : είναι φραγμένη, δηλαδή συνεχής, τότε και η προβολή Q : : Q( x) = x P( x) είναι συνεχής ( Q I P) αντίστροφη της Φ, δηλαδή η απεικόνιση, F x = P x, Q x, x, είναι συνεχής Έπεται προφανώς ότι η Φ είναι ομοιομορφισμός. F : =Φ ώστε =. Έπεται ότι και η (ιι) (ι) Αν η Φ είναι ομοιομορφισμός τότε ( και μόνο τότε ) η F =Φ : είναι συνεχής και κατά συνέπεια οι P και Q είναι συνεχείς απεικονίσεις, αφού F x = P x, Q x, x. Ορισμός 2.2 Έστω χώρος με νόρμα. Ένας διανυσματικός υποχώρος του λέγεται ( τοπολογικά ) συμπληρωματικός στον, αν υπάρχει φραγμένη προβολή P : P =. x με Παράδειγμα 2.2 Έστω, χώροι με νόρμα και. Τότε κάθε ένας από τους και είναι (προφανώς) συμπληρωματικός υποχώρος του χώρου = ( ). ( Παρατηρούμε ότι η προβολή : : (, ) P P z =, ταυτίζεται ουσιαστικά με την κανονική απεικόνιση π : / και επομένως / ( τοπολογικός ισομορφισμός)) Παρατηρούμε ότι όπως έπεται από την πρόταση 2. ο είναι συμπληρωματικός στον, ακριβώς τότε αν η φυσιολογική απεικόνιση Φ : : Φ (, ) ομοιομορφισμός, όπου = KerP. x = x+ είναι Επίσης σημειώνουμε ότι στην περίπτωση αυτή και ο είναι συμπληρωματικός στον ( αφού Q =, όπου Q είναι η φραγμένη προβολή Q= I P) και ακόμη ότι οι και είναι αναγκαία κλειστοί υποχώροι του ( γιατί;). Ένα αλγεβρικό ευθύ άθροισμα = με την απεικόνιση Φ συνεχή ( ισοδύναμα με τις Pκαι Q φραγμένες) θα ονομάζεται τοπολογικό ευθύ άθροισμα των και. Σημειώνουμε ότι ένα αλγεβρικό ευθύ άθροισμα = με τους και κλειστούς υποχώρους του δεν είναι αναγκαία και τοπολογικό ( πρβλ. άσκηση 3). Αν όμως ο είναι χώρος Baach αυτό ισχύει, όπως θα αποδείξουμε ευθύς αμέσως. Το αποτέλεσμα αυτό είναι μια ωραία εφαρμογή του θεωρήματος του κλειστού γραφήματος. Θεώρημα 2.3 Έστω χώρος Baach και κλειστός υποχώρος του. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Ο είναι ( τοπολογικά ) συμπληρωματικός υποχώρος του.
4 (ιι) Υπάρχει κλειστός υποχώρος του ώστε = + ). Απόδειξη (ι) (ιι) Έστω P : = ( δηλαδή = { 0} φραγμένη προβολή με P και =. Θέτομε = KerPτότε ( όπως ήδη έχουμε παρατηρήσει ) = και επειδή P συνεχής ο ({ 0} ) = P είναι κλειστός υποχώρος του. (ιι) (ι) Έστω =, όπου, είναι κλειστοί υπόχωροι του. Όπως γνωρίζουμε ο τελεστής : : προβολή με P P P x = όπου x= + z με και z είναι γραμμική = και = KerP, θα αποδείξουμε ότι η P είναι και φραγμένη. Όμως επειδή ο είναι χώρος Baach αρκεί, από το θεώρημα κλειστού γραφήματος, να αποδείξουμε ότι η P έχει κλειστό γράφημα. Έστω P {(, ) : } της P. Θεωρούμε μια ακολουθία ( x, ), στοιχείων του G P και (, ) ώστε( x, ) ( x, ) x και P( x ). Τότε βέβαια x κλειστός στον έπεται ότι και άρα P( ) =. Παρατηρούμε ότι ( ) G = x P x x το γράφημα x =. Επειδή ο είναι ( ) = = P( x ) P( x ) 0, P x P x P x P x P P x = =. Έπεται ότι, x KerP=, και επειδή ο είναι κλειστός στον, θα έχουμε ότι x, αφού x x. Συνεπώς, 0 πλήρης. P x = P x = P = και η απόδειξη του θεωρήματος είναι Στη συνέχεια θα εξετάσουμε κάποιες συνέπειες του θεωρήματος 2.3. Πρόταση 2.4 Έστω χώρος Baach και κλειστός υποχώρος του πεπερασμένης συνδιάστασης. Τότε κάθε αλγεβρικό συμπλήρωμα του είναι και τοπολογικό συμπλήρωμα του. Ειδικότερα ο είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του. Απόδειξη Έστω ένα αλγεβρικό συμπλήρωμα του, δηλαδή =. Από την υπόθεσή μας ο είναι πεπερασμένης διάστασης και επομένως κλειστός υπόχωρος του. Από το προηγούμενο θεώρημα έπεται το συμπέρασμα. Παρατήρηση 2.5 Έστω χώρος με νόρμα άπειρης διάστασης και ένας (διανυσματικός ) υπόχωρος του πεπερασμένης συνδιάστασης, τότε ο δεν είναι αναγκαία κλειστός. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό συναρτησοειδές Λ : K που δεν είναι φραγμένο ( επειδή ο έχει άπειρη διάσταση, υπάρχει πάντοτε ένα τέτοιο συναρτησοειδές). Τότε το υπερεπίπεδο = KerΛ είναι ( ως γνωστόν) ένα πυκνό υποσύνολο του. Επομένως η υπόθεση ότι ο είναι κλειστός στην προηγούμενη πρόταση είναι αναγκαία.
5 Πρόταση 2.6 Έστω ένας χώρος Baach και ένας πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του. Τότε ο είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του Απόδειξη Ο είναι βέβαια κλειστός στον αφού έχει πεπερασμένη διάσταση. Έστω dim = και {,..., } μια αλγεβρική βάση του ( μια βάση Hamel ). Για κάθε =, 2,...,, θεωρούμε το γραμμικό συναρτησοειδές, Λ : K : Λ λ j j = λ j= και παρατηρούμε ότι, εφόσον ο έχει πεπερασμένη διάσταση, το Λ είναι φραγμένο συναρτησοειδές. Από το θεώρημα Hah-Baach υπάρχει F : K φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές ώστε F =Λ, =, 2,...,. Θέτομε, = KerF. Ο είναι κλειστός υπόχωρος του θα αποδείξουμε ότι =. Καταρχήν παρατηρούμε ότι, { 0} =. Πράγματι, έστω ω, εφόσον = ω θα έχουμε ότι, κάποια λ,..., λ K. Από την άλλη μεριά επειδή ω θα έχουμε ότι για κάθε ω = λ j j, για j= =,2,...,, 0 = F ω = Λ ω = λ, και συνεπώς ω= 0. Έστω τώρα x. Θέτομε j j και παρατηρούμε ότι x = F x j= έχουμε ότι F x F x F. Πράγματι, για κάθε =, 2,..., = = F ( x) Fj( x) F ( j) = F ( x) Fj( x) ( j) 0 F x F x Έπεται ότι, =, δ j j j= (,, j ) Λ =. = Λ = x KerF, =,2,... x KerF =. Έτσι καταλήγουμε στο ότι, = με τους, να είναι κλειστοί υπόχωροι του και συνεπώς από το θεώρημα 2.3 ο είναι συμπληρωματικός στον. Σημείωση Η υπόθεση ότι ο είναι χώρος Baach στα προηγούμενα δύο αποτελέσματα δεν είναι απαραίτητη ( αφήνεται ως άσκηση ). Παρατηρήσεις 2.7 ) Έστω απειροδιάστατος χώρος Baach. Ένας απειροδιάστατος κλειστός υπόχωρος του δεν είναι αναγκαία συμπληρωματικός στον, δηλαδή, δεν υπάρχει πάντοτε ένας κλειστός υπόχωρος του ώστε =.( Βέβαια ο έχει πάντοτε ένα αλγεβρικό συμπλήρωμα ). Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το ζεύγος = c0 και =l ( θεώρημα Phillis, πρβλ το θεώρημα 5.5 του βιβλίου [F-H-H-M-P-]). Σημειώνουμε ότι ο χώρος c 0 είναι συμπληρωματικός σε οποιονδήποτε διαχωρίσιμο χώρο Baach εμφυτεύεται ισομορφικά ( θεώρημα Sobcz, πρβλ το θεώρημα 5.4 του ίδιου βιβλίου ). j=
6 2) Υπενθυμίζουμε ότι αν H είναι ένας χώρος Hilbert και F κλειστός υπόχωρος του H τότε το ορθογώνιο συμπλήρωμα F του F ( F = { x H : x, F} ) είναι ένας κλειστός υπόχωρος του H που είναι τοπολογικό συμπλήρωμα του F, δηλαδή, H = F F. Σημειώνουμε ακόμη ότι η ορθογώνια προβολή P : H H με P( H) = F και KerP = F έχει νόρμα ίση με το ένα ( P = ). Σημειώνουμε ότι, αν ένας χώρος Baach έχει την ιδιότητα ότι κάθε κλειστός υπόχωρος του είναι συμπληρωματικός στον τότε ο είναι ισομορφικός με ένα χώρο Hilbert. ( Θεώρημα των Lidestrauss και Tzatriri, πρβλ το θεώρημα 5.7) 3) Οι κλασικοί χώροι Baach l, <+, 0 c και [ 0,] C έχουν πολλούς απειροδιάστατους συμπληρωματικούς υποχώρους. Για παράδειγμα αν = l, <+ ή = c0, τότε κάθε απειροδιάστατος κλειστός υπόχωρος του περιέχει ένα κλειστό υπόχωρο συμπληρωματικό στον και ισομορφικό με τον. [πρβλ. [L-T] ή [F-H-H-M-P-] θεώρημα 6.23 και 6.24). Παρόλα αυτά υπάρχουν απειροδιάστατοι χώροι Baach που δεν είναι διασπάσιμοι, δηλαδή δεν υπάρχει ένα ζεύγος απειροδιάστατων κλειστών υποχώρων και του ώστε =. Περαιτέρω υπάρχουν απειροδιάστατοι χώροι Baach που έχουν την ιδιότητα αυτή κληρονομικά, δηλαδή κάθε απειροδιάστατος κλειστός υποχώρος τους είναι μη διασπάσιμος ( Gowers-Maure 992, πρβλ το [F-H-H-M-P-] και την βιβλιογραφία που παρατίθεται εκεί). Είναι σαφές ότι οι χώροι αυτού του είδους βρίσκονται στον αντίποδα των χώρων Hilbert. 4) Για μια άλλη απόδειξη της πρότασης 2.6 δες και το παράρτημα. Ασκήσεις ) Έστω, κλειστοί υπόχωροι του χώρου Baach. Αν οι και είναι ισομορφικοί, είναι οι / και / ισομορφικοί; { 2 3 } { 3 4 } [ Υπόδειξη Όχι. Εξετάστε τους υποχώρους = ( 0, x, x,...) και = ( 0,0, x, x...) του =l 2.] x Λ c R Λ x = x= x c. Αποδείξτε ότι: 2) Έστω : :, 0 0 = 2 (α) Λ φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές με Λ = και 0 Λ x <, x c, x. (β) Έστω H = KerΛ. Αν a c0 H τότε d a, H < a, H.
7 [ Υπόδειξη Για τον ισχυρισμό (β), θεωρούμε το Φ : c0 / H R : Φ x+ H =Λ x, x c0. Επειδή c0 συναρτησοειδές a a H και λ = d( a, H) τότε Φ + H = Φ =.]. λ 3) Έστω N { } = l ο χώρος Hilbert. Θέτομε = e2 : 0, 2 0 = e + + e : 0 και E = +. Αποδείξτε ότι: 2+ 2 (α) = { 0} και συνεπώς E= (αλγεβρικό ευθύ άθροισμα ). (β) Ο E είναι πυκνός υπόχωρος του και E (γ) Η προβολή : :. P E P + z = δεν είναι φραγμένη. dim / H =, αν [Υπόδειξη Το σύνολο b = e2 + e2+ : 0 είναι ορθογώνιο και άρα το + b b 2 : b e2 E. ] = ορθοκανονικό. Επίσης το σημείο ( ) 4) Έστω T : ένας φραγμένος γραμμικός τελεστής μεταξύ των χώρων με νόρμα, ο οποίος είναι. Αποδείξτε ότι ο T είναι ισομετρία επι του αν και μόνο αν T Β =Β, αν και μόνο αν T( S ) = S,αν και μόνο αν 5) Έστω χώρος με νόρμα και P : T Β =Β. φραγμένη προβολή, τότε P. 6) Έστω χώρος με νόρμα, αποδείξτε ότι ο είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του. P : : f P f = f. Η προβολή αυτή ονομάζεται και [ Υπόδειξη Ορίζουμε προβολή του Dixmier]. 7) Έστω χώρος με νόρμα και υπόχωρος του. Αποδείξτε ότι: α) Αν ο είναι κλειστός στον και έχει πεπερασμένη συνδιάσταση στον τότε είναι συμπληρωματικός στον. (β) Αν ο έχει πεπερασμένη διάσταση τότε είναι συμπληρωματικός στον. [ Υπόδειξη. (α) Αν είναι ένα αλγεβρικό συμπλήρωμα του ως προς τον τότε είναι πεπερασμένης διάστασης και άρα κλειστός υπόχωρος του. Έστω P : η προβολή του επί του. Παρατηρούμε ότι P= j π, όπου π : / η
8 κανονική απεικόνιση και j : / : j( x ) P( x) + =. Η απεικόνιση j είναι ένας αλγεβρικός ισομορφισμός ο οποίος είναι ( άρα) και ομοιομορφισμός. Για την απόδειξη του ισχυρισμού (β), χρησιμοποιείστε τον (α)]. 8) Έστω χώρος Baach και, κλειστοί ( μη τετριμμένοι ) υπόχωροι του ώστε { 0}. Θέτομε d d( S, S ) = =. Αποδείξτε ότι ο διανυσματικός υπόχωρος E = + του είναι κλειστός στον αν και μόνο αν d > 0. [ Υπόδειξη Έστω ότι ο E είναι κλειστός στον. Τότε ο είναι συμπληρωματικός στον χώρο Baach E και συνεπώς υπάρχει μια φραγμένη προβολή, P : E E. Αν S και z S, τότε = = P( z) P z 0< d. P Υποθέτομε τώρα ότι ο E δεν είναι κλειστός στον. Έπεται τότε ότι δεν υπάρχει c> 0 ώστε c z,, z.( Πράγματι, αν υπήρχε τέτοια σταθερά τότε η προβολή P : E θα ήταν φραγμένη, ισοδύναμα η απεικόνιση Φ : E, ( z) (, z) Φ + = θα ήταν ομοιομορφισμός και κατά συνέπεια ο E θα ήταν χώρος Baach, αφού ο είναι χώρος Baach, το οποίο αντιφάσκει με την υπόθεσή μας. ) Ισοδύναμα, δεν υπάρχει c> 0 ώστε = c z, z, με =. Συνεπώς, με z και ακόμη ότι + 0.] z = και z ώστε + z. Έπεται ότι, z 9) Έστω χώρος με νόρμα και γνήσιος κλειστός υπόχωρος του. Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) x : x d( x, ) =. (β) Αν π : / είναι η κανονική απεικόνιση τότε π Β =Β /. 0) Έστω χώρος Baach και, κλειστοί υπόχωροι του ώστε = ( τοπολογικό ευθύ άθροισμα ). (α) Αποδείξτε ότι, / και / (τοπολογικοί ισομορφισμοί) και (β) Ισχύει το αποτέλεσμα χωρίς την υπόθεση ότι ο είναι χώρος Baach;
9 [ Υπόδειξη για το (β) Ναι, εφόσον η απεικόνιση j j( x ) P ( x) ομοιομορφισμός]. : / : + = είναι