ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και Γεωδαιτικά Δίκτυα (6Θ) Κωδικός Μαθήματος 5 Σημειώσεις Θεωρίας ΣΤ Εξάμηνο Ακαδημαϊκό έτος 4 5 GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Γενίκευση της Μεθόδου των Εξισώσεων Παρατηρήσεων για Παρατηρήσεις Άλλων Μεγεθών GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων Προκειμένου να υπολογίσουμε συνορθωμένες τιμές για τις άγνωστες παραμέτρους, πρέπει το σύστημα που προκύπτει για επίλυση να έχει τη γενική μορφή ενός γραμμικού συστήματος, δηλαδή b A + v F( ) Επομένως θα πρέπει να υπάρχει μια γραμμική σχέση η οποία θα συνδέει τις παρατηρήσεις b με τους αγνώστους του προβλήματος Σε περίπτωση που η σχέση αυτή δεν είναι γραμμική θα πρέπει να προχωρήσουμε στη γραμμικοποίησή της με κάποια μέθοδο (π.χ. γραμμικοποίηση κατά Tlr) GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων Οι παρατηρήσεις στην τοπογραφία μπορεί να είναι αζιμούθια, διευθύνσεις, γωνίες, αποστάσεις, υψομετρικές διαφορές ω 3 3 3 α ω ω rct rct δ δ θ rct θ rct 3 3 s + ( ) ( ) GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων ΒΑΣΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ S + + z z ( ) ( ) ( ) rs s r s r s r GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων ρ rs ( t ) ( ) ( ) k prs tk + c dt dt + dtrp + d + εp ρ rs ( s r ) + ( s r ) + ( zs zr ) + c( dt dt) + dtrp + d + εp ρ rs ( s r ) + ( s r ) + ( zs zr ) + c( dt dt) + εp Γραμμικοποίηση κατά Tlr GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων ρ rs ρ rs s ρ r r dx r s ρ r r dy r z s ρ r z r dz r cdt ρ rs ρ rs s ρ r r dx r s ρ r r dy r z s ρ r z r dz r cdt Τέσσερεις άγνωστοι οι dx r dy r dz r dt GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων A Πίνακας σχεδιασμού για - παρατηρήσεις και m- αγνώστους ( ) f ( ) m-άγνωστοι m m m -παρατηρήσεις m j f j GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων Άν οι άγνωστοι είναι οι συντεταγμένες των σημείων, και 3 και έχουν γίνει παρατηρήσεις των α α ω A s s δ δ δ 3 3 3 3 3 α, α, ω, s, s, δ, δ, δ, θ, θ, θ 3 3 3 3 3 3 θ θ θ 3 3 3 α α α α α α α α α θ θ θ 3 3 3 ω ω ω ω ω ω ω ω ω θ θ θ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ α α s s, α rct α α s s, α α, 3 3 3 3 3 3 GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ δ δ s s, δ δ θ rct θ δ δ s s, α θ θ θ GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ω ω ω rct rct 3 3 3 3 ω ω s s s s 3 3 3 3, 3 3 ω ω s s 3 3, ω ω 3 3 3 3, 3 3 3 3 s s 3 3 3 3 ω θ 3 θ θ GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ s + ( ) ( ) s s s s, s s s s, s s s θ θ θ 3 3 3 3 3 3 3 GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 ) F( v A b + Άγνωστες αληθείς και προσεγγιστικές άγνωστες παράμετροι m 3 m 3 α α α α α m 3 α α α α α m 3 Βέλτιστες διορθώσεις προσεγγιστικών τιμών και βέλτιστες εκτιμήσεις αγνώστων παραμέτρων Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων

GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 α α α α α 3 3 b b b b b 3 α α α α α 3 Άγνωστες αληθείς και προσεγγιστικές παρατηρούμενες παράμετροι Διάνυσμα παρατηρήσεων και βέλτιστες εκτιμήσεις παρατηρούμενων παραμέτρων Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων

GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 σ σ σ σ 3 C V σ σ σ σ 3 C V P Πίνακας βαρών παρατηρήσεων Πίνακας μεταβλητοτήτων/συμμεταβλητοτήτων παρατηρήσεων Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων Πίνακας ανοιγμένων παρατηρήσεων b b b b b b 3 3 3 3 b b b b GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων A Πίνακας σχεδιασμού για - παρατηρήσεις και m- αγνώστους ( ) f ( ) m-άγνωστοι m m m -παρατηρήσεις m j f j GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 ( ) v A A b v Pb, A PA A Pb A u PA, A N u, N b T T T T, + + Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων

GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 f m T T Pv v Pv v C P + σ σ σ σ Πίνακας βαρών, ακρίβειες των παρατηρήσεων Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων

Συνόρθωση με το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων C m m N ( T ) A PA Πίνακας μεταβλητοτήτων/συμμεταβλητοτήτων αγνώστων παρατηρήσεων C σ GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 σ σ.. σ

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας σε σημεία GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας +b GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας Έστω ότι έχουμε μετρήσει συντεταγμένες και διακεκριμένων σημείων πάνω σε ένα σχέδιο, τα οποία θεωρούμε ότι αποτελούν σημεία μια ευθείας με εξίσωση +b Αν ο αριθμός των διακεκριμένων σημείων, όπου και,,,,,, οι συντεταγμένες τους, θεωρητικά θα έπρεπε κάθε σημείο να ικανοποιεί πλήρως την εξίσωση ευθείας, κάτι τέτοιο όμως δεν συμβαίνει εξαιτίας σφαλμάτων που υπεισέρχονται στις μετρήσεις, με αποτέλεσμα αντί για ευθεία γραμμή να έχουμε μια τεθλασμένη γραμμή. GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας Επειδή λοιπόν λόγω σφαλμάτων δεν μπορούμε να υλοποιήσουμε την ευθεία που μας ζητείται, θα πρέπει να βρεθεί εκείνη η εξίσωση ευθείας που προσαρμόζεται καλύτερα στο σύνολο των παραπάνω σημείων. Βασιζόμενοι στην απαίτηση της βέλτιστης προσαρμογής οι τιμές των συντελεστών και b της εξίσωσης μπορούν να προκύψουν από την εφαρμογή του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων. Το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων για την βέλτιστη προσαρμογή μιας συνάρτησης f() είναι : GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας φ [ f( )] m Και για την εξίσωση ευθείας γίνεται [ ( +b) ] m Για να πάρουμε την λύση που ελαχιστοποιεί την παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να μηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι ως προς παραμέτρους και b της ευθείας, δηλαδή GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ϕ ϕ b [ ( + b) ] [ ( + b) ] και b είναι οι άγνωστες παράμετροι που θέλουμε να προσιορίσουμε και (, ) οι παρατηρήσεις που έχουμε διαθέσιμες από ταχυμετρία. GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

[ ] ( +b) [ ] ( +b) Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας b b + + GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Με λύση ως προς τακαιbέχουμε Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας â b GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας + b GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας Παράδειγμα Σημείο X 69.4965 3.678 9.999 64.676 3 6.8797 75.38 4.578.856 GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας Παράδειγμα Σημείο X 69.4965 3.678 9.999 64.676 3 6.8797 75.38 4.578.856 Οι τύποι που μας δίνουν τους συντελεστές και b της εξίσωσης της ευθείας είναι GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας Παράδειγμα b GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας Παράδειγμα 57.839 67.4897 9553.8864 38.575 GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας Παράδειγμα 4 38.575 57.839 4 9553.8864 67.4897 ( 57.839 ).4866397 b 67.4897 9553.8864 4 9553.8864 57.839 ( 57.839 ) 38.575 99.45. 4866397 + 99. 45 GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων Ακολουθώντας την μεθοδολογία συνόρθωσης με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων. Για την επίλυση θα θεωρήσουμε απόλυτα γνωστές ποσότητες τις και συνεπώς τα σφάλματα θα συμπεριληφθούν όλα στη παράμετρο. H εξίσωση της ευθείας θα είναι : +b GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων Ακολουθώντας την μεθοδολογία συνόρθωσης με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων. Για την επίλυση θα θεωρήσουμε απόλυτα γνωστές ποσότητες τις και συνεπώς τα σφάλματα θα συμπεριληφθούν όλα στη παράμετρο. H εξίσωση της ευθείας θα είναι : +b H εξίσωση είναι εξ αρχής γραμμική και συνεπώς δεν απαιτείται γραμμικοποίηση κατά Tlr. Kατά συνέπεια δεν απαιτούνται προσεγγιστικές τιμές ούτε για τις άγνωστες ποσότητες αλλά ούτε και τις παρατηρούμενες ποσότητες. Το γραμμικό σύστημα των εξισώσεων έχει την μορφή GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων + b + b + b v A b +

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων A[ ] b[ ] [â b] GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων A[ ] b[ ] [â b] Αν οι παρατηρήσεις θεωρηθούν ασυσχέτιστες και ισοβαρείς με ακρίβεια σ, τότε ο πίνακας βάρους P είναι ο μοναδιαίος πίνακας PI GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων N u N T u A T b A A ( ) ( ) A T A A T b GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων ( ) ( ) b A A A T T A A T T b A

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων ( ) ( ) A T A A T b N (A T A) ( )[ ] N u ( )[ ] [ ] GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας ΜΕ Παρατηρήσεων ( )[ + ] [â b] ( ( ) ) GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Αξιολόγηση της Ποιότητας των Οριζοντίων και Κατακόρυφων δικτύων GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Ποιότητα Τοπογραφικών Δικτύων Οι έννοια της ποιότητας των τοπογραφικών δικτύων έχει διττή υπόσταση. Αποτελείται δηλαδή από δύο συνιστώσες, την αξιοπιστία και την ακρίβεια Η έννοια της αξιοπιστίας συνδέεται με την υπόθεση ότι τα σφάλματα των παρατηρήσεων είναι τυχαία, δηλαδή ότι δεν υπάρχουν χονδροειδή ή συστηματικά σφάλματα στις παρατηρήσεις. Οπότε η αξιοπιστία συνδέεται με τον έλεγχο των παρατηρήσεων για την ύπαρξη χονδροειδών ή/και συστηματικών σφαλμάτων Προκειμένου να ανειχνευτούν σφάλματα τέτοιας φύσης, εφαρμόζονται στατιστικές μέθοδοι τόσο κατά τη μέτρηση και προεπεξεργασία των παρατηρήσεων αλλά κατά βάση κατά τη συνόρθωση του δικτύου Κατά τη μέτρηση ή/και προεπεξεργασία των παρατηρήσεων εφαρμόζεται η συνόρθωση σταθμού, ο έλεγχος των σφαλμάτων κλεισίματος (όδευσης, χωροστάθμησης, γωνιομέτρησης, κ.λπ.) η πολλαπλή μέτρηση μίας απόστασης, κ.λπ. GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Ποιότητα Τοπογραφικών Δικτύων Στη φάση της συνόρθωσης, και κατά τη διάρκεια ελέγχου των μετρήσεων για χονδροειδή ή/και συστηματικά σφάλματα, μπορεί κάποιες παρατηρήσεις που είχαν περάσει τους προηγούμενους ελέγχους (κατά την εφαρμογή των αλγορίθμων στις φάσεις της μέτρησης/προεπεξεργασίας), να απορρίπτονται Αυτό μπορεί να συμβαίνει για πολλούς λόγους μεταξύ των οποίων περιλαμβάνονται:. Σφάλματα στις μετρήσεις των διευθύνσεων και γωνιών που δεν μπορούν να ανιχνευθούν κατά τα προηγούμενα στάδια ελέγχου (π.χ. σφάλμα κέντρωσης, οριζοντίωσης, κ.λπ.). Σφάλμα στις μετρήσεις των αποστάσεων που δεν μπορούν να ανιχνευθούν κατά τις επαναληπτικές μετρήσεις της εν λόγω απόστασης (π.χ. ατμοσφαιρικές επιδράσεις, σφάλμα κλίμακας οργάνου, σφάλμα αναγωγής της κεκλιμένης απόστασης σε οριζόντια) GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Ποιότητα Τοπογραφικών Δικτύων. Σφάλματα που δεν εντοπίζονται κατα τη συνόρθωση κάθε σταθμού ξεχωριστά αλλά κατά τη συνόρθωση του συνολικού δικτύου λόγω της καλύτερης εσωτερικής αξιοπιστίας. Σφάλματα/λάθη που μπορεί να γίνουν κατά την εισαγωγή των παρατηρήσεων σε κάποιον Η/Υ από αναγραμματισμό, κ.λπ. Είναι επομένως ανάγκη, πέρα από τους ελέγχους κατά την προεπεξεργασία των παρατηρήσεων, να γίνονται και στατιστικοί έλεγχοι των αποτελεσμάτων της συνόρθωσης Ένας αρχικός έλεγχος γίνεται με τη βοήθεια του στατιστικού ελέγχου της μεταβλητότητας αναφοράς. Ελέγχεται δηλαδή η μηδενική υπόθεση Η ο : σ σ ο έναντι της εναλακτικής υπόθεσης Η : σ σ ο. Επίσης μπορεί να ελεγχθεί η μηδενική υπόθεση Η ο : σ σ ο έναντι των υποθέσεων Η : σ <σ ο και Η : σ >σ ο. Στα οριζόντια και κατακότυφα δίκτυα μπορεί να θεωρηθεί ότι σ ο. GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Ποιότητα Τοπογραφικών Δικτύων Η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης Η ο : σ σ ο και η ιχύς της Η : σ <σ ο μπορεί να οφείλεται σε λανθασμένη επιλογή του πίνακα βάρους P των παρατηρήσεων. Η ισχύς της Η : σ >σ ο μπορεί να οφείλεται σε λανθασμένη επιλογή του πίνακα βάρους P των παρατηρήσεων ή/και στην ύπαρξη χονδροειδών σφαλμάτων Ας θεωρήσουμε ότι κάνουμε μέτρηση μιας απόστασης ανάμεσα σε ένα γνωστό σημείο και ένα άγνωστο. Τότε ΑΚΡΙΒΕΙΑ: Δηλώνει πόσο «συγκεντρωμένες» είναι οι παρατηρήσεις, δηλαδή πόσο κοντά είναι οι παρατηρήσεις η μία στην άλλη ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ: Δηλώνει πόσο κοντά είναι οι παρατηρήσεις που πραγματοποιούμε στην πραγματική τιμή της απόστασης GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Ποιότητα Τοπογραφικών Δικτύων Καλή ακρίβεια, κακή αξιοπιστία Κακή ακρίβεια, κακή αξιοπιστία Κακή ακρίβεια, καλή αξιοπιστία Καλή ακρίβεια, καλή αξιοπιστία GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Η Εκτίμηση της Ακρίβειας Ο πίνακας μεταβλητοτήτων/συμμεταβλητοτήτων των εκτιμήσεων των αγνώστων παραμέτρων (βέλτιστες εκτιμήσεις των διορθώσεων των προσεγγιστικών τιμών), όπως είδαμε είναι ο C σ σ σ.. σ όπου είναι οι άγνωστες παράμετροι GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Άς υποθέσουμε ότι οι άγνωστες παράμετροι είναι οι συντεταγμένες κορυφών ενός δικτύου(, ) τότε ο πίνακας των ακριβειών θα έχει τη μορφή μεταβλητότητες συμμεταβλητότητες C Η Εκτίμηση της Ακρίβειας σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Η Εκτίμηση της Ακρίβειας Απόλυτη Έλλειψη Σφάλματος Σε κάθε κορυφήp του δικτύου αντιστοιχεί ο υποπίνακας C σ σ σ από τα στοιχεία του οποίου υπολογίζονται οι παράμετροι των απόλυτων ελλείψεων σφάλματος, δηλαδή ο μεγάλος () και ο μικρός (b) ημιάξονας της έλλειψης και ο προσανατολισμός της (ψ) GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5 σ σ σ + σ + σ σ + σ 4 ( ) m b σ σ + σ σ σ + σ 4 σ rct ψ σ σ ( ) m

Η Εκτίμηση της Ακρίβειας Απόλυτη Έλλειψη Σφάλματος Η απόλυτη έλλειψη σφάλματος κεντρώνεται στην κορυφή του δικτύου στην οποία αναφέρεται και δείχνει την ακρίβεια με την οποία βρίσκεται η κορυφή του δικτύου στο σημείο/περιοχή την οποία περιγράφει η έλλειψη σφάλματος Για παράδειγμα άν.5 cm, b. cm και c5 grd τότε ψ b GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Η Εκτίμηση της Ακρίβειας Απόλυτη Έλλειψη Σφάλματος Το μειονέκτημα των απόλυτων ελλείψεων σφάλματος έγκειται στο ότι αναφέρονται στην ακρίβεια με την οποία προσδιορίζεται μια μόνο κοτυφή του δικτύου, και μας δίνει την ακρίβεια με την οποία προσδιορίζεται η θέση της Δεν λαμβάνει όμως υπόψη τις συμμεταβλητότητες μεταξύ των διαφόρων κορυφών, δηλαδή το πώς επηρεάζεται η ακρίβεια προσδιορισμού μίας κορυφής από την άλλη Αυτό επιτυγχάνεται με τις σχετικές ελλείψεις σφάλματος που αναφέρονται σε δύο κορυφές του δικτύου και εκφράζει την εκτίμηση της ακρίβειας της θέσης μιας κορυφής σε σχέση με την άλλη Στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα πίνακα ακριβειών C σ σ σ σ GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Η Εκτίμηση της Ακρίβειας Απόλυτη Έλλειψη Σφάλματος C σ σ j σ σ j σ σ + σ σ j j σ σ + σ σ j j σ σ + σ σ σ j j j j GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Η Εκτίμηση της Ακρίβειας Σχετική Έλλειψη Σφάλματος Οι παράμετροι της σχετικής έλλειψης σφάλματος υπολογίζονται από τις προηγούμενες σχέσεις με τις προφανείς αντικαταστάσεις των,, με Δ, Δ, ΔΔ, δηλαδή b σ ( ) m σ σ σ σ σ + + + 4 σ ( ) m σ σ σ σ σ + + 4 ψ σ rct σ σ GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5

Η Εκτίμηση της Ακρίβειας Σχετική Έλλειψη Σφάλματος Η σχετική έλλειψη σφάλματος κεντρώνεται στο μέσο της απόστασης μεταξύ των δύο κορυφών του διτκύου Για παράδειγμα άν.5 cm, b. cm και c5 grd τότε P j ψ b P GPS-6(Θ) Γ.Σ. Βέργος 4-5