Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

ΤΕΙ Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ Κρήτης Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά 1 (1 + ) n PV = A Σημειώσεις Διδασκαλίας Ακαδημαϊκό Έτος 2016-17 Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών

Περιεχόμενα ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ... 4 ΓΕΝΙΚΑ... 5 I. Μερισμός... 5 II. Η χρονική αξία του χρήματος... 11 1. ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ... 12 1.1 Επίλυση προβλημάτων απλού τόκου με τοκάριθμους και σταθερούς διαιρέτες... 18 1.2 Επίλυση προβλημάτων απλού τόκου με ανάλυση κεφαλαίου... 20 2. ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ (ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ) ΣΕ ΔΙΑΤΑΓΗ... 22 2.1 Βασικοί τύποι προεξόφλησης γραμματίων... 22 3. ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ (ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ) ΣΕ ΔΙΑΤΑΓΗ... 32 3.1 Χρήσιμοι τύποι επίλυσης προβλημάτων αντικατάστασης γραμματίων.... 32 4. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ... 41 4.1. Υπολογισμός της τελικής αξίας, όταν η χρονική δίνεται σε ακέραιο αριθμό περιόδων: 41 4.2. Υπολογισμός της τελικής αξίας, όταν η χρονική δίνεται σε κλασματικό αριθμό περιόδων:... 42 4.3. Προεξόφληση στον Ανατοκισμό... 47 4.4. Ισοδυναμία στον Ανατοκισμό... 49 4.4.1 Χρήσιμοι τύποι επίλυσης προβλημάτων αντικατάστασης γραμματίων στον ανατοκισμό.... 49 5. ΡΑΝΤΕΣ... 53 5.1. Μέλλουσα ή τελική αξία ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας... 54 5.2. Μέλλουσα ή τελική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας... 56 5.3. Μέλλουσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας... 58 5.4. Μέλλουσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας κυμαινόμενης ράντας... 59 5.5. Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας... 59 5.6. Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας... 62 5.7. Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας... 64 5.8. Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας προκαταβλητέας κυμαινόμενης ράντας... 65 6. ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ ΜΕ ΤΟΚΟΧΡΕΟΛΥΤΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ... 66 6.1. Μέθοδος προοδευτικού χρεολυσίου ή Γαλλικό σύστημα.... 66 6.1.1. Υπολογισμός της δόσης (τοκοχρεολύσιο)... 66 6.1.2. Υπολογισμός του χρεολυσίου στο τέλος της μ περιόδου... 67 6.1.3. Υπολογισμός του ποσού του κεφαλαίου δανείου που εξοφλήθηκε στο τέλος της περιόδου μ (Ε μ)... 68 6.1.4. Υπολογισμός του ποσού του ανεξόφλητου κεφαλαίου δανείου στο τέλος της περιόδου μ (Κ μ)... 68 6.1.5. Υπολογισμός του μέρους των τόκων στο τέλος της περιόδου μ (Ι μ)... 68 6.1.6. Υπολογισμός των συνολικών τόκων του δανείου (Ι)... 69 6.1.7. Πίνακες εξυπηρέτησης δανείου... 72 6.1.8. Υπολογισμός κεφαλαίου, χρόνου και επιτοκίου... 76 6.2. Μέθοδος σταθερού χρεολυσίου ή Αμερικάνικο σύστημα ή Snkng Fund... 78 6.2.1. Γενικά... 78 6.2.2. Υπολογισμός τοκοχρεολυτικής δόσης... 78 6.2.3. Πίνακες εξυπηρέτησης δανείου... 79 6.3. Μέθοδος προοδευτικά μειωμένου τοκοχρεολυσίου ή ίσων μερών κεφαλαίου.... 85 6.3.1. Γενικά... 85 Σελίδα 2

6.4. Εξόφληση τοκοχρεολυτικών δανείων πριν από τη λήξη τους... 88 7. ΔΑΝΕΙΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟΥΣ Η ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΑ ΔΑΝΕΙΑ... 89 7.1. Γενικά... 89 7.2. Απόσβεση ομολογιακών δανείων στο άρτιο, με την προοδευτική μέθοδο... 90 7.2.1. Η σύνταξη του πίνακα απόσβεσης ομολογιακού δανείου... 90 7.2.2. Υπολογισμός με αλγεβρικό τρόπο των στοιχείων ομολογιακού δανείου... 92 7.3. Απόσβεση ομολογιακών δανείων σε τιμή διαφορετική από το άρτιο, με την προοδευτική μέθοδο... 96 7.3.1. Η σύνταξη του πίνακα απόσβεσης ομολογιακού δανείου... 96 7.2.2. Υπολογισμός με αλγεβρικό τρόπο των στοιχείων ομολογιακού δανείου... 98 7.4. Λαχειοφόρα ομολογιακά δάνεια που εξοφλούνται τοκοχρεολυτικά στο άρτιο ή σε τιμή διαφορετικά από το άρτιο... 101 7.4.1. Γενικά... 101 7.4.2. Τεχνικές υπολογισμού των όρων λαχειοφόρου ομολογιακού δανείου... 101 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 104 Σελίδα 3

Πρόλογος: Σκοπός του μαθήματος Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν την σύνθεση και ενοποίηση των διαλέξεων διδασκαλίας του μαθήματος «Οικονομικά Μαθηματικά», που περιλαμβάνεται στο προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών (ΠΠΣ) του Τμήματος Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος (ΤΕΙ) Κρήτης. Το κείμενο αυτό δεν φιλοδοξεί να αντικαταστήσει τα δόκιμα συγγράμματα της διεθνούς και εθνικής βιβλιογραφίας, που σχετίζονται με το εν λόγω γνωστικό αντικείμενο και ορισμένα από αυτά προτείνονται άλλωστε ως πολλαπλή βιβλιογραφία στο συγκεκριμένο μάθημα του ΠΠΣ του Τμήματος Λογιστικής. Αντίθετα φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα συμπληρωματικό χρήσιμο βοήθημα για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες που παρακολουθούν το συγκεκριμένο μάθημα. Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τα Μαθηματικά Πίστης. Ξεκινώντας από εφαρμογές απλής κεφαλαιοποίησης ο φοιτητής έρχεται σε επαφή με εφαρμογές και υποδείγματα που χρησιμοποιούνται για να αποτιμηθεί η αξία του κεφαλαίου μέσα στο χρόνο. Κατόπιν γίνεται εκτενής αναφορά στην προεξόφληση συναλλαγματικών καθώς και στην οικονομική ισοδυναμία συναλλαγματικών μέσα από τα υποδείγματα της παρούσας και μελλοντικής αξίας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται εφαρμογές σύνθετης κεφαλαιοποίησης, ισοδυναμίας επιτοκίων, γραμμικής και εκθετικής συνθήκης αποτίμησης τελικής αξίας κεφαλαίου. Εδώ η αναφορά στην παρούσα και μελλοντική αξία κεφαλαίων είναι πιο εκτενής, με εφαρμογές ισοδυναμίας, προεξόφλησης και αποτίμησης κεφαλαίων, διαχρονικά. Η εισήγηση ολοκληρώνεται με εφαρμογές παρούσας και μελλοντικής αξίας σε σειρές κεφαλαίων (ράντες) και απλά παραδείγματα αποτίμησης παρούσας αξίας ταμειακών εισροών. Στο φροντιστηριακό μέρος του μαθήματος παρουσιάζονται οι σημαντικότερες συναρτήσεις των Οικονομικών Μαθηματικών και οι φοιτητές μαθαίνουν να κατασκευάζουν τύπους υπολογισμού για όλες τις εφαρμογές που παρουσιάζονται στο μάθημα. Ελπίζοντας ότι οι σημειώσεις αυτές θα αποδειχθούν χρήσιμες για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες του Τμήματος, τους ζητούμε εκ των προτέρων την επιείκεια τους για τις παραλείψεις που ενδεχομένως περιλαμβάνονται σε αυτές. Σελίδα 4

Γενικά I. Μερισμός Μερισμό ονομάζουμε το χωρισμό ενός αριθμού σε μέρη ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα μιας ή πολλών σειρών αριθμών. Δηλαδή άλλοτε απαιτείται να μερισθεί ένας αριθμός α) σε μέρη ανάλογα μιας σειράς αριθμών, β) σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα μιας σειράς αριθμών, και γ) σε μέρη ανάλογα δυο ή πολλών σειρών αριθμών. α) Μερισμός αριθμού Χ σε μέρη ανάλογα μιας σειράς αριθμών α, β, γ Αν πρόκειται να μερισθεί ο αριθμός χ σε μέρη ανάλογα των αριθμών α, β, γ, τότε δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού (ΣΜ) που είναι ίσος με το λόγο του αριθμού Χ προς το άθροισμα των αριθμών α, β, γ, δηλαδή ΣΜ = Χ α+β+γ και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμό της σειράς χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού Χ, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Μέρη αριθμού Χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: ΣΜ α ΣΜ β Τρίτο μέρος: ΣΜ γ β) Μερισμός αριθμού Χ σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα μιας σειράς αριθμών α, β, γ Εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτον, δημιουργούμε τους αντίστροφους αριθμούς των α, β, γ, δηλαδή: 1 α, 1 β, 1 γ Δεύτερο, μετατρέπουμε τους αντίστροφους αριθμούς σε ομώνυμα κλάσματα, δηλαδή: β γ α β γ, α γ α β γ, α β α β γ Τρίτο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του Χ με βάση τους αριθμητές των ομώνυμων κλασμάτων, δηλαδή ΣΜ = Χ βγ+αγ+αβ και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμητή των ομώνυμων κλασμάτων χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού Χ, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Μέρη αριθμού Χ ΣΜ βγ ΣΜ αγ ΣΜ αβ γ) Μερισμός αριθμού Χ σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών α, β, γ και δ, ε, ζ Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι είναι τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: αδ, βε, γζ. Σελίδα 5

Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του Χ με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή: ΣΜ = Χ αδ+βε+γζ και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με το κάθε ένα από τα προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού Χ, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Μέρη αριθμού Χ ΣΜ αδ ΣΜ βε ΣΜ γζ Παράδειγμα 1 Να μερισθεί ο αριθμός 72 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 Λύση: Πρώτον, υπολογίζουμε τον συντελεστή μερισμού, δηλαδή ΣΜ = Χ = 72 = 72 = 8, α+β+γ 2+3+4 9 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμό της σειράς χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 72, δηλαδή: Μερισμός αριθμού 72 Μέρη αριθμού 72 Πρώτο μέρος: 8 2 = 16 Δεύτερο μέρος: 8 3 = 24 Τρίτο μέρος: 8 4 = 32 Παράδειγμα 2 Να μερισθεί ο αριθμός 117 σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 Λύση: Πρώτον, δημιουργούμε τους αντίστροφους αριθμούς των 2, 3, 4, δηλαδή: 1 2, 1 3, 1 4 Δεύτερο, μετατρέπουμε τους αντίστροφους αριθμούς σε ομώνυμα κλάσματα, δηλαδή θα έχουμε: 3 4, 2 4, 2 3 12 και με απλοποίηση:, 8, 6, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 24 24 Τρίτο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του Χ με βάση τους αριθμητές των ομώνυμων κλασμάτων, δηλαδή ΣΜ = 117 = 4,5 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ = 117 12+8+6 26 με τον κάθε ένα αριθμητή των ομώνυμων κλασμάτων χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού Χ, δηλαδή: Σελίδα 6

Μερισμός αριθμού 117 Μέρη αριθμού 117 Πρώτο μέρος: 4,5 12 = 54 Δεύτερο μέρος: 4,5 8 = 36 Τρίτο μέρος: 4,5 6 = 27 Παράδειγμα 3 Να μερισθεί ο αριθμός 2.408 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 και 5, 6, 7. Λύση: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι είναι τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 2 5=10, 3 6=18, 4 7=28 Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του 2.408 με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή: ΣΜ = 2.408 = 2.408 10+18+28 56 = 43 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με το κάθε ένα από τα προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 2.408, δηλαδή: Μερισμός αριθμού 2.408 Μέρη αριθμού 2.408 Πρώτο μέρος: 43 10 = 430 Δεύτερο μέρος: 43 18 = 774 Τρίτο μέρος: 43 28 = 1.204 Παράδειγμα 4 Τα κέρδη για διανομή της ομόρρυθμης επιχείρησης Ζ την τελευταία χρήση ήταν 789.000. Στο εταιρικό κεφάλαιο της επιχείρησης συμμετέχουν ο Α με 180.000, ο Β με 218.000, και ο Γ με 358.000. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα τριών άλλων αριθμών (των συμμετοχών των Α, Β, Γ). Εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτον, υπολογίζουμε τον συντελεστή μερισμού, δηλαδή: ΣΜ = 789.000 = 789.000 = 1,04 180.000 + 218.000 + 358.000 756.000 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμό χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 789.000, δηλαδή: Σελίδα 7

Μερισμός κερδών 789.000 Μέρη κερδών 789.000 Κέρδη Α εταίρου: 1,04 180.000 = 187.857,14 Κέρδη Β εταίρου: 1,04 218.000 = 227.515,87 Κέρδη Γ εταίρου: 1,04 358.000 = 373.626,98 Παράδειγμα 5 Ο Α ίδρυσε την 1/2 μια επιχείρηση με κεφάλαιο 34.000. Την 1/6 συμφώνησε να συνεταιρισθεί με το Β, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 34.000. Την 1/9 συμφώνησαν και οι δυο τους να συνεταιρισθούν με το Γ, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 34.000. Στο τέλος της χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε κέρδη για διανομή 249.876. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα τριών άλλων αριθμών (των μηνών συμμετοχής στην επιχείρηση των Α, Β, Γ), επειδή οι τελευταίοι συμμετέχουν με ίσια ποσά στο εταιρικό κεφάλαιο. Δηλαδή πρέπει να γίνει ο μερισμός του αριθμού 249.876 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 11, 7, 4 (οι μήνες συμμετοχής των Α, Β, Γ στην επιχείρηση). Εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτον, υπολογίζουμε τον συντελεστή μερισμού, δηλαδή: ΣΜ = 249.876 11 + 7 + 4 = 249.876 = 11.358 22 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμό μηνών χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 249.876, δηλαδή: Μερισμός κερδών 249.876 Μέρη κερδών 249.876 Κέρδη Α εταίρου: 11.358 11 = 124.938 Κέρδη Β εταίρου: 11.358 7 = 79.506 Κέρδη Γ εταίρου: 11.358 4 = 45.432 Παράδειγμα 6 Ο Α ίδρυσε την 1/3 μια επιχείρηση με κεφάλαιο 6.800. Την 1/4 συμφώνησε να συνεταιρισθεί με το Β, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 3.000. Την 1/6 συμφώνησαν και οι δυο τους να συνεταιρισθούν με το Γ, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση 8.400. Στο τέλος της χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε κέρδη για διανομή 24.988. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Επειδή οι τρεις συνέταιροι συμμετέχουν με διαφορετικά ποσά στο εταιρικό κεφάλαιο αφενός και αφετέρου έχουν διαφορετικό χρόνο συμμετοχής στην επιχείρηση, η διανομή των κερδών σε αυτούς θα γίνει ανάλογα και των διαφορετικών ποσών συμμετοχής τους και του διαφορετικού χρόνου συμμετοχής τους. Το πρόβλημα δηλαδή έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για Σελίδα 8

διανομή 24.988) σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών, των ποσών συμμετοχής (6.800, 3.000, 8.400) και των μηνών συμμετοχής των τριών εταίρων (10, 9, 7). Εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 6.800 10=68.000, 3.000 9=27.000, 8.400 7=58.800. Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του 24.988 με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή: ΣΜ = 24.988 = 24.988 68.000+27.000+58.800 153.800 = 0,1625 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με το κάθε ένα από τα προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 24.988, δηλαδή: Μερισμός κερδών 24.988 Μέρη κερδών 24.988 Κέρδη Α εταίρου: 0,1625 68.000 = 11.048,01 Κέρδη Β εταίρου: 0,1625 27.000 = 4.386,71 Κέρδη Γ εταίρου: 0,1625 58.800 = 9.553,28 Παράδειγμα 7 Για την εκτέλεση ενός έργου εργάσθηκαν 4 εργάτες, οι Α, Β, Γ, Δ. Ο Α εργάσθηκε 12 ημέρες με 8 ώρες ημερήσια απασχόληση, ο Β εργάσθηκε 10 ημέρες με 7 ώρες ημερήσια απασχόληση, ο Γ εργάσθηκε 9 ημέρες με 6 ώρες ημερήσια απασχόληση και ο Δ εργάσθηκε 6 ημέρες με 4 ώρες ημερήσια απασχόληση. Το σύνολο της αμοιβής τους είναι 1.350. Ζητείται να υπολογισθεί η αμοιβή κάθε εργάτη χωριστά. Λύση: Επειδή οι 4 εργάτες εργάσθηκαν διαφορετικές ημέρες αφενός και αφετέρου με διαφορετικές ώρες ημερήσιας απασχόλησης, η διανομή της συνολικής αμοιβής σε αυτούς θα γίνει ανάλογα και των διαφορετικών ημερών εργασίας και των διαφορετικών ωρών ημερήσιας απασχόλησης τους. Το πρόβλημα δηλαδή έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (συνολική αμοιβή 1.350) σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών, των ημερών απασχόλησης (12, 10, 9, 6) και των ωρών ημερήσιας απασχόλησης (8, 7, 6, 4). ). Εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 12 8=96, 10 7=70, 9 6=54, 6 4=24. Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του 1.350 με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή: ΣΜ = 1.350 = 1.350 96+70+54+24 244 = 5,5328 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με το κάθε ένα από τα προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 1.350, δηλαδή: Σελίδα 9

Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό 1.350 ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός συνολικής αμοιβής 1.350 Μέρη συνολικής αμοιβής 1.350 Α εργάτης: 5,5328 96 = 531,15 Β εργάτης: 5,5328 70 = 387,30 Γ εργάτης: 5,5328 54 = 298,77 Δ εργάτης: 5,5328 24 = 132,79 Σελίδα 10

II. Η χρονική αξία του χρήματος Η έκφραση χρονική αξία του χρήματος χρησιμοποιείται στα οικονομικά, διότι η αξία μιας δεδομένης ποσότητας χρήματος μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου. Για παράδειγμα, αν αγοράσουμε ένα ομόλογο διάρκειας ενός έτους σε ονομαστική αξία 100 ευρώ και επιτόκιο 4% τότε δεν έχουμε πλέον αυτά τα 100 ευρώ σήμερα αλλά θα έχουμε 104 ευρώ σε ένα χρόνο. Επομένως 100 ευρώ είναι η σημερινή προεξοφλημένη αξία των «104 ευρώ σε ένα χρόνο». Ομοίως, η παρούσα αξία ενός ποσού πχ 100 ευρώ σε ένα χρόνο θα είναι ίση με την αγοραστική αξία που θα έχει αυτό το ποσό σε ένα χρόνο, πχ με ετήσιο πληθωρισμό 4% θα είναι 100/1,04=96 ευρώ και 15 λεπτά. Η έννοια της χρονικής αξίας του χρήματος είναι δηλαδή συνδεδεμένη με την έννοια του τόκου (ή του πληθωρισμού) και αυτού που οι οικονομολόγοι ονομάζουν κόστος ευκαιρίας του χρήματος. Βασικές μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στη μελέτη και την επίλυση των προβλημάτων για τη χρονική αξία του χρήματος είναι το κεφάλαιο, ο τόκος, το επιτόκιο και ο χρόνος. Κεφάλαιο (K) είναι κάθε χρηματικό ποσό που μετράτε σε νομισματικές μονάδες, που μεταβιβάζεται με την μέθοδο του δανεισμού από τον κάτοχο του σε άλλο πρόσωπο που σκοπεύει να το εκμεταλλευθεί. Αυτός που μεταβιβάζει το κεφάλαιο λέγεται δανειστής ή πιστωτής και ο άλλος που το δέχεται λέγεται οφειλέτης ή δανειζόμενος. Τόκος (I) είναι η αμοιβή που λαμβάνει ο πιστωτής από τον οφειλέτη, επειδή ο δεύτερος εκμεταλλεύεται το κεφάλαιο του πρώτου για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Επιτόκιο () λέγεται ο συντελεστής μέτρησης του τόκου και είναι ο τόκος κεφαλαίου μιας νομισματικής μονάδας στη μονάδα του χρόνου. Χρόνος (n) λέγεται το χρονικό διάστημα που θα χρησιμοποιηθεί το κεφάλαιο του πιστωτή από τον οφειλέτη. Η χρονική μονάδα στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο δανεισμού ονομάζεται περίοδος, και ως τέτοια λαμβάνεται το έτος, το εξάμηνο, το τρίμηνο, αλλά και ο μήνας. Το άθροισμα Κ+I, που προκύπτει από την ενσωμάτωση του τόκου I στο κεφάλαιο Κ λέγεται τελική αξία ή μελλοντική αξία του κεφαλαίου και συμβολίζεται με FV (future value). Η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο από το οποίο προέκυψε λέγεται κεφαλαιοποίηση. Υπάρχουν δύο συστήματα κεφαλαιοποίησης σε ευρεία χρήση, ανάλογα με το πότε προκύπτει η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο : Απλή κεφαλαιοποίηση ή απλός τόκος (smple nterest) είναι εκείνο το σύστημα στο οποίο ο τόκος παράγεται στο τέλος της περιόδου και την επόμενη περίοδο τοκίζεται μόνο το κεφάλαιο, το οποίο στο τέλος της περιόδου παράγει ξανά τόκο. Δηλαδή το κεφάλαιο και ο τόκος κάθε περιόδου μένουν σταθερά. Σε αυτή την περίπτωση το κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο. Σύνθετη κεφαλαιοποίηση ή ανατοκισμός (compound nterest) ονομάζεται το σύστημα στο οποίο ο τόκος που παράγεται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου προστίθεται στο κεφάλαιο και έτσι σχηματίζεται ένα νέο κεφάλαιο (Κ+Ι), το οποίο παράγει την επόμενη περίοδο νέο τόκο που θα προστεθεί πάλι στο κεφάλαιο της συγκεκριμένης περιόδου κ.ο.κ.. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να λήξει η χρονική διάρκεια του δανεισμού. Δηλαδή το κεφάλαιο και ο τόκος αυξάνουν από σε περίοδο σε περίοδο. Σε αυτή την περίπτωση το κεφάλαιο τοκίζεται με σύνθετο τόκο ή ανατοκισμό. Σελίδα 11

Μέρος Πρώτο: Βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις Οι βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις έχουν συνήθως διάρκεια από ένα μήνα έως ένα έτος. Στο πλαίσιο τους λύνονται προβλήματα απλού τόκου, προεξόφλησης και ισοδυναμίας γραμματίων. 1. Απλός Τόκος Ο απλός τόκος είναι ανάλογος του χρηματικού κεφαλαίου, του επιτοκίου και του χρόνου και υπολογίζεται στο τέλος της χρονικής διάρκειας τοκισμού ενός χρηματικού κεφαλαίου, είτε αυτό αποτελεί δάνειο από τράπεζα σε δανειολήπτη, είτε αποτελεί κατάθεση από καταθέτη σε τράπεζα. Επομένως ο τύπος υπολογισμού του δίνεται από τη σχέση: I = Κ η όπου: I = ο απλός τόκος Κ = το αρχικό κεφάλαιο = το επιτόκιο η = ο χρόνος Το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου ονομάζεται τελική αξία, συμβολίζεται με K n και δίνεται από τη σχέση: K n = Κ + I => K n = Κ + Κ η => K n = Κ [1 + ( η)] Οι παραπάνω τύποι υπολογισμού του τόκου ή της τελικής αξίας εξ ορισμού αποτελούν τη βάση για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος σχετικού με βραχυχρόνιες οικονομικές πράξεις απλού τόκου. Επειδή σε κάθε πρόβλημα απλού τόκου εμπλέκονται τα 4 μεγέθη, Κ, Ι,, n, αν τα τρία από αυτά είναι γνωστά, τότε με χρήση του προαναφερόμενου τύπου του απλού τόκου υπολογίζεται το τέταρτο. Δηλαδή ανάλογα με το τι θα ζητείται κάθε φορά σε ένα πρόβλημα, θα ξεκινάμε με αυτό το τύπο αρκεί η χρονικά διάρκεια της οικονομικής πράξης (δανεισμός ή κατάθεση) να εκφράζεται από την ίδια χρονική μονάδα στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο. Διαφορετικά αν τα δύο αυτά μεγέθη, επιτόκιο και χρόνος, δίδονται σε διαφορετική χρονική βάση, τότε πρέπει πάντα να προσαρμόζεται το μέγεθος που δίδεται σε χρονική βάση μικρότερου του έτους, σε ετήσια βάση. Δηλαδή: Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=μ/12, όπου μ ο αριθμός των μηνών διάρκειας της οικονομικής πράξης. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε αριθμό ημερών, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των ημερών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=v/360, όπου v ο αριθμός των ημερών διάρκειας της οικονομικής πράξης. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε μηνιαία βάση και ο χρόνος του δανείου σε έτη, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή του επιτοκίου σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το με 12/m, όπου m ο αριθμός των μηνών του επιτοκίου. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε μηνιαία βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες ή σε έτη και μήνες, τότε είναι απαραίτητη αφενός η μετατροπή του επιτοκίου σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το με 12/m, όπου m ο αριθμός των μηνών του επιτοκίου, και αφετέρου η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=μ/12, όπου μ ο αριθμός των μηνών διάρκειας της οικονομικής πράξης.. Σελίδα 12

Μετά από αυτές τις προσαρμογές του βασικού τύπου του απλού τόκου ή της τελικής αξίας, θα τους επιλύουμε ως προς ένα από τα μεγέθη τους που αποτελούν το ζητούμενο κάθε προβλήματος. Παράδειγμα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 8 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: I = Κ η Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = παραπάνω τύπο θα έχουμε: I = 100.000 0,12 8 12 = 8.000 (μήνες διάρκειας) 8 (μήνες επιτοκίου) 12 και μετά την αντικατάσταση στον Παράδειγμα 2 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 10% για 1 χρόνο και 4 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: I = Κ η Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε έτος και μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : I = 100.000 0,10 16 12 = 13.333,33 (μήνες διάρκειας) 16 (μήνες επιτοκίου) 12 και μετά την αντικατάσταση Παράδειγμα 3 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με εξαμηνιαίο 12% για 1 χρόνο. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: I = Κ η Επειδή το επιτόκιο εκφράζεται σε χρονική διάρκεια μικρότερη του έτους, πρέπει να το μετατρέψουμε σε ετήσιο επιτόκιο, δηλαδή = 12 12 = 0,12 = 0,12 2 = 0,24 και μετά την m 6 αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: I = 100.000 0,24 1 = 24.000 Σελίδα 13

Παράδειγμα 4 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 10.000, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με τριμηνιαίο επιτόκιο 3% για 1 χρόνο και 3 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: I = Κ η Επειδή το επιτόκιο εκφράζεται σε χρονική διάρκεια μικρότερη του έτους, πρέπει να το μετατρέψουμε σε ετήσιο επιτόκιο, δηλαδή = 12 12 = 0,03 = 0,03 4 = 0,12. m 3 Επειδή επίσης η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε έτος και μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = (μήνες διάρκειας) (μήνες επιτοκίου) = 15 12 Μετά τις παραπάνω προσαρμογές με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: I = 10.000 0,12 15 12 = 1.500 Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 50.000, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 8% για 18 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: I = Κ η Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = παραπάνω τύπο θα έχουμε: I = 50.000 0,08 18 12 = 6.000 (μήνες διάρκειας) (μήνες επιτοκίου) = 18 12 Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : 50.000 + 6.000 = 56.000 και μετά την αντικατάσταση στον Παράδειγμα 6 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 100.000, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 10% για 1 χρόνο και 2 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Σελίδα 14

I = Κ η Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε έτος και μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: Άρα ο τόκος θα είναι: I = 100.000 0,1 14 12 = 11.666,67 Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : 100.000 + 11.666,67 = 111.666,67 (μήνες διάρκειας) (μήνες επιτοκίου) = 14 12 και μετά την Παράδειγμα 7 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 20.000, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με εξαμηνιαίο επιτόκιο 4% για 1 χρόνο. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: I = K η Επειδή το επιτόκιο εκφράζεται σε χρονική διάρκεια μικρότερη του έτους, πρέπει να το μετατρέψουμε σε ετήσιο επιτόκιο, δηλαδή = 12 12 = 0,04 = 0,04 2 = 0,08 και μετά την m 6 αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: I = 20.000 0,08 1 = 1.600 Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : 20.000 + 1.600 = 21.600 Παράδειγμα 8 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 10.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με τετραμηνιαίο επιτόκιο 2,5% για 1 χρόνο και 5 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: I = Κ η Επειδή το επιτόκιο εκφράζεται σε χρονική διάρκεια μικρότερη του έτους, πρέπει να το μετατρέψουμε σε ετήσιο επιτόκιο, δηλαδή = 12 12 = 0,025 = 0,025 3 = 0,075. m 4 Επειδή επίσης η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε έτος και μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = (μήνες διάρκειας) (μήνες επιτοκίου) = 17 12 Μετά τις παραπάνω προσαρμογές με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: Σελίδα 15

I = 10.000 0,075 17 12 = 1.062,50 Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : 10.000 + 1.062,50 = 11.062,50 Παράδειγμα 9 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 50.000 για 18 μήνες, θα αποκτήσει τελική αξία 55.800 Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου και τον λύνουμε ως προς το επιτόκιο: I = K η => = I K n Επειδή η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = (μήνες διάρκειας) (μήνες επιτοκίου) = 18 12 Μετά με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: = (55.800 50.000) 50.000 18 12 = 5.800 = 0,0773, ή 7,73% 75.000 Παράδειγμα 10 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 100.000 για 1 χρόνο και 3 μήνες θα αποκτήσει τελική αξία 102.900. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου και τον λύνουμε ως προς το επιτόκιο: I = K η => = I K n Επειδή η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε έτος και μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = (μήνες διάρκειας) (μήνες επιτοκίου) = 15 12 Μετά με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: = (102.900 100.000) 100.000 15 12 = 2.900 = 0,0232, ή 2,32% 125.000 Παράδειγμα 11 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 100.000 από 10/4 έως 24/10 θα αποκτήσει τελική αξία 102.500. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου και τον λύνουμε ως προς το επιτόκιο: I = K η => = I K n Σελίδα 16

Πριν εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο, υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών, ως εξής: ΜΗΝΕΣ 4 5 6 7 8 9 10 ΣΥΝΟΛΟ ΗΜΕΡΕΣ 30-9=21 30 30 30 30 30 24 195 Επειδή η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε ημέρες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η = (ημέρες διάρκειας) (ημέρς έτους) = 195 360 Μετά με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: = (102.500 100.000) 100.000 195 360 = 2.500 = 0,0462, ή 4,62% 54.166,67 Παράδειγμα 12 Να βρεθεί το χρονικό διάστημα κατά το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 50.000 με ετήσιο επιτόκιο 7,5 %, θα αποκτήσει τελική αξία 55.800 Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου και τον λύνουμε ως προς το χρόνο: I = Κ η => η = I Κ Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο, η χρονική διάρκεια θα υπολογισθεί σε έτη, αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε: η = (55.800 50.000) 50.000 0,075 => η = 5.800 3.750 = Επομένως το χρονικό διάστημα θα είναι: η = (55.800 50.000) 50.000 0,075 = 5.800 = 1,5467 χρόνια ή 18, 56 μήνες ή 557 ημέρες 3.750 άρα με Παράδειγμα 13 Να βρεθεί το χρονικό διάστημα κατά το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 20.000 με εξαμηνιαίο επιτόκιο 3,5%, θα αποκτήσει τελική αξία 29.000. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου και τον λύνουμε ως προς το χρόνο: I = Κ η => η = I Κ Επειδή το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο, η χρονική διάρκεια θα υπολογισθεί σε εξάμηνα, δηλαδή η = έχουμε: 12 μήνες επιτοκίου μ αριθμό εξαμήνων λ και μετά την αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα 12 (29.000 20.000) λ = => 2λ = 9.000 => 2λ = 12,86 => λ 6 20.000 0,035 700 = 6,43 εξάμηνα ή 3,21 χρόνια Σελίδα 17

Παράδειγμα 14 Αν ένα κεφάλαιο 10.000 κατατεθεί στις 20/4 με εξαμηνιαίο επιτόκιο 8%, να υπολογισθεί η ημερομηνία που θα αποκτήσει τελική αξία 10.700. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου και τον λύνουμε ως προς το χρόνο: I = Κ η => η = I Κ Επειδή το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο, η χρονική διάρκεια θα υπολογισθεί σε εξάμηνα, δηλαδή: η = έχουμε: 12 μήνες επιτοκίου μ αριθμό εξαμήνων λ και μετά την αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα 12 (10.700 10.000) λ = => 2λ = 700 => 2λ = 0,88 => λ = 0,44 εξάμηνα 6 10.000 0,08 800 Επειδή δε ζητείται η ημερομηνία λήξης της κατάθεσης, απαιτείται ο υπολογισμός των ημερών κατάθεσης, οπότε πολλαπλασιάζουμε τον παραπάνω αριθμό εξαμήνων με 180 (ημέρες εξαμήνου), και θα έχουμε: 0,44 180 = 78,75 79 ημέρες Επομένως η ημερομηνία λήξης βρίσκεται ως εξής: ΜΗΝΕΣ 4 5 6 7 ΣΥΝΟΛΟ ΗΜΕΡΕΣ 30-19=11 30 30 > 8 79 Ημερομηνία λήξης: 8/7 1.1 Επίλυση προβλημάτων απλού τόκου με τοκάριθμους και σταθερούς διαιρέτες Στην προηγούμενη ενότητα χρησιμοποιήσαμε τον βασικό τύπο του απλού τόκου για επίλυση προβλημάτων απλού τοκισμού. Ο βασικός αυτός τύπος μπορεί με απλή επεξεργασία να μετατραπεί και να σχετισθεί με τους παράγοντες: Τοκάριθμος και Διαιρέτης. Με αυτή την εκδοχή του βασικού τύπου του απλού τόκου, όπως θα δούμε παρακάτω, επιλύονται επίσης διάφορα προβλήματα απλού τοκισμού. Δηλαδή, αν στο βασικό τύπο του απλού τόκου εκφράσουμε το χρόνο (n) σε ανάλογο αριθμό ημερών χρονικής διάρκειας, δηλαδή η=ν/360, τότε θα έχουμε: I = Κ η => I = Κ ν 360 Στην συνέχεια αν διαιρέσουμε με το () τον αριθμητή και παρονομαστή του β μέρους του τύπου θα έχουμε: I = Κ ν 360 => I = K ν 360 Το γινόμενο του κεφαλαίου (Κ) με τον αριθμό των ημερών (ν) στον αριθμητή ονομάζεται Τοκάριθμος και συμβολίζεται με το γράμμα (Ν), ενώ ο λόγος 360/ στον παρονομαστή ονομάζεται Διαιρέτης και συμβολίζεται με το γράμμα (Δ). Με τη χρήση αυτών των συμβόλων ο προαναφερόμενος τύπος του απλού τόκου απλουστεύεται ως εξής: I = Ν Δ Σελίδα 18

Ο παραπάνω τύπος διευκολύνει πολύ την επίλυση προβλημάτων απλού τοκισμού, όπου διαφορετικά κεφάλαια τοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο για διαφορετικό αριθμό ημερών διάρκειας, όπως συμβαίνει στις τραπεζικές συναλλαγές. Παράδειγμα 1 Να υπολογισθεί ο τόκος ενός κεφαλαίου 1.000 το οποίο θα τοκισθεί με απλό τοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 10% το χρονικό διάστημα 10/2 1/9 του τρέχοντος έτους. Λύση Αρχικά υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών ως εξής: ΜΗΝΕΣ 2 3 4 5 6 7 8 9 Σύνολο ΗΜΕΡΕΣ 30-9=21 30 30 30 30 30 30 1 202 Στην συνέχεια υπολογίζουμε τους παράγοντες Ν και Δ, δηλαδή: Ν = Κ ν = 1.000 202 = 202.000 Δ = 360 = 360 0,1 = 3.600 Άρα ο τόκος που θα παραχθεί θα είναι: I = Ν Δ = 202.000 3.600 = 56,11 Παράδειγμα 2 Έστω ότι ένα κεφάλαιο 10.000 θα κατατεθεί σε τράπεζα στις 4/4 με απλό τοκισμό και με ετήσιο επιτόκιο 5%. Να υπολογισθεί η ημερομηνία εκείνη κατά την οποία θα έχει παραχθεί τόκος 300. Λύση Αρχικά υπολογίζουμε το διαιρέτη (Δ): Δ = 360 = 360 0,05 = 7.200 Στην συνέχεια με αντικατάσταση στον προαναφερόμενο τύπο του τόκου λύνουμε ως προς (Ν) και θα έχουμε: I = Ν => 300 = Ν => Ν = 300 7.200 = 2.160.000 Δ 7.200 Γνωρίζουμε όμως ότι: Ν = Κ ν => 2.160.000 = 10.000 ν => ν = 2.160.000 10.000 Άρα η ζητούμενη ημερομηνία θα υπολογισθεί ως εξής: = 216 ημέρες ΜΗΝΕΣ 4 5 6 7 8 9 10 9 Σύνολο ΗΜΕΡΕΣ 30-3=27 30 30 30 30 30 30 9 216 Δηλαδή η 9/9 Σελίδα 19

Παράδειγμα 3 Πόσο κεφάλαιο πρέπει να κατατεθεί στις 18/3 με απλό τοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 4%, ώστε στις 8/7 να έχει δημιουργηθεί τόκος 500. Λύση Αρχικά υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών ως εξής: ΜΗΝΕΣ 3 4 5 6 7 Σύνολο ΗΜΕΡΕΣ 30-17=13 30 30 30 8 111 Στην συνέχεια υπολογίζεται ο Διαιρέτης (Δ): Δ = 360 = 360 0,04 = 9.000 Ακολούθως με αντικατάσταση στον προαναφερόμενο τύπο του τόκου λύνουμε ως προς (Ν) και θα έχουμε: I = Ν => 500 = Ν => Ν = 500 9.000 = 4.500.000 Δ 9.000 Γνωρίζουμε όμως ότι: Ν = Κ ν => 4.500.000 = Κ 111 => Κ = 4.500.000 111 Παράδειγμα 4 = 40.540,54 Με ποιο ετήσιο επιτόκιο ένα κεφάλαιο 10.800 αν τοκισθεί για 50 ημέρες θα φέρει τόκο 270 ; Λύση Αρχικά υπολογίζεται ο Τοκάριθμος (Ν): Ν = Κ ν => Ν = 10.800 50 = 540.000 Ακολούθως με αντικατάσταση στον προαναφερόμενο τύπο του τόκου λύνουμε ως προς (Δ) και θα έχουμε: I = Ν Δ => 270 = 540.000 Δ Γνωρίζουμε όμως ότι: Δ = 360 => 2.000 = 360 => Δ = 540.000 270 = 2.000 => = 360 = 0,18 ή 18% 2.000 1.2 Επίλυση προβλημάτων απλού τόκου με ανάλυση κεφαλαίου Ένας επίσης διαφορετικός τρόπος υπολογισμού προβλημάτων απλού τοκισμού είναι η χρήση του βασικού τύπου υπολογισμού του με ανάλυση κεφαλαίου, δηλαδή εργαζόμαστε ως εξής: I = Κ η => I = Κ ν 360 = I = Κ ν 360 => I = K ν 360 => I = K ν Δ Στον παραπάνω τύπο, αν Κ=Δ τότε Ι=ν, ανάλογα αν Κ=λΔ τότε Ι=λν. Έτσι με τη βοήθεια του πολλαπλασιαστή (λ) μπορούμε να επιλύσουμε διάφορα προβλήματα απλού τοκισμού. Σελίδα 20

Παράδειγμα 1 Να υπολογισθεί ο τόκος ενός κεφαλαίου 5.800 που τοκίσθηκε για 195 ημέρες με ετήσιο επιτόκιο 6%. Λύση Αρχικά υπολογίζουμε το διαιρέτη (Δ): Δ = 360 = 360 0,06 = 6.000 Στην συνέχεια υπολογίζουμε το (λ) του λόγου (Κ) προς (Δ) : Κ = λδ => λ = Κ Δ = 5.800 6.000 = 0,9667 Άρα: Ι = λν = 0,9667 195 = 188,50 Παράδειγμα 2 Να υπολογισθεί πόσο κεφάλαιο πρέπει να τοκισθεί για 180 ημέρες με ετήσιο επιτόκιο 6%, ώστε να φέρει τόκο 580. Λύση Αρχικά υπολογίζουμε το διαιρέτη (Δ): Δ = 360 = 360 0,06 = 6.000 Στην συνέχεια υπολογίζουμε το (λ) του λόγου (Ι) προς (ν) : Ι = λν => λ = Ι ν = 580 180 = 3,22 Άρα: Κ = λδ = 3,22 6.000 = 19.333,33 Παράδειγμα 3 Έστω ότι ένα κεφάλαιο 20.000 τοκίζεται στις 23/3 με ετήσιο επιτόκιο 9%. Να υπολογισθεί η ημερομηνία που θα φέρει τόκο 234. Λύση Αρχικά υπολογίζουμε το διαιρέτη (Δ): Δ = 360 = 360 0,09 = 4.000 Στην συνέχεια υπολογίζουμε το (λ) του λόγου (Κ) προς (Δ) : Κ = λδ => λ = Κ Δ = 20.000 4.000 = 5 Άρα: Ι = λν => ν = Ι λ = 234 = 44,8 45 ημέρες 5 Άρα η ζητούμενη ημερομηνία θα υπολογισθεί ως εξής: ΜΗΝΕΣ 3 5 6 Σύνολο ΗΜΕΡΕΣ 30-22=8 30 7 45 Δηλαδή η 6/7 Σελίδα 21

2. Προεξόφληση συναλλαγματικών (γραμματίων) σε διαταγή Οι σύγχρονες συναλλαγές έχουν σαν βασικό χαρακτηριστικό τους την μερική ή ολική αντικατάσταση του χρήματος με την πίστη. Δηλαδή στο σύνολο σχεδόν των συναλλαγών, οι συναλλασσόμενοι δεν συναλλάσσονται πλέον αποκλειστικά με μετρητά, αλλά και επί πιστώσει χωρίς τη μεσολάβηση του χρήματος. Με τις επί πιστώσει συναλλαγές δημιουργείται η έννοια της απαίτησης. Αυτή συνήθως παίρνει την μορφή της συναλλαγματικής εις διαταγή (γραμματίου), η οποία εκδίδεται από τον εκδότη (πωλητή) και αποτελεί εντολή προς τον οφειλέτη (πελάτη) να πληρώσει το αναγραφόμενο ποσό σε ορισμένο τόπο και χρόνο. Οι εκδότες - κάτοχοι γραμματίων με οφειλέτες τους πελάτες τους ενεργούν με τους εξής τρόπους: Τοποθετούν τα γραμμάτια σε ασφαλές μέρος και περιμένουν να λήξουν για να εισπράξουν το αναγραφόμενο ποσό από τους οφειλέτες τους. Μεταβιβάζουν με οπισθογράφηση τα γραμμάτια που κατέχουν σε τρίτους, οπότε μεταβιβάζουν και την απαίτηση τους. Αναθέτουν σε τράπεζα να εισπράξει τα αναγραφόμενα ποσά των γραμματίων που κατέχουν έναντι προμήθειας. Στη περίπτωση που έχουν ανάγκη χρημάτων, ρευστοποιούν τα γραμμάτια που κατέχουν σε τράπεζα, οπότε τους παρακρατούνται οι τόκοι που αντιστοιχούν στο χρονικό διάστημα από την ημέρα της ρευστοποίησης του γραμματίου μέχρι τη λήξη του. Η ρευστοποίηση αυτή λέγεται προεξόφληση. Οι τόκοι δε που παρακρατούνται από την τράπεζα κατά την ρευστοποίηση των γραμματίων ονομάζονται προεξόφλημα. Το προεξόφλημα υπολογίζεται με τους εξής δυο μεθόδους: 1) Βάση της Ονομαστικής Αξίας (Κ), δηλαδή του ποσού που αναγράφεται στο γραμμάτιο και εισπράττεται κατά τη λήξη του. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Εξωτερική Προεξόφληση και το προεξόφλημα που παρακρατείται από την τράπεζα Εξωτερικό Προεξόφλημα (Ε). 2) Βάση της Παρούσας Αξίας (Α), δηλαδή του ποσού που εισπράττεται κατά την προεξόφληση του γραμμάτιου. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Εσωτερική Προεξόφληση και το προεξόφλημα που παρακρατείται από την τράπεζα Εσωτερικό Προεξόφλημα (Ε ). 2.1 Βασικοί τύποι προεξόφλησης γραμματίων α) Υπολογισμός εξωτερικού προεξοφλήματος Σύμφωνα με τον προαναφερθέντα ορισμό της εξωτερικής προεξόφλησης, το εξωτερικό προεξόφλημα υπολογίζεται βάση της ονομαστικής αξίας του γραμματίου αφενός και αφετέρου επειδή αποτελεί στην ουσία παρακρατηθέντα τόκο, λαμβάνεται υπόψη το επιτόκιο προεξόφλησης και το χρονικό διάστημα από την ημέρα προεξόφλησης του γραμματίου έως την ημέρα λήξης του. Δηλαδή ο τύπος υπολογισμού του είναι ανάλογος του τύπου του απλού τόκου, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες. Θα είναι δηλαδή: Ε = Κ ν 360 όπου: Κ= η ονομαστική αξία του γραμματίου Σελίδα 22

ν= οι ημέρες προεξόφλησης, δηλαδή ο αριθμός ημερών από την ημέρα προεξόφλησης, μέχρι την ημέρα λήξης του γραμματίου = το επιτόκιο προεξόφλησης Για την απλούστευση του τύπου, αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος με θα έχουμε: Ε = Κ ν 360 Στην συνέχεια απαλείφοντας το από τον αριθμητή και θέτοντας όπου 360 = Δ (Διαιρέτης) ο αρχικός τύπος γίνεται: Ε = Κ ν Δ (1) Με βάση τον προαναφερθέντα βασικό τύπο ορισμού εξάγονται όλοι οι αναγκαίοι τύποι υπολογισμού, που εφαρμόζονται στην επίλυση προβλημάτων εξωτερικής προεξόφλησης γραμματίων, όπου κάθε φορά το ζητούμενο θα είναι είτε το προεξόφλημα, είτε η ονομαστική αξία, είτε η παρούσα αξία, είτε ο χρόνος προεξόφλησης. Δεν υπάρχει δηλαδή λόγος αποστήθισης πολλών τύπων, απλώς απαιτείται πρακτική εξάσκηση στην επίλυση προβλημάτων εξωτερικής προεξόφλησης γραμματίων. β) Υπολογισμός εσωτερικού προεξοφλήματος Σύμφωνα με τον προαναφερθέντα ορισμό της εσωτερικής προεξόφλησης, το εσωτερικό προεξόφλημα υπολογίζεται βάση της παρούσας αξίας του γραμματίου (του ποσού που εισπράττεται κατά την προεξόφληση) αφενός και αφετέρου επειδή αποτελεί στην ουσία παρακρατηθέντα τόκο, λαμβάνεται υπόψη το επιτόκιο προεξόφλησης και το χρονικό διάστημα από την ημέρα προεξόφλησης του γραμματίου έως την ημέρα λήξης του. Δηλαδή ο τύπος υπολογισμού του είναι ανάλογος του τύπου του απλού τόκου, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες. Θα είναι δηλαδή: Ε = A ν 360 όπου: A= η παρούσα αξία του γραμματίου ν= οι ημέρες προεξόφλησης, δηλαδή ο αριθμός ημερών από την ημέρα προεξόφλησης, μέχρι την ημέρα λήξης του γραμματίου = το επιτόκιο προεξόφλησης Για την απλούστευση του τύπου, αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος με θα έχουμε: Ε = A ν 360 Στην συνέχεια απαλείφοντας το από τον αριθμητή και θέτοντας όπου 360 = Δ (Διαιρέτης) ο αρχικός τύπος γίνεται: Σελίδα 23

Ε = Α ν Δ (2) Με βάση τον προαναφερθέντα βασικό τύπο ορισμού εξάγονται όλοι οι αναγκαίοι τύποι υπολογισμού, που εφαρμόζονται στην επίλυση προβλημάτων εσωτερικής προεξόφλησης γραμματίων, όπου κάθε φορά το ζητούμενο θα είναι είτε το προεξόφλημα, είτε η ονομαστική αξία, είτε η παρούσα αξία, είτε ο χρόνος προεξόφλησης. Δεν υπάρχει δηλαδή λόγος αποστήθισης πολλών τύπων, απλώς απαιτείται πρακτική εξάσκηση στην επίλυση προβλημάτων εσωτερικής προεξόφλησης γραμματίων. Παράδειγμα 1 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη του εμπορεύματα αξίας 5.000. Συμφώνησαν μεταξύ τους να εκδώσει ο πρώτος στο δεύτερο δυο γραμμάτια με αντίστοιχες λήξεις στις 30/4 και 30/6. Με δεδομένο ότι, ο έμπορος σκοπεύει να προεξοφλήσει στις 25/3 σε τράπεζα τα δυο γραμμάτια και να λάβει κατά την προεξόφληση του καθενός τη μισή αξία του εμπορεύματος που πούλησε, να υπολογισθούν τα προεξοφλήματα και οι ονομαστικές αξίες που αναγράφονται στα δυο γραμμάτια και με τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 10% και εμπορικό έτος, δηλαδή σύνολο ημερών έτους 360 και 30 ημέρες όλοι οι μήνες του έτους. Λύση 1) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής αξίας Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/4 με εξωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Ε = Κ ν Δ Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε το προεξόφλημα και την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει στον προαναφερόμενο τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της παρούσας αξίας, θέτοντας όπου Κ=Α+Ε,, διότι η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε). Τότε θα έχουμε: (Α + Ε) ν Ε = Δ => Ε = Α ν + Ε ν Δ => Ε (Δ ν) = Α ν => Ε = Α ν Δ ν => Ε Δ = Α ν + Ε ν => Ε Δ Ε ν = Α ν => Για την εφαρμογή του παραπάνω τύπου, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-24=6 30 36 Στην συνέχεια υπολογίζουμε τον διαιρέτη Δ, δηλαδή: Δ = 360 = 360 0,10 = 3.600 Ακολούθως για τον υπολογισμό του προεξοφλήματος θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: Σελίδα 24

Ε = Α ν Δ ν = 2.500 36 3.600 36 = 25,25 Άρα η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε=2.500+25,25=2.525,25. 2) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/6 με εξωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον ίδιο τύπο. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-4=6 30 30 30 96 Ισχύει ο ίδιος διαιρέτης όπως και προηγουμένως, Δ=3.600 Ακολούθως για τον υπολογισμό του προεξοφλήματος θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: Ε = Α ν Δ ν = 2.500 96 3.600 96 = 68,49 Άρα η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε=2.500+68,49=2.568,49. 3) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/4 με εσωτερική προεξόφληση. Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε το προεξόφλημα και την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του, θα εφαρμοσθεί απευθείας ο βασικός τύπος του εσωτερικού προεξοφλήματος: Ε = Α ν Δ Ισχύουν οι 46 ημέρες προεξόφλησης και Δ=3.600 Άρα το προεξόφλημα θα είναι: Ε = Α ν Δ = 2.500 36 3.600 = 25,00 Επομένως η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε=2.500+25,00=2.525,00. 4) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/6 με εσωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως εφαρμόζεται ο ίδιος τύπος. Ισχύουν οι 106 ημέρες προεξόφλησης και Δ=3.600 Άρα το προεξόφλημα θα είναι: Ε = Α ν Δ = 2.500 96 3.600 = 66,67 Σελίδα 25

Επομένως η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε=2.500+31,94=2.566,67. Παράδειγμα 2 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη του εμπορεύματα αξίας 1.000. Συμφώνησαν μεταξύ τους να εκδώσει ο πρώτος στο δεύτερο δυο γραμμάτια με αντίστοιχες λήξεις στις 30/5 και 30/8. Με δεδομένο ότι, ο έμπορος σκοπεύει να προεξοφλήσει στις 20/3 σε τράπεζα τα δυο γραμμάτια και να λάβει κατά την προεξόφληση του καθενός τη μισή αξία του εμπορεύματος που πούλησε, να υπολογισθούν οι ονομαστικές αξίες που αναγράφονται στα δυο γραμμάτια και με τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 8% και εμπορικό έτος. Λύση 1) Υπολογισμός της ονομαστικής αξίας (Κ) του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/5 με εξωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Ε = Κ ν Δ Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει αρχικά στον προαναφερόμενο τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της παρούσας αξίας, θέτοντας όπου Κ=Α+Ε, δηλαδή: (Α + Ε) ν Ε = Δ => Ε = Α ν + Ε ν Δ => Ε (Δ ν) = Α ν => Ε = Α ν Δ ν => Ε Δ = Α ν + Ε ν => Ε Δ Ε ν = Α ν => Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την ονομαστική αξία του γραμματίου, επειδή η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Κ=Α+Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Κ = Α + Ε => Κ = Α + Α ν Α (Δ ν) + Α ν => Κ = => Κ = Α Δ Δ ν Δ ν Δ ν Για την εφαρμογή του παραπάνω τύπου, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-19=11 30 30 71 Στην συνέχεια υπολογίζουμε τον διαιρέτη Δ, δηλαδή: Δ = 360 = 360 0,08 = 4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: Σελίδα 26

Κ = Α Δ 500 4.500 = Δ ν 4.500 71 = 508,02 2) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/8 με εξωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-19=11 30 30 30 30 30 161 Ισχύει Δ=4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα έχουμε: Κ = Α Δ 500 4.500 = Δ ν 4.500 161 = 518,55 3) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/5 με εσωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος: Ε = Α ν Δ Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την ονομαστική αξία του γραμματίου, επειδή η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Κ=Α+Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Κ = Α + Ε => Κ = Α + Α ν Δ => Κ = Α Δ + Α ν Δ Ισχύουν 71 ημέρες προεξόφλησης και Δ=4.500 => Κ = Α (Δ + ν) Δ Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα έχουμε: Κ = Α (Δ + ν) Δ = 500 (4.500 + 71) 4.500 = 507,89 4) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/8 με εσωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον ίδιο τύπο. Ισχύουν 161 ημέρες προεξόφλησης και Δ=4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα εφαρμοσθεί ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της παρούσας αξίας, δηλαδή: Κ = Α (Δ + ν) Δ = 500 (4.500 + 161) 4.500 = 517,89 Σελίδα 27

Παράδειγμα 3 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη ένα εμπόρευμα και για το λόγο αυτό έκδωσε δύο γραμμάτια ονομαστικών αξιών 400 και 600 με λήξεις στις 30/7 και 25/8 αντίστοιχα. Με δεδομένο ότι ο έμπορος θα προεξοφλήσει και τα δύο γραμμάτια σε τράπεζα στις 28/3, να υπολογισθεί η αξία του εμπορεύματος λαμβάνοντας υπόψη και τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί επίσης υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 6% και εμπορικό έτος. Λύση Θεωρούμε ότι, τα ποσά που θα εισπράξει ο έμπορος κατά την προεξόφληση των δύο γραμματίων αποτελούν αθροιζόμενα την αξία του εμπορεύματος. Επομένως θα πρέπει να υπολογισθούν οι παρούσες αξίες των δύο γραμματίων, όπως ακολουθεί: α) Υπολογισμός των παρουσών αξιών με εξωτερική προεξόφληση α1) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Ε = Κ ν Δ Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την παρούσα αξία του γραμματίου, επειδή η παρούσα αξία, το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α), είναι ίση με την ονομαστική αξία μείον τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Α=Κ- Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Α = Κ Ε => Α = Κ Κ ν Δ => Α = Κ Δ Κ ν Δ => Α = Κ (Δ ν) Δ Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-27=3 30 30 30 30 123 Στην συνέχεια υπολογίζουμε το διαιρέτη Δ, δηλαδή: Δ = 360 = 360 0,06 = 6.000 Ακολούθως η παρούσα αξία με εφαρμογή του προαναφερόμενου τύπου θα είναι: Α = Κ (Δ ν) Δ = 400 (6.000 123) 6.000 = 391,80 α2) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του δεύτερου γραμματίου Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον προαναφερόμενο τύπο. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-27=3 30 30 30 30 25 148 Ισχύει Δ=6.000 Σελίδα 28

Ακολούθως για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί όπως και προηγουμένως ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: Α = Κ (Δ ν) Δ = 600 (6.000 148) 6.000 = 585,20 Άρα η αξία του εμπορεύματος είναι το άθροισμα των δύο παρουσών αξιών όπως προαναφέραμε, δηλαδή 391,13+584,20=975,33 β) Υπολογισμός των παρουσών αξιών με εσωτερική προεξόφληση β1) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος: Ε = Α ν Δ Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την παρούσα αξία του γραμματίου συναρτήσει της ονομαστικής αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει αρχικά στον προαναφερόμενο τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, θέτοντας όπου Α=Κ-Ε, δηλαδή: (Κ Ε) ν Ε = Δ => Ε = Κ ν Ε ν Δ => Ε (Δ + ν) = Κ ν => Ε = Κ ν Δ + ν => Ε Δ = Κ ν Ε ν => Ε Δ + Ε ν = Κ ν => Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την παρούσα αξία του γραμματίου, επειδή η παρούσα αξία, το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α), είναι ίση με την ονομαστική αξία μείον τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Α=Κ- Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Α = Κ Ε => Α = Κ Κ ν Δ + ν => Α = Κ (Δ + ν) Κ ν Δ + ν Ισχύουν ημέρες προεξόφλησης 133 και Δ=6.000 => Α = Κ Δ Δ + ν Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: Α = Κ Δ 400 6.000 = Δ + ν 6.000 + 123 = 391,96 β2) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμοσθεί ο ίδιος τύπος. Ισχύουν ημέρες προεξόφλησης 158 και Δ=6.000 Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί όπως και προηγουμένως ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: Α = Κ Δ 600 6.000 = Δ + ν 6.000 + 148 = 585,56 Άρα η αξία του εμπορεύματος είναι το άθροισμα των δύο παρουσών αξιών όπως προαναφέραμε, δηλαδή 391,33+584,61=975,94 Σελίδα 29