8 th Lecture M.Sc. Bioinformatics and Neuroinformatics Brain signal recording and analysis
Εισαγωγή Για αναλυθεί ένα φυσικό σήμα, είναι απαραίτητο να στηριχθεί σε ένα μαθηματικό μοντέλο, δηλαδή να περιγράφει μαθηματικά. Υπάρχουν δυο κατηγορίες σημάτων στα μαθηματικά: Τα συνεχή σήματα Τα διακριτά σήματα.
Σήμα Σήμα: Το σύνολο των τιμών που μπορεί να λάβει μια φυσική ποσότητα Συνάρτηση σηματος αφορά μια (μονοδιάστατο σήμα) η περισσότερες (δισδιάστατο κλπ) ανεξάρτητες μεταβλητές (χρόνος ή συχνότητα) x(t): Σήμα συνεχούς χρόνου x[n]: Σήμα διακριτού χρόνου x[m,n]: Δισδιάστατο σήμα Τα σήματα είναι συναρτήσεις (ακολουθίες) ανεξάρτητων μεταβλητών που μεταφέρουν πληροφορία
Συνεχή κύματα Τα συνεχή σήματα περιγράφονται από μία συνεχή συνάρτηση s(t), η οποία παρέχει πληροφορία για το σήμα οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Ένα σήμα είναι συνεχές όταν παριστάνεται ως συνάρτηση μιας ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών. Τόσο η ανεξάρτητη μεταβλητή t όσο και η εξαρτημένη s μεταβάλλονται σ ένα συνεχές σύνολο τιμών. Σήματα αυτού του τύπου είναι γνωστά ως αναλογικά.
Διακριτά σήματα Τα διακριτά σήματα περιγράφονται από μία ακολουθία s(n), η οποία παρέχει πληροφορία σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές ή αλλιώς, ένα σήμα είναι διακριτό όταν παριστάνεται από μια ακολουθία μιας ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών. Στην περίπτωση αυτή, τόσο η ανεξάρτητη μεταβλητή όσο και η εξαρτημένη λαμβάνουν μόνο διακριτές τιμές. Σήματα αυτού του τύπου είναι γνωστά ως ψηφιακά.
Μετατροπή κύματος από αναλογικό σε ψηφιακό
Βιολογικά σήματα Τα βιοϊατρικά βιολογικά σήματα είναι συνεχή. Επειδή όμως η σύγχρονη τεχνολογία παρέχει κατάλληλες τεχνικές (μαθηματικές μεθόδους) επεξεργασίας διακριτών σημάτων, γι αυτό μετατρέπουμε ένα συνεχές σήμα σε διακριτό με τη μέθοδο της δειγματοληψίας. Τα πραγματικά σήματα δεν μπορούν να περιγράφουν επακριβώς με μαθηματικό τρόπο, καθώς εμπεριέχουν θόρυβο, και μη προβλέψιμες μεταβολές στα χαρακτηριστικά του σήματος που καθιστούν αδύνατη την ακριβή μαθηματική περιγραφή τους. Πολύ συχνά όμως προσεγγίζουμε ή μοντελοποιούμε ένα πραγματικό σήμα με τη χρήση μιας μαθηματικής συνάρτησης.
Περιοδικά κύματα Μια σημαντική οικογένεια μαθηματικών σημάτων είναι τα περιοδικά σήματα. Ένα αναλογικό (συνεχές) σήμα λέγεται περιοδικό όταν μπορεί να εκφρασθεί από τη σχέση: s(t) = s (t + n T) όπου n είναι ένας ακέραιος και Τ είναι η περίοδος του σήματος. Το περιοδικό σήμα αποτελείται από μια βασική κυματομορφή με διάρκεια Τ δευτερόλεπτα. Αυτή η βασική κυματομορφή επαναλαμβάνεται άπειρες φορές στον άξονα του χρόνου.
Ημιτονοειδής και συνημιτονοειδής καμπύλες
Σειρά Fourier Ο Jean Baptiste Fourier (1768-1830) απόδειξε ότι κάθε περιοδική y = f(x) συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως ένα άπειρο άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων Σειρά Fourier. Απλούστερη περιγραφή των σημάτων. Η σειρά Fourier οδηγεί και στην έννοια των φασμάτων που είναι απαραίτητα στην παρακολούθηση των πληροφοριών που μεταφέρουν τα σήματα
Σειρά Fourier Τα σήματα που χαρακτηρίζονται ως σήματα απλής συχνότητας διέρχονται αναλλοίωτα από ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα. Ωστόσο υπάρχουν κάποια μαθηματικά εργαλεία που επιτρέπουν την ανάλυση ενός σήματος σε σήματα απλών συχνοτήτων. Ο Γάλλος φυσικο-μαθηματικός Joseph Fourier υιοθέτησε για πρώτη φορά, την ανάλυση μιας σύνθετης συνάρτησης σε άθροισμα συναρτήσεων απλών συχνοτήτων για να μελετηθούν φαινόμενα διάδοσης της θερμότητας.
Ο μετασχηματισμός Fourier Ο ιδανικός τρόπος για να αναδειχθεί οποιαδήποτε περιοδικότητα είναι πιθανώς κρυμμένη μέσα στο σήμα, είναι να υπολογίσουμε το φάσμα του σήματός μας, δηλαδή τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος. Το φάσμα ενός χρονικά εξαρτώμενου σήματος μας πληροφορεί για το πόσο έντονο είναι το σήμα σε μία δεδομένη συχνότητα.
Ο μετασχηματισμός Fourier Η ιστορία των μετασχηματισμών άρχισε το 1807 όταν ο J. Fourier ισχυρίστηκε, ότι οποιαδήποτε περιοδική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα αρμονικών όρων. Το 1829 ο Dirichlet καθόρισε με ακρίβεια τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία περιοδική συνάρτηση μπορεί να παρασταθεί με την σειρά Fourier. Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί σημείο αναφοράς για κάθε περιήγηση στην επεξεργασία σήματος και για τους άλλους μετασχηματισμούς. Πολλά χρόνια αργότερα οι ιδέες του γενικεύτηκαν ώστε να συμπεριλάβουν και μη περιοδικές συναρτήσεις, και με τον νέο αλγόριθμο (1965) που ονομάστηκε Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier (FFT), έγιναν το συνηθέστερο εργαλείο ανάλυσης.
Συνθήκες Dirichlet Οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη του μετασχηματισμού Fourier μιας συνάρτησης f(t) είναι οι εξής: Η συνάρτηση f(t) είναι μονοσήμαντη στο διάστημα t1, t2. H συνάρτηση f(t) έχει πεπερασμένο αριθμό μεγίστων και ελαχίστων στο διάστημα t1-t2. H f(t) έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών στο διάστημα t1- t2. H f(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη στο διάστημα t1-t2. Η συνάρτηση f(t) μπορεί να επεκταθεί σε σειρά Fourier η οποία ισχύει για το διάστημα t1-t2. Αν η f(t) είναι περιοδική συνάρτηση Η επέκταση ισχύει για όλη την περίοδο Τ=t1-t2.
Μετασχηματισμός Fourier Γενικά ο μετασχηματισμός Fourier χρησιμοποιείται συχνά με σκοπό την μετατροπή οποιασδήποτε κυματομορφής από το πεδίο του χρόνου στην αντίστοιχη μορφή της στο πεδίο της συχνότητας. Υπάρχει και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier ο οποίος εκτελεί την αντίστροφη μετατροπή, δηλαδή από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου
Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier δίνεται από τη σχέση : το οποίο είναι το άθροισμα, στο χρόνο, του σήματος f (t) πολλαπλασιασμένου με μιγαδικό εκθετικό. Το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι οι συντελεστές Fourier F(ω) οι οποίοι όταν πολλαπλασιάζονται με ένα ημίτονο συχνότητας ω δίνει τις ημιτονοειδείς συνιστώσες που αποτελούν το αρχικό σήμα.
Γραφική παράσταση της διαδικασίας
Μετασχηματισμός Fourier Το σήμα δηλ. x(t) πολλαπλασιάζεται με έναν εκθετικό όρο συχνότητας f και ολοκληρώνεται για όλους τους χρόνους. Αν το αποτέλεσμα της άπειρης άθροισης δίνει μεγάλη τιμή, τότε λέμε ότι το σήμα x(t) έχει μια κύρια φασματική συνιστώσα στη συχνότητα f ή ότι ένα μεγάλο μέρος του σήματος x(t) αποτελείται από τη συχνότητα f. Αν το αποτέλεσμα είναι μηδενικό, τότε το σήμα δεν περιέχει καθόλου τη συχνότητα f.
Μετασχηματισμός Fourier Καθώς ο εκθετικός όρος μπορεί να γραφεί και ως cos(2nft)+jsin(2nft) κάθε περιοδικό σήμα με περίοδο 2π προσεγγίζεται ως γραμμικός συνδυασμός ημιτόνων και συνημίτονών
Μετασχηματισμός Fourier Από τον τρόπο που γίνεται η άθροιση, φαίνεται ότι σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή κι αν εμφανίζεται η συνιστώσα συχνότητας f επηρεάζει το αποτέλεσμα της άπειρης άθροισης με τον ίδιο τρόπο. Είτε εμφανιστεί την χρονική στιγμή t 1 είτε την t 2 θα έχει την ίδια επίδραση στην άθροιση. Η πληροφορία που παίρνουμε είναι εάν υπάρχει στο σήμα μια συγκεκριμένη συχνότητα ή αν δεν υπάρχει. Με το μετασχηματισμό Fourier καθορίζεται ποιες συνιστώσες είναι παρούσες σε ένα σήμα.
Fourier Analysis H ανάλυση Fourier είναι ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία στην ανάλυση των σημάτων τα τελευταία χρόνια εξ αίτιας της γενικότητας και της απλότητας της. Η βασική ιδέα πίσω από την ανάλυση Fourier είναι η ανάλυση του σήματος και η αναπαράσταση του από μια ατέρμονη σειρά ορθοκανονικών συναρτήσεων βάσης διαφορετικής συχνότητας. Οι συναρτήσεις βάσης που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση Fourier είναι συναρτήσεις ημιτόνων και συνημίτονών.
Fourier Analysis Οι συντελεστές των συναρτήσεων βάσης αναπαριστούν την συνεισφορά κάθε συνάρτησης ημιτόνου και συνημίτονού σε κάθε συχνότητα στο εξεταζόμενο σήμα. Οι σειρές Fourier εφαρμόζονται σε περιοδικά σήματα ενώ ο μετασχηματισμός Fourier βρίσκει εφαρμογή είτε σε περιοδικά είτε σε μη περιοδικά σήματα Σημαντικό πλεονέκτημα της ανάλυσης Fourier είναι η μετάβαση της ανάλυσης από το πεδίο του χρόνου σε αυτό της συχνότητας. Με αυτή την ανάλυση γίνεται αντιληπτή η συνεισφορά κάθε συχνότητας.
Μετατροπή σήματος από χρόνο σε συχνότητα
Fourier Transform Ένα σήμα μπορεί να είναι είτε συνεχές ή διακριτό, είτε περιοδικό ή μη περιοδικό. Ο συνδυασμός αυτών των περιπτώσεων δημιουργεί τέσσερις κατηγορίες σημάτων, για τις οποίες η εφαρμογή της ανάλυσης Fourier λαμβάνει και αντίστοιχες ονομασίες.
Fourier Transform Για σήματα που είναι συνεχή και μη περιοδικά η ανάλυση Fourier ονομάζεται Μετασχηματισμός Fourier (Fourier Transform) Για σήματα που είναι συνεχή και περιοδικά ονομάζεται Σειρά Fourier (Fourier Series) Για σήματα που είναι διακριτά και μη περιοδικά ονομάζεται Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (Discrete Time Fourier Transform) Για σήματα που είναι διακριτά και περιοδικά ονομάζεται Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform).
Fourier Transform
Discrete Fourier Transform Η μεγάλη αξία του μετασχηματισμού Fourier αναβαθμίστηκε όταν λόγω της χρήσης των υπολογιστών και επομένως της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος, εφαρμόστηκε σε διακριτές σειρές δεδομένων. Ο μετασχηματισμός αυτός ονομάστηκε διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform). O DFT δίνεται από τον τύπο: όπου X[k] είναι ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier του σήματος x[n], με μήκος σήματος Ν.
Ταχύς μετασχηματισμός Fourier Fast Fourier Transform Ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier αποτελεί έναν αλγόριθμο ο οποίος βοηθάει να υπολογιστεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier. Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αλγόριθμοι οι οποίοι μπορούν να επιτύχουν αυτό το αποτέλεσμα, απλά έχουν διαφορές κυρίως στο πλήθος των πράξεων που χρειάζονται και στο μέγεθος της απαιτούμενης μνήμης. Αυτοί οι αλγόριθμοι εφαρμόζονται σε σήματα που αποτελούνται από Ν δείγματα, όπου Ν= 2μ δηλαδή πρόκειται για έναν αλγόριθμο βάσης 2. Αρχικά η ακολουθία των Ν σημείων χωρίζεται σε ακολουθίες μήκους Ν/2 όπου η μία έχει τους άρτιους δείκτες και η άλλη τους περιττούς δείκτες.
Εξέλιξη Μετασχηματισμού Fourier Από το 1807 και έπειτα, η ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας άρχισε σταδιακά να εμπλουτίζεται με την ιδέα της ανάλυσης κλίμακας, δηλαδή ανάλυσης ενός σήματος x(t) με τη βοήθεια μιας μαθηματικής δομής μεταβλητής κλίμακας. Για πρώτη φορά γίνεται αναφορά στην έννοια κυματίδιο (wavelet) από τον Haar, το 1909. Μία βασική ιδιότητα των συναρτήσεων που χρησιμοποίησε είναι η ιδιότητα τους να μηδενίζονται έξω από ένα πεπερασμένο διάστημα. Από τη δεκαετία του 1930 έως τη δεκαετία του 1960, αναπτύχθηκε από διάφορες ανεξάρτητα εργαζόμενες ερευνητικές ομάδες, η αναπαράσταση των συναρτήσεων χρησιμοποιώντας βάσεις μεταβλητής κλίμακας.
Μετασχηματισμός Wavelet Ο μετασχηματισμός κυματιδίου, εν συντομία γράφεται και ως WT που προέρχεται από τον αγγλικό του όρο wavelet transform και είναι ιδιαίτερα χρήσιμος στην ώστε να αναλυθούν σήματα τα οποία χαρακτηρίζονται ως απεριοδικά, ασυνεχή, με απότομες αλλαγές και θόρυβο. Έχει την ικανότητα να εξετάζει το σήμα ταυτόχρονα στο πεδίο του χρόνου αλλά και στο πεδίο της συχνότητας, σε αντίθεση με το μετασχηματισμό Fourier, επομένως έχουν δημιουργηθεί πολλές εξελιγμένες μέθοδοι οι οποίες βασίζονται στα κυματίδια. Ο WT έχει εφαρμογές σε πάρα πολλούς τομείς και βοηθάει στην ανάλυση πολλών φυσικών φαινόμενων.
Ανάλυση Wavelet Από ιστορικής άποψης, η ανάλυση wavelet είναι καινούρια μέθοδος Tο μαθηματικό της υπόβαθρο χρονολογείται στις εργασίες του Joseph Fourier το 19 ο αιώνα. Έθεσε τα θεμέλια της ανάλυσης συχνότητας η οποία αποδείχθηκε εξαιρετικά σημαντική και με μεγάλη επιρροή. Η προσοχή των ερευνητών εστιάστηκε σταδιακά από τη βασισμένη στη συχνότητα ανάλυση στην ανάλυση με βάση την κλίμακα όταν άρχισε να γίνεται εμφανές ότι μια προσέγγιση που θα μετρούσε τις μέσες διακυμάνσεις σε διαφορετικές κλίμακες θα μπορούσε να είναι λιγότερο ευαίσθητη στο θόρυβο.
Ανάλυση Wavelet Η ανάλυση Wavelet είναι το επόμενο λογικό βήμα μετά την ανάλυση Fourier. Η ανάλυση Wavelet επιτρέπει τη χρήση μεγαλύτερων χρονικών περιόδων στις οποίες επιθυμούμε πιο ακριβή πληροφορία χαμηλών συχνοτήτων και μικρότερων περιοχών όπου θέλουμε πληροφορία υψηλότερων συχνοτήτων. Η ανάλυση Wavelet δε χρησιμοποιεί περιοχή ανάλυσης χρόνου συχνότητας αλλά χρόνου - κλίμακας.
Εικονική περιγραφή του μετασχηματισμού wavelet
Ανάλυση Wavelet Το wavelet είναι μια κυματομορφή περιορισμένης διάρκειας η οποία έχει μέση τιμή 0. Αν συγκρίνουμε τα wavelet με ημιτονοειδή κύματα, (η βάση της ανάλυσης Fourier) θα δούμε ότι τα ημιτονοειδή κύματα έχουν άπειρη διάρκεια ενώ ένα wavelet πεπερασμένη διάρκεια. Ενώ τα ημίτονα είναι ομαλά και προβλέψιμα, τα wavelet τείνουν να είναι ακανόνιστα και ασύμμετρα.
Ημιτονοειδές κύμα και wavelet
Fourier vs Wavelet Η ανάλυση Fourier έγκειται στη διάσπαση ενός σήματος σε ημιτονοειδή κύματα διάφορων συχνοτήτων. Αντίστοιχα η ανάλυση wavelet αντιστοιχεί στη διάσπαση ενός σήματος σε μετατοπισμένες και βαθμωμένες παραλλαγές ενός αρχικού ή μητρικού wavelet. Σήματα με οξείες αλλαγές να μπορούν να αναλυθούν καλύτερα με ένα ακανόνιστο wavelet παρά με ένα ομαλό ημίτονο. Τα τοπικά χαρακτηριστικά μπορούν να περιγράφουν καλύτερα με τα wavelet που έχουν περιορισμένη έκταση. Το σημαντικό για την ανάλυση wavelet είναι ότι μπορεί να εφαρμοστεί και σε δισδιάστατα δεδομένα όπως οι εικόνες αλλά και σε μεγαλύτερης διάστασης δεδομένα.
Δυνατότητες της ανάλυσης Wavelet Ένα μεγάλο πλεονέκτημα των wavelets είναι η ικανότητά τους να πραγματοποιούν τοπική ανάλυση, που σημαίνει να αναλύουν μια εντοπισμένη περιοχή ενός μεγαλύτερου σήματος. Ας θεωρήσουμε ένα ημιτονοειδές σήμα με μία μικρή ασυνέχεια μόλις ορατή όπως αυτό του σχήματος.
Δυνατότητες της ανάλυσης Wavelet Θα μπορούσαμε να συναντήσουμε ένα τέτοιο σήμα στην πράξη, πιθανώς λόγω διακύμανσης ισχύος ή ενός διακόπτη θορύβου. Ένα διάγραμμα συντελεστών Fourier του σήματος αυτού δεν δείχνει τίποτα το συγκεκριμένο, μόνο ένα επίπεδο φάσμα με δύο κορυφές που αναπαριστάνουν μία συχνότητα. Ωστόσο, ένα διάγραμμα συντελεστών wavelet δείχνει ξεκάθαρα την ακριβή θέση της ασυνέχειας στο χρόνο.
Δυνατότητες της ανάλυσης Wavelet Η ανάλυση wavelet είναι ικανή να ανασυνθέτει πτυχές των δεδομένων που οι υπόλοιπες τεχνικές αδυνατούν, όπως τάσεις, σημεία κατάρρευσης και ασυνέχειες ανώτερων παραγώγων. Επειδή επιτυγχάνει μια διαφορετική θεώρηση των δεδομένων απ ότι οι υπόλοιπες τεχνικές, η ανάλυση wavelet μπορεί συχνά να συμπιέσει ή να αφαιρέσει το θόρυβο από ένα σήμα χωρίς να το υποβαθμίσει σημαντικά. Τα wavelet έχουν ήδη αποδειχθεί απαραίτητο εργαλείο των αναλυτών και συνεχίζουν να τυγχάνουν ταχύτατα αυξανόμενης απήχησης σήμερα.
Wavelet Transform Ο μετασχηματισμός κυματιδίου, γράφεται ως WT από τον αγγλικό του όρο wavelet transform και είναι ιδιαίτερα χρήσιμος στην ανάλυση σημάτων που χαρακτηρίζονται ως απεριοδικά, ασυνεχή, με απότομες αλλαγές και θόρυβο. Έχει τη δυνατότητα να εξετάζει το σήμα ταυτόχρονα τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο της συχνότητας σε αντίθεση με το μετασχηματισμό Fourier, επομένως αυτό είχε ως αποτέλεσμα να δημιουργηθούν πολλές τεχνικές βασισμένες στα κυματίδια Σήμερα ο WT έχει εφαρμογές σε πάρα πολλούς τομείς και βοηθάει στην ανάλυση πλείστων φυσικών φαινόμενων με μεγάλη επιτυχία.
Συνεχής μετασχηματισμός κυματιδίου Ο WT είναι μια μέθοδος με την οποία μετατρέπουμε μια συνάρτηση ή ένα σήμα σε μια άλλη μορφή η οποία είτε κάνει κάποια συγκεκριμένα χαρακτηριστικά του αρχικού σήματος πιο ευδιάκριτα προς μελέτη, είτε επιτρέπουν το αρχικό πακέτο δεδομένων να περιγραφεί πιο αναλυτικά. Για να εκτελεστεί ένας WT χρειάζεται ένα κυματίδιο το οποίο στην ουσία αποτελεί μία συνάρτηση ψ(t) που ικανοποιεί συγκεκριμένα μαθηματικά κριτήρια. Πολλές εφαρμογές των κυματιδίων έχουν ως ανεξάρτητη μεταβλητή το χώρο παρά το χρόνο.
Συντελεστής κλίμακας Ο συντελεστή κλίμακας δηλώνεται συχνά με το γράμμα α. Όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής κλίμακας, τόσο περισσότερο «συμπιεσμένο» είναι το κυματίδιο. Οι μεγαλύτερες κλίμακες αντιστοιχούν σε περισσότερο «εκτεταμένα» κυματίδια. Όσο περισσότερο εκτεταμένο είναι ένα κυματίδιο, τόσο μεγαλύτερο είναι το τμήμα του σήματος με το οποίο συγκρίνεται και, συνεπώς, τόσο πιο «αδρά» τα χαρακτηριστικά του σήματος που μετρούνται από τους συντελεστές του κυματιδίου.
Συντελεστής κλίμακας Υπάρχει μία αντιστοιχία μεταξύ των κλιμάκων του κυματιδίου και της συχνότητας όπως αποκαλύπτεται από την ανάλυση κυματιδίων: Μικρή κλίμακα α (low scale) Συμπιεσμένο κυματίδιο Ταχέως μεταβαλλόμενες λεπτομέρειες Υψηλή συχνότητα (high frequency). Μεγάλη κλίμακα α (high scale) Εκτεταμένο κυματίδιο Βραδέως μεταβαλλόμενα, αδρά χαρακτηριστικά Χαμηλή συχνότητα (low frequency).
Συντελεστής κλίμακας Η επίδραση του συντελεστή κλίμακας είναι πολύ εύκολο να παρατηρηθεί με τα κυματίδια. Η μετατόπιση ενός κυματιδίου σημαίνει απλά καθυστέρηση (ή επίσπευση) της εφαρμογής του. Έτσι παρέχεται ένα μοναδικό αναλυτικό μοτίβο και τα αντίγραφά του σε διάφορες κλίμακες και χρονικές στιγμές.
Continuous Walelet Transform Τα αποτελέσματα του CWT είναι πολλοί συντελεστές C, οι οποίοι είναι συνάρτηση της κλίμακας και της θέσης. Οι κυματιδιακοί αυτοί συντελεστές παρέχουν πλήρη πληροφορία με απλό τρόπο και μια άμεση εκτίμηση της τοπικής ενέργειας για τις διάφορες κλίμακες. Πολλαπλασιάζοντας κάθε συντελεστή με το κατάλληλης κλίμακας και μετατόπισης wavelet παίρνουμε τις παραμέτρους wavelet του αρχικού σήματος.
Continuous wavelet transform Ο συνεχής μετασχηματισμός wavelet είναι το άθροισμα στο χρόνο του σήματος πολλαπλασιασμένου με κλιμακωμένες και μετατοπισμένες εκδοχές του wavelet. Η διαδικασία αυτή παράγει τους συντελεστές wavelet οι οποίοι είναι συνάρτηση της κλίμακας και της θέσης. Στην πράξη χρειάζονται 5 απλά βήματα για τη δημιουργία ενός CWT :
Continuous wavelet transform Στην πράξη χρειάζονται 5 απλά βήματα για τη δημιουργία ενός CWT : 1) Δημιουργούμε ένα wavelet και το συγκρίνουμε με ένα τμήμα του αρχικού σήματος. 2) Υπολογίζουμε τον αριθμό c, ο οποίος αντιπροσωπεύει πόσο στενά συσχετίζεται το wavelet με αυτό το τμήμα του σήματος. Τα αποτελέσματα βέβαια εξαρτώνται από το σχήμα του wavelet που επιλέχτηκε.
Continuous wavelet transform 3) Μετατοπίζουμε το wavelet προς τα δεξιά και επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 και 2 μέχρι να καλύψουμε ολόκληρο το σήμα. 4) Κλιμακώνουμε το wavelet και επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 ως 3. 5) Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 ως 4 για όσες κλίμακες επιθυμούμε. Στο τέλος αυτής της διαδικασίας θα έχουμε συγκεντρώσει τους συντελεστές που παρήχθησαν σε διάφορες κλίμακες από διαφορετικά τμήματα του σήματος. Οι συντελεστές είναι το αποτέλεσμα μιας παλινδρόμησης του αρχικού σήματος που πραγματοποιήθηκε με τα wavelets.
Discrete wavelet transform Διακριτός μετασχηματισμός wavelet Όπως συμβαίνει και με πολλούς άλλους μετασχηματισμούς που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση σήματος, ο Κυματιδιακός Μετασχηματισμός απαντάται ως συνεχής και ως διακριτός. Ο Συνεχής Κυματιδιακός Μετασχηματισμός αποτελεί ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση σημάτων που, όμως, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτούσιος για υπολογισμούς με ηλεκτρονικούς υπολογιστές λόγω των αναλυτικών σχέσεων και των ολοκληρωμάτων που απαιτεί.
Discrete wavelet transform Διακριτός μετασχηματισμός wavelet Με δεδομένη την εξάπλωση της χρήσης ηλεκτρονικών υπολογιστών σε όλους τους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, κρίθηκε απαραίτητη η διακριτοποίηση - μέσω δειγματοληψίας- του Συνεχή Κυματιδιακού Μετασχηματισμού ώστε να χρησιμοποιηθεί σε πρακτικούς υπολογισμούς. Το επόμενο βήμα ήταν να βρεθεί ένας αλγόριθμος που να μειώνει το υπολογιστικό κόστος και το χρόνο υπολογισμού του Συνεχή Κυματιδιακού Μετασχηματισμού. Έτσι γεννήθηκε ο Διακριτός Κυματιδιακός Μετασχηματισμός..
Discrete wavelet transform Για πολλά σήματα, το περιεχόμενο χαμηλής συχνότητας είναι το πιο σημαντικό κομμάτι τους. Είναι αυτό που δίνει στο σήμα την ταυτότητά του. Το περιεχόμενο υψηλής συχνότητας, απ την άλλη πλευρά, προσδίδει ποικιλία ή αποχρώσεις. Ας πάρουμε για παράδειγμα την ανθρώπινη φωνή. Αν αφαιρέσουμε τις συνιστώσες χαμηλής συχνότητας, η φωνή ακούγεται διαφορετική, αλλά μπορεί ακόμη να καταλάβει κανείς τι λέγεται. Αν όμως αφαιρέσουμε τις συνιστώσες χαμηλής συχνότητας ακούμε ασυναρτησίες.
Discrete wavelet transform Στην ανάλυση wavelet μιλάμε συχνά για προσεγγίσεις και λεπτομέρειες. Οι προσεγγίσεις είναι μεγάλης κλίμακας χαμηλής συχνότητας συνιστώσες του σήματος. Οι λεπτομέρειες είναι οι συνιστώσες μικρής κλίμακας υψηλής συχνότητας.
Discrete wavelet transform Το αρχικό σήμα S περνά μέσα από δύο συμπληρωματικά φίλτρα απ όπου παράγονται δύο σήματα. Όλοι οι μετασχηματισμοί wavelet μπορούν να περιγραφούν από βαθυπερατά φίλτρα που ικανοποιούν την εξίσωση: H (z) H (z-1) + H (-z) H (-z-1) = 1 Τα συμπληρωματικά τους υψιπερατά φίλτρα περιγράφονται από τη σχέση G (z) = z H ( z-1 )
Ανάλυση Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis) Ας θεωρήσουμε ένα παράδειγμα: φανταζόμαστε ότι είμαστε σε ένα δωμάτιο όπου δύο άνθρωποι μιλούν ταυτόχρονα. Έχουμε δύο μικρόφωνα, τα οποία κρατάμε σε διαφορετικές θέσεις. Τα μικρόφωνα δίνουν δύο καταγραφές σημάτων στο χρόνο, τα οποία μπορούν να περιγραφούν από τα x1(t) και x2(t), όπου x1 και x2 τα πλάτη και t ο χρόνος. Κάθε ένα από αυτά τα καταγεγραμμένα σήματα είναι ένα σταθμισμένο άθροισμα των λεκτικών σημάτων που εκπέμπονται από τους δύο ομιλητές, τα οποία περιγράφονται από τα s1(t) και s2(t).
Ανάλυση Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis) Αυτό μπορεί να εκφραστεί με την εξής γραμμική εξίσωση: x1(t) = α11 s1(t) + α12 s2(t) x2(t) = α21 s(t) + α22 s2(t) όπου α11, α12, α21 και α22 είναι μερικές παράμετροι που εξαρτώνται από τις αποστάσεις των μικροφώνων των ομιλητών.
Ανάλυση Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis) Θα ήταν πολύ χρήσιμο αν μπορούσαμε να υπολογίσουμε τα δύο αρχικά λεκτικά σήματα s1(t) και s2(t), χρησιμοποιώντας μόνο τα καταγεγραμμένα σήματα x1(t) και x2(t). Αυτό ονομάζεται cocktail-party problem. Προς το παρόν, παραλείπουμε οποιεσδήποτε καθυστερήσεις ή άλλους πρόσθετους παράγοντες από το απλουστευμένο πρότυπο μίξης.
Τα αρχικά λεκτικά σήματα η μίξη των σημάτων
Ανάλυση Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis) Το πρόβλημα είναι η ανάκτηση των αρχικών δεδομένων, χρησιμοποιώντας μόνο τα δεδομένα από την μίξη του κύματος Οι υπολογισμοί των αρχικών σημάτων της πηγής, χρησιμοποιώντας μόνο τα παρατηρηθέντα σήματα
Ανάλυση Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis) Αν γνωρίζαμε τις παραμέτρους aij, θα μπορούσαμε να λύσουμε τη γραμμική εξίσωση με κλασσικές μεθόδους. Το ζητούμενο είναι ότι εάν δεν είναι γνωστά τα aij, το πρόβλημα γίνεται αρκετά δυσκολότερο. Μια προσέγγιση στην επίλυση αυτού του προβλήματος θα ήταν να χρησιμοποιηθούν κάποιες πληροφορίες των στατιστικών ιδιοτήτων των σημάτων Si(t) για τον υπολογισμό των aij.
Ανάλυση Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis) Η τεχνική ανάλυσης ανεξάρτητων κυρίαρχων συνιστωσών (Independent Component Analysis), μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των aij που βασίζεται στις πληροφορίες της ανεξαρτησίας τους, επιτρέποντας το διαχωρισμό των δύο αρχικών πηγών των σημάτων s1(t) και s2(t), από τις αναμείξεις των x1(t) και x2(t).
Ανάλυση Ανεξάρτητων Συνιστωσών (Independent Component Analysis) Φαίνονται τα δύο σήματα που υπολογίζονται με τη μέθοδο ICA. Είναι πολύ όμοια με τα αρχικά σήματα της πηγής (τα σήματα τους αντιστρέφονται, αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία).
ICA Η μέθοδος ICA αναπτύχθηκε αρχικά για να εξεταστούν τα προβλήματα που σχετίζονται αρκετά με το cocktail-party problem. Πρόσφατα, το ενδιαφέρον έχει αυξηθεί για τη μέθοδο ICA, καθώς επίσης, έχει γίνει σαφές ότι αυτή η αρχή έχει και άλλες πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Εξετάζουμε, για παράδειγμα, τις ηλεκτρικές καταγραφές της εγκεφαλικής δραστηριότητας όπως δίνεται από ένα ηλεκτροεγκεφαλογράφημα (EEG).
ICA Τα δεδομένα του ηλεκτροεγκεφαλογραφήματος (EEG) αποτελούνται από τις καταγραφές των ηλεκτρικών δυναμικών σε πολλές διαφορετικές θέσεις μέσα στο κρανίο. Αυτά τα ηλεκτρικά δυναμικά πιθανώς παράγονται με το συνδυασμό μερικών κυρίαρχων συνιστωσών από τη δραστηριότητα ου εγκεφάλου. Αυτή η κατάσταση είναι αρκετά παρόμοια με το cocktail-party problem: θα επιθυμούσαμε να βρούμε τις αρχικές συνιστώσες της δραστηριότητας του εγκεφάλου, αλλά μπορούμε να παρατηρήσουμε μόνο το συνδυασμό των συνιστωσών. Η μέθοδος ICA μπορεί να αποκαλύψει ενδιαφέρουσες πληροφορίες για τη δραστηριότητα του εγκεφάλου, παρέχοντας πρόσβαση στις ανεξάρτητες συνιστώσες.
ICA Μία άλλη, πολύ διαφορετική εφαρμογή της μεθόδου ICA είναι η εξαγωγή χαρακτηριστικών. Ένα θεμελιώδες πρόβλημα στην επεξεργασία ψηφιακού σήματος είναι ο προσδιορισμός των κατάλληλων αντιπροσωπεύσεων για την εικόνα, τον ήχο ή άλλο είδος δεδομένων για επεξεργασία, όπως η συμπίεση και η απομάκρυνση θορύβου (denoising). Οι αναπαραστάσεις δεδομένων είναι συχνά βασισμένες σε (διακριτούς) γραμμικούς μετασχηματισμούς. (π.χ. Fourier)
Ορισμός της μεθόδου ICA Για να καθορίσουμε αυστηρά τη μέθοδο ICA, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα στατιστικό πρότυπο απροσδιόριστων μεταβλητών (latent variables). Υποθέτουμε ότι παρατηρούνται n γραμμικά μίγματα x1,,xn n ανεξάρτητων συνιστωσών: xj = αj1s1 + αj2s2 + + αjnsn, για κάθε j Έχοντας παραλείψει τη μεταβλητή του χρόνου t, υποθέτουμε ότι κάθε μίγμα xj καθώς επίσης και κάθε ανεξάρτητη συνιστώσα sk είναι μια τυχαία μεταβλητή, αντί ενός κατάλληλου χρονικού σήματος. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι οι μεταβλητές μιγμάτων και οι ανεξάρτητες συνιστώσες έχουν μέση τιμή μηδέν. Αν αυτό δεν ισχύει, οι μεταβλητές xi μπορούν πάντα να κεντροθετηθούν αφαιρώντας την μέση τιμή του δείγματος, το οποίο κάνει το πρότυπο μηδενικής μέσης τιμής.
Ορισμός της μεθόδου ICA Θα ήταν καλύτερο να χρησιμοποιηθεί η παράσταση του διανυσματικού πίνακα αντί του αθροίσματος, όπως στην προηγούμενη εξίσωση. Το τυχαίο διάνυσμα x έχει ως στοιχεία τα μίγματα x1,,xn, το τυχαίο διάνυσμα s έχει ως στοιχεία τα s1,,sn και ο πίνακας Α έχει ως στοιχεία τα aij. Όλα τα διανύσματα γίνονται κατανοητά ως διανύσματα στηλών, κατά συνέπεια το xt ή ανάστροφο του x, είναι ένα διάνυσμα γραμμής. Χρησιμοποιώντας αυτή τη παράσταση του πίνακα διανύσματος, το πρότυπο μίξης γράφεται ως ένας πίνακας μίξης που περιγράφει το γραμμικό συνδυασμό των s(t) και δίνεται από τον πλήρους τάξης n m πίνακα A Η ιδανική αναπαράσταση του προβλήματος ICA περιγράφεται στο σχήμα που ακολουθεί:
Αναπαράσταση της διαδικασίας ICA, όπου οι μετρήσεις στους αισθητήρες x(t), υποτίθεται ότι αποτελούνται από τη γραμμική μίξη των ανεξάρτητων πηγών s(t). Η ICA παράγει ένα πίνακα διαχωρισμού W, ο οποίος διαχωρίζει τις μετρήσεις δίνοντας μία εκτίμηση των ανεξάρτητων πηγών (t)
Ορισμός της μεθόδου ICA Το στατιστικό πρότυπο της εξίσωσης καλείται ανάλυση ανεξάρτητων συνιστωσών ή πρότυπο ICA. Το πρότυπο ICA είναι ένα παραγωγικό πρότυπο, που σημαίνει ότι περιγράφει πως τα παρατηρηθέντα δεδομένα παράγονται με μια διαδικασία των συνιστωσών si. Οι ανεξάρτητες συνιστώσες είναι απροσδιόριστες μεταβλητές, δηλαδή δεν μπορούν να παρατηρηθούν άμεσα. Επίσης ο πίνακας μίξης υποτίθεται ότι είναι άγνωστος. Ακόμα παρατηρούμε ότι το x είναι τυχαίο διάνυσμα και για αυτό θα πρέπει να υπολογίσουμε τα Α και s που το χρησιμοποιούν. Αυτό πρέπει να γίνει πιθανόν υπό γενικές προϋποθέσεις.
Η αφετηρία για την μέθοδο Οι συνιστώσες si θεωρούνται στατιστικά ανεξάρτητες. Όμως, στο βασικό πρότυπο δε θεωρούμε αυτές τις κατανομές καθορισμένες (αν είναι γνωστές, το πρόβλημα είναι αρκετά απλοποιημένο). Για απλότητα, υποθέτουμε επίσης ότι αυτός ο άγνωστος πίνακας μίξης είναι τετραγωνικός. Μετά μπορούμε να υπολογίσουμε τον πίνακα Α και τον αντίστροφο (και να πάρουμε την ανεξάρτητη συνιστώσα
Η αφετηρία για την μέθοδο Η μέθοδος ICA σχετίζεται με τη μέθοδο Βlind Source Separation (τυφλός διαχωρισμός πηγής) ή Blind Signal Separation (τυφλός διαχωρισμός σημάτων). Μία «πηγή» εννοείται ένα αρχικό σήμα, δηλαδή ανεξάρτητη συνιστώσα, όπως ο ομιλητής σε ένα cocktail party problem. «Blind» σημαίνει ότι ξέρουμε πολύ λίγα για τον πίνακα μίξης και κάνουμε υποθέσεις για την πηγή των σημάτων. Η ICA είναι μια μέθοδος, ίσως ευρύτατα χρησιμοποιημένη, για την εκτέλεση του τυφλού διαχωρισμού πηγής.