3 ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ Ο Μετασχηµατισµός του Λόρεντς για τις Συντεταγµένες Θέσης Ενός Συµβάντος Έστω ένα αδρανειακό σύστηµα S, και ένα δεύτερο, S, το οποίο κινείται µε ταχύτητα ως προς το πρώτο Επιλέγουµε τους άξονες των δύο συστηµάτων έτσι ώστε να συµπίπτουν τη χρονική στιγµή t = = 0, και η ταχύτητα του S ως προς το S να είναι = xˆ Τη χρονική στιγµή t = = 0, ένα σφαιρικό µέτωπο φωτός εκπέµπεται από το σηµείο όπου βρίσκονται οι αρχές των αξόνων (Ο, Ο ) των δύο συστηµάτων Σύµφωνα µε την αρχή του αναλλοίωτου της ταχύτητας του φωτός στο κενό, και στα δύο συστήµατα αναφοράς, τα µέτωπα του κύµατος θα είναι σφαίρες µε κέντρα τις αρχές των αξόνων τους, (Ο, Ο ), και µε ακτίνες που ισούνται, αντίστοιχα, µε r = t και r = Ποιος µετασηµατισµός των συντεταγµένων θέσης κάνει αυτή την απαίτηση δυνατή;
Υποθέτουµε έναν γραµµικό µετασχηµατισµό ( x, y, z, t) ( x, y, z, ), της µορφής: x = αx+ εt, y = y, z = z, = δ x+ ηt, όπου α, ε, δκαι ηείναι οι συντελεστές του µετασχηµατισµού, που πρέπει να προσδιοριστούν Ο µετασχηµατισµός πρέπει να είναι γραµµικός, ούτως ώστε µια οµαλή κίνηση χωρίς επιτάχυνση στο ένα σύστηµα αναφοράς να µετασχηµατίζεται σε κίνηση χωρίς επιτάχυνση και στο άλλο σύστηµα Έχουµε ήδη εξηγήσει γιατί πρέπει να είναι y = y, z = z Για να προσδιορίσουµε τους συντελεστές α, ε, δκαι ηχρησιµοποιούµε τα ακόλουθα δεδοµένα: Το σηµείο Ο έχει ταχύτητα στο σύστηµα S Εποµένως, θέτοντας x = 0, πρέπει να είναι dx / dt = dx ε Επειδή είναι dx = αdx+ ε dt, έχουµε, για dx = 0, = = dt α Το σηµείο Ο έχει ταχύτητα στο σύστηµα S Θέτοντας x= 0, πρέπει να είναι dx / d= Επειδή είναι dx = αdx+ ε dt, d = δ dx+ ηdt, έχουµε, για dx= 0, dx ε = = d η ε ε Βρήκαµε ότι: =, και εποµένως και α η = α = η
3 Τα µέτωπα του παλµού φωτός στα δύο συστήµατα είναι σφαίρες µε κέντρα τα Ο και Ο, αντίστοιχα, και ακτίνες που αυξάνουν µε την ίδια ταχύτητα, Εποµένως, για σηµεία πάνω στα µέτωπα του φωτός πρέπει να είναι: x + y + z = t () και x + y + z = () Αντικαθιστώντας στην () για τα x, y, z,, προκύπτει η σχέση ή α x + αε xt+ ε t + y + z = ( δ x + δα xt+ α t ) ( α δ ) x + (αε δα ) xt+ y + z = ( α ε ) t Η οποία είναι ταυτόσηµη µε την () για κάθε τιµη των α δ =, αε δα = 0, α ε = Τελικά, α = η = x, y, z, t / δ = / / ε = αν / Ο Μετασχηµατισµός του Λόρεντς Βρήκαµε τον µετασχηµατισµό: x t t ( / ) x x =, y = y, z = z, = / / ο οποίος είναι γνωστός ως µετασχηµατισµός του Λόρεντς Ο µετασχηµατισµός πράγµατι δίνει τη σχέση γράφουµε τον µετασχηµατισµό του Λόρεντς ως: β x x = γ ( x βt), y = y, z = z, = γ t x + y + z = αν είναι x + y + z = t Αν ορίσουµε την ανηγµένη ταχύτητα β και τον παράγοντα Λόρεντς γ = / β
Ο Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Για τον µετασχηµατισµό από το σύστηµα S στο σύστηµα S βρήκαµε: x t t ( / ) x x =, y = y, z = z, = / / Για να βρούµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό, από το σύστηµα S στο σύστηµα S, αλλάζουµε το πρόσηµο της και αντικαθιστούµε τα τονούµενα σύµβολα µε άτονα και αντιστρόφως: Ο Μετασχηµατισµός του Γαλιλαίου ως Όριο του Μετασχηµατισµού του Λόρεντς Για ταχύτητες πολύ µικρές σε σύγκριση µε την, είναι x = x t, y = y, z = z, = t δηλαδή προκύπτει ο µετασχηµατισµός του Γαλιλαίου x + + ( / ) x x=, y= y, z= z, t = / / Παράδειγµα: Μια εφαρµογή του µετασχηµατισµού του Λόρεντς Ένα συµβάν έχει στο αδρανειακό σύστηµα S συντεταγµένες ( x= m, y= m, z= m, t= ns) Να βρεθούν οι συντεταγµένες του συµβάντος στο S, το οποίο κινείται ως προς το S µε σταθερή ταχύτητα 4 = xˆ,όπου = 5 Οι άξονες των δύο συστηµάτων συνέπιπταν όταν t = = 0 Ισχύει ο µετασχηµατισµός του Λόρεντς, µε 5 4 β = / =, γ= / / = 5 3 Με αυτές τις τιµές και x= m, y= m, z= m, t = ns, οι εξισώσεις του µετασχηµατισµού του Λόρεντς δίνουν: 5 4 8 9 5 x = γ ( x βt) = (3 0 )( 0 ) = ( 0, 4) =, 7 m 3 5 3 y = y= m, z = z= m
5 9 4 5 40 9 = γ( t ( β / ) x) = 0 0,78 ns 8 3 5 = = 3 0 3 5 Ένα συµβάν που έχει συντεταγµένες ( x= m, y= m, z= m, t = ns) έχει συντεταγµένες ( x=,7 m, y = m, z= m, t =,78 ns) στο αδρανειακό σύστηµα S, στο S Έστω µια ράβδος που είναι ακίνητη στο σύστηµα αναφοράς S και είναι παράλληλη προς τον άξονα των x Τα δύο άκρα της ράβδου βρίσκονται στα σηµεία x και x Το µήκος της ράβδου στο σύστηµα S, το µήκος ηρεµίαςτης, είναι L = x x 0 Η Συστολή του Μήκους Στο σύστηµα S, τη χρονική στιγµή, τα δύο άκρα της ράβδου βρίσκονται, αντίστοιχα, στα σηµεία x και x Το µήκος της ράβδου στο σύστηµα S είναι ίσο µε L= x x
Ο µετασχηµατισµός του Λόρεντς, από το σύστηµα S στο σύστηµα S, δίνει τις σχέσεις = γ ( + ) ( ) x x t και x = γ x + Αφαιρώντας τις δύο αυτές εξισώσεις µεταξύ τους βρίσκουµε ιαπιστώνουµε ότι ( ) 0 x x = L = γ x x = γ L 0 0 L= L / γ = L / ηλαδή ότι το µήκος µιας ράβδου που κινείται είναι µικρότερο από το µήκος ηρεµίας της, κατά έναν παράγοντα γ Αυτό είναι το φαινόµενο της συστολής του µήκους Στο σύστηµα S, οι µετρήσεις στα σηµεία x και x έγιναν και οι δύο τη χρονική στιγµή Οι χρονικές στιγµές στις οποίες έγιναν οι µετρήσεις, όπως τις παρατηρεί ο S, είναι, αντίστοιχα, t γ t x = + και t = γ + x Βλέπουµε ότι υπάρχει µια χρονική διαφορά ανάµεσα στις δύο µετρήσεις ίση µε γ ( ) t t = x x ή t t = L 0 Οι µετρήσεις των θέσεων των δύο άκρων της ράβδου στο σύστηµα S, από τον παρατηρητή S, που κινείται ως προς τη ράβδο, δεν έγιναν ταυτόχρονα
Ένα ρολόι βρίσκεται ακίνητο στο σηµείο xτου αδρανειακού συστήµατος αναφοράς S και είναι συγχρονισµένο µε τα ρολόγια του συστήµατος αυτού Θεωρούµε ως δύο συµβάντα τις χρονικές στιγµές κατά τις οποίες το ρολόι δείχνει τις ενδείξεις t και t, αντιστοίχως Το χρονικό διάστηµα µεταξύ των δύο συµβάντων είναι τ = t t Η ιαστολή του Χρόνου στο σύστηµα S (ο χρόνος ηρεµίας ανάµεσα στα δύο συµβάντα) Για έναν παρατηρητή που βρίσκεται σε ένα άλλο σύστηµα, S, το οποίο κινείται µε ταχύτητα = xˆ ως προς το S και το ρολόι, οι χρονικές στιγµές στις οποίες θα παρατηρηθούν τα δύο συµβάντα θα είναι, αντιστοίχως, t γ t x = και = γ t x Η διάρκεια του χρονικού διαστήµατος ανάµεσα στα δύο συµβάντα, T, όπως τη µετρά ο παρατηρητής στο σύστηµα S, είναι = γ ( t t ) ή T = γτ Αυτό είναι το φαινόµενο της διαστολής του χρόνου Τα ρολόγια που κινούνται πηγαίνουν πιο αργά από τα ρολόγια που ηρεµούν ως προς έναν παρατηρητή
Οι µετασχηµατισµοι της ταχύτητας Ο µετασχηµατισµός των συνιστωσών της ταχύτητας Έστω ότι στο σύστηµα αναφοράς S, η θέση ενός σηµείου Ρ τη χρονική στιγµή t είναι ( x, y, z ) και τη χρονική στιγµή t είναι ( x, y, z ) Τα αντίστοιχα σηµεία σε ένα σύστηµα S, το οποίο κινείται µε ταχύτητα = xˆ ως προς το S, είναι, σύµφωνα µε τον µετασχηµατισµό του Λόρεντς: β x x = γ ( x βt), y = y, z = z, = γ t και β x x = γ ( x βt), y = y, z = z, = γ t Παίρνοντας τίς διαφορές των αντίστοιχων συντεταγµένων, έχουµε ( ) β ( ) x x = γ x x t t, y y = y y, β z z = z z, = γ ( t t) ( x x) Θέτοντας x= x x, y= y y, z = z z, t = t t κοκ, έχουµε τις σχέσεις ανάµεσα σε αυτές τις µεταβολές: x = γ ( x t), y = y, z = z, = γ t x ιαιρώντας τις πρώτες τρεις εξισώσεις δια έχουµε x x t y y z z =, =, = t x γ t x γ t x Παίρνοντας τά όρια καθώς t, 0, οπότε x dx x dx =υ x, = υ x κοκ, t dt d
έχουµε τελικά τον µετασχηµατισµό για τις συνιστώσες των ταχυτήτων: υx υ y υz υ x =, υ y =, υ z = υx υ x υ x γ γ y S P υ S y' z O z' O x x' Παράδειγµα 3: Σύνθεση ταχυτήτων Τρεις γαλαξίες, Α, Β και Γ, βρίσκονται πάνω σε µια ευθεία Ως προς τον Α, που βρίσκεται ανάµεσα στους Β και Γ, αυτοί κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις µε ταχύτητες ίσες µε 0,7 Η ταχύτητα µε την οποία οι Β και Γ αποµακρύνονται ο ένας από τον άλλο, όπως την µετρά ο Α, είναι εποµένως, 4 Πόση είναι η ταχύτητα του Β ως προς τον Γ; υ = 0,7 x Θεωρώντας τον γαλαξία Α ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς S και τον Γ στο σύστηµα αναφοράς S, θα είναι = 0,7 και ο γαλαξίας Β έχει ταχύτητα υ x = 0,7 στο σύστηµα S Εποµένως, στο σύστηµα S, ο γαλαξίας Β θα έχει ταχύτητα υx 0,7 0,7,4 υx = = = = 0,94 υx ( 0,7 )0,7,49 S S = 0,7 Β Α Γ
Ο µετασχηµατισµός του µέτρου της ταχύτητας Στο σύστηµα S, το µέτρο της ταχύτητας υδίνεται από τη σχέση, υ = υ + υ + υ ενώ για την υ στο σύστηµα S ισχύει η σχέση x y z υ = υx + υ y + υz Υψώνοντας τις συνιστώσες της ταχύτητας στο τετράγωνο και προσθέτοντας, έχουµε: υ = υ x + υ y + υz = ( υ ) x + υ y + υ z = υ x = υ x υx + + υ υ x = υ x = + + υ x υx υ x υ = υx υx υ = + + + 4 υ x υx υ Η οποία δίνει, υ = υ x και τελικά υ υ = υx
Ειδικές Περιπτώσεις υ Βρήκαµε τη σχέση υ = υx Παρατηρούµε ότι, αν είναι < και υ<, τότε το κλάσµα στην τελευταία σχέση είναι θετικό και εποµένως είναι και υ < Για ένα φωτόνιο είναι υ = και επίσης υ = Για ένα σύστηµα που κινείται µε ταχύτητα =, είναι υ x =, υ y = 0 και υ z = 0, και εποµένως και υ = Ο παρατηρητής S θα βλέπει τα πάντα να κινούνται µε ταχύτητα ˆ x Για ένα ταχυόνιο (αν υπάρχει), είναι υ > και τότε, για κάθε <, θα είναι επίσης υ > Ο µετασχηµατισµός του παράγοντα Λόρεντς, γ Από τη σχέση που δίνει το µέτρο υ της P ταχύτητας ενός σηµείου Ρ στο σύστηµα S συναρτήσει της ταχύτητάς του,, στο σύστηµα S, και ορίζοντας του παράγοντες Λόρεντς για το σηµείο Ρ, γ = P υ P προκύπτει ότι P υ / = γ P υx γ γ P γ = P υ / P και, εποµένως, υ P υp = υpx, και µε γ = / υx γ P = γγ P