Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει δ > : Α και < < δ b < ε Ισοδύναµα: Για κάθε (, δ (, ε Β Β b [ ή ακόµη, για κάθε ε > υπάρχει : { } ε > υπάρχει { } δ > Α και δ > : Β, δ Α Β b, ε ] Σηµειώνουµε ότι: Ο αριθµός δ εξαρτάται από το ε και το σηµείο Το όριο αν υπάρχει είναι µοναδικό ( εφαρµογή της τριγωνικής ανισότητας 3Για µια πραγµατική συνάρτηση : Α, τα όρια li ± ορίζονται αναλόγως Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση Παραδείγµατα: li και li + (, (, + (, (, Λύση Έστω, ε > Τότε για δ ε και για κάθε (, (, µε,, + < δ ε έχουµε + + + < ε Έπεται ιδιαίτερα ότι, ( li (, (, + + li + li,,,,, ( και ( li +,, Λύση Έστω, ε > Τότε για (, (, δ δ + < ε τότε >ε, άρα + Έπεται ιδιαίτερα ότι ( li +,, <, έχουµε αν (, (, ε li + (, (,, + 3 Το όριο li (, (, + (, (, (, δεν υπάρχει (, Λύση Προσεγγίζουµε πρώτα το, κατά µήκος του άξονα ', δηλαδή αν και Έστω (,, (, (, +, (,
3, + τότε: και συνεπώς ( li,,, Αναλόγως αν προσεγγίσουµε το (, κατά µήκος του άξονα ' ( και βρίσκουµε ( (, (, ( li,,, δηλαδή + Όµως αν προσεγγίσουµε το (, κατά µήκος της ευθείας βρίσκουµε ( li, Έπεται ότι το όριο υπάρχει (, (, ( li, + 4 Το όριο li δεν υπάρχει (, (, + Λύση Η (, είναι ορισµένη στο ανοικτό σύνολο U {(, : } σύνολο (, :, του οποίου το σύνορο είναι η ευθεία, δηλαδή το { } Έστω, µε Προσεγγίζουµε το δεν, κατά µήκος + + της ευθείας, τότε li (, li Επειδή + + β για, β µε, β και β έπεται ότι το όριο β + li, δεν υπάρχει (, (, ( Μπορούµε να περιορισθούµε και στις ευθείες διαπιστώσουµε την µη ύπαρξη του ορίου {, : },{(, : } για να Παρατηρούµε ότι η περιορισµένη σε κάθε ευθεία, και θέτοντας (, µεταβλητής, παρόλα αυτά το όριο {, : } L µε + γίνεται συνεχής συνάρτηση µιας li, δεν υπάρχει,, 6 Θεώρηµα ( Χαρακτηρισµός των ορίων συναρτήσεων µε ακολουθίες Έστω, : Α συνάρτηση, σσ του Α και b Οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι: (ι li b, για κάθε και (ιι Για κάθε ακολουθία Α µε ( b Απόδειξη (ι (ιι Έστω ε > τότε από την υπόθεσή µας υπάρχει : < < δ b < ε ( δ > Α και
4 Έστω Α { } :, υπάρχει τότε N : τότε < δ ( Από τις ( και ( έπεται ότι: αν τότε b < ε ηλαδή b (ιι (ι Έστω ότι δεν ισχύει ο ισχυρισµός (ι Τότε θα υπάρχειε > ώστε για κάθε δ > υπάρχει δ Α { } µε δ < δ και ( b ε (3 Άρα για δ, υπάρχει Α { }: ( < και b ε Έπεται ότι και ( δεν συγκλίνει στο b, άτοπο από την υπόθεσή µας Σηµείωση: Οι συναρτήσεις προβολές π :,,,, ορίζονται ως π, όπου (,, Αν : Α συνάρτηση τότε ορίζονται οι συναρτήσεις π o : Α,,,, Γράφουµε τότε π o,,,,, δηλαδή π (,,,, Είναι τότε σαφές ότι, ( Α ηλαδή,,, διανύσµατος, δ είναι η συντεταγµένη του Για παράδειγµα, αν (, (,, τότε (, +, (, και 3, Οι αλγεβρικές ιδιότητες των ορίων περιγράφονται στην επόµενη 7 Πρόταση Έστω,, g : Α συναρτήσεις, Α, b και λ Τότε έχουµε: ( Αν li b, li λ λ b, ( όπου η : τότε λ Α ορίζεται ως ( λ λ ( ( Αν li, li Α +, σσ του b g b li + g li + li g b + b, (όπου η + g : Α ορίζεται τότε µε ( + g + g, Α (3 Αν, li, li b g b li g b b ( εσωτερικό γινόµενο, (όπου η g : Α ορίζεται τότε µε ( g g, Α Για έχουµε βέβαια το σύνηθες γινόµενο πραγµατικών αριθµών (4 Αν και li ( b τότε για «κοντά» στο και li ( η ορίζεται τότε σε κατάλληλη περιοχή του στο σύνολο Α b (5 Αν (,,, όπου,, : συναρτήσεις της, τότε, li (,, li,,, Α είναι οι συντεταγµένες b b b b για κάθε
5 Απόδειξη: Οι ιδιότητες ( έως (4 συνάγονται εύκολα από τις αντίστοιχες αλγεβρικές ιδιότητες των ορίων ακολουθιών και τον χαρακτηρισµό των ορίων µε ακολουθίες (θεώρηµα 6 Η (4 χρησιµοποιεί και τον ορισµό του ορίου Η ιδιότητα (5 αποδεικνύεται µε χρήση της πρότασης 5 ( κατά συντεταγµένες και τον χαρακτηρισµό των ορίων µε σύγκλιση µιας ακολουθίας ακολουθίες ( θεώρηµα 6 Έτσι οι αποδείξεις αυτές αφήνονται ως άσκηση Παραδείγµατα: Εξετάστε αν υπάρχουν τα όρια: συν ( + (α li, και (, (, + + ηµ ( + (β li, (, (, + + Λύση (α Σύµφωνα µε την πρόταση 7 (5 αρκεί να υπολογίσουµε τα όρια συν ( + li και li (, (, + (, (, + Για το πρώτο όριο έχουµε: θέτουµε δ ε + + ( Αν ε > Συνεπώς, εφόσον li +, (για τον υπολογισµό αυτού του ορίου µε τον,, ορισµό των ορίων, αρκεί δοθέντος του ε >, να θέσουµε δ ε έπεται ότι: li (, (, + Για τη δεύτερη συντεταγµένη παρατηρούµε ότι, θέτοντας li z, li +, άρα ( ( (,,,, li,, z ( z + έχουµε ότι συν + συν z συν z συν li li συν ' ηµ + z z z (β Για το δεύτερο όριο παρατηρούµε ότι αν (, ( ηµ + g(, +,,, και (, (, ( li, (, (, τότε έχουµε:,,,, άρα ( > + άρα ( και li, li, Έτσι δεν υπάρχει το όριο κατά συνέπεια ( από την πρόταση 7 (5 ούτε και το ζητούµενο ( ( g( li,,, στον Για λόγους πληρότητας εξετάζουµε και το όριο li g (, Έτσι έχουµε:,,
6 ηµ (, και g( g Έτσι ούτε το όριο li g (, ηµ, υπάρχει,, Ασκήσεις z + Αποδείξτε ότι: (α li και (β li (,, z (,, + + z (, (, Αποδείξτε ότι το όριο li (, 3Έστω (α (, (γ (, : Αν τα όρια li (,,, 4 4 4 ( + + 3 δεν υπάρχει στις ακόλουθες περιπτώσεις:, (β (,, (δ (, + 4 4 + συνάρτηση Υποθέτοµε ότι το όριο li (,,,, b L υπάρχει υπάρχουν για κάθε ( αντίστοιχα τα όρια li (, υπάρχουν για κάθε αποδείξτε ότι: li li (, L ( αντίστοιχα b li li (, L b 4 Σε κάθε µια από τις ακόλουθες περιπτώσεις καθορίστε αν τα όρια li li, (, li li (, υπάρχουν υπολογίστε τα: (α (,,,, +,,, si(,,, (γ και li, (, (, ( ( (δ (, (β (, b υπάρχουν και οποτεδήποτε (,,, +,,,, +, + ( (