Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν. Ωστόσο τα τυχαία σφάλματα μπορούν να ληφθούν υπόψη αν η μέτρηση επαναληφθεί πολλές φορές. Σε αυτή την περίπτωση μπορούν να χρησιμοποιηθούν στατιστικές μεθόδους με τις οποίες είναι δυνατό να προσδιορίσουμε την πιθανότητας εμφάνισης των δυνατών εκδοχών της μέτρησης Για να προσδιορίσουμε μια ακριβή πιθανότητα εμφάνισης θεωρούμε μεγάλο αριθμό Ν από πανομοιότυπα συστήματα με αυτό που μελετούμε (ίδιες συνθήκες μέτρησης). Αν Ν r είναι ο αριθμός των συστημάτων στα οποία εμφανίζεται η εκδοχή r ορίζουμε σαν πιθανότητα εμφάνισης το μέγεθος:
Παράδειγμα Αν ρίξουμε ένα ζάρι σε ένα τραπέζι υπάρχουν 6 εκδοχές για το αποτέλεσμα. Η έκβαση της ρίψης του ζαριού θα μπορούσε να προβλεφθεί αν γνωρίζαμε πως ακριβώς ρίχνεται το ζάρι καθώς και την δύναμη που ασκεί πάνω του το τραπέζι. Καθώς δεν έχουμε αυτές τις πληροφορίες και ακόμη και αν τις γνωρίζαμε θα χρειαζόμασταν εξαιρετικά πολύπλοκους υπολογισμούς, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Αυτό ωστόσο που μπορούμε να πούμε αν το ζάρι είναι ομοιογενές είναι ότι μετά από ένα μεγάλο αριθμό ρίψεων, θα προκύψει ίσος αριθμός αποτελεσμάτων 1-6. Αν n αποτελεί την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τα πιθανά αποτελέσματα της ρίψης του ζαριού και ονομάσουμε (n) την αντίστοιχη πιθανότητα, η στατιστική περιγραφή της ρίψης δίδεται από τον πίνακα n 1 3 4 5 6 (n) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ποια η αναμενόμενη τιμή και ποια η διασπορά του n στο παράδειγμα αυτό;
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους Ας θέσουμε τώρα το ερώτημα: Σε ένα σύνολο μετρήσεων Ν θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να έχουμε την τιμή Ν r ή s. Σύμφωνα με τα προηγούμενα αυτή θα δίνεται από: ( r, s) r s r s r s Αν υποθέσουμε τώρα ότι κάθε μέτρηση δίνει δύο αποτελέσματα, στατιστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους το ένα από τα οποία χαρακτηρίζεται από τον δείκτη r (με r = 0,1, ) και το άλλο από τον δείκτη s (με s=0,1, ) τότε η πιθανότητα της συνδυασμένης εμφάνισης του αποτελέσματος r και του s δίνεται από: rs rs Στο στατιστικό σύνολο, Ν r μετρήσεις εμφανίζουν το αποτέλεσμα r και από αυτές υπάρχει πιθανότητα s να εμφανίζουν και το αποτέλεσμα s. Επομένως ο αριθμός Ν rs των μετρήσεων που εμφανίζουν τα r και s δίνεται από: rs r s rs r s r s
Διωνυμική Κατανομή Θεωρούμε το παρακάτω πρόβλημα: Ένας μεθυσμένος ξεκινά από ένα φανάρι στη μέση ενός δρόμου και αρχίζει να περπατάει τρεκλίζοντας στην διεύθυνση x κάνοντας ωστόσο βήματα σταθερού μήκους l, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η πιθανότητα να κάνει βήμα προς τα δεξιά είναι ενώ η προς τα αριστερά είναι q. Ποια η σχέση και q; + q = 1 l Ο άνθρωπος είναι τόσο μεθυσμένος που δεν έχει μνήμη του τελευταίου του βήματος (στατιστικά ανεξάρτητα βήματα). Αν κάνει Ν βήματα ποια η πιθανότητα (n), ότι n από αυτά έγιναν προς τα δεξιά (και επομένως Ν-n έγιναν προς τα αριστερά); Είναι φανερό ότι σε αυτήν την περίπτωση ο άνθρωπος βρίσκεται σε απόσταση από το φανάρι ίση με: Σύμφωνα με την σχέση που αποδείξαμε πριν για στατιστικά ανεξάρτητες μετρήσεις η πιθανότητα αυτή θα δίνεται από: n, n x ml n ( n) l (n ) l q (... )( qq... q) n n x n q n n φορές Ν-n φορές
Διωνυμική Κατανομή Μια ακολουθία Ν βημάτων από τα οποία n προς τα δεξιά και τα υπόλοιπα Ν-n προς τα αριστερά μπορεί να προκύψει κατά! n!( n)! διαφορετικούς τρόπους Επομένως η πιθανότητα να προκύψει μια συγκεκριμένη ακολουθία n βημάτων δεξιά και Ν-n αριστερά θα δίνεται από την: ( n) ( n, n) ( n, n)... ( n, n)! n!( n)! n q n! n!( n)! φορές Η συνάρτηση (n) ονομάζεται διωνυμική συνάρτηση και ορίζει την διωνυμική κατανομή πιθανότητας. Μια τέτοια συνάρτηση περιγράφει στατιστικά ένα γενικό πρόβλημα στο οποία δίνονται Ν στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα, το καθένα από τα οποία έχει πιθανότητα να συμβεί και q=1- να μην συμβεί. Η πιθανότητα να συμβούν n από τα Ν αυτά γεγονότα δίνεται από την διωνυμική κατανομή.
Διωνυμική Κατανομή Παράδειγμα Ρίχνουμε τέσσερα νομίσματα σε ένα τραπέζι και μετρούμε πόσα από αυτά δείχνουν γράμματα. Ποια η πιθανότητα να προκύψει ένα από τα παρακάτω αποτελέσματα: α) n=0, β) n=1,γ) n=, δ) n=3, ε) n=4 Κάθε νόμισμα μπορεί να δείξει κορώνα ή γράμματα ανεξάρτητα από το τι θα δείξουν τα άλλα 3, επομένως έχουμε 4 στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα. Ένα γεγονός πραγματοποιείται όταν το νόμισμα φέρνει γράμματα και η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί (μην πραγματοποιηθεί το γεγονός) είναι = 0.5 (q =0.5), αντίστοιχα, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση διωνυμικής κατανομής (n) για να προσδιορίσουμε τις πιθανότητες: 4! 1 (0) ( ) 0!4! 4! 1 1 (1) ( ) ( 1!3! 4! 1 () ( )!! 4! 1 3 (3) ( ) 31!! (4) 4! ( 4!0! 1 ) 0 1 ( ) 1 3 ) 1 ( ) 1 1 ( ) 4 1 ( ) 4 0.5ή5% 0.5ή5% 0.065ή6.5% 0.375ή37.5% 0.065ή6.5% Γραφική Παράσταση;
Για μεγάλο αριθμό μετρήσεων ο υπολογισμός της κατανομής (n) είναι δύσκολος καθώς τα αντίστοιχα παραγοντικά είναι πολύ μεγάλοι αριθμοί. Π.χ.100!~ 10 157. Ωστόσο για μεγάλα Ν και για μικρές πιθανότητες συμβάντος n Όταν Μπορεί να δειχθεί ότι οι μετρήσεις ενός φυσικού μεγέθους που βαρύνονται με πολλά τυχαία σφάλματα και αμελητέα συστηματικά σφάλματα έχουν σαν οριακή κατανομή (για μεγάλο Ν) την κανονική κατανομή ή κατανομή Gauss. Η συνάρτηση που παριστάνει την προσέγγιση αυτή για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή είναι: ( n) 1 q e ( n) q Αν θέσουμε μ = Ν και σ = (Νq) 1/ και αλλάξουμε το σύμβολο της μεταβλητής από n σε x καταλήγουμε στην γνωστή έκφραση της συνάρτησης Gauss: ( x) 1 f, ( x) e
Gaussian Κατανομή Όπως αναφέραμε η πιθανότητα να κείται μια τιμή στο διάστημα x x+dx δίνεται για συνεχείς κατανομές από την πυκνότητα πιθανότητας f(x)dx. Αν η μεταβλητή x ακολουθεί κανονική κατανομή τότε f(x) είναι η συνάρτηση Gauss και η πιθανότητα να κείται μια τιμή του x στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) δίνεται από ( x) f, ( x) dx
Gaussian Κατανομή Το ολοκλήρωμα αυτό δεν μπορεί να προσδιοριστεί αναλυτικά, υπολογίζεται ωστόσο αριθμητικά (ισούται με το εμβαδό της καμπύλης στο διάστημα (μ-σ, μ+σ)) και δίνει 0.68. Δηλαδή η πιθανότητα να κείται μια μέτρηση του μεγέθους x στο διάστημα (μσ, μ+σ) είναι 68%, ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα για το διάστημα μ-σ και μ+σ είναι 95.4% και αυτή για το διάστημα μ-3σ και μ+3σ είναι 99.7% (εμπεριέχονται πρακτικά όλες οι μετρούμενες τιμές)