ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΘΑΝΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ, ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΘΑΝΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 Ειαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα δούµε ότι οι ροές µιας τυχαίας µεταβητής µορούν να υοογιτούν µε τη βοήθεια κατάηων υναρτήεων Αυτές οι υναρτήεις είναι οι ιθανογεννήτριες οι ροογεννήτριες και οι χαρακτηριτικές υναρτήεις Θα αρουιάουµε τον τρόο µε τον οοίο αυτές οι υναρτήεις χρηιµοοιούνται για τον υοογιµό των ροών µιας τυχαίας µεταβητής 4 Πιθανογεννήτριες Έτω µία διακριτή τυχαία µεταβητή η οοία αίρνει µη-αρνητικές ακέραιες τιµές ίνουµε τον ακόουθο οριµό Οριµός Πιθανογεννήτρια Η ιθανογεννήτρια obbl gg uco η ή µιας τυχαίας µεταβητής ορίζεται ως εξής: η E όου είναι η υνάρτηη ιθανότητας της Για ιχύει ότι Εοµένως η ιθανογεννήτρια υγκίνει άντοτε και µάιτα αόυτα το διάτηµα ] Μορούµε να αραγωγίουµε την ιθανογεννήτρια οεδήοτε φορές αραγωγίζοντας τη δυναµοειρά όρο ρος όρο Έχουµε η και η Θέτοντας τις δύο τεευταίες χέεις ροκύτει η E και η E ] Εοµένως η µέη τιµή και η διαορά της ροδιορίζονται αό την ιθανογεννήτρια η µέω των τύων E η και V E E E ] E E η η η Η οότητα E ] καείται αραγοντική ροή δευτέρας τάξεως της Ανάογοι τύοι ου χρηιµοοιούν 8

αραγώγους ανώτερης τάξεως της Μορούµε να υοογίουµε την αραγοντική ροή η για δίνουν τις αραγοντικές ροές ανώτερης τάξεως της τάξεως της αό την ιθανογεννήτρια της η d d d Ιχύει ότι: η E E E ] d d d L 4 Στη δεύτερη ιότητα υοθέτουµε ότι η ενααγή των d d και E είναι εν γένει ειτρετή Εοµένως ιχύει ότι: η L K d Για η χέη 4 γράφεται ως εξής: η E L ] Το δεξιό µέος της d τεευταίας ιότητας καείται αραγοντική ροή τάξεως της τυχαίας µεταβητής Αν η είναι η ιθανογεννήτρια µίας διακριτής τυχαίας µεταβητής τότε η υνάρτηη ιθανότητας της θα δίνεται αό d τον τύο: η K Αό το τεευταίο αοτέεµα ροκύτει ότι η! d ιθανογεννήτρια καθορίζει µονοήµαντα τη υνάρτηη ιθανότητας της τυχαίας µεταβητής αό την οοία ροέρχεται Η εόµενη ρόταη είναι ού ηµαντική και αρατίθεται χωρίς αόδειξη Πρόταη 4 Η ιθανογεννήτρια µιας διακριτής τυχαίας µεταβητής ροδιορίζει µονοήµαντα την κατανοµή της δηαδή αν είναι δύο διακριτές τυχαίες µεταβητές µε ιθανογεννήτριες η και η αντίτοιχα και ιχύει ότι η η για τότε οι τυχαίες µεταβητές και έχουν την ίδια κατανοµή Έτω µία διακριτή τυχαία µεταβητή µε ιθανογεννήτρια η και b δύο ραγµατικοί αριθµοί Τότε η b ιθανογεννήτρια του γραµµικού υνδυαµού b θα δίνεται αό τον τύο: η η Παράδειγµα Μία διακριτή τυχαία µεταβητή έχει c 4 α Να βρεθεί η τιµή της ταθεράς c β Να υοογιτεί η ιθανογεννήτρια της γ Να βρεθεί η µέη τιµή και η αραγοντική ροή δευτέρας τάξεως E ] της δ Να βρεθεί η διακύµανη της 4 Λύη α Αό τη υνθήκη έεται ότι c 6 84

4 5 6 6 β ιαδοχικά έχουµε E γ Παραγωγίζοντας τη υνάρτηη δύο φορές έχουµε 5 4 5 4 4 6 64 και 6 Εοµένως E E ] δ Έχουµε V E E E ] E E 96 5 Παράδειγµα Η ιθανογεννήτρια µίας διακριτής τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τον τύο: Να δειχθεί ότι η υνάρτηη ιθανότητας K ικανοοιεί την 8 8 αναδροµική χέη 8 και 8 4 µε αρχικές υνθήκες 4 Λύη Αό τον τύο της ιθανογεννήτριας έεται ότι 8 8 Αντικαθιτώντας την ιθανογεννήτρια µε την έκφραη k k ροκύτει ότι k k k k k 8 k k Αν θέουµε k k k 8 δεύτερο άθροιµα και 8 8 k το τρίτο άθροιµα βρίκουµε k το ρώτο άθροιµα k το Για να ιχύει η τεευταία χέη ως ταυτότητα για κάθε θα ρέει οι υντεετές των δυνάµεων του τα δύο µέη να υµίτουν Συνεώς έχουµε τις ακόουθες ιότητες: 8 8 > 8 8 8 8 8 8 85

8 αό τις οοίες ροκύτουν οι ζητούµενες χέεις 4 Ροογεννήτριες Η ροογεννήτρια είναι µία ακόµη υνάρτηη ου χρηιµεύει για τον υοογιµό όων των ροών k µ k K µιας τυχαίας µεταβητής k τάξεως Οριµός Ροογεννήτρια Η ροογεννήτρια mom gg uco µιας τυχαίας µεταβητής είναι η ραγµατική υνάρτηη µε τύο E για κάθε ου ανήκει ε ένα διάτηµα της µορφής δ δ δ > Αν η τυχαία µεταβητή είναι διακριτή µε φορέα S και υνάρτηη ιθανότητας η ροογεννήτρια της θα δίνεται αό τον τύο < δ ενώ αν η τυχαία µεταβητή είναι υνεχής µε υνάρτηη υκνότητας η ροογεννήτρια της θα δίνεται αό τον τύο d < δ Σηµειώνουµε ότι η οότητα d S είναι ο µεταχηµατιµός Llc της υνάρτηης Όως φαίνεται αό τον ροηγούµενο οριµό η ροογεννήτρια δεν υάρχει για κάθε εριοριζόµατε ε εκείνες τις τιµές του R για τις οοίες υάρχει ύγκιη R αά d d Έχουµε E E E όου έχουµε υοθέει ότι µορούµε να εναάξουµε τη d d d θέη των και E Αυτή η ενααγή των θέεων είναι εν γένει ειτρετή Έχουµε ότι E d d d d Παραγωγίζοντας δύο φορές την έχουµε E E E E d d d Άρα E Στη γενική ερίτωη η k οτή αράγωγος της ροογεννήτριας της δίνεται αό τον k k k τύο E αό τον οοίο υνεάγεται ότι µ E k Συνεώς η ροή k τάξεως µ k της είναι ίη µε την τιµή της k οτής αραγώγου της το ηµείο Για µία διακριτή τυχαία µεταβητή η οοία αίρνει ακέραιες τιµές ιχύει ότι η Ειέον ιχύει ότι η log > Οι δύο τεευταίες ιότητες είναι φανερές υνέειες των οριµών της k 86

ιθανογεννήτριας και της ροογεννήτριας Αν είναι η ροογεννήτρια της τυχαίας µεταβητής τότε E Η εόµενη ρόταη είναι ού ηµαντική και αρατίθεται χωρίς αόδειξη! Πρόταη 4 Η ροογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής χαρακτηρίζει µονοήµαντα την κατανοµή της δηαδή αν είναι δύο τυχαίες µεταβητές µε ροογεννήτριες αντίτοιχα και αν για κάοιο δ > ιχύει ότι για κάθε δ δ τότε οι τυχαίες µεταβητές και έχουν την ίδια κατανοµή Έτω µία τυχαία µεταβητή µε ροογεννήτρια και b δύο ραγµατικοί αριθµοί Τότε η ροογεννήτρια του γραµµικού υνδυαµού b b θα δίνεται αό τον τύο: Παράδειγµα Η ροογεννήτρια της διακριτής τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τον τύο: Να υοογιτεί η µέη τιµή και η διακύµανη της τυχαίας µεταβητής Λύη Είναι και Εοµένως E E V E E Παράδειγµα 4 Έτω µία τυχαία µεταβητή µε υνάρτηη ιθανότητας c K όου c είναι µία ραγµατική ταθερά α Να βρεθεί η ροογεννήτρια της β Να βρεθεί η τιµή της ταθεράς c γ Να υοογιτεί η µέη τιµή και η διακύµανη της δ Να δοθεί ο τύος της ροογεννήτριας της τυχαίας µεταβητής c Λύη α E c c < c c β Εειδή έχουµε c Εοµένως < l c γ Παραγωγίζοντας δύο φορές τη ροογεννήτρια βρίκουµε Εοµένως E E 6 V E E 87

5 δ Είναι E για < l Παράδειγµα 5 Η ροογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τον τύο: R α Να βρεθεί η τιµή της ταθεράς R β Να δειχτεί ότι οι ροές E K της τυχαίας µεταβητής δίνονται αό τον τύο E αν εριττός και E L k αν k k K Λύη α Αό τη υνθήκη βρίκουµε β Λόγω της χέης E ο υοογιµός των οοτήτων E µορεί να γίνει αν! ανατύξουµε τη υνάρτηη ε ειρά ως ρος γύρω αό το µηδέν και εντοίουµε το υντεετή του k Έχουµε k! k k k! Εοµένως για k K ο k k k! k k! k k! k! υντεετής του! για k είναι ίος µε µηδέν ενώ ο υντεετής του k! Lk k Lk k k k k! L k Lk για k είναι:! k Η ιότητα L k Lk αοδεικνύεται εύκοα µε εαγωγή εί του k Συνεώς E αν k και E L k αν k Θα µορούαµε να ροδιορίουµε τις ροές E K αν αραγωγίζουµε υνεχώς τη ροογεννήτρια και τη υνέχεια χρηιµοοιούαµε τον τύο: E K Στην ερίτωή µας η διαδικαία ου χρηιµοοιήαµε δίνει το αοτέεµα µε ευκοότερο τρόο Παράδειγµα 6 Έτω µία διακριτή τυχαία µεταβητή για την οοία ιχύει ότι: E 6 K α Να δειχτεί ότι η ροογεννήτρια της τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τον τύο: 4 6 R β Να δειχτεί ότι η τυχαία µεταβητή αίρνει µόνο δύο τιµές µε αντίτοιχες ιθανότητες 4 και 6 Λύη α Χρηιµοοιούµε τον τύο: E και βρίκουµε! 6 6 4 6! R 88

β Έτω µία διακριτή τυχαία µεταβητή η οοία αίρνει µόνο τις τιµές και µε αντίτοιχες ιθανότητες 4 και 6 δηαδή 4 αν και 6 αν Τότε θα έχουµε E 4 6 R Εειδή R οι τυχαίες µεταβητές και θα έχουν την ίδια κατανοµή Στο ίδιο υµέραµα θα καταήξουµε αν γράψουµε τη ροογεννήτρια τη µορφή E και αρατηρήουµε ότι για να ιχύει η χέη 4 6 για κάθε R θα ρέει 4 αν 6 αν και αού θ Παράδειγµα 7 Για την τυχαία µεταβητή µε υνάρτηη υκνότητας θ I όου I θ > και > ταθερές αράµετροι να υοογιτούν: α Η υνάρτηη κατανοµής της τυχαίας µεταβητής F και η ιθανότητα < < β Η ροογεννήτρια E για < θ γ Να υοογιτεί η µέη τιµή E και η διαορά v θ θ Λύη α Είναι F θ d > < < d d θ θ d θ β θ E θ θ d < θ θ θ γ Μετά αό ράξεις έχουµε E θ v θ E E E 89

4 Χαρακτηριτικές υναρτήεις Οι χαρακτηριτικές υναρτήεις είναι ίγο ιο ούοκες αό τις ροογεννήτριες και τις ιθανογεννήτριες διότι τον οριµό τους εµέκονται µιγαδικοί αριθµοί Έχουν όµως δύο ηµαντικά εονεκτήµατα ε ύγκριη µε τις ροογεννήτριες Το ρώτο είναι το γεγονός ότι ε αντίθεη µε τις ροογεννήτριες οι οοίες ααιτούν την ύαρξη της µέης τιµής E για τιµές του ε κάοιο διάτηµα της µορφής δ δ δ > οι χαρακτηριτικές υναρτήεις υάρχουν άντοτε δηαδή για όες τις κατανοµές και για όες τις τιµές του R Για αράδειγµα αν η τυχαία µεταβητή έχει υνάρτηη υκνότητας τότε d και η τεευταία οότητα αειρίζεται για όα τα > Συνεώς η ροογεννήτρια της δεν υάρχει για > Το δεύτερο είναι το γεγονός ότι η υνάρτηη κατανοµής αά και η υνάρτηη ιθανότητας ή υκνότητας µιας τυχαίας µεταβητής ροκύτουν αό την χαρακτηριτική της υνάρτηη µέω τύων αντιτροφής ίνουµε τον ακόουθο οριµό Οριµός Χαρακτηριτική υνάρτηη Έτω µία τυχαία µεταβητή Η χαρακτηριτική υνάρτηη chcsc uco φ της είναι µία υνάρτηη οριµένη το R µε τύο φ E Αν η είναι διακριτή τυχαία µεταβητή µε υνάρτηη ιθανότητας K η χαρακτηριτική της υνάρτηη θα δίνεται αό τον τύο φ Αν η είναι υνεχής τυχαία µεταβητή µε υνάρτηη υκνότητας η χαρακτηριτική της υνάρτηη θα δίνεται αό τον τύο φ d Η υνάρτηη φ όως ορίτηκε την τεευταία ιότητα είναι γνωτή µε την ονοµαία µεταχηµατιµός Fou της υνάρτηης Σ αυτό το ηµείο θα ανακεφααιώουµε κάοια βαικά τοιχεία της θεωρίας των µιγαδικών αριθµών Κάθε µιγαδικός αριθµός z µορεί να γραφεί τη µορφή z όου και είναι ραγµατικοί αριθµοί και είναι τέτοιο ώτε Το µέτρο ενός µιγαδικού αριθµού z είναι z Θέτουµε z όου είναι ένας ραγµατικός αριθµός Ιχύει ότι! 4 5!! 4! 5! 4 5 L L L! 4!! 5! Οι δύο δυναµοειρές τις δύο αρενθέεις της τεευταίας αράταης είναι τα ανατύγµατα των cos και s αντίτοιχα Εοµένως cos s και cos s 9

Έτω µία τυχαία µεταβητή και µία ραγµατική ταθερά Τότε Εοµένως η υνάρτηη έχει εεραµένη µέη τιµή και η χαρακτηριτική υνάρτηη της φ E R είναι καά οριµένη Ιχύει ότι φ E E Για κάθε R έχουµε φ E E E Η τεευταία ανιότητα είναι υνέεια της Πρόταης 8 Συνεώς οι χαρακτηριτικές υναρτήεις είναι εεραµένες για κάθε ενώ οι ροογεννήτριες δεν είναι εν γένει εεραµένες για κάθε διότι η υνάρτηη είναι φραγµένη για κάθε ενώ η υνάρτηη Υοθέτουµε ότι η τυχαία µεταβητή έχει εεραµένη ροή φ της χαρακτηριτικής υνάρτηης υάρχει και υοογίζεται ως εξής: d d φ E E E d d δεν είναι φραγµένη για κάθε R τάξεως Τότε η οτή αράγωγος Αν τις αραάνω ιότητες θέουµε έχουµε φ E E E φ Η τεευταία χέη µας δίνει τη δυνατότητα υοογιµού των ροών είναι γνωτή η χαρακτηριτική της υνάρτηη τάξεως για µία τυχαία µεταβητή αν Έτω δ ένας θετικός ραγµατικός αριθµός και έτω µία τυχαία µεταβητή της οοίας η ροογεννήτρια είναι εεραµένη ε κάοιο διάτηµα της µορφής δ δ Τότε φ E δ δ Η τεευταία ιότητα δίνει µία χέη ανάµεα τη χαρακτηριτική υνάρτηη και τη ροογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής το διάτηµα ύγκιης της ροογεννήτριας Έτω µία διακριτή τυχαία µεταβητή η οοία αίρνει ακέραιες τιµές Μία αό τις ιο χρήιµες ιδιότητες της χαρακτηριτικής υνάρτηης είναι ότι µε τη βοήθειά της µορούµε να υοογίουµε τη υνάρτηη ιθανότητας της Ιχύει ο τύος αντιτροφής φ d Ο τύος διαµορφώνεται ανάογα την ερίτωη των υνεχών τυχαίων µεταβητών Έτω µία τυχαία µεταβητή της οοίας η χαρακτηριτική υνάρτηη φ είναι οοκηρώιµη δηαδή είναι τέτοια ώτε το οοκήρωµα φ d να είναι εεραµένο Σε αυτή την ερίτωη αοδεικνύεται ότι η είναι µία υνεχής τυχαία µεταβητή µε υνάρτηη υκνότητας ου δίνεται αό τον τύο αντιτροφής φ d Μία άµεη υνέεια των αραάνω τύων αντιτροφής είναι η εόµενη ρόταη ου ονοµάζεται Θεώρηµα Μοναδικότητας και αρατίθεται χωρίς αόδειξη 9

Πρόταη 4 Θεώρηµα Μοναδικότητας Η χαρακτηριτική υνάρτηη φ µιας τυχαίας µεταβητής χαρακτηρίζει µονοήµαντα την κατανοµή της Παράδειγµα 8 Έτω µία υνεχής τυχαία µεταβητή µε χαρακτηριτική υνάρτηη φ R Χρηιµοοιώντας τον τύο αντιτροφής της χαρακτηριτικής υνάρτηης να δειχτεί ότι η υνάρτηη υκνότητας της δίνεται αό τον τύο R Λύη Είναι ] ] φ d d d d lm lm Αό τον τύο της αντιτροφής έχουµε < d d d lm lm Έτω µία τυχαία µεταβητή µε χαρακτηριτική υνάρτηη φ Τότε η ροή τάξεως της αν d υάρχει θα δίνεται αό τον τύο: E φ K Η χαρακτηριτική υνάρτηη του d γραµµικού υνδυαµού b όου b είναι ραγµατικοί αριθµοί θα δίνεται αό τον τύο b φ φ R Παράδειγµα 9 Έτω µία διακριτή τυχαία µεταβητή µε ύνοο τιµών R { ± ± K} και χαρακτηριτική υνάρτηη φ R Να αοδειχθεί ότι η υνάρτηη ιθανότητας 6 της είναι αν αν και αν ίνεται ότι για όους τους 6 m ακέραιους αριθµούς m ιχύει ότι m s m και s m Λύη Είναι φ d 6 d 9

6 d d d Έτω A d s για Αν τότε A d ] Όµοια A d για και A αν Είης A d για και A αν Συνεώς 6 6 και 6 6 44 Παραδείγµατα υοογιµών Παράδειγµα ιωνυµική κατανοµή Έτω ~ B όου θετικός ακέραιος και ] Τότε η και φ φ Η τεευταία ιότητα είναι Έχουµε υνέεια του διωνυµικού ανατύγµατος b b b R Είναι η και E Στη υνέχεια θα υοογίουµε µε δύο τρόους τη µέη τιµή και τη διαορά της τυχαίας µεταβητής ος τρόος Είναι φ Για φ και εοµένως E Έχουµε η και η Για η η Ιχύει ότι V V η η η και εοµένως έχουµε ος τρόος Είναι και υνεώς E Είης και εοµένως E Άρα V E E 9

94 Παράδειγµα Κατανοµή osso Έτω ~ osso > Τότε η και φ Είναι!! φ!! η!! E Στη υνέχεια θα υοογίουµε µε δύο τρόους τη µέη τιµή και τη διαορά της τυχαίας µεταβητής ος τρόος Είναι φ Για φ και εοµένως E Έχουµε η και η Για η και η Ιχύει ότι V η η η και υνεώς V ος τρόος Είναι και υνεώς E Είης και εοµένως E Άρα E E V Παράδειγµα Έτω ότι η ροογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής είναι R Ποια είναι η τιµή της ιθανότητας ; Λύη Παρατηρούµε ότι η είναι η ροογεννήτρια της osso Αό την Πρόταη έεται ότι ~ osso Συνεώς Παράδειγµα Έτω ~ B Θα υοογίουµε τη υνάρτηη ιθανότητας της µε τον τύο της αντιτροφής Στο Παράδειγµα αοδείξαµε ότι φ ιαδοχικά έχουµε φ d d d d d d

s Η έκτη ιότητα ροκύτει αό τη χέη s και η τεευταία ιότητα είναι υνέεια του γεγονότος ότι s m για όους τους ακέραιους αριθµούς m Παράδειγµα 4 Εκθετική κατανοµή Έτω ~ Εκθετική > Τότε φ και < Είναι φ d d ] είναι φραγµένη ως ρος Εοµένως lm lm διότι lm και η υνάρτηη Είναι E d d για < Παρατηρούµε ότι η ροογεννήτρια της Εκθετικής κατανοµής ορίζεται µόνο για εκείνες τις τιµές του ου είναι µικρότερες του Στη υνέχεια θα υοογίουµε τη µέη τιµή και τη διαορά της τυχαίας µεταβητής µε χρήη ροογεννητριών Είναι και Για E E Άρα V E και E Παράδειγµα 5 Τυική κανονική κατανοµή Έτω Z ~ N z z z dz Z z Είναι Z E dz z z dz dz d Στην ροτεευταία ιότητα θέαµε z Ειέον φ Z Z Παράδειγµα 6 Κανονική κατανοµή Έτω ~ N µ 95

96 Αό την Πρόταη έχουµε ~ N Z µ Χρηιµοοιούµε τα αοτεέµατα του ροηγούµενου αραδείγµατος και έχουµε µ µ µ µ µ E E E Z Z Z Ειέον έχουµε E E E Z Z Z µ φ φ µ µ µ µ Στη υνέχεια θα υοογίουµε τη µέη τιµή και τη διαορά της µε τη χρήη ροογεννητριών Είναι µ µ και µ µ µ Για µ E µ E Εοµένως µ µ E E V Παράδειγµα 7 Έτω ~ N Z Θα υοογίουµε τη υνάρτηη υκνότητας της µε τον τύο της αντιτροφής Στο Παράδειγµα 5 αοδείξαµε ότι Z φ Ιχύει ότι Z φ και < d ο υοογιµός του τεευταίου οοκηρώµατος βρίκεται το βιβίο του Μ Κούτρα Ειαγωγή τις Πιθανότητες Μέρος Ι ε 97 ιαδοχικά έχουµε du d d d z u z z z z Z z Z φ z z Στην τέταρτη ιότητα θέαµε z u Η z Z είναι ράγµατι η υνάρτηη υκνότητας µιας τυχαίας µεταβητής ~ N Z Παράδειγµα 8 Έτω ~ Γάµµα Να βρεθεί η ροογεννήτρια και η χαρακτηριτική υνάρτηη της Είναι Γ Γ Γ Γ du u du u d d u u < Στην τρίτη ιότητα θέαµε u Ειέον φ Στη υνέχεια θα υοογίουµε τη µέη τιµή και τη διαορά της µε τη χρήη των ροογεννητριών

Είναι και < Για E και E V E E Άρα 97

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο ΙΣΧΥΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Ειαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα αρουιάουµε τα ιο ηµαντικά θεωρητικά αοτεέµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων ου είναι τα Οριακά Θεωρήµατα τα οοία ταξινοµούνται ε δύο κατηγορίες Στη ρώτη κατηγορία υµεριαµβάνονται οι Νόµοι των Μεγάων Αριθµών οι οοίοι δίνουν τη θεωρητική βάη της διαιθητικής και ειραµατικής διαίτωης των Μαθηµατικών του 8 ου -9 ου αιώνα ύµφωνα µε την οοία αν εαναάβουµε ένα είραµα τύχης οές φορές τότε ο τατιτικός οριµός της ιθανότητας ου αοδίδεται τον Vo ss είναι αηθής Ειέον οι Νόµοι των Μεγάων Αριθµών υνιτούν ένα ιχυρό εργαείο για τη µεέτη διάφορων θεωρητικών και εφαρµοµένων ροβηµάτων Πιθανοτήτων και Στατιτικής Στη δεύτερη κατηγορία υµεριαµβάνονται τα Κεντρικά Οριακά Θεωρήµατα ύµφωνα µε τα οοία κάτω αό αρκετά γενικές υνθήκες η κατανοµή του αθροίµατος ενός µεγάου αριθµού τυχαίων µεταβητών µορεί να ροεγγιτεί ικανοοιητικά αό µία κανονική κατανοµή Σε αυτό το κεφάαιο θα αρουιάουµε τον Ιχυρό Νόµο των Μεγάων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα 5 Όρια ακοουθιών τυχαίων µεταβητών Στο αρόν εδάφιο αραθέτουµε κάοιους οριµούς ου θα µας βοηθήουν να αρουιάουµε τον Ιχυρό Νόµο των Μεγάων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Θεωρούµε µία ακοουθία τυχαίων µεταβητών K ου ορίζονται τον ίδιο ιθανοθεωρητικό χώρο Ω I ίνουµε τους ακόουθους οριµούς Οριµός Λέµε ότι έχουµε µία ακοουθία ανεξάρτητων dd τυχαίων µεταβητών K αν ιχύει ότι B K B B L B όου B K είναι οοιαδήοτε υούνοα του R Οριµός Λέµε ότι έχουµε µία ακοουθία ιόνοµων dcll dsbud τυχαίων µεταβητών K αν όες οι τυχαίες µεταβητές ακοουθούν την ίδια κατανοµή Στη υνέχεια αραθέτουµε δύο έννοιες υγκίεως µιας ακοουθίας τυχαίων µεταβητών K 98

Οριµός α Λέµε ότι η ακοουθία τυχαίων µεταβητών K υγκίνει µε ιθανότητα ή χεδόν βεβαίως ή χεδόν αντού covgs wh obbl την τυχαία µεταβητή αν και µόνο αν { ω Ω ω ω} Ιοδύναµα lm > ε για ένα τουάχιτον µε για κάθε ε > β Λέµε ότι η ακοουθία τυχαίων µεταβητών K υγκίνει κατά κατανοµή covgs dsbuo την τυχαία µεταβητή αν και µόνο αν lm F F για κάθε ηµείο υνέχειας της υνάρτηης κατανοµής F της όου F είναι η υνάρτηη κατανοµής της ακοουθίας K Η χεδόν βέβαια ύγκιη υνεάγεται ότι ε ένα ύνοο του οοίου η ιθανότητα εµφάνιης είναι ίη µε για κάθε δειγµατικό ηµείο ω η διαφορά ω ω γίνεται αυθαίρετα µικρή όταν το αυξάνεται αεριόριτα Αοδεικνύεται ότι αν η ακοουθία τυχαίων µεταβητών K υγκίνει χεδόν αντού την τυχαία µεταβητή τότε υγκίνει και κατά κατανοµή την τυχαία µεταβητή Παράδειγµα Έτω K ανεξάρτητες και ιόνοµες τυχαίες µεταβητές ου ακοουθούν την Οµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα Έτω m K είξτε ότι Z υγκίνει : : καθώς κατά κατανοµή ε µία τυχαία µεταβητή Z η οοία ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε αράµετρο τη µονάδα Λύη Είναι FZ z z] < z z z < z z < < z < Η τέταρτη ιότητα είναι υνέεια της ανεξαρτηίας των z τυχαίων µεταβητών K Ιχύει ότι F z F z Z Z όου Z ~ Εκθετική δηαδή η τυχαία µεταβητή Z υγκίνει καθώς κατά κατανοµή την τυχαία µεταβητή Z 5 Ο Ιχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών Ο Ιχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών Th Sog Lw o Lg Numbs είναι ένα αό τα ιο γνωτά αοτεέµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων Σύµφωνα µε το αρακάτω θεώρηµα το οοίο αρατίθεται χωρίς αόδειξη κάτω αό κατάηες υοθέεις ο δειγµατικός µέος µιας ακοουθίας ανεξάρτητων τυχαίων 99

µεταβητών ου ακοουθούν µία κοινή κατανοµή υγκίνει χεδόν βεβαίως ρος τον θεωρητικό µέο τη µέη τιµή της κατανοµής Θεώρηµα 5 Ιχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών ΙΝΜΑ Έτω µία ακοουθία ανεξάρτητων και ιόνοµων τυχαίων µεταβητών K τέτοιων ώτε να υάρχει η µέη τιµή και η διακύµανη της τυχαίας µεταβητής δηαδή να ιχύει ότι µ E < και V < Τότε η τυχαία µεταβητή δηαδή η ακοουθία των δειγµατικών µέων υγκίνει µε ιθανότητα ή χεδόν βεβαίως ή χεδόν αντού τη θεωρητική µέη τιµή µ καθώς δηαδή lm µ Ο ΙΝΜΑ αρχικά αοδείχθηκε αό τον Γάο Μαθηµατικό Bol την ειδική ερίτωη κατά την οοία η ακοουθία K είναι µία ακοουθία τυχαίων µεταβητών Boull Η γενική µορφή του ΙΝΜΑ όως αρουιάζεται το Θεώρηµα 5 αοδείχθηκε αό τον Ρώο Μαθηµατικό Kolmogoov Παράδειγµα Θεωρούµε µία ακοουθία ανεξάρτητων δοκιµών ενός τυχαίου ειράµατος Έτω A ένα υγκεκριµένο ενδεχόµενο του ειράµατος και A η ιθανότητα να υµβεί το ενδεχόµενο A ε µία οοιαδήοτε δοκιµή Έτω η τυχαία µεταβητή τέτοια ώτε αν το ενδεχόµενο A υµβαίνει κατά την οτή δοκιµή και αν το ενδεχόµενο A δεν υµβαίνει κατά την οτή δοκιµή Ιχύει ότι E A Αό τον ΙΝΜΑ η τυχαία µεταβητή L υγκίνει χεδόν αντού τη E Το αοτέεµα του αραδείγµατος µορεί να ερµηνευτεί ως εξής Αφού η τυχαία µεταβητή A L ανααριτά τον αριθµό των φορών κατά τις οοίες το ενδεχόµενο A υµβαίνει τις ρώτες δοκιµές του ειράµατος η ιθανότητα A είναι το οριακό οοτό των φορών κατά τις οοίες υµβαίνει το ενδεχόµενο A Παράδειγµα Έτω K µία ακοουθία ανεξάρτητων υνεχών τυχαίων µεταβητών µε υνάρτηη υκνότητας c όου c κατάηη ραγµατική ταθερά Να βρεθεί το όριο της ακοουθίας των δειγµατικών µέων Kµε την έννοια της χεδόν βεβαίας ύγκιης

Λύη Αό την ιότητα d c 6c 5 4 4 d βρίκουµε c Σύµφωνα µε τον Ιχυρό 5 6 Νόµο των Μεγάων Αριθµών αν η µέη τιµή µ και η διακύµανη της ακοουθίας K είναι εεραµένες η ακοουθία των δειγµατικών µέων K θα υγκίνει µε ιθανότητα χεδόν 5 βεβαίως τη µέη τιµή µ Είναι µ E ] 4 4 d < 6 5 4 8 Ειέον E ] 4 4 6 d Άρα V ] E ] E ] < 7 7 Συνεώς lm Παράδειγµα 4 Νόµος των Μεγάων Αριθµών του Chbshv Έτω K µία ακοουθία ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών µε E µ V K Αν ορίουµε µ µ K και υοθέουµε ότι lm να αοδειχθεί ότι η ακοουθία µ υγκίνει µε ιθανότητα το µηδέν Λύη Έτω ε > Εφαρµόζουµε την ανιότητα του Chbshv για την τυχαία µεταβητή και έχουµε V E > ε και εειδή lmv lm lm V ε θα έχουµε lm E > ε Το ζητούµενο ροκύτει άµεα διότι E E E µ µ 5 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Th Cl Lm Thom είναι ένα αό τα ιο αξιοηµείωτα αοτεέµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων Σύµφωνα µε το αρακάτω θεώρηµα το άθροιµα ενός µεγάου αριθµού ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών ακοουθεί µία κατανοµή η οοία ροεγγίζει την κανονική κατανοµή Όως θα δούµε τα Παραδείγµατα 6 και 7 το ακόουθο θεώρηµα αρέχει ειέον µία αή µέθοδο για να υοογίζουµε κατά ροέγγιη ιθανότητες αθροιµάτων ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών

Θεώρηµα 5 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα ΚΟΘ Έτω µία ακοουθία ανεξάρτητων και ιόνοµων τυχαίων µεταβητών K τέτοιων ώτε µ E και V < Τότε η τυχαία µεταβητή Z L µ υνάρτηη κατανοµής της τυοοιηµένης κανονικής κατανοµής Φ υγκίνει κατά κατανοµή καθώς τη δηαδή ιχύει ότι lm Z Φ d για κάθε R Εναακτικά η τυχαία µεταβητή τυχαία µεταβητή Z µορεί να γραφεί τη µορφή: µ Z όου : Η Z είναι ο γενικός όρος της ακοουθίας των τυοοιηµένων δειγµατικών µέων Η ρώτη µορφή του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος αοδείχθηκε αό τον Dov γύρω τα 7 µχ για την ειδική ερίτωη ου οι τυχαίες µεταβητές K είναι δίτιµες και ακοουθούν την κατανοµή Boull µε ιθανότητα ειτυχίας Η αόδειξη του Dov γενικεύτηκε αό τον Llc για οοιαδήοτε τιµή της ιθανότητας Μία αυτηρή αόδειξη του ΚΟΘ όως αυτό διατυώνεται το Θεώρηµα 5 δόθηκε αό τον Ρώο Μαθηµατικό Luov µαθητή του Chbshv την ερίοδο 9-9 Στη υνέχεια αραθέτουµε κάοιες εφαρµογές του ΚΟΘ Για την αόδειξη του ΚΟΘ αραέµουµε το βιβίο του Μ Κούτρα Ειαγωγή τις Πιθανότητες Μέρος ΙΙ ε 5-7 Το ΚΟΘ µας ειτρέει να κατανοήουµε το όγο για τον οοίον η κανονική κατανοµή κατέχει εξέχουα θέη τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τη Στατιτική Τα χαρακτηριτικά χ βάρος ύψος των ατόµων ενός υό εξέταη ηθυµού εριγράφονται αό κατάηες τυχαίες µεταβητές ου µορούν να θεωρηθούν ως αοτέεµα άθροιης οών µικρών τυχαίων αραγόντων Η υώρευη οών τέτοιων µικρών τυχαίων αραγόντων οδηγεί ε µία µη αµεητέα τυχαία οότητα η οοία ύµφωνα µε το ΚΟΘ θα ακοουθεί κατά ροέγγιη την κανονική κατανοµή Παράδειγµα 5 Οι καθηµερινές διακυµάνεις µιας µετοχής το Χρηµατιτήριο Αθηνών ακοουθούν αυτό το χρονικό διάτηµα κάοια άγνωτη κατανοµή µε γνωτή µέη τιµή µ 5 και διαορά 5 Αν η τιµή µιας µετοχής ήµερα είναι ευρώ οια είναι η ιθανότητα ε ένα µήνα τριάντα ηµέρες αό ήµερα η τιµή της µετοχής να βρίκεται κάου ανάµεα τα 7 και 5 ευρώ;

Λύη Έτω K ανεξάρτητες και ιόνοµες τυχαίες µεταβητές ου ανααριτούν τις καθηµερινές διακυµάνεις της µετοχής Ζητάµε την ιθανότητα 5 7 5 5 5 5 5 5 5 5 Αό το ΚΟΘ η τυχαία µεταβητή Z : υγκίνει κατά κατανοµή τη υνάρτηη κατανοµής 5 Φ της τυικής κανονικής κατανοµής Άρα Φ Φ 5 5 5 5 Φ Φ 5 Η δεύτερη ιότητα είναι υνέεια της Πρόταης 5 5 Φ Φ 5 5 Παράδειγµα 6 Έτω K ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές οι οοίες είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες το διάτηµα Υοογίτε κατά ροέγγιη την ιθανότητα > 6 Λύη Ιχύει ότι > 6 E και V Αό το ΚΟΘ έχουµε 5 > 6 5 Φ 6 Παράδειγµα 7 Έτω ότι ρίχνουµε ένα αµερόητο ζάρι δέκα φορές Υοθέτουµε ότι οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες Βρείτε κατά ροέγγιη την ιθανότητα να είναι το άθροιµα των εµφανιζόµενων αριθµών µεγαύτερο του και µικρότερο ή ίο του 4 Λύη Έτω ότι η τυχαία µεταβητή ότι 7 5 E και V Αό το ΚΟΘ έχουµε ανααριτά το αοτέεµα του οτού ζαριού K Ιχύει 7 4 < < 5 7 5 7 4 Φ 5 6 7 65

Παράδειγµα 8 είξτε ότι k k k! Λύη Έτω K µία ακοουθία ανεξάρτητων και ιόνοµων τυχαίων µεταβητών ου ακοουθούν την κατανοµή osso µε αράµετρο ίη µε τη µονάδα Ιχύει ότι ~ osso osso ~ όου Αό το ΚΟΘ έχουµε k k k! V E όου Φ είναι η υνάρτηη κατανοµής της τυικής κανονικής κατανοµής Φ Παράδειγµα 9 Ο αριθµός των φοιτητών ου διαέγουν το µάθηµα της Ψυχοογίας είναι µία τυχαία µεταβητή ου ακοουθεί την κατανοµή osso µε αράµετρο ίη µε Ο καθηγητής έχει αοφαίει ότι αν ο αριθµός αυτός είναι µεγαύτερος ή ίος του θα διαιρέει τους φοιτητές ε δύο τµήµατα ενώ αν είναι µικρότερος του θα διδάξει το µάθηµα ε ένα τµήµα αοτεούµενο αό όους τους φοιτητές Χρηιµοοιώντας το ΚΟΘ υοογίτε κατά ροέγγιη την ιθανότητα να διαιρέει ο καθηγητής τους φοιτητές ε δύο τµήµατα Λύη Έτω η τυχαία µεταβητή ου ανααριτά τον αριθµό των φοιτητών ου διαέγουν το µάθηµα της Ψυχοογίας Ιχύει ότι ~ osso Η τυχαία µεταβητή µορεί να γραφεί ως εξής: L όου K είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες τυχαίες µεταβητές ου ακοουθούν την κατανοµή osso µε αράµετρο ίη µε τη µονάδα Αό το ΚΟΘ έχουµε Φ 8 όου Φ είναι η υνάρτηη κατανοµής της τυικής κανονικής κατανοµής Παράδειγµα ύο αίκτες Α και Β αίζουν το εξής αιχνίδι Ρίχνουν διαδοχικά ένα ζάρι και αν η ένδειξη είναι ή 5 ο αίκτης Α δίνει τον αίκτη Β οό ή ευρώ αντίτοιχα Αν η ένδειξη είναι 4 ή 6 ο αίκτης Β δίνει τον αίκτη Α οό ή ευρώ αντίτοιχα Να υοογιθεί η ιθανότητα ε 6 ρίψεις α ο αίκτης Α να κερδίει τουάχιτον 7 ευρώ β ο αίκτης Α να κερδίει το ού 9 ευρώ Λύη Έτω το κέρδος του αίκτη Α κατά την οτή ρίψη του ζαριού K 6 4

Έχουµε Το υνοικό κέρδος του αίκτη Α ε 6 ρίψεις του ζαριού 6 6 θα δίνεται αό την τυχαία µεταβητή S Σύµφωνα µε το ΚΟΘ η τυοοιηµένη τυχαία µεταβητή S E S Z ακοουθεί κατά ροέγγιη την τυική κανονική κατανοµή N V S Όµως E ] 6 V E E E 4 Εοµένως 6 E S E V S 6 V 4 6 8 S 7 α Η ζητούµενη ιθανότητα είναι S 7 Z Φ 59 S 9 8 8 β Οµοίως S 9 Z 4 Φ4 879 8 8 Παράδειγµα Μία αφαιτική εταιρεία θέει να εκτιµήει το µέο ύψος µ των ετήιων ααιτήεων ανά αφαιµένο ε µία υγκεκριµένη κατηγορία αφάιης Για το όγο αυτό η εταιρεία αµβάνει ένα τυχαίο δείγµα αφαιµένων εξετάζει το ύψος των ααιτήεων ου έχει το κάθε άτοµο ε ένα οικονοµικό έτος και υοογίζει το µέο όρο αρατηρήεων Αν δεχτούµε ότι τα ύψη των ααιτήεων είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες τυχαίες µεταβητές µε διακύµανη ίη µε 56 ευρώ τι µέγεθος δείγµατος θα ρέει να χρηιµοοιηθεί ώτε µε ιθανότητα τουάχιτον 99% η εκτιµήη της εταιρείας να µην αέχει αό το θεωρητικό ραγµατικό µέο µ εριότερο αό ευρώ; Λύη Έτω το ύψος των ετήιων ααιτήεων του οτού αφαιµένου Οι τυχαίες µεταβητές K είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες µε E µ V 6 56 K Το υνοικό ύψος των ετήιων ααιτήεων για τους αφαιµένους εριγράφεται αό την τυχαία µεταβητή S S Θέουµε να ροδιορίουµε την τιµή του για την οοία ιχύει < µ < 99 αρκετά µεγάο εφαρµόζουµε το ΚΟΘ και έχουµε Για < S µ < 6 < S µ < 6 6 < Z < Φ Φ 6 6 6 5

S µ Φ 6 όου Z ~ N Πρέει Φ 99 Φ 995 6 6 Αό ίνακες της τυικής κανονικής κατανοµής N έχουµε Φ 5 9949 Φ58 995 Συνεώς αν ζητήουµε να ιχύει Φ Φ58 6 εξαφαίζεται η ιχύς της ροηγούµενης ανιότητας Αφού η Φ z είναι 6 58 γνήιως αύξουα 58 89 6 Συνεώς το έαχιτο µέγεθος δείγµατος είναι ίο µε 9 Η ού µεγάη τιµή του δικαιοογεί εκ των υτέρων τη χρήη του ΚΟΘ 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 6 Ειαγωγή Σε αυτό το κεφάαιο κάνουµε µία ειαγωγή τη θεωρία των διανυµατικών τυχαίων µεταβητών Θα µεετήουµε τις διακριτές και τις υνεχείς διανυµατικές τυχαίες µεταβητές και θα ορίουµε ε κάθε ερίτωη τις εριθώριες υναρτήεις κατανοµών τους Ειέον θα µεετήουµε την ανεξαρτηία δύο τυχαίων µεταβητών και την κατανοµή του αθροίµατος ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών Οι έννοιες της υνδιακύµανης και του υντεετή υχέτιης δύο τυχαίων µεταβητών αρουιάζονται µε τη χρήη κατάηων χετικών αραδειγµάτων Χρηιµοοιώντας µία κατάηη χέη αρουιάζονται χετικά αραδείγµατα υοογιµού κατανοµών µεταχηµατιµένων τυχαίων µεταβητών Ορίζονται ηµαντικές έννοιες αό τη θεωρία των δεµευµένων κατανοµών όως µεταξύ άων οι ακόουθες: δεµευµένη αθροιτική υνάρτηη κατανοµής δεµευµένη υνάρτηη ιθανότητας δεµευµένη υνάρτηη υκνότητας και δεµευµένη µέη τιµή 6 ιανυµατικές τυχαίες µεταβητές Έτω οι τυχαίες µεταβητές K ου ορίζονται τον ίδιο ιθανοθεωρητικό χώρο Ω I Για κάθε K οι τυχαίες µεταβητές είναι τέτοιες ώτε : Ω R Ποές φορές µας ενδιαφέρει να µεετήουµε τις τυχαίες µεταβητές K ε υνδυαµό για να διερευνήουµε τυχόν υχετίεις τους ~ Με άα όγια µας ενδιαφέρει το διάνυµα των τυχαίων µεταβητών K Για αράδειγµα έτω ότι η τυχαία µεταβητή ανααριτά το βάρος η τυχαία µεταβητή ανααριτά το ύψος η τυχαία µεταβητή ανααριτά την ηικία και η τυχαία µεταβητή 4 ανααριτά την ίεη ενός αθενούς Μας ενδιαφέρει να διερευνήουµε τις τυχόν υχετίεις αυτών των µεταβητών Μεετούµε οιόν το διάνυµα ~ ίνουµε τον ακόουθο οριµό 4 ~ Οριµός Ένα διάνυµα K ου αοτεείται αό τυχαίες µεταβητές οριµένες τον ίδιο ιθανοθεωρητικό χώρο Ω I καείται διάτατη τυχαία µεταβητή ή διανυµατική τυχαία µεταβητή δτµ dmsol dom vbl o dom vco Για το διάνυµα ~ ιχύει ότι ~ ~ : ω Ω ω ω K R ω 7

Κατά τη ρίψη δύο ζαριών µας ενδιαφέρει υνήθως τόο η ένδειξη του ρώτου όο και του δεύτερου ζαριού Σε µία κινική µεέτη µας ενδιαφέρει ο τρόος µε τον οοίον η ηικία ενός αθενούς εηρεάζει το χρόνο αντίδραής του ε ένα υγκεκριµένο φάρµακο Σε αυτές τις εριτώεις εµφανίζονται δύο τυχαίες µεταβητές Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αρουιάζει ο ροδιοριµός της υµεριφοράς της µιας τυχαίας µεταβητής ε χέη µε τη υµεριφορά της άης Στη υνέχεια του αρόντος κεφααίου θα ανατύξουµε τη θεωρία των ~ διανυµατικών τυχαίων µεταβητών την ερίτωη κατά την οοία δηαδή όταν Οριµός Η υνάρτηη κατανοµής F : R ] της διανυµατικής διδιάτατης τυχαίας µεταβητής ορίζεται ως εξής: F ] < < και καείται αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής o dsbuo uco της διδιάτατης διανυµατικής τυχαίας µεταβητής Η υνάρτηη κατανοµής διδιάτατης δτµ ως εξής: F F της τυχαίας µεταβητής µορεί να ηφθεί αό τη υνάρτηη F της ] < ] lm{ }] lm ] lm F Στην τέταρτη ιότητα η ενααγή της θέης του ορίου και της ιθανότητας είναι ειτρετή Εντεώς ανάογα ροκύτει ότι F lm F Οι υναρτήεις F και των τυχαίων µεταβητών και F καούνται εριθώριες υναρτήεις κατανοµής mgl dsbuo ucos Παράδειγµα Θα υοογίουµε την ιθανότητα > > ] υναρτήει των εριθωρίων υναρτήεων κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και της αό κοινού αθροιτικής υνάρτηης κατανοµής της διδιάτατης δτµ ιαδοχικά έχουµε c c c > > ] { > > } ] { > } { > } ] { } { }] { } { } { }] F F F Η δεύτερη ιότητα είναι υνέεια του Νόµου D og για την τοµή δύο ενδεχοµένων και η τέταρτη ιότητα είναι υνέεια του ροθετικού νόµου 8

6 ιακριτές διανυµατικές τυχαίες µεταβητές Αν οι τυχαίες µεταβητές και είναι διακριτές τότε ορίζουµε την αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας o obbl uco της διδιάτατης δτµ όου S και S ως εξής: ] Ααραίτητη υνθήκη για να είναι η µία αό κοινού για τη δτµ Η υνάρτηη ιθανότητας είναι η εξής: S S της τυχαίας µεταβητής µορεί να εκφρατεί υναρτήει της ως εξής: ] ] S S Οµοίως η υνάρτηη ιθανότητας εξής: ] ] S της τυχαίας µεταβητής µορεί να εκφρατεί υναρτήει της ως S S S Παράδειγµα Έτω η διακριτή δτµ µε ύνοο δυνατών τιµών φορέα S { } { } και ] S α είξτε ότι η είναι ράγµατι µία αό κοινού β 45 Βρείτε τις των τυχαίων µεταβητών και Λύη α Είναι S ράγµατι µία αό κοινού Ειέον Εοµένως η είναι 45 β Είναι ] 7 6 5 5 8 5 ] 5 5 5 5 7 5 Μορούµε να υνοψίουµε τις αραάνω ιθανότητες τον ακόουθο ίνακα: 9

4 45 7 45 45 7 5 5 45 8 45 45 8 5 5 5 5 7 5 Παρατηρούµε ότι η υνάρτηη ιθανότητας της τυχαίας µεταβητής µορεί να ηφθεί αν υοογίουµε τα αθροίµατα ανά γραµµή του ίνακα ενώ η υνάρτηη ιθανότηατς µεταβητής µορεί να ηφθεί αν υοογίουµε τα αθροίµατα ανά τήη του ίνακα Εειδή οι της τυχαίας και των τυχαίων µεταβητών και εµφανίζονται τα εριθώρια του αραάνω ίνακα καούνται εριθώριες υναρτήεις ιθανότητας mgl obbl ucos 8 Παράδειγµα Έτω η διδιάτατη διακριτή δτµ µε υνάρτηη ιθανότητας 5 K και K α Να βρεθούν οι εριθώριες υναρτήεις ιθανότητας των τυχαίων µεταβητών και β Να υοογιτεί η ιθανότητα Λύη α Είναι 8 5 8 5 5 8 5 5 K 8 5 8 5 4 5 β Έτω τα ενδεχόµενα A { < } και B { < } K Είναι A B A B A B F F F όου F F είναι οι εριθώριες αθροιτικές υναρτήεις κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και F είναι η αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ F F 4 F 5 8 5

4 8 Άρα 5 5 5 6 Συνεχείς διανυµατικές τυχαίες µεταβητές Έτω δύο υνεχείς τυχαίες µεταβητές οι οοίες είναι οριµένες τον ίδιο δειγµατικό χώρο Τότε η διδιάτατη διανυµατική τυχαία µεταβητή είναι υνεχής αν υάρχει µία µη-αρνητική υνάρτηη δύο µεταβητών : R R R τέτοια ώτε για κάθε εριοχή C R R η οοία µορεί να γραφεί µέω ορθογωνίων µε χρήη εεραµένου ή αείρως αριθµήιµου ήθους ράξεων τοµή ένωη υµήρωµα ιχύει ότι C] dd Η υνάρτηη καείται αό κοινού C υνάρτηη υκνότητας o obbl ds uco της διδιάτατης δτµ Αν A και B είναι υούνοα του υνόου των ραγµατικών αριθµών τότε αν ορίουµε C { : A B} A B έχουµε C] A B] dd B A Αν A ] και B b] έχουµε { ] b]} b] F b b dd Η υνάρτηη F καείται αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ Αν αραγωγίουµε ως ρος και b έχουµε F b b Η τεευταία χέη υνδέει την αό κοινού b και την αό κοινού υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ Ααραίτητη υνθήκη για να είναι η µία αό κοινού για τη διδιάτατη δτµ είναι dd Αν η διδιάτατη δτµ είναι υνεχής τότε οι τυχαίες µεταβητές και είναι υνεχείς εναακτικά καούνται αό κοινού υνεχείς o couous και οι υναρτήεις υκνότητας τους αντίτοιχα µορούν να ηφθούν ως εξής: και { A} { A } dd d όου A τυχαίας µεταβητής Οµοίως η της τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τη χέη A d είναι η της d Για τις εριθώριες υναρτήεις κατανοµών F F ιχύουν οι εκφράεις: F lm F και

lm F F Αό τις δύο τεευταίες χέεις µορούµε να υοογίουµε αευθείας τις εριθώριες υναρτήεις κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και αό την αό κοινού υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ Ιχύει ότι: < < ds s ds d s F Όµοια < < d d d F Παράδειγµα 4 Η αό κοινού της δτµ δίνεται αό τον τύο Να υοογιτούν οι ιθανότητες α ] < > β ] < και γ ] < Λύη α Είναι ] < > ] d d dd β < < } : { ] d d d dd dd γ < d dd ] Παράδειγµα 5 Η αό κοινού της δτµ δίνεται αό τον τύο Βρείτε την της τυχαίας µεταβητής Λύη Αρχικά θα υοογίουµε τη υνάρτηη κατανοµής της τυχαίας µεταβητής Για > έχουµε διαδοχικά ] d dd dd F Αν αραγωγίουµε ως ρος αµβάνουµε τη της τυχαίας µεταβητής η οοία δίνεται αό τον τύο: > F

Παράδειγµα 6 Η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας µιας διδιάτατης διανυµατικής τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τον τύο < < < < και αού 5 α Να υοογιτεί η ιθανότητα < < < < β Να βρεθούν οι εριθώριες υναρτήεις υκνότητας γ Να βρεθεί η αό κοινού υνάρτηη κατανοµής F δ Να βρεθούν οι εριθώριες υναρτήεις κατανοµών F < < < < dd d 5 5 Λύη α 6 β d 5 d < < 5 d d < < 5 5 F 8 γ δ s F dsd 5 5 F 6s s 6 s ds ds < < 5 5 < < < < s F s ds ds < < 5 5 Παράδειγµα 7 Η αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής των χρόνων ζωής δύο αµτήρων A B 4 ε χιιάδες ώρες δίνεται αό τον τύο: F > και F αού α Να υοογιτούν οι εριθώριες υναρτήεις κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και β Ποια είναι η ιθανότητα και οι δύο αµτήρες να ζήουν εριότερο αό 5 ώρες τουάχιτον ένας αό τους δύο αµτήρες να ζήει εριότερο αό 5 ώρες; γ Να βρεθούν οι εριθώριες υναρτήεις υκνότητας των τυχαίων µεταβητών και Ποια είναι η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας της διδιάτατης διανυµατικής τυχαίας µεταβητής ; 4 4 Λύη α F lm F lm > F lm F lm 4 >

β Έτω τα ενδεχόµενα A : ο αµτήρας A ζει ιγότερο αό 5 ώρες δηαδή αµτήρας B ζει ιγότερο αό 5 ώρες δηαδή < Ζητάµε την ιθανότητα c c c A B A B A B A B A B < και B : ο 4 Είναι A < F 6% B < F A B < < F c c c Ζητάµε την ιθανότητα A B A B A B 4 4 γ F 8 > F F 4 > 4 64 Ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές Θεωρούµε ένα είραµα το οοίο ρίχνουµε ένα νόµιµα και ένα ζάρι ιαιθητικά ιτεύουµε ότι όοιο κι αν είναι το αοτέεµα της ρίψης ενός νοµίµατος δεν θα ρέει να έχει καµία είδραη το αοτέεµα της ρίψης του ζαριού και αντίτροφα Έτω η τυχαία µεταβητή ου ιούται µε ή ανάογα µε το αν το νόµιµα δείχνει κεφαή ή γράµµατα και έτω η τυχαία µεταβητή ου αίρνει τις τιµές 4 5 ή 6 ανάογα µε το αν η άνω έδρα του ζαριού φέρει τον αριθµό 4 5 ή 6 αντίτοιχα Το αοτέεµα του διού ειράµατος εριγράφεται αό τη διδιάτατη διακριτή δτµ Το διαιθητικό µας υµέραµα ότι τα αοτεέµατα των ρίψεων του νοµίµατος και του ζαριού δεν έχουν καµία είδραη το ένα το άο µορεί να διατυωθεί αυτηρά ως εξής: αν είναι ένας αό τους αριθµούς ή και είναι ένας αό τους αριθµούς 45 6 τότε τα ενδεχόµενα { } και { } ρέει να είναι ανεξάρτητα ίνουµε τον ακόουθο οριµό Οριµός Οι τυχαίες µεταβητές και καούνται ανεξάρτητες dd αν για οοιαδήοτε υούνοα A και B του υνόου των ραγµατικών αριθµών ιχύει ότι { A B} { A} { B} 6 4

Ιοδύναµα οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες όταν και µόνο όταν για οοιαδήοτε ύνοα A και B τα ενδεχόµενα { A} και { B} είναι ανεξάρτητα Για οοιαδήοτε b R ιχύει ότι E A E B { b} { } { b} ή ιοδύναµα F b F F b όου F είναι η αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ και F F είναι οι υναρτήεις κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και αντίτοιχα Όταν οι και είναι διακριτές τυχαίες µεταβητές η υνθήκη ανεξαρτηίας 6 είναι ιοδύναµη µε τη χέη 6 ή µε τη χέη ] ] ] για κάθε Η ιοδυναµία των χέεων 6 και 6 εξηγείται ως εξής: Αν τη χέη 6 θέουµε A {} και B {} αµβάνουµε τη 6 Ειέον αν η χέη 6 ιχύει τότε για οοιαδήοτε ύνοα A και B έχουµε { A B} { } { } { } { } B A B A B A { } { B} { A} Όταν οι και είναι υνεχείς τυχαίες µεταβητές η υνθήκη της ανεξαρτηίας 6 είναι ιοδύναµη µε τη χέη για κάθε ιαιθητικά οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες όταν η γνώη της µίας δεν εηρεάζει την κατανοµή της άης Αν δύο τυχαίες µεταβητές δεν είναι ανεξάρτητες τότε καούνται εξαρτηµένες dd Παράδειγµα 8 Ένας άνδρας και µία γυναίκα έχουν υµφωνήει να υναντηθούν ε ένα ζαχαροατείο κάοια χρονική τιγµή µεταξύ : και : το µεηµέρι Υοθέτουµε ότι ο άνδρας φθάνει το ζαχαροατείο τις και η γυναίκα φθάνει τις Υοθέτουµε ειέον ότι οι και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές και ότι ακοουθούν την Oµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα Να υοογιτεί η ιθανότητα > δηαδή η ιθανότητα ο άνδρας να εριµένει τη γυναίκα ή 6 αντίτροφα για εριότερο αό δέκα ετά Λύη Έτω η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας της διδιάτατης δτµ και οι των τυχαίων µεταβητών και αντίτοιχα 5

6 Είναι { } { } 6 6 6 < > > και τα ενδεχόµενα { } 6 > { } 6 < είναι αυµβίβατα Άρα { } { } { } < < < < > dd 6 6 6 6 6 < < 6 6 6 6 6 6 5 7 5 6 d dd dd dd Η δεύτερη ιότητα είναι υνέεια της υµµετρίας και η τέταρτη ιότητα είναι υνέεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων µεταβητών και Παράδειγµα 9 Υοθέτουµε ότι ο αριθµός των ατόµων ου ειέρχονται κατά τη διάρκεια µιας µέρας ε ένα ταχυδροµείο ακοουθεί την κατανοµή osso µε αράµετρο είξτε ότι αν το κάθε άτοµο ου ειέρχεται το ταχυδροµείο είναι άνδρας µε ιθανότητα και γυναίκα µε ιθανότητα τότε ο αριθµός των ανδρών και των γυναικών ου µαίνουν το ταχυδροµείο κατά τη διάρκεια µιας µέρας είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές ου ακοουθούν την κατανοµή osso µε αραµέτρους και αντίτοιχα Λύη Έτω και αντίτοιχα ο αριθµός των ανδρών και των γυναικών ου ειέρχονται το ταχυδροµείο κατά τη διάρκεια µιας µέρας Αό το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας και αν δεµευτούµε ως ρος την τυχαία µεταβητή έχουµε ] ] ] ] ]! ] ] Η δεύτερη ιότητα ροκύτει διότι ροφανώς ιχύει ότι ] Η τρίτη ιότητα ροκύτει διότι εξ υοθέεως η τυχαία µεταβητή ακοουθεί την κατανοµή osso µε αράµετρο Ειέον δοθέντος ότι άνθρωοι ειέρχονται το ταχυδροµείο και ο καθένας αό αυτούς είναι άνδρας µε ιθανότητα η ιθανότητα ακριβώς άτοµα να είναι άνδρες και εοµένως ακριβώς άτοµα να είναι γυναίκες είναι ίη µε ] δηαδή η αραάνω ιθανότητα είναι διωνυµική µε αραµέτρους και Συνεώς!! ] ] K Η εριθώρια υνάρτηη κατανοµής της τυχαίας µεταβητής βρίκεται ως εξής:!!! ]! ] ] K Άρα ~ osso Οµοίως η εριθώρια υνάρτηη κατανοµής της τυχαίας µεταβητής είναι

7! ] ] ] K Άρα ~ osso ] Παρατηρούµε ότι ] ] ] K Εοµένως οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες Παράδειγµα Η αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας της διδιάτατης διακριτής τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τον τύο 8 K Να εξετατεί αν οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες και να υοογιτεί η ιθανότητα Λύη Για τη εριθώρια υνάρτηη ιθανότητας της τυχαίας µεταβητής έχουµε 4 8 4 8 8 K Για τη εριθώρια υνάρτηη ιθανότητας της τυχαίας µεταβητής έχουµε 4 8 8 8 K Οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες διότι για όα τα K Χρηιµοοιούµε την ανεξαρτηία των τυχαίων µεταβητών και και έχουµε ] Όµως 4 4 64 6 64 6 4 Με αντικατάταη τον ροηγούµενο τύο έχουµε 56 5 64 6 4 64 6 4 65 Κατανοµή του αθροίµατος ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών Η Πρόταη 5 µορεί να γενικευτεί την ερίτωη των δτµ Η µέη τιµή µιας υνάρτηης g της δτµ είναι g g E ] αν η δτµ είναι διακριτή µε αό κοινού

υνάρτηη ιθανότητας ενώ g ] E g dd αν η δτµ είναι υνεχής µε αό κοινού υνάρτηη υκνότητας Ιχύει η ακόουθη ρόταη Πρόταη Έτω τυχαίες µεταβητές ου ορίζονται τον ίδιο ιθανοθεωρητικό χώρο Ω I Αν οι είναι ανεξάρτητες τότε E g h ] E g ] E h ] όου g και h είναι ραγµατικές υναρτήεις Αόδειξη Θα αοδείξουµε την ρόταη την ερίτωη κατά την οοία οι τυχαίες µεταβητές και είναι υνεχείς Η αόδειξη είναι αρόµοια την ερίτωη κατά την οοία οι και είναι διακριτές τυχαίες µεταβητές Έτω η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας της διδιάτατης δτµ και οι υναρτήεις υκνότητας των ιαδοχικά έχουµε g h dd g h dd h d g E g h ] d E h ] E g ] Έτω και δύο ανεξάρτητες διακριτές τυχαίες µεταβητές ου αίρνουν ακέραιες τιµές και έτω η η και η οι ιθανογεννήτριες των τυχαίων µεταβητών και αντίτοιχα Αό την αραάνω ρόταη και τον οριµό της ιθανογεννήτριας διαδοχικά έχουµε η E E E E η η Υοθέτουµε ότι η ραγµατική µεταβητή αίρνει τιµές ε ένα κατάηο διάτηµα ύγκιης των ιθανογεννητριών Η τρίτη ιότητα είναι υνέεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων µεταβητών Με εαγωγή έεται ότι αν οι K είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές ιχύει ότι η L η Lη όου η είναι η ιθανογεννήτρια της τυχαίας µεταβητής L και L η K η είναι οι ιθανογεννήτριες των K Παρόµοια αοτεέµατα ροκύτουν για τις ροογεννήτριες και τις χαρακτηριτικές υναρτήεις Αν είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές και είναι οι ροογεννήτριες των αντίτοιχα διαδοχικά έχουµε E E E E Υοθέτουµε ότι η ραγµατική µεταβητή του αραάνω τύου αίρνει τιµές ε ένα κατάηο διάτηµα ύγκιης των ροογεννητριών Είης αν αντίτοιχα διαδοχικά έχουµε φ φ φ είναι οι χαρακτηριτικές υναρτήεις των φ E E E E φ φ R 8

Οι δύο τεευταίοι τύοι όως την ερίτωη των ιθανογεννητριών εεκτείνονται άµεα µε εαγωγή µε υνέεια η ροογεννήτρια ή η χαρακτηριτική υνάρτηη του αθροίµατος εεραµένου ήθους ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών ιούται µε το γινόµενο των ροογεννητριών ή των χαρακτηριτικών υναρτήεων τους Τα αραάνω αοτεέµατα ε υνδυαµό µε τις Προτάεις 4 4 και 4 µας βοηθούν να ροδιορίουµε την κατανοµή του αθροίµατος εεραµένου ήθους ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών Στη υνέχεια αραθέτουµε τρία χετικά αραδείγµατα Παράδειγµα Αν ~ osso και ~ osso και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τότε ~ osso Λύη Η ύη θα δοθεί µε δύο τρόους > ος τρόος Το ενδεχόµενο { } K µορεί να γραφεί ως η τοµή των ξένων µεταξύ τους ενδεχοµένων { k} και { k} k K ιαδοχικά έχουµε k k ] k k] k] k] k k k k! k! k k! k k Άρα ~ osso k! k!! k! k!! k k ος τρόος Έτω φ φ φ οι χαρακτηριτικές υναρτήεις των αντίτοιχα Τότε αφού οι είναι ανεξάρτητες ιχύει ότι φ φ φ R Αό το Παράδειγµα του Κεφααίου 4 έχουµε φ και φ Άρα φ { } R Αό την Πρόταη 4 ροκύτει άµεα ότι ~ osso Το αοτέεµα του ροηγούµενου αραδείγµατος µορεί να γενικευτεί για την ερίτωη ου έχουµε K ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώτε ~ osso K Τότε L ~ osso L Παράδειγµα Αν ~ B ~ B m και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τότε ~ B m Λύη Έτω η η η οι ιθανογεννήτριες των αντίτοιχα Τότε αφού οι είναι ανεξάρτητες ιχύει ότι η η η όου η ραγµατική µεταβητή ανήκει το διάτηµα ύγκιης 9

των ιθανογεννητριών Αό το Παράδειγµα του Κεφααίου 4 έχουµε η και m η Άρα m η Αό την Πρόταη 4 ροκύτει άµεα ότι ~ B m Το αοτέεµα του ροηγούµενου αραδείγµατος µορεί να γενικευτεί για την ερίτωη ου έχουµε K ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώτε ~ B K Τότε L ~ B L Παράδειγµα Αν ~ N µ ~ N µ και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τότε b ~ N µ bµ b όου b R Λύη Έτω b οι ροογεννήτριες των b αντίτοιχα Αφού ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές διαδοχικά έχουµε b b b b E E E E b Χρηιµοοιούµε τα αοτεέµατα του Παραδείγµατος 6 του Κεφααίου 4 και έχουµε b b µ µ b µ b b µ Αό την Πρόταη 4 ροκύτει άµεα ότι b ~ N µ bµ b R Το αοτέεµα του ροηγούµενου αραδείγµατος µορεί να γενικευτεί για την ερίτωη ου έχουµε K ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώτε ~ N µ K Τότε L ~ N µ όου K R Σε κάθε ένα αό τα τρία ροηγούµενα αραδείγµατα χρηιµοοιήαµε ενδεικτικά µία αό τις τρεις υναρτήεις ιθανογεννήτρια ροογεννήτρια χαρακτηριτική υνάρτηη Είναι φανερό ότι ε κάθε αράδειγµα θα µορούαµε να χρηιµοοιήουµε εναακτικά οοιαδήοτε αό τις υόοιες γεννήτριες υναρτήεις 66 Μέη τιµή και διαορά τυχαίων µεταβητών Στο αρόν εδάφιο θα αχοηθούµε µε την εύρεη της µέης τιµής και της διαοράς του αθροίµατος δυο τυχαίων µεταβητών Ιχύει η ακόουθη ρόταη

Πρόταη Έτω δύο τυχαίες µεταβητές µε εεραµένες µέες τιµές Τότε η τυχαία µεταβητή έχει εεραµένη µέη τιµή και ειέον ιχύει ότι E E E Αόδειξη Έτω ότι η δτµ είναι υνεχής και έτω οι της διδιάτατης δτµ και των τυχαίων µεταβητών αντίτοιχα Θεωρούµε τη υνάρτηη g ιαδοχικά έχουµε dd dd E g ] E dd d d E E αρόµοιο τρόο Αν η διδιάτατη δτµ είναι διακριτή η αόδειξη γίνεται µε Αν K είναι τυχαίες µεταβητές µε εεραµένες µέες τιµές τότε µε εαγωγή αοδεικνύεται ότι E E ] Η τεευταία χέη είναι ού χρήιµη για τον υοογιµό µέων τιµών Παράδειγµα 4 Έτω ότι N άνδρες ετάνε τα καέα τους το άτωµα ενός δωµατίου Τα καέα ανακατεύονται και ο κάθε άνδρας διαέγει ένα καέο κατά τυχαίο τρόο Βρείτε τη µέη τιµή του αριθµού των ανδρών ου διαέγουν τα δικά τους καέα Λύη Έτω η τυχαία µεταβητή K N τέτοια ώτε αν ο άνδρας διαέγει το δικό του καέο και αν ο άνδρας δεν διαέγει το δικό του καέο Έτω η τυχαία µεταβητή L N Ζητάµε να βρούµε τη µέη τιµή E Ιχύει ότι E για κάθε N K N Συνεώς E E L E N Παράδειγµα 5 έκα κυνηγοί εριµένουν να εράει ένα µήνος αό δέκα κοτύφια Όταν εράει το µήνος οι κυνηγοί υροβοούν ταυτόχρονα αά ο καθένας διαέγει το τόχο του τυχαία και ανεξάρτητα αό τους άους Αν ο κάθε κυνηγός ετυχαίνει το τόχο του µε ιθανότητα να βρεθεί ο αναµενόµενος αριθµός των κοτυφιών ου ξεφεύγουν αό τους υροβοιµούς των κυνηγών Λύη Έτω η τυχαία µεταβητή K τέτοια ώτε αν το οτό κοτύφι ξεφεύγει και αν το οτό κοτύφι δεν ξεφεύγει αό τους υροβοιµούς των κυνηγών

Έτω η τυχαία µεταβητή L Ζητάµε να βρούµε τη µέη τιµή E Ιχύει ότι E E L E L E Για κάθε K έχουµε E Ο κάθε κυνηγός ανεξάρτητα αό τους άους ετυχαίνει το οτό κοτύφι µε ιθανότητα Άρα Συνεώς E Η Πρόταη 4 µορεί να γενικευτεί για τυχαίες µεταβητές K ως εξής: E L E L E όου K ραγµατικές ταθερές Παράδειγµα 6 Η αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας µιας διακριτής διδιάτατης τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τον τύο c α Ποια είναι η τιµή της ταθεράς c και οιες οι εριθώριες υναρτήεις ιθανότητας των τυχαίων µεταβητών και β Να υοογιτούν οι µέες τιµές των τυχαίων µεταβητών και Λύη α Πρέει c 9 9 6 c c 6 9 9 β E ] E ] 6 4 6 6 9 9 Παράδειγµα 7 Η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας µιας διδιάτατης υνεχούς τυχαίας µεταβητής δίνεται αό τον τύο αν < < και διαφορετικά α Να υοογιτούν οι µέες τιµές των τυχαίων µεταβητών β Να υοογιτεί η µέη τιµή E και γ Να υοογιτούν αρχικά οι ιθανότητες < 5 5 < και και να βρεθεί τη υνέχεια η µέη τιµή της τυχαίας µεταβητής Z όου Z αν < 5 Z αν 5 < και Z αν

Λύη α Έχουµε dd d E d E dd 4 E dd d E dd ] ] d d ] ] β 5 5 γ Είναι < 5 dd 5 5 d 8 5 < 5 dd dd 5d 5 5 5 5 d 8 < < 5 5 < 8 8 Για τη µέη τιµή της τυχαίας µεταβητής Z η οοία είναι διακριτή τυχαία µεταβητή έχουµε E Z z Z z z 8 8 8 67 Συνδιακύµανη δύο τυχαίων µεταβητών Έτω δύο τυχαίες µεταβητές Η διακύµανη µιας τυχαίας µεταβητής αοτεεί ένα µέτρο της µεταβητότητάς της Αν για αράδειγµα θεωρήουµε ένα γραµµικό υνδυαµό Z b των τυχαίων µεταβητών και όου b R ταθερές είναι διαιθητικά ροφανές ότι η διακύµανη της Z θα ρέει να εηρεάζεται τόο αό τις διακυµάνεις των όο και αό την αό κοινού υµεριφορά των τυχαίων µεταβητών Η οότητα ου αντικατοτρίζει την αό κοινού υµεριφορά των δίνεται τον ακόουθο οριµό Οριµός Συνδιακύµανη Η υνδιακύµανη covc δύο τυχαίων µεταβητών και ορίζεται ως εξής: Cov E{ E E } Αό τον αραάνω οριµό ανατύοντας το δεξιό µέος της τεευταίας ιότητας διαδοχικά έχουµε { E E E E } E E E E E E E Cov E E E E Αν είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τότε αό την Πρόταη 4 έχουµε Cov

Το αντίτροφο δεν ιχύει ηαδή αν Cov δεν έεται ότι οι είναι ανεξάρτητες Ένα αό αράδειγµα δύο εξαρτηµένων τυχαίων µεταβητών ου έχουν µηδενική υνδιακύµανη µορεί να ηφθεί αν υοθέουµε ότι η είναι τέτοια ώτε και ορίουµε την έτι ώτε αν και αν Τότε και εοµένως E Ειέον E και Cov E E E Οι είναι φανερά εξαρτηµένες τυχαίες µεταβητές Ιχύει η ακόουθη ρόταη Πρόταη Έτω µεταβητή δύο τυχαίες µεταβητές µε εεραµένες ροές δεύτερης τάξης Τότε η τυχαία έχει εεραµένη ροή δεύτερης τάξης και εοµένως έχει εεραµένη διαορά Ειέον ιχύει ότι V V V Cov Αόδειξη Είναι V E E ] E E E ] E E E E E E E ] V V Cov Η ροηγούµενη ρόταη µορεί να γενικευτεί για τυχαίες µεταβητές K ως εξής: V L V Cov όου K ραγµατικές ταθερές Στην ερίτωη ου οι τυχαίες µεταβητές K είναι ανά δύο ανεξάρτητες µεταξύ τους ιχύει ότι V L V όου K ραγµατικές ταθερές Ιχύει η ακόουθη ρόταη Πρόταη Αν Z τυχαίες µεταβητές και b R ιχύει ότι Cov b Z Cov Z bcov Z Αόδειξη Είναι E Z E E Z ] b E Z E E ] Cov b Z E b Z] E b EZ Z Cov Z bcov Z Παράδειγµα 8 Για το Παράδειγµα 4 υοογίτε τη διαορά του αριθµού των ανδρών ου διαέγουν τα δικά τους καέα Λύη Ιχύει ότι V V N N N Cov 4

N E E E για K N N N N Όµως V Είης για µε < έχουµε ότι Cov E E E Όµως αν αµφότεροι οι άνδρες και διαέγουν τα δικά τους καέα και ε οοιαδήοτε άη ερίτωη Άρα E N N Συνεώς Cov N N N N N N N N N Εοµένως V N N N N N 68 Συντεετής υχέτιης δύο τυχαίων µεταβητών Έτω και δύο τυχαίες µεταβητές µε εεραµένες µη-µηδενικές διαορές για τις οοίες διαιτώαµε ότι Cov Τότε οι δεν είναι ανεξάρτητες Μας ενδιαφέρει να αοδώουµε οοτικά το βαθµό εξάρτηης των και µε έναν κατάηο αριθµό Η τιµή της υνδιακύµανης των τυχαίων µεταβητών και εηρεάζεται ηµαντικά αό τις µονάδες µέτρηης των και Για να εξαείψουµε την είδραη των µονάδων µέτρηης των και το βαθµό της εξάρτηής τους δίνουµε τον ακόουθο οριµό Οριµός Ο υντεετής υχέτιης colo coc δύο τυχαίων µεταβητών τέτοιων ώτε V V > ορίζεται ως εξής: Cov ρ : και αοτεεί ένα µέτρο του βαθµού V V εξάρτηης µεταξύ τους Πρόταη Ιχύει ότι ρ Αόδειξη Έτω και οι διαορές των τυχαίων µεταβητών και αντίτοιχα Ιχύει ότι V V V Cov ρ ρ V V Cov Είης ιχύει ότι V ρ ρ Συνεώς ρ Ιχύει η ακόουθη ρόταη 5

Πρόταη Αν Z είναι µία τυχαία µεταβητή τέτοια ώτε V Z τότε { Z E Z } Αόδειξη Αό την ανιότητα του Chbshv έχουµε ότι Z E Z > για κάθε Υοθέτουµε ότι Αό το Θεώρηµα Συνέχειας ιχύει ότι lm Z E Z > lm Z E Z > { Z E Z} Συνεώς { Z E Z } V V Cov Αν ρ τότε αό τη χέη V ρ ροκύτει ότι V Η τεευταία χέη έχει ως άµεο εακόουθο ότι µε ιθανότητα η οότητα b R θα είναι ίη µε µία ταθερά Εοµένως θα ιχύει ότι b όου b > Οµοίως αν ρ τότε αό τη χέη V V V Cov ρ ροκύτει ότι V Άρα µε ιθανότητα η οότητα θα είναι ίη µε µία ταθερά Εοµένως θα ιχύει ότι b όου b < b R Ειέον αν b τότε ρ ή ρ ανάογα µε το ρόηµο της ταθεράς b b Πράγµατι µετά αό ράξεις έχουµε ότι ρ b εοµένως ρ b αν b > και b ρ b αν b < Ο υντεετής υχέτιης δύο τυχαίων µεταβητών και είναι ένα µέτρο του βαθµού της γραµµικής εξάρτηης των και Μία τιµή του υντεετή υχέτιης κοντά το ή το - είναι ένδειξη υψηού βαθµού γραµµικής εξάρτηης µεταξύ των και ενώ µία τιµή του υντεετή υχέτιης κοντά το είναι ένδειξη ότι δεν υάρχει γραµµική εξάρτηη Μία θετική τιµή του υντεετή υχέτιης είναι ένδειξη ότι η αυξάνει καθώς η αυξάνει ενώ µία αρνητική τιµή του είναι ένδειξη ότι η µειώνεται καθώς η αυξάνει Αν ρ τότε οι τυχαίες µεταβητές και καούνται αυχέτιτες ucold 6