Το καρούλι του σχήµατος (1) συγκρατείται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε την βοήθεια αβαρούς και µη εκτατού νήµατος που έχει περιτυλιχθεί στον κυλινδρικό κορµό του. Το ελεύθερο άκρο του νήµατος είναι στερε ωµένο, ώστε το νήµα να είναι παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο. i) Eάν n είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του καρουλιού και του κεκλιµένου επιπέδου, r η ακτίνα του κυλινδρικού του κορ µού και R η ακτίνα των κυκλικών του βάσεων, να δείξετε την σχέση: n $ r R + r ii) Nα δείξετε ότι, αν η ακτίνα αδράνειας του καρουλιού ως προς τον γεωµετρικό του άξονα είναι ίση µε rr, τότε αν κόψουµε το νήµα που συγκρατεί το καρούλι αυτό θα κυλίεται επί του κεκλιµένου επι πέδου χωρίς ολίσθηση. ΛΥΣΗ: i) Το καρούλι δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην κάθετη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w y και στην παράλληλη προς αυτό συνι στώσα w x, την τάση F του νήµατος και την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T. Λόγω της ισορροπίας του καρουλιού η συνισταµένη των δυνάµεων κατά την διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου είναι µηδενική και η συνισταµένη των Σχήµα 1 ροπών των δυνάµεων περί τον γεωµετρικό άξονα του καρουλιού είναι επίσης µηδενική, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:
w x - F - T = Fr - TR = F + T = mgµ F = TR/r $ (1) Aπαλοίφοντας το F µεταξύ των (1) παίρνουµε: TR/r + T = mgµ T = mgµ 1 + R/r = r & ( mgµ () $ r + R' Επειδή η T είναι στατική τριβή ισχύει: () T nn r $ & mg'µ( ) nmg*+,( r + R r r + R n $ &µ n $ r r + R (3) ii) Aς δεχθούµε ότι µε το κόψιµο του νήµατος το καρούλι αρχίζει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. Τότε η τριβή T θα εξακολουθή σει να είναι στατική και θα διατηρήσει την φορά της, η δε επιτάχυνση a του κέντρου µάζας του καρουλιού σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα θα ικανοποιεί την σχέση: w x - T = ma mgµ - T = ma (4) Εξάλλου, αν ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση της περιστροφικής κινήσεως του καρουλιού, θα ισχύει σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κινήσεως η σχέση: TR = I' TR = Ia/R T = Ia/R (5) όπου Ι η ροπή αδράνειας του καρουλιού ως προς τον γεωµετρικό του άξονα. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: mgµ - ai/r = ma mgµ = a(m + I/R ) a = mgµ m + I/R οπότε η (5( γράφεται: T = I R mgµ m + I/R = Imgµ mr + I = mgµ mr /I + 1 (6) Όµως πρέπει να ισχύει: (6) T nn mgµ mr /I + 1 nmg$& n $ 1 mr /I + 1 (7)
Aν η ακτίνα αδράνειας του καρουλιού είναι ίση µε του Ι θα είναι Ι=mrR και η (7) παίρνει την µορφή: rr, τότε η ροπή αδράνειάς n $ 1 mr /mrr + 1 n $ 1 R/r + 1 n $ r R + r (8) η οποία αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να κυλίεται χωρίς ολίσθηση το καρούλι πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. Όµως η (8) εξασφαλίζεται από την ισορ ροπία του καρουλιού πριν κοπεί το νήµα, που σηµαίνει ότι µε το κόψιµο του νήµατος το καρούλι θα κυλίεται χωρίς ολίσθηση. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () η διπλή τροχαλία Α µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Αβαρές και µη εκτα τό νήµα είναι περιτυλιγµένο στα δύο αυλάκια της τροχαλίας, ενώ εφάπτεται του λαιµού µιας κινητής τροχαλίας Β αµελητέας µάζας, στο κέντρο της οποίας έχει δεθεί το ένα άκρο αβαρούς νήµατος, στο άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί σώµα Σ µάζας m. Αρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρ χή του χρόνου αφήνεται ελευθερο να κινηθεί. Να βρείτε την ταχύτητα του σώµατος Σ όταν αυτό έχει µετατοπιστεί προς τα κάτω κατά h. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η µάζα M της τροχαλίας Α, η ακτίνα αδράνειας Κ αυτής ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι η εξωτερική της ακτίνα είναι διπλάσια της εσωτερικής της ακτί νας R. ΛΥΣΗ: Eφαρµόζοντας για το σύστηµα τροχαλία Α-σώµα Σ το θεώρηµα διατή ρησης της µηχανικής ενέργειας κατά τον χρόνο που το σώµα µετατοπίζεται προς τα κάτω κατά h, παίρνουµε την σχέση: K + U = mv + I A - mgh = mv + MK = mgh (1) όπου v η ταχύτητα του σώµατος και η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας Α στο τέλος του θεωρούµενου χρόνου. Ας φανταστούµε τώρα ότι µεταξύ των χρονικών στιγµώς t και t+dt η τροχαλία Α στρέφεται κατά γωνία dφ. Τότε στον χρόνο dt θα έχει ξετυλιχθεί από την τροχαλία νήµα µήκους ds=rdφ+rdφ το δε σώµα θα έχει µετατοπιστεί προς τα κάτω κατά dh=ds/, δηλαδή θα ισχύει: dh = ds = Rd + Rd dh dt = 3R d dt v = 3R = v 3R ()
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: Σχήµα v$ mv + MK & 3R = mgh m + 4MK 9R $ & v = mgh v = mgh m + 4MK / 9R P.M. fysikos Oµογενής σφαίρα ακτίνας R και βάρους w, στρέ φεται χωρίς τριβή περί σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, µε γωνιακή ταχύτητα. Kάποια στιγµή επιδρά επί της σφαίρας σύστηµα πέδησης, αποτελούµενο από οµογενή ράβδο ΓΔ που µπορεί να στρέφεται περι οριζόντιο άξονα διερχόµενο από το κέντρο της Κ και κάθετο στην ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήµα (3). Eάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ της ράβδου πέδησης και της σφαίρας είναι n, η επιβατική ακτίνα του σηµείου επαφής τους σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ και η ράβδος είναι ακίνητη σε οριζόντια θέση, να βρεθεί ο χρόνος µέχρις ότου η σφαίρα πάψει να περιστρέφεται. Δίνεται το βάρος w 1 του σώµατος Σ, η επιτά χυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I=mR /5 της σφαίρας, ως προς τον άξονα περιστροφής της. ΛYΣH: H σφαίρα δέχεται από την ράβδο, λόγω επαφής της µε αυτήν, δύναµη της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σηµείο επαφής Γ. H δύναµη αυτή αναλύ εται σε µια συνιστώσα T εφαπτοµενική της σφαίρας, η οποία αποτελεί την τριβή ολίσθησης µεταξύ ράβδου και σφαίρας και της οποίας η φορά είναι αντίθετη της ταχύτητας του σηµείου Γ της περιστρεφόµενης σφαίρας και σε µια
ακτινική συνιστώσα N, που έχει φορά προς το κέντρο O της σφαίρας (κάθετη αντίδραση). Eξάλλου, η ράβδος πέδησης ισορροπεί σε οριζόντια θέση υπό την Σχήµα 3 επίδραση του βάρους της W, της τάσεως F του νήµατος από το οποίο έχει εξαρτηθεί το σώµα Σ, η οποία είναι ίση µε το βάρος w 1 του σώµατος, την αντίδ ραση A του άξονα περιστροφής της και την δύναµη από την σφαίρα στο άκρο της Γ, η οποία αναλύεται στις συνιστώσες T ' και N ' που είναι, σύµφωνα µε το αξίωµα ισότητας µεταξύ δράσεως-αντιδράσεως, αντίθετες των δυνάµεων T και N αντιστοίχως. H T' είναι οριζόντια και κάθετη στην ράβδο, οπότε η ροπή της ως προς τον άξονα περί τον οποίο µπορεί να περιστρέφεται είναι µηδενική. Eξάλλου, η N ' αναλύεται σε µια συνιστώσα F 1 κατά την διεύθυνση της ράβδου, της οποίας η ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι µηδενική και σε µια συνιστώσα F, κάθετη στην ράβδο, της οποίας η ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου εξουδετερώνει την αντίστοιχη ροπή της T και έτσι η ράβδος διατηρείται σε οριζόντια θέση. Θα ισχύει λοιπόν η σχέση: F L - FL = N ηµφ = F Nηµφ = w 1 N = w 1 /ηµφ (1) H ροπή της τριβής ολίσθησης T της σφαίρας, ως προς τον άξονα περιστροφής της, προκαλεί επιβράδυνση της περιστροφικής κίνησης της σφαίρας και σύµ φωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, το µέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης ' της σφαίρας θα ικανοποιεί την σχέση: (1) T(ΓM) = Iω nnrσυνφ = wr ω /5g nw 1 $ µ$ = wr&' 5g '= 5gnw 1 $ wr δηλαδή η ' είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι η σφαίρα εκτελεί οµαλά επιβρα δυνόµενη περιστροφική κίνηση. Έτσι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ()
σφαίρας θα µειώνεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: () = - 't = - 5gnw 1t$ wr (3) H σφαίρα θα πάψει περιστρεφόµενη την στιγµή t * για την οποία ισχύει: (3) ω = = - 5gnw 1t * $ wr t * = wr $ 5ngw 1 P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (4) ο τροχός έχει µάζα m και ακτίνα R, το δε ελατήριο έχει σταθερά k και αµελητέα µάζα. Αρχικά το σύστηµα ηρεµεί και το ελατήριο έχει το φύσικό του µήκος, από κάποια δε στιγµή και µετά δέχεται σταθερή µηχανική ροπή µέτ ρου τ, µε αποτέλεσµα ο τροχός να τιθεται σε κίνηση και το ελατήριο να τεντώνεται. i) Mε την προυπόθεση ότι ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος, να εκφράσετε την γωνιακή του ταχύτητα σε συνάρτηση µε την µετατόπιση του κέντρου µάζας του. ii) Nα βρείτε την συνθήκη που εξασφαλίζει την κύλιση χωρίς ολίσθη ση του τροχού. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του, ο συντελεστής n οριακής τριβής µεταξύ τροχού και οριζόντιου εδάφους και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Mε την επίδραση της ροπής ο τροχός αρχίζει περιστρεφόµενος µε αποτέλεσµα να εµφανίζεται σ αυτόν στατική τριβή T που του προκαλεί µετα φορική κίνηση µε φορά που αντιστοιχεί σε επιµήκυνση του ελατηρίου. Έτσι επί του τροχού αρχίζει να δρά και η δύναµη F του ελατηρίου που επιβραδύνει την µεταφορική του κίνηση. Εξετάζοντας τον τροχό την στιγµή που το κέντρο Σχήµα 4 του έχει µετατοπιστεί κατά x, παρατηρούµε ότι λόγω της κυλίσεώς του η αντί στοιχη γωνία περιστροφής του είναι φ=x/r, οπότε η αντίστοιχη ενέργεια που προσφέρεται στον τροχό µέσω του έργου της ροπής, είναι ίσο µε τx/r, Η ενέργεια αυτή µετασχηµατίζεται σε κινητική ενέργεια του τροχού και σε ενέρ
γεια ελαστικής παραµορφώσεως του ελατηρίου, δηλαδή ισχύει η σχέση: x R = kx + mv + I x R = kx + mv + mr (1) 4 όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας του τροχού και η γωνιακή του ταχύ τητα την στιγµή που τον εξετάζουµε. Όµως λόγω της κυλίσεως του τροχού ισχύει v=ωr, οπότε η (1) γράφεται: x R = kx + mr + mr 4 x = krx + 3mR 3 = x - krx 3mR 3 = 1 R x( - krx) 3mR () H () έχει νόηµα εφ όσον η µετατόπιση x δεσµεύεται µε την σχέση: - krx x / kr (3) ii) Έαν a είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του τροχού την στιγµή που η µετατόπιση του είναι x, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: T - kx = ma T = ma + kx (4) Εξάλλου, εάν ' είναι η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε: - TR = I' - TR = mr '/ (4) - TR = mra/ - (ma + kx)r = mra/ - krx = mra/ + mra a = ( - krx) 3mR (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: T = m( - krx) 3mR + kx T = ( - krx) 3R + kx (6) Eπειδή η τριβή είναι στατική δεσµέυεται µε την σχέση: (6) T nn ( - krx) 3R + kx nmg - krx + 3Rkx 3Rnmg + Rkx 3Rnmg x 3nmg k - kr (7)
Για να είναι ασφαλής η κύλιση του τροχού πρέπει να προηγείται ο µηδενισµός της γωνιακής του ταχύτητας πριν αρχίσει η ολίσθησή του και αυτό εξασφαλίζε ται από την σχέση: kr < 3nmg k - kr 5 kr < 3nmg k n > 5 6Rmg P.M. fysikos Mια σφαίρα, µάζας m και ακτίνας r ισορροπεί εφαπτόµενη εσωτερικώς ακλόνητου κοίλου σφαιρικού οδηγού, κέντρου Ο και ακτίνας R>r όπως στο σχήµα (5). Η σφαίρα δέχεται οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας µε αποτέλεσµα να ανέρχεται κυλιόµενη επί της κοίλης επιφάνειας του σφαιρικού οδηγού. i) Nα δείξετε ότι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της περιστρο φικής κίνησης της σφαίρας περί το κέντρο µάζας της C και ο ρυθµός µεταβολής της γωνίας φ που σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύ θυνση η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας, ως προς το Ο, συνδέονται µε την σχέση: = $ R r - 1 ' & d( dt ii) Χρησιµοποιώντας την σχέση αυτή να δείξετε, ότι το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας της σφαίρας ικανοποιεί την συνθήκη κύλισης v C = ωr iii) Να εκφράσετε την κινητική ενέργεια της σφαίρας και την στροφορµή της περί το Ο, σε συνάρτηση µε τον ρυθµό µεταβολής της γωνίας φ. Δίνεται η ροπή αδράνειας I C =5mr / της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Η κύλιση της σφαίρας στο εσωτερικό του κοίλου σφαιρικού οδηγόυ είναι µια επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιάς µεταφορικής κίνησης κατά την οποία το κέντρο µάζας της C διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας R-r και απο µιάς στροφικής κίνησης περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης. Ας δεχθούµε ότι κατά την µετατόπιση της σφαίρας από την κατώτατη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙ), το σηµείο Μ αυτής γίνεται σηµείο επαφής της µε τον οδηγό. Μπορούµε να ισχυριστούµε ότι η συνολική µετατόπιση του Μ είναι διανυσµατικό άθροισµα της µετατόπισης του MM' λόγω της µεταφορικής κίνησης της σφαίρας και της µετατόπισης του MA', λόγω περιστροφικής κίνησης της σφαίρας περί το κέντρο µάζας της C. Όµως το διάνυσµα MM' είναι ίσο µε το διάνυσµα µετατόπισης CC' του κέντρου µάζας της σφαίρας, που
σηµαίνει ότη η γωνία MCA είναι ίση µε το άθροισµα της γωνίας στροφής θ της σφαίρας που φέρει το σηµείο Μ στη θέση Α και της γωνίας φ κατά την οποία εστράφη η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας C της σφαίρας. Εξάλλου λόγω της κύλισης της σφαίρας το µήκος του τόξου ΜΑ είναι ίσο µε το µήκος του τόξου ΑΑ, δηλαδή ισχύει η σχέση: Σχήµα 5 τοξ(μα)=τοξ(αα ) r(φ + θ) = Rφ rθ = Rφ-rφ θ = φ(r - r)/r = φ(r/r - 1) (1) Παραγωγίζοντας της (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: d dt = d dt R $ r - 1 & ( () ' Όµως το διαφορικό πηλίκο dθ/dt αποτελεί το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της σφαίρας περί το κέντρο µάζας της C, κατά την στιγµή που την εξετάζουµε, οπότε η () γράφεται: = $ R r - 1 ' & d( dt (3) ii) Θεωρώντας την µεταφορική κίνηση του κέντρου µάζας της σφαίρας, δια πιστώνουµε ότι η ταχύτητα του v C έχει µέτρο : v C = ( R - r) d dt (4) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: v C = R - r R / r - 1 v C = r(r - r) R - r v C = r (5) Δηλαδή προκύπτει η συνθήκη κύλισης, η οποία απαιτεί το σηµείο επαφής της σφαίρας µε τον οδηγό να έχει κάθε στιγµή µηδενική ταχύτητα, ως προς ένα ακίνητο παρατηρητή. iii) Η κινητική ενέργεια Κ της σφαίρας κατά µια τυχαία χρονική στιγµή είναι:
K = 1 mv C + 1 (5) I C K = 1 m r + 1 I C K = 1 m r + 1 K = 7 R mr r - 1 $ d' $ & & dt 5 mr = m r K = 7 m R - r 1 + $ ' = 7 () 5& mr ' dt& ( ) $ d Εξάλλου η στροφορµή L (O) της σφαίρας περί το Ο είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή του κέντρου µάζας C στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµένη την µάζα m της σφαίρας συν την ιδιοστροφορµή L (C) της σφαίρας, λόγω της περιστροφής της περί το κέντρο µάζας της C, δηλαδή ισχύει: L (O) = m( r C v C ) + L (C) (7) όπου r C η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας C, ως προς το Ο. Εάν k είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης της σφαίρας η (7) γράφεται: L (O) = m(r - r)v C µ(/) k - I C k L (O) = m(r - r)r k - (/5)mr k L (O) = mr(r - r - r/5) k (3) (6) L (O) = mr R r - 1 $ & R - 7r $ & 5 d' k dt P.M. fysikos Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R, κυλίε ται χωρίς ολίσθηση και ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και κά ποια στιγµή φθάνει στην κορυφή κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσε ως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). i) Να βρεθεί η µέγιστη τιµή του µέτρου της ταχύτητας του κέντρου µάζας C της σφαίρας στο οριζόντιο επίπεδο, ώστε αυτή να µην αναπη δήσει κατά την µετάβασή της στο κεκλιµένο επίπεδο και να συνεχίσει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση σ αυτό. ii) Nα βρεθεί η στροφορµή της σφαίρας ως προς τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής της την στιγµή που οριακά εφάπτεται µόνο του κεκλιµέ νου επιπέδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr /5 της σφαίρας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας.
ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι η σφαίρα κατά τον χρόνο που µεταβαίνει από το οριζόντιο στο κεκλιµένο επίπεδο δεν αναπηδά και δεν ολισθαίνει. Εξετάζοντας την σφαίρα κατά το το χρονικό αυτό διάστηµα παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος της w και την αντίδραση από την κοινή επαφή του οριζόντιου µε το κεκλιµένο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη επί την επιφάνεια της σφαίρας αντίδραση N, που κατευθύνεται προς το κέντρο της C. H σφαίρα κατά τον χρόνο αυτόν εκτελεί γνήσια περιστροφή, µε αποτέ Σχήµα 6 λεσµα το κέντρο της να διαγράφει σε κατακόρυφο επίπεδο κυκλικό τόξο κέντρου Ο και ακτίνας R, οπότε η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων επί της σφαίρας αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το κέντρο µάζας της C, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: w'- N = mv C / R w$ - N = mv C / R N = mg$ - mv C / R N = m(g$ - v C / R) (1) όπου w ' η ακτινική συνιστώσα του βάρους την στιγµή που η ΟC σχηµατίζει γωνία θ µε την κατακόρυφη διεύθυνση και v C η αντίστοιχη ταχύτητα του κέν τρου της σφαίρας. Η (1) εφαρµοζόµενη λίγο πρίν την χρονική στιγµή t * που η σφαίρα µεταβαίνει στο κεκλιµένο επίπεδο (θ=φ), δίνει: N * = m(g$ - v * / R) () όπου v * η ταχύτητα του κέντρου C στιγµή t *. Επειδή δεχθήκαµε ότι η σφαίρα δεν αναπηδά πρέπει Ν *, οπότε η () δίνει: m(g$ - v * / R) v * gr$ (3) Eξάλλου κατά τον χρόνο t * η µηχανική ενέργεια της σφαίρας διατηρείται, δηλα δή ισχύει η σχέση: K (o) + U t* t* (o) = K (o) + U (o) I O + mgr = I O * + mgr$
I O v R + mgr = I v O * R + mgr$ I O R (v * - v ) = mgr(1 - $) (4) Σχήµα 7 Όµως η ροπή αδράνειας Ι Ο της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Steiner υπολογίζεται από την σχέση: I O = I C + mr = mr /5 + mr = 7mR /5 οπότε η (4) γράφεται: 7mR 1R (v * - v ) = mgr(1 - $) 7 1 (v * - v ) = gr(1 - $) v * = v + 1gR 7 (1 - $) (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: v + 1gR 7 v gr$ - 1gR 7 (1 - $) gr$ (1 - $) v gr 7 (17$ - 1) v gr 7 (17$ - 1)
gr v (max) = (17$ - 1) (6) 7 * ii) H στροφορµή L (O) της σφαίρας ως προς στιγµιαίο άξονα περιστροφής της την χρονική στιγµή t * είναι οµόρροπη της αντίστοιχης γωνιακής ταχύτητας * της σφαίρας και το µέτρο της δίνεται από την σχέση: * L (O) = I O * = I v O * R L * (O) = 7mR v * 5R = 7mRv * 5 (6) Όµως αν η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας στο οριζόντιο επίπεδο έχει την µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή που υπολογίστηκε στο προηγούµενo ερώτηµα, τότε η σχέση (3) ίσχύει ως ισότητα, οπότε η (6) γράφεται: * L (O) = 7mR gr$ 5 P.M. fysikos Κοίλη σφαίρα µικρού πάχους µάζας m και ακτί νας R, ηρεµεί πάνω σε µη λείο οριζόντιο έδαφος. i) Nα δείξετε ότι η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς κάθε ευθεία που διέρχεται από το κέντρο της είναι ίση µε mr /3. ii) Nα βρεθεί σε πόση απόσταση από το έδαφος πρέπει να δράσει επί της σφαίρας οριζόντια δύναµη επί βραχύ χρονικό διάστηµα, ώστε η σφαίρα στην συνέχεια να κυλίεται χωρίς ολίσθηση. iii) Eάν Ω είναι το µέτρο της ώθησης της δύναµης, να βρεθεί το έργο της δύναµης κατά τον χρόνο της δράσεώς της. ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε πάνω στην επιφάνεια της κοίλης σφαίρας µια σφαιρική ζώνη στοιχειώδους εύρους ds και ακτίνας r, της οποίας το κέντρο βρίσκεται πά νω στον άξονα zz που διέρχεται από το κέντρο C της σφαίρας, το δε επιπεδό Σχήµα 8 της είναι κάθετο στον άξονα. Η στοιχειώδης ροπή αδράνειας di z της ζώνης αυ τής, ως προς τον άξονα zz, δίνεται από την σχέση:
di z = dmr = (rds)r =r 3 ds (1) Όµως η επιφανειακή πυκνότητα σ της σφαίρας είναι ίση µε το πηλίκο m/4πr, οπότε η σχέση (1) γράφεται: di z = mr 3 ds/4r = mr 3 ds/r () Eάν φ είναι η γωνία που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα κάθε σηµείου της ζώνης µε τον άξονα zz και dφ η στοιχειώδης γωνία υπό την οποία φαίνεται από το κέντρο C το εύρος ds, θα έχουµε τις σχέσεις r=rηµφ και ds=rdφ, οπότε η σχέση () γράφεται: di z = mr 3 µ 3 (Rd)/R = mr µ 3 d/ (3) Με ολοκλήρωση της (3) θα προκύψει η ροπή αδράνειας Ι z της κοίλης σφαίρας, ως προς τον άξονα zz, δηλαδή θα έχουµε: I z = mr $ µ 3 d = mr $ µ µd = mr $ (1-&' )(-d&') I z = mr ' ) () & * $ d($) -& (d$), +, = mr - /'.) /( 3 $ 3 *, + [ ] - $ 1 / 3 / I z = mr - 3 + $ & = mr 3 (4) ii) Για να κυλίεται η σφαίρα επί του οριζόντιου εδάφους, πρέπει κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που ενεργεί η οριζόντια δύναµη F να αποκτήσει µε ταφορική ταχύτητα v και γωνιακή ταχύτητα, ώστε η ταχύτητα του ση µείου επαφής της Α µε το έδαφος να είναι µηδενική, δηλαδή πρέπει να ισχύει: v + ( CA) = v = - ( CA) v = R (5) Σχήµα 9 Εφαρµόζοντας για την σφαίρα το θεώρηµα ώθησης-στροφορµής κατά τον χρόνο Δt παίρνουµε την σχέση: (5) F(x - R)t = mr /3 F(x - R)t = mrv /3 (6)
όπου x η απόσταση του φορέα της F από το οριζόντιο έδαφος. Εξάλλου εφαρµό ζοντας για το κέντρο µάζας C της σφαίρας και για τον χρόνο Δt το θεώρηµα ώθησης-ορµής έχουµε: Ft = mv (7) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε την σχέση: F(x - R)t Ft = mrv 3mv 3(x - R) = R x = 5R/3 (8) iii) Σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου το έργο W F της δύνα µης F κατά τον χρόνο δράσεώς της είναι ίσο µε την κινητική ενέργεια Κ που αποκτά η σφαίρα, δηλαδή έχουµε την σχέση: W F = K W = mv F + mr 6 Όµως το µέτρο της ώθησης mv, οπότε η (9) γράφεται: = 5mv 6 της δύναµης F για τον χρόνο Δt είναι ίσο µε (9) W F = 5m = 5 6m 6m P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (1) η οµογενής ράβ δος OΑ έχει µάζα M και µήκος L, µπορεί δε να στρέφεται περί στα θερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της O. Το άλλο άκρο A της ράβδου συνδέεται µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος µε σώµα Σ, µάζας m. To νήµα διέρχεται από το αυλάκι µιας σταθερής τροχαλίας Β αµελητέας µαζας που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπε δο µε το άκρο Α και απέχει από αυτό κατά L. Εάν την στιγµή t= που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο εκ της ηρεµίας η γωνία φ είναι µηδενική, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου την στιγµή που η γωνία φ είναι ίση µε π/6. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι O =ΜL /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Στον χρόνο που η ράβδος στρέφεται από την αρχική της θέση κατά γω νία φ=π/6 η µηχανική ενέργεια του συστήµατος ράβδος-σώµα διατηρείται, δηλα δή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: K + U = mv + I O - Mgh C + mgh = mv + ML 6 = Mgh C - mgh (1)
όπου v η ταχύτητα του σώµατος, η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στο τέλος του χρόνου, h C η κατακόρυφη µετατόπιση του κέντρου µάζας C της ράβδου και h η µετατόπιση του σώµατος στον θεωρούµενο χρόνο. Εάν x είναι το µήκος Σχήµα 1 του νήµατος από το άκρο Α έως την µικρή ακίνητη τροχαλία Β κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που η γωνιακή εκτροπή της ράβδου από την αρχική της θέση είναι φ, συµφωνα µε το θεώρηµα του συνηµιτόνου στο τρίγωνο ΟΑΒ, θα έχουµε την σχέση: x = L + (L) - 4L $ = 5L - 4L $ () Διαφορίζοντας την σχέση () παίρνουµε: xdx = 4L µd x dx dt = L µ d dt () xv = L µ Lv 5-4$ = L &µ$ v = L µ 5-4$& (3) διότι η µεταβολή dx του µήκους x στον χρόνο dt εκρφάζει την αντίστοιχη µετα τόπιση dh του σώµατος, οπότε το διαφορικό πηλίκο dx/dt εκφράζει το µέτρο v της ταχύτητάς του. H (3) εφαρµοζόµενη την στιγµή που είναι φ=π/6, δίνει: v = L µ ( / 6) 5-4$&( / 6) = L 5-3 (4) Εξάλλου την ίδια στιγµή έχουµε h C =(L/)ηµ(π/6)=L/4 και h=x+l-l=x-l, οπότε η σχέση (1) γράφεται: mv + ML 6 = MgL 4 (),(3) - mg(l - x) ml (5-3) + ML 6 = MgL 4 - mg L - L 5-3 $
ml (5-3) + ML 6 = Mg 4 - mg 1-5 - 3 $ m L 5-3 + M $ 3 & ' = g ( M - 4m 1-5 - 3 $ + ) *, - από την οποία υπολογίζεται η ζητούµενη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. P.M. fysikos Λεπτή ράβδος µήκους L και µάζας m, µπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο O. Την στιγµή t= η ράβδος είναι οριζόντια και αφήνεται να κινηθεί από την ηρεµία. i) Να βρείτε σε ποιά θέση της ράβδου η οριζόνια συνιστώσα της αντίδ ρασης του άξονα περιστροφής της γίνεται µέγιστη. ii) Να βρείτε την επιτάχυνση του ελεύθερου άκρου της ράβδου στην θέση που αναφέρεται στο προηγούµενο ερώτηµα. Δίνεται η ροπή άδράνειας Ι O =ml /3 της ράβδου περί τον άξονα περισ τροφής της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε την ράβδο κατά µια τυχαία στιγµή που σχηµατίζει µε τον οριζόντιο άξονα x γωνία φ. Η ράβδος δέχεται το βάρος της w και την αντίδ ραση του άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην κατακόρυφη συνιστώσα R y Σχήµα 11 και και στην οριζόντια συνιστώσα R x. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντ ρου µάζας C της ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύ θυνση του άξόνα x, παίρνουµε την σχέση: R x = ma Cx R x = m(d x/dt ) (1) όπου a Cx η οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυνσης a C του κέντρου µάζας C.
Όµως η x-συντεταγµένη του κέντρου µάζας κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή ικανοποιεί την σχέση: x = L dx $ dt = - L d µ dt d x dt = - L d$ ( $' * & dt) - L +µ$ d $ dt d x dt = - L ( $ - '&µ) () όπου η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα και ' η αντίστοιχη γωνιακή επιτά χυνση της ράβδου. Εφαρµόζοντας για την ράβδδο την στιγµή αυτή τον θεµελι ώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: wx = I O ' mg L $ = ml 3 3g ' '= $ (3) L Όµως κατά την κίνηση της ράβδου από την οριζόντια θέση στην θέση που την εξετάζουµε η µηχανική της ενέργεια διατηρείται, δηλαδή µπορούµε να γράψου µε την σχέση: K + U = K + U + mgy = I O + + mg L µ = ml 6 + = 3g L µ (4) Η () λόγω των (3) και (4) γράφεται: d x dt = - L & ( ' 3g L 3g µ$ - L $µ ) + * d x dt = - 3g 4 µ$ = - 3g 8 µ (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (5) παίρνουµε: R x = - 3mg 8 µ (6) Aπό την (6) προκύπτει ότι το µέτρο της συνιστώσας F x γίνεται µέγιστο, όταν ηµφ=1, δηλαδή όταν φ=π/4. ii) H επιτάχυνση a A του άκρου Α της στρεφόµενης ράβδου υπολογίζεται µέσω της διανυσµατικής σχέσεως:
a A = - (OA) + ( ' OA) = a K + a E (7) όπου a K η κεντροµόλος επιτάχυνση του Α ίση µε - (OA) και a E η επιτρόχια επιτάχυνσή του ίση µε ( ' OA) (σχ. 1). Εάν i, j είναι τα µοναδιαία διανύσ µατα των αξόνων x και y αντιστοίχως, η σχέση (7) γράφεται: Σχήµα 1 [ ] [ ] a A = - a K $+ a E ( / - $) i + a E $ - a K &µ$ j a A = -L[ $(/4) + '$(/4 ] i + L [' $(/4)- &µ (/4) ] j a A = - L ( + ') i + L (' - ) (3),(4) j a A = - L, 3g L µ & ( + 3g $ 4' L )*+ & /. ( 1 - $ 4' i + + L, 3g L $ ( ' & 4) * - 3g L +µ $ ( /. ' & 4 * 1 - ) j a A = - L ' ) () 3g L + $ 4 & i - 3g L - $ * 4 & j, +, ( ) a A = 3g 4-3 i + j P.M. fysikos Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, εκτοξεύεται επί οριζοντίου εδάφους και την στιγµή που έρχεται σε επαφή µε αυτό έχει µεταφορική µόνο ταχύτητα µέτρου v, της οποίας ο φορέας είναι
οριζόντιος. Eάν n είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ της στεφάνης και του εδάφους και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να καθορίσετε την καµπύλη γραµµή που αποτελεί τον γεωµετρικό τόπο των θέσεων του στιγµιαίου κέντρου περιστροφής της στεφάνης πριν αρχίσει η κύλισή της χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος. ΛYΣH: Tην στιγµή που η στεφάνη έρχεται σε επαφή µε το οριζόντιο έδαφος (t=) το σηµείο επαφής της A µε αυτό, έχει ταχύτητα v, δηλαδή η στεφάνη ολισθαίνει επί του οριζοντίου επιπέδου, που σηµαίνει ότι η τριβή T που δέχε ται από αυτό είναι τριβή ολίσθησης, η οποία τείνει να ελαττώσει την v. Όµως η τριβή έχει ροπή ως προς το κέντρο της στεφάνης, η οποία δηµιουργεί περιστ ροφική κίνηση αυτής περί άξονα που διέρχεται απο το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Aπό τα παραπάνω προκύπτει ότι, µόλις η στεφάνη έλθει σε επαφή µε το οριζόντιο επίπεδο εκτελεί επίπεδη κίνηση, η οποία µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας επιβραδυνόµενης µεταφορικής κίνησης και µιας επιταχυνόµενης περιστροφικής κίνησης. Eάν C είναι κάποια στιγµή η επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης της στεφάνης (επιτάχυνση του κέντρου της) και ' η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της περιστροφικής κίνησης, θα ισχύουν οι σχέσεις: Mεταφορική κίνηση: Σχήµα 13 T = m C nmg = m C C = ng (1) Περιστροφική κίνηση: TR = I' nmgr = mr '/ '= ng/r () όπου m η µάζα της στεφάνης. Oι σχέσεις (1) και () µας πληροφορούν ότι, η µεν µεταφορική κίνηση της στεφάνης είναι οµαλά επιβραδυνόµενη η δε περιστρο φική της κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη. Έτσι, για το µέτρο της µεταφορικής τα χύτητας v C της στεφάνης σε χρόνο t και για το µέτρο της γωνιακής της ταχύ τητας, θα ισχύουν οι σχέσεις: v = v - C t (1) v C = v - ngt (3) = 't ( ) = ngt/r (4) To στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Κ της στεφάνης την χρονική στιγµή t βρίσκεται επί της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο µάζας C της στεφάνης και είναι κάθετη στο διάνυσµα της ταχύτητας v C και σε τέτοια απόσταση από
το C, ώστε η ταχύτητά του λόγω της µεταφορικής ταχύτητας της στεφάνης να είναι αντίθετη της ταχύτητάς του λόγω της περισστροφικής της κίνησης ( v C =- v ). Για να συµβαίνει αυτό πρέπει το Κ να βρίσκεται κάτω από το C, δη λαδή η y-συντεταγµένη του Κ στο σύστηµα Οxy είναι αρνητική (σχ. 14). Με βάση τα παραπάνω θα ισχύει η σχέση: Σχήµα 14 (3),(4) v C =-y v - ngt= -ngty/r v = ngt 1 - y $ & t = R v ng(1 - y/r) (5) H x-συντεταγµένη του Κ την χρονική στιγµή t είναι ίση µε την αντίστοιχη µετατόπιση του κέντρου C, δηλαδή θα ισχύει: x = v t - ngt (5) x = v ng(1 - y/r) - ng v n g (1 - y/r) x = v ng 1 1 - y/r - 1 $ (1 - y/r) & x = v - y/r - 1$ ng (1 - y/r) & 1 - y/r (1 - y/r) = ngx (6) v Η (6) αποτελεί την εξίσωση στο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy, της καµπύλης που διαγράφει το στιγµιαίο κέντρο περιστροφης της στεφάνης. Παρατήρηση: H (6) ισχύει για <x<x *, όπου x * η µετατόπιση του κέντρου C την χρονική στιγ µή t * που αρχίζει η κύκλιση χωρίς ολίσθηση της στεφάνης. Αυτό θα συµβεί όταν v C =ωr, οπότε θα έχουµε: v - ngt * = nrgt * /R v = ngt * t * = v /ng (7) Άρα η µετατόπιση x * θα είναι: x * = v t * - ngt * (7) v x * = v $ & - ng v $ & ng ng = 3v 8ng P.M. fysikos
Δύο όµοια µικρά σφαιρίδια µάζας m το καθένα, είναι στερεωµένα στις άκρες ελατηρίου αµελητέας µάζας και φυσικού µήκους L, το δε σύστηµα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Δίνουµε στο ένα από τα δύο σφαιρίδια ώθηση βραχείας διάρκειας, µε αποτέλεσµα αυτό να αποκτά ως προς το επίπεδο ταχύτητα µέτρου v, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην διάκεντρο των δύο σφαιρι δίων. Να βρείτε την µέγιστη επιµήκυνση του ελατηρίου στην διάρκεια της κίνησης του συστήµατος, µε την προυπόθεση ότι αυτή είναι πολύ µικρότερη σε σχέση µε το φυσικό µήκος του ελατηρίου. ΛΥΣΗ: Όταν στο ένα σφαιρίδιο δοθεί αρχική ταχύτητα v, τότε το σύστηµα τί θεται σε κίνηση και τα δύο σφαιρίδια αλληλοεπιδρούν µέσω του ελατηρίου, του οποίου το µήκος µεταβάλλεται. Επειδή οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχονται τα σφαιρίδια αλληλοαναιρούνται (τα βάρη τους εξουδετερώνονται από τις κατακό ρυφες αντιδράσεις του λείου οριζόντιου επιπέδου) η σχετική κίνηση του ενός σφαιριδίου ως προς το άλλο είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός υποθετικού σωµατίου µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ=m/ του συστήµατος, η οποία κίνηση διαµορφώνεται αν επί του σωµατιδίου ενεργεί η δύναµη αλληλεπιδρά σεως των σφαιριδίων, δηλαδή η δύναµη F του παραµορφωµένου ελατηρίου. Σχήµα 15 Στο σύστηµα αναφοράς* του κέντρου µάζας C των σφαιριδίων η µηχανική ενέρ γεια του σωµατιδίου αυτού διατηρείται, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: K + U = K $& + U $& µv ($ ) mv ($ ) = mv (&' ) + kx mv + = µv (&' ) = mv ($ ) + kx + kx (1) όπου V ($ ) η αρχική σχετική ταχύτητα του ενός σωµατιδίου ως προς το άλλο ------------------------------------- * Το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας των δύο σφαιριδίων είναι αδρανειακό σύστηµα, διότι οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχονται τα σφαιρίδια αλληλοαναιρούν ται και εποµένως το κέντρο µάζας κινείται µε σταθερή ταχύτητα ως προς το ακίνη το οριζόντιο επίπεδο.
η οποία είναι ίση µε v και V ($ ) η αντίστοιχη σχετική ταχύτητα, όταν η επιµηκύνση του ελατηρίου είναι x. Την στιγµή που το ελατήριο έχει υποστεί την µέγιστη επιµήκυνσή του x max, η συνιστώσα της V ($ ) κατά την διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου είναι µηδενική, δηλαδή την στιγµή αυτή η V ($ ) είναι κάθετη επί τον άξονα του ελατηρίου (σχ. 15). Όµως στο σύστηµα αναφο ράς του κέντρου µάζας η στροφορµή του υποθετικού σωµατιδίου µάζας m/ περί το κέντρο µάζας C διατηρείται σταθερή, διότι o φορέας της δύναµης από το ελατήριο διέρχεται συνεχώς από το κέντρο µάζας, οπότε ισύει η σχέση: m V ($ ) L = m V (&' ) (L + x max ) v L = V ($ ) (L + x max ) V ($ ) = v L L + x max = v 1 + x max / L V & ($ ) = v 1 + x ) max ( + ' L * -1 () Αν δεχθούµε ότι x max <<L και αναπτύξουµε το δεύτερο µέλος της () κατά Maclaurin, θα λάβουµε: ' V ($ ) & v 1 - x * max ), (3) ( L + Συνδυάζοντας την (1) και (3) την στιγµή που το ελατήριο έχει την µέγιστή επιµήκυνσή του παίρνουµε την σχέση: mv = mv 1 - x max L $ & + kx max mv 1-1 - x max L + x max L $ & = kx max mv x max L - x max L $ & = kx max mv L - x max L $ & = kx max (4) Όµως x max /L<<, οπότε η (4) µε καλή προσέγγιση γράφεται: mv L kx x mv max max kl P.M. fysikos
Ένα µικρό σώµα είναι στερεωµένο στο κοίλο µέρος µιας κυκλικής στεφάνης ακτίνας R, που έχει την ίδια µάζα µε το σώ µα. Η στεφάνη κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόντιο έδαφος και όταν το σώµα βρίσκεται στην κατώτατη θέση του, δηλαδή στην θέ ση επαφής της στεφάνης µε το έδαφος η ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης είναι v. Nα βρεθεί η µέγιστη τιµή του µέτρου της v, ώστε η κύλιση της στεφάνης να είναι ασφαλής, δηλαδή αυτή να µη αναπη δά εγκαταλείποντας το έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το µικρό σώµα κάποια στιγµή που η επιβατική του ακτίνα ως προς το κέντρο C της στεφάνης σχηµατιζει µε τον κατακόρυφο άξονα y γωνία φ (σχ. 16). Η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή αυτή προκύπτει µε επαλ ληλία της µεταφορικής ταχύτητας v C της στεφάνης και της ταχύτητας v που οφείλεται στην περιστροφή της περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Εξάλλου το σώµα δέχεται το βάρος του w και Σχήµα 16 Σχήµα 17 την δύναµη επαφής από την στεφάνη, η οποία παρέχει κατακόρυφη συνιστώσα F y (σχ. 17), σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: w - F y = m dv y dt mg - F y = m d(vµ) dt mg - F y = m d(rµ) dt ' mg - F y = mr d d * ) µ + $&, ( dt dt+ όπου v y η κατακόρυφη συνιστώσα της v. Επειδή η γωνία φ µειώνεται κατά την φορά περιστροφής της στεφάνης ισχύει ω=-dφ/dt, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: ' mg - F y = mr d dt µ - * ) $&, (1) ( +
Η στεφάνη την ίδια στιγµή δέχεται το βάρος της w, την αντίδραση του οριζόν τιου εδάφους που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος την δύναµη επαφής από το µικρό σώµα, της οποίας η κατακόρυφη συνιστώσα σύµφωνα το αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης είναι - F y. Επειδή το κέντρο µάζας της στεφάνης δεν µετατοπίζεται κατακόρυφα θα ισχύει: mg + F y - N = () Προσθέτοντας τις (1) και () κατά µέλη παίρνουµε: ' mg - N = mr d dt µ - * ) $&, ( + N = mg - mr d dt µ + mr $& (3) Ας δεχθούµε ότι η ταχύτητα v του κεντρου της στεφάνης, όταν το µικρό σώ µα βρίσκεται στην κατώτατη θέση του Α έχει τέτοιο µέτρο, ώστε στην συνέχει α κατά την κύλισή της χωρίς ολίσθηση το σώµα να φθάνει στην ανώτατη θέση Σχήµα 18 του Β χωρίς η στεφάνη να αναπηδά, δηλαδή χωρίς να χάνει την επαφή της µε το έδαφος. Στην θέση Β (φ=π) η ταχύτητα του σώµατος θα είναι διπλάσια της αντίστοιχης ταχύτητας v C του κέντρου C της στεφάνης το δε µέτρο της κάθε της αντίδρασης του εδάφους, σύµφωνα µε την (3) θα δίνεται από την σχέση: N B = mg - mr N B = mg - mv C / R (4) Όµως πρέπει Ν Β, οπότε η (4) δίνει: mg - mv C / R v C gr (5) Όµως κατά τον χρόνο που το µικρό σώµα µετατοπίζεται από την κατώτατη θέση Α στην ανώτατη θέση Β η µηχανική ενέργεια του συστήµατος στεφάνησώµα διατηρείται, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: K (A ) + U (A) = K (B) + U (B)
+ mv + I C - mgr = m(v C) + mv C + I C + mgr mv + mr - mgr = 4mv C + mv C + mr + mgr v + v - gr = 5v C + v C + gr 3v C = v - gr (6) Συνδυάζοντας τισ σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: v - gr 6gR v 8gR v 8gR v (max) = 8gR P.M. fysikos