ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε u,v U (ii λ u = λ u για κάθε λ R και u U. Θα λέγαμε δηλαδή ότι μια γραμμική απεικόνιση «σέβεται» τις δύο πράξεις του διανυσματικού χώρου κατά το πέρασμα από τον U στον V. Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι για κάθε γραμμική απεικόνιση ισχύει F ( 0 Αρκεί να θέσουμε λ στην ιδιότητα (ii του ορισμού και η σχέση προκύπτει αμέσως. Εάν η γραμμική απεικόνιση την ιδιότητα «αν F : U V είναι «-» (ένα προς ένα, εάν δηλαδή έχει u v τότε u» ή την ισοδύναμη της και πιο βολική σε εφαρμογές τότε ονομάζεται μονομορφισμός. «αν F ( u = τότε u = v» Εάν η γραμμική απεικόνιση F : U V είναι «επί» εάν δηλαδή F ( U = V, ή με άλλα λόγια «για κάθε v V, υπάρχει u U τέτοιο ώστε F ( u = v» τότε ονομάζεται επιμορφισμός. Τέλος αν η F : U V είναι «-» και «επί» θα ονομάζεται ισομορφισμός καθώς υποδηλώνει ότι στην ουσία οι δύο υποχώροι έχουν την «ίδια μορφή». Στην περίπτωση αυτή οι δύο διανυσματικοί χώροι ονομάζονται ισόμορφοι. 69
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Έστω U = R και V = M 2 2. Η απεικόνιση x F ( x, = y y z είναι γραμμική καθώς για κάθε λ R, u = ( x, R, v = ( x, y, z R, ισχύει u + = F ( x + x, y + y, z + z = x + x y + y y + y z + z x = + y z y y = F ( u + z και λu = λx λy λ x, λ λ = = λ = λu λy λz y z Η F είναι μάλιστα μονομορφισμός διότι για u = ( x, και v = ( x, y, z έχουμε x y F ( u = = y z y z { x = x, y = y, z = z } u = v Η F δεν είναι επιμορφισμός καθώς για παράδειγμα αν u U τέτοιο ώστε F ( u = v. v = 2 V 4 δεν υπάρχει 2 Έστω U = P (x και V = P (. Θεωρούμε την απεικόνιση x D ( p( = p που απεικονίζει κάθε πολυώνυμο βαθμού το πολύ στην παράγωγό του, ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ -. Η παραγώγιση πολυωνύμων λοιπόν είναι γραμμική απεικόνιση καθώς για κάθε λ R, p (x P (x, q (x P (x ισχύει και D ( p( x + q( = ( p( x + q( = p + q = D( p( + D( q( D( λ p( = ( λp( = λp = λd( p( Η D είναι επιμορφισμός καθώς για κάθε πολυώνυμο στο V = P ( υπάρχει x πολυώνυμο του U = P (x που απεικονίζεται σ αυτό (οποιαδήποτε αντιπαράγωγος. 70
Δεν είναι όμως μονομορφισμός διότι δύο πολυώνυμα του U = P (x που διαφέρουν κατά μια σταθερά, αν και διαφορετικά μεταξύ τους έχουν την ίδια εικόνα. 5.2 Ο ΠΥΡΗΝΑΣ ΚΑΙ Η ΕΙΚΟΝΑ ΜΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ Έστω F : U V μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων. Θα ορίσουμε δύο ιδιαίτερους υποχώρους, έναν του U και έναν του V, που σχετίζονται με την απεικόνιση αυτή. Το σύνολο των στοιχείων του U που απεικονίζονται στo 0 V λέγεται πυρήνας της F και συμβολίζεται ker F. Δηλαδή, ker F = { u U u } Το σύνολο των στοιχείων του V που περιέχει μόνο τις εικόνες της F ονομάζεται εικόνα της F και συμβολίζεται Im F. Δηλαδή, Im F = { v V v = u για κάποιο u U } Εύκολα δείχνεται ότι τα σύνολα ker F και Im F είναι διανυσματικοί υποχώροι των U και V αντίστοιχα. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση. Έχουμε παρατηρήσει ήδη ότι ο πυρήνας ker F περιέχει πάντοτε το μηδενικό διάνυσμα. Αξίζει να σημειωθεί τι συμβαίνει όταν περιέχει μόνο αυτό. ΘΕΩΡΗΜΑ: ker F = {0} αν και μόνο αν η F είναι μονομορφισμός. Απόδειξη: Έστω ker F = {0}. Τότε F ( u = F ( u F ( u ( u ker F u v u = v Άρα η F είναι «-». Αντίστροφα, έστω ότι η F είναι μονομορφισμός. Αν u ker F, τότε F ( u = 0 και επειδή η F είναι «-» ισχύει u. Συνεπώς ker F = {0}. Για την εικόνα μιας γραμμικής απεικόνισης ισχύει το εξής 7
ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω τότε Im F = u,,, u Απόδειξη: Έστω F : U V μια γραμμική απεικόνιση. Εάν U = u,,, u v Im F όμως U = u,,, ισχύει u. Τότε υπάρχει για κάποια λ, λ,, λ 2 R. Συνεπώς u = λ u + λ u + + λ 2 2 u U τέτοιο ώστε F ( u = v. Εφόσον v = u = λ u + λ2 + + λu = λ u + λ2 + + λ u u που σημαίνει ότι ο Im F παράγεται από τα διανύσματα F u, u,, u. ( 2 Τέλος, παρουσιάζουμε μια θεμελιώδη σχέση που συνδέει τις διαστάσεις των υποχώρων που αναφέραμε. ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω F : U V μια γραμμική απεικόνιση και dimu R (δηλαδή ο διανυσματικός χώρος U έχει πεπερασμένη διάσταση. Τότε ισχύει dimu = dim(ker F + dim(im F Απόδειξη: Έστω dimu =, dim(ker F = k και { u,,, } μια βάση του KerF. Αρκεί να δείξουμε ότι dim(im F = k. Επεκτείνουμε τη βάση του KerF σε μια βάση του U : u, u,, u, u +, u }. { 2 k k Τότε από το προηγούμενο θεώρημα ισχύει Όμως οπότε Im F = u,,, u F u = u = = u ( 2 k Im F = +,, u Μένει να δείξουμε ότι τα τελευταία -k διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα οπότε θα αποτελούν βάση του Im F. Έστω λ ( k + F + + + λ u. Τότε λ k + + + + λu λ u + + u ker F λ + για κάποια k R μ = k+ k+ λ k + + + + λu = μu + μk u + + μ u k k λk + + λu = = μ k λk + = = λ 72
λ = = λ 0 k + = όπως επιθυμούσαμε να δείξουμε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ : 2 2 Θεωρούμε και πάλι τη γραμμική απεικόνιση F R M με F ( x, = y z Έχουμε u = ( x, ker F { x, y, z } u y z Άρα ker F = {0}, κάτι που περιμέναμε άλλωστε εφόσον, όπως είδαμε παραπάνω, η F είναι μονομορφισμός. Προφανώς Im F x = { y y x, z R} z Τέλος, παρατηρούμε ότι dim U =, dim(ker F, dim(im F = που επαληθεύουν τη θεμελιώδη σχέση. 2 Για τη γραμμική απεικόνιση D : P P ( x με που είδαμε παραπάνω D ( p( = p p ker D p (x p = c για κάποιο c R Άρα ο πυρήνας ker D περιέχει όλα τα σταθερά πολυώνυμα. Επίσης, Im D = P ( διότι η D είναι επιμορφισμός. x Τέλος, παρατηρούμε ότι dim P = +, dim(ker D =, dim(im D = dim P ( x = που επαληθεύουν τη θεμελιώδη σχέση. 7
Έστω F : U V μια γραμμική απεικόνιση και dim U = dimv R. Από τη σχέση προκύπτει dimu = dim(ker F + dim(im F F μονομορφισμός ker F = {0} dim(ker F dim(im F = dimu dim(im F = dimv Im F = V [ ImF υποχώρος του V] F επιμορφισμός Συνεπώς, για να δείξουμε ότι μια γραμμική απεικόνιση είναι ισομορφισμός αρκεί να δείξουμε ότι είναι είτε μονομορφισμός είτε επιμορφισμός. 74